Analysis mit dem Voyage 1

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1 Anlysis mit dem Voyge 1 1. Kurvendiskussion Gegeben ist die Funktionschr Den Nenner erhält mn mit Hilfe der Funktion getdenom. Zeros liefert die Nullstellen des Nenners und dmit die Werte, die us dem Definitionsbereich uszuschließen sind: D \{-} PropFrc teilt die Funktion in den gnzrtionlen und den gebrochen-rtionlen Anteil. Der gnzrtionle Anteil ist gleichzeitig die schräge oder wgrechte Asymptote, hier y= x-4 Im gebrochen-rtionlen Anteil knn mn die Art der Definitionslücke blesen: Es hndelt sich um eine einfche Nullstelle im Nenner. Also liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. D der Prmeter im Nenner nicht uftucht, besitzen lle Grphen der Schr diese Polstelle und die senkrechte Asymptote x=- Ein Blick uf die Grphen (der Bildschirm zeigt die Grphen für =1 und = zeigt, dss hier höchstens Punktsymmetrie vorliegen knn, und zwr nicht zu Ursprung, sondern zum Schnittpunkt der beiden Asymptoten. y=* *(-)-4=-4-4 Ds mögliche Symmetriezentrum ist lso 4 4. Punktsymmetrie zu einem Punkt (b f(b)) liegt f b x f b x vor, wenn gilt: f ( b) (Wenn mn zwei Funktionswerte betrchtet, die gleichweit von b entfernt sind, ergibt sich ls Mittelwert der Funktionswert n der Stelle b). Diese Gleichung wird für die Schr überprüft. Dmit ist der Punktsymmetrie zum Punkt 4 4 nchgewiesen Die Nullstellen erhält mit Zeros. 1 Sie liegen hier bei 0 und. Nun muss erstens überprüft werden, für welche die vrible Nullstelle uf die feste Nullstelle Null fällt. Dies ist hier für =-1 und rf x 4 x 4x f x ; \{0} x Bestimme die Definitionslücke, die Art der Definitionslücke und die Asymptoten! Untersuche den Grphen uf Symmetrie! Untersuche und Wendepunkte! f x uf Nullstellen, Extrem

2 Anlysis mit dem Voyge =1 der Fll. Außerdem ist bei rtionlen Funktionen zu prüfen, für welche die vrible Nullstelle uf die Definitionslücke fällt. Dies ist hier nicht der Fll. Dies Ergebnis liefert einen ersten Hinweis für die Klssifiktion der Schr (eine Nullstelle für = 1, zwei Nullstellen für 1 ). Die Extrem erhält mn ls Nullstellen der ersten Ableitung: Mögliche Extremstellen liegen bei 1 1 und. Es wird geprüft, ob eine dieser Nullstellen uf die Definitionslücke fällt. Ds ist hier nicht der Fll. Die zweite Ableitung wird gebildet, um die hinreichende Bedingung und die Art der Extremstellen zu überprüfen. Die erste mögliche Extremstelle wird eingesetzt. Der Term 3 ist negtiv für positive und positiv für negtive. Es liegt lso ein 1 Hochpunkt bei für >0 und ein Tiefpunkt für <0. Wegen der Punktsymmetrie gilt ds Gleiche für die ndere mögliche Extremstelle. D die zweite Ableitung keine Nullstellen ht, gibt es keine Wendepunkte.. Ortslinien Gegeben sei die Funktionenschr x 4 x 4x f x ; \{0} x Ermittle die Ortslinie der Extrempunkte! Die erste Extremstelle liegt bei x = +1. Diese Gleichung für die Extremstelle (oder Wendestelle) wird nch ufgelöst und ds Ergebnis für in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzt. Ds ergibt die Gleichung der Ortslinie: 4x y x

3 Anlysis mit dem Voyge 3 3. Tngenten Einzelne Tngenten erhält mn im Grfikmodus mit dem Befehl F5 A: tngent. Sucht mn eine Tngente n einer Schr oder eine Gleichung für lle Tngenten eines Grphen, knn mn die llgemeine Tngentenformel verwenden: tx f x0 x x0 f x0, wobei x 0 die Stelle ist, n der die Tngente ngelegt wird. Diese llgemeine Tngente ist ls Tylorpolynom 1. Ordnung in den Voyge einprogrmmiert (F3 9:tylor). Dbei sind folgende Prmeter nzugeben: Tylor(Funktion, Vrible, Grd [für Tngente immer 1], Stelle). Ds Ergebnis ist mit expnd (F 3) zu vereinfchen. Die llgemeine Tngente n der Stelle u ist lso t x 4 x u u u 4. Flächenberechnungen und eingeschlossene Dreiecke Tngente und Asymptote sind jeweils Gerden, die sich in einem Punkt schneiden, wenn sie unterschiedliche Steigung hben. Die Gerde mit der Gleichung x=- ist eine Senkrechte. Gesucht ist lso ds Integrl über der Differenzfunktion von Tngente und Asymptote von bis zum Schnittpunkt. Zur einfcheren Hndhbung wird die Tngente ls Funktion t(x) definiert. Der Schnittpunkt zwischen Tngente und Asymptote liegt bei *(u+1). Ds Integrl von bis zum Schnittpunkt über der Differenzfunktion ergibt 16 FE. Alle Grphen der Schr verlufen durch den Ursprung. Für x>0 verläuft die schräge Asymptote unterhlb des Grphen der Funktion. D die Asymptote in diesem Bereich den Funktionsgrphen nicht schneidet, liegt eine unbegrenzte Fläche vor. Es wird deshlb zunächst die Mßzhl der Fläche zwischen Grph und Asymptote im Bereich von 0 bis b berechnet Zeige, dss die Tngente in jedem Punkt P(u f (u)) des Grphen von f, die Asymptote und die Gerde mit der Gleichung x ein Dreieck bilden, dessen Flächeninhlt von u unbhängig ist! Berechne die Mßzhl der Fläche, die durch den Grphen von f, die negtive y-achse und den Grphen der Asymptotenfunktion g A begrenzt wird!

4 Anlysis mit dem Voyge 4 b A b 8 ln und dnn der Grenzwert für b. Die Fläche ist nicht endlich. 5. Klssifizierung von Funktionsschren Bei der Untersuchung von rtionlen Funktionenschren tritt häufig ds Phänomen uf, dss einzelne Grphen der Schr hebbre Definitionslücken sttt senkrechter Asymptoten besitzen. Zur Identifizierung dieser Sonderfälle bietet sich der Befehl PropFrc n. Klssifiziere die Funktionenschr x k g k x! x k Die Definitionslücke liegt bei k. Also ist der Definitionsbereich D \{k}. f k k 1 Der gebrochen-rtionle Anteil ist. x k Für k=0 und für k=-1 ist der Zähler des gebrochen-rtionlen Terms Null. Dnn fällt der gebrochen-rtionle Anteil weg (und dmit uch die senkrechte Asymptote) und es bleibt eine Gerde mit hebbrer Definitionslücke bei k übrig. Die Grphen der Schr lssen sich lso in zwei Sonderfälle und drei Gruppen einteilen: k < -1; k=-1; -1<k<0; k=0 und k>0. 6. Einschränkungen des Voyge Der Voyge sucht bei Lösungsmengen nur dnn nch Wurzeln us negtiven Prmetern, wenn keine positiven Wurzeln gefunden werden. So wird die Gleichungen x k 0 und x k 0 richtig gelöst. 4 Bei der Gleichung x k 0 werden ber die beiden Lösungen k k gefun- nicht erknnt, d die Lösungen den wurden. solve (x^-k=0,x) solve (x^+k=0,x) x = plus/minus Wurzel minus k solve(x^4-k^=0,x) x = plus/minus Wurzel k Immer dnn, wenn ein Prmeter qudrtisch uftritt, drf mn sich nicht verlssen, dss der Voyge lle Lösungen findet.

5 Anlysis mit dem Voyge 5 Der Voyge fsst nicht nur Zhlen zusmmen und mcht den Nenner möglichst rtionl, sondern uch Terme mit Vriblen. So wird uch durch Linerterme wie (x-3) gekürzt, ohne dss der Hinweis x 3 erfolgt. In der Mitteilungzeile erscheint nur kurz der Hinweis: Domin of result my be lrger (Der Definitionsbereich des Ergebnisses knn größer sein). 7. Grundprobleme für Funktionschren (nch Lmbcher Schweizer, Zentrlbitur 010) Problem 1: Für welchen Wert von t geht f t x durch P? Beispielf t x = t x x :, P(3 6) t x In die Gleichung f t x = y werden die Koordinten von P für x und y eingesetzt. Auflösung nch t ergibt die Lösung. Problem : Für welchen Wert von t liegt der Hochpunkt der Grphen der Funktion f t x uf der Gerden g? Beispiel: f t x = t, g x = 3 x 7 t x +1 Die Berechnung der Extremstellen zeigt, dss die Extremstellen lle n der Stelle 0 liegen. Die Funktionenschr und die Gerde schneiden sich für t = 7 n der Stelle 0. Problem 3: Für welchen Wert von t ist die Tngente n die Funktion f t x n der Stelle x 0 prllel zur Gerden g? Beispiel: f t x = 8 ; g x = 1 x 5; x +t x 0 =. Die Tngente erhält mn ls Tylorpolynom 1. Grdes n der Stelle. Zur besseren Übersicht führt mn ein Expnd durch. Die Tngente ist prllel zur Gerden g, wenn die Steigungen übereinstimmen. Die Lösungen sind t=-1 und t=4.

6 Anlysis mit dem Voyge 6 Gegeben sind die Funktionen g t x = t x und f t x = x3 x +k x. x 1 Ermitteln Sie, für welche Werte von t die Grphen von g t x und f t x genu drei Schnittpunkt besitzt. Ermitteln Sie ggf. die Ortsline der Funktion der Schnittpunkte. Für die Auswertung ist zu prüfen, ob die vrible Schnittstelle bei x=t ) uf eine der festen Nullstellen oder b) uf eine der Definitionslücken fällt Der Ortslinie der vriblen Schnittpunkte ist y = x. Für t=0 und für t= gibt es nur zwei Schnittpunkte, weil die vrible Schnittstelle uf eine feste Schnittstelle fällt. Für t=-1 gibt es ebenflls nur zwei Schnittpunkte, weil die vrible Schnittstelle in die Definitionslücke fällt.

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