5. Flächenlehre ohne Rechnen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "5. Flächenlehre ohne Rechnen"

Transkript

1 5. Flächenlehre ohne Rechnen Die Zielsetzung. Was ist der Flächeninhalt eines Quadrats? Zunächst erscheint die Frage als ganz leicht zu beantworten: man messe die Länge der Quadratseite und quadriere die erhaltene Zahl. Wir wissen aber bereits, daß dies nicht die wissenschaftliche Antwort sein kann, denn nicht alle Seiten sind meßbar (wie ja schon die Pythagoräer feststellen mußten). Das Messen mit einem Millimertermaß und dgl. kann also nur eine Näherung sein. Die Griechen waren aber nicht an Näherungen interessiert. Sie ware überhaupt nicht an praktischen Anwendungen interessiert. Ihr Interesses (insb. das Interesse der platonischen Akademie) war philosophischer Art und für sie hatte deshalb der Flächeninhalt eines Quadrats überhaupt nichts mit Messen (und mit Zahlen usw.) zu tun. Für die Griechen war die Frage nach dem Flächeninhalt, die grundsätzliche Frage nach Flächengleicheit. Sie betrachteten also, modern ausgedrückt, eine neue Äquivalenzrelation (neben der Äquivalenzrealtion der Kongruenz, die wir schon kennen), nämlich die der Flächengleichheit (oder Inhaltsgleicheit, wenn es um räumliche Figuren geht). Die Grundidee. Die Griechen interessierte die Antwort auf die Frage, wann sind zwei geradlinig begrenzte Figuren in der Ebene flächengleich. Die Antwort die sie gefunden haben ist verblüffend und, im Nachhinein gesehen, ganz einfach. Sie hat wieder mit dem ursprünglichen Problem der Verdopplung von Quadraten zu tun (d.h. mit der alten Konstruktion von Quadraten, die flächengleich sind einer Figur mit doppeltem Inhalt). Die Griechen sahen den obigen Vorgang als einen Prozess des Zerschneidens. Die Figur auf der linken und die Figur auf der rechten Seite konnte so (geradlinig) zerschnitten werden, daß die enstehenden Teile paarweise gleich sind. Wir sagen, die die linke und rechte Figur

2 5 Flächenlehre 55 sind zerschneidungsgleich (oder heute: scissor equivalent). Die Griechen definierten: Definition. Zwei geradlinige Figuren in der Ebene sind flächengleich genau dann wenn sie zerscheidnungsgleich sind. emerkung. Das Studium dieser scissor equivalence ist heute wieder sehr modern mit Anwendungen bis hin zu solch modernen Theorien, wie die Algebraische K-Theorie. emerkung. Mit der obigen Definition ist der für die Griechen so ungewollte Vorgang des Messens aus der Geometrie der ebenen Figuren vertrieben. Wie sieht es mit Figuren im Raum aus? Im Jahre 1900 hat Hilbert auf dem Internationalen Kongress für Mathematik in Paris seine Liste der mathematischen Probleme vorgestellt. Es war seine Überzeugung, dass es diese Probleme sind, die die Mathematik des 20. Jahrhunderts prägen werden. Diese Hilbert schen Problemen stellten sich dann auch tatsächlich als sehr zentral heraus und sind so bedeutend, dass sie von den Mathematikern allein an ihren Nummern erkannt werden. So gibt es das 1. Hilbertsche Problem, das von der Kontinuumshypothese handelt, dann das 10. Hilbertsche Problem von dem jeder Mathematiker weiss, dass es von der Lösbarkeit von Diophantischen Gleichungen handelt usw. Jeder Mathematiker, der eines der Hilbertschen Probleme lösen konnte, wurde damit schlagartig in der mathematischen Welt (und manchmal auch darüberhinaus) berühmt. So Paul ohen, für die Lösung des 1. Hilbertschen Problems und Julia Robertson und Ju. Matijasevic, für die Lösung des 10. Hilbertschen Problems. Für uns ist auch ein besonderes Problem aus der Hilbertschen Liste wichtig, nämlich Das 3. Hilbertsche Problem. Es sind zwei Tetraeder mit gleicher Grundfläche und von gleicher Höhe anzugeben, die sich auf keine Weise in kongruente Tetraeder zerlegen lassen und die sich auch durch Hinzufügung kongruenter Tetrahedra nicht zu solchen Polyedern ergänzen lassen für die ihrerseits eine Zerlegung in kongruente Tetraeder möglich ist. Hilbert s Schüler, Max Dehn, der Professor hier in Frankfurt war, hat dieses Problem gelöst. Er hat damit gezeigt, dass eine Inhaltslehre von Figuren im Raum von ganz anderer Natur sein muß als für Figuren in der Ebene. Dies ist, im nachhinein gesehen, der Grund warum im Euklidischen Lehrbuch die Figuren im Raum ganz anders behandelt werden als in der Ebene. Für Figuren im Raum wird im Euklidischen Lehrbuch eine damals ganz revolutionäre Methode benutzt, nämlich die sog. Exhaustionsmethode. Sie hat eine gewisse Ähnlichkeit mit heutiger Integrationstheorie (muss aber davon unterschieden werden). Diese Methode wurde früher lange Zeit als zu aufwendig angesehen. Aber, dank des Dehn schen Resultats, wissen wir heute, dass sie (oder ähnlich komplizierte Methoden) ganz unvermeidlich ist. Aber dies gehört in die Analysis. Und das ist auch der Grund für uns, weshalb wir im Folgenden ganz bei Figuren in der Ebene bleiben und keine räumlichen Figuren behandeln werden.

3 56. Geometrie (L2) 1. Flächeninhalte von Dreiecken und Parallelogrammen. Satz. [Euklid I 35] Auf derselben Grundlinie zwischen denselben Parallelen und AF gelegene Parallelogramme AD und EF sind einander flächengleich. A D E F G eweis. Es ist [Euklid I 34] AD = = EF, da AD und EF Parallelogramme sind, und so (Ax. 2) AE = AD +DE = +DE = EF +DE = DF Aber auch ALso [Euklid I 4] A = D und E = F. AE = DF. Damit haben wir AGD = AE DGE = DF DGE = EGF und so AD = AGD + G = EGF + G AGD = EF. emerkung. Im obigen eweis wurden die arithmetischen Zeichen + und - immer da verwendet wo bei Euklid man füge zu oder man nehme weg und dgl. steht. Damit vereinfacht sich zwar für uns die Schreibweise des eweises und er wird übersichtlicher - aber nur deshalb weil wir heute an algebraischer Notation gewöhnt sind. Auf der anderen Seite aber nähert man sich so schleichend einer algebraischen Denkweise, die es bei den Griechen nicht gab. Die Griechen waren Geometer. Weiter haben wir - wie Euklid - das Symbol = auch für Flächengleichheit benutzt, was zwar etwas ungenau ist, aber die Notation vereinfacht.

4 5 Flächenlehre 57 Satz. [Euklid I 37] Auf derselben Grundlinie zwischen denselben Parallelen, AD gelegene Dreiecke A und D sind einander flächengleich. E A D F eweis. Man ziehe die Strecke AD und verlängere sie geradlinig, nach beiden Seiten, nach E,F. Man ziehe [Euklid I 31] die Strecke E, parallel zu A Man ziehe die Strecke F, parallel zu D. Dann ist EA als auch DF ein Parallelogramme und [Euklid I 35] EA = DF, da die Parallelogramme auf derselben Grundlinie und zwischen denselben Parallelen, EF liegen. Damit ist [Euklid I 34] A = 1 2 EA = 1 2 DF = D.

5 58. Geometrie (L2) Satz. [Euklid I 41] Ein Parallelogramm AD habe mit einem Dreieck E dieselbe Grundlinie und liege zwischen denselben Parallelen, A. Dann ist das Parallelogramm doppelt so groß wie das Dreieck, d.h. AD = 2 E. A D E eweis. Man ziehe A. Dann ist [Euklid I 37] A = E; da die Dreiecke auf derselben Grundlinie und zwischen denselben Parallelen, AE liegen. Weiter ist [Euklid I 34] AD = 2 A denn das Parallelogramm wird von der Diagonalen A halbiert, und so AD = 2 E.

6 2. Der Satz von Pythagoras und seine Umkehrung. 5 Flächenlehre 59 Wir heben schon im 1. Kapitel über den Satz von Pythagoras gesprochen. Insbesondere haben wir einen (intuitiven, aber nicht axiomatischen) eweis gegeben. Hier ein zweiter eweis für den Satz von Pythagoras. Diesmal der originale eweis aus dem Euklidischen Lehrbuch. Satz von Pythagoras. [Euklid, I 47] Sei A ein Dreieck mit A = R. Dann ist 2 = A 2 +A 2, d.h. am rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seiten den Quadraten über den den rechten Winkel umfassenden Seiten zusammen gleich. G F A H eweis. D L E Man zeichne über das Quadrat DE [Euklid I 46] und über A die Quadrate FA. Man ziehe die Strecke AL, parallel zu D. Es ist genügt zu zeigen ehauptung. F A und L sind flächengleich. Zum eweis der ehauptung ziehe man die Hilfslinien F und DA. Dann ist [Euklid I 41] L = 2 DA und 2 F = FA (1)

7 60. Geometrie (L2) da DA und L auf der gleichen Grundlinie und zwischen den gleichen Parallelen D, AL liegen. Ebenso für das andere Quadrat. Weiter ist nach Voraussetzung A = R. Also bilden an der geraden Linie A, im Punkte A, die zwei, nicht auf derselben Seite liegenden Strecken A, AG, Nebenwinkel, die zusammen = 2R sind. Also setzt A die gerade Linie AG gerade fort [Euklid I 14]. Ferner ist (Post. 4 Daher ist (Ax. 2) D = R = FA. sowie (Def. 22) DA = D + A = FA+ A = F D = und F = A Also ist (Erster Kongruenzsatz) [Euklid I 4) Zusammen mit (1) folgt hieraus AD = F Dies war zu zeigen. L = 2 DA = 2 F = FA

8 5 Flächenlehre 61 Umkehrung vom Satz des Pythagors. Sei A ein Dreieck. Dann gilt: A 2 +A 2 = 2 A = R := rechter Winkel eweis. Angenommen A < R. Dann betrachte das folgende ild. E A H D eobachte D = AF (wegen Kongruenzssatz SWS). F G Zum eweis des Satzes beobachte weiter, dass die gerade Linie AE die gerade Linie A nicht geradlinig fortsetzt, da A R und EA = R. Deshalb ist G = AF = D < DA Im nächsten ild ist der hierfür relevante Teil des obigen ildes herausgestellt: E A K L D Wir sehen, dass D = DLK < DAE, wenn der Winkel A < R und EA = R. Ebenso zeigt man Also ist G < H 2 = F = G+ G < DA+ H = A 2 +A 2 und somit 2 < A 2 +A 2. Widerspruch. Ebenso erhält man einen Widerspruch zur Annahme A > R.

9 62. Geometrie (L2) 3. Das Grundproblem der Euklidischen Flächenlehre. Das Grundproblem der Euklidischen Flächenlehre ist die folgende Aufgabe. Grundaufgabe. [Euklid, II 14] Gegeben sei ein beliebiges Rechteck. Man konstruiere, das dazu flächengleiche Quadrat. A H G E F Lösung. Gegeben sei das Rechteck D. Wenn E = ED dann wäre die Aufgabe schon ausgeführt. Andernfalls ist etwa E größer als ED. Man verlängere E nach F so dass EF = ED. Man halbiere F in G, Man zeichne den Halbkreis HF, mit G als Mittelpunkt und einer der Strecken G, GF als Abstand. Man verlängere DE nach H und ziehe GH. Dann ist E EF +EG 2 = GF 2 Dies wird in [Euklid, II 5] geometrisch bewiesen. Wir machen es uns hier aber einfacher und überzeugen uns algebraisch (mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes) wie folgt: GF 2 EG 2 = (GF +EG) (GF EG) = (G+EG) EF = E EF. Da GF = GH (Def. 15) ist E EF +GE 2 = GH 2 Aber nach [Euklid, I 47] (= Pythagoräischer Lehrsatz) ist GH 2 = HE 2 +EG 2. D Also sind E EF +GE 2 = HE 2 +EG 2

10 5 Flächenlehre 63 Somit E EF = EH 2 E EF ist aber D; denn EF = ED; also ist D = HE 2. D ist aber dem am Anfang gegeben Rechteck gleich. Literatur. Euklid, Geometrie

4. Parallelität ohne Metrik

4. Parallelität ohne Metrik 4. Parallelität ohne Metrik In der Euklidischen Geometrie wird nicht gemessen. as hat zwei Gründe. Erstens, gab es bei den Griechen noch kein entwickeltes Stellenwertsystem. Zweitens, haben sie ja schon

Mehr

2. Kongruenzsätze (SWS und SSS) ohne Parallelen.

2. Kongruenzsätze (SWS und SSS) ohne Parallelen. 2. Kongruenzsätze (SWS und SSS) ohne Parallelen. In diesem Kapitel beginnen wir mit der systematischen ufstellung der Euklidischen Geometrie wie man sie in [Euklid, Elemente] findet. ls erstes Lehrstück

Mehr

3. Die pythagoräische Geometrie.

3. Die pythagoräische Geometrie. II. Geometrie. 3. Die pythagoräische Geometrie. Neben der Zahlenlehre haben sich die Pythagoräer auch mit Geometrie beschäftigt. Schließlich ist ja der bekannte Satz des Pythagoras eng mit ihrem Namen

Mehr

Parallelogramm. Simone Alvarenga, Klaus Baderschneider, Mathias Volz Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I: Geometrie

Parallelogramm. Simone Alvarenga, Klaus Baderschneider, Mathias Volz Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I: Geometrie Einführung in das Thema Parallelogramm Simone Alvarenga, Klaus Baderschneider, Mathias Volz Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I: Geometrie Lehrplanaussagen MS, RS Lehrplanaussage MS: Jahrgangsstufe

Mehr

4.15 Buch I der Elemente

4.15 Buch I der Elemente 4.15 Buch I der Elemente Das erste Buch der Elemente beginnt mit 23 Definitionen, 5 Postulate und einige Axiomen (von denen man in späteren Ausgaben bis zu 9 findet). Die ersten fünf Definitionen lauten

Mehr

4. Kongruenz ohne Parallelen.

4. Kongruenz ohne Parallelen. 4. Kongruenz ohne Parallelen. Den Griechen war bald klar, dass es bei einer solchen fundamentalen Frage, wie der nach der Existenz eines Pentagons, nicht mehr um noch so clevere geometrische Tricks gehen

Mehr

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze. 6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese

Mehr

Vom Rechteck, das ein Quadrat werden wollte

Vom Rechteck, das ein Quadrat werden wollte Vom Rechteck, das ein Quadrat werden wollte Schule: Hohenstaufen-Gymnasium Kaiserslautern Idee und Erprobung der Unterrichtseinheit: Klaus Merkert Die folgende Unterrichtseinheit ist ein Beispiel für Problemstellungen

Mehr

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze.

6.1.2 Bem.: Für Vierecke ist der Begriff Innenwinkel im allgemeinen nicht sinnvoll. Skizze. 6 Flächeninhalt 6.1 Vierecke 6.1.1 Def.: Seien A, B, C, D vier verschiedene Punkte in E, keine drei auf einer Geraden, so dass AB, BC, CD, DA einander höchstens in Endpunkten treffen. Dann bilden diese

Mehr

3. Vorlesung. Die Existenz des Pentagons. (*)

3. Vorlesung. Die Existenz des Pentagons. (*) 3. Vorlesung. ie Existenz des Pentagons. (*) In dieser Vorlesung werden wir sehen wie die Griechen bewiesen haben, dass es das Pentagon wirklich gibt. ieser eweis ist schon recht anspruchsvoll. So anspruchsvoll,

Mehr

1. Rechensteine und Pythagoräischer Lehrsatz.

1. Rechensteine und Pythagoräischer Lehrsatz. 1. Rechensteine und Pythagoräischer Lehrsatz. Der Beginn der wissenschaftlichen Mathematik fällt mit dem Beginn der Philosophie zusammen. Er kann auf die Pythagoräer zurückdatiert werden. Die Pythagoräer

Mehr

2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen

2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen 2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen Aufgabe 1 Zeichne das Dreieck AC mit A( 1 2), (5 0) und C(3 6) und konstruiere seinen Umkreis. Gib den Radius und den Mittelpunkt des Umkreises an. Aufgabe 2 Konstruiere

Mehr

Flächenberechnung im Trapez

Flächenberechnung im Trapez Flächenberechnung im Trapez Das Trapez im Lehrplan Jahrgangsstufe 6 M 6.8 Achsenspiegelung (ca. 15 Std) Fundamentalsätze (umkehrbar eindeutige Zuordnungen, Geradentreue, Winkeltreue, Kreistreue), Abbildungsvorschrift

Mehr

Definitionen. 1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat. 3. Die Enden einer Linie sind Punkte.

Definitionen. 1. Ein Punkt ist, was keine Teile hat. 3. Die Enden einer Linie sind Punkte. Das erste der dreizehn Bücher von Euklids Elementen beginnt nach der Ausgabe in Ostwald s Klassikern der exakten Wissenschaften (Nr. 235), Leipzig 1933, folgendermaßen: Definitionen. 1. Ein Punkt ist,

Mehr

Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Sehnenviereck Tangentenviereck. Haus der Vierecke. Dr. Elke Warmuth. Sommersemester 2018

Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Sehnenviereck Tangentenviereck. Haus der Vierecke. Dr. Elke Warmuth. Sommersemester 2018 Haus der Vierecke Dr. Elke Warmuth Sommersemester 2018 1 / 39 Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Rhombus Rechteck Sehnenviereck Tangentenviereck 2 / 39 Wir betrachten nur konvexe Vierecke:

Mehr

Basistext Geometrie Grundschule. Eine Strecke bezeichnet man einer direkte Verbindung zwischen zwei Punkten:

Basistext Geometrie Grundschule. Eine Strecke bezeichnet man einer direkte Verbindung zwischen zwei Punkten: Basistext Geometrie Grundschule Geometrische Figuren Strecke Eine Strecke bezeichnet man einer direkte Verbindung zwischen zwei Punkten: Gerade Eine Gerade ist eine Strecke ohne Endpunkte. Die Gerade geht

Mehr

1. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 8 Saison 1961/1962 Aufgaben und Lösungen

1. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 8 Saison 1961/1962 Aufgaben und Lösungen 1. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 8 Saison 1961/1962 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 1. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 8 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen

Mehr

Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Sehnenviereck Tangentenviereck Überraschung? Haus der Vierecke. Dr.

Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Sehnenviereck Tangentenviereck Überraschung? Haus der Vierecke. Dr. Haus der Vierecke Dr. Elke Warmuth Sommersemester 2018 1 / 40 Konvexes Viereck Trapez Drachenviereck Parallelogramm Rhombus Rechteck Sehnenviereck Tangentenviereck Überraschung? 2 / 40 Wir betrachten nur

Mehr

3. Winkelsätze und der Kongruenzsatz (WWS).

3. Winkelsätze und der Kongruenzsatz (WWS). 3. Winkelsätze und der Kongruenzsatz (WWS). Nachdem wir die beiden ersten Kongruenzsätze bewiesen haben, kommen wir zum ritten Kongruenzsatz (WWS). r ist der am schwersten zu beweisende. Um ihn zu beweisen,

Mehr

Training in Vorbereitung der Nachklausur Tipps gibt es über der Fußzeile

Training in Vorbereitung der Nachklausur Tipps gibt es über der Fußzeile Geometrie I (Sommersemester 006, Dr. Christian Werge, chwerge@web.de) Training in Vorbereitung der Nachklausur Tipps gibt es über der Fußzeile (Die Lösungen liegen in einer anderen Datei vor, bitte erst

Mehr

M 3.1. Seite 1. Modul 3.1 Geometrie: Umgang mit dem Geodreieck. Thema. 1. Umgang mit dem Geodreieck. Datum

M 3.1. Seite 1. Modul 3.1 Geometrie: Umgang mit dem Geodreieck. Thema. 1. Umgang mit dem Geodreieck. Datum Seite. Wie zeichnet man zueinander senkrechte Geraden?. Zeichne zunächst mit deinem Geodreieck eine Gerade von 2 cm. 2. Nun drehst du dein Geodreieck wie rechts abgebildet. Achte darauf, dass die Gerade

Mehr

Mathematik Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Innermathematisch. Schwierigkeitsgrad: Strategie. Mathematisches Thema: Symmetrie.

Mathematik Klasse 5 Bereich (Kartennummer): Innermathematisch. Schwierigkeitsgrad: Strategie. Mathematisches Thema: Symmetrie. Bereich (Kartennummer): Strategie Fortsetzung Strategie Vertiefung Welche der folgenden Verkehrsschilder sind achsen- bzw. punktsymmetrisch? Mögliche Lösung A B C D E F G punkt- und achsensymmetrisch achsensymmetrisch

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr

Grundlagen der Geometrie

Grundlagen der Geometrie Grundlagen der Geometrie Vorlesungsausarbeitung zum WS 2010/11 von Prof. Dr. K. Fritzsche ii Inhalt 0 Grundlagen der Schulgeometrie 1 I Die Elemente : Inzidenz und Anordnung 9 1. Die deduktive Methode

Mehr

Sicheres Wissen und Können zu Dreiecken 1

Sicheres Wissen und Können zu Dreiecken 1 Sicheres Wissen und Können zu Dreiecken 1 Die Schüler verwenden den egriff Figur für beliebige geradlinig oder krummlinig begrenzte ebene Figuren. Die Namen der Figuren sind im Denken der Schüler sowohl

Mehr

Aufgabe 1 Zwei Kreise und k mit gleichem Radius schneiden sich in den Punkten A und B. Der Kreis um A

Aufgabe 1 Zwei Kreise und k mit gleichem Radius schneiden sich in den Punkten A und B. Der Kreis um A 1997 Runde ufgabe 1 Zwei Kreise und k mit gleichem Radius schneiden sich in den Punkten und Der Kreis um k1 k 1 durch schneidet zum zweiten Mal in einem Punkt Zeige, dass die Gerade () Tangente an den

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr

Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel

Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel Lösungen Übung 6 Aufgabe 1. a.) Idee: Gesucht sind p, q mit pq = 6 2 und p + q = 13. Dies entspricht genau der Situation im Höhensatz. Konstruktion: 1. Punkte A, B mit AB = 13 2. Gerade g AB mit dist(g,

Mehr

Aufgabe G.1: Definitionen, Begriffsbildungen

Aufgabe G.1: Definitionen, Begriffsbildungen Aufgabe G.1: Definitionen, Begriffsbildungen a) Der Begriff Dreieck sei definiert. Definieren Sie den Begriff Innenwinkel eines Dreiecks. (2 Punkte) b) Definieren Sie den Begriff Inneres eines Winkels

Mehr

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit Strecken und Winkeln.

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit Strecken und Winkeln. 2. Hilbertschen Geometrie II: Kongruenzsätze In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit Strecken und Winkeln. Strecken Kongruenz. Definition. Eine Strecken Kongruenz (oder einfach: Kongruenz) einer Geometrie

Mehr

GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard GRUNDWISSEN MATHEMATIK 7 Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E S - N E P

Mehr

Grundwissen Mathematik 7. Klasse

Grundwissen Mathematik 7. Klasse Welfen-Gymnasium Schongau 1 Grundwissen Mathematik 7. Klasse Wissen Aufgaben/Beispiele Lösungen Achsenspiegelung Eigenschaften der Achsenspiegelung: - Die Verbindungsstrecke von Punkt P und Bildpunkt P

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 1 Das Rätsel 2. 2 Die erste Lösung 2. 3 Die zweite (kürzere) Lösung 6

Inhaltsverzeichnis. 1 Das Rätsel 2. 2 Die erste Lösung 2. 3 Die zweite (kürzere) Lösung 6 Inhaltsverzeichnis 1 Das Rätsel 2 2 Die erste Lösung 2 3 Die zweite (kürzere) Lösung 6 1 1 Das Rätsel Werner Brefeld hat auf der Seite http://www.brefeld.homepage.t-online.de/dreieck.html das folgende

Mehr

20. Landeswettbewerb Mathematik Bayern

20. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 20. Landeswettbewerb Mathematik Bayern Lösungsbeispiele für die Aufgaben der 2. Runde 2017/2018 Aufgabe 1 Eine Folge a0,a1,... natürlicher Zahlen ist durch einen Startwert a 0 1 und die folgende Vorschrift

Mehr

Geometrie Satz des Pythagoras

Geometrie Satz des Pythagoras TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 8772 Nidfurn 055-654 12 87 Ausgabe:

Mehr

Kapitel 4: Dreieckslehre. 4.1 Bedeutung der Dreiecke

Kapitel 4: Dreieckslehre. 4.1 Bedeutung der Dreiecke Kapitel 4: Dreieckslehre 4.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke (z.. Winkelsumme,

Mehr

Elementare Geometrie. Inhaltsverzeichnis. info@mathenachhilfe.ch. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)

Elementare Geometrie. Inhaltsverzeichnis. info@mathenachhilfe.ch. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) fua0306070 Fragen und Antworten Elementare Geometrie (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis 1 Geometrie 1.1 Fragen............................................... 1.1.1 Rechteck.........................................

Mehr

Elemente der Mathematik - Sommer 2016

Elemente der Mathematik - Sommer 2016 Elemente der Mathematik - Sommer 2016 Prof. Dr. Matthias Lesch, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 9 ufgabe 31 (6 Punkte). Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal alle Dreiecke mit folgenden ngaben: (a)

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1 M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

Geometrie-Dossier Vierecke

Geometrie-Dossier Vierecke Geometrie-Dossier Vierecke Name: Inhalt: Vierecke: Bezeichnungen Parallelenvierecke: Ihre Form und Eigenschaften Konstruktion von Parallelenvierecken Winkelsumme in Vielecken, Flächenberechnung in Vielecken

Mehr

Definitionen des Flächeninhaltsbegriffs werden immer mehr verfeinert, durch den Messprozess festgelegt.

Definitionen des Flächeninhaltsbegriffs werden immer mehr verfeinert, durch den Messprozess festgelegt. Flächeninhalt 1 Kapitel 7: Der Flächeninhalt Flächeninhalt einer Figur soll etwas über deren Größe aussagen Flächeninhaltsbegriff intuitiv irgendwie klar, ab der Grundschule durch Auslegen von Figuren

Mehr

ALGEBRA Der Lösungsweg muss klar ersichtlich sein Schreiben Sie Ihre Lösungswege direkt auf diese Aufgabenblätter

ALGEBRA Der Lösungsweg muss klar ersichtlich sein Schreiben Sie Ihre Lösungswege direkt auf diese Aufgabenblätter BMS Bern, Aufnahmeprüfung 004 Technische Richtung Mathematik Teil A Zeit: 45 Minuten Name / Vorname:... ALGEBRA Der Lösungsweg muss klar ersichtlich sein Schreiben Sie Ihre Lösungswege direkt auf diese

Mehr

Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras

Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN LÖSUNGSSATZ Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn 055-654 1 87

Mehr

Euklid von Alexandria

Euklid von Alexandria Euklid von Alexandria lebte ca. 360 v. Chr. bis ca. 280 v. Chr. systematisierte in 13 Büchern ( Elemente ) das mathematische Wissen der Antike - bis ins 19. Jahrhundert nach Bibel das am meisten verbreitete

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2015 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/23 18:14:20 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2015 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/23 18:14:20 hk Exp $ $Id: dreieck.tex,v 1.16 015/04/3 18:14:0 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir gezeigt das die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks sich immer

Mehr

Berechnung von Strecken und Winkeln. Hier alle Beispiele aus Teil 5 und 6. als Aufgabensammlung. Datei Nr. 64120. Stand 22.

Berechnung von Strecken und Winkeln. Hier alle Beispiele aus Teil 5 und 6. als Aufgabensammlung. Datei Nr. 64120. Stand 22. Vektorgeometrie ganz einfach Aufgabensammlung Berechnung von Strecken und Winkeln Hier alle Beispiele aus Teil 5 und 6 als Aufgabensammlung. Datei Nr. 640 Stand. März 0 INTERNETBIBLITHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Mehr

Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind.

Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind. 1 Sätze über Winkel Geradenkreuzung: Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, nennt man eine Geradenkreuzung. α α Nebeneinander liegende Winkel heißen Nebenwinkel, sie β ergeben zusammen stets

Mehr

Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel

Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel Lösungen Übung 7 Aufgabe 1. Skizze (mit zusätzlichen Punkten): Die Figur F wird begrenzt durch die Strecken AB und BC und den Kreisbogen CA auf l. Wir werden die Bilder von AB, BC und CA unter der Inversion

Mehr

Grundlagen der Planimetrie und Stereometrie

Grundlagen der Planimetrie und Stereometrie Überblick über die wichtigsten Formeln Inhaltsverzeichnis 1. Planimetrie Dreieck, Viereck, Vieleck, Kreis. Stereometrie.1. Ebenflächig begrenzte Körper Würfel, Quader, Prisma, Pyramide, Pyramidenstumpf,

Mehr

Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs. 09.02. Klausur (08-10 Uhr Audimax, HS 1)

Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs. 09.02. Klausur (08-10 Uhr Audimax, HS 1) Vorlesungsübersicht Wintersemester 2015/16 Di 08-10 Audimax Grundlegende Geometrie - Vorlesung mit integriertem Praxiskurs Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier

Mehr

Körper- und Galoistheorie

Körper- und Galoistheorie Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2011 Körper- und Galoistheorie Vorlesung 23 Unter den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik versteht man (1) die Quadratur des Kreises, (2) die Dreiteilung

Mehr

Mathematische Theorien im kulturellen Kontext. Fläche eines Parabelsegments nach Archimedes

Mathematische Theorien im kulturellen Kontext. Fläche eines Parabelsegments nach Archimedes Seminar: Mathematische Theorien im kulturellen Kontext Thema: Fläche eines Parabelsegments nach Archimedes von: Zehra Betül Koyutürk Studiengang Angewandte Mathematik 27.01.2016 ARCHIMEDES Über das Leben

Mehr

Kapitel 5: Dreieckslehre. 5.1 Bedeutung der Dreiecke

Kapitel 5: Dreieckslehre. 5.1 Bedeutung der Dreiecke edeutung+winkelsumme 1 Kapitel 5: Dreieckslehre 5.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke

Mehr

Vierecke. 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7. Drachenviereck: Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist

Vierecke. 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7. Drachenviereck: Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist 7.1 Grundwissen Mathematik Geometrie Klasse 7 Vierecke Trapez: Viereck, bei dem zwei Gegenseiten parallel sind gleichschenkliges Trapez: Trapez, bei dem die beiden Schenkel c gleich lang sind (b = d) d

Mehr

Musterlösung zur 3. Übung

Musterlösung zur 3. Übung Musterlösung zur 3. Übung a) Didaktische Aufbereitung des Themas: Flächenberechnung eines Dreiecks Einführung Flächeninhalt eines Dreiecks: 2 Grundideen: (vgl. S. 5-7) (1) Rechteck rechtwinkliges Dreieck

Mehr

A c. C a. C b. P A b. A B c. B a. Über Parallelen zu Dreiecksseiten Darij Grinberg

A c. C a. C b. P A b. A B c. B a. Über Parallelen zu Dreiecksseiten Darij Grinberg Über Parallelen zu Dreiecksseiten Darij Grinberg c a b P b c Fig. 1 Wir werden zuerst zeigen (Fig. 1): Satz 1: Sei P ein Punkt in der Ebene eines Dreiecks : Die Parallele zu der Geraden durch den Punkt

Mehr

Euklidische. abbildungsgeometrische Herangehensweisen an die Geometrie

Euklidische. abbildungsgeometrische Herangehensweisen an die Geometrie Euklidische abbildungsgeometrische Herangehensweisen an die Geometrie Seminareinheit im Seminar Ausgewählte Kapitel der Mathematik Leitung: Prof. Andreas Filler Studenten: Elisa Gliederung Aufbau der Geometrie

Mehr

Mathematik hat Geschichte. Teil 4 Griechen. Zahlen bei den Griechen vChr. Zahlen bei den Griechen vChr.

Mathematik hat Geschichte. Teil 4 Griechen. Zahlen bei den Griechen vChr. Zahlen bei den Griechen vChr. hat Geschichte Zahlen bei den Griechen 500-100vChr. Teil 4 Griechen Pythagoras Griechische Zahlschreibweise Euklid Archimedes 1 2 Zahlen bei den Griechen 500-100vChr. Zahlen bei den Griechen 500-100vChr.

Mehr

Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Algebra) G8

Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Algebra) G8 Grundwissen-Mathematik-7.Jahrgangsstufe (Algebra) G8 Terme Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl. Ein Term ist eine sinnvolle Abfolge von Rechenzeichen, Zahlen und Variablen. Beispiel zur Berechnung

Mehr

Repetitionsaufgaben Zentrische Streckung/Strahlensätze/Ähnlichkeit

Repetitionsaufgaben Zentrische Streckung/Strahlensätze/Ähnlichkeit Repetitionsaufgaben Zentrische Streckung/Strahlensätze/Ähnlichkeit Zusammengestellt von der Fachschaft Mathematik der Kantonsschule Willisau Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen... 1 B) Lernziele... 1

Mehr

B) Konstruktion des geometrischen Mittels und geometrisches Wurzelziehen :

B) Konstruktion des geometrischen Mittels und geometrisches Wurzelziehen : Seite I Einige interessante elementargeometrische Konstruktionen Ausgehend von einigen bekannten Sätzen aus der Elementargeometrie lassen sich einige hübsche Konstruktionen herleiten, die im folgenden

Mehr

Lernen mit Laptops Erfahrungen mit dem Einsatz der Geräte im Fach Mathematik

Lernen mit Laptops Erfahrungen mit dem Einsatz der Geräte im Fach Mathematik Lernen mit Laptops Erfahrungen mit dem Einsatz der Geräte im Fach Mathematik Übersicht -Dynamische Geometriesoftware Euklid -Lernprogramm Geraden und Winkel am Kreis 8. Jgst. - Ähnlichkeit - Kongruenz

Mehr

Aufgaben zum Basiswissen 7. Klasse

Aufgaben zum Basiswissen 7. Klasse Aufgaben zum Basiswissen 7. Klasse 1. Achsen- und Punktsymmetrie 1. Aufgabe: Zeichne die Gerade g und alle weiteren Punkte ab und spiegle diese Punkte an der Geraden g und am Zentrum Z. 2. Aufgabe: Zeichne

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr

1.12 Einführung in die Vektorrechung

1.12 Einführung in die Vektorrechung . Einführung in die Vektorrechung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors Skalare Multiplikation und Kehrvektor 3 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 3 3. Addition von zwei Vektoren..................................

Mehr

4.16 Buch II der Elemente

4.16 Buch II der Elemente 4.16 Buch II der Elemente Der Großteil des II. Buchs der Elemente beschreibt Relationen zwischen Flächeninhalten, die wir lieber algebraisch formulieren, d.h. die sogenannte geometrische Algebra. Es beginnt

Mehr

Grundwissen 7 Bereich 1: Terme

Grundwissen 7 Bereich 1: Terme Grundwissen 7 Bereich 1: Terme Termwerte 1.1 S1 Berechne für den Term T (x) = 3 (x 2) 2 + x 2 die Termwerte T (1), T (2) und T ( 3 2 ). 1.2 S1 Gegeben ist der Term A(m) = 2 2m 5 m Ergänze die folgende

Mehr

GOLDENER SCHNITT UND FIBONACCI-FOLGE

GOLDENER SCHNITT UND FIBONACCI-FOLGE GOLDENER SCHNITT UND FIBONACCI-FOLGE NORA LOOSE. Der Goldene Schnitt - Eine Irrationalität am Ordenssymbol der Pythagoreer Schon im 5. Jahrhundert v. Chr. entdeckte ein Pythagoreer eine Konsequenz der

Mehr

MATHEMATIK-WETTBEWERB 2007/2008 DES LANDES HESSEN

MATHEMATIK-WETTBEWERB 2007/2008 DES LANDES HESSEN MATHEMATIK-WETTBEWERB 2007/2008 DES LANDES HESSEN 2. RUNDE LÖSUNGEN AUFGABENGRUPPE A 1. a) L = { 6; 6; 7} (x 6) (x + 6) = 0 oder (x 7) = 0 b) L = {2; 8} (x 3 7) = 1 (oder (x 3 8) (x 8) = 0) c) L = {...

Mehr

MAT746 Seminar über Euklidische Geometrie Philipp Becker

MAT746 Seminar über Euklidische Geometrie Philipp Becker MAT746 Seminar über Euklidische Geometrie Philipp Becker R David Hilbert (1862-1943) Den Begriffen aus der Anschauungswelt fehlt die notwendige mathematische Exaktheit. Gebäude der Geometrie soll nicht

Mehr

Musteraufgaben Jahrgang 10 Hauptschule

Musteraufgaben Jahrgang 10 Hauptschule Mathematik Musteraufgaben für Jahrgang 0 (Hauptschule) 23 Musteraufgaben Jahrgang 0 Hauptschule Die Musteraufgaben Mathematik für die Jahrgangstufe 0 beziehen sich auf die Inhalte, die im Rahmenplan des

Mehr

http://www.olympiade-mathematik.de 1. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 7 Saison 1961/1962 Aufgaben und Lösungen

http://www.olympiade-mathematik.de 1. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 7 Saison 1961/1962 Aufgaben und Lösungen 1. Mathematik Olympiade Saison 1961/1962 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 1. Mathematik-Olympiade Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und

Mehr

Rechtwinklige Dreiecke

Rechtwinklige Dreiecke Rechtwinklige Dreiecke 1. a) Verschiebe die Ecke C 1, bis du den grünen Winkel bei C 1 auf 90 schätzt. b) Verschiebe die Ecken C 2 bis C 9 ebenso, bis du die Winkel auf 90 schätzt. c) Kontrolliere deine

Mehr

3.1 Die Gruppe (K,o) aller Kongruenzabbildungen einer Ebene

3.1 Die Gruppe (K,o) aller Kongruenzabbildungen einer Ebene Kapitel 3: Deckabbildungen von Figuren - Symmetrie 3.1 Die Gruppe (K,o) aller Kongruenzabbildungen einer Ebene K ist die Menge aller Kongruenzabbildungen E E; o ist die Hintereinanderausführung von Abbildungen

Mehr

Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen 1. Runde 2012/2013

Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen 1. Runde 2012/2013 Landeswettbewerb Mathematik aden-württemberg Musterlösungen. Runde 0/0 ufgabe n der Tafel stehen die Zahlen 0 und. Paul will eine weitere natürliche Zahl hinzufügen, so dass jede dieser drei Zahlen das

Mehr

Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Elemente, Buch I. Stefan Witzel

Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Elemente, Buch I. Stefan Witzel Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Elemente, Buch I Stefan Witzel Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente

Mehr

Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Elemente, Buch I. Stefan Witzel

Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Elemente, Buch I. Stefan Witzel Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Elemente, Buch I Stefan Witzel Vierecke Vier Punkte P, Q, R, S bilden ein Viereck PQRS, wenn sich weder die Segmente PQ und RS noch die Segmente

Mehr

Vektorgeometrie - Teil 1

Vektorgeometrie - Teil 1 Vektorgeometrie - Teil 1 MNprofil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 14. März 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung & die analytische Darstellung der

Mehr

2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten.

2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten. 2. Vorlesung. Die Theorie der schwarz-weissen Ketten. Die Theorie der schwarzen Steinchen haben wir jetzt halbwegs vertanden. Statt mit schwarzen Steinen wie die Griechen, wollen wir jetzt mit schwarzen

Mehr

Bildungsstandards Grundschule MATHEMATIK. Skriptum

Bildungsstandards Grundschule MATHEMATIK. Skriptum Bildungsstandards Grundschule MATHEMATIK Skriptum erstellt auf Basis der vom Bildungsministerium zur Verfügung gestellten Fassung Bildungsstandards für Mathematik 4. Schulstufe Version 2.2. von den Mitgliedern

Mehr

Sehnenlänge. Aufgabenstellung

Sehnenlänge. Aufgabenstellung Sehnenlänge 1. Drehe die Gerade a um den Punkt A und beachte den grünen Text: a) Wann ist die Gerade eine Sekante, wann ist sie eine Tangente? Wann ist sie weder das eine noch das andere? b) Wie viele

Mehr

Download. Mathematik Üben Klasse 5 Geometrie. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Martin Gehstein

Download. Mathematik Üben Klasse 5 Geometrie. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Martin Gehstein Download Martin Gehstein Mathematik Üben Klasse 5 Geometrie Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr Downloadauszug aus dem Originaltitel: Mathematik üben Klasse 5 Geometrie Differenzierte Materialien

Mehr

Montessori-Diplomkurs Inzlingen Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke

Montessori-Diplomkurs Inzlingen Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke 1 Material 4 metallene Rahmen (14 cm X 14 cm) mit gleichseitigen Dreiecken (Seitenlänge 10 cm). Die Dreiecke sind wie folgt unterteilt Ganze Halbe Drittel Viertel

Mehr

DIE ELEMENTE EUKLID BUCH I-XIII CLEMENS THAER -.^AD'TLICHE BUCHGESELLSCHAFT DARMSTADT

DIE ELEMENTE EUKLID BUCH I-XIII CLEMENS THAER -.^AD'TLICHE BUCHGESELLSCHAFT DARMSTADT EUKLID DIE ELEMENTE BUCH I-XIII h^ Nach Heibergs Text aus dem Griechischen übersetzt und herausgegeben von CLEMENS THAER WISS1 -.^AD'TLICHE BUCHGESELLSCHAFT DARMSTADT VI Inhaltsverzeichnis X. BUCH Definitionen

Mehr

Parallelogramme und Dreiecke A512-03

Parallelogramme und Dreiecke A512-03 12 Parallelogramme und Dreiecke 1 10 Dreiecke 401 Berechne den Flächeninhalt der vier Dreiecke. Die Dreiecke 3 und 4 sind gleichschenklig. 4 3 2 M 12,8 cm 7,2 cm 1 9,6 cm 12 cm A 1 = A 2 = A 3 = A 4 =

Mehr

25. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Saison 1985/1986 Aufgaben und Lösungen

25. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 7 Saison 1985/1986 Aufgaben und Lösungen 25. Mathematik Olympiade 3. Stufe (ezirksolympiade) Klasse 7 Saison 1985/1986 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 25. Mathematik-Olympiade 3. Stufe (ezirksolympiade) Klasse 7 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit

Mehr

Test zur Geometrischen Kreativität (GCT-DE)

Test zur Geometrischen Kreativität (GCT-DE) Pädagogische Hochschule in Schwäbisch Gmünd Institut für Mathematik und Informatik Abteilung Informatik Test zur Geometrischen Kreativität (GCT-DE) Erstellt von Mohamed El-Sayed Ahmed El-Demerdash Master

Mehr

Elementare Geometrie Vorlesung 10

Elementare Geometrie Vorlesung 10 Elementare Geometrie Vorlesung 10 Thomas Zink 24.5.2017 1.Kongruenz von Dreiecken Es sei E eine Ebene. Wir verstehen in dieser Vorlesung unter einem Dreieck eine Folge von drei Punkten ABC in E, die nicht

Mehr

Algebra II. 1 Löse die Gleichung und mache die Probe.

Algebra II. 1 Löse die Gleichung und mache die Probe. D Algebra II 5. Gleichungen Lösungen Löse die Gleichung und mache die Probe. a) (3 5) = (5 + 5) jede reelle Zahl ist Lösung b) 8(a 3) + 3 a = (3a + 8)a keine Lösung c) ( )(3 4) = 3( ) = ; Probe: 0 d) (

Mehr

Geometrie Satz des Pythagoras

Geometrie Satz des Pythagoras TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.6 Geometrie Satz des Pythagoras Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn 055-654 1 87 Ausgabe: November

Mehr

Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Elemente, Buch I. Stefan Witzel

Universität Bielefeld. Elementare Geometrie. Sommersemester Elemente, Buch I. Stefan Witzel Universität Bielefeld Elementare Geometrie Sommersemester 2018 Elemente, Buch I Stefan Witzel Gerade und Parallelen, 2 Proposition. Wenn eine Gerade f von zwei parallelen Geraden g und h geschnitten wird,

Mehr

2.2 Axiomatische Mathematik

2.2 Axiomatische Mathematik 33 2.2 Axiomatische Mathematik Die deduktive Methode funktioniert folgendermaßen: Der Beweis einer Aussage (A1) wird auf eine offensichtlichere Aussage (A2) zurückgeführt. Dann wird nach einer noch unbedenklicheren

Mehr

[Ganze] [ ] Zahlen in verschiedenen Formen deuten können, als Zustände gegenüber einem Nullpunkt, als Punkte auf einer Zahlengeraden

[Ganze] [ ] Zahlen in verschiedenen Formen deuten können, als Zustände gegenüber einem Nullpunkt, als Punkte auf einer Zahlengeraden September Es geht weiter... 1 Ganze Zahlen 1.1 Zahlen gegensätzlich deuten 1.2 Die Zahlengerade 1.3 Ganze Zahlen ordnen 1.4 Ganze Zahlen addieren und subtrahieren 1.5 Ganze Zahlen multiplizieren und dividieren

Mehr

Kreis und Gerade oder:... Wozu benötigt man rechte Winkel?

Kreis und Gerade oder:... Wozu benötigt man rechte Winkel? Es gibt drei wesentlich verschiedene Fälle von Geraden, bezogen auf einen gegebenen Kreis: Die Gerade ist eine ekante, d. h. die chnittmenge von Gerade und Kreis besteht aus zwei Punkten A und B (AB heißt

Mehr

Flächeninhalt bestimmen bedeutet : Möglichst vielen Figuren F (Maß-)Zahl A(F) zuordnen. Kapitel 8: Der Flächeninhalt

Flächeninhalt bestimmen bedeutet : Möglichst vielen Figuren F (Maß-)Zahl A(F) zuordnen. Kapitel 8: Der Flächeninhalt EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS 03 1 EISSLER Kapitel 8: er Flächeninhalt Flächeninhalt einer Figur soll etwas über deren Größe aussagen Flächeninhaltsbegriff intuitiv irgendwie klar, ab der Grundschule durch

Mehr

Alle Sätze, die aus den Axiomen I/1 bis IV/3 folgen, gehören zur absoluten Geometrie. (Parallelenaxiom) folgen, gehören zur euklidischen

Alle Sätze, die aus den Axiomen I/1 bis IV/3 folgen, gehören zur absoluten Geometrie. (Parallelenaxiom) folgen, gehören zur euklidischen 5 Das Parallelenaxiom 5.1 Absolute Geometrie, euklidische Geometrie, hyperbolische Geometrie Alle Sätze, die aus den Axiomen I/1 bis IV/3 folgen, gehören zur absoluten Geometrie. Alle Sätze, die aus den

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $ $Id: dreieck.tex,v 1.17 2015/04/27 13:26:30 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks = sich

Mehr

Kompetenzübersicht A Klasse 5

Kompetenzübersicht A Klasse 5 Kompetenzübersicht A Klasse 5 Natürliche Zahlen und Größen A1 Ich kann eine Umfrage durchführen und die Ergebnisse in einer Strichliste und einem Säulendiagramm darstellen. A2 Ich kann große Zahlen vorlesen

Mehr