Teil 2 Beurteilende Statistik mit MATLAB

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1 Teil 2 Beurteilende Statistik mit MATLAB 2.1: Vergleich von Mittelwerten Anhand der Beispieldaten für den Einbindigen Traubenwickler aus Abschnitt 1.6 sowie anhand von simulierten Datenlisten wollen wir nun das (bekannteste und gebräuchlichste) Standard-Verfahren der beurteilenden Statistik, nämlich den Mittelwertvergleich durch den t-test, aufgreifen und (wieder mithilfe von MATLAB) exemplarisch einüben. Hierzu werden wir zunächst unabhängige Daten-Listen grafisch nebeneinanderstellen, dann eine geeignete Hypothese über die Beziehung zwischen deren Mittelwerten aufstellen, um schließlich aufgrund des statistischen Tests zu einer signifikanten Entscheidung zu gelangen Werteplots und Konfidenzbereiche der Mittelwertschätzer Während beim boxplot die Mediane und die Quartile mit dem Wertebereich eingezeichnet werden, bietet das folgende analoge Programm die Möglichkeit, für jede Spaltenliste einer Datentabelle X nicht nur alle Werte zu plotten, sondern auch die jeweiligen Mittelwerte und deren (1-alpha)100%-Konfidenzintervalle (im wesentlichen Aufgabe 3.2): function [M,MCI] = Konfiplot(X,alpha) M=[ ]; MCI=[ ]; J=size(X,2); % Anzahl der Spalten von X Xmin = 1.1*min(min(X)); Xmax = 1.1*max(max(X)); plot([1:j],xmin*ones(1,j),'.w') axis([0 J+1 Xmin Xmax]) hold on for j=1:j end %for hold off Werte = X(:,j); Werte = Werte (~isnan(werte)); Mittel = mean(werte); Varianz = var(werte); n=length(werte); plot(j*ones(n,1),werte,'.') plot(j,mittel,'or') X_unten = Mittel - Tzwei(n-1,alpha) * sqrt(varianz/n); X_oben = Mittel + Tzwei(n-1,alpha) * sqrt(varianz/n); plot([j j], [X_unten X_oben], 'r+-') M = [M, Mittel]; MCI = [MCI, [X_unten; X_oben]]; 28

2 Exemplarisch schauen wir uns das Resultat dieses (im CIP-Pool bereitgestellten) Programms an, indem wir drei Spaltenlisten mit 30 normalverteilten Daten simulieren, alle zum Erwartungswert 0 und zur Standardabweichung 2: NormDaten = normrnd(0,2,30,3). Der Befehl [M,MCI] = Konfiplot(NormDaten, 0.05) erstellt dann die Abbildung: Als die empirischen Mittelwerte der drei Spalten erhalten wir M = mit entsprechenden 95%-Konfidenz-Intervallen MCI = Wie auch grafisch gut zu sehen ist, schwanken die Wertebereiche und ihre Mittelwerte, aber die drei Konfidenz-Intervalle überlappen sich alle: Sie enthalten insbesondere alle den echten Erwartungswert 0. In 95% der Fälle muss dies eben so sein!! Wir könnten also von der puren Datenlage her schon die Hypothese aufstellen, dass sich die Mittelwerte der drei Datensätze nicht signifikant unterscheiden. (Diese würde dann mithilfe der Varianzanalyse anova1 dann auch nicht zu falsifizieren sein! Siehe spätere Kapitel). Nehmen wir uns nun die beiden Datensätze der männlichen (1. Spalte) und weiblichen (2.Spalte) Taubenwickler-Überlebenszeiten aus Abschnitt 1.6 her. Der entsprechende Konfiplot mit alpha = 0.05 ergibt: In der Tat zeigt schon der Plot der beiden Überlebenszeit-Wertebereiche (wohlgemerkt werden dabei die ganzzahligen Werte öfter wiederholt), dass etliche männliche Falter schon innerhalb der ersten Woche sterben, während mehr weibliche Falter über 2 Wochen lang leben. Dadurch liegt deren mittlere Überlebenszeit deutlich höher als bei den Männchen. Errechnet erhalten wir die empirischen Werte M = MCI = Sowohl numerisch als auch grafisch ist deutlich zu erkennen, dass die beiden 95%- Konfidenzbereiche sich nicht überlappen! Aus dieser empirischen Datenlage heraus können wir die klare Hypothese aufstellen, dass die mittlere Überlebenszeit der Weibchen signifikant größer ist als der der Männchen. 29

3 2.1.2 Paarweiser Mittelwertvergleich mithilfe von ttest2 Wir haben also zwei Datenlisten vorliegen: die Überlebenszeiten ZeitenW der weiblichen und die ZeitenM der männlichen Falter. Von den empirischen Mittelwerten (und ihren Konfidenzintervallen) her haben wir die folgende Hypothese aufgestellt Hypothese H1: Für die theoretischen Erwartungswerte der Überlebenszeiten gilt muew > muem Der t-test schaut nun nach, ob die Differenz ZeitenW - ZeitenM der beiden empirischen Mittelwerte so groß ist, dass unter der (marginalen) Hypothese H0: muew = mue M ein solcher Wert höchstens in alpha*100% der Fälle vorkommen würde. Dann kann die Hypothese H1 mit (1-alpha)100%-Signifikanz angenommen werden! Dies ist der sogenannte einseitige t-test mit code 1 für (mue_1 > mue_2) bzw. mit code -1 für (mue_1 < mue_2) Im obigen Beispiel lautet das Ergebnis des entsprechenden MATLAB-Befehls mit dem üblichen alpha = 0.05: [h,p,ci] = ttest2(zeitenw,zeitenm, 0.05, 1); h = 1 Dies bedeutet, dass mit 5% Fehlertoleranz H1 angenommen werden kann! Der zweite Ausgabewert p berechnet (unabhängig vom eingegebenen alpha-parameter) die Restwahrscheinlichkeit der t-verteilung oberhalb des errechneten t-wertes und bedeutet: Die Annahme der Hypothese H1 könnte in p*100% der Fälle doch falsch sein! Per Konvention sagen wir, dass die Hypothese H1 bei p < 0.05 signifikant bei p < 0.01 hoch signifikant bei p < höchst signifikant anzunehmen ist. In unserem Beispiel erhalten wir p = e-006 << Dies bedeutet, dass die Weibchen im Mittel sogar höchst-signifikant länger leben als die Männchen! Wie stark der Unterschied zwischen den beiden theoretischen mittleren Überlebenszeiten ist, wird durch den dritten Ausgabewert bemessen, nämlich das Konfidenzintervall für die Differenz (muew muem) der beiden Erwartungswerte. Dieses Intervall ist nach oben hin unendlich, da ja der einseitige Test (mit code 1 ) durchgeführt wurde! Im Beispiel erhalten wir: CI = Inf (=unendlich) Das heisst, bei einer Fehlertoleranz von 5% können wir behaupten, dass die mittlere Überlebenszeit der weiblichen Falter mindestens um den Wert 1.3 höher liegt als die der männlichen Falter. 30

4 2.1.3 Mittelwertvergleich zu festem Wert mithilfe von ttest (einfacher t-test) Anhand des einfachen t-tests, zum Vergleich des Mittelwerts mit einem vorgegebenen Wert, wollen wir uns nochmals die statistische Vorgehensweise des t-tests verdeutlichen und die Bedeutung des p-(signifikanz-)wertes veranschaulichen. Hierzu betrachten wir eine Datenliste X von 15 (normalverteilten) Daten. Als empirischer Mittelwert ergibt sich Mean = und als Varianz bzw. Standardabweichung Varianz = ; STD = Die geschätzte Varianz des theoretischen Mittelwertes ist bekanntlich S² = Varianz / 15 und als Schätzer für S = SDM (Standard Deviation of Mean) erhalten wir S = sqrt(varianz / 15) = STD / v15 = Dieser Schätzer geht ja in die Formel für das nebenstehende abgebildete Konfidenzintervall ein (siehe 2.1.1). Aufgrund der Datenlage bietet es sich an, die folgende Hypothese zu testen: Hypothese H1: Der den Daten X zugrundeliegende theoretische Mittelwert ist größer als 0 mue(x) > 0 Hierzu benutzen wir, analog zu oben, wieder den (einseitigen, genauer den) rechsseitigen t-test (analog wieder mit code 1 ) [h,p] = ttest(x, 0, 0.05, 1) Es wird nun der Mittelwert von X mit 0 verglichen. Wir erhalten die folgenden Ausgaben: h = 1 Die Hypothese H1 kann (mit 5% Fehler) angenommen werden. p = Für den Signifikanz- p-wert gilt: p < 0.05, Also ist der Erwartungwert mue(x) signifikant größer als 0. Als Test-Wert für den t-test wird hierbei der (entsprechend so genannte) t-wert berechnet: T(X) = ( mean(x) 0 ) / S und zwar unter Annahme, dass die (marginalen) Null-Hypothese H0: mue(x) = 0 gilt!!!!! Er ergibt sich in unserem Beispiel zu T(X) = Wie unten eingezeichnet, ist nun der berechnete p-wert nichts anderes als die Fläche des oberen Verteilungsschwanzes der t-verteilung zum Freiheitsgrad df = 15 1 = 14, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter der Hypothese H0 (!) eventuell t-werte vorkommen, die größer oder gleich T(X) sind. 31

5 Hätten wir das obige Konfiplot-Bild mit den Daten X nicht gesehen, hätten wir vielleicht die Vor-Information, nämlich dass die Werte eher oberhalb von als unterhalb liegen, nicht gehabt. Dann hätten wir auch ein schwächere Hypothese aufstellen können, um nämlich die Frage testen, ob denn der Mittelwert überhaupt von Null verschieden ist: Hypothese H1: Der den Daten X zugrundeliegende Erwartungswert ist von 0 verschieden mue(x)? 0 Jetzt müssen wir den beidseitigen t-test benutzen (mit code 0 ): [h,p] = ttest(x, 0, 0.05, 0) oder einfach ttest(x, 0) Jetzt erhalten wir aber die folgenden Ausgaben: h = 0 Die Hypothese H1 kann nicht angenommen werden. p = Für den Signifikanz- p-wert gilt: p > 0.05!!! Wir müssen es also bei der Null-Hypothese H0: mue(x) = 0 belassen und formulieren: Der Erwartungswert mue(x) ist nicht signifikant verschieden von 0. Was ist der Grund, dass wir hier beim beidseitigen t-test ein schlechteres statistisches Ergebnis bekommen als beim obigen einseitigen t-test? Nun, der hier berechnete Test-Wert T(X) = ist genau derselbe. Aber, wie wir sofort erkennen, ist jetzt der p-wert p = genau doppelt so groß (!) wie vorher. Das liegt daran, dass wir beim hiesigen beidseitigen Test auch die Möglichkeiten abfragen müssen, dass unter der Hypothese H0 negative t-werte auftauchen. Genauer: p = W-keit { t = T(X) } Denn wir wissen eben nicht, ob der theoretische Erwartungswert größer oder kleiner als 0 ist! Im Beispiel kann die Null-Hypothese in mehr als 7.8% der Fälle solch große t -Werte ergeben! Dementsprechend ist, wie im Bild unten eingezeichnet, jetzt der p-wert die Gesamtfläche beider Verteilungsschwänze der t-verteilung zum Freiheitsgrad df = 14. Das negative Ergebnis entspricht übrigens genau dem Konfiplot-Bild (oben), denn dort enthält das beidseitige Konfidenzintervall des Erwartungswertes in der Tat die Null!!! Beim rechtsseitigen t-test erhielten wir also ein besseres statistisches Ergebnis, weil wir dort aufgrund des deutlich positiven Wertes mean(x)= von vorneherein ausgeschlossen hatten, dass negative t-werte als mögliche Fehler auftreten! 32