Schrägbilder und Berechnungen an Körpern 1 Schrägbilder 22 2 Berechnungen an Körpern 25 3 Weiterführende Aufgaben 27 Probe-Prüfungsaufgaben 28

Transkript

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2 Inlt Eene Geometrie: Dreieke 1 Seitenlängen und Winkelmße in retwinkligen Dreieken 6 erenungen in llgemeinen Dreieken 8 3 Weiterfürende ufgen 10 Proe-Prüfungsufgen 1 Eene Geometrie: Viereke und ndere Figuren 1 Seitenlängen und Winkelmße in Viereken 14 Fläeninlte von Viereken 16 3 ogenlängen und Fläeninlte in Kreisussnitten 18 4 Weiterfürende ufgen 19 Proe-Prüfungsufgen 0 Srägilder und erenungen n Körpern 1 Srägilder erenungen n Körpern 5 3 Weiterfürende ufgen 7 Proe-Prüfungsufgen 8 D Rottionskörper 1 Die Entsteung von Rottionskörpern 30 Zusmmengesetzte Rottionskörper 31 Proe-Prüfungsufgen 33 E Qudrtise Funktionen und Preln 1 Preln zu y = x + x +, x * R 34 Die qudrtiser Gleiungen 36 Proe-Prüfungsufgen 38 4

3 Inlt F Funktionen zu y = } k x und Hypereln 1 Grpen zu y = } k x, x * R \{0} 40 Weiterfürende ufgen 4 Proe-Prüfungsufgen 44 G Exponentielles Wstum und exponentielle nme 1 Exponentielles Wstum 45 Exponentielle nme 47 3 Zinseszinsrenung 48 Proe-Prüfungsufgen 49 H slussprüfung 009 Mtemtik II 50 en der Grundufgen Eene Geometrie: Dreieke 58 Eene Geometrie: Viereke und ndere Figuren 6 Srägilder und erenungen n Körpern 66 D Rottionskörper 69 E Qudrtise Funktionen und Preln 70 F Funktionen zu y = } k x und Hypereln 7 G Exponentielles Wstum und exponentielle nme 75 en der Proe-Prüfungsufgen 76 en der slussprüfung

4 Eene Geometrie: Dreieke 1 Seitenlängen und Winkelmße in retwinkligen Dreieken eispiel 1 In dem retwinkligen Dreiek MH sind s = 7,5 m und = 6 m lng. ) Wie eißt ier die Hypotenuse? Wele Seite ist nktete, wele Gegenktete von? ) erene die Länge von x mitilfe des Stzes von Pytgors. ) erene ds Mß von mit trigonometrisen Mitteln. d) Kontrolliere dein Ergenis zu ) mitilfe der Trigonometrie. e) erene den Fläeninlt des Dreieks MH. Proefigur s x H M ) Die Hypotenuse eißt s (= längste Seite im retwinkligen Dreiek, die dem reten Winkel gegenüer liegt). [M] = x ist die nktete, die Gegenktete von. ) x = s (Hypotenusenqudrt minus Ktetenqudrt); eingesetzt: x = (7,5 m) (6 m) = 0,5 m x = 4,5 m ) sin = } s (Länge der Gegenktete dur Länge der Hypotenuse); eingesetzt: sin = } 6 m = 0,8 < 53,13 7,5 m d) os = } x s x = s os ; eingesetzt: x = 7,5 m os 53,13 = 4,5 m e) = x 4,5 m 6 m ; eingesetzt: = } ; = 13,5 m eispiel g Es git zwei gnz untersiedlie = 4 m = 3 m Gründe, wrum ds geildete Dreiek retwinklig ist. Füre dies us. = 5 m (1) liegt uf dem Tleskreis üer [], lso ist glei 90. () 3, 4 und 5 sind pytgoreise Zlen, lso ist retwinklig. 6

5 1 Seitenlängen und Winkelmße in retwinkligen Dreieken Nützli zu wissen Im retwinkligen Dreiek ( = 90 ) gelten der Stz des Pytgors: die trigonometrisen ezieungen: + = sin = } ; sin = } = os = } ; os = } = tn = } ; tn = } Merkwerte: sin 30 = 0,5 os 60 = 0,5 tn 45 = 1 eispiel 3 Im gleisenkligen Dreiek ( = ) sind = 5,4 m und = 3,8 m. Konstruiere es. Kontrolliere deine Zeinung, indem du die Mße der Dreiekswinkel erenest. Konstruktion: Zeine } = 3,8 m und jeweils einen Kreisogen um und mit dem Rdius = = 5,4 m. Der Snittpunkt ist. Verinde mit und. Gemessen: = 69 und = 41. erenung der Dreiekswinkel: Ergänze die Figur um die Höe. Ddur entsteen zwei kongruente retwinklige Dreieke. } Im Dreiek H gilt: os = }. Eingesetzt: 1,9 m os = } < 0,35185 [TR] < 69,4 =. 5,4 m Weiter ist = 180 < 41,. Die Renung estätigt die Ritigkeit der Konstruktion. g H Grundufgen 1. Gegeen ist ein retwinkliges Dreiek mit = 90. ) = 5,4 und = 6,3 m ) = 4, m und = 7,4 m ) = 3,6 m und = 6,1 m d) = 43,5 und = 4,5 m e) = 4,6 m und = 5,8 m f ) = 51,8 und = 4,5 m erene die felenden Winkelgrößen und Seitenlängen und füre eine Kontrolle deiner Renungen dur.. erene die felenden Winkelgrößen, Seitenlängen und den Fläeninlt eines gleisenkligen Dreieks ( = ). ) = 5,8 m und = 8, m ) = 60,8 und = 7,9 m 7

6 Eene Geometrie: Dreieke erenungen in llgemeinen Dreieken eispiel 1 In einem llgemeinen Dreiek sind = 5, m, = 51 und = 4. Konstruiere ds Dreiek, erene die Länge von und den Fläeninlt des Dreieks (Ergenisse uf Nkommstellen runden). Konstruktion: Zeine [] mit = 5, m. Trge n [] in den Winkel = 4. Mrkiere uf dessen freiem Senkel einen Hilfspunkt '. Trge n ['] den Winkel ' = = 51. Dessen freier Senkel sneidet die Seite zw. deren Verlängerung in '. Zeine eine 9 Prllele zu [''] dur. erenungen: (1) N dem Sinusstz ist 5, m Eingesetzt: = } sin 51 () Der Fläeninlt des Dreieks ist = } 1 sin g = sin = sin mit = 180. sin sin 87 < 6,68 m [TR: 6,68197]. sin ( und sind zwei Seiten des Dreieks, ist der eingeslossene Winkel). Eingesetzt: = 0,5 5, m 6,68 m sin 4 < 11,6 m. Du knnst u so renen: sin = } = sin ; < 3,4795 m = 6,68 m 3,4795 m ; eingesetzt: < } < 11,6 m. eispiel In einem Dreiek sind = 5,4 m, = 4,0 m und = 5,0 m lng. erene die Mße der Innenwinkel (uf zwei Nkommstellen genu). Lege eine Proefigur n. D der Fll SSS vorliegt, musst du den Kosinusstz nwenden. Es gilt z..: = + os os = +. Eingesetzt: os = (4 m) + (5 m) (5,4 m) = 0,96 4 m 5 m Drus folgt: < 7,78. erene ds Mß eines zweiten Winkels mitilfe des Sinusstzes: sin 4 m = sin 7,78º < 45,03 < 6,19. 5,4 m Proefigur g 8

7 erenungen in llgemeinen Dreieken Nützli zu wissen In llgemeinen Dreieken gelten folgende trigonometrisen Sätze: Sinusstz sin = sin = sin g zw. sin = sin = sin g g Kosinusstz = + os = + os = + os Sind zwei Seitenlängen und ds Mß des eingeslossenen Winkels eknnt, knn mn den Fläeninlt des Dreieks so erenen: = } 1 sin oder = } 1 sin oder = } 1 sin eispiel 3 m südlien Ufer eines Flusses ist eine Stndlinie } = 100,00 m gestekt. Der Punkt N m nördlien Ufer wird von us unter = 44,3 und von us unter = 71,9 ngepeilt. ) Wie weit ist es von n N? ) Wie reit ist der Fluss? Proefigur N ) In dem Dreiek N sind die Länge einer Seite und die Mße der eiden nliegenden Winkel gegeen (Fll WSW). Die Größe des Winkels ei N eträgt: = ,3 71,9 = 63,8. N dem Sinusstz ist: N sin = } sin g N = } sin ; sin g eingesetzt N = 100,00 m sin 71,9º < 105,94 m. sin 63,8º ) Du musst die Länge der Höe von N uf [] erenen. Der Höenfußpunkt sei H. Im retwinkligen Dreiek HN gilt: sin = N Drus folgt: = N sin ; lso: = 105,94 m sin 44,3 < 73,99 m. Der Fluss ist n dieser Stelle rund 74 Meter reit. Grundufgen 3. erene die felenden Seitenlängen und Mße der Winkel eines Dreieks. ) = 6,7 m ) = 4,1m ) = 4,6 m d) = 5,4 m = 67, = 3,1 m = 5,3 m = 6,6 m = 57,8 = 68,4 = 69,1 = 8,0 m Tipp: Zeine zunäst eine Proefigur und ee die gegeenen Stüke frig ervor. 9

8 Eene Geometrie: Dreieke 3 Weiterfürende ufgen eispiel 1 Im Dreiek sind die Seiten = 6, m, = 4, m und = 5, m lng. Konstruiere ds Dreiek und seinen Inkreis. erene die Länge des Inkreisrdius (uf zwei N kommstellen). Konstruktion: Zeine die Seite mit } = 5, m, dn einen Kreisogen um mit dem Rdius = 4, m und einen zweiten Kreisogen um mit dem Rdius = 6, m. Die Kreise sneiden si im Punkt. M i Verinde mit und. Konstruiere nun die Winkellierenden r i der Winkel und. Sie sneiden si H im Punkt M i, dem Mittelpunkt des Inkreises. Die Senkrete von M i uf liefert den Inkreisrdius. erenung von r i : N dem Kosinusstz ist os = 6, + 5, 4, } < 0, , 5, (uf 6 Nkommstellen gerundet) < 4,10. Mitilfe des Sinusstzes erältst du dn < 81,76. Im Dreiek M i sind lso } und } eknnt. Ds Mß für den Winkel M i ist e = 118,07. erene mit dem Sinusstz: M i = Im Dreiek 5, m sin 1,05º <,1 m. sin 118,07º HM i gilt: r i = sin } M i. Drus folgt: r i < 1,39 m. Nützli zu wissen In jedem Dreiek In jedem Dreiek In jedem Dreiek sneiden si die sneiden si die sneiden si die Winkellierenden Mittelsenkreten Seitenlierenden im Mittelpunkt der Seiten im Mittel im Swerpunkt des Inkreises. punkt des Umkreises. des Dreieks. g M U S M i 10

9 3 Weiterfürende ufgen eispiel Zeine in ein Koordintensystem (Längeneineit 1 m) die Punkte ( 1 ); (4 0) und (0 5) ein. Verinde sie zu einem Dreiek. y erene die Seitenlängen, 5 die Mße der Winkel und den Fläeninlt des Dreieks. 4 Weil 1 LE = 1 m ist, 3 knnst du in m renen. Den stnd zweier Punkte im Koordintensystem erenet mn mitilfe des Stzes 1 von Pytgors. } = Ï } + 5 m = Ï } 9 m Drus folgt < 5,39 m } = Ï } m = Ï } 41 m 1 Drus folgt < 6,40 m. = Ï } m = Ï } 50 m Drus folgt < 7,07 m. x Die Winkelmße musst du mitilfe trigonometriser Sätze erenen. N dem Kosinusstz ist: os = Eingesetzt: os = } Ï } 50 Ï } 9 < 0, (uf ses Nkommstellen) < 60,07. Hinweis: In den Term für os wurden die Wurzelwerte eingesetzt. N dem Sinusstz ist sin = Ï } sin 60,07º 50 m. Ï } 41 m Drus folgt < 73,14 und sließli < 46,79. Den Fläeninlt erenest du m einfsten mit der trigonometrisen Fläenformel, z.. mit = } 1 sin. Eingesetzt: = 0,5 Ï } 41 m Ï } 50 m sin 46,79º < 16,50 m. Grundufgen 4. In einem llgemeinen Dreiek sind ) = 5,4 m; = 50,8 ; = 6,4, ) = 4 m; = 6 m; = 60. erene die felenden Seitenlängen und Mße der Dreiekswinkel. erene zusätzli in ) den Rdius des Inkreises und in ) den Fläeninlt des Dreieks. 11

10 Eene Geometrie: Dreieke Proe Prüfungsufgen 1.0 Im Dreiek gilt = 4, m, = 6,4 m und = Konstruiere ds Dreiek, miss die Länge von und die Größe des Winkels. Prüfe die Genuigkeit deiner Zeinung, indem du und (uf eine Nkommstelle genu) erenest. 1. erene den Fläeninlt des Dreieks us 1.1 mitilfe der Formel = g. estimme dzu ls Zwisenwert uf 4 Nkommstellen. estätige ds Ergenis < 11,7 m mitilfe der trigonometrisen Fläenformel. 1.3 Wäle in der Zeinung zu 1.1 uf dem Senkel von, uf dem der Punkt liegt, einen Punkt X n und nenne X n = x. Verinde X n mit. estätige, dss der Fläeninlt des Dreieks X n in ängigkeit von x glei n = 3, x sin 57 m ist. 1.4 Zeine in die Zeinung zu 1.1 ds Dreiek X 1 mit x 1 = 5,4 m ein und erene den zugeörigen Fläeninlt Wie lng muss mn x wälen, dmit l so groß wie der Fläeninlt des Dreieks ist? 1.6 Der Fläeninlt eines Dreieks X 3 eträgt 16 m. erene die Länge der Streke x 3. Zeine X 3 in die Zeinung zu 1.1 ein. 1.7 Konstruiere den Umkreis des Dreieks X 3. 1

11 Proe-Prüfungsufgen.0 Ds Dreiek ist in einem Koordintensystem dur die Koordinten der Ekpunkte festgelegt. y 5 3 (5 4) ( 3 ) x 3 (5 ) 5.1 Üertrge die ildung in ein Koordintensystem mit der Längeneineit 1 m.. erene die Seitenlängen des Dreieks in m (uf eine Nkommstelle)..3 erene die Mße der Dreiekswinkel..4 Gi die Gleiung der Gerden n, die dur die Punkte und get. Hee diese Gerde in der Zeinung zu.1 frig ervor..5 Spiegele ds Dreiek us.1 n der Gerden zu.4. Zeine ds Spiegelild ein. estimme reneris die Ordinte von '(0, y)..6 estätige, dss die Streke ['] rund 10,73 m misst..7 erene den Fläeninlt des Dreieks ' (uf zwei Nkommstellen). 13

12 Eene Geometrie: Viereke und ndere Figuren 1 Seitenlängen und Winkelmße in Viereken eispiel 1 In dem Trpez D (!! ) sind = } = 7, m, = } = 5,0 m und d = D = 4,0 m lng. Ds Mß des Winkels D = eträgt 71. ) Konstruiere ds Vierek. ) erene die Mße der nit gegeenen Innenwinkel und die Länge der Seite (uf zwei Nkommstellen). ) Konstruktion 1 D 1 g d H 1 H Zeine = 7, m mit den Endpunkten und. Trge n in den Winkel = 71 n und uf dem freien Senkel von die Streke d = 4,0 m mit dem Endpunkt D. Zeine eine Prllele zu dur den Punkt D und einen Kreisogen um mit dem Rdius = 5,0 m. Dieser sneidet die Prllele in den Punkten 1 und. (Zwei en!) ) Renungen für ds Trpez 1 D ( D: Siee Grundufge 1) Im Dreiek H 1 D (Höe einzeinen!) gilt: sin = } = d sin. d Gegeene Größen einsetzen: = 4,0 m sin 71 < 3,781 m (Zwisenwert mit öerer Stellenzl ngeen oder in den Speier legen!) Im Dreiek H 1 gilt: sin = }. Drus folgt < 49,15. Ferner ist < ,15 = 130,85 und d = = 109. Weil 1 = H 1 H ist, müssen die eiden Teilstreken von estimmt werden: H os = 1, n H d 1 ufgelöst, eingesetzt und usgerenet: H 1 < 1,303 m. H os = liefert H < 3,704 m. Sließli ist 1 <,63 m. 14

13 1 Seitenlängen und Winkelmße in Viereken eispiel y 4 Ds Vierek D ist in einem Koordintensystem 3 mit 1 LE = 1 m eingezeinet. ) Zeige, dss D ein Prllelogrmm ist. D ) erene die Seitenlängen und die Mße der Winkel. 1 ) estimme die Steigungen der Viereksseiten und zeige, dss die gegenüer liegenden 1 6 Seiten die gleie Steigung esitzen, lso prllel sind. Im frig eingezeineten Steigungsdreiek siest du: m [] = } 6 = } 1 3. Entspreend ist: m [] = 3; m [D] = } 1 3 und m [D] = 3. Drus folgt: m [] = m [D] und m [] = m [D]. Die gegenüer liegenden Seiten des Viereks sind prllel und dmit ist D ein Prllelogrmm. ) erenung der Seitenlängen = } = Ï } + 6 m = Ï } 40 m < 6,3 m = < 6,3 m; d = = Ï } m = Ï } 10 m < 3,16 m. erenung der Winkelmße: Zeine zunäst die Digonle [] ein und erene ire Länge: e = = Ï } m = Ï } 74 m. estimme im Dreiek mitilfe des Kosinusstzes: os = } < 16,87 = d und = = ,87 = 53,13. Ï } 40 Ï } 10 5 x Tipp: ei der estimmung von Seitenlängen oder von Winkelmßen in Viereken kommst du meistens weiter, wenn du Höen oder Digonlen einzeinest. Grundufgen 1. erene die Mße von und und die Länge von im Trpez D us dem eispiel 1.. erene die felenden Seitenlängen und Winkelmße. ) Im Dren D mit = d = 4, m; = d = 3, m; = 64, ) Im gleisenkligen Trpez D mit = 6,8 m; = d = 4,4 m und =,8 m ) Im llgemeinen Vierek D mit = 6,3 m; = 4, m; = 3,4 m; d = 4,8 m und = 70,8 15

14 Eene Geometrie: Viereke und ndere Figuren Fläeninlte von Viereken eispiel 1 Im Trpez D sind = 7,4 m; = d = 3, m und = = 77. erene seinen Fläeninlt. Tipp: erene Fläeninlte in der Regel uf zwei Nkommstellen. Notiere Zwisenwerte (gekürzt ZW ) mit einer öeren Stellenzl oder lege sie in den Speier des Tsenreners. Proefigur D d H 1 H Wegen = d ist ds Trpez gleisenklig, die retwinkligen Dreieke H 1 D und H sind lso kongruent. us sin 77 = } folgt = 3, m sin 77 < 3,1180 m (ZW) und us 3, m H os 77 = 1 } folgt H 3, m 1 = 3, m os 77 < 0,7198 m (ZW). Für gilt: = H 1 < 7,4 m 0,7198 m < 5,96 m. 7,4 m + 5,96 m Der Fläeninlt des Trpezes ist = } 3,118 m < 0,83 m. eispiel Im Drenvierek D sind = d = 3,3 m, = =,4 m und = 64. erene seinen Fläeninlt. Die Formel für den Fläeninlt eines Proefigur Drenviereks lutet: = e f. D erene zunäst die Längen der Digonlen. E f f } Im retwinkligen Dreiek E ist sin 3 = 3,3 m. e Drus folgt } f < 1,7487 m und f < 3,4975 m (ZW). d erene im retwinkligen Dreiek E mitilfe des Stzes von Pytgors } E zu ngenäert 1,6438 m und im retwinkligen Dreiek E die Länge von } E zu ngenäert,7986 m. 4,444 m 3,4975 m Dmit erältst du: e < 4,444 m. Sließli ist = < 7,77 m. 16

15 Fläeninlte von Viereken Nützli zu wissen Fläeninlte von Dreieken und Viereken Dreiek Prllelogrmm Trpez Rute Dren f f e e g = g g = g = + = e f Fläeninlte von llgemeinen Viereken Mn zerlegt ein llgemeines Vierek in der Regel in zwei Dreieke und erenet zunäst deren Fläeninlte. Es git merere Möglikeiten. D D d d 1 e 1 1 = 1 } sin + 1 } d sin d = 1 } e sin } de sin eispiel 3 erene den Fläeninlt des Viereks D mit = 5, m, = 4,8 m, = 1,8 m, d = 3,8 m und = 58,8. Proefigur Zerlege ds Vierek mitilfe der Digonlen [] = e in zwei Dreieke und erene deren Fläeninlte. Dzu musst du vor die Länge von e und ds Mß von d estimmen. Im Dreiek erältst du us e = + os den Wert e < 4, m e < 4,9 m. Im Dreiek D erältst du us os d = + d e ds Mß d < 118,56. d Sließli ist: Vierek = 1 + < 10,6749 m + 3,0038 m < 13,68 m. d D 1 Grundufgen 3. erene die Fläeninlte uf zwei Nkommstellen. ) Prllelogrmm mit = 6,4 m, = 3, m und = 70,8 ) Trpez ( i ) mit = 6 m, = 4 m, = 3 m und = 7,4 ) llgemeines Vierek mit = 6,6 m, = 4,4 m, =, m, = 57 und =

16 Eene Geometrie: Viereke und ndere Figuren 3 ogenlängen und Fläeninlte in Kreisussnitten eispiel 1 In einem Kreisussnitt (Kreissektor) sind der Rdius r = 4,8 m und der Mittelpunktswinkel e = 56,7 groß. erene die Länge des zugeörigen Kreisogens und den Fläeninlt des ussnitts (jeweils uf zwei Nkommstellen). Der Kreisogen des ussnitts ist der 56,7 Teil 360 des zugeörigen Kreisumfngs pr, lso = p 4,8 m 56,7 < 4,75 m. 360 Entspreend gilt für den Fläeninlt des Kreisussnitts: = p (4,8 m) 56,7 360 < 11,40 m. Proefigur eispiel In einem Kreisussnitt ist die zugeörige Sene s eingezeinet. Es gilt: s = r = 4 m. erene den Fläeninlt der frig s ervorgeoenen Fläe (des Kreissnitts) uf zwei Nkommstellen. r r «Wegen s = r ist ds Dreiek M gleiseitig und dmit M der Mittelpunktswinkel e = 60. Ferner ist = ussnitt Dreiek = p 16 m ,5 4 m 4 m sin 60 < 8,38 m 6,93 m = 1,45 m. r «r Nützli zu wissen Kreis: Umfng U (oder u) = pr Fläeninlt = pr ussnitt: ogenlänge = pr «360 Fläeninlt = pr «360 Grundufgen 4. ) erene die Länge des Kreisogens und den Fläeninlt, wenn (1) r = 3,3 m und e = 99,9, () r =, m und e =, sind. ) erene ds Mß des Mittelpunktswinkels e und die ogenlänge, wenn = 30 m und r = 10 m sind. 18

17 4 Weiterfürende ufgen 4 Weiterfürende ufgen eispiel erene die Umfänge und die Fläeninlte der Figuren (1) und () uf zwei Nkomm - stellen. 4 m (1) r M «P r m 6 m erene vor in Figur (1) die Länge des Rdius r und ds Mß des Mittelpunktswinkels e. Im Dreiek MP ist: r = Ï } 5 m und tn 1 } «= 0,5. Drus folgt e < 53,13. erenung der Umfänge In (1) gilt: ogenlänge 1 = p Ï } 5 m } 53, <,0735 m. Gesmter Umfng U 1 = m + 4 m + 1 < 1,07 m Die Figuren () und (1) sind änli und es gilt: U : U 1 = 3 :. Drus folgt: U < 18,11 m. erenung der Fläeninlte: erene zunäst den Fläeninlt des Kreis snitts in Figur (1): = ussnitt Dreiek. ussnitt = p 5 m 53,13 } 360 <,3 m ; Dreiek = m < 0,3 m 1 = 8 m + 0,3 m = 8,3 m ; = 8,3 m 1 3 } = 18,7 m 4 m () 3 m M Nützli zu wissen Strekenstz änlier Figuren: In änlien Figuren steen die Längen entspreender Streken im gleien Verältnis k. Fläenstz änlier Figuren: Die Fläeninlte änlier Figuren verlten si wie k. Grundufgen 5. Ein eet t die Form der frigen Fläe und wird mit lumen epflnzt, der Rest mit Rsen. ) erene die Fläeninlte eider Fläen. ) Wie viele lufende Meter Kntsteine rut mn zur Einfssung des lumeneets? 15 m 19

18 Eene Geometrie: Viereke und ndere Figuren Proe Prüfungsufgen 1.0 Die Skizze zeigt eine Terrsse. Die Grundform ist ein gleisenkliges Trpez M 1 M. Drn sind zwei Kreisögen ngesetzt. Die frig unterlegten Fläen sind lumeneete, die Restfläe ist mit Pltten elegt. In der Wirklikeit gelten folgende Mße: } = 8,00 m, M 1 = M = 4,50 m, M 1 D = M E =,00 m und = 70. } M E D M 1 F 1.1 Zeine den Grundriss der Terrsse mit den eeten im Mßst 1 : estätige, dss der Winkel DM groß ist und erene die Länge der Streke [D]. Die eiden lumeneete sollen mit Kntsteinen eingefsst werden. Wie viele lufende Meter Kntsteine werden gerut? erene den Fläeninlt der eiden lumeneete. Wie viele Qudrtmeter nimmt die mit Pltten elegte Fläe ein? erene den prozentulen nteil der eiden vom Trpez getrennten Dreieke M 1 D und EM F n der Fläe des gesmten Trpezes. 0

19 Proe-Prüfungsufgen.0 In der Skizze esitzt die Figur diese Ekpunkte. ( 4 3) (4 3) (4 3) D (0 5) E ( 4 3) Der Kreisogen unten t den Rdius r = 5 m. 5 E y 5 D «1 r r x 5.1 estimme ds Mß des Mittelpunktswinkels e und estätige, dss die Länge des ogens = < 9,8 LE eträgt.. estimme die Größen der Teilfläen unterl und oerl der x-se in LE. Um wie viel Prozent ist die untere Fläe größer ls die oere?.3 estätige, dss der Fläeninlt der gesmten Figur ngenäert 67,19 LE eträgt Zeine die Figur smt Koordintensystem in Originlgröße. Wäle den Punkt D n vriel mit D n (0 y) und y $ 0. estätige, dss der Fläeninlt der Figur D n E in ängigkeit von y glei n = 47,19 LE + 4y LE eträgt. Wäle y 1 = 3. Zeine die Figur D 1 E frig in die Zeinung zu.4 ein und erene 1. Welen Wert muss mn für y wälen, dmit der Fläeninlt der zugeörigen Figur D E ein Minimum ist? erene = Minimum. estimme die Koordinten von D 3 so, dss die eiden Teilfläen glei groß sind. 1