Kapitel 6. Variationsrechnung

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1 Kapitel 6 Variationsrechnung Die vorangegangenen Kapitel waren der relativistischen Kinematik gewidmet, also der Beschreibung der Bewegung von Teilchen, deren Geschwindigkeit nicht vernachlässigbar klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit ist. Die relativistische Kinematik kann als Verallgemeinerung der klassischen Kinematik, die bereits auf Galilei zurückgeht, verstanden werden. Um auch die Ursache der Bewegung im Fall hoher Geschwindigkeiten erklären zu können, benötigen wir nun auch eine relativistische Dynamik, die idealerweise wiederum eine Verallgemeinerung der klassischen Dynamik, die von Newton entwickelt wurde, sein sollte. Eine Grundbedingung für eine solche relativistische Dynamik ist, dass ihre Gesetze forminvariant unter Lorentz-Transformationen sind, genauso wie die Gesetze der Newtonschen Dynamik forminvariant unter Galilei-Transformationen sind. Ein eleganter Weg zur Formulierung einer relativistischen Dynamik führt über die Variationsrechnung, die deshalb in diesem Kapitel behandelt werden soll, bevor wir uns im folgenden Kapitel wieder der relativistischen Mechanik zuwenden. Häufig besteht die Lösung eines physikalischen Problems darin, eine bestimmte Funktion zu finden, zum Beispiel die Bahnkurve x(t) eines Teilchens. Dies geschieht üblicherweise durch die Lösung einer Differentialgleichung, etwa der Art m d2 x = kx, (6.1) dt2 in diesem Fall aus dem 2. Newtonschen Gesetz und dem Hookschen Gesetz abgeleitet. Nicht immer ist es aber so einfach wie in diesem Fall, die passende Differentialgleichung aufzustellen, die als Lösung die gesuchte Funktion liefert. Ein klassisches Beispiel für ein solches Problem ist das der Brachistochrone. So wird die Kurve genannt, auf der ein Teilchen sich in einem konstanten Schwerefeld in der kürzesten Zeit vom vorgegebenen Ausgangspunkt zum ebenfalls vorgegebenen Endpunkt bewegen kann. Die Lösung dieses Problems durch Johann Bernoulli im Jahre 1696 wird als Beginn der Variationsrechnung angesehen. 47

2 6.1 Funktional Funktionale können wir als Verallgemeinerung von Funktionen auffassen Während eine Funktion Zahlen auf Zahlen abbildet, werden bei einem Funktional Funktionen auf Zahlen abgebildet. Ein Beispiel für ein Funktional ist der Mittelwert x m = 1 +T x(t) dt (6.2) 2T t= T für die x-koordinate eines Teilchens, dessen Bewegung durch die Bahnkurve x(t) beschrieben wird. Hier ist das Argument des Funktionals eine Funktion, nämlich die Bahnkurve x(t), und das Ergebnis ist eine Zahl, in diesem Fall der mittlere Aufenthaltsort x m. Formal könnten wir auch x m = F [x(t)] (6.3) schreiben, wobei das Funktional F durch die rechte Seite von Gleichung (6.2) festgelegt ist. Wir verwenden eckige Klammern für die Argumente von Funktionalen, um den Unterschied zu Funktionen hervorzuheben. Nehmen wir als Beispiel die Funktion x(t) = sin ωt, die eine harmonische Schwingung beschreibt, dann liefert das durch Gleichung (6.2) definierte Funktional den Wert Null, F [sin ωt] = 0, (6.4) da das Teilchen bei einer harmonischen Schwingung um den Nullpunkt die mittlere Position x m = 0 hat. 6.2 Variation eines Funktionals Als Variation δf (auch erste Variation oder Differential genannt) eines Funktionals F bezeichnen wir den Teil der Differenz F [f + δf] F [f], der linear von der Änderung der Funktion δf abhängt. Die Änderung der Funktion f schreiben wir in der Form δf = εh, (6.5) wobei h eine beliebige Funktion sein darf und ε eine reelle Zahl ist. Nach Definition von δf gilt dann F [f + δf] F [f] = δf + O(ε 2 ). (6.6) Zu beachten ist hier, dass δf keine reelle Zahl sondern eine Funktion ist, so dass wir, anders als bei Funktionen, Gleichung (6.6) nicht durch δf teilen können, um eine Ableitung zu definieren. Die Schreibweise für die sogenannte Funktionalableitung δf δf, (6.7) 48

3 die selber ein Funktional ist, ist daher symbolisch zu verstehen. Für eine Funktion f ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass an der Stelle x ein Extremalwert vorliegt, das Verschwinden der ersten Ableitung, oder, was gleichwertig ist, das Verschwinden des Differentials df = df dx. (6.8) dx Analog ist für Funktionale das Verschwinden der Variation von F für eine bestimmte Funktionen f die Bedingung dafür, dass das Funktional F an dieser Stelle einen Extremalwert annimmt. Denn wenn wir zu f eine kleine Änderung δf entsprechend Gleichung (6.5) hinzufügen, ändert sich der Wert des Funktionals gemäß Gleichung (6.6) nicht, wenn wir von Beiträgen, die von quadratischer oder höherer Ordnung in ε sind, absehen. 6.3 Euler-Lagrange-Gleichung Eine wichtige Klasse von Funktionalen lässt sich in der Form F [f] = g(f, f, x) dx (6.9) schreiben, wobei g(f, f, x) eine Funktion ist, die von x sowie von den Werten der Funktion f und ihrer ersten Ableitung f an der Stelle x abhängt. Der Wert der Funktion f an den Stellen und x 1 soll fest sein. Für diese Klasse von Funktionalen lässt sich die Bedingung, dass die Variation δf verschwindet, durch eine Differentialgleichung, die Euler-Lagrange-Gleichung ausdrücken. Um diese Differentialgleichung herzuleiten, schreiben wir die Funktion f in der Form f(x) = f 0 (x) + εh(x). (6.10) So läßt sich eine beliebig gewählte Änderung von f immer in der Form δf = εh schreiben, sofern wir den Parameter ε und die Funktion h(x) geeignet wählen. Die Funktion h(x) muss an den Endpunkten und x 1 verschwinden, da die Funktion f an diesen Stellen festgehalten werden soll: f( ) = f 0 ( ) und f(x 1 ) = f 0 (x 1 ). (6.11) Da die Variation δf genau der in ɛ lineare Teil der Differenz F [f + εh] F [f] ist, dürfen wir die Variation auch in der Form δf = ε F ε 49 (6.12) ε=0

4 schreiben. Die Ableitung nach ε muss dabei an der Stelle ε = 0 ausgewertet werden. Für die durch Gleichung (6.9) beschriebene spezielle Klasse von Funktionalen lautet die Variation dann δf = ε ε dx (6.13) ε=0 Wir haben dabei einfach vorausgesetzt, dass hier Integration und Ableitung vertauscht werden dürfen. Durch Anwendung der Kettenregel erhalten wir [ f δf = ε f ε + ] f dx (6.14) f ε Wir berücksichtigen, dass die Ableitungen von f und f nach ε aufgrund der Definition δf = εh gerade h und h sind: [ δf = ε f h + ] f h dx (6.15) Um die Abhängigkeit der Variation von h zu beseitigen, wenden wir die Regel der partiellen Integration an: [ ] x1 x1 f h h d ( ) x1 dh dx + dx (6.16) dx f f dx = Da nach Voraussetzung h( ) = h(x 1 ) = 0 ist, verschwindet die linke Seite der dieser Gleichung, und wir erhalten h d ( ) x1 dx = dx f f h dx (6.17) Für die Variation von F folgt daraus [ δf = ε f d ( )] h dx (6.18) dx f Wenn die Variation δf verschwindet, muss auch die rechte Seite von Gleichung (6.18) verschwinden, und zwar unabhängig davon, welche Wahl wir für h treffen. Deshalb muss der Ausdruck in eckigen Klammern für beliebiges x verschwinden. Daraus folgt die Euler-Lagrange-Gleichung d dx ( ) f f = 0 (6.19) als notwendige, wenn auch nicht hinreichende Bedingung für das Vorliegen eines Extremums von F. 50

5 6.4 Erhaltungsgrößen Statt von räumlichen Koordinaten können die Funktionen, die Argumente eines Funktionals sind, auch von der Zeit als unabhängiger Variable abhängen. Analog zu Gleichung (6.9) schreiben wir dann wobei Lagrange-Gleichung die Form F [f] = t1 t 0 g(f, f, t) dt, (6.20) f die erste zeitliche Ableitung von f ist. In diesem Fall hat die Euler- d dt ( ) f f = 0 (6.21) Ein wichtiger Sonderfall von (6.20) liegt vor, wenn g nicht explizit von der Zeit abhängt, so dass die partielle Ableitung t = 0 (6.22) verschwindet. Wir können dann aus der Euler-Lagrange-Gleichung eine Erhaltungsgröße gewinnen, also eine Größe, deren totale Zeitableitung verschwindet. Dazu multiplizieren wir (6.20) mit f und addieren auf der linken Seite den verschwindenden Ausdruck Wir erhalten dann die Gleichung f d ( ) dt f + f f f f f f. (6.23) f f f f = 0, (6.24) auf die wir die Kettenregel der Ableitung anwenden, um zu ( d f ) ( dt f ) f f t + f = 0, (6.25) f t zu gelangen. Da die partielle Ableitung nach Voraussetzung Null ist, entspricht der zweite Klammerterm in (6.25) der totalen Zeitableitung von g, so dass wir diese Gleichung auch in der Form d dt ( f ) f g = 0 (6.26) schreiben können. Der eingeklammerte Ausdruck auf der rechten Seite von (6.26) ist demnach zeitlich konstant, und kann auch als Erhaltungsgröße bezeichnet werden. f f g = C, (6.27) 51

6 6.5 Brachistochrone Brachistochrone ist der Name für eine spezielle Funktion, die die Bahnkurve beschreibt, auf der ein Körper, der anfänglich ruht, unter dem Einfluss eines konstanten Schwerefeldes in der kürzesten Zeit reibungsfrei von einem Ort r 0 zu einem anderen Ort r 1 gleiten kann, der sich auf gleicher oder geringerer Höhe befindet. Die Suche nach der Brachistochrone ist eines der ältesten und bekanntesten Probleme der Variationsrechnung. Johann Bernoulli fand 1696 eine Lösung für dieses Problem, rund ein halbes Jahrhundert bevor die Grundzüge der Variationsrechnung entwickelt wurden. Wir beschränken die Bewegung auf eine Ebene, die durch den Vektor r 1 r 0 und die Richtung der Gravitationskraft aufgespannt wird (sind beide Vektoren parallel, liegt also r 1 direkt unter r 0, ist die Lösung trivial, nämlich eine gerade Strecke von r 0 nach r 1 ). Wir nehmen an, dass eine Bewegung des Körpers senkrecht zu dieser Ebene die Laufzeit stets verlängern würde. Wir legen unser Koordinatensystem so, dass r 0 im Ursprung und r 1 in der x- y-ebene liegt, und die Schwerkraft in die negative y-richtung wirkt. Der Körper werde zur Zeit t = 0 losgelassen. Wir nehmen weiterhin an, dass die Laufzeit verlängert wird, wenn der Körper irgendeine x-koordinate öfter als einmal annehmen darf. Daher beschreiben wir die Bahnkurve durch eine stetige Funktion y(x). Die Zeit, die der Körper benötigt, um von r 0 nach r 1 zu gelangen, bezeichnen wir mit T. Diese Zeit hängt von der Form der Bahnkurve ab, wir können sie deshalb auch als Funktional T [y] schreiben. Dazu integrieren wir infinitesimale Zeitintervalle dt, die wir als Quotient aus der infinitesimaler Wegstrecke ds und der zugehörigen Momentangeschwindigkeit v erhalten: dt = ds (6.28) v Die Wegstrecke ds wiederum können wir auf infinitesimale Schritte auf der x- Achse und die erste Ableitung von y(x) zurückführen: ds = ( ) 2 dy dx 2 + dy 2 = dx 1 + = dx 1 + (y dx ) 2 (6.29) Die Geschwindigkeit v können wir mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes in der Form mgy mv2 = 0 (6.30) auf y zurückführen: Für das infinitesimale Zeitelement erhalten wir so 1 + (y dt = dx ) 2 2gy v = 2gy (6.31) 52 (6.32)

7 Integration auf beiden Seiten liefert T [y] = (y ) 2 2gy dx (6.33) Wir definieren nun h(y, y ) = [1 + (y ) 2 ]/[ 2gy] und wenden die Euler- Lagrange-Gleichung an. Da h(y, y ) nicht explizit von x abhängt, liegt der in Abschnitt 6.4 beschriebenen Sonderfall vor, und wir können Gleichung (6.27) anwenden, wobei wir die unabhängige Variable t durch x ersetzen: Für die partielle Ableitung von h erhalten wir Also ist h y = y h y h = C. (6.34) y 2gy[1 + (y ) 2 ]. (6.35) y 2 2gy[1 + (y ) 2 ] 1 + (y ) 2 2gy = C (6.36) eine Konstante. Wir multiplizieren Gleichung (6.36) mit 2gy[1 + (y ) 2 ] und quadrieren die Gleichung anschließend: 1 = 2gC 2 y[1 + (y ) 2 ] (6.37) Diese Differentialgleichung lässt sich auf direkte Weise nicht geschlossen lösen. Wir testen stattdessen die folgende parametrisierte Lösung: x = R(ϕ sin ϕ) und y = R(cos ϕ 1) (6.38) Für die Ableitung von y erhalten wir dann Einsetzen in (6.37) liefert und damit y = y ϕ ϕ x = sin ϕ 1 cos ϕ. (6.39) 1 = 2gC 2 R(cos ϕ 1) [ ] 1 + sin2 2 ϕ (6.40) 1 cos ϕ 1 = 2gC 2 R(cos ϕ 1) 2 2 cos ϕ 2 = 4gC 2 R (6.41) 1 cos ϕ Für C = 1/2 gr ist die Differentialgleichung daher erfüllt. Die parametrisierte Lösung (6.39) ist eine an der x-achse gespiegelte Zykloide, also eine Kurve, die durch Abrollen eines Rades entsteht. 53

8 6.6 Zusammenfassung Ein Funktional F ist eine Abbildung aus einer Menge von Funktionen f auf eine Menge von Zahlen. Für jede Funktion f erhält man eine durch das Funktional genau festgelegte Zahl, die mit F [f] bezeichnet wird. Als Variation δf eines Funktionals bezeichnen wir den Teil der Differenz F [f + εh] F [f], der linear in ε ist. Wenn das Funktional F an der Stelle f ein Minimum hat, wenn also jede kleine Änderung des Argumentes f zu einer Erhöhung des Funktionalwerts F [f] führt, dann muss die Variation δf Null sein. Für eine in der Physik sehr wichtige Klasse von Funktionalen, die sich in der Form F [f] = g(f, f, x) dx (6.42) schreiben lassen, ist die Annahme, dass die Variation von F verschwindet, dass also δf = 0 gilt, äquivalent zur sogenannten Euler-Lagrange-Gleichung ( ) d dx f f = 0. (6.43) 54