Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag zum 2. Tutoriumsblatt

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1 Mathematisches Istitut der Uiversität Müche Sommersemester 2014 Daiel Rost Lukas-Fabia Moser Grudlage der Mathematik II Lösugsvorschlag zum 2. Tutoriumsblatt Aufgabe 1. a) Die Additios- ud Multiplikatiosoperatioe iz 7 ererbe sich vo der übliche Additio ud Multiplikatio i Z; Restklasse werde also addiert bzw. multipliziert, idem ma ihre (im Prizip beliebig zu wählede) Vertreter addiert bzw. multipliziert. Dies liefert zuächst die folgede Verküpfugstafel: ud Nu gilt aber 7 = 0, 8 = 1 usw. i Z 7, ud es ist sivoll, zur Beeug vo Elemete vo Z 7 tatsächlich ur die siebe Bezeichuge 0,1,...,6 zu verwede. Damit erhalte die obe agegebee Verküpfugstafel die folgede Gestalt, die de Vorteil hat, daß die Eiträge der Tabelle ur Symbole ethalte, die auch i de Zeile- ud Spaltebeschriftuge auftauche: ud Erst a dieser Form der Verküpfugstafel ka ma beispielsweise direkt ablese, daß der Rig Z 7 tatsächlich ei Körper ist (de jede Zeile der Multiplikatiostafel außer der Nullzeile ethält eimal 1). Die Lösuge der weitere Teilaufgabe ka ma u ahad der Multiplikatiostafel vo Z 7 ablese: b) Das Elemet a 1 ist das eideutig bestimmte Elemet mit a a 1 = 1; ahad der Multiplikatiostafel ergibt sich: a a (Es wurde also i der Zeile a die Positio des Eitrags 1 gesucht; diese liefert de Wert vo a 1.)

2 c) Dies fuktioiert ählich wie i b) (wo wir ja im Prizip die Gleichug a x = 1 gelöst habe). Ei Blick i die Multiplikatiostafel zeigt, daß x = 2 die eizige Lösug der Gleichug 5 x = 3 ist. Alterativ ka ma auch die Gleichug auflöse ud direkt reche: 5 x = 3 (Auflöse achx... ) x = (Nachschlage uter b)... ) x = 3 3 (Nachschlage i der Multiplikatiostafel... ) x = 2. Auf die gleiche Art ergibt sich für die Gleichug 4 x = 2 iz 7 die eizige Lösug x = 4. d) Die Quadrate iz 7 sid die Eiträge auf der Hauptdiagoale (also der vo Nordwest ach Südost verlaufede Diagoale) der Multiplikatiostafel. Hier tauche ur die Werte 0, 1, 2 ud 4 auf, ud zwar gilt geauer: Aufgabe 2. Die Gleichug x 2 = 0 hat ur die Lösug x = 0, die Gleichug x 2 = 1 hat die Lösuge x 1 = 1 ud x 2 = 6, die Gleichug x 2 = 2 hat die Lösuge x 1 = 3 ud x 2 = 4, ud die Gleichug x 2 = 4 hat die Lösuge x 1 = 2 ud x 2 = 5. Die Gleichuge x 2 = 3, x 2 = 5 ud x 2 = 6 besitze keie Lösuge. Für Iteressierte: Die Frage, welche Elemete des Körpers Z p (p > 2 eie Primzahl) Quadrate sid ud welche icht, ist kompliziert, ud sie hat die Mathematiker lage beschäftigt. Das Elemet 0 ist immer ei Quadrat (de 0 = 0 2 ); vo de übrige p 1 Elemete sid stets geau die Hälfte Quadrate. Welche dies jedoch sid, ist schwieriger zu sage; die Atwort liefert das berühmte Quadratische Reziprozitätsgesetz vo Leohard Euler ( ) ud Carl Friedrich Gauß ( ). a) I der agegebee sechselemetige Gruppe ist beispielsweise ud b+b+b+b+b+b = (b+b)+(b+b)+(b+b) = d+d+d = b+d = 0. e+e+e+e+e+e = (e+e)+(e+e)+(e+e) = b+b+b = d+b = 0. b) Da laut Vorlesug i jeder Zeile jedes Elemet der Gruppe geau eimal vorkommt, stehe i jeder Zeile der Gruppetafel geau die gleiche Elemete, ur i jeweils verschiedeer Reihefolge. Da wir i eier abelsche Gruppe arbeite, ist die Summe all dieser Elemete also stets die gleiche. (Nebebei: I eier icht-abelsche Gruppe wäre icht eimal klar, was mit der Summe der Elemete gemeit sei soll.) c) We wir, wie vorgeschlage, die Elemete vo G mit a 1,...,a bezeiche (wobei da im übrige eies dieser Elemete mit 0 ud eies mit dem us iteressierede Elemet g idetisch sei wird), gilt ach b): Summe der Elemete der g-zeile = Summe der Elemete der 0-Zeile (g +a 1 )+(g +a 2 )+...+(g +a ) = a 1 +a a (a 1 +a a )+g +g +...+g = a } {{ } 1 +a a Summade g +g +...+g = 0. } {{ } Summade

3 Aufgabe 3. a) Es ist(1+1) (1+1) = 1 (1+1)+1 (1+1) = , ud der Satz vo Euler-Fermat für die vierelemetige abelsche Gruppe(K,+) besagt, daß dieser Ausdruck de Wert 0 hat. b) Wir habe i a) gezeigt, daß(1+1) 2 = 0 ist. I eiem Körper folgt aber ausx 2 = 0 bereitsx = 0, de Körper sid ullteilerfrei (aus x y = 0 folgt, falls icht scho y = 0 ist, x = x y y 1 = 0 y 1 = 0, also x = 0.) Also muß1+1 = 0 sei. c) Da 0 das eutrale Elemet der Additio ist, ud wir bereits = 0 bewiese habe, erhalte wir folgedes Fragmet eier Verküpfugstafel: 1 1 0?? a a? b b? Um die Fragezeiche loszuwerde, verwede wir, daß i jeder Zeile ud jeder Spalte eier Gruppetafel (ma beachte, daß (K, +) eie Gruppe ist!) jedes Elemet der Gruppe geau eimal auftaucht. Die Fragezeiche müsse also jeweils für a bzw.bstehe. Wäre u aber a+1 = a, so würde1 = 0 folge, ud das ka icht sei. 1 Also mußa+1 = b sei, ud damit bleibt ur die folgede Möglichkeit: a a b b b a d) Es ist x + x = x 1 + x 1 = x (1 + 1) = x 0 = 0 für alle x K. Damit köe wir die Additiostafel um zwei Eiträge ergäze: a a b 0? b b a? 0 Die beide verbliebee Fragezeiche ergebe sich u wieder aus der Regel, daß jede Zeile ud jede Spalte jedes Elemet des Körpers eimal ethält: Sie müsse also beide für 1 stehe, so daß sich die Additiostafel ergibt. a a b 0 1 b b a Alterative Begrüdug: Wärea+1 = a, so müßte das verbleibede Fragezeiche i der zweite Zeile bzw. Spalte mit b gefüllt werde, ud das würde b + 0 = b + 1 impliziere, was icht sei ka.

4 Ma beachte, daß sich diese Additiostafel vo derjeige des Riges Z 4 uterscheidet! Es loht sich erfahrugsgemäß, klarzustelle: Es gibt eie Körper mit vier Elemete ud wir erarbeite i dieser Aufgabe, wie er aussehe muß, er hat jedoch ichts mit dem ebefalls vierelemetige RigZ 4 zu tu!. e) Da i der Vorlesug bewiese (ud auch i diese Lösugsskizze scho mehrfach verwedet) wurde, daß i jedem Körper0 x = 0 für jedesxgilt, ud1das eutrale Elemet der Multiplikatio ist, ka ma das folgede Fragmet der Multiplikatiostafel umittelbar aschreibe: a 0 a b 0 b Zum Vervollstädige hilft die Tatsache, daß(k\{0}, ) eie abelsche Gruppe sei muß: Vergesse wir die0-zeile ud -Spalte, so muß also jedes der drei Elemete 1,a,b i jeder der verbleibede Zeile ud Spalte eimal auftauche. Wir müsse also ur kläre, ob a 2 = 1 oder a 2 = b ist. Im erste Fall würde sich da aber zwagsläufig das folgede Bild ergebe: a 0 a 1 b b 0 b b Dies ka icht richtig sei, weil sich damit i der letzte Zeile/Spalte doppelte Eiträge (ud gleichzeitig damit zwagsläufig fehlede Elemete) ergebe. Also muß a 2 = b sei, ud es ergibt sich die Multiplikatiostafel a 0 a b 1 b 0 b 1 a Bemerkug. I dieser Aufgabe habe wir icht bewiese, daß es eie Körper mit vier Elemete gibt! Stattdesse habe wir gezeigt: We es eie solche Körper gibt, da sehe seie Additios- ud Multiplikatiostafel aus wie agegebe. Zum Nachweis der Existez eies vierelemetige Körpers müßte ma u och verifiziere, daß durch die agegebee Additios- ud Multiplikatiostafel eie Struktur defiiert wird, die alle Axiome eies Körpers erfüllt. Isbesodere wäre also die Gültigkeit des Distributivitätsgesetzes zu zeige, ud wir habe scho im letzte (5. Tutoriums- ud 5. Übugsblatt) gesehe, wie mühevoll das ist. Zum Glück gibt es abstrakte Verfahre, um die Existez eies vierelemetige Körpers mit weiger Recheaufwad achzuweise (die jedoch i userer Vorlesug keie Rolle spiele werde). Das defiitive Resultat, das im Wesetliche vo Evariste Galois, , stammt, lautet: Es gibt geau da eie Körper mit Elemete, we eie Potez eier Primzahl ist, ud die Verküpfugstafel dieses Körpers sid da (bis auf evetuelle Umumerierug der Elemete) scho eideutig bestimmt.

5 Aufgabe 4. Die biomische Formel liefert (a+b) p = p =0 a b p. Nu habe wir i Aufgabe 2 c) vom 1. Übugsblatt gezeigt, daß die Biomialkoeffiziete ( p ) für 1 < p allesamt durch p teilbar sid. Wir zerlege die Summe i de (große) Teil, der vo dieser Regel erfaßt wird, ud eie (kleie) Restteil: p 1 (a+b) p = a p +b p + a b p. We wir u vo dieser Gleichug gazer Zahle zu Restklasse i Z p übergehe (also Querstriche über alles setze ), fällt das gesamte Summezeiche weg, de jeder seier Summade ethält eie Faktor p, der also iz p zu ull wird, ud das bedeutet wie behauptet. =1 =1 (a+b) p = a p +b p p 1 + a b p = a p +b p,