Training in Vorbereitung der Nachklausur Tipps gibt es über der Fußzeile

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1 Geometrie I (Sommersemester 006, Dr. Christian Werge, chwerge@web.de) Training in Vorbereitung der Nachklausur Tipps gibt es über der Fußzeile (Die Lösungen liegen in einer anderen Datei vor, bitte erst nach dem Bearbeiten prüfen.) 1. Berechnen Sie die Streckelänge x. (Zeichnung nicht maßstäblich.) Es handelt sich um zwei Trapeze, also gilt für die Flächeninhalte 7cm + ( 15cm x) A1 = 30cm = h und 8cm + x A = 60cm = h, also 7cm + ( 15cm x) 8cm + x h = h und x = 1cm. Dr. Werge, Geom. I, Sommersemester (ÜA_GeomNL)

2 . Berechnen Sie die Länge der Strecke x und des Inkreisradius des rechtwinkligen Dreiecks ABC. Es handelt sich um ein sogenanntes pythagoräisches Dreieck, alle Seitenlängen sind ganzzahlig: Die kleinere Kathete BC hat die Länge 13 1 = 5. Tangentenabschnitte sind gleichlang, von Punkt A bzw. von Punkt B ausgehend gilt 13 = ( 5 ri ) + ( 1 r i ), also r i =. weiter I) Im rechtwinkligen Dreieck BFMi gilt nach dem Satz des Pythagoras ( x + ri ) = ( 5 ri ) + ri und mit r i = x = 13. (Die negative Lösung entfällt.) oder weiter II) Mit dem Sekanten-Tangenten-Satz gilt: ( 5 ri ) = x ( x + r i ) und mit r i = x = 13. (Die negative Lösung entfällt wiederum.) Dr. Werge, Geom. I, Sommersemester 006 (ÜA_GeomNL)

3 3. Konstruieren Sie ein Dreieck aus den Seiten a und b sowie der Höhe h C. Notieren Sie eine Konstruktionsbeschreibung. Diskutieren Sie alle Lösungsfälle, insbesondere unter welcher Bedingung eine, keine oder mehrere nichtkongruente Lösungen existieren. Vorüberlegung: Das Teildreieck AFC ist nach Kongruenzsatz Ssw eindeutig konstruierbar. Der Punkt B liegt auf der Geraden AF und dem Kreis um C mit dem Radius r = a. Konstruktionsbeschreibung: Man zeichne die Strecke FC der Länge h C und errichte in F eine Senkrechte. Der Kreis um C mit r = b schneidet die Senkrechte in A. (Von den beiden Schnittpunkten wähle man einen für A aus.) Der Kreis um C mit r = a schneidet FC in zwei Punkten B 1 und B, die zu zwei nichtkongruenten Lösungen führen. Determination: Für beliebige h C b ist das Teildreieck AFC eindeutig (bis auf Kongruenz) konstruierbar. Für h C = b entsteht ein in A rechtwinkliges Dreieck. Nur für a > h C gibt es Schnittpunkte der Geraden FC mit dem Kreis um C mit r=a, also nur dann entstehen (zwei nichtkongruente) Dreiecke AB 1 C (stumpfwinklig) und AB C (spitzwinklig). Dr. Werge, Geom. I, Sommersemester (ÜA_GeomNL)

4 4. Einem Rhombus EFGH ist ein Rechteck ABCD einbeschrieben, d. h. die Eckpunkte des Rechtecks liegen auf den Seiten des Rhombus. Berechnen Sie die Summe der markierten Winkel. Hängt diese Winkelsumme von der Art des einbeschriebenen Vierecks ab? Die gesuchte Winkelsumme setzt sich aus vier gestreckten Winkeln zusammen, vermindert um die Winkelsumme des Rechtecks (von 360 ). Die Summe beträgt also = 360. Da die Winkelsumme in jedem Viereck (zusammengesetzt aus zwei Dreiecken) 360 beträgt, ist sie unabhängig vom konkreten einbeschriebenen Viereck. (Die im Bild vom DynaGeo angezeigten 360 geben natürlich nur einen Hinweis darauf, dass das Ergebnis richtig sein kann.) Dr. Werge, Geom. I, Sommersemester (ÜA_GeomNL)

5 5. EIGENMANN 55 Man bestimme die Größe des Winkels φ = BSC, wobei MA CB gilt. Zusatz: Wie hängt der Winkel φ im allgemeinen Fall von der Größe des Winkels α ab? MAB = = 5. Wegen MA = MB sind die Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks MAB gleichgroß, also gilt auch MBA = 5 und damit der Zentriwinkel AMB = = 76. Der zugehörige Peripheriewinkel ACB ist also halb so groß 38. Die Winkel AMB und MBC sind Wechselwinkel an den Parallelen, deshalb gilt auch für MBC = 76. Damit folgt für den gesuchten Winkel φ = BSC = = 66. Allgemein gilt nach analogen Überlegungen die Funktionsgleichung φ = f α = 3 α und ( ) mit α = 18 folgt tatsächlich φ = 66. Dr. Werge, Geom. I, Sommersemester (ÜA_GeomNL)

6 6. Beweisen Sie: Ein Dreieck ABC (mit normaler Bezeichnung) ist genau dann gleichschenklig mit a = b, wenn die Winkel α und β gleichgroß sind. Wie bekannt, müssen beide Schlussrichtungen bewiesen werden. (I) Wenn ein Dreieck ABC gleichschenklig mit a = b ist, hat es gleiche Basiswinkel α = β. Vorauss.: a = b Beh.: α = β Wird der Winkel γ= ACB halbiert, entstehen zwei Teildreiecke AWC und WBC, die jeweils in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel der Größe ½ γ übereinstimmen. Sie sind nach sws kongruent. Der Winkelhalbierenden gegenüber liegen in beiden Dreiecken die Winkel α bzw. β, die damit gleichgroß sind, q.e.d. (II) Wenn ein Dreieck ABC zwei gleichgroße Winkel α = β hat, ist es gleichschenklig mit a = b. Vorauss.: α = β Beh.: a = b Die Höhe h C zerlegt das Dreieck ABC in zwei kongruente Teildreiecke AFC und FBC. Sie sind wegen der beiden rechten Winkel, der diesen Winkeln gegenüberliegenden größeren Seiten und der gemeinsamen Höhe h C nach Ssw kongruent. Der Höhe h C gegenüber liegen die beiden Winkel α bzw. β, die damit gleichgroß sind, q.e.d. Dr. Werge, Geom. I, Sommersemester (ÜA_GeomNL)