Die Mathematik hinter Siegwahrscheinlichkeiten

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1 Die Mathematik hinter Siegwahrscheinlichkeiten und Prognosen Matthias Ludwig, Goethe-Universität Frankfurt Die Mathematik hinter der Prognose kann man in drei Modelle unterteilen: a) Modell zur Berechnung der Siegwahrscheinlichkeiten bei einem einzelnen Spiel. b) Modell zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, das Achtelfinale zu erreichen. c) Modell zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten, um in der K.O.- Runde weiter zu kommen. Als mathematisches Rüstzeug wird Bruchrechnung und Prozentrechnung, das Bernoulliexperiment mit der Berechnung der Binomialverteilung, das Baumdiagramm mit seinen Pfadregeln, sowie das erstellen von Statistiken benötigt. All dies wird bis zum Ende der Sekundarstufe in der Schule behandelt. Wir bieten hier Unterrichtsmaterial für eine Modellierung im Mathematikunterricht zum Ende der Sekundarstufe an. a) Modell zur Berechnung der Siegwahrscheinlichkeiten bei einem einzelnen Spiel. Wie kann man die Siegchancen bei einem einzelnen Fußballspiel mit einfachen Mitteln bestimmen? Wir bestimmen derzeit die Siegwahrscheinlichkeit der Mannschaft A gegen Mannschaft B aus drei Faktoren: Historische Spielergebnisse (Hat Mannschaft A in der Vergangenheit gegen B gewonnen, verloren oder unentschieden gespielt?), historisches Torverhältnis (Wie viele Tore hat Team A gegen Team B geschossen bzw. sich eingefangen?) und die aktuellen FIFA-Punkte 1 von A und B. Jeder dieser drei Faktoren kann nach persönlichen Wünschen gewichtet werden. Die Grundeinstellung ist die Gleichgewichtung. Nun ist man in der Lage, durch eine entsprechende Modellierung für jede mögliche Mannschaftspaarung mit den entsprechenden Daten die Siegwahrscheinlichkeiten zu berechnen. Falls Mannschaften noch nie gegeneinander gespielt haben (wie z.b. die Elfenbeinküste gegen Kolumbien oder Griechenland in Gruppe C), so werden nur die FIFA-Punkte herangezogen. 1 Die FIFA-Punkte einer Nationalmannschaft werden aus den Siegen gegen andere Nationalmannschaften berechnet. Hierbei spielt es auch eine Rolle wie gut das andere Team ist und welchem Kontinentalverband diese angehört. Weitere Infos: de.wikipedia.org/wiki/fifa-weltrangliste

2 2 Historische Spielergebnisse Die bekannteste und beliebteste, wenn auch nicht gerade genauste Methode, ein Ergebnis bei einem Fußballspiel vorherzusagen, ist, historische Spielergebnisse heranzuziehen. Wir alle kennen das: wenn der Reporter sagt: Deutschland konnte seit 19 Jahren nicht mehr gegen Italien gewinnen, dann denken wir alle: oh je, das wird wohl wieder nichts. Aber eine Hoffnung haben wir doch. Bleiben wir beim Beispiel Deutschland- Italien: Es gab bisher 32 Begegnungen die von beiden Verbänden gezählt werden, davon hat Deutschland 7 gewonnen, 15 verloren und 10 Mal unentschieden gespielt. Es lässt daraus sehr einfach eine Siegwahrscheinlichkeit für Deutschland berechnen P(DgI)=7/32= 21,9%. Dabei bedeutet P(DgI) die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses: Deutschland gewinnt gegen Italien) Ein Unentschieden wird es zu P(DuI)= 10/32 = 31,3% geben. Die Wahrscheinlichkeit, dass Deutschland verliert beträgt P(DvI)= 15/32=46,9%. Dass dieses Modell nicht besonders weit trägt, merkt man, wenn man z.b. die historischen Ergebnisse zwischen Deutschland und USA betrachtet. Hier gibt es sechs Siege für Deutschland, drei für USA und kein Unentschieden. Die Wahrscheinlichkeit für ein Unentschieden bei diesem dieses Modell wäre also bei 0%, was keine gute Prognose wäre. Man muss also noch andere Daten heran ziehen. Eine weitere Datenquelle für Prognosen wäre das Torverhältnis der beiden Mannschaften. Bei Deutschland gegen die USA ist das Verhältnis derzeit 21:15 bei 9 Spielen. Mit 4 Toren pro Spiel liegt die Toranzahl pro Spiel deutlich über dem Durchschnitt. Ein Unentschieden wäre in dieser Begegnung mit 19% zwar unwahrscheinlicher als im Durchschnitt aber doch möglich. Wie man die Wahrscheinlichkeit für ein Unentschieden berechnen kann, beschreibt der nächste Abschnitt. Historisches Torverhältnis Entscheidend für diesen Ansatz ist, dass wir annehmen, dass der Endstand nach einem Fußballspiel das Ergebnis eines zufälligen Prozesses ist. Diese Annahme, so unsinnig sie zunächst erscheinen mag, basiert auf den wöchentlichen Erfahrungen, die in den verschiedensten Ligen gesammelt werden. Bei mehr als der Hälfte aller Tore ist absoluter Zufall entscheidend. Da geht ein Ball beim ersten Schuss an den Pfosten, beim nächsten Mal wird er abgefälscht und fliegt deshalb in die Maschen, beim dritten Mal wird ein korrektes Tor wegen vermeintlichen Abseits nicht gegeben, beim vierten Fall führt eine Schwalbe im Strafraum zu einem unberechtigten Elfmetertor. Es gibt zahlreiche Beispiele, bei denen der Zufall über ein Tor und somit über Sieg oder Niederlage entscheidet. Allerdings ist das Glück oder das Pech nicht gleich verteilt. Oder sagen wir es so: manchmal ist eben Pech auch Unvermögen. Wie kann man das mathematisch fassen?

3 3 Berechnung der Siegwahrscheinlichkeiten aus der durchschnittlichen Toranzahl pro Spiel Die Fakten Betrachten wir zunächst den Fall, dass alle Mannschaften gleich gut sind. In einem durchschnittlichen Bundesligaspiel wird von jeder Mannschaft knapp 10 Mal aufs Tor bzw. in Richtung Tor geschossen. Etwas mehr als 3 Treffer pro Spiel ist derzeit die Regel. Legt man die exakten Daten aus der 1. Bundesliga zu Grunde, so hat man derzeit eine durchschnittliche Torquote von 16%, das bedeutet also, dass knapp jeder sechste Schuss im Tor landet. Unsere Modellbildung Wir basteln uns aus diesen Daten ein Zufallsexperiment. Dafür nehmen wir einen fairen Würfel und markieren eine Seitenfläche als Ergebnis Tor. Somit liegt die Wahrscheinlichkeit für ein Tor bei. Ein Würfelwurf soll bei unserem Experiment einen Torschuss ersetzen. Fällt bei einem Wurf die Seite Tor, so hat man ein Tor erzielt. Man kann nun mit einem Würfel und einem Gegner ein Bundesligaspiel ausspielen. Jeder darf 10 Mal werfen. Wer die meisten Tore geworfen hat, hat gewonnen. Wir dürfen im Mittel etwas mehr als 3 Tore pro Spiel erwarten. Der Erwartungswert E bei unserem einfachen Modell liegt bei 20/6 also knapp über 3. Wie groß ist in diesem Falle die Wahrscheinlichkeit, dass einer von beiden gewinnt? Oder dass das Spiel Unentschieden ausgeht? Um diese Fragen zu entscheiden, berechnen wir zunächst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Mannschaft eine bestimmte Anzahl von Toren schießt. Beginnen wir mit 0 Treffern. Jeder der 10 Schüsse einer Mannschaft geht mit einer Wahrscheinlichkeit von nicht ins Tor. Wir erhalten daher für Mannschaft A ( ) ( ) 0,1615. Für die andere Mannschaft B erhalten wir, da wir annehmen dass sie gleich stark ist wie Mannschaft A, die gleiche Null-Tor-Wahrscheinlichkeit. Bei einem Treffer muss man anders rechnen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer liegt bei 1/6. Neun mal trifft das Team A mit einer Wahrscheinlichkeit von 5/6 nicht. Im Laufe des Spiels hat die Mannschaft A genau 10 Möglichkeiten, dieses eine Tor zu schießen. ( ) ( ) ( ) 0,323. Bei zwei Treffern muss man sich überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei Treffer auf 10 Schüsse zu verteilen. Das kann ja ganz am Anfang des Spiels passieren oder zwischendurch oder auch ein Treffer in der Mitte und der letzte am Ende. Für den ersten Treffer hat

4 4 man noch 10 Möglichkeiten, beim Zweiten sind es nur noch 9 Möglichkeiten. Also 90 Möglichkeiten. Da ich die beiden Treffer noch untereinander vertauschen kann, muss man das Ergebnis noch halbieren. ( ) ( ) ( ) 0,291 Setzen wir eine Trefferwahrscheinlichkeit p voraus, so erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit P, bei n Schüssen k Tore zu erzielen: ( ) ( ) ( ). Mit Hilfe dieser Formel lassen sich nun leicht alle Toranzahlwahrscheinlichkeiten P(n,k,p) für eine Mannschaft berechnen. Tabelle 1: Die Wahrscheinlichkeiten k Treffer zu erzielen, sowie ein k:k zu erzielen n=10 Mannschaft A Mannschaft B Spielergebnis Wahrscheinlichkeit p A =, P(10,k, ) p B =, P(10,k, ) P(9,k,,) P(9,k,,) k=0 0, , :0 0, k=1 0, , :1 0, , , :2 0, , , :3 0, , , :4 0, , , :5 0, , , :6 0, , , : ,8605E-05 1,8605E-05 8: ,2691E-07 8,2691E-07 9: ,6538E-08 1,6538E-08 10:10 0 Summe 100% 100% 24,2% Ein Spiel geht unentschieden aus, wenn man genauso viele Tore geschossen, bzw. in unserm Fall gewürfelt, hat wie der Gegner. Berechnen wir die Chancen für ein 0:0. Das bedeutet, dass keine der beiden Mannschaften ein Tor erzielt. Die Wahrscheinlichkeit für das Spielergebnis 0:0 ist dann P A(0) P B(0) also 2,6% (siehe Tab 1.). Nun müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Unentschieden (1:1, 2:2, usw.) aufsummieren um die gesamte Wahrscheinlichkeit für ein Unentschieden zu erhalten. Wir erhalten für P(A spielt unentschieden gegen B)= P(AuB)=24,2%. Da beide Mannschaften gleich stark sind, erhalten wir für den Sieg einer der beiden Mannschaften P(A gewinnt gegen B)= P(AgB)= (100%-24,2%)/2=37,9%.

5 5 Verschieden starke Mannschaften Kommen wir nun zu dem interessanteren Fall, bei dem die beiden Mannschaften unterschiedlich stark sind. Für unser einfaches Modell nehmen wir diesmal von jeder Mannschaft an, dass sie 9 Mal auf das gegnerische Tor schießt. Allerdings sind die Erfolgsquoten unterschiedlich hoch. Unsere beiden Mannschaften A und B haben bisher 10-mal gegeneinander gespielt. Mannschaft A hat dabei 20 Tore erzielt, Team B nur 10 Tore. Das bedeutet also, dass Team A durchschnittlich 2 Mal pro Spiel gegen Mannschaft B trifft, Mannschaft B dagegen nur einmal pro Spiel gegen Team A. Übertragen auf unser Bernoulliexperiment bedeutet das: Die Trefferwahrscheinlichkeit für Team A beträgt p A=2/9 und für Team B p B=1/9. Wir erhalten dann für die Torwahrscheinlichkeiten pro Spiel folgende Tabelle 2. Tabelle 2: Wahrscheinlichkeit bei verschiedenen Trefferhäufigkeiten, ein k:k zu erzielen n=9 Mannschaft A Mannschaft B Spielergebnis Wahrscheinlichkeit p A=, P(9,k, ) p B=, P(9,k, ) P(9,k, ) P(9,k, ) k=0 0, , :0 3,61% k=1 0, , :1 10,44% 2 0, , :2 5,97% 3 0, , :3 1,16% 4 0, , :4 0,09% 5 0, , :5 0,00% 6 0, , :6 0,00% 7 0, ,947E-06 7:7 0,00% 8 4,1629E-05 1,8584E-07 8:8 0,00% 9 1,3216E-06 2,5812E-09 9:9 0,00% Summe 100% 100% 21,27% Wir stellen fest, dass auch bei sehr unterschiedlich starken Mannschaften ein Unentschieden bei gut jedem fünften Spiel vorliegt. Zum Vergleich: Auch in der Bundesliga liegt die Häufigkeit eines Unentschieden bei guten 20%. Wir haben aber noch keine Information darüber, wie hoch die Siegwahrscheinlichkeit von Mannschaft A oder B ist. Dass auch B gewinnen kann, ist klar. Denn die Wahrscheinlichkeit, dass B mindestens ein Tor schießt, liegt bei 1-0,347= 65,3%, die Wahrscheinlichkeit, dass dabei gleichzeitig Team A kein Tor schießt, liegt bei 10,4%. Also gilt P(BgA)= P B(X>0) P A(X=0) =6,8%. In einer Tabelle (siehe Tab. 3) können nun die Wahrscheinlichkeiten für alle im Modell möglichen Spielergebnisse notiert werden.

6 6 Tabelle 3: Matrix der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse Team A Team B 0,1042 0,2678 0,3061 0,2041 0,0875 0,0250 0,0048 0,0006 0,0000 0, ,3464 3,61% 9,28% 10,60% 7,07% 3,03% 0,87% 0,16% 0,02% 0,00% 0,00% 1 0,3897 4,06% 10,44% 11,93% 7,95% 3,41% 0,97% 0,19% 0,02% 0,00% 0,00% 2 0,1949 2,03% 5,22% 5,97% 3,98% 1,70% 0,49% 0,09% 0,01% 0,00% 0,00% 3 0,0568 0,59% 1,52% 1,74% 1,16% 0,50% 0,14% 0,03% 0,00% 0,00% 0,00% 4 0,0107 0,11% 0,29% 0,33% 0,22% 0,09% 0,03% 0,01% 0,00% 0,00% 0,00% 5 0,0013 0,01% 0,04% 0,04% 0,03% 0,01% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 6 0,0001 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 7 0,0000 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 8 0,0000 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 9 0,0000 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% Die gelben Felder von Tabelle 3 zeigen die Wahrscheinlichkeiten der Spielergebnisse an, bei denen das Team A gewinnt. Zum Beispiel gewinnt Team A 2:1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 11,93%. Summiert man die Prozentzahlen der gelben Felder auf, so erhält man die Gewinnwahrscheinlichkeit für A. Die Summe der Prozentzahlen in den grünen Feldern ergibt die Gewinnwahrscheinlichkeit für Team B. Die Summe der Zahlen der roten Felder ergibt die Wahrscheinlichkeit für ein Unentschieden. In unserem Fall gewinnt Mannschaft A gegen Mannschaft B mit 62,5% P(AgB)=62,5%, für ein Unentschieden erhalten wir P(AuB)=21,3% und dafür, dass A gegen B verliert, erhalten wir P(AvB)=16,2%. In der Datenbank von fussballmathe.de sind alle Torverhältnisse für alle Spielpaarungen hinterlegt und somit können Siegwahrscheinlichkeiten aus den Torverhältnissen berechnet und verwendet werden. Einbeziehung der FIFA-Punkte Die FIFA führt eine Rangliste aller in der FIFA aufgenommenen Nationalverbände. Derzeit ( ) führt Spanien die Rangliste mit 1460 Punkten vor Deutschland mit 1314 Punkten an. Die Berechnung der Punkte basiert im Grunde auf der Anzahl der gewonnen Spiele. Die Spiele werden je nach Kontinentalverband entsprechend gewichtet. Ebenso zählen Spiele der jüngsten Vergangenheit mehr als Spiele die länger zurück liegen. Spiele die länger als 5 Jahre zurück liegen, werden gar nicht mehr verwendet. Für weitere Informationen siehe oder de.wikipedia.org/wiki/fifa-weltrangliste. Die FIFA-Punkte sollen somit die Spielstärke eines Nationalteams abbilden. Unsere Aufgabe ist es nun, die Fifa-Punkte in Torwahrscheinlichkeiten umzurechnen.

7 7 Klar ist, dass die Torwahrscheinlichkeit vom Gegner abhängt. Wir nehmen an, dass die Anzahl der geschossenen Tore wieder konstant 3 ist. also t A + t B=3 wobei t A die Anzahl der geschossenen Tore von Team A ist. Mit FP A und FP B bezeichnen wir die FIFA-Punktzahl der Teams A und B. Außerdem soll gelten, dass der Erwartungswert des Torverhältnisses t A/t B gleich dem Verhältnis der FIFA-Punkte der beiden Mannschaften ist. Dies ist eine vernünftige Annahme wenn man der FIFA-Rangliste glauben schenkt und andere Daten nicht hat. Außerdem wollen wir es so einfach wie möglich machen. Aus I t A + t B= 3 und II Folgt nach ein bisschen Algebra: und. Mit diesen Toranzahlen pro Spiel kann man dann wieder die Torwahrscheinlichkeiten p A und p B der Teams A und B bestimmen und mit der oben erwähnten Modellbildung die Siegwahrscheinlichkeiten berechnen. Eine Beispielrechnung zeigt für Deutschland gegen Ghana: FP D=1314; FP G= 733 daraus ergibt sich für t Deutschland= 1,92 und für t Ghana= 1,08. Daraus lassen sich dann mit dem obigen Modell die Siegwahrscheinlichkeiten auf Grundlage der FIFA-Punkte bestimmen. P(DvG)= 19%. Man erhält dabei: P(DgG)= 58,5%, P(DuG)=22,5% und Kombination der drei Faktoren Historische Ergebnisse, Torverhältnis und FIFA- Punkte. In unserem Modell kann nun der Nutzer selbst einstellen, wie stark die einzelnen Faktoren gewichtet werden sollen. In unserm Beispiel Deutschland gegen Ghana gab es bisher 2 Spiele, von denen Deutschland beide gewonnen hat. Das Torverhältnis liegt bei 7:1 für Deutschland. Die FIFA-Punkte lagen bei Redaktionsschluss bei FP D=1314 und FP G= 733. Tabelle 4: Notwendige Wahrscheinlichkeiten zur Berechnung der Siegwahrscheinlichkeit Faktor Historisch Faktor Torverhältnis Faktor FIFA-Punkte Gesamt P(DgG) 100% 94,3% 58,5% 78% P(PuG) 0,25 0 0,25 4,4% 0,5 22,5% 12% P(DvG) 0 1,2% 19% 10%

8 8 Nach unserem Modell und mit den oben angegeben Faktoren wird Deutschland zu 78% gewinnen, zu 12% unentschieden spielen und zu 10% verlieren.

9 9 b) Modell zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, das Achtelfinale zu erreichen Wer erreicht das Achtelfinale? Mit Hilfe von Siegwahrscheinlichkeiten einer Mannschaft (konkrete Berechnung siehe Teil a), werden die Chancen einer Mannschaft berechnet, Gruppensieger bzw. Gruppenzweiter zu werden. In der Gruppenphase spielt jedes Team einer Gruppe gegen jeden. Jede Mannschaft macht drei Spiele. Die maximal zu erreichende Punktzahl liegt mit drei Siegen bei 9 Punkten. Man kann mathematisch sicher nur sagen, dass man bei 9 und 7 Punkten im Achtelfinale ist und dass man mit weniger als 3 Punkten ausgeschieden ist. bei allen anderen Punktzahlen ist theoretisch beides möglich. An zwei Beispielen aus der WM-Geschichte soll dies deutlich werden. Gehen wir zur WM nach Frankreich In Gruppe B hatte Italien als Gruppenerster 7 Punkte und Chile holte als Gruppenzweiter 3 Punkte aus drei Unentschieden. Österreich und Kamerun sind mit jeweils 2 Punkten ausgeschieden. Als Beispiel vom anderen Ende sei die Weltmeisterschaft von 1994 angeführt, wo in zwei Gruppen (D und F) jeweils drei Mannschaften 6 Punkte hatten. Argentinien (Gruppe D) und Belgien (Gruppe F) waren jeweils mit 6 Punkten Gruppendritter und nach heutigem Spielmodus ausgeschieden. Aus der untenstehenden Tabelle kann man ablesen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man in der Vergangenheit mit welcher Punktzahl Gruppenerster oder Gruppenzweiter wurde oder ausgeschieden ist. Es wurden nur Ergebnisse seit 1994 berücksichtigt. da es seit der Weltmeisterschaft in den USA es drei Punkte für einen Sieg bei einer WM-Endrunde gibt. Es sei noch erwähnt, dass es bei dieser WM auch nur 24 Teilnehmer gab und somit die vier besten Gruppendritten weiter kamen. Dies ist in dieser Tabelle nicht berücksichtigt, da wir die Ergebnisse auf den heutigen Wettkampfmodus anwenden wollen. Tabelle 5: Relative Häufigkeiten mit den Punkten x das Achtelfinale zu erreichen Punkte x Gruppenerster 100% 92% 38% 23% 2% 0% 0% 0% 0% Gruppenzweiter 0% 8% 55% 73% 49% 3% 0% 0% 0% Ausgeschieden 0% 0% 7% 5% 49% 97% 100% 100% 100% Im zweiten Schritt muss man nun die Wahrscheinlichkeiten berechnen, mit der eine Mannschaft 9, 7, 6, oder 0 Punkte in der Gruppenphase erreicht. Für diese Berechnung hilft auch wieder ein dreistufiges Zufallsexperiment, da jede Mannschaft genau drei Spiele in der Gruppenphase abzuliefern hat. In jeder Stufe kann die Mannschaft gewinnen, verlieren, oder unentschieden spielen. An den Blättern des Baumes in der folgenden Abbildung kann man die Berechnung der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Punktzahlen ablesen.

10 10 Abbildung 1: Baumdiagramm zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit x Punkte in der Gruppenphase zu erreichen.

11 11 c) Modell zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten, in der K.O.- Runde weiter zu kommen Beispielrechnung für die Wahrscheinlichkeit eines Teams, das Viertelfinale zu erreichen Schulmathematik der Sekundarstufe reicht aus um dieses Problem zu modellieren, da man aber sehr viele Fälle betrachten muss, ist es relativ aufwändig. Der Trick der das Ganze übersichtlicher macht ist die Verwendung eines Baumdiagramms. Als Beispiel wollen wir hier einmal den Berechnungsterm für die Wahrscheinlichkeit ( ) herleiten mit der die Mannschaft A1 als Gruppenerster im Achtelfinale gewinnt und ins Viertelfinale einzieht. Dazu definieren wir ( ) := Wahrscheinlichkeit mit der das Team x aus Gruppe A Gruppenerster wird. ( ) := Wahrscheinlichkeit mit der das Team x aus Gruppe B Gruppenzweiter wird. ( ) :=Wahrscheinlichkeit dass Team T1 gegen Team T2 gewinnt. Team x aus Gruppe A muss, wenn es Gruppenerster wird, gegen den Gruppenzweiten aus Gruppe B spielen. Da wir nicht wissen, wer das ist, bestimmen wir für jedes Team aus Gruppe B die Wahrscheinlichkeit ( ) Gruppenzweiter zu werden. Zum Schluss muss man noch die Siegwahrscheinlichkeit eines Teams aus Gruppe A gegen Gruppe B betrachten also: ( ). Mathematisch betrachtet handelt es sich hierbei um ein dreistufiges Zufallsexperiment, bei dem auf der ersten Stufe entschieden wird, ob man Gruppenerster oder Gruppenzweiter wird oder ausscheidet. Auf der zweiten Stufe entscheidet sich, welchen Gegner (Gruppenzweiter) man erhält. Auf der dritten Stufe finden sich die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man das Spiel gewinnt oder verliert. Wobei die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel unentschieden ausgeht, zu gleichen Teilen auf die Siegwahrscheinlichkeiten der beiden Mannschaften aufgeteilt wird. Mit Hilfe der Pfadregeln und des Baumdiagramms (siehe Abb. 2) lassen sich nun die einzelnen Wahrscheinlichkeiten berechnen und aufsummieren. Es gilt dann für die Wahrscheinlichkeit, als Gruppenerster ins Viertelfinale einzuziehen: ( ) ( ) ( ) ( ) Die gesamte Wahrscheinlichkeit, mit der eine Mannschaft in das Viertelfinale einzieht, ist dann die Summe aus ( ) und ( ), also ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Für die weiteren Berechnungen (Einzug ins Halbfinale, Finale, Weltmeister) muss man aber immer unterscheiden, ob man als Gruppenerster weiter kommt oder als Gruppenzweiter.

12 12 Abbildung 2: Baumdiagramm zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit ins Achtelfinale einzuziehen. Wollen wir nun die Wahrscheinlichkeit bestimmen, ins Halbfinale vorzudringen, so wird man auch hier die Situation durch ein dreistufiges Zufallsexperiment modellieren. Stufe 1 ist ähnlich zum Achtelfinale. Auch Stufe 2 ist inhaltlich gleich, es geht darum, alle möglichen Gegner aufzulisten, gegen die man antreten könnte. Dies können aber diesmal schon acht verschiedene sein, nämlich alle möglichen Gruppenersten aus C und alle möglichen Gruppenzweiten aus Gruppe D. In der dritten Stufe wird wieder die Siegwahrscheinlichkeit von Team A1 gegen die anderen Teams einfließen. Nach dem gleichen Muster (dreistufiges Zufallsexperiment) wird die Wahrscheinlichkeit eines Nationalteams bestimmt, ins Finale einzuziehen oder Weltmeister zu werden.