2 Eulersche Polyederformel und reguläre Polyeder

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "2 Eulersche Polyederformel und reguläre Polyeder"

Transkript

1 6 2 Eulersche Polyederformel und reguläre Polyeder 2.1 Eulersche Polyederformel Formal besteht ein Graph aus einer Knotenmenge X und einer Kantenmenge U. Jede Kante u U ist eine zweielementige Teilmenge von X, also u = {x 1, x 2 }. Anschaulich besteht ein Graph aus Knoten, die durch die Kanten miteinander verbunden werden. Es gibt auch gerichtete Graphen, bei denen die Kanten zusätzlich orientiert sind. Diese betrachten wir hier aber nicht, sondern bleiben bei den oben eingeführten ungerichteten Graphen. G 1 G 2 G 3 In der Graphentheorie gibt es eine Vielzahl von Begriffen, die anschaulich klar sind, aber formal aufwendig definiert werden. Ein Graph G heißt zusammenhängend, wenn je zwei Punkte durch einen Kantenzug miteinander verbunden werden können. Der Graph links ist demnach zusammenhängen, der Graph in der Mitte besteht aus zwei zusammenhängenden Teilgraphen, er selber ist aber nicht zusammenhängend. G 2 zeigt noch eine weitere Besonderheit, nämlich eine Kante, die einen Knoten mit sich selbst verbindet, was durchaus erlaubt ist. Ein Graph G heißt planar, wenn er auf der Ebene so gezeichnet werden kann, daß seine Kanten sich nicht überkreuzen. Die Graphen G 1 und G 2 sind planar, der Graph G 3 aber nicht. Man beachte die Definition: gezeichnet werden kann, beim Graphen G 3 scheitern alle Versuche, ihn kreuzungsfrei unterzubringen G 4 G 4 6 Lassen wir eine beliebige Kante in G 3 weg, so erhalten wir beispielsweise den Graphen G 4, der auch nicht sonderlich planar aussieht, aber kreuzungsfei gezeichnet werden kann. G 4 ist also planar. Wir betrachten nun nur noch Graphen, die mindestens einen Knoten besitzen sowie zusammenhängend und planar sind. Wir setzen e=anzahl der Knoten (=Ecken), k=anzahl der Kanten, f =Anzahl der Flächen, wobei unter den Flächen diejenigen gemeint sind, die vom Graphen eingeschlossen werden plus eins für die äußere Fläche. Der Graph G 1 schließt demnach mit seinem Dreieck eine Fläche ein; für die Außenfläche zählen wir 1 dazu und erhalten f = 2. Für G 1 gilt ferner e = 4 und k = 3, daher e k + f = 2.

2 7 Dieses Ergebnis ist kein Zufall: Satz 2.1 (Eulersche Polyederformel) Sei G ein nichtleerer, zusammenhängender, planarer Graph mit e Knoten, k Kanten und f Flächen. Dann ist e k + f = 2.. Wie beweist man diese Formel? Dazu überlegt man sich, wie man einen nichtleeren und zusammenhängenden Graphen zeichnen kann. Zunächst zeichnet man einen Knoten. Anschließend kann man den Graphen Stück für Stück mit den beiden folgenden Operationen aufbauen: a) Man zeichnet einen neuen Knoten ein und verbindet diesen Knoten mit einem vorhandenen Knoten. b) Man verbindet zwei vorhandene Knoten. Die nichtleeren zusammenhängenden Graphen besitzen also eine induktive Struktur: Ausgehend vom Graphen, der nur aus einem Knoten besteht, kann man jeden solchen Graphen durch sukzessives Anwenden der Schritte a) und b) erzeugen. Ist der Graph zusätzlich planar, so lassen sich diese Schritte kreuzungsfrei durchführen. Damit läßt sich ( ) leicht durch Induktion beweisen. Der Induktionsanfang ist der Graph, der nur aus einem Knoten besteht. Für diesen ist e = 1, k = 0 und f = 1, also ist die Formel für diesen Graphen richtig. Sei G nun ein Graph, für den die Formel ebenfalls richtig ist. Wenden wir auf G den Schritt a) an, so erhöhen wir e und k um 1, f bleibt unverändert. Die Formel bleibt daher auch nach Anwendung dieses Schrittes richtig. Im Fall b) bleibt e unverändert, dagegen erhöhen sich k und f um 1. Also bleibt die Formel auch nach diesem Schritt richtig. Damit ist die Formel vollständig bewiesen. Tetraeder Würfel Oktaeder Wie der Name schon sagt, wurde die Eulersche Polyederformel zunächst auf Polyeder angewendet. Ein Polyeder ist ein dreidimensionaler Körper, der durch gerade Seitenflächen begrenzt ist. Diese Seitenflächen treffen sich in geraden Kanten und die Kanten wiederum treffen sich in Punkten. Einen solchen Polyeder können wir in Gedanken in einer Seitenfläche aufschneiden und dann auseinanderziehen. Die Ecken und Kanten entsprechen dann den Knoten und Kanten eines planaren Graphen. Jetzt ist auch klar, warum die Zahl der Knoten mit e bezeichnet wurde, weil sie nämlich die Zahl der Ecken des Polyeders ist. Ferner leuchtet nun ein, warum die Außenfläche des planaren Graphen mitgezählt wurde, weil nämlich diese der aufgeschnittenen Seitenfläche entspricht. Bei den oben angegebenen Beispielen von Tetraeder, Würfel und Oktaeder läßt sich die Polyederformel leicht noch einmal überprüfen. 2.2 Die platonischen Körper Ein regulärer Polyeder oder platonischer Körper ist ein Polyeder mit folgenden Eigenschaften: 1. Alle Seitenflächen sind kongruente, regelmäßige n Ecke. 2. In jeder Ecke münden m Kanten.

3 8 Schon im Altertum kannte man 5 reguläre Polyeder: Bezeichnung Form der Seitenflächen (n) m f k e Tetraeder Dreiecke Würfel Quadrate Oktaeder Dreiecke Dodekaeder Fünfecke Ikosaeder Dreiecke Tetraeder Würfel Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder Wir beweisen nun, daß es nur diese 5 regulären Polyeder gibt. An jeder Ecke grenzen genau m Kanten. Da jede Kante zwei Ecken besitzt, besteht zwischen Ecken und Kanten die Beziehung (1) em = 2k oder k = em 2 Jede Fläche hat n Begrenzungskanten. Da jede Kante zwei Flächen begrenzt, gilt (2) fn = 2k oder f = 2k n. In die Eulersche Polyederformel e k + f = 2

4 9 setzen wir nacheinander die Ausdrücke für f und k ein und erhalten 2 = e k + 2k n = e + k( 2 n 1) = e + em 2 ( 2 n 1) = e 2n (2n + mn( 2 n 1)) = e (2n + 2m nm) 2n Wegen 2n + 2m nm = 4 (n 2)(m 2) gilt (3) 2 = e (4 (n 2)(m 2)). 2n Da die linke Seite dieser Gleichung positiv ist, muß auch die rechte positiv sein, insbesondere (4 (n 2)(m 2)) > 0 oder (n 2)(m 2) < 4. Wir erhalten also die folgenden Möglichkeiten: (n, m) = (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3). Mit diesen Werten gehen wir zurück nach (3) und bestimmen daraus e. Mit e erhalten wir k aus (1) und schließlich f aus (2). Daher n m f k e Diese Daten entsprechen genau den bekannten 5 regulären Polyedern. Präsenzaufgaben 1. a) Die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 sollen so den Kanten eines Tetraeders zugeordnet werden, sodaß in jeder Ecke gilt, daß die Summe der in die Ecke einlaufenden Kanten konstant ist. Ist dies überhaupt möglich? b) Die gleiche Aufgabe wie a), aber mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 7. c) (Bundeswettbewerb 2. Runde) Die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 sollen so den Kanten eines Würfels zugeordnet werden, sodaß in jeder Ecke gilt, daß die Summe der in die Ecke einlaufenden Kanten konstant ist. Ist dies überhaupt möglich? d) Die gleiche Aufgabe wie c), aber mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, Die folgenden Fragen sollen in Abhängigkeit der Zahl der Knoten n eines Graphen beantwortet werden. Dabei sind keine Schleifen oder Mehrfachkanten erlaubt. a) Wie viele verschiedene Kanten kann ein Graph maximal haben? b) Ein Graph heißt kreisfrei, wenn er keinen geschlossenen Kantenzug enthält. Insbesondere darf ein kreisfreier Graph keine Kante haben, der einen Knoten mit sich selbst verbindet. Wie viele Kanten besitzt ein kreisfreier Graph?

5 10 c) Ein Graph heißt gut zusammenhängend, wenn er nach Entfernen einer beliebigen Kante immer noch zusammenhängend ist. Wie viele Kanten muß ein gut zusammenhängender Graph mindestens haben? A B D C 3. Die obige Abbildung zeigt die Brücken von Königsberg über den Fluß Pregel. Leonhard Euler löste die Frage, ob es möglich ist, in A beginnend eine Reise zu unternehmen, bei der man jede Brücke genau einmal überquert und sich am Ende wieder in A befindet. a) Formuliere dieses Problem als Rundreiseproblem in einem Graphen, bei dem ausnahmsweise auch Mehrfachkanten erlaubt sind. b) Ist die gesuchte Rundreise möglich? c) Welche Bedingung muß ein allgemeiner Graph erfüllen, damit eine solche Rundreise möglich ist?

6 11 Aufgaben 2.1 (Bundeswettbewerb 1. Runde) Die Oberfläche eines Fußballs setzt sich aus schwarzen Fünfecken und weißen Sechsecken zusammen. An die Seiten eines jeden Fünfecks grenzen lauter Sechsecke, während an die Seiten eines jeden Sechseck abwechselnd Fünfecke und Sechsecke grenzen. Man bestimme aus diesen Angaben über den Fußball die Anzahl seiner Fünfecke und seiner Sechsecke. 2.2 (Bundeswettbewerb 1. Runde) Zwischen 20 Städten bestehen 172 direkte Flugverbindungen, die jeweils in beide Richtungen benutzbar sind. Keine zwei von ihnen verbinden dieselben beiden Städte. Man weise nach, daß man von jeder Stadt in jede Stadt fliegen kann, ohne dabei mehr als einmal umzusteigen. Viel Spaß beim Lösen! Für die besten Löser gibt es am Ende der Veranstaltung im Februar 2006 Buchpreise zu gewinnen. Der nächste Mathe-Samstag findet am statt. 17. Dezember 2005, 9 12 Uhr Die Mathe-Samstage im Internet: dobro/sam.html

5 Graphen und Polyeder

5 Graphen und Polyeder 5 Graphen und Polyeder 5.1 Graphen und Eulersche Polyederformel Ein Graph besteht aus einer Knotenmenge V (engl. vertex) und einer Kantenmenge E (engl. edge). Anschaulich verbindet eine Kante zwei Knoten,

Mehr

Beweis der Existenz von genau 5 platonischen Körpern anhand der Eulerschen Polyederformel

Beweis der Existenz von genau 5 platonischen Körpern anhand der Eulerschen Polyederformel Platonische Körper.nb 1 Beweis der xistenz von genau 5 platonischen Körpern anhand der ulerschen Polyederformel Daniel Bauernfeind, 0355507 Dietmar Kerbl, 0355750 Dodekaeder Tetraeder Ikosaeder Würfel

Mehr

Fußbälle, platonische und archimedische Körper

Fußbälle, platonische und archimedische Körper Fußbälle, platonische und archimedische Körper Prof. Dr. Wolfram Koepf http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf Was ist ein Fußball? Sepp Herberger: Der Ball ist rund. Ist also ein Fußball eine Kugel?

Mehr

Eulerscher Polyedersatz

Eulerscher Polyedersatz Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Eulerscher Polyedersatz Beweis durch planare Graphen und Anwendung auf platonische Körper Die oben abgebildete Briefmarke wurde

Mehr

Eulerscher Polyedersatz

Eulerscher Polyedersatz Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Eulerscher Polyedersatz Beweis durch planare Graphen und Anwendung auf platonische Körper Die oben abgebildete Briefmarke wurde

Mehr

3 Die natürlichen Zahlen. Themen: Vollständige Induktion Varianten des Induktionsprinzips Induktion über den rekursiven Aufbau Die ganzen Zahlen

3 Die natürlichen Zahlen. Themen: Vollständige Induktion Varianten des Induktionsprinzips Induktion über den rekursiven Aufbau Die ganzen Zahlen 3 Die natürlichen Zahlen Themen: Vollständige Induktion Varianten des Induktionsprinzips Induktion über den rekursiven Aufbau Die ganzen Zahlen Die natürlichen Zahlen Æ = {1, 2, 3,...}. sind die natürlichen

Mehr

11: Die Euler sche Polyederformel für planare Graphen

11: Die Euler sche Polyederformel für planare Graphen Chr.Nelius: Graphentheorie (WS 2016/17) 38 11: Die Euler sche Polyederformel für planare Graphen (11.1) BEM: a) Ein Polyeder (auch Vielflach oder Vielflächner) ist ein geometrischer Körper, der nur von

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: convex.tex,v /10/22 15:58:28 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: convex.tex,v /10/22 15:58:28 hk Exp $ $Id: convex.tex,v 1.12 2013/10/22 15:58:28 hk Exp $ 3 Konvexgeometrie 3.1 Konvexe Polyeder Wir hatten einen konvexen Polyeder P im R n als die konvexe Hülle von endlich vielen Punkten definiert, wobei

Mehr

Das Dodekaeder. 1 Grundlagen: Das regelmäßige Fünfeck

Das Dodekaeder. 1 Grundlagen: Das regelmäßige Fünfeck Das Dodekaeder Walter Fendt. Februar 005 1 Grundlagen: Das regelmäßige Fünfeck Satz 1 Für ein regelmäßiges Fünfeck mit Seitenlänge a gelten folgende Formeln: Höhe h = a 5 + 5 Umkreisradius r = a 10(5 +

Mehr

Das Ikosaeder. 1 Grundlagen: Das gleichseitige Dreieck

Das Ikosaeder. 1 Grundlagen: Das gleichseitige Dreieck Das Ikosaeder Walter Fendt 27. Februar 2005 1 Grundlagen: Das gleichseitige Dreieck Satz 1 Für ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge a gelten folgende Formeln: Höhe h = a 3 2 Umkreisradius r = a 3

Mehr

Platonische Körper oder das Geheimnis der A5. Peter Maaß, Uttendorf 2005

Platonische Körper oder das Geheimnis der A5. Peter Maaß, Uttendorf 2005 Platonische Körper oder das Geheimnis der A5 Peter Maaß, Uttendorf 2005 Konstruktion platonischer Körper Symmetriegruppen der platonischen Körper Die Primzahlen der Gruppentheorie Das Geheimnis der A5

Mehr

Der Eulersche Polyedersatz

Der Eulersche Polyedersatz Der Eulersche Polyedersatz Def Die Anzahl der k Seiten eines konvexen Polytops P bezeichnen wir mit f k (P) oder kurz mit f k. Das n Tupel (f 0,f 1,...,f n 1 ) Z n heißt dann der f Vektor des (n dimensionalen)

Mehr

Körper zum Selberbauen Polydron

Körper zum Selberbauen Polydron Körper zum Selberbauen Polydron Was versteht man unter Polydron? Polydron ist ein von Edward Harvey erfundenes intelligentes Spielzeug, mit dem man verschiedene geometrische Figuren bauen kann. Es ist

Mehr

Polyeder und Platonische Körper

Polyeder und Platonische Körper Polyeder und Platonische Körper Ausarbeitung zum 30.11.2016 Linus Leopold Boes Matrikelnummer: 2446248 Algorithmen für planare Graphen Institut für Informatik HHU Düsseldorf Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung

Mehr

Platonische Körper sind regelmäßige Polyeder, die die folgenden Bedingungen erfüllen:

Platonische Körper sind regelmäßige Polyeder, die die folgenden Bedingungen erfüllen: Kapitel 8 Platonische Körper Platonische Körper sind regelmäßige Polyeder, die die folgenden Bedingungen erfüllen: Die Begrenzungsflächen sind regelmäßige Vielecke, die untereinander kongruent sind An

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: convex.tex,v /05/13 14:42:55 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: convex.tex,v /05/13 14:42:55 hk Exp $ $Id: convex.tex,v.28 206/05/3 4:42:55 hk Exp $ 3 Konvexgeometrie 3. Konvexe Polyeder In der letzten Sitzung haben wir begonnen uns mit konvexen Polyedern zu befassen, diese sind die Verallgemeinerung der

Mehr

Eulerscher Polyedersatz

Eulerscher Polyedersatz Eigenschaften als reguläre Parkettierungen der Sphäre Seien E die der Ecken, F die der Flächen und K die der Kanten eines konvexen Polyeders, dann gilt: K E = F 2 als reguläre Parkettierungen der Sphäre

Mehr

REGULÄRE UND SEMIREGULÄRE POLYTOPE

REGULÄRE UND SEMIREGULÄRE POLYTOPE REGULÄRE UND SEMIREGULÄRE POLYTOPE regulare und semireguläre polytope ANDREAS PAFFENHOLZ FU Berlin Germany Eulersche Polyederformel Theorem Für ein Polytop mit Ecken Eulersche Polyederformel Kanten und

Mehr

Von den Kanten von Gewicht 4 wird nur noch eine ausgewählt, die zu dem letzten nicht ausgewählten Knoten führt: 1. Juni

Von den Kanten von Gewicht 4 wird nur noch eine ausgewählt, die zu dem letzten nicht ausgewählten Knoten führt: 1. Juni CHAPTER. GRAPHEN.. B Ä UME.. Bäume Ein schlichter Graph ohne Kreise heisst Wald, ist er noch zusätzlich zusammenhängend so wird er Baum genannt. Bevor wir Bäume genauer beschreiben ein kleines LEMMA...

Mehr

Liegt eine Kante k auf einem Zyklus Z, so liegt k auf dem Rand genau zweier

Liegt eine Kante k auf einem Zyklus Z, so liegt k auf dem Rand genau zweier 4 Planare Graphen Bisher wurden Graphen abstrakt durch Mengen E und K und eine Abbildung ψ : K P(E) definiert. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit einem Abschnitt der sogenannten topologischen Graphentheorie.

Mehr

GRUPPENTHEORIE AUFGABEN ZUR PRÜFUNGSVORBEREITUNG II

GRUPPENTHEORIE AUFGABEN ZUR PRÜFUNGSVORBEREITUNG II Universität Bielefeld WS 2012/13 GRUPPENTHEORIE AUFGABEN ZUR PRÜFUNGSVORBEREITUNG II DR. PHILIPP LAMPE Rat sucht man deshalb, weil man die einzige Lösung kennt, aber nichts davon wissen will. Erica Jong

Mehr

= n (n 1) 2 dies beruht auf der Auswahl einer zweielementigen Teilmenge aus V = n. Als Folge ergibt sich, dass ein einfacher Graph maximal ( n E = 2

= n (n 1) 2 dies beruht auf der Auswahl einer zweielementigen Teilmenge aus V = n. Als Folge ergibt sich, dass ein einfacher Graph maximal ( n E = 2 1 Graphen Definition: Ein Graph G = (V,E) setzt sich aus einer Knotenmenge V und einer (Multi)Menge E V V, die als Kantenmenge bezeichnet wird, zusammen. Falls E symmetrisch ist, d.h.( u,v V)[(u,v) E (v,u)

Mehr

Elementargeometrie. Prof. Dr. Andreas Meister SS digital von: Frank Lieberknecht

Elementargeometrie. Prof. Dr. Andreas Meister SS digital von: Frank Lieberknecht Prof. Dr. Andreas Meister SS 2004 digital von: Frank Lieberknecht Geplanter Vorlesungsverlauf...1 Graphentheorie...1 Beispiel 1.1: (Königsberger Brückenproblem)... 1 Beispiel 1.2: (GEW - Problem)... 2

Mehr

Einfache Parkettierungen

Einfache Parkettierungen Einfache Definitionen: Unter einer Parkettierung (auch Pflasterung oder Parkett genannt) verstehen wir eine überlappungsfreie Überdeckung der Ebene durch Polygone. Ein Polygon (auch Vieleck oder n-eck

Mehr

Polyeder, Konvexität, Platonische und archimedische Körper

Polyeder, Konvexität, Platonische und archimedische Körper Unter einem Polyeder verstehen wir einen zusammenhängenden Teil des dreidimensionalen Raumes der durch Polygone begrenzt wird. Seine Oberfläche besteht also aus Punkten (Ecken genannt), Strecken (Kanten

Mehr

2 Rationale und reelle Zahlen

2 Rationale und reelle Zahlen 2 reelle Es gibt Mathematik mit Grenzwert (Analysis) und Mathematik ohne Grenzwert (z.b Algebra). Grenzwerte existieren sicher nur dann, wenn der Zahlbereich vollständig ist, also keine Lücken aufweist

Mehr

Fußbälle, platonische und archimedische Körper

Fußbälle, platonische und archimedische Körper Fußbälle, platonische und archimedische Körper Prof. Dr. Wolfram Koepf http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf Was ist ein Fußball? Sepp Herberger: Der Ball ist rund. Ist also ein Fußball eine Kugel?

Mehr

Aus dem binomischen Lehrsatz ergeben sich sofort interessante Beziehungen zwischen den Binomialkoeffizienten.

Aus dem binomischen Lehrsatz ergeben sich sofort interessante Beziehungen zwischen den Binomialkoeffizienten. 11 Aussagen, Beweise, vollständige Induktion 13 Aus dem binomischen Lehrsatz ergeben sich sofort interessante Beziehungen zwischen den Binomialkoeffizienten 114 Folgerung n ( ) n = (1+1) n = 2 n und k

Mehr

Über die regelmäßigen Platonischen Körper

Über die regelmäßigen Platonischen Körper Hermann König, Mathematisches Seminar Studieninformationstage an der Universität Kiel Über die regelmäßigen Platonischen Körper Winkelsumme im n-eck Zerlegung eines ebenen n-ecks in (n-2) Dreiecke, oben

Mehr

Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs. 09.02. Klausur (08-10 Uhr Audimax, HS 1)

Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs. 09.02. Klausur (08-10 Uhr Audimax, HS 1) Vorlesungsübersicht Wintersemester 2015/16 Di 08-10 Audimax Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier

Mehr

Graphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung.

Graphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung. Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 14. November 2007 1 / 22 2 / 22 Gliederung eulersche und semi-eulersche Graphen Charakterisierung eulerscher Graphen Berechnung eines

Mehr

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken

Mehr

1 Platonische Körper 1

1 Platonische Körper 1 1 Platonische Körper 1 1 Platonische Körper Das Oktaeder gehört zu den fünf platonischen Körpern die alle aus kongruenten Seiten- ächen aufgebaut sind. Es sollen daher in einem kurzen Abschnitt alle fünf

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr

Drei Anwendungen der Eulerschen Polyederformel

Drei Anwendungen der Eulerschen Polyederformel Drei Anwendungen der Eulerschen Polyederformel Seminar aus Reiner Mathematik Viktoria Weißensteiner 04. Dezember 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Vorbereitende Theorie 3 2.1 ebene Graphen..........................

Mehr

6. Planare Graphen und Färbungen

6. Planare Graphen und Färbungen 6. Planare Graphen und Färbungen Lernziele: Den Begriff der Planarität verstehen und erläutern können, wichtige Eigenschaften von planaren Graphen kennen und praktisch einsetzen können, die Anzahl von

Mehr

8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R

8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R 8 Konvergenzkriterien und Häufungswerte von Folgen in R 8.1 Konvergenz monotoner Folgen 8.2 Die Zahl e 8.3 Existenz monotoner Teilfolgen 8.4 Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß 8.5 Konvergenzkriterium

Mehr

Beweise und Widerlegungen

Beweise und Widerlegungen Beweise und Widerlegungen Alberto Abbondandolo Ruhr-Universität Bochum Tag der offenen Tür 2015 Einige Polyeder Einige Polyeder V = 4, S = 6, F = 4 V = 8, S = 12, F = 6 Einige Polyeder V = 4, S = 6, F

Mehr

Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen):

Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen): Prof. aa Dr. E. Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen SS14 F. Corzilius, S. Schupp, T. Ströder Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen): a) Geben Sie die Reihenfolge an, in der die Knoten besucht werden, wenn

Mehr

Ein Turnierplan mit fünf Runden

Ein Turnierplan mit fünf Runden Mathematik I für Informatiker Graphen p. 1 Ein Turnierplan mit fünf Runden c b a c b a c b a c b a c b a d e d e d e d e d e Mathematik I für Informatiker Graphen p. 2 Definition: Graph Ein (schlichter)

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. äume / Graphen. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/6, Folie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI

Mehr

16. Platonische Körper kombinatorisch

16. Platonische Körper kombinatorisch 16. Platonische Körper kombinatorisch Ein Würfel zeigt uns, daß es Polyeder gibt, wo in jeder Ecke gleich viele Kanten zusammenlaufen, und jede Fläche von gleich vielen Kanten berandet wird. Das Tetraeder

Mehr

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

Bernd Döring. Wege, Plätten, Färben. Vom Problem zur Theorie der Graphen

Bernd Döring. Wege, Plätten, Färben. Vom Problem zur Theorie der Graphen Bernd Döring Wege, Plätten, Färben Vom Problem zur Theorie der Graphen Bernd Döring, 2002-2005 Bernd Döring Johannes-Althusius-Gymnasium Früchteburger Weg 28 26721 Emden - 2 - Inhaltsverzeichnis 0. Einleitung

Mehr

Körper kennen lernen Station 1

Körper kennen lernen Station 1 Körper kennen lernen Station 1 Aufgabe 1.1) Der kleine Lars hat mit Bauklötzen eine Stadt nachgebaut. Welche Teile (geometrische Körper) hat er dabei verwendet? Fertigt eine Liste an. Aufgabe 1.2) Viele

Mehr

Der Fünffarbensatz Proseminar: Graphentheorie Sommersemester 2006 Isa Topac, Markus Kunder, Tim Hahn

Der Fünffarbensatz Proseminar: Graphentheorie Sommersemester 2006 Isa Topac, Markus Kunder, Tim Hahn Der Fünffarbensatz Proseminar: Graphentheorie Sommersemester 2006 Isa Topac, Markus Kunder, Tim Hahn 1. Geschichte - Frage kommt Mitte des 19 Jahrhunderts auf Wie viele Farben benötigt man um eine Karte

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Bäume)

Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Bäume) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Bäume) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

Vierter Zirkelbrief: Invarianten. 2 Der Satz von Euler 4 2.1 Kurze Einführung in Graphen... 4 2.2 Der Beweis des Eulerschen Polyedersatzes...

Vierter Zirkelbrief: Invarianten. 2 Der Satz von Euler 4 2.1 Kurze Einführung in Graphen... 4 2.2 Der Beweis des Eulerschen Polyedersatzes... Matheschülerzirkel Universität Augsburg Schuljahr 2014/2015 Vierter Zirkelbrief: Invarianten Inhaltsverzeichnis 1 Erste Beispiele 1 2 Der Satz von Euler 4 2.1 Kurze Einführung in Graphen.........................

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Formale Grundlagen. bis , Lösungen. 1. Beweisen Sie, daß die Summe aller Grade der Knoten stets gerade ist.

Formale Grundlagen. bis , Lösungen. 1. Beweisen Sie, daß die Summe aller Grade der Knoten stets gerade ist. Formale Grundlagen 4. Übungsaufgaben bis 2011-06-03, Lösungen 1. Beweisen Sie, daß die Summe aller Grade der Knoten stets gerade ist. 2. Finden Sie einen Eulerschen Weg im Briefumschlag, d.h. in: { ((1,

Mehr

3 Planare Graphen die Eulersche Polyederformel

3 Planare Graphen die Eulersche Polyederformel 3 Planare Graphen die Eulersche Polyederformel Planare Graphen sind solche Graphen, die sich ohne Überkreuzungen von Kanten in eine Ebene zeichnen lassen. Wir nehmen hierbei an, dass die Knoten als Punkte

Mehr

Kapitel 3. Kapitel 3 Graphentheorie

Kapitel 3. Kapitel 3 Graphentheorie Graphentheorie Inhalt 3.1 3.1 Grundlagen 3.2 3.2 Das Das Königsberger Brückenproblem 3.3 3.3 Bäume 3.4. 3.4. Planare Graphen 3.5 3.5 Färbungen Seite 2 3.1 Grundlagen Definition. Ein Ein Graph besteht aus

Mehr

André Krischke Helge Röpcke. Graphen und Netzwerktheorie Grundlagen Methoden Anwendungen

André Krischke Helge Röpcke. Graphen und Netzwerktheorie Grundlagen Methoden Anwendungen André Krischke Helge Röpcke Graphen und Netzwerktheorie Grundlagen Methoden Anwendungen 8 Grundbegriffe der Graphentheorie für die Kante, die die beiden Knoten und verbindet. Der linke Graph in Bild. kann

Mehr

Graphentheorie Graphentheorie. Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke

Graphentheorie Graphentheorie. Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke Graphen Graphentheorie Graphentheorie Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke 2 Was ist ein Graph? Ein Graph ist in der Graphentheorie eine abstrakte Struktur,

Mehr

Definition : Diechromatische Zahl eines Graphen G ist die kleinste Anzahl chromatische Zahl von Farben für eine zulässige Färbung.

Definition : Diechromatische Zahl eines Graphen G ist die kleinste Anzahl chromatische Zahl von Farben für eine zulässige Färbung. 4 Definition : Eine zulässige Färbung ist eine Färbung der Knoten des ( un- zulässige Färbung gerichteten ) Graphen, so daß je zwei adjazente Knoten verschiedene Farben haben. Trivial ist, daß n verschiedene

Mehr

1 Mengen und Aussagen

1 Mengen und Aussagen Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag 01.11 $Id: mengen.tex,v 1.4 010/11/01 14:19:48 hk Exp $ $Id: beweise.tex,v 1.3 010/11/05 06:40:11 hk Exp $ 1 Mengen und Aussagen Wir haben jetzt Allaussagen

Mehr

Diskrete Mathematik. Hamiltonsche Graphen Teil I. Karina Arndt

Diskrete Mathematik. Hamiltonsche Graphen Teil I. Karina Arndt Diskrete Mathematik Hamiltonsche Graphen Teil I Karina Arndt 21.06.2006 Übersicht Einleitung Hamiltonsch und eulersch Hamiltonsche Kreise Hamiltonsche Graphen neu zeichnen Kreise und Wege Reguläre Graphen

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 3. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Algorithmen für Graphen Fragestellungen: Suche

Mehr

MaLa A.Pruchnewski...Klasse 9/10...1

MaLa A.Pruchnewski...Klasse 9/10...1 MaLa - 008...............A.Pruchnewski...............Klasse 9/10...............1 Graphentheorie Sei G = (V, E) ein Graph mit der Knotenmenge V und der Kantenmenge E. Der Knotengrad d(v) eines Knoten v

Mehr

Graphen. Graphen und ihre Darstellungen

Graphen. Graphen und ihre Darstellungen Graphen Graphen und ihre Darstellungen Ein Graph beschreibt Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge von Objekten. Die Objekte werden als Knoten des Graphen bezeichnet; besteht zwischen zwei Knoten

Mehr

Körper- und Galoistheorie

Körper- und Galoistheorie Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2011 Körper- und Galoistheorie Vorlesung 23 Unter den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik versteht man (1) die Quadratur des Kreises, (2) die Dreiteilung

Mehr

Vier-Farbenproblem. (c) Ein etwas schwereres Beispiel...

Vier-Farbenproblem. (c) Ein etwas schwereres Beispiel... Vier-Farbenproblem Kann man jede Landkarte mit vier Farben färben, sodass keine aneindander angrenzenden Länder die gleiche Farbe haben? Versuchen Sie die Karte Deutschlands oder eines der anderen Bilder

Mehr

Sphärische Vielecke. Hans Walser

Sphärische Vielecke. Hans Walser Sphärische Vielecke Hans Walser Sphärische Vielecke ii Inhalt 1 Sphärische Vielecke...1 1.1 Sphärische Dreiecke...1 1.2 Sphärische Zweiecke...2 1.3 Der Flächeninhalt sphärischer Dreiecke...3 2 Regelmäßige

Mehr

Achilles und die Schildkröte Sommersemester 2008

Achilles und die Schildkröte Sommersemester 2008 Achilles und die Schildkröte Sommersemester 2008 Färbbarkeit planarer Graphen Alexander Damarowsky 20.05.2008 V6, 15.05.2008 Problemstellung /Ziel des Vortrags: Wie viele Farben werden benötigt, um jeden

Mehr

Flüsse in Netzwerken

Flüsse in Netzwerken Skript zum Seminar Flüsse in Netzwerken WS 2008/09 David Meier Inhaltsverzeichnis 1 Einführende Definitionen und Beispiele 3 2 Schnitte in Flussnetzwerken 12 2.1 Maximaler s t Fluss..........................

Mehr

Darstellung dreidimensionaler Figuren in der Ebene. Schrägbild

Darstellung dreidimensionaler Figuren in der Ebene. Schrägbild Mathematik Bl Darstellung dreidimensionaler Figuren in der Ebene Schrägbild Das Bild bei einer schrägen Parallelprojektion heisst Schrägbild und wird durch folgende Merkmale bestimmt: - Zur Zeichenebene

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar -

Algorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar - Algorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar - Dominic Rose Bioinformatics Group, University of Leipzig Sommersemster 2010 Outline 1. Übungsserie: 3 Aufgaben, insgesamt 30 28 Punkte A1 Spannbäume (10 8

Mehr

Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen

Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen Aufgabe 1: Es sei D die Menge aller rationalen Dedekind-Mengen, also D := { M 2 Q M is Dedekind-Menge }. Auf der Menge D definieren wir

Mehr

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza)

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza) WS 2013/14 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza) Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2013ws/ds/uebung/ 22. Januar 2014 ZÜ DS ZÜ XIII

Mehr

Vollständiger Graph. Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete).

Vollständiger Graph. Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete). Vollständiger Graph Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete). Mit K n wird der vollständige Graph mit n Knoten bezeichnet. Bemerkung

Mehr

Rechenregeln für Summen

Rechenregeln für Summen Rechenregeln für Summen Im Umgang mit Summen sind gewisse Regeln zu beachten. 1 Summe gleicher Summanden Betrachten wir folgende Summe: x Hier enthält x keinen Summationsindex, d.h. es wird x einfach n-mal

Mehr

Philipps-Universität Marburg Fachbereich 12: Mathematik und Informatik Platonische Körper

Philipps-Universität Marburg Fachbereich 12: Mathematik und Informatik Platonische Körper Philipps-Universität Marburg Fachbereich 12: Mathematik und Informatik PS: Klassische Probleme der Mathematik Leitung: Prof. Harald Upmeier, Benjamin Schwarz Referentin: Irina Kaiser WS 2009/2010 Platonische

Mehr

Grundlagen der Graphentheorie. Thomas Kamps 6. Oktober 2008

Grundlagen der Graphentheorie. Thomas Kamps 6. Oktober 2008 Grundlagen der Graphentheorie Thomas Kamps 6. Oktober 2008 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition von Graphen 3 2 Unabhängigkeit von Ecken und Kanten 3 3 Teil- und Untergraphen 4 4 Schnitt, Vereinigung und

Mehr

Wiederholung aus Diskreter Mathematik I: I: Graphentheorie

Wiederholung aus Diskreter Mathematik I: I: Graphentheorie Wiederholung aus Diskreter Mathematik I: I: Graphentheorie Inhalt: W.1 Grundlagen W.2 Das Königsberger Brückenproblem W.3 Bäume W.4 Planare Graphen W.5 Färbungen W.1 Grundlagen Ein Ein Graph besteht aus

Mehr

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen WS 2010/11 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2010ws/ds/uebung/ 2. Februar 2011 ZÜ DS ZÜ XIII 1. Übungsbetrieb:

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen)

Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen) WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15

Mehr

Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge. Wir bezeichnen die Potenzmenge

Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge. Wir bezeichnen die Potenzmenge 1 Mengensysteme Ein Mengensystem ist eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge und damit eine Teilmenge der Potenzmenge der Grundmenge. In diesem Kapitel untersuchen wir Mengensysteme, die unter bestimmten

Mehr

Tag der Mathematik 2013

Tag der Mathematik 2013 Tag der Mathematik 2013 Gruppenwettbewerb Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Taschenrechner sind nicht zugelassen. Teamnummer Die folgende

Mehr

II. Wissenschaftliche Argumentation

II. Wissenschaftliche Argumentation Gliederung I. Motivation II. Wissenschaftliche Argumentation i. Direkter Beweis ii. iii. Indirekter Beweis Beweis durch vollständige Induktion Seite 35 II. Wissenschaftliche Argumentation Ein Beweis ist

Mehr

Reguläre Polyeder. im Wissenschaftssommer Leipzig, 1. Juli

Reguläre Polyeder. im Wissenschaftssommer Leipzig, 1. Juli Reguläre Polyeder Vortrag von Dr. Hans-Gert Gräbe, apl. Professor für Informatik, Univ. Leipzig, und Leipziger Schülergesellschaft für Mathematik (LSGM) e.v. im Wissenschaftssommer Leipzig, 1. Juli 2008

Mehr

Mit Flächen bauen mit Flächen lernen

Mit Flächen bauen mit Flächen lernen Lernumgebung Material Quadratform 1 Die Hülle eines Würfels kann man aufschneiden und flach auf den Tisch legen. Hängen die Quadrate zusammen, nennt man das ein Netz oder eine Abwicklung. Würfel zu Aufgabe

Mehr

Graphen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

Graphen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden Graphen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Ein Turnierplan mit fünf Runden c d b e a c d b e a c d b e a c d b b c a a d e e Das Diagramm beschreibt

Mehr

Klasse 9b. Mathematische Überlegungen zum Fußball

Klasse 9b. Mathematische Überlegungen zum Fußball Klasse 9b Mathematische Überlegungen zum Fußball Was hat Mathe mit einem Fußball zu tun? Diese Frage beschäftigt nicht gerade viele Menschen, ausgenommen Mathelehrer und die Schüler der 9b. So zum Einstieg

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 11: Graphen Thomas Worsch Karlsruher Institut für Technologie, Fakultät für Informatik Wintersemester 2010/2011 1/59 Graphische Darstellung von Zusammenhängen schon

Mehr

Einheit 11 - Graphen

Einheit 11 - Graphen Einheit - Graphen Bevor wir in medias res (eigentlich heißt es medias in res) gehen, eine Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Notationen für Graphen. Graphen bestehen aus Knoten (vertex, vertices)

Mehr

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross / Mai Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Algebraisch abgeschlossener Körper) Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen,

Mehr

Daniel Platt Einführung in die Graphentheorie

Daniel Platt Einführung in die Graphentheorie Einführung in die Für die Mathematische Schülergesellschaft Leonhard Euler Humboldt Universität zu Berlin, Institut für Mathematik Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema. Das Skript entsteht

Mehr

6.3 Exakte Differentialgleichungen

6.3 Exakte Differentialgleichungen 6.3. EXAKTE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 23 6.3 Exakte Differentialgleichungen Andere Bezeichnungen: Pfaffsche Dgl., Dgl. für Kurvenscharen, Nullinien Pfaffscher Formen. 1. Definitionen Pfaffsche Dgl, Dgl.

Mehr

Minimal spannender Baum

Minimal spannender Baum Minimal spannender Baum 16 1 2 21 5 11 19 6 6 3 14 33 10 5 4 18 Die Kreise zeigen die vorgesehenen Standorte neu zu errichtender Filialen einer Bank. Entlang der bestehenden Straßen sollen Telefonleitungen

Mehr

Bäume und Wälder. Definition 1

Bäume und Wälder. Definition 1 Bäume und Wälder Definition 1 Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph. Ein Wald ist ein Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind. Ein Knoten v eines Baums mit Grad deg(v) = 1 heißt

Mehr

Übungen zu Kombinatorik und Graphentheorie

Übungen zu Kombinatorik und Graphentheorie Übungen zu Kombinatorik und Graphentheorie Ilse Fischer, SS 07 (1) (a) In einer Schachtel sind 4 rote, 2 blaue, 5 gelbe und 3 grüne Stifte. Wenn man die Stifte mit geschlossenen Augen zieht, wieviele muss

Mehr

Studientag zur Algorithmischen Mathematik

Studientag zur Algorithmischen Mathematik Studientag zur Algorithmischen Mathematik Eulertouren, 2-Zusammenhang, Bäume und Baumisomorphismen Winfried Hochstättler Diskrete Mathematik und Optimierung FernUniversität in Hagen 22. Mai 2011 Outline

Mehr

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 6: Graphentheorie

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 6: Graphentheorie Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 6: Graphentheorie Lang 6 Beutelspacher 8.1-8.5 Meinel 11 zur Vertiefung: Aigner 6, 7 (7.4: Algorithmus von Dijkstra) Matousek

Mehr

Diskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte) Hausaufgabe 2 (5 Punkte) Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt Januar 2008

Diskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte) Hausaufgabe 2 (5 Punkte) Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt Januar 2008 Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Informatik 15 Computergraphik & Visualisierung Prof. Dr. Rüdiger Westermann Dr. Werner Meixner Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt 9

Mehr

Fünf-Farben-Satz. Seminar aus reiner Mathematik, WS 13/14. Schweighofer Lukas, November Seite 1

Fünf-Farben-Satz. Seminar aus reiner Mathematik, WS 13/14. Schweighofer Lukas, November Seite 1 Der Fünf- Farben-Satz Seminar aus reiner Mathematik, WS 13/14 Schweighofer Lukas, November 2013 Seite 1 Inhaltsverzeichnis Vorwort...3 Graphentheoretische Grundlagen...4 Satz 2 (Eulerscher Polyedersatz)...7

Mehr

a 2 (a b)(a + b) h 1 := h, n N h n+1 := h h n. (2) Die Regeln für das Rechnen mit Potenzen übertragen sich dann weitgehend:

a 2 (a b)(a + b) h 1 := h, n N h n+1 := h h n. (2) Die Regeln für das Rechnen mit Potenzen übertragen sich dann weitgehend: 1.1.2 Symbolisches Rechnen Taschenrechner und mathematische Software wie Matlab arbeiten in der Regel numerisch, das heißt das Ergebnis eines Rechenausdrucks zum Beispiel der Form (1 1 4 ) 4 9 wird etwa

Mehr

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3.1 Das MIN- -TSP Wir kehren nochmal zurück zum Handlungsreisendenproblem für Inputs (w {i,j} ) 1 i

Mehr

2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten.

2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten. 2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten. Die Theorie der schwarzen Steinchen haben wir jetzt halbwegs vertanden. Statt mit schwarzen Steinen wie die Griechen, wollen wir jetzt mit schwarzen

Mehr

1.2. Teilbarkeit und Kongruenz

1.2. Teilbarkeit und Kongruenz 1.2. Teilbarkeit und Kongruenz Aus den Begriffen der Teilbarkeit bzw. Teilers ergeben sich die Begriffe Rest und Restklassen. Natürliche Zahlen, die sich nur durch sich selbst oder die 1 dividieren lassen,

Mehr

KAPITEL 6 GANZZAHLIGE OPTIMIERUNG UND VOLLSTÄNDIG UNIMODULARE MATRIZEN

KAPITEL 6 GANZZAHLIGE OPTIMIERUNG UND VOLLSTÄNDIG UNIMODULARE MATRIZEN KPITEL 6 GNZZHLIGE OPTIMIERUNG UND VOLLSTÄNDIG UNIMODULRE MTRIZEN F. VLLENTIN,. GUNDERT. Ganzzahlige lineare Programme Viele Optimierungsprobleme des Operations Research lassen sich als ganzzahlige lineare

Mehr