Karl Heinz Fasol: Der Goldene Schnitt und die Wunder der Zahl PHI 1)

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Karl Heinz Fasol: Der Goldene Schnitt und die Wunder der Zahl PHI 1)"

Transkript

1 Vortrag im RC Bochum-Hellweg am 07.Januar 004 Karl Heinz Fasol: Der Goldene Schnitt und die Wunder der Zahl PHI 1) Ihr werdet Euch aus der Schulzeit noch sicher an die Zahl π = 3, erinnern; im Zusammenhang mit dem Kreis und 'allem was rund ist'. Ich bin aber ziemlich sicher, dass hingegen kaum einer von Euch die Zahl Φ kennt; sie ist viel wundersamer als π und sie ist auch für den Nicht-Mathematiker faszinierend. Sie ist seit der Antike bekannt, wenn sie auch damals noch nicht so genannt wurde. Den Buchstaben Φ erhielt sie erst zu Beginn des 0. Jahrhunderts, nachdem man sie im 19. Jahrhundert die "Goldene Zahl" genannt hatte. "Goldene Zahl" deshalb, weil sie sich aus dem "Goldenen Schnitt" ergibt; aber dieser Begriff ist Euch sicher bekannt. Was ist nun der "Goldene Schnitt"? Er wurde vor rund 300 Jahren, also etwa zur Zeit Alexander des Großen, durch Euclid von Alexandria, dem Schöpfer der auch heute noch gültigen 'Euclidischen Geometrie' mathematisch/geometrisch definiert und lautet wie folgt: Eine Strecke mit der Länge AB A C B X 1 soll in zwei Teile so geteilt, zerschnitten, werden, dass sich die Länge der durch die Teilung entstehenden Strecke AC = x zu der noch kürzeren Strecke CB = 1 genau so verhält wie die Länge der gesamten Strecke AB = (x +1) zur kürzeren Länge von AC = x. Oder "mathematisch" geschrieben AC/CB = AB/AC. Das also ist der Goldene Schnitt des Euclid. Ein Rechteck mit den Seiten AB = (x +1) und AC = x ist das "Goldene Rechteck"; das Format des Goldenen Schnitts. Euclid ahnte sicher nicht, was er für viel spätere Generationen angestoßen hatte. Seine Streckenteilung nach dem Goldenen Schnitt führt nämlich auf die Goldene Zahl Φ; und viele hundert Jahre nach Euclid staunt man über deren Bedeutung, die von der Anordnung von Blättern bei Pflanzen und Früchten bis zur Struktur von Galaxien, von der Mathematik bis hin zu Architektur, Malerei und vereinzelt sogar zur Musik reicht. Nur einige wenige Beispiele: Der Mann des Marcus Vitruvius Pollio (ca.70-5 v.chr.), der mit gespreizten Beinen und ausgestreckten Armen in einem Kreis steht, wurde später durch Leonardo da Vinci berühmt und symbolisiert u.a. den Goldenen Schnitt. Das Bild "Geißelung Christi" des Malers und Mathematikers Piero della Francesca (ca ) ist perspektivisch peinlichst genau konstruiert und entspricht überdies weitgehend dem Goldenen Schnitt. Das Bild "Mutterschaft" (nebenstehend der Entwurf), des Malers Gino Severini ( ) ist nach seiner eigenen Aussage exakt nach dem Goldenen Schnitt 1) Von den im Vortrag gezeigten zahlreichen Bildern können hier nur einige wenige beigefügt werden.

2 entworfen. Dies nur zwei Beispiele aus der Malerei. Auch alle Scheck- und Kreditkarten entsprechen gut angenähert dem Goldenen Schnitt. Ihm entspricht in seinen Abmessungen auch der Parthenon in Athen, der unter Aufsicht des berühmten Bildhauers und Architekten Phidias von Athen in den Jahren 447 bis 4 v.chr., also rund 100 Jahre vor Euclid, gebaut wurde. Der Parthenon wird häufig als Beispiel für den Goldenen Schnitt angeführt; das Empfinden für den Goldenen Schnitt war also auch vor Euclid vorhanden. Um den berühmten Architekten der Antike zu ehren, gab der Amerikanische Mathematiker Marc Barr vor rund 100 Jahren der Goldenen Zahl die Bezeichnung Φ, den ersten Buchstaben des Namens Phidias. Es wird jetzt also höchste Zeit, diese Zahl zu berechnen. Dies ist ganz einfach. Aus dem oben formulierten Zusammenhang AC/CB = AB/AC lesen wir ab x ( x + 1) = 1 x und multiplizieren beide Seiten mit x, wodurch wir eine sog. quadratische Gleichung x² = x + 1 erhalten. Was sehen wir daraus: Das Quadrat von x (als eine Lösung der Gleichung) sollte also nur um Eins größer sein als x selbst. Das scheint uns zunächst unglaubwürdig; ist es aber keineswegs, wie wir gleich sehen werden. Jedenfalls kann aber x keine ganze, natürliche Zahl sein. Aus der Schule erinnert Ihr Euch sicher, dass eine quadratische Gleichung zwei Lösungen hat und dass es dafür eine einfache Formel gibt. Ich erspare Euch diese aber und behaupte, dass die Anwendung jener Formel die beiden Lösungen x 1 =, x =. ( 5 =, ) ergibt. Nehmen wir nun einen Taschenrechner zur Hand, so berechnen wir zunächst x 1 = 1, = Φ ; und das ist die Goldene Zahl. Sie ist, wie z.b. 5, eine sog. irrationale Zahl; das ist eine nicht periodische Dezimalzahl, die nicht als Quotient zweier Zahlen auszudrücken ist und deren Stellen hinter dem Komma niemals enden. Sie wurde z.b. im Jahre 1996 auf 10 Millionen Dezimalstellen berechnet. Das Verhältnis der beiden Seiten des Goldenen Rechtecks ist durch Φ bestimmt. Und jetzt kommen die ersten "Wunder" aus unserem Taschenrechner, nämlich Φ = 1, Φ =, /Φ = 0, Man könnte dieses Spiel mit der zweiten Lösung

3 3 x = - 1/Φ = - 0, der obigen quadratischen Gleichung weiter treiben, doch will ich damit nicht langweilen. Es erwarten uns nämlich noch weitere "Wunder". Jeder kennt das Verteidigungsministerium der USA in Washington D.C., das Pentagon. Es heißt so, weil sein Grundriss eben ein Pentagon ist; ein 5-Eck mit 5 gleichen Seiten, die 5 gleiche Winkel einschließen. Die Erbauer des Verteidigungsministeriums ahnten wahrscheinlich nicht, dass sich unsere Goldene Zahl Φ hier vielfach wiederfindet. Wenn man nämlich die jeweils gegenüber liegenden Ecken des Pentagons miteinander verbindet, dann erhält man ein sog. Pentagramm. Das ist ein uraltes, etwa 6000 Jahre altes Symbol, bereits gefunden bei Ausgrabungen in Mesopotamien; es hängt u.a. zusammen mit der alten Jüdischen Kabbala und anderen Kulten und Geheimbünden, es wird auch als Drudenfuß bezeichnet, usw. In Goethe's "Faust" ist es Mephisto unmöglich, durch eine Tür zu gehen, auf der ein Pentagramm zu sehen ist. Mephisto: Gesteh' ich's nur! dass ich hinaus spaziere, verbietet mir ein kleines Hindernis, der Drudenfuß auf Eurer Schwelle Faust: Das Pentagramma macht dir Pein? Ei sage mir, du Sohn der Hölle, Wenn dich das bannt, wie kamst du denn herein? Und was "können" Pentagon und Pentagramm mathematisch bzw. geometrisch? Pentagon und Pentagramm Goldenes Dreieck Im Pentagon erscheint das Pentagramm; innerhalb des Pentagramms erscheint wieder ein Pentagon und darin wieder ein Pentagramm, usw., usw., bis ins Unendliche; nach innen und nach außen. Und wo findet sich nun unsere Zahl Φ? Sie findet sich überall! Jede Seite der Goldenen Dreiecke (siehe oben und folgend) verhält sich nämlich zu der nächst kleineren exakt wie Φ. Also: a/b = b/c = c/d = d/e = e/f =... = Φ!

4 4 Das Dreieck in der Mitte des Pentagons ist das sog. "Goldene Dreieck". Teilt man eine Seite dieses gleichschenkeligen Dreiecks nach dem Goldenen Schnitt Φ (rechte Skizze), dann entsteht wiederum ein neues, ein kleineres "Goldenes Dreieck", usw., usw.; wiederum bis ins Unendliche. Und die beiden anderen Dreiecke des Pentagons? Hier verhalten sich die Seiten des Pentagons zu deren Basis (also zur Seite des Pentagramms) wie der Kehrwert von Φ, also 1/Φ. War den Erbauern des US Verteidigungsministeriums all dies bewusst? Verbindet man die Eckpunkte aller Basislinien der unendlich vielen Goldenen Dreiecke durch eine Kurve, dann entsteht eine sog. Logarithmische Spirale. Diese finden wir vielfach in der Natur, z.b. bei der Sonnenblume, bei Meeresschnecken, und bis hin zu spiralenförmigen Galaxien, denen also ebenfalls die Goldene Zahl Φ zugrunde liegt; jedenfalls soweit die betreffende Galaxie genügend genau beobachtbar ist. Von ca bis ca. 140 lebte Leonardo von Pisa, genannt "Fibonacci", der damals berühmteste Mathematiker. Unter anderem erklärte er aus der Vermehrung der Kaninchen eine bis heute nach ihm benannte und berühmt gewordene Zahlenfolge, die Fibonacci'sche Folge. Sie entsteht dadurch, dass man, beginnend mit zwei Einsen, immer die zwei aufeinander folgenden Zahlen addiert. Also: usw. Und auch hier verbergen sich für uns neue "Wunder"! Z.B. hat die Struktur der Schale der Ananas-Frucht vorwiegend 5, 8, 13, und manchmal auch noch 1 parallele Ringe unterschiedlicher Steigung. Auch die Anordnungen von Zweigen und Blättern mancher Pflanzen folgen Meister Fibonacci. Und vor einiger Zeit war ich überrascht, in einem Artikel im Wirtschaftsteil der FAZ den Hinweis auf eine Theorie zu finden, nach der die Verläufe von Wechselkursen oder Aktienkursen langfristig der Fibonacci'schen Zahlenreihe folgen. Auch dies waren nur zwei Beispiele; es gäbe viel mehr. Fibonacci wusste natürlich nichts von den gleich folgenden Eigenschaften seiner Zahlenfolge und konnte nicht ahnen, dass sie Eingang in viele Phänomene der Mathematik, Natur, und offenbar auch wirtschaftliche Prozesse finden würde. Nun also diese Eigenschaften: Das Quadrat einer jeden Zahl der Folge unterscheidet sich immer nur um Eins vom Produkt der benachbarten Zahlen, der vorhergehenden und nachfolgenden. Man erkennt ja sofort: 5² = 5, 3 x 8 = 4. Und eine höhere Zahl der Folge, z.b. 987² = ; hier also 610 x 1597 =

5 5 Aber, wo ist der Zusammenhang mit der Goldenen Zahl? Und jetzt also die Überraschung: Dividiert man eine Zahl der Fibonacci-Folge durch die vorhergehende, also z.b : = 1, Kommt das bekannt vor? Es ist unser Φ! Und je größer die Zahlen in der Fibonacci-Folge sind, die man dividiert, je genauer wird das Ergebnis. Der Mathematiker sagt: Das Ergebnis konvergiert gegen Φ. Es war Johannes Kepler, etwa 400 Jahre nach Fibonacci, der diese Eigenschaften entdeckte. Zum Abschluss möchte ich noch mit einem Puzzle verblüffen, bei dem man die Fibonacci-Zahlen 3, 5, 8, 13 verwendet: Die Fläche des Quadrats: 8² = 64. Die Zahl vor der Acht ist 5, jene nachher ist 13, 5 x 13 = 65. Die Differenz ist 1. Die 65 erscheint nun im zweiten Bild als neue Fläche. Durch Umstellen des Elemente des Puzzles bei unveränderten Teilflächen hat sich die Gesamtfläche des entstehenden Rechtecks plötzlich um genau eine Einheit vergrößert, nämlich auf 5 x 13 = 65;... entsprechend der Fibonacci-Eigenschaft! Wie ist dies zu erklären??? Für die richtige Erklärung, die mir per Telefon oder mit "Einsendeschluss" Meeting am 15. Januar zu geben war, hatte ich als Preis eine Flasche Champagner ausgelobt und und frohes Kopfzerbrechen gewünscht. Dem Vortrag lag folgende Literatur zugrunde: Mario Livio: The Golden Ratio The Story of Phi, the Extraordinary Number of Nature, Art and Beauty. Headline Book Publishing, London 00, ISBN

Weihnachtliche Betrachtungen. Weihnachtliche Betrachtungen

Weihnachtliche Betrachtungen. Weihnachtliche Betrachtungen Weihnachtliche Betrachtungen Weihnachtliche Betrachtungen Weihnachtliche Betrachtungen 1. Nimm einen Streifen Papier und mach einen Knopf. 2. Drücke den Knopf flach. 3. Was siehst Du? Weihnachtliche Betrachtungen

Mehr

Die Goldene Spirale... 1. Der Goldene Schnitt... 3. Das Goldene Rechteck... 7. Gruppenarbeit... 8

Die Goldene Spirale... 1. Der Goldene Schnitt... 3. Das Goldene Rechteck... 7. Gruppenarbeit... 8 Die Goldene Spirale Fach: Mathematik Hauptseminar: Spiralen, WS 2005/2006 Dozent: Prof. Dr. R. Deißler Referenten: Judith Stoiber 1389024 Peter Rath 1389345 Handout zum Referat vom 24.01.2006 Inhaltsverzeichnis:

Mehr

Fibonacci-Zahlen. Geschichte. Definition. Quotienten

Fibonacci-Zahlen. Geschichte. Definition. Quotienten Mathematik/Informatik Die Fibonacci-Zahlen Gierhardt Fibonacci-Zahlen Geschichte Im Jahre 0 wurde in Pisa ein Buch über das indischarabische Dezimalsystem von dem italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci

Mehr

Fächerverbindender Unterricht Renaissance

Fächerverbindender Unterricht Renaissance Fächerverbindender Unterricht Renaissance Bereich Mathematik THEMA: Der Goldene Schnitt Zeit: Schüler bestimmen das Arbeitstempo selbst, müssen aber alle Aufgaben fertig stellen Bei 14 Tagen FvU haben

Mehr

GOLDENER SCHNITT UND FIBONACCI-FOLGE

GOLDENER SCHNITT UND FIBONACCI-FOLGE GOLDENER SCHNITT UND FIBONACCI-FOLGE NORA LOOSE. Der Goldene Schnitt - Eine Irrationalität am Ordenssymbol der Pythagoreer Schon im 5. Jahrhundert v. Chr. entdeckte ein Pythagoreer eine Konsequenz der

Mehr

Was haben die folgenden Dinge gemeinsam?

Was haben die folgenden Dinge gemeinsam? Was haben die folgenden Dinge gemeinsam? Parthenon zu Athen Mona Lisa von Leonardo da Vinci Nautilus Berliner Fernsehturm CN Tower Obelix Brüder Grimm Ananas Rose Biene Apple Das goldene Zeitalter Der

Mehr

Goldener Schnitt Was war das große Geheimnis der Pythagoräer?

Goldener Schnitt Was war das große Geheimnis der Pythagoräer? Das Pentagramm Der Drudenfuß Das Pentagramm war das Zeichen des Geheimbundes der Pythagoräer, und diese geheimnisvolle Figur gilt schon seit alters her als magisches Symbol. So fand es z.b. in früherer

Mehr

Mathematische Überraschungen in der Natur

Mathematische Überraschungen in der Natur Mathematische Überraschungen in der Natur Die Goldene Zahl ist wahrscheinlich die außergewöhnlichste aller Zahlen. Sie hat hunderterlei einzigartige Eigenschaften wie sonst keine andere Zahl und so verwundert

Mehr

Erforderliche Kenntnisse: Grundlagen der Geometrie. Der Goldene Schnitt

Erforderliche Kenntnisse: Grundlagen der Geometrie. Der Goldene Schnitt Stephanie Schäfer & Jenny Linke im 1. Semester Der Goldene Schnitt Unter dem Goldenen Schnitt versteht man die Teilung einer Strecke in zwei Abschnitte in der Weise, dass sich die ganze Strecke zu ihrem

Mehr

Elementare Geometrie. Inhaltsverzeichnis. info@mathenachhilfe.ch. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)

Elementare Geometrie. Inhaltsverzeichnis. info@mathenachhilfe.ch. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) fua0306070 Fragen und Antworten Elementare Geometrie (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis 1 Geometrie 1.1 Fragen............................................... 1.1.1 Rechteck.........................................

Mehr

MATHE-BRIEF. Mai 2016 Nr. 69

MATHE-BRIEF. Mai 2016 Nr. 69 MATHE-BRIEF Mai 2016 Nr. 69 Herausgegeben von der Österreichischen Mathematischen Gesellschaft http: // www.oemg.ac.at / Mathe Brief mathe brief@oemg.ac.at Die Mathematik wurde einmal beschrieben als ein

Mehr

Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick. Der Goldene Schnitt. Dario Jotanovic

Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick. Der Goldene Schnitt. Dario Jotanovic Der Goldene Schnitt Dario Jotanovic Mathematisches Proseminar Implementierung mathematischer Algorithmen Hochschule Darmstadt 19. Dezember 2013 Inhaltsangabe 1 Geschichte 2 Grundlagen Teilung im goldenen

Mehr

Der Goldene Schnitt. III. Der Goldene Schnitt in der Mathematik

Der Goldene Schnitt. III. Der Goldene Schnitt in der Mathematik Der Goldene Schnitt III. Der Goldene Schnitt in der Mthemtik 1. Herleitung des Goldenen Schnitt Per Definition des Goldenen Schnitt gilt: b = b. (>b>0) Nch der Drstellung (s.o.) gilt, wenn S (der mittlere

Mehr

Was uns die Natur über Heilige Geometrie lehren kann

Was uns die Natur über Heilige Geometrie lehren kann transinformation.net http://transinformation.net/was-uns-die-natur-ueber-heilige-geometrie-lehren-kann/ Was uns die Natur über Heilige Geometrie lehren kann Taygeta Eines der grossartigsten Geschenke,

Mehr

Proportionale und antiproportionale Zuordnungen

Proportionale und antiproportionale Zuordnungen Proportionale und antiproportionale Zuordnungen Proportionale und antiproportionale Zuordnungen findet man in vielen Bereichen des täglichen Lebens. Zum Beispiel beim Tanken oder beim Einkaufen. Bei proportionalen

Mehr

Suche nach einer dezimalen Darstellung von d

Suche nach einer dezimalen Darstellung von d Didaktik der Algebra und Analysis SS 2011 Bürker, 10. 6. 2011 3.5 Zahlbereichserweiterung Q R Thema: Wurzel aus 2 ist keine rationale Zahl Vorwissen: Die Schüler müssen wissen, dass die Menge der rationalen

Mehr

4.7 Der goldene Schnitt

4.7 Der goldene Schnitt 4.7 Der goldene Schnitt Aus Faust I: MEPHISTO: Gesteh' ich's nur! Dass ich hinausspaziere,verbietet mir ein kleines Hindernis: Der Drudenfuß auf Eurer Schwelle --- FAUST: Das Pentagramma macht dir Pein?

Mehr

Umfang und Fläche von Rechtecken

Umfang und Fläche von Rechtecken Umfang und Fläche von Rechtecken Herbert Paukert 1 Umfang und Fläche von Rechtecken Version 2.0 Herbert Paukert (1) Der Umfang von Rechtecken [02] Elemente der Geometrie [02] Fünf Übungsaufgaben [08] Das

Mehr

Teilt man die Kreislinie in n gleiche Teile und verbindet benachbarte Teilpunkte, so entsteht ein reguläres n-eck oder Polygon.

Teilt man die Kreislinie in n gleiche Teile und verbindet benachbarte Teilpunkte, so entsteht ein reguläres n-eck oder Polygon. 38 11. Reguläre Vielecke und Körper Teilt man die Kreislinie in n gleiche Teile und verbindet benachbarte Teilpunkte, so entsteht ein reguläres n-eck oder Polygon. Schon Euklid von Alexandria hat sich

Mehr

Folgen und Reihen. Das Spiel ist immer lösbar. Doch wie viele Umlegungen sind es im günstigsten Fall?

Folgen und Reihen. Das Spiel ist immer lösbar. Doch wie viele Umlegungen sind es im günstigsten Fall? Kantonsschule Solothurn Fachmaturität RYSWS12/13 Folgen und Reihen Einstiegsaufgaben 1. Der Turm von Hanoi Aufgabe Bewege alle Scheiben vom linken Stapel zum rechten Stapel. Dabei darf jeweils nur die

Mehr

UND MOSES SPRACH AUCH DIESE GEBOTE

UND MOSES SPRACH AUCH DIESE GEBOTE UND MOSES SPRACH AUCH DIESE GEBOTE 1. Gebot: Nur die DUMMEN kürzen SUMMEN! Und auch sonst läuft bei Summen und Differenzen nichts! 3x + y 3 darfst Du NICHT kürzen! x! y. Gebot: Vorsicht bei WURZELN und

Mehr

Leonardo da Pisa alias Fibonacci

Leonardo da Pisa alias Fibonacci Leonardo da Pisa alias Fibonacci 1. Juli 003 Weber Tony, Ramagnano Nicola Mathematik Fibonacci Seite / 9 Inhaltsverzeichnis Biographie...3 Fibonacci Zahlen...5 Definition...5 Fibonacci Spirale...5 Goldener

Mehr

M 5.1. Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl. Welche Zahlen gehören zur Menge der natürlichen Zahlen?

M 5.1. Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl. Welche Zahlen gehören zur Menge der natürlichen Zahlen? M 5.1 Natürliche Zahlen und Zahlenstrahl Welche Zahlen gehören zur Menge der natürlichen Zahlen? Zeichne die Zahlen, und auf einem Zahlenstrahl ein. Woran erkennt man auf dem Zahlenstrahl, welche der Zahlen

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Vollständige Induktion Tobias Strauß 6.0.009 Das Prinzip der vollständigen Induktion Die vollständige Induktion ist eines der wichtigsten Beweisprinzipien in der Mathematik. Nicht nur in der diskreten

Mehr

Schüler/innen-Arbeitsheft Seite 1

Schüler/innen-Arbeitsheft Seite 1 Schüler/innen-Arbeitsheft Seite 1 M 1 Zum Lesen Mathematische Stenographie In der Mathematik werden die Grundrechenarten häufig benutzt, um Vorgänge (wie das Einzahlen oder Abheben von Geld auf ein Konto)

Mehr

Auf den Spuren der Mathematik in Schwäbisch Gmünd. Alles ist Zahl!

Auf den Spuren der Mathematik in Schwäbisch Gmünd. Alles ist Zahl! Auf den Spuren der Mathematik in Schwäbisch Gmünd Alles ist Zahl! Wie geht das? Für euren Spaziergang durch Schwäbisch Gmünd erhaltet ihr verschiedene n, die ihr in eurer Gruppe bearbeiten müsst. Ihr könnt

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr

B) Konstruktion des geometrischen Mittels und geometrisches Wurzelziehen :

B) Konstruktion des geometrischen Mittels und geometrisches Wurzelziehen : Seite I Einige interessante elementargeometrische Konstruktionen Ausgehend von einigen bekannten Sätzen aus der Elementargeometrie lassen sich einige hübsche Konstruktionen herleiten, die im folgenden

Mehr

Fibonacci-Zahlen und der goldene Schnitt

Fibonacci-Zahlen und der goldene Schnitt Fibonacci-Zahlen und der goldene Schnitt Behandlung von rekursiven Zahlenfolgen zum Umgang mit Excel, Mathematica, Maple und Octave (Matlab), sowie Einüben von Diagonalisierung und Stellenwertsystemen

Mehr

Grundwissen Jahrgangsstufe 6

Grundwissen Jahrgangsstufe 6 GM. Brüche Grundwissen Jahrgangsstufe Brüche: Zerlegt man ein Ganzes z.b. in gleich große Teile und fasst dann dieser Teile zusammen, so erhält man des Ganzen. Im Bruch ist der Nenner und der Zähler. Stammbrüche

Mehr

Fibonaccis Kaninchen. Entdeckende Mathematik mit Derive. von Gregor Noll

Fibonaccis Kaninchen. Entdeckende Mathematik mit Derive. von Gregor Noll Entdeckende Mathematik mit Derive von Die Fibonacci-Zahlen (1) In seinem Werk Liber abaci aus dem Jahre 1202 stellte Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, eine bis heute berühmt gebliebene Aufgabe: Leonardo

Mehr

Berufliches Schulzentrum Waldkirch Stihl Information zur Aufnahmeprüfung WO. Welche mathematischen Kenntnisse und Fertigkeiten sollten Sie mitbringen?

Berufliches Schulzentrum Waldkirch Stihl Information zur Aufnahmeprüfung WO. Welche mathematischen Kenntnisse und Fertigkeiten sollten Sie mitbringen? Information zur Aufnahmeprüfung WO Mathematik Welche mathematischen Kenntnisse und Fertigkeiten sollten Sie mitbringen? Musterprüfung: Lösen von linearen Gleichungen Aufgabe 1 Lösen von quadratischen Gleichungen

Mehr

Fibonaccizahlen. Auftreten in der Biologie. Bodo Werner. Department Mathematik Universität Hamburg

Fibonaccizahlen. Auftreten in der Biologie. Bodo Werner. Department Mathematik Universität Hamburg Fibonaccizahlen Auftreten in der Biologie Department Mathematik Universität Hamburg Fibonacci I Geschichte Leonardo da Pisa, genannt FIBONACCI (etwa 1170-1250) Liber Abbici (1202): Indisch-arabische Ziffern

Mehr

Anlage des Spiels. Forschungsgruppe. Ein Spiel entwickelt durch Patrik Böhler Fachstelle Religionspädagogik, Mittelstrasse 6a Bern

Anlage des Spiels. Forschungsgruppe. Ein Spiel entwickelt durch Patrik Böhler Fachstelle Religionspädagogik, Mittelstrasse 6a Bern Anlage des Spiels Forschungsgruppe Ein Spiel entwickelt durch Patrik Böhler Fachstelle Religionspädagogik, Mittelstrasse 6a Bern Ziel Die SuS erkennen, dass auf drei verschiedenen Wegen drei ähnliche Erkenntnisse

Mehr

Anlage des Spiels. Forschungsgruppe. Ein Spiel entwickelt durch Patrik Böhler Fachstelle Religionspädagogik, Mittelstrasse 6a Bern

Anlage des Spiels. Forschungsgruppe. Ein Spiel entwickelt durch Patrik Böhler Fachstelle Religionspädagogik, Mittelstrasse 6a Bern Anlage des Spiels Forschungsgruppe Ein Spiel entwickelt durch Patrik Böhler Fachstelle Religionspädagogik, Mittelstrasse 6a Bern Ziel Die SuS erkennen, dass auf drei verschiedenen Wegen drei ähnliche Erkenntnisse

Mehr

Download. Mathematik Üben Klasse 5 Geometrie. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Martin Gehstein

Download. Mathematik Üben Klasse 5 Geometrie. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Martin Gehstein Download Martin Gehstein Mathematik Üben Klasse 5 Geometrie Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr Downloadauszug aus dem Originaltitel: Mathematik üben Klasse 5 Geometrie Differenzierte Materialien

Mehr

Inhaltsverzeichnis VB 2003

Inhaltsverzeichnis VB 2003 VB Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Die Integralrechnung Die Stammfunktion Wie kommt man zur Stammfunktion am Beispiel der Potenzfunktion Beispiele für Stammfunktionen: Beispiele mit Wurzelfunktionen

Mehr

Realschule / Gymnasium. Klassen 9 / 10. - Aufgaben - Am Ende der Aufgabensammlung finden Sie eine Formelübersicht

Realschule / Gymnasium. Klassen 9 / 10. - Aufgaben - Am Ende der Aufgabensammlung finden Sie eine Formelübersicht Am Ende der Aufgabensammlung finden Sie eine Formelübersicht 1. a) Leite eine Formel her für den Umfang eines Kreises bei gegebener Fläche. b) Wieviel mal größer wird der Umfang eines Kreises, wenn man

Mehr

1 Der Goldene Schnitt

1 Der Goldene Schnitt Goldener Schnitt 1 Der Goldene Schnitt 1 1.1 Das regelmäßige Zehneck 1 1. Ein anderer Name für den Goldenen Schnitt 4 1.3 Der Goldene Schnitt in Zahlen 6 1.4 Die Potenzen von und 8 1.5 Drei Beispiele 10

Mehr

11. Folgen und Reihen.

11. Folgen und Reihen. - Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a

Mehr

Geradengleichungen. Anna Heynkes. 21.9.2005, Aachen

Geradengleichungen. Anna Heynkes. 21.9.2005, Aachen Geradengleichungen Anna Heynkes 21.9.2005, Aachen Wegen des Überspringens einer Jahrgangsstufe habe ich den Mathematik- Unterricht verpasst, in dem die Geradengleichungen behandelt wurden. Deshalb musste

Mehr

1. Definition von Dezimalzahlen

1. Definition von Dezimalzahlen . Definition von Dezimalzahlen Definition: Dezimalzahlen sind Zahlen mit einem Komma, wobei die Ziffern nach dem Komma die Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, usw. entsprechend dem -er Zahlensystem anzeigen.

Mehr

Vom Rechteck, das ein Quadrat werden wollte

Vom Rechteck, das ein Quadrat werden wollte Vom Rechteck, das ein Quadrat werden wollte Schule: Hohenstaufen-Gymnasium Kaiserslautern Idee und Erprobung der Unterrichtseinheit: Klaus Merkert Die folgende Unterrichtseinheit ist ein Beispiel für Problemstellungen

Mehr

Nicht alles ist Zahl

Nicht alles ist Zahl Nicht alles ist Zahl Pythagoras und seine Lehre 1 Pythagoras Tag der Mathematik 2 Chartres: die septem artes liberales Tag der Mathematik 3 Die septem artes liberales Quadrivium Arithmetik Grammatik Geometrie

Mehr

4 Die Fibonacci-Zahlen

4 Die Fibonacci-Zahlen 4 Die Fibonacci-Zahlen 4.1 Fibonacci-Zahlen und goldener Schnitt Die Fibonacci-Zahlen F n sind definiert durch die Anfangsvorgaben F 0 = 0, F 1 = 1, sowie durch die Rekursion F n+1 = F n + F n 1 für alle

Mehr

Didaktische Grundlagen Arithmetik Vertiefung Übungen 4

Didaktische Grundlagen Arithmetik Vertiefung Übungen 4 Westfälische Wilhelms-Universität Münster Institut für Didaktik der Mathematik und Informatik Dr. Astrid Brinkmann Didaktische Grundlagen Arithmetik Vertiefung Übungen 4 Von allen, die bis jetzt nach Wahrheit

Mehr

Forschungsdossier Künstlerinnen/Künstler

Forschungsdossier Künstlerinnen/Künstler Forschungsdossier Künstlerinnen/Künstler Material Euer Forschungsmaterial ist eine farbige Folie im Postkartenformat, ein Lineal und ein Metermass. Aufgaben A. Betrachtet in Ruhe die Bilder in diesem Dossier,

Mehr

MATHEMATIK IN KUNST UND NATUR. Fibonacci Zahlen und der goldene Schnitt

MATHEMATIK IN KUNST UND NATUR. Fibonacci Zahlen und der goldene Schnitt MATHEMATIK IN KUNST UND NATUR Fibonacci Zahlen und der goldene Schnitt BEGLEITVORTRAG ZUR AUSSTELLUNG MATHEMATIK ZUM ANFASSEN DES MATHEMATIKUMS GIEßEN AN DER HOCHSCHULE PFORZHEIM Prof. Dr. Kirsten Wüst

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr

Wir sollen erarbeiten, wie man mit Hilfe der Mondentfernung die Entfernung zur Sonne bestimmen kann.

Wir sollen erarbeiten, wie man mit Hilfe der Mondentfernung die Entfernung zur Sonne bestimmen kann. Expertengruppenarbeit Sonnenentfernung Das ist unsere Aufgabe: Wir sollen erarbeiten, wie man mit Hilfe der Mondentfernung die Entfernung zur Sonne bestimmen kann. Konkret ist Folgendes zu tun: Lesen Sie

Mehr

Känguru der Mathematik 2014 Gruppe Benjamin (5. und 6. Schulstufe) Österreich - 20.3.2014

Känguru der Mathematik 2014 Gruppe Benjamin (5. und 6. Schulstufe) Österreich - 20.3.2014 Känguru der Mathematik 2014 Gruppe Benjamin (5. und 6. Schulstufe) Österreich - 20.3.2014-3 Punkte Beispiele - 1. Arno legt mit 8 Karten das Wort KANGAROO. Einige Karten liegen aber verdreht. Durch zweimaliges

Mehr

Goldener Schnitt Fibonacci-Zahlen Nachträge

Goldener Schnitt Fibonacci-Zahlen Nachträge Goldener Schnitt Fibonacci-Zahlen Nachträge 4. Zusammenhang Goldener Schnitt - Fibonacci-Zahlen An der Mathematik irritiert mich, dass der goldene Schnitt und die Fibonacci-Zahlen sich zueinander so verhalten,

Mehr

Reihen, Einleitung. 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya

Reihen, Einleitung. 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya Reihen, Einleitung 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya Einleitung Im Folgenden werden wir Reihen, d.h. Summen von Zahlen untersuchen. Wir unterscheiden zwischen einer endlichen Reihe, bei der die Summe endlich

Mehr

Arbeitsblatt 2 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen H. Strade, B. Werner WiSe 06/

Arbeitsblatt 2 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen H. Strade, B. Werner WiSe 06/ 14. November 2006 Arbeitsblatt 2 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen H. Strade, B. Werner WiSe 06/07 31.10.06 Präsenzaufgaben: 1) Welche rationale

Mehr

4 Reihen und Finanzmathematik

4 Reihen und Finanzmathematik 4 Reihen und Finanzmathematik 4. Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei

Mehr

DER GOLDENE SCHNITT. Ein Verhältnis, das es in sich hat A B C D E F G

DER GOLDENE SCHNITT. Ein Verhältnis, das es in sich hat A B C D E F G DER GOLDENE SCHNITT Ein Verhältnis, das es in sich hat A B C D E F G Welches der sieben Rechtecke gefällt die am besten? Miss bei jedem Rechteck die Seitenlänge ab und trage ihr Längen in die nachfolgende

Mehr

BMT8 2013. Bayerischer Mathematik-Test für die Jahrgangsstufe 8 der Gymnasien. Name: Note: Klasse: Bewertungseinheiten: / 21

BMT8 2013. Bayerischer Mathematik-Test für die Jahrgangsstufe 8 der Gymnasien. Name: Note: Klasse: Bewertungseinheiten: / 21 BMT8 2013 A Bayerischer Mathematik-Test für die Jahrgangsstufe 8 der Gymnasien Name: Note: Klasse: Bewertungseinheiten: 1 Aufgabe 1 Gib diejenige Zahl an, mit der man 1000 multiplizieren muss, um 250 zu

Mehr

GOLDENER SCHNITT UND FIBONACCI-FOLGE

GOLDENER SCHNITT UND FIBONACCI-FOLGE GOLDENER SCHNITT UND FIBONACCI-FOLGE NORA LOOSE Der Goldene Schnitt - Eine Irrationalität am Ordenssymbol der Pythagoreer Schon im 5 Jahrhundert v Chr entdeckte ein Pythagoreer eine Konsequenz der Unvollständigkeit

Mehr

Lerneinheit 3: Mit Euro und Cent rechnen

Lerneinheit 3: Mit Euro und Cent rechnen LM Maßeinheiten S. 11 Übergang Schule - Betrieb Lerneinheit 3: Mit Euro und Cent rechnen A: Werden mehrere Größen addiert (+) oder voneinander subtrahiert (-), muss man alle Größen zuvor in die gleiche

Mehr

6. Rechnen mit Matrizen.

6. Rechnen mit Matrizen. 6. Rechnen mit Matrizen. In dieser Vorlesung betrachten wir lineare Gleichungs System. Wir betrachten lineare Gleichungs Systeme wieder von zwei Gesichtspunkten her: dem angewandten Gesichtspunkt und dem

Mehr

Kreis Kreisabschnitt Kreissegment Kreisbogen

Kreis Kreisabschnitt Kreissegment Kreisbogen Kreis Kreisabschnitt Kreissegment Kreisbogen Bezeichnung in einem Kreis: M = Mittelpunkt d = Durchmesser r = Radius k = Kreislinie Die Menge aller Punkte, die von einem bestimmten Punkt M (= Mittelpunkt)

Mehr

Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen

Aufgaben für Klausuren und Abschlussprüfungen Grundlagenwissen: Sin, Cos, Tan, Sinussatz, Kosinussatz, Flächenberechnung Dreieck, Pythagoras. 1.0 Gegeben ist ein Dreieck ABC mit a 8 cm, c 10 cm, 60 1.1 Berechnen Sie die Seite b sowie die Winkel und.

Mehr

Fibonacci Folge ASSIGNMENT A. Muster der Logik, mit denen Zusammenhänge und Verbindungen im Gehirn erreicht werden könnten

Fibonacci Folge ASSIGNMENT A. Muster der Logik, mit denen Zusammenhänge und Verbindungen im Gehirn erreicht werden könnten ASSIGNMENT A Stavric, Milena, Dipl.-Ing. Dr.techn. Gruppe 7 / Dezember 3, 2013 Fibonacci Folge Entwurf einer Sequence des Universums Muster der Logik, mit denen Zusammenhänge und Verbindungen im Gehirn

Mehr

2. Goldener Schnitt. Der Goldene Schnitt ist das wohl berühmteste Zahlenverhältnis.

2. Goldener Schnitt. Der Goldene Schnitt ist das wohl berühmteste Zahlenverhältnis. 8 2. Golener Schnitt Die Geometrie birgt zwei grosse Schätze: er eine ist er Satz von Pythagoras, er anere ist er Golene Schnitt. Den ersten können wir mit einem Scheffel Gol vergleichen, en zweiten ürfen

Mehr

Relationen / Lineare Funktionen

Relationen / Lineare Funktionen Relationen / Lineare Funktionen Relationen Werden Elemente aus einer Menge X durch eine Zuordnungsvorschrift anderen Elementen aus einer Menge Y zugeordnet, so wird durch diese Zuordnungsvorschrift eine

Mehr

Mathematisches Proseminar: Der Goldene Schnitt Implementierung mathematischer Algorithmen. Dario Jotanovic

Mathematisches Proseminar: Der Goldene Schnitt Implementierung mathematischer Algorithmen. Dario Jotanovic Mathematisches Proseminar: Der Goldene Schnitt Implementierung mathematischer Algorithmen Dario Jotanovic Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 2 Grundlagen 3 2.1 Definition des goldenen Schnittes und Φ......................

Mehr

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Wie beginnen mit einem Beispiel: Gesucht ist die Lösung des folgenden Gleichungssystems: (I) 2x y = 4 (II) x + y = 5 Hier stehen eine Reihe von Verfahren

Mehr

0.1 GPS und Verwandte

0.1 GPS und Verwandte 0.1 GPS und Verwandte 0.1.1 2D Die eigenen (zu ermittelnden) Koordinaten seien x und y. Zwei Signale gehen von dem Ort (x, y) mit den Geschwindigkeiten v 1 und v 2 zum Zeitpunkt t 1 und t 2 aus. An den

Mehr

DER VITRUVIANISCHE MENSCH

DER VITRUVIANISCHE MENSCH DER VITRUVIANISCHE MENSCH Diese Arbeit wurde angefertigt von: Bosco Servatius Guillermo Rebollo de Garay Betreuung: Axel Stöcker 2 Inhalt 1. Kurzfassung.... 4 2.Material und Methoden. 5 3.Ergebnisse....

Mehr

Flächenberechnung Vierecke 1

Flächenberechnung Vierecke 1 Flächenberechnung Vierecke 1 1.)Stelle für folgendes Deltoid eine Flächenformel auf! 2.) 3.) Rautenförmige Eternitplatten haben Diagonalen in der Länge von 68cm und 42cm. a)welchen Flächeninhalt hat eine

Mehr

Kompositionsgeometrie in Renaissance-Gemälden

Kompositionsgeometrie in Renaissance-Gemälden Maler und Malerinnen überlassen nicht viel dem Zufall. Sie machen sich Gedanken über den Aufbau ihrer Bilder. Sie machen sich Gedanken über formale und farbliche Elemente. Das nennt man Komposition. In

Mehr

Projekt Flächeninhalt- und Umfangsberechnung für die 7. Schulstufe einer KMS

Projekt Flächeninhalt- und Umfangsberechnung für die 7. Schulstufe einer KMS Projekt Flächeninhalt- und Umfangsberechnung für die 7. Schulstufe einer KMS Beginn mit einer Einführungsstunde im Frontalunterricht: Wiederholung von Flächeninhalt und Umfang beim Rechteck und Quadrat

Mehr

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1 M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

Klassenstufen 7, 8. Aufgabe 1 (6+6+8 Punkte). Magischer Stern:

Klassenstufen 7, 8. Aufgabe 1 (6+6+8 Punkte). Magischer Stern: Department Mathematik Tag der Mathematik 31. Oktober 2009 Klassenstufen 7, 8 Aufgabe 1 (6+6+8 Punkte). Magischer Stern: e a 11 9 13 12 10 b c d Die Summe S der natürlichen Zahlen entlang jeder der fünf

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Niedersachsen. Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Niedersachsen. Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Niedersachsen Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der Gleichung zur Kurve... 9 Aufstellen

Mehr

Fibonacci-Zahlen in der Mathematik

Fibonacci-Zahlen in der Mathematik Fibonacci-Zahlen in der Mathematik Christian Hartfeldt Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Fakultät für Mathematik Institut für Algebra und Geometrie email: christian.hartfeldt@t-online.de Internetauftritt:

Mehr

Aufgaben Fibonacci-Folgen 7. April 2006 B. Werner SoSe 06

Aufgaben Fibonacci-Folgen 7. April 2006 B. Werner SoSe 06 19. April 2006 Aufgaben Fibonacci-Folgen 7. April 2006 B. Werner SoSe 06 Präsenzaufgaben: Aufgabe P1: Eine spezielle Lucasfolge (L n ) ist durch L n = L n 1 + L n 2, L 0 = 2, L 1 = 1 definiert. Berechnen

Mehr

Hausarbeit Mathematik:

Hausarbeit Mathematik: Hausarbeit Mathematik: von Yang Guo, 9d 30.0.0 EINLEITUNG 3 I. THEORIE 4. Definition 4. Berechnung des Goldenen Schnitts 4 3. Kehrbruch und Quadrat des Goldenen Schnitts 4. Konstruktion des Goldenen Schnitts

Mehr

Teste dein Grundwissen

Teste dein Grundwissen Teste dein Grundwissen Was bedeutet addieren Plusrechnen Minusrechnen Malnehmen Teilen Was bedeutet Plusrechnen Minusrechnen Malnehmen Teilen subtrahieren Was bedeutet Plusrechnen Minusrechnen Malnehmen

Mehr

2. Aufgabe zu Unterrichtsplanung für eine Klasse der Unterstufe

2. Aufgabe zu Unterrichtsplanung für eine Klasse der Unterstufe 2. Aufgabe zu 31.05.2017 1. Unterrichtsplanung für eine Klasse der Unterstufe Thema: Pythagoräischer Baum und Wurzelschnecke Unterrichtsablauf Zu Beginn der Einheit wird der kürzlich gelernte Pythagoräische

Mehr

Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Algebra) G8

Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Algebra) G8 Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Algebra) G8 Terme Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl. Ein Term ist eine sinnvolle Abfolge von Rechenzeichen, Zahlen und Variablen. Beispiel zur Berechnung

Mehr

Mathematische Theorien im kulturellen Kontext. Fläche eines Parabelsegments nach Archimedes

Mathematische Theorien im kulturellen Kontext. Fläche eines Parabelsegments nach Archimedes Seminar: Mathematische Theorien im kulturellen Kontext Thema: Fläche eines Parabelsegments nach Archimedes von: Zehra Betül Koyutürk Studiengang Angewandte Mathematik 27.01.2016 ARCHIMEDES Über das Leben

Mehr

Sicheres Wissen und Können zu Dreiecken 1

Sicheres Wissen und Können zu Dreiecken 1 Sicheres Wissen und Können zu Dreiecken 1 Die Schüler verwenden den egriff Figur für beliebige geradlinig oder krummlinig begrenzte ebene Figuren. Die Namen der Figuren sind im Denken der Schüler sowohl

Mehr

Basistext Geometrie Grundschule. Eine Strecke bezeichnet man einer direkte Verbindung zwischen zwei Punkten:

Basistext Geometrie Grundschule. Eine Strecke bezeichnet man einer direkte Verbindung zwischen zwei Punkten: Basistext Geometrie Grundschule Geometrische Figuren Strecke Eine Strecke bezeichnet man einer direkte Verbindung zwischen zwei Punkten: Gerade Eine Gerade ist eine Strecke ohne Endpunkte. Die Gerade geht

Mehr

Aufgabe 2: Welche Brüche sind auf dem Zahlenstrahl durch die Pfeile gekennzeichnet? Schreibe die Brüche in die Kästen.

Aufgabe 2: Welche Brüche sind auf dem Zahlenstrahl durch die Pfeile gekennzeichnet? Schreibe die Brüche in die Kästen. Grundwissen Klasse 6 - Lösungen I. Bruchzahlen. Sicheres Umgehen mit Bruchzahlen Brüche als Anteil verstehen Brüche am Zahlenstrahl darstellen Brüche erweitern / kürzen können (Mathehelfer: S.6/7) Aufgabe

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 1 Das Rätsel 2. 2 Die erste Lösung 2. 3 Die zweite (kürzere) Lösung 6

Inhaltsverzeichnis. 1 Das Rätsel 2. 2 Die erste Lösung 2. 3 Die zweite (kürzere) Lösung 6 Inhaltsverzeichnis 1 Das Rätsel 2 2 Die erste Lösung 2 3 Die zweite (kürzere) Lösung 6 1 1 Das Rätsel Werner Brefeld hat auf der Seite http://www.brefeld.homepage.t-online.de/dreieck.html das folgende

Mehr

Die heilige Geometrie der Großen Pyramide

Die heilige Geometrie der Großen Pyramide Die heilige Geometrie der Großen Pyramide Auszug aus dem Pyramiden-Handbuch von Moustafa Gadalla Die Große Khufu-Pyramide 1. Aufsteigender Gang 2. Große Galerie 3. Königskammer 4. Königinnen-Kammer 5.

Mehr

Proportionen am Buch. Einige Standard-Blatt-Formate

Proportionen am Buch. Einige Standard-Blatt-Formate Proportionen am Buch Mittelalter / Renaissance: Asien versus Westeuropa. Blattästhetik. Umblättern. Japan oft nur oben/unten, Westeuropa rund herum Freiraum. Satzspiegel: übliche Konstruktionen. Siehe

Mehr

Mathematik Vergleichsarbeit 2010 Baden-Württemberg Gymnasium Bildungsstandard 6.Klasse

Mathematik Vergleichsarbeit 2010 Baden-Württemberg Gymnasium Bildungsstandard 6.Klasse Mathematik Vergleichsarbeit 2010 Baden-Württemberg Gymnasium Bildungsstandard 6.Klasse Gesamte Bearbeitungszeit: 60 Minuten Diese Aufgaben sind ohne Taschenrechner zu bearbeiten! Aufgabe 1: Berechne 5

Mehr

Grundwissen 8 - Lösungen

Grundwissen 8 - Lösungen Grundwissen 8 - Lösungen Bereich 1: Proportionalität 1) Die in den Tabellen dargestellten Größen sind in beiden Fällen proportional. Entscheide, welche Art von Proportionalität jeweils vorliegt und vervollständige

Mehr

Skript Prozentrechnung. Erstellt: 2015/16 Von: www.mathe-in-smarties.de

Skript Prozentrechnung. Erstellt: 2015/16 Von: www.mathe-in-smarties.de Skript Prozentrechnung Erstellt: 2015/16 Von: www.mathe-in-smarties.de Inhaltsverzeichnis Vorwort... 2 1. Einführung... 3 2. Berechnung des Prozentwertes... 5 3. Berechnung des Prozentsatzes... 6 4. Berechnung

Mehr

1. Mathematikschulaufgabe

1. Mathematikschulaufgabe Klasse 8 / I I 1.0 Gib in Mengenschreibweise an: 1.1 Zur Menge M gehören alle Punkte, deren Abstand von parallelen Geraden g und h gleich ist, oder die von einem Punkt A mehr als 4 cm entfernt sind. 1.

Mehr

Training in Vorbereitung der Nachklausur Tipps gibt es über der Fußzeile

Training in Vorbereitung der Nachklausur Tipps gibt es über der Fußzeile Geometrie I (Sommersemester 006, Dr. Christian Werge, chwerge@web.de) Training in Vorbereitung der Nachklausur Tipps gibt es über der Fußzeile (Die Lösungen liegen in einer anderen Datei vor, bitte erst

Mehr

2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen

2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen 2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen Aufgabe 1 Zeichne das Dreieck AC mit A( 1 2), (5 0) und C(3 6) und konstruiere seinen Umkreis. Gib den Radius und den Mittelpunkt des Umkreises an. Aufgabe 2 Konstruiere

Mehr

Einfache Parkettierungen

Einfache Parkettierungen Einfache Definitionen: Unter einer Parkettierung (auch Pflasterung oder Parkett genannt) verstehen wir eine überlappungsfreie Überdeckung der Ebene durch Polygone. Ein Polygon (auch Vieleck oder n-eck

Mehr

Kreis und Kreisteile. - Aufgaben Teil 1 -

Kreis und Kreisteile. - Aufgaben Teil 1 - Am Ende der Aufgabensammlung finden Sie eine Formelübersicht. a) Gib das Bogenmaß,3 im Gradmaß an. b) Gib das Bogenmaß im Gradmaß an. 9 c) Gib das Gradmaß 44 im Bogenmaß als Bruchteil von an. d) Gib das

Mehr

2 Rationale und reelle Zahlen

2 Rationale und reelle Zahlen 2 reelle Es gibt Mathematik mit Grenzwert (Analysis) und Mathematik ohne Grenzwert (z.b Algebra). Grenzwerte existieren sicher nur dann, wenn der Zahlbereich vollständig ist, also keine Lücken aufweist

Mehr

Kongruenz und Symmetrie

Kongruenz und Symmetrie Kongruenz und Symmetrie Kongruente Figuren Wenn Figuren genau deckungsgleich sind, nennt man sie kongruent. Sie haben gleiche Form und gleiche Größe. Es entsteht eine 1:1 Kopie. Figuren, die zwar die gleiche

Mehr

π geometrisch ermittelt als Gerade im Thaleskreis (mit 99,9%iger Genauigkeit).

π geometrisch ermittelt als Gerade im Thaleskreis (mit 99,9%iger Genauigkeit). Das geometrische π π geometrisch ermittelt als Gerade im Thaleskreis (mit 99,9%iger Genauigkeit). nach Hans-Werner Meixner und Coautor Christian Meixner Als Basis für die Ausführungen zur geometrischen

Mehr

Die Fibonacci-Zahlen 1

Die Fibonacci-Zahlen 1 Die Fibonacci-Zahlen 1 Leonardo Pisano Leonardo von Pisa ca. 1170 bis 1250 Sohn eines Kaufmanns aus Pisa Sein Vater war Handelsattaché der Republik Pisa in Bugia (im heutigen Algerien). Er zeigte früh

Mehr