Fibonaccizahlen. Auftreten in der Biologie. Bodo Werner. Department Mathematik Universität Hamburg

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1 Fibonaccizahlen Auftreten in der Biologie Department Mathematik Universität Hamburg

2 Fibonacci I Geschichte Leonardo da Pisa, genannt FIBONACCI (etwa ) Liber Abbici (1202): Indisch-arabische Ziffern

3 Fibonacci II Wieviel Nachkommen hat ein einzelnes Kaninchenpaar nach einem Jahr, wenn es nach einem Monat geschlechtsreif wird und jeden Monat ein Paar zur Welt bringt?

4 Die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Wie geht es weiter? 45, 89, 123,... Folge (F n ) F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = 1,..., F 9 = 34,... Bildungsgesetz: F n = F n 1 + F n 2, F 0 = 0, F 1 = 1. Formel von J. P. M. BINET ( ) F n = 1 (( ) n ( ) n ) 5, n = 0, 1, 2,... 2

5 Die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Wie geht es weiter? 45, 89, 123,... Folge (F n ) F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = 1,..., F 9 = 34,... Bildungsgesetz: F n = F n 1 + F n 2, F 0 = 0, F 1 = 1. Formel von J. P. M. BINET ( ) F n = 1 (( ) n ( ) n ) 5, n = 0, 1, 2,... 2

6 Die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Wie geht es weiter? 45, 89, 123,... Folge (F n ) F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = 1,..., F 9 = 34,... Bildungsgesetz: F n = F n 1 + F n 2, F 0 = 0, F 1 = 1. Formel von J. P. M. BINET ( ) F n = 1 (( ) n ( ) n ) 5, n = 0, 1, 2,... 2

7 Die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Wie geht es weiter? 45, 89, 123,... Folge (F n ) F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = 1,..., F 9 = 34,... Bildungsgesetz: F n = F n 1 + F n 2, F 0 = 0, F 1 = 1. Formel von J. P. M. BINET ( ) F n = 1 (( ) n ( ) n ) 5, n = 0, 1, 2,... 2

8 Die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Wie geht es weiter? 45, 89, 123,... Folge (F n ) F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = 1,..., F 9 = 34,... Bildungsgesetz: F n = F n 1 + F n 2, F 0 = 0, F 1 = 1. Formel von J. P. M. BINET ( ) F n = 1 (( ) n ( ) n ) 5, n = 0, 1, 2,... 2

9 Kaninchenvermehrung A I

10 Kaninchenvermehrung A II

11 Kaninchenvermehrung A III A n (J n ) := Anzahl der Alt- (Jung-)kaninchenpaare im n-ten Monat J n = A n 1, A n = A n 1 + J n 1 A n = A n 1 + A n Kaninchen nach einem Jahr!

12 Pflanzenwachstum A Achillea ptarmica Sumpf-Schafgarbe Erkennen Sie das Bildungsgesetz?

13 Pflanzenwachstum B Alttrieb: rot, Jungtrieb: weiß

14 X-Chromosom-Vererbung Wieviele Ahnen in der 6.ten Vorgeneration haben Einfluss auf das X-Chromosom eines Mannes? Eine Frau hat 2 X-Chromosome, die sie von Vater und Mutter erbt, ein Mann nur eines. Dies stammt von der Mutter.

15 X-Chromosom-Vererbung Wieviele Ahnen in der 6.ten Vorgeneration haben Einfluss auf das X-Chromosom eines Mannes? Eine Frau hat 2 X-Chromosome, die sie von Vater und Mutter erbt, ein Mann nur eines. Dies stammt von der Mutter.

16 Ziegelsteine

17 F-Rechtecke I

18 F-Rechtecke II

19 F-Rechtecke III

20 F-Rechtecke IV

21 F-Rechtecke V

22 F-Rechtecke VI

23 F-Rechtecke VII

24 Dame Halma I Kann man durch sukzessives Ziehen auf die letzte Linie gelangen?

25 Dame Halma II

26 Dame Halma III

27 Dame Halma IV

28 Dame Halma V

29 Dame Halma VI

30 Dame Halma VII

31 Dame Halma VIII

32 Dame Halma IX

33 Dame Halma X

34 Dame Halma XI

35 Dame Halma XII

36 Dame Halma XIII

37 Dame Halma XIV

38 Dame Halma XV

39 Dame Halma XVI

40 Blütenblätter I

41 Blütenblätter II

42 Blütenblätter III

43 Blütenblätter IV

44 Blütenblätter V

45 Blütenblätter VI

46 Kiefernzapfen I

47 Kiefernzapfen II

48 Kiefernzapfen III Anzahl der Spiralen sind Fibonacci-Zahlen!!!

49 Spiralmuster (Parastichen) I

50 Spiralmuster (Parastichen) II 55 links- und 34 rechtsdrehende Spiralen

51 Spiralmuster (Parastichen) III

52 Spiralmuster (Parastichen) IV

53 Goldener Schnitt: Definition

54 Goldener Schnitt Fortsetzung Kleine Goldene Schnittzahl ϕ = 1 ( ) 5 1 = ϕ = ϕ ϕ = ϕ

55 Goldener Schnitt Fortsetzung Kleine Goldene Schnittzahl ϕ = 1 ( ) 5 1 = ϕ = ϕ ϕ = ϕ

56 Goldener Schnitt Fortsetzung Kleine Goldene Schnittzahl ϕ = 1 ( ) 5 1 = ϕ = ϕ ϕ = ϕ

57 Goldener Schnitt Kettenbruch ϕ = ϕ ϕ =

58 Goldener Schnitt Kettenbruch ϕ = ϕ ϕ =

59 Allgemeiner Kettenbruch x = 1 1 a a 2 + a a j : Koeffizienten des Kettenbruchs a n +

60 Fibonaccizahlen Goldener Schnitt Nach n Bruchstrichen abgebrochener Kettenbruch: Konvergenten p n q n =

61 Fibonaccizahlen Kettenbruch von ϕ Rechnen Sie bitte!!! p 2 q 2 = 1 2, p 3 q 3 = 2 3, p 4 q 4 = 3 5,... p 5 q 5 = = 5 8

62 Fibonaccizahlen Kettenbruch von ϕ Rechnen Sie bitte!!! p 2 q 2 = 1 2, p 3 q 3 = 2 3, p 4 q 4 = 3 5,... p 5 q 5 = = 5 8

63 Fibonaccizahlen Kettenbruch von ϕ Alternative Berechnung p 5 = 1 q = 5 8 = F 4. F 5 5

64 Fibonaccizahlen Kettenbruch von ϕ Alternative Berechnung p 5 = 1 q = 5 8 = F 4. F 5 5

65 Theorem Für die Konvergenten von ϕ gilt p n q n = F n 1 F n. Beweis. F n 1 F n = F n 2 F n 1 Wir vergleichen: ϕ = , F 10 = 55 F = ,

66 Fibonaccizahlen Goldener Schnitt (Forts.) Theorem Die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen konvergieren gegen die kleine Goldene Schnittzahl. F n 1 lim = ϕ. n F n

67 Fibonaccizahlen Goldener Schnitt (Forts.) Theorem Die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen konvergieren gegen die kleine Goldene Schnittzahl. F n 1 lim = ϕ. n F n

68 Irrationalität der Goldenen Schnittzahl I Eine rationale (positive) Zahl ist ein Bruch p q mit natürlichen Zahlen p und q. Ein endlicher oder periodischer Dezimalbruch. Ein endlicher Kettenbruch. Theorem ϕ ist (die) irrational(ste Zahl).

69 Divergenz Zunächst wird nur der Rotationsaspekt betrachtet!!

70 Drehwinkel I Drehwinkel ω (Gradmaß, Bogenmaß) ω = 1 entspricht 360 Grad oder 2π ω = 1 2 entspricht 180 Grad oder π ω = 3 4 entspricht 270 Grad oder 3 2 π Der goldene Winkel ω = ϕ entspricht 222,5 Grad = ϕ 360 Grad Die Kreislinie S 1 ist die Menge aller Winkel. Drehungen stets gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positiv)

71 Goldene Drehung heißt Goldene Drehung. R ϕ : S 1 S 1

72 Dynamisches System x 0 = 0, x 1 = R ϕ (x 0 ) = ϕ, x 2 = R ϕ (x 1 ) = (ϕ + ϕ) mod 1,... Orbit x 0, x 1, x 2,... x k+1 = R ϕ (x k ), k = 0, 1, 2,... x k = (k ϕ) mod 1

73 Dynamisches System x 0 = 0, x 1 = R ϕ (x 0 ) = ϕ, x 2 = R ϕ (x 1 ) = (ϕ + ϕ) mod 1,... Orbit x 0, x 1, x 2,... x k+1 = R ϕ (x k ), k = 0, 1, 2,... x k = (k ϕ) mod 1

74 Dynamisches System x 0 = 0, x 1 = R ϕ (x 0 ) = ϕ, x 2 = R ϕ (x 1 ) = (ϕ + ϕ) mod 1,... Orbit x 0, x 1, x 2,... x k+1 = R ϕ (x k ), k = 0, 1, 2,... x k = (k ϕ) mod 1

75 Dynamisches System x 0 = 0, x 1 = R ϕ (x 0 ) = ϕ, x 2 = R ϕ (x 1 ) = (ϕ + ϕ) mod 1,... Orbit x 0, x 1, x 2,... x k+1 = R ϕ (x k ), k = 0, 1, 2,... x k = (k ϕ) mod 1

76 Orbit der goldenen Drehung Saatmaschine I Meine Saatmaschine besteht aus einem drehbar gelagerten Arm, der auf einem kreisförmigen Beet immer dann Samen aussät, wenn sich der Arm um einen bestimmten Winkel gedreht hat. Man erhält einen Samenorbit.

77 Orbit der goldenen Drehung Saatmaschine II

78 Orbit der goldenen Drehung Saatmaschine III

79 Orbit der goldenen Drehung Saatmaschine IV

80 Orbit der goldenen Drehung Saatmaschine V

81 Orbit der goldenen Drehung Saatmaschine VI Wie verteilen sich die Samen auf dem Kreisbeet? Wie sieht der Samenorbit aus? Dieser Orbit liefert geometrische Informationen über die reelle Zahl des Drehwinkels, die i.w. die Kettenbruchentwicklung liefert!!

82 Orbit der goldenen Drehung I Es folgen screen shots eines Applets: Versetzen Sie sich bitte in den Ursamen mit der Nummer Null. Beobachten Sie, welche neuen Nachbarn er dieser in welcher Zeit (rote Nummer) bekommt. Diese Zahlen sind F-Zahlen! Es gibt abwechselnd einen linken und einen rechten neuen Nachbarn. Der Abstand zu seinem alten Nachbarn wird durch einen neuen Nachbarn stets golden geteilt!

83 Orbit der goldenen Drehung II

84 Orbit der goldenen Drehung III

85 Orbit der goldenen Drehung IV

86 Orbit der goldenen Drehung V

87 Orbit der goldenen Drehung VI

88 Orbit der goldenen Drehung VII

89 Orbit der goldenen Drehung VIII

90 Orbit der goldenen Drehung IX Die Zeit m n zwischen zwei benachbarten Einschlägen x m und x n irgendwo auf dem Beet ist stets eine Fibonaccizahl. Das erweist sich als der Grund dafür, dass die Anzahl der Spiralen F-Zahlen sind!!

91 Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 I Ein ganz andere Winkel. Fast 1 3.

92 Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 II Es pirschen sich im 3er-Takt von links neue Nachbarn heran.

93 Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 III

94 Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 IV

95 Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 V Nach 16 Annäherungsversuchen gibt es einen Nachbarn mit der Nummer 50, dem sofort ein ein neuer rechter Nachbar folgt.

96 Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 VI

97 Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 VII 0, 3397 =

98 Zusammenfassung Die goldene Drehung führt zu einer optimalen Packung. Aber auch andere Winkel, z.b. 99,5 Grad, 0, = mit asymptotischer Goldene-Schnittzahl-Entwicklung.

99 Goldene Drehung und radiales Wachstum I x k+1 = R ϕ (x k ), r k+1 =... Jetzt nehmen wir das radiale Wachstum hinzu, ohne die Rotationsdynamik zu ändern! Die Modellierung des radialen Wachstums ist relativ unerheblich.

100 Goldene Drehung und radiales Wachstum II Die ersten Samen sind am weitesten radial vorgedrungen.

101 Goldene Drehung radiales Wachstum (120 Samen) I Es folgen Bilder von Applets, die für sich sprechen.

102 Goldene Drehung radiales Wachstum (120 Samen) II

103 Goldene Drehung radiales Wachstum (120 Samen) III

104 Goldene Drehung radiales Wachstum (120 Samen) IV

105 Goldene Drehung radiales Wachstum (120 Samen) V

106 Goldene Drehung radiales Wachstum (120 Samen) VI

107 Goldene Drehung radiales Wachstum (120 Samen) VII

108 Goldene Drehung radiales Wachstum (120 Samen) VIII

109 Goldene Drehung radiales Wachstum (120 Samen) IX

110 Goldene Drehung radiales Wachstum (120 Samen) X

111 Goldene Drehung radiales Wachstum (120 Samen) XI

112 Goldene Drehung radiales Wachstum (120 Samen) XII

113 Goldene Drehung radiales Wachstum (120 Samen) XIII

114 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) I

115 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) II

116 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) III

117 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) IV

118 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) V

119 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) VI

120 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) VII

121 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) VIII

122 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) IX

123 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) X

124 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XI Wo sind die 13 roten Spiralen gebieben?

125 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XII

126 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XIII

127 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XIV

128 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XV

129 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XVI

130 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XVII

131 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XVIII

132 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XIX

133 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XX Ein nur geringfügig kleinerer Winkel.

134 Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) XXI

135 Schlussbemerkung Das beschriebene mathematische Modell erklärt die auftretenden Spiralmuster. Aber es muss keineswegs richtig sein. Die Gene haben ja wohl kaum die Goldene-Schnittzahl gespeichert. Vielmehr wird dieser Divergenzwinkel das Ergebnis einer Dynamik in einem komplexeren Modell sein.

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