Der Geschäftsführer hat zwei Handlungsalternativen (Entscheidungsknoten gelbe Kästchen):

Transkript

1 MODUL G Lösuge Aufgabe G.1 Lösug a. A Priori Aalyse Der Geschäftsführer hat zwei Hadlugsalterative (Etscheidugskote gelbe Kästche): A 1: Bohre eies Brues vor Ort 10 Mio. A : Bau eier Pipelie zur Wasserversorgug 100 Mio. Die Kapazität des Brues hat eie Usicherheit, daraus ergebe sich zwei mögliche Zustäde: 1 : : Kapazität kleier als 100 kl. Kapazität grösser als 100 kl. Aufgrud vo Erfahrug ka die A priori Wahrscheilichkeit wie folgt agegebe werde: P P Wir ermittel die erwartete Koste der beide Hadlugsalterative: Die miimale zu erwartete Koste sid: 1 E u mi P 110 P 10; P 100 mi ; Mio. CHF 1

2 Die Aktio A1 hätte mit de gegebee A Priori Wahrscheilichkeite ei kleieres Risiko. Also sollte der Igeieur sich für die Erschliessug eies Brues vor Ort etscheide. b. A Posteriori Aalyse Durch eie Probebohrug köe wir u usere Priorwahrscheilichkeite aktualisiere Dazu verwede wir de Satz vo Bayes. PAE ( i) PE ( i) PAE ( i) PE ( i) P"( Ei A) PA ( ) P( AEi) P( Ei) Posterior i1 Likelihood Prior Gegebe Idikator I : PI ( q ) 0. P ''( q I ) = P '( ) = 0.6 = 0.75 ( ) ' ) + ( ) '( ) q1 PI q1 P q1 PI q P q PI ( q ) 0.1 P ''( q I ) = P '( ) 0.4 = 0.5 ( ) '( ) + ( ) '( ) q PI q1 P q1 PI q P q Die miimale zu erwartete Koste sid: 1 E'' u mi P'' (10) P'' (100 10); P' 100 mi ; Mio. CHF Mit dieser Idikatio aus dem Pumpversuch erscheit die Aktio A 1 als die güstigere ud sollte folglich gewählt werde.

3 c. Prä Posteriori Aalyse Es gibt drei Hadlugsalterative: A 1: Bohre eies Brues vor Ort A : Bau eier Pipelie zur Wasserversorgug A 3 : Probebohrug Die Probebohrug liefert bezüglich der Kapazität drei uterschiedliche Idikatioe, ämlich I 1, I oder I 3. Nach der Durchführug der Probebohrug köte der Geschäftsführer etscheide, ob er eie Brue vor Ort bohrt ( A 1) oder de Bau eier Pipelie i Auftrag gibt ( A ). Betrachte wir dazu zuächst de Etscheidugsbaum. Zuerst beötige wir die Wahrscheilichkeit, dass die Probebohrug als Idikator I1, I oder I 3 liefert. PI PI P PI P PI PI P PI P PI PI P PI P Jetzt müsse wir usere A Posteriori Wahrscheilichkeite der Zustäde für jede Idikatio bereche. 3

4 Die Posteriori Wahrscheilichkeit, gegebe Idikatio I 1, ka wie folgt bestimmt werde: PI ( ) P( ) P I ( 1 1) P( I1) PI ( ) P( ) P 1 ( I1) 0.84 P( I1) Die miimale zu erwartete Koste sid: E'' u I mi P'' I (10) P'' I (100 10),100 mi , Mio. CHF Gegebe Idikatio I 1 führt dies zur Wahl der Alterative A 1. Die Posteriori Aalyse für I wurde bereits i b) durchgeführt. 4

5 PI ( ) P( ) P I 1 1 ( 1 ) 0.75 P( I) PI ( ) P( ) P I ( ) 0.5 P( I) E'' u I mi P'' I (10) P'' I (100 10), 100 mi , Mio. CHF Gegebe Idikatio I führt dies zur Wahl der Alterative A 1. Die Posteriori Aalyse für I3 ergibt: PI ( ) P( ) P I ( 1 3) P( I3) PI ( ) P( ) P 3 ( I3) P( I3) E'' u I mi P'' I (10) P'' I (100 10), 100 mi , Mio. CHF Gegebe Idikatio I 3, führt dies zur Wahl der Alterative A. 5

6 Nu werde die erwartete miimale Koste für jede Idikatio mit der Wahrscheilichkeit dass eie bestimmte Idikatio auftritt multipliziert ud wir erhalte die miimale erwartete Koste. Die miimale erwartete Koste sid: E u E u I1 P( I1) E u I P( I) E u I3 P( I3) C E u C C Die Probebohrug verursacht Koste welche zu de erwartete Koste addiert werde müsse C Mio. CHF mi( A, A, A ) 70 Mio. CHF 1 3 Wir erhalte u folgede Etscheidugsbaum: Jetzt köe wir die Etscheidug i Abhägigkeit der Koste für die Probebohrug fälle: We die Probebohrug weiger als 0.5 Mio. CHF kostet, da loht sie sich. Da die Probebohrug aber 1 Mio. CHF kostet, sollte diese icht durchgeführt werde. 6

7 Aufgabe G. a. k 13. 3log() Itervalle 7

8 b. P [ ] Pk/ k/ 0.95 P [ k/ k/ ] wobei serwartugstreu xi [ m] 1 i1 1 ud x xi.438 [ m] i P P[.9.59] 0.95 Der wahre Mittelwert liegt mit eier Kofidez vo 95% im Itervall [.9m;.59m]. c. Beispiele für die Trasformatio der y Achse für verschiedee Verteiluge: Expoetialverteilug x F ( x) 1 e l 1 F ( x) x Normalverteilug x 1 x 1 F( x) F( x) x Gumbelverteilug F ( x) exp exp( a( x b)) l l F ( x) a( x b) ax ab 8

9 Wahrscheilichkeitspapier erstelle, am Beispiel der Gumbelverteilug: o o i o i xˆ F ( ˆ ) l l ( ˆ x F x ) N

10 Wahrscheilichkeitspapier zur Gumbelverteilug, erstellt mit Excel: 3.5 o l l F ( xˆ ) Wasserstad i [m] Nachfolged sid die Wahrscheilichkeitspapiere zur Normal, Logormal, Gumbel Max, ud Expoetialverteilug aufgeführt. Die x Achse wurde hier speziell skaliert, um eie bessere Vergleichbarkeit zu erreiche. 10

11 d. Schätze der Parameter ud u der Gumbel Max Verteilug mit der Methode der Momete: f x x e e xu xu u 6 1 x xi.4385 i1 1 sx xi i u

12 Schätze der Parameter ud der Logormalverteilug mit der Methode der Momete: 1 1l( x) f ( x) exp x sx x exp( ) 1 l l Mit de geschätzte Parameter köe die Verteiluge geplottet werde: Ud für die Expoetialverteilug ud die Normalverteilug: Bereche der Likelihood für jede eizele Fuktio (jede Beobachtug i die Fuktio eisetze, multipliziere): L( θ xˆ) f ( ˆ xi θ) i1 1

13 Ergibt für usere vier Verteiluge: Gumbel Max : Logormal : Normal : Expoetial : Die Gumbel Max Verteilug ka demach als die Verteilug betrachtet werde, welche am beste usere Date repräsetiert. Die Expoetialverteilug ka klar abgeleht werde. e. Chi Quadrat Test für die Gumbel Max Verteilug: Tabelle G..1: Tabelle für Chi Quadrat Test Itervall Häufigkeit Wahrscheilichkeit P [Stichprobe i diesem Itervall] Erwartete Häufigkeit Normalisierte Quadrate der Differeze Summe Freiheitsgrade: 41 1 Mit 1 Freiheitsgrad ud eiem Sigifikaziveau vo 10% ka aus der Tabelle der Chi Quadrat Verteilug der Wert.7055 herausgelese werde. Da < c=.7055, ka die Gumbel Max Verteilug auf dem 10% Sigifikaziveau akzeptiert werde. f. Versage we jährlicher maximaler Wasserstad > 5 m p P( 5 [m]) 1 P( 5 [m]) 1F 5 [ m] f ( (5.558)) ( e ) 4 1e g. Mit der Methode der Momete köe die Parameter für die Logormalverteilug bestimmt werde (Für die Parameter der Gumbel Max Verteilug siehe Teilaufgabe d)): 13

14 l l Matlab Code für Mote Carlo Simulatio: %% Mote Carlo Simulatio zur Bestimmug der Versageswahrscheilichkeit Num = 10000; % Azahl Simulatioe %Dammhöhe folge eier Log-Normal-Verteilug mit lamda = log(5m) ud lamda = 0. (0% variatio) %Parameter der log-ormal-verteilug für die Dammhöhe mu= 5; sig= 0.5; lamda = log(mu^/sqrt(sig^+mu^)); zeta = sqrt(log(sig^/mu^ + 1)); %Wasserhöhe folgt Gumbel-Max-Verteilug mit Parameter ae ud ue (bestimmt ahad der Date) %Parameter der Gumbel-Max-verteilug der Wasserhöhe (Aus de Date geschätzt) a = 3.159; u =.558; sim = zeros(num,3); %predefie sim %geeriere Zufallszahle für die Dammhöhe sim(:,1)= logrd(lamda,zeta,num,1); %geeriere Zufallszahle für die Wasserhöhe %Zufallszahle zwische 0 ud 1 UiRaZ = rad(num,1); % Trasformiere zu Gumbel Zufallszahle sim(:,)=-log(-log(uiraz))./a+u; %zähle wie oft Wasser höher war als Damm for i = 1:1:Num if sim(i,)> sim(i,1) sim(i,3)=1; else sim(i,3) =0; ed ed figure(1); hold o plot(sim(:,),sim(:,1),'k.') %Grezzustadfuktio --> Dammhöhe - Wasserhöhe = 0 xa = 0:0.1:0; plot(xa,xa,'r') axis([ ]) titelstrig= ['Mote Carlo Simulatio, =' umstr(num)]; title(titelstrig) xlabel('wasserhöhe [m]') ylabel('dammhöhe [m]') 14

15 grid o Pf = sum(sim(:,3))/num Das Ergebis der Simulatio hägt ab vo de Azahl Simulatioe. Des weitere variiert es, weil jedes Mal eue Zufallszahle geeriert werde. Je mehr Simulatioe, desto eher kovergiert das Ergebis zur tatsächliche Versageswahrscheilichkeit. Die Berechug für die Übugsstude ergab folgede Versageswahrscheilichkeit: f 8 Pf PM 0 N 10'000 h. kn M R L m kn M R L m M p f M i. Neue Versageswahrscheilichkeit: kn M R L m kn M R L 500 m M p f M

16 0 00 p f p f 6 Mio. Euro 0 Mio. Euro p f 4 p f 4 6 Mio. Euro 0 00 > Euro Etscheidug für Damm verstärke 16