Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen

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1 Numerisce Lösung partieller Differentialgleicungen Peter Bastian 9. Mai 008 $Id:main.tex :03:0Zbastian$ Universität Stuttgart, Institut für Parallele und Verteilte Systeme, Universitätsstraße 38, D Stuttgart

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3 Inaltsverzeicnis Inaltsverzeicnis Modellierung mit partiellen Differentialgleicungen 5. Einleitung Wiederolung von Begriffen aus der Vektoranalysis Energieeraltung Wärmefluss Wärmeleitungsgleicung Weitere Beispiele Zusammenfassung Typeinteilung partieller Differentialgleicungen 7. Allgemeine Definition Typeinteilung partieller Differentialgleicungen Beispiele für versciedene Typen Einflussbereic Zusammenfassung Zur Teorie elliptiscer partieller Differentialgleicungen 3 3. Koordinatentransformation Fundamentallösung Grenzen des klassiscen Lösungsbegriffes Separation der Variablen Mittelwerteigenscaft und Folgen Lösungsdarstellung mittels Greenscer Funktion Stabilität Zusammenfassung Differenzenmetode für elliptisce Gleicungen Der eindimensionale Fall Der n-dimensionale Fall Neumann Randbedingung Allgemeine elliptisce Gleicung Zusammenfassung M-Matrix-Teorie Einfürende Definitionen Gerscgorin Kreise und Regularität Diagonaldominante Matrizen Zusammenfassung Konvergenz des Finite-Differenzen-Verfarens Konvergenz Konsistenz Stabilität Diskrete Mittelwerteigenscaft und Maximumprinzip

4 Inaltsverzeicnis 6.5 Eigenwerte, Eigenvektoren Zusammenfassung Zellenzentrierte Finite Volumen 6 7. Problemstellung und Gitterkonstruktion Finite Volumen Zellweise Permeabilität Diskrete Eraltungseigenscaft Erweiterung auf unstrukturierte Gitter Zusammenfassung Relaxationsverfaren Dünn besetzte Matrizen und direkte Lösungsverfaren Relaxationsverfaren Matrixscreibweise der Relaxationsverfaren Konvergenz von linearen Iterationsverfaren Zusammenfassung Abstiegsverfaren Diagonaldominante Matrizen Praktisce Realisierung; Abbruckriterium Abstiegsverfaren Vorkonditioniertes Gradientenverfaren Konjugierte Gradienten Verfaren Zusammenfassung Mergitterverfaren Glättungseigenscaft Prolongation Restriktion Grobgitterkorrektur Zweigitteriteration Mergitterverfaren Zusammenfassung Parabolisce partielle Differentialgleicungen 97. Lösung mittels Fourierreie Finite Differenzen für Parabolisce Probleme Feleranalyse Numeriscer Vergleic der Verfaren Zusammenfassung Finite Differenzen für lineare yperbolisce Gleicungen 3. Metode der Carakteristiken Finite Differenzen Numeriscer Vergleic

5 Inaltsverzeicnis.4 Numerisce Diffusion Zusammenfassung Finite-Volumen-Verfaren für lineare, skalare, yperbolisce Gleicungen 9 3. Einfürung Anforderungen an die Flussfunktion Ein instabiler Fluss Lax-Friedric-Verfaren Upwind-Verfaren Godunov-Verfaren Zusammenfassung Hig resolution Scemata für lineare, skalare, yperbolisce Probleme Verfaren zweiter Ordnung Höere Ordnung mit REA Slope Limiter Verfaren Numeriscer Vergleic Zusammenfassung Nictlineare Eraltungsgleicungen Scwace Lösungen Bedeutung von FV-Verfaren Godunov Verfaren im nictlinearen Fall Zusammenfassung Literaturverzeicnis 55 3

6 Inaltsverzeicnis 4

7 Inaltsverzeicnis Vorwort Ziel dieser Vorlesung für Informatiker im Hauptstudium ist es eine kompakte Einfürung in die Numerik versciedener Typen von partiellen Differentialgleicungen zu geben. Bewusst wurde der Wert auf relative einface (aber inreicend effektive) Verfaren wie Finite Differenzen und Finite Volumen gelegt um in einer zweistündigen Vorlesungen sowol elliptisce und parabolisce als auc yperbolisce Gleicungen beandeln zu können. Jedem Typ wird zunäcst ein kurzer Abriss der Teorie vorangestellt um darauf aufbauend die numeriscen Verfaren einzufüren. Erstmals stet im Wintersemester 007/008 ein Skript zur Vorlesung und ein Foliensatz zur Verfügung. Für die Erfassung des Textes in L A TEX und vor allem die ervorragend angefertigten Zeicnungen in TikZ danke ic Adrian Dempwolff und Jö Falke rect erzlic. Alle verbleibenden Feler geen natürlic auf mein Konto. Stuttgart, im Oktober 007 Peter Bastian 5

8 Inaltsverzeicnis 6

9 Modellierung mit partiellen Differentialgleicungen. Einleitung Partielle Differentialgleicungen sind aus Naturwissenscaft und Tecnik nict wegzudenken, siee [Mar07]. Grundlegend für ire Herleitung ist dass die gesucten Größen durc kontinuierlice Funktionen bescrieben werden. So kann man etwa die Temperatur T (x, t) in einem Körper als Funktion von Raum (x) und Zeit (t) bei vorgegebener Temperatur am Rand bestimmen. Die Abbildungen und zeigen zwei verscieden geformte Körper. Der Körper in Abbildung kann in guter Näerung durc zwei Koordinaten bescrieben werden. T (x, y, z, t) zu bestimmen z y x T (x, y, t) zu bestimmen T (x, y, t) gegeben T (x, y, z, t) auf Oberfläce gegeben Abbildung : dünne Metallplatte, Variation in z klein Abbildung : beliebig geformter Metallklumpen. Wiederolung von Begriffen aus der Vektoranalysis Betracte allgemein Funktionen f : R n R m n ist die Raumdimension. m = : skalares Feld, skalare Funktion m > : Vektorfeld, vektorwertige Funktion Screibweisen: f(x, y), f(x, y, z), f(x, x,..., x n ), f(x), x R n f(x) = (f (x,..., x n ),..., f m (x,..., x n )) T. Mate für Informatiker II 7

10 Modellierung mit partiellen Differentialgleicungen Ob x, f ein Vektor oder ein skalar ist sollte jeweils aus dem Zusammenang klar werden. Es wird keine spezielle Auszeicnung wie Unterstreicen oder Fettdruck benutzt. Sei f : R n R. Definiere die partielle Ableitung von f nac x i : f f(x,..., x i +,..., x n ) f(x,..., x n ) (x,..., x n ) = lim x i 0 Betracte die übrigen Variablen x j, j i als Parameter. Bei Vektorfeldern: Differenzieren der einzelnen Komponenten f j x i (x). Entsprecend kann man auc öere Ableitungen bilden. Screibweise: f x (x) = [ ] f f(x) oder (x) = f (x) i x i x i x i x j x j x i Andere, sparsamere Screibweisen für f x i sind xi f oder f xi. gemiscte Ableitung Höere Ableitungen screibt man dann als xi xj f bzw. f xi x j. ( n Beispiel.. Betracte f(x) = j= j) x = x mit x = Norm. f (x) = n 3 n x j x i = x i x j x i Gegeben sei f : R n R, Die vektorwertige Funktion eißt Gradient von f. j= f n x (x) = x j i j= n = 3x i x j Kurz screibt man g(x) = f(x). j= x i 5 n j= n j= x j x j f x i (x) existiere für alle i =,..., n. g(x) = ( f x (x),..., f x n (x)) T N(c) = {x R n f(x) = c} eißt Niveaulinie (-fläce). 3 j= 5 ( n j= x j) x i 3 euklidisce N() N(0.) N(0.0) f(x) stet senkrect auf N(f(x)) und zeigt in Rictung des größten Anstiegs von f am Punkt x. Euklid von Alexandria, ca v. Cr., griec. Matematiker. 8

11 . Wiederolung von Begriffen aus der Vektoranalysis n f(x) = x j 3. j= x n Beispiel. (Fortsetzung von skalar Beispiel.). x = ( x x ). x Länge Sei n =. f(x) = r ; r: Abstand vom Ursprung. Niveaulinien sind konzentrisce Kreise. Oft betractet man nict Funktionen auf ganz R n sondern nur einer Teilmenge. Definition.3 (Gebiet). Ω R n eißt Gebiet falls Ω offen und zusammenängend. offen: Zu x Ω gibt es B ɛ (x) = {y Ω x y < ɛ} so dass B ɛ (x) Ω für ɛ genügend klein. zusammenängend: x, y Ω, dann gibt es eine stetige Kurve t(s) : [0, ] Ω mit t(0) = x, t() = y, t(s) Ω. Mit Ω bezeicnet man den Abscluss von Ω, also Ω plus die Grenzwerte aller Folgen, die man mit Elementen aus Ω bilden kann. Ω = Ω\Ω ist dann der Rand von Ω. Oft benötigt man zusätzlice Bedingungen an die Glatteit des Randes. Scließlic bezeicnet ν(x) die äußere Eineitsnormale in einem Punkt x Ω. Gegeben sei ein Vektorfeld f : R n R n und f i x i sei wol definiert. Ω sei ein Gebiet mit stückweise glattem Rand, das die Kegelbedingung erfüllt. Dann gilt der Gaußsce 3 Integralsatz: n f i (x) dx = f(x) ν(x) ds Ω x i= i Ω Oberfläcenintegral Volumenintegral x = y y = 0 Ω Ω x = ν(x) Dies entsprict dem Hauptsatz der Differential- und Integralrecnung in mereren Raumdimensionen, also b a f (x) dx = f(b) f(a). Für ein Vektorfeld f : R n R n eißt n f i i= x i (x) die Divergenz in x. Kurz screibt man f(x) = x. x n 3 Carl Friedric Gauß, , dt. Matematiker. f (x). f n (x) = n i= f i x i (x). 9

12 Modellierung mit partiellen Differentialgleicungen Beweis: [Fey70, Abscnitt 3-3] oder [Smi90, Nr. 7]. Der Gaußsce Integralsatz ist ein Spezialfall der partiellen Integration: f(x)g(x) dx = f(x) g(x) dx + f(x) ν(x)g(x) ds Ω f(x) ist ein Vektorfeld und g(x) eine skalare Funktion. Für g erält man f(x) dx = Ω Ω Ω Ω f(x) ν(x) ds..3 Energieeraltung Nun zurück zur Modellierung der Temperaturverteilung, siee auc [Fey70, p. -8, p. 3-4]. Sei Ω R 3 unser Körper und ω Ω ein beliebiger Teilbereic des Körpers, sowie T (x, t) die Temperatur in x zur Zeit t (Kontinuumsypotese). ω J K kg i In ω Ω ist zur Zeit t eine bestimmte Energie Q ω (t) in Form von Wärme gespeicert. Dabei gilt 4 Q ω (t) = } {{ c } ρ(x) T (x, t) dx ω Wärmeenergie in spez. Wärmekapazität Massen- abs. dicte i kg m 3 Temperatur Nun betracten wir die zeitlice Änderung von Q ω (t) in einem Zeitintervall [t, t + t] für ein beliebiges ω Ω: Q ω (t + t) Q ω (t) Änderung der Wärmeenergie in ω In Formeln: ={Zu-/Abfluss von Wärme über Oberfläce ω} +{Zu-/Abfur von Wärme über Quellen/Senken in ω} [K] Ω ω ω A ν j Q ω (t + t) Q ω (t) = t+ t t { positiv: Wärme fließt raus, da ν nac außen { }} { ω j(x, t) Fluss J s m i positiv: Wärme fließt ω zu { }} {} ν(x) ds + q(x, t) dx dt Quellei J s m 3 4 Integrale Form von Q = cmt (Wärmeenergie prop. zu T ) 0

13 .4 Wärmefluss Einsetzen der Wärmeenergie, Approximation des Integrals rects mit Ordnung, Gaußscer Integralsatz und Umstellen ergeben: ω cρt (x, t + t) cρt (x, t) t dx = j(x, t) dx + q(x, t) dx. ω ω Wir bilden den Limes t 0 und eralten (alles sei genügend glatt ): ω [ (cρt ) t ] (x, t) + j(x, t) q(x, t) dx = 0. Da der Integrationsbereic ω beliebig war folgert man, dass der Integrand punktweise verscwinden muss. Damit ergibt sic dann (cρt ) (x, t) + j(x, t) = q(x, t) für alle x Ω. t wictig! (.) Diese partielle Differentialgleicung bescreibt die Energieeraltung in allgemeiner Form. Sie ist ser typisc für die matematisce Pysik und tritt in änlicer Form auc für andere Eraltungsgrößen wie Masse und Impuls auf. Im stationären Fall gilt (cρt ) t = 0 und (.) reduziert sic auf j(x) = q(x) x Ω. (.) j und q ängen nun nict mer von T ab. Ist q 0 so erält man j(x) = 0 x Ω. Man sagt das Vektorfeld j ist divergenzfrei. Dies bedeutet, dass keine Zu-/Abfur von Wärme in das Gebiet erfolgt!.4 Wärmefluss Bleibt noc die Bestimmung des Wärmeflusses j(x, t). Hier untersceidet man zwei Fälle: Konduktion oder auc Wärmeleitung. Temperatur bedeutet kinetisce Energie der Atome, diese wird z. B. durc Stösse abgegeben/aufgenommen. Konvektion Wärmetransport durc mittlere Drift der Atome/Moleküle in einem Fluid.

14 Modellierung mit partiellen Differentialgleicungen Konduktiver Fluss Besteen in dem Körper Temperaturuntersciede so werden diese ausgeglicen. Wärme fließt von warm nac kalt. Ein möglices Modell ist j d (x, t) = λ Wärmeleitfäigkeit i J s m K ( T (x, t)) (.3) [ T (x, t) [ am Punkt x zeigt in Rictung des größten Anstiegs, T in R. d. steilsten Abstiegs. J s m K] K ] [ m J ] s m wie gefordert. (.3) eißt Fourier sces 5 Gesetz. Dies ist eine mer oder weniger gute Näerung (Modellfeler!). Konvektiver Fluss Bei der Wärmeleitung findet kein Transport von Materie statt. In einem Festkörper zittern die Atome um ire Ruelage. Diese Bewegung wird an die Nacbaratome weitergegeben. Konvektion dagegen bezeicnet den Transport von Wärme durc Bewegung der Atome (Moleküle) eines Fluids von einen Stelle zu einer anderen. ν v ν t ω A v V = A v ν t V ρ = m j c (x, t) = } {{ c } J kg K i ρ(x, t) kg m 3 i v(x, t) Konvektiver und konduktiver Fluss addieren sic zum Gesamtfluss ˆ m s T (x, t) [K] (.4) j(x, t) = j c (x, t) + j d (x, t). (.5).5 Wärmeleitungsgleicung Einsetzen des Flusses (.5) in die Energieeraltungsgleicung (.) ergibt die lineare partielle Differentialgleicung (cρt ) t + {cρvt λ T } = q x Ω und t [t a, t b ]. (.6) Die Gleicung (.6) nennt man Wärmeleitungsgleicung. Um T (x, t) eindeutig festzulegen benötigt man noc Anfangsbedingungen: T (x, t a ) = T o (x) und Randbedingungen: T (x, t) = g(x, t) x Ω, t [t a, t b ]. (.7) 5 Jean Baptiste Josep Fourier, , frz. Matematiker und Pysiker.

15 .6 Weitere Beispiele Abbildung 3: Illustration der Konvektions-Diffusions-Gleicung an einem erbstlicen Blatt. Cloropyll wird in der Näe der Rippen scneller abgebaut als weiter weg im Inneren. Bemerkung.4. (.6) gilt mit obigen Eineiten für n = 3. Den Fall n = (dünne Platte) bzw. n = (langer Stab) erält man durc T T z = 0 bzw. y = T z = 0. Allgemein bezeicnet man die Gleicung C(x, t) + {uc(x, t) D C(x, t)} = q x Ω und t [t a, t b ] (.8) t als Konvektions-Diffusions-Gleicung. Sie bescreibt die Konzentrations C(x, t) eines gelösten Stoffes in einer Strömung. Scön wird dies durc die erbstlice Färbung eines Blattes illustriert..6 Weitere Beispiele Poisson-Gleicung T t Sei nun: = 0 (stationär), v = 0 (keine Konvektion), λ =. so reduziert sic (.6), (.7) zur sog. Poisson 6 -Gleicung: ( T (x)) = q(x) x Ω, Es gilt T x (x) ( T (x)) =. = T x n (x) Damit lautet die Poisson-Gleicung auc T (x) = g(x) x Ω. n i= T (x) = q(x) x Ω, T (x) = g(x) x Ω. T x (x) =: T (x). i Bei q = 0 sagt man auc Laplace 7 -Gleicung. eisst Laplace-Operator. 6 Siméon-Denis Poisson, , fr. Matematiker und Pysiker. 7 Pierre Simon de Laplace, , frz. Matematiker und Astronom. (.9) 3

16 Modellierung mit partiellen Differentialgleicungen Elektrostatik E(x) bescreibt das elektrisce Feld (Kraft per Eineitsladung) und Φ(x) das elektrostatisce Potential. Es gelten die Gleicungen mit E(x) = ρ(x) ε 0 [ ] N C ρ: Ladungsdicte ε 0 : el. Feldkonstante C N m und E = Φ d.. Ladung bewegt sic in Rictung des steilsten Abstieg des Potentials. Zusammen also: ( Φ) = Φ = ρ(x) ε 0 Hier ist F (x) die Kraftdicte in einer verteilten Masse und Φ(x) das Gravitations- Gravitation potential. Wieder gelten die Gleicungen F (x) = 4πγρ(x), F = Φ wobei nun ρ: Massendicte, γ: Gravitationskonstante m3. kg s Zusammen: Φ = 4πγρ(x). Der Faktor 4π gilt in (ier angenommenen) 3 Raumdimensionen (siee Beispiel unten). Dies ist die Verallgemeinerung von Newtons 8 Gravitationsgesetz auf nict punktförmige Massen. 8 Sir Isaac Newton, , engl. Pysiker und Matematiker. 4

17 .6 Weitere Beispiele Grundwassergleicung Hier ist u(x, t) die Strömungsgescwindigkeit und p(x, t) der Druck. Die Eraltung der Masse wird im kompressiblen Fall bescrieben durc ϱ(x, t) t ϱ(x, t) Massendicte, Σ Zeitintervall. + {ϱ(x, t)u(x, t)} = f inω Σ. (.0) Das sog. Darcy-Gesetz stellt einen Zusammenang zwiscen Gescwindigkeit und Druck er: u(x, t) = K(x) µ ( p(x, t) ϱ(x, t)g). (.) K(x) Permeabilitätstensor, µ dynamisce Viskosität, G = g(0, 0, ) T Gravitationsvektor. Im inkompressiblen Fall (ϱ konstant) erält man {K p} = ϱ µf {ϱkg}. (.) Gekoppelter Wärmetransport im porösen Medium Wirkt die Änderung der Temperatur auf die Strömung zurück, so sind Strömungs- und Wärmetransportgleicung gekoppelt zu lösen. Bei inkompressibler Strömung in einem porösen Medium erält man: (c e ϱ e T ) t u = f, u = K µ ( p ϱ w(t (x, t))g) in Ω Σ (.3) + q + g T = g +, q = c w ϱ w ut λ T in Ω Σ (.4) für Σ = [t a, t b ], ergänzt um Rand- und Anfangsbedingungen. ϱ(t ) bescreibt die Äbängigkeit der Temperatur von der Dicte. Diese Abängigkeit wird nur im Auftriebsterm berücksictigt (Boussinesq-Approximation). Subskript w beziet sic auf Wasser, Subskript e auf das wassergesättigte poröse Medium. Beispiel.5 (Geotermie). Das System (.3),(.4) bescreibt z. B. eine Geotermieanlage in offener Bauweise. In einem Borloc fließt Wasser von oben nac unten und nimmt dabei Wärme auf. Das Borloc ist nict gegenüber der Umgebung abgedictet. In einem isolierten Innenror wird das warme Wasser nac oben gepumpt. Z Z z z b z r b (0, 0) r R (0, 0) r R 5

18 Modellierung mit partiellen Differentialgleicungen Die Abbildungen zeigen die zylindersymmetrisce Geometrie einer solcen Anlage. Hängt Lösung nict vom Winkel ab, so kann man mit zwei Koordinaten (r, z) auskommen und die Gleicungen entsprecend transformieren. Die Abbildungen zeigen Isolinien der Temperatur [K] nac 38 Tagen Betrieb der Anlage (radialsymmetriscer Fall) Temperaturdifferenz bei Grundwasserstroemung, Q = 3000 l/, Lambda 3 W/(mK) 0 m/d 0.5 m/d m/d Temperaturdifferenz [K] Betriebszeit [d] Gitter 95x95x60 Die Abbildung zeigt die Temperaturdifferenz [K] zwiscen Zu- und Ablauf über die Zeit bei -Stunden-Betrieb und unter Einfluß einer vorandenen Grundwasserströmung. 6

19 .7 Zusammenfassung Entzugsleistung bei Grundwasserstroemung, Q = 3000 l/, Lambda = 3 W/(mK) 0 m/d 0.5 m/d m/d Leistung [W] Betriebszeit [d] Gitter 95x95x60 Die Abbildung zeigt die Leistung [W] der Anlage über die Zeit bei -Stunden-Betrieb und unter Einfluß einer vorandenen Grundwasserströmung. Die Abbildungen zeigen die Entwicklung einer Instabilität der Temperaturscictung bei einer 50-facen Überöung der Temperaturabängigkeit der Dicte..7 Zusammenfassung Partielle Differentialgleicungen resultieren aus einer kontinuumsmecaniscen Bescreibung pysikaliscer Prozesse. Die Wärmeleitungsgleicung wurde ergeleitet. Sie entstet durc Einsetzen des Flussgesetzes in die Energieeraltungsgleicung. Viele weitere Gleicungen der matematiscen Pysik lassen sic ser änlic erleiten. 7

20 Modellierung mit partiellen Differentialgleicungen 8

21 Typeinteilung partieller Differentialgleicungen. Allgemeine Definition Eine partielle Differentialgleicung (PDGL) determiniert eine Funktion u(x) in n Variablen x = (x,..., x n ) T. ist eine funktionale Bezieung zwiscen partiellen Ableitungen von u an einem Punkt. Also allgemein: ( m u F (x),..., m u x m n Wictig: x m (x), m u x m n ) (x),..., u(x) = 0 x Ω (.) u eißt Lösung, wenn u die Gleicung (.) an allen Punkten x Ω erfüllt. zur eindeutigen Festlegung von u sind noc zusätzlice Bedingungen erforderlic (siee unten). m gibt die Ordnung der Differentialgleicung an. Eine spezielle Klasse stellen lineare partielle DGL dar. Für Raumdimension n = und Ordnung m = lautet die allgemeine lineare PDGL: a(x, y) u x (x, y) + b(x, y) u x y (x, y) + c(x, u y) (x, y) y Hauptteil + d(x, y) u (x, y) + e(x, y) u(x, y) + f(x, y)u(x, y) + g(x, y) = 0 x y in Ω. (.) Die ersten drei Terme stellen den sog. Hauptteil der Gleicung dar.. Typeinteilung partieller Differentialgleicungen Definition. (Typeinteilung).. Gleicung (.) eißt elliptisc im Punkt (x, y) falls a(x, y)c(x, y) b (x, y) > 0 det a b b c. Gleicung (.) eißt yperbolisc in (x, y) falls a(x, y)c(x, y) b (x, y) < 0 und 3. (.) eißt parabolisc in (x, y) falls a(x, y)c(x, y) b (x, y) = 0 und Rang [ a b d b c e ] = in (x, y). 9

22 Typeinteilung partieller Differentialgleicungen Definition. (Typeinteilung in öeren Raumdimensionen). Die allgemeine lineare PDGL zweiter Ordnung in n Raumdimensionen lautet n n a ij (x) xi xj u + a i (x) xi u + a 0 (x) = 0 in Ω. i,j= Hauptteil i= O.B.d.A. kann man a ij = a ji setzen. Mit der Matrix (A(x)) ij = a ij (x) ist die Gleicung. elliptisc in x, falls alle Eigenwerte von A(x) gleices Vorzeicen besitzen und kein Eigenwert 0 ist.. yperbolisc in x, falls kein Eigenwert von A(x) 0 ist, n Eigenwerte gleices Vorzeicen besitzen und ein Eigenwert das entgegengesetzte Vorzeicen at. 3. parabolisc in x, falls genau ein Eigenwert 0 ist, die übrigen Eigenwerte gleices Vorzeicen besitzen und Rang[A(x), a(x)] = n. Bemerkung.3 (Zur Typeinteilung).. Warum diese Einteilung? Teorie und Numerik von PDGL ist nict eineitlic für alle möglicen PDGLs. Vielmer sind für die versciedenen Typen versciedene Lösungsmetoden notwendig.. Obige Typeinteilung ist vollständig für die linearen PDGL mit n = m =. In öeren Raumdimensionen ist die Einteilung nict mer vollständig. 3. Der Typ ist invariant unter einer Koordinatentransformation. ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) und u(x, y) = ũ(ξ(x, y), η(x, y)), liefert eine neue PDGL für ũ(ξ, η) mit Koeffizienten ã, b, etc.. Hat die Gleicung für u in (x, y) den Typ t so auc die für ũ in (ξ(x, y), η(x, y)). 4. Der Typ kann in versciedenen Punkten untersciedlic sein (aber nict in unseren Anwendungen). 5. Der Typ wird nur vom Hauptteil bestimmt (Einscränkung: parabolisc). 6. Die Definition.(3) (oben) vermeidet patologisce Fälle wie u + u x x = 0; u(x, y) = 0. Mer zur Typeinteilung findet man bei [Hac86, S. 4]. Definition.4. Gleicung (.) eißt elliptisc (yperbolisc, parabolisc) in Ω falls sie für alle (x, y) Ω elliptisc (yperbolisc, parabolisc) ist. Definition.5 (Typeinteilung bei erster Ordnung). Eine Gleicung der Form d(x, y) u (x, y) + e(x, y) u(x, y) + f(x, y)u(x, y) + g(x, y) = 0 x y eißt yperbolisc, falls d(x, y) + e(x, y) > 0 (x, y) Ω (sonst ist es eine gewönlice DGL). Für n eißt v(x) u(x) + f(x)u(x) + g(x) = 0 yperbolisc. Wir beandeln in der Vorlesung vor allem skalare PDGL. Es gibt auc gekoppelte Systeme mererer PDGL und entsprecende Typeinteilungen dafür. 0

23 .3 Beispiele für versciedene Typen.3 Beispiele für versciedene Typen Beispiel.6 (Poisson-Gleicung). eißt Poisson-Gleicung. u x (x, y) + u (x, y) = f(x, y) (x, y) Ω (.3) y Diese ist der Prototyp für eine elliptisce PDGL. (.3) bestimmt die Lösung nict eindeutig. Mit u(x, y) ist z. B. auc u(x, y) + c + c x + c 3 y für beliebige c, c, c 3 eine Lösung. Um u eindeutig festzulegen ist eine Randwertvorgabe erforderlic (deswegen sagt man auc Randwertproblem ). Hierbei gibt es zwei gebräuclice Bedingungen:. u(x, y) = g(x, y) für (x, y) Γ D Ω (Diriclet 9 ),. u ν (x, y) = (x, y) für (x, y) Γ N Ω (Neumann 0, Fluß), und Γ D Γ N = Ω. Wictig ist auc Γ N Ω, da sonst die Lösung nur bis auf eine Konstante bestimmt ist. Die vollständige Poisson-Gleicung lautet also y (0, ) (0, 0) Γ D Γ N Ω Γ N x Γ D (, 0) u x + u y = f in Ω u = g auf Γ D Ω u ν = auf Γ N = Ω \ Γ D Ω Verallgemeinerung auf n Raumdimensionen: n i= u x i =: u = f in Ω u = g auf Γ D Ω u ν = auf Γ N = Ω \ Γ D Auc diese Gleicung bezeicnet man als elliptisc. Ist f 0 so sprict man auc von Laplace- Gleicung. Beispiel.7 (Allgemeine Diffusionsgleicung). Sei Ω R n ein Gebiet und K : R n R n n eine Abbildung, die jedem Punkt x Ω eine n n Matrix K(x) zuordnet. Für K(x) fordern wir zusätzlic (für alle x Ω) 9 Peter Gustav Lejeune Diriclet, , dt. Matematiker. 0 Jon von Neumann, , öster.-ungar. Matematiker.

24 Typeinteilung partieller Differentialgleicungen. K(x) = K T (x) und ξ T K(x)ξ > 0 ξ R n, ξ 0 (symmetrisc positiv definit), { }. C(x) := min ξ T K(x)ξ ξ = C 0 > 0 (uniforme Elliptizität). Dann ist { } K(x) u(x) = f in Ω ( ) u = g auf Γ D Ω K(x) u(x) ν(x) = auf Γ N = Ω \ Γ D Ω (.4) die allgemeine Diffusionsgleicung (siee auc Grundwassergleicung). In der Praxis ist (.4) für ser variables K scwierig zu lösen. Beispiel.8 (Wellengleicung). Der Prototyp einer yperboliscen Gleicung zweiter Ordnung ist die Wellengleicung: u x (x, y) u (x, y) = 0 in Ω. (.5) y Als Randwertvorgabe kommt für Ω = (0, ) etwa in Frage: x [0, ]: y [0, ]: a) u(x, 0) = u 0 (x) b) u y (x, 0) = u (x) c) u(0, y) = g 0 (y) d) u(, y) = g (y) Kompatibilität der Vorgaben für u, u y! (0, ) y nicts! u c) Ω u d) x (0, 0) u und (, 0) u y a) + Zwei Vorgaben b) wegen u! y Beacte die ausgezeicnete Rictung y, in der Praxis wäre das Zeit! a) + b) eißen desalb Anfangswerte und c) + d) Randwerte. Vorgaben auf dem ganze Rand sind nict möglic! Beispiel.9 (Wärmeleitungsgleicung). Der Prototyp einer paraboliscen Gleicung ist die Wärmeleitungsgleicung: u x (x, y) u (x, y) = 0 in Ω. y Bem.: Das ist nict klar, auc + wäre nac Def..(3) parabolisc zusätzlice Stabilität bzw. sacgemäß gestellt.

25 Als Randwertvorgabe in Ω = (0, ) wält man für x [0, ], y [0, ]: y.4 Einflussbereic nicts u(x, 0) = u 0 (x) u(0, y) = g 0 (y) u(, y) = g (y) ub) Ω uc) x u a)nur eine Vorgabe wegen u (erste Ordnung in y) y Beispiel.0 (Transportgleicung). Sei Ω R n, v : Ω R n ein gegebenes Vektorfeld. Die Gleicung {v(x)u(x)} = f(x) in Ω eißt stationäre Transportgleicung und ist yperbolisc erster Ordnung. Als Randwertvorgabe kommt in Betract u(x) = g(x) v(x) Ω für x Ω so dass v(x) ν(x) < 0 (Randvorgabe abängig von den Daten) Einströmrand v(x) Ausströmrand keine Vorgabe Auc u t + {v(x, t)u(x, t)} = f(x, t) ist yperbolisc. Ordnung..4 Einflussbereic Der Typ einer partiellen Differentialgleicung wird auc bei folgender Frage deutlic: Gegeben x Ω. Welce Randwerte/Anfangswerte beeinflussen die Lösung u am Punkt x? Elliptisc u xx + u yy = 0 y x alle Randwerte beeinflussen u(x), d.. Änderung in u(y), y Ω Änderung in u(x). x 3

26 Typeinteilung partieller Differentialgleicungen Parabolisc u xx u y = 0 Bem.: Das ist wictig, + ist formal nac Def.. parabolisc, aber nict sacgemäß gestellt (stabil) s.u. y (x, y) für (x, y) beeinflussen alle (x, y ) mit y y den Wert in x. unendlice Ausbreitungsgescwindigkeit x Hyperbolisc (. Ordnung) u xx u yy = 0 y Steigung ±c (x, y) x Lösung in (x, y) wird beeinflusst von allen Randpunkten unteralb des Kegels {(x, y ) y (x x) c + y endlice Ausbreitungsgescwindigkeit y (x x ) c + y} Ω Hyperbolisc (. Ordnung) u x + u y = 0 y x v(x) Genau ein Randpunkt beeinflusst den Wert. x.5 Zusammenfassung Wir bescäftigen uns in dieser Vorlesung vor allem mit linearen partiellen Differentialgleicungen erster und zweiter Ordnung. In zwei Raumdimensionen können diese mittels einer Typeinteilung vollständig klassifiziert werden. Die Typen elliptisc, yperbolisc und parabolisc können auc auf mer Raumdimensionen erweitert werden, allerdings ist dann nict jede gegebene PDGL von einem dieser Typen. Anand von Beispielen aben wir möglice Randvorgaben und den Einflußbereic dieser Randvorgaben für die versciedenen Typen von Gleicungen diskutiert. 4

27 3 Zur Teorie elliptiscer partieller Differentialgleicungen Bevor wir an die numerisce Lösung elliptiscer Gleicungen geen wollen wir erst einige analytisce Lösungen des Modellproblems und deren Eigenscaften betracten. Das elliptisce Modellproblem, die Laplace-Gleicung, lautet u = 0 in Ω, u = g auf Ω. (3.) Mit C k (Ω) bezeicnen wir alle Funktionen, die k-mal stetig differenzierbar auf Ω sind. Definition 3. (Klassisce Lösung). Eine Funktion u C (Ω) C 0 (Ω) eißt klassisce Lösung von (3.). Es gibt auc einen anderen Lösungsbegriff, die sog. scwacen Lösungen, die wir aber in dieser Vorlesung nur am Rande betracten (bei den yperboliscen Gleicungen erster Ordnung). 3. Koordinatentransformation Oft ist wegen der Gebietsform eine Transformation der Differentialgleicung in ein anderes Koordinatensystem vorteilaft. Hier wollen wir die Polarkoordinaten näer betracten. Sei u(x, y) eine klassisce Lösung von (3.), wobei wir damit implizit angenommen aben, dass x, y die kartesiscen Koordinaten sind. Wir füren die Polarkoordinaten (r, ϕ) ein mit x(r, ϕ) = r cos ϕ, y(r, ϕ) = r sin ϕ. (3.) Für die Jacobimatrix der Transformation gilt: J(r, ϕ) = ( x(r,ϕ) r y(r,ϕ) r x(r,ϕ) ϕ y(r,ϕ) ϕ ) ( cos ϕ r sin ϕ = sin ϕ r cos ϕ ) Nun füren wir die neue Funktion û(r, ϕ) := u(x(r, ϕ), y(r, ϕ)) ein und wollen eine partielle Differentialgleicung für û in den Koordinaten (r, ϕ) aufstellen. Dazu berecnet man die partiellen Ableitungen von û nac den neuen Koordinaten bis zur 5

28 3 Zur Teorie elliptiscer partieller Differentialgleicungen Ordnung. Man erält nac einiger Recnerei mit Produkt- und Kettenregel: û r û ϕ û rr û rϕ = û ϕϕ cos ϕ sin ϕ r sin ϕ r cos ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ r sin ϕ cos ϕ r(cos ϕ sin ϕ) r sin ϕ cos ϕ r cos ϕ r sin ϕ r sin ϕ r sin ϕ cos ϕ r cos ϕ Damit recnet man nac, dass die Laplacegleicung in Polarkoordinaten lautet: u x u y u xx u xy u yy û r + û r r + û r ϕ = u x + u y. (3.3) Beispiel 3. (Kreisring). Löse u = 0 in Ω = {(x, y) r < x + y < r } mit Γ Γ r r u(x, y) = u (x, y) Γ, u(x, y) = u (x, y) Γ. û(r, ϕ) ängt nict vom Winkel ab: û r + û r r = 0, û(r ) = u, û(r ) = u. Die allgemeine Lösung lautet û(r) = a ln(r) + b. Die Konstanten a, b bestimmt man mit Hilfe der Randbedingungen. Die spezielle Lösung ist dann: Beispiel 3.3 (Einspringende Ecke). û(r) = u u ln r ln r (ln r ln r ) + u. Löse das Modellproblem in Ω = {(r, ϕ) 0 < r <, 0 < ϕ < Φ} mit den Randdaten (in Polarkoordinaten) û(r, ϕ) = 0, ϕ {0, Φ}, ( π ) û(r, ϕ) = sin Φ ϕ, r =. Φ (0, 0) (, 0) 6

29 3. Fundamentallösung Allgemein löst û(r, ϕ) = r k sin(kϕ) die Laplacegleicung in Polarkoordinaten. Die Wal k = π/φ erfüllt die Randdaten. Für die Ableitung in radialer Rictung gilt dann r û(r, ϕ) = π Φ r π Φ sin ( π Φ ϕ ). Für Φ > π (nictkonvexes Gebiet!) wird die Ableitung in (0, 0) unendlic! Dies nennt man eine Singularität. 3. Fundamentallösung Wir untersucen nun Eigenscaften der Lösung von n u u = x = 0 (3.4) i one Randbedingungen. i= Definition 3.4 (Harmonisce Funktionen). Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion u, für die u = 0 gilt, eißt armonisc. Wir wollen nun versucen nicttriviale Funktionen (d.. nict etwa u = x ) zu finden für die u = 0 gilt. ( Da (3.4) invariant unter Rotation ist (sei w(ξ, η) = 0; Setze u(x, y) = w(ax + by, cx + dy) mit a b ) ( = cos α sin α ) eine Rotationsmatrix so gilt u = 0), suct man armonisce Funktionen c d sin α cos α in radialsymmetriscer Form der Form: u(x) = v(r(x)) mit r(x) = ( n Berecnen wir die partiellen Ableitungen von u mittels Kettenregel: also: i= r = ( x x i + + x n) x i = x i r u x i (x) = v (r(x)) x i r, und damit eralten wir für u: n u u = x i i= = u x i n i= = v (r(x)) x i ). (x 0!) ( xi ) ( ) + v (r(x)) r r x i r 3 [ ( )] v (r(x)) x i r + v (r(x)) r x i r 3 = v (r(x)) r r + nv (r(x)) r v (r(x)) r r 3 }{{} r = v (r(x)) + n r(x) v (r(x)). 7

30 3 Zur Teorie elliptiscer partieller Differentialgleicungen Nemen wir an, es sei v (r(x)) 0 x dann muss für die Funktion v(r) gelten (auflösen): v (r) v (r) = n r. Da dies für alle r(x) gelten muss können wir r nun auc als unabängige Variable betracten! Beacte, dass v von der Raumdimension n abängt. Wie siet so eine Funtion v aus? Für die Logaritmusfunktion beobacten wir Nacdifferenzieren ( ln v (r) ) { }} { v ( (r) = v wegen (r) d dz ln z = z ). (3.5) Integration liefert den Zusammenang (ln v (r) ) n dr = ln v (r) = r und somit at v (r) die Gestalt dr = ( n) r dr = ( n) ln r v (r) = r n (wegen ln a b = b ln a). Wegen v v = n (3.5) ist mit r n auc b r n + c zulässig, siee auc [Eva98]. r Dies motiviert folgende Definition: Definition 3.5 (Fundamentallösung). π ln r(x) (n = ) ( v (r) =, also v(r) = ln r) r Φ(x) := (n )ω n r(x) n (n 3) ( v (r) = r n v = r n ) jeweils so eingerictet, dass die Singularität + ist! eißt Fundamentallösung. Dabei ist ω n die Oberfläce der n-dimensionalen Eineitskugel: ω n = dx; ω 3 = 4π r(x)= Nac Konstruktion gilt Φ(x) = 0 x 0. Entsprecend ist Φ(x y) armonisc in R n \ {y}. Damit können wir auc scon praktisce Probleme lösen. 8

31 3. Fundamentallösung Beispiel 3.6 (Elektrostatik). Die Fundamentallösung kann man sic auf ganz R n erweitert vorstellen, wenn man zu Distributionen überget. Man stellt sic Φ(x) als Lösung der Gleicung Φ = δ 0 in ganz R n vor, wobei δ 0 die Deltafunktion an der Stelle 0 ist, welce folgende Eigenscaften at: { 0 x 0 δ 0 (x) = x = 0 R n δ 0 (x) dx = Man kann sic δ 0 als Grenzwert entsprecend skalierter Pulse vorstellen: 0 x ε (n = ) δ ε (x) = ε x ε = ( x ) x < ε. ε ε Es bescreibt dann u = q ε 0 δ 0 (x y) in R 3 das elektrostatisce Potential einer Punktladung q am Punkt y R 3. [ E = u ist das elektrisce Feld dieser Punktladung (ε 0 : elektrisce Feldkonstante, C ], N m E: [ [ N C], q: C ] m ). 3 E zeigt für n = 3 wegen u r ein Veralten (Coulombsces Gesetz). Bei einer Dimensionsreduktion muss man also vorsictig sein. Für n = würde E r r gelten und dies ist qualitativ falsc! Als weitere praktisce Anwendung betracten wir die Gravitation. Beispiel 3.7 (Gravitationsfeld einer Kugel). Und zwar interessieren wir uns für das Gravitationsfeld in und um eine Kugel. (i) Zunäcst das innere: Mit r(x) = 3 i= x i setzen wir Ω R i = {x R 3 r(x) < R}, Γ R = Ω R i. Das Gravitationsproblem im Inneren einer omogenen Kugel mit Radius R lautet dann F i (x) = 4πγρ in Ω R i, (3.6a) F i (x) = Φ i (x), (3.6b) Φ i (x) = Φ R auf Γ R. (3.6c) Die Kraft auf eine Punktmasse m am Ort x berecnet sic dann mittels F i m (x) = m Φ i (x). Carles Augustin de Coulomb, , frz. Pysiker 9

32 3 Zur Teorie elliptiscer partieller Differentialgleicungen Als Lösung setzen wir an Φ i (x) = ar (x) + b mit Konstanten a, b R. Zunäcst recnet man xj Φ i (x) = xj [a(x + x + x 3) + b] = ax j, xj xj Φ i (x) = a und somit Φ i (x) = 6a = 4πγρ a = πγρ 3. Aus der Randbedingung für das Potential eralten wir also insgesamt Φ i (R) = πγρ 3 R + b = Φ R b = Φ R πγρ 3 R. Φ i (x) = πγρ 3 r (x) + Φ R πγρ 3 R. Für das Kraftfeld ergibt sic damit F i (x) = Φ i (x) = 4πγρ 3 x = 4πγρ 3 r(x) x. r(x) }{{} Betrag Rictung (ii) Nun zum Kraftfeld im Aussengebiet Ω R a = {x R 3 r(x) > R}. Wir wollen lösen F a (x) = 0 in Ω R a, (3.7a) F a (x) = Φ a (x), (3.7b) F a (x) ν a (x) = F R auf Γ R, (3.7c) Φ a (x) = 0 für r(x). (3.7d) Die Normierungsbedingung für r ersetzt die Randbedingung für das unendlic große Gebiet. ν a ist die äußere Eineitsnormale am Kugelrand. Da /r(x) die Laplacegleicung auc im Kugelaussengebiet löst setzen wir an: Φ a (x) = c/r(x)+d. Man recnet nac, dass xj Φ a (x) = cx j r 3 (x). Wegen lim r(x) c/r(x) + d = d gilt also d = 0. a eralten wir aus der inneren Randbedingung: F (x Γ R ) ν a = Φ a (x) ν a = c x R R x = F R } {{ R} c = F R R. = (iii) Es liegt nae die beiden Lösungen miteinander zu verbinden. Dazu beobacten wir:. Das Potential sollte stetig für x Γ R sein (sonst wäre ja Φ undefiniert). 30

33 3.3 Grenzen des klassiscen Lösungsbegriffes. Die Kraft F sollte stetig sein (denn man spürt ja keine plötzlice Änderung wenn man die Hand in die Erde steckt). Aus der zweiten Forderung scließen wir für die Konstante c im Aussengebiet Damit gilt im Aussengebiet c = R Fi (r(x) = R) ν a = 4 3 R3 πρ γ. Masse M Φ a (x) = Mγ r(x), Fa (x) = Φ(x) = Mγ x r (x) r(x). Damit aben wir das Gravitationsgesetz für Punktmassen zurückeralten. Umgedret können wir nun das Potential im Inneren bestimmen indem wir die Stetigkeit ausnutzen (erste Bedingung oben) Φ i (x) = πγρ 3 r (x) + Φ a (R) πγρ 3 R = πγρ 3 (r (x) R ) Mγ R. Das Gesamtpotential siet also etwa so aus: R 3.3 Grenzen des klassiscen Lösungsbegriffes Können wir das Potential im Innen und Aussengebiet einer Kugel auc mit einem Problem berecnen? 3

34 3 Zur Teorie elliptiscer partieller Differentialgleicungen Es liegt Nae zu screiben F (x) = f(x) in Ω, (3.8a) F (x) = Φ(x), (3.8b) Φ a (x) = 0 für r(x). (3.8c) wobei { 4πγρ falls r(x) < R, f(x) = 0 sonst. Halt! Das ist aber nun keine klassisce Lösung mer, da Φ(x) für r(x) = R nict zweimal stetig differenzierbar ist. Der sogenannte scwace Lösungsbegriff umget diese Scwierigkeit indem er die Gleicung gescickt integriert. Eine Idee liefert die folgende Betractung. Es sei ω ein Gebiet das in zwei nictüberlappende Teilgebiete ω und ω zerlegt sei. Nemen wir an, u sei in ω integrierbar (Bem.: das setzt einen erweiterten Integralbegriff voraus). Dann gilt mit dem Satz von Gauss u dx = u ν ds. ω Andererseits können wir zerlegen und dann Gauss anwenden: u dx = u dx + u dx ω ω ω = u ν ds + u ν ds ω ω = u ν ds + ( u u ) ν ds. ω ω ω Hierbei ist u = u ω und u = u ω. Gleicsetzen beider Ausdrücke liefert die Stetigkeit der Normalenkomponente u ν auf ω ω. Das entsprict der Stetigkeit der Normalenkräfte am Kugelrand. Somit aben wir (sinnvoll) das Gravitationspotential und Feld im Innen- und Aussengebiet einer Kugel mit Masse M und Radius R bestimmt. Interessant ist dann noc folgende Beobactung: Hat man nun N Kugeln mit Radien R i, Massen M i und zugeörigem Potential Φ i (x) so ist Φ(x) = ω N Φ i (x) eine Lösung des Gravitationsproblems mit N (nictüberlappenden) Kugeln. Denn: i= 3

35 3.4 Separation der Variablen Φ = 0 ausseralb aller Kugeln, Φ = 4πγρ i inneralb der Kugel i, Φ ist stetig da die Einzelpotential stetig sind, Φ at stetige Normalenkomponenten auf den Kugelrändern. 3.4 Separation der Variablen Eine weitere einface Metode zur Lösung der Laplacegleicung nennt sic Separation der Variablen, siee [RR93, p. 6]. In zwei Raumdimensionen macen wir den Ansatz u(x, y) = X(x)Y (y). Eingesetzt in u = 0 ergibt sic X (x)y (y) + X(x)Y (y) = 0. Unter der Anname u(x, y) = X(x)Y (y) 0 (erreict man evtl. durc Verscieben der Lösung) ergibt sic X (x) X(x) = Y (y) Y (y) = λ C, denn: Wäre X (x)/x(x) nict konstant wieso sollte es dann genau gleic der völlig unabängigen Funktion Y (y)/y (y) sein? Die Funktionen X(x) und Y (y) erält man durc Lösen der gewönlicen Differentialgleicungen X (x) = λx(x), Y (y) = λy (y). Die allgemeine Lösung dieser Gleicung mit 4 Parametern ist: ( u(x, y) = A λx e ) ( + Be λx e ) λy + Ce λy. An dieser Stelle muss man nun die Randbedingungen einfließen lassen. Sei Ω = (0, ) (0, ). Als Randbedingungen betracten wir u = 0 für x = 0, y (0, ), u = 0 für x =, y (0, ), u = 0 für x (0, ), y = 0, u = f für x (0, ), y =. Setzt man die Parameter A = 4i, B =, C = und λ = n π so ist ( e inπx e inπx) ( e nπy e nπy) = sin nπx sin nπy i für alle n =,, 3,... eine Funktion, die die Nullranddaten auf den drei Rändern erfüllt. Auc alle Linearkombinationen erfüllen diese Eigenscaft. 33

36 3 Zur Teorie elliptiscer partieller Differentialgleicungen Hat f die Gestalt f(x) = N n= α n sin nπx so lautet die Lösung u(x, y) = N n= α n sin nπx sin nπy. sin nπ Was mact man nun bei allgemeinen Funktionen f? Fourier at beauptet, dass jede Funktion (ier mit Nullrändern) in eine möglicerweise unendlice Reie entwickelt werden kann: f(x) = α n sin nπx. n= Allerdings ist die Klasse der so darstellbaren Funktionen nict C 0 [0, ] sondern die größere Klasse L (0, ) der quadratintegrierbaren Funktionen. Die so ermittelten Lösungen sind somit keine klassiscen Lösungen der Laplacegleicung. 3.5 Mittelwerteigenscaft und Folgen Harmonisce Funktionen aben eine Reie bemerkenswerter Eigenscaften, die wir in diesem Abscnitt betracten wollen. Satz 3.8 (Mittelwerteigenscaft). Sei u armonisc im Gebiet U R n und B(x, r) U sei die offene Kugel mit Radius r um den Punkt x. Dann gilt u(x) = ω n r } {{ n } Oberfläce der Kugel B(x,r) u ds = α }{{} n r n B(x,r) Volumen der n-dim. Eineitskugel u(ξ) dξ (3.9) Beweis: [Eva98, S. 5, Teorem ]. Als Folge der Mittelwerteigenscaft gilt das Satz 3.9 (Starkes Maximumprinzip). Sei u C (U) C0(Ū) armonisc im bescränkten Gebiet U.. Dann ist max u = max u. Ū U d.. das Maximum wird auf dem Rand angenommen. 34

37 3.5 Mittelwerteigenscaft und Folgen. Ist U zusammenängend (sind unsere Gebiete immer) und es gibt x 0 U (also im Inneren) so dass u(x 0 ) = max u Ū dann muss u konstant in U sein! Umker: u nict konstant das Maximum liegt ect am Rand. Beweis: [Eva98, S. 7, Teorem 4]. Ersetzt man u durc u (ist auc armonisc!), so erält man dieselben Aussagen für min statt max. Das Maximumprinzip ist eine wictige qualitative Eigenscaft der Lösung mit pysikaliscer Bedeutung: One innere Quellen/Senken wird das Maximum/Minimum der Temperatur im stationären Fall am Rand angenommen. Auc eine numerisce Lösung sollte eine solce Bedingung erfüllen. Aus dem Maximumprinzip folgt ausserdem sofort die Eindeutigkeit der Lösung. Satz 3.0 (Eindeutigkeit). Sei g C 0 ( Ω), f C 0 (Ω) und Ω ein bescränktes Gebiet. Dann gibt es öcstens eine Lösung u C (Ω) C 0 ( Ω) des Problems u = f in Ω u = g auf Ω. Beweis: Angenommen u, ũ wären Lösungen, dann setze w = u ũ. w ist armonisc und w = 0 auf Ω. Da Maximum und Minimum nict im Inneren liegen dürfen, bleibt nur w = const = 0. Bemerkenswert ist auc die folgende Aussage: Satz 3. (Glatteit). Erfüllt u C 0 (U) die Mittelwerteigenscaft ((3.9)) für alle B(x, r) U, dann gilt u C (U), d.. armonisce Funktionen sind automatisc unendlic oft differenzierbar! Beweis: [Eva98, S. 8, Teorem 6] Actung: Wir wissen also, dass armonisce Funktionen automatisc unendlic oft differenzierbar sind und dass Lösungen des Modellproblems eindeutig sind. Die Existenz einer Lösung u C (Ω) C 0 ( Ω) des Modellproblems zu zeigen bereitet aber Scwierigkeiten! 35

38 3 Zur Teorie elliptiscer partieller Differentialgleicungen 3.6 Lösungsdarstellung mittels Greenscer Funktion Satz 3. (Lösungsdarstellung mittels Greenscer Funktion). Ist Ω ein Normalgebiet (partielle Integration ist erlaubt), so erlaubt die Lösung u C ( Ω) von die Darstellung u(x) = u = f in Ω, u = g auf Ω Ω g(ξ) f G(ξ, x) ν(ξ) dξ = Ω G(ξ, x)f(ξ) dξ. (3.0) Dabei eißt G(ξ, x) Greensce Funktion erster Art (d.. für Diriclet-Randbedingung). Diese muss einmal für ein Gebiet Ω gefunden werden und erlaubt dann eine Lösung für versciedene f, g. G existiert für ser allgemeine Gebiete, ist nur im Allgemeinen scwer zu finden. Beweis: [Hac86, Satz 3..5]. In der Kugel kennt man die Greensce Funktion B(y, r). Eine Anwendung des obigen Satzes ist die Satz 3.3 (Poissonsce Integralformel). Die Funktion u(x) = r x y g(ξ) dξ x B(y, r) rω n x ξ n löst B(y,r) u = 0 in B(y, r) u = g auf B(y, r). Beweis: [Hac86, Satz.3.9]. Die Carakterisierung der Lösung über die Greensce Funktion erlaubt auc einen Existenzansatz: Satz 3.4 (Existenzsatz). Es existiere eine Greensce Funktion erster Art in Ω, es sei g C 0 ( Ω) und f C 0 ( Ω) Hölder-stetig zum Exponenten λ (0, ), d.. f(x) f(y) C x y λ x, y Ω (und C unabängig von x, y). Dann stellt die Lösungsdarstellung mittels Grenn scer Funktion (3.0) eine Lösung u C (Ω) C 0 ( Ω) (= klassisce Lösung) dar. Beweis: [Hac86, Satz 3..3]. Die Existenz einer Lösung ist damit auf die Existenz der Greenscen Funktion für das Gebiet zurückgefürt. Eine wesentlic allgemeinere Lösungsteorie erält man über sog. Energiemetoden, die auf einer sog. scwacen Formulierung aufbauen. Dies ist aber einer Vorlesung über die Finite Elemente Metode vorbealten. George Green, , engl. Matematiker und Pysiker. 36

39 3.7 Stabilität 3.7 Stabilität Existenz und Eindeutigkeit der Lösung ist nict genug. Zusätzlic benötigt man noc, dass das Problem sacgemäß gestellt ist. Definition 3.5 (Sacgemäß gestelltes Problem). Eine Aufgabe der abstrakten Form eißt sacgemäß gestellt, wenn A(x) = y, x X, y Y. Zu jedem y Y gibt es ein eindeutiges x X, so dass A(x) = y.. x = A (y) ängt stetig von y ab. (Stabilität) D.. man kann zeigen, dass A (y ) A (y ) X C y y Y (bei linearem A genügt A (y) C y ).. X,. Y sind Normen auf den Räumen X, Y. Satz 3.6. Laplace- und Poissongleicung sind sacgemäß gestellt. Hier zeigen wir die stetige Abängig von den Randdaten g. Sei u = u = 0 in Ω mit den Randdaten u = g auf Ω, u = g auf Ω,. Dann gilt w = (u u ) = 0 in Ω, w = g g auf Ω. Wegen dem Maximumprinzip gilt w g g mit C =. Stabilität ist wictig, damit kleine Feler (z. B. Rundungsfeler) auc nur kleine Feler im Ergebnis bewirken. Bemerkung 3.7. Die Angabe von Rand-/Anfangswertvorgaben wie in Abscnitt.3 fürt zu sacgemäß gestellten Problemen zu den aufgefürten Typen. 3.8 Zusammenfassung Mittels Transformation der Laplacegleicung in Polarkoordinaten konnten wir spezielle Lösungen in einem Kreisring und einem Kreissegment konstruieren. Fundamentallösungen sind Lösungen der Laplacegleicung im R n \ y. Man kann sie auc als Lösungen zur Deltafunktion als recter Seite interpretieren. Das Maximumprinzip stellt eine wictige qualitative Eingenscaft von Lösungen der Laplacegleicung dar. Daraus folgt auc Existenz und sacgemäße Gestellteit des Randwertproblems. 37

40 3 Zur Teorie elliptiscer partieller Differentialgleicungen Mittels Greenscer Funktionen lassen sic Lösungen für versciedene recte Seiten und Randdaten darstellen. Allerdings muss man die Greensce Funktion für das vorliegende Gebiet erst mal bestimmen. Neben Existenz und- Eindeutigkeit fordert man ausserdem, dass partielle Differentialgleicungen sacgemäß gestellt sind. Dies bedeutet, dass die Lösung stetig von den Daten abängt. 38

41 4 Differenzenmetode für elliptisce Gleicungen 4. Der eindimensionale Fall Wie betracten zunäcst die eindimensionale Randwertaufgabe u (x) = f(x) x (0, ) u(0) = ϕ 0, u() = ϕ. (Im Gegensatz zur Anfangswertaufgabe u(0) = u 0, u (0) = u ). Aus der Taylorentwicklung für u(x ± ) erält man bzw. u(x + ) = u(x) + u (x) + u (x + ϑ + ) ϑ + (0, ) (4.) u u(x + ) u(x) (x) = u (x + ϑ + ) ϑ + (0, ) u(x ) = u(x) u (x) + u (x ϑ ) (4.) u u(x) u(x ) (x) = + u (x ϑ ) sowie Scrittweite. ( + u)(x) := [u(x + ) u(x)]/ eißt Vorwärtsdifferenz und ( u)(x) := [u(x) u(x )]/ eißt Rückwärtsdifferenz. Entwickelt man bis zur 4. Potenz (bzw. 3. Potenz), u(x + ) = u(x) + u (x) + u (x) u (x) u (x + ϑ + ) u(x ) = u(x) u (x) + u (x) 3 6 u (x) u (x ϑ ) so erält man die Formeln u(x + ) u(x ) = u (x) + 3 { u (x + ϑ + ) + u (x ϑ ) } 6 u u(x + ) u(x ) (x) = { u (x + ϑ + ) + u (x ϑ ) } (4.3) 39

42 Inaltsverzeicnis bzw. u(x + ) + u(x ) = u(x) + u (x) + 4 { u (x + ϑ + ) + u (x ϑ ) } 4 u u(x ) u(x) + u(x + ) (x) = {... }. (4.4) 4 Damit eralten wie das folgende Lemma. Lemma 4.. Es gilt [u(x + ) u(x)] = u (x) + R [u(x) u(x )] = u (x) + R mit R u C ( Ω) := sup u (x) x Ω [u(x + ) u(x )] = u (x) + R [u(x ) u(x) + u(x + )] = u (x) + R mit R 6 u C 3 ( Ω) mit R u C 4 ( Ω) Zur näerungsweisen Lösung des Randwertproblems unterteilen wir Ω = (0, ) in N Teilintervalle [x i, x i+ ] i = 0,..., N und x i = i mit = N. und setzen Ω = {i i N 0 und 0 < i < N} bzw. Ω = {i i N 0 und 0 i N} 0 N = 8 x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 0 x 0 x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Ist u C 4 ( Ω) ergibt einsetzen der Differenzenformel in die Differentialgleicung: [u(x ) u(x) + u(x + )] = f(x) + O( ) x Ω. Streicen des Resttermes ergibt #Ω = N lineare Gleicungen [u (x ) u (x) + u (x + )] = f(x) x Ω (4.5) für die # Ω = N + unbekannten Werte u (x), x Ω. Die restlicen zwei Gleicungen liefert die Randbedingung: u (0) = ϕ 0, u () = ϕ. (4.6) 40

43 4. Der n-dimensionale Fall u : Ω R nennen wir eine Gitterfunktion. Walweise fassen wir u auc als Vektor u R N u = (u (), u (),..., u ( )) T auf. Hierbei bescränken wir uns auf die unbekannten Werte u (x), x Ω (also exklusive der Randwerte). Eliminiert man u(0), u() in (4.5) mittels (4.6), so erält man das lineare Gleicungssystem L mit der Tridiagonalmatrix L. u () f() + ϕ 0 u () f() u (3) f(3) =.. u ( ) f( ) u ( ) f( ) + ϕ } {{ } u = q 4. Der n-dimensionale Fall Die Differenzenformel für die zweite Ableitung gilt auc für partielle Ableitungen: xi xi u = [u(..., x i,...) u(..., x i,...) + u(..., x i +,...)] + O( ). Lemma 4.. Sei u C 4 ( Ω), dann gilt { n } u(x) = [u(x e i ) + u(x + e i )] nu(x) + R i= mit R n u C 4 ( Ω) und e i = (0,...,,..., 0) T. (4.7) i-te Position Man definiert u(x) := n [u(x e i ) + u(x + e i )] nu(x). i= Speziell für n = wälen wir wieder das Gitter Ω = {(x, y) Ω x/, y/ Z} mit = N und Ω = { (x, y) Ω x/, y/ Z }. 4

44 Inaltsverzeicnis Weiter sei Γ := Ω Ω. Für die Gitterfunktion u : Ω R eralten wir unter Vernaclässigung des Felerterms die (N ) Bedingungen : Ω : Γ u (x) = f(x) x Ω (, (, ) ) und die (N + ) (N ) = N + N + N + N = 4N Bedingungen u (x) = g(x) x Γ. (, ) (, ) Elimination der Randbedingungen liefert wieder ein lineaeres Gleicungssystem L u = q für den unbekannten Vektor u = (u (, ), u (, ),..., u (, ), u (, )) T R (N ). Dabei gilt wieder folgende Konvention: u : Ω R ist eine Gitterfunktion. Da sind die Randwerte mit dabei. u R (N ) ist ein Vektor. Da sind die Randwerte nict mit dabei. Nun zur Gestalt des linearen Gleicungssystemes L = (4.8) 4

45 4. Der n-dimensionale Fall q = f(, ) + [g(, 0) + g(0, )]/ f(, 0) + g(, 0)/.. f(, ) + g(0, )/ f(, ) + [g(, ) + g(, )]/ Die Struktur des linearen Gleicungssystemes ängt von der Nummerierung der Gitterpunkte ab. Hier aben wir die sogenannte lexikograpisce Anordnung der Gitterpunkte im Vektor u gewält. Dann at die Matrix L Bandstruktur. Fasst man die den Zeilen im Gitter entsprecenden Unbekannten zu Blöcken zusammen, so ergibt sic eine Matrix mit Blocktridiagonalgestalt: T L = I I T I I stet für die Eineitsmatrix. I T I I T, T = Den Differenzenoperator screibt man gerne als Differenzenstern =