Entscheidungstheorie in Gruppen

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1 Entscheidungstheorie in Gruppen Blockseminar Sommersemester Juni 2005 Erster Samstag Franz Dietrich Zentrum für den wiss. Nachwuchs tel:

2 Struktur (vom Allgemeinen zum Speziellen) A. Entscheidungstheorie allgemein B. Social choice Theorie C. Einführung in die Präferenzenaggregation ( PA ) und die Wohlfahrtsökonomie D. Einführung in die Urteilsaggregation ( UA ) E. Grenzen der social choice Theorie, und Theorie der deliberativen Demokratie

3 A. Entscheidungstheorie allgemein 1. Individuelle Entscheidungstheorie 2. Interaktive Entscheidungstheorie (= Spieltheorie) 3. Kollektive Entscheidungstheorie (= social choice Theorie) 4. Empirische Fragestellung ( real choice) vs. normative Fragestellung ( rational choice) 5. Über den Rationalitätsbegriff der rational choice Theorie

4 Individuelle Entscheidungstheorie Entscheidungstheorie individuelle Entscheidungsth. interaktive Entscheidungsth. = Spieltheorie kollektive Entscheidungsth. = social choice Theorie Individuelle Entscheidungstheorie: man betrachtet einzelnen Akteur, der Entscheidung fällen muss Akteur ist oft ein Mensch, in Politikwiss. manchmal ein Staat (idealisiert als einheitlicher Akteur) Entscheidung zwischen Optionen (Alternativen) Jede Entscheidung führt zu einem Ausgang Beispiel: Akteur: ist ein Student Optionen: verschiedene Kursangebote Ausgang: ob der Kurs Spaß gemacht hat und welche Note herausgesprungen ist.

5 Man unterscheidet zwischen: Entscheidung unter Sicherheit Entscheidung unter Risiko Entscheidung unter Unsicherheit Entscheidung unter Sicherheit: Ausgang von Entscheidungen dem Akteur bekannt Bsp.: ich entscheide, ob ich heute zur Mensa gehe, und weiss, dass es Kalmares gibt Also: man kann Entscheidungen mit ihren Ausgängen gleichsetzen Akteur hat Präferenzen zwischen Ausgängen = Entscheidungen

6 Entscheidung unter Risiko Ausgang von Entscheidungen dem Akteur nicht genau bekannt, da Ausgang auch von Natur (= alles Unbeeinflussbare) abhängt Aber: Wahrscheinlichkeiten von Ausgängen bekannt, exogen gegeben Bsp.: Ich wähle meinen Einsatz in einem Roulette-Spiel in Las Vegas De facto wählt der Akteur zwischen Lotterieen (= Wahrscheinlichkeitsverteilungen) von Ausgängen Also: man kann Entscheidungen mit Lotterien von Ausgängen gleichsetzen Akteur hat Präferenzen zwischen Entscheidungen (= Lotterien von Ausgängen) Diese lassen sich unter gewissen Rationalitätsannahmen als Erwartungsnutzen-Maximierung darstellen: es existiert eine ( Nutzen -)funktion u von Ausgängen nach reellen Zahlen, so dass: Lotterie L wird (schwach) präferiert über Lotterie L* dann und nur dann, wenn Exp L (u) > ( ) Exp L* (u) (d.h. L hat einen (schwach) höheren erwarteten Nutzen als L*).

7 Entscheidung unter Unsicherheit Nicht einmal die Wahrscheinlichkeiten von Ausgängen von Entscheidungen bekannt da unklar, nach welchen Gesetzen Natur funktioniert Bsp.: ich entscheide, ob ich heute zur Mensa gehe, und habe keine Ahnung, welches Essen auf dem Programm steht Zwei (extreme) Präferenztypen: Maximin (ganz risikoavers): man bewertet Entscheidungen am schlechtest-möglichen Ausgang. Bsp.: Nicht-Mensa-Gehen besser als Mensa-Gehen da Hungern besser als schlechtest-mögliches Mensa-Essen Maximax (ganz risikofreudig): man bewertet Entscheidungen am bestmöglichen Ausgang. Bsp.: Mensa-Gehen besser als Nicht-Mensa-Gehen da best-mögliches Mensa-Essen besser als Hungern Welche Präferenzen sind rational? Genügen die Präferenzen gewissen Rationalitätsbedingungen (Maximin- und Maximax-Präferenzen tun dies nicht!), so kann man sie erneut als Erwartungsnutzen-Maximierung darstellen (aber anders als bei Entscheidungen unter Risiko: Wahrscheinlichkeiten nicht exogen gegeben, sonder subjektive Wahrscheinlichkeiten).

8 Interaktive Entscheidungstheorie (=Spieltheorie) Es gibt mehrere Akteure jeder Akteur fällt seine Entscheidung der Ausgang hängt aber von den Entscheidungen aller ab also: Spieler entscheiden indem sie die (erwarteten) Entscheidungen anderer berüchsichtigen Beispiel: Viele Spieler wollen ihr Auto an dengleichen Interessenten verkaufen Entscheideidung jedes Spielers: sein Verkaufsangebot an den Interessenten Ausgang: ver sein Auto verkauft und für wieviel

9 Frage: Ist Spieltheorie reduzierbar auf indiv. Entscheidungstheorie unter Risiko/Unsicherheit, wobei die andere Spieler die Natur sind? Das heißt: kann man die Entscheidung jedes einzelnen Spielers nicht aus Sicht der individuellen Entscheidungsth. analysieren? Antwort: Nein! Denn die Natur handelt nicht wie ein Spieler: Die Natur (in der indiv. Entscheidungstheorie) handelt nicht strategisch; sie versucht keine Nutzen zu optimieren Die anderen Spieler (in der Spieltheorie) handeln strategisch; sie wählen ihre Handlungen als geeignete Antwort auf die erwarteten Handlungen der anderen Was die Spieltheorie sehr komplex werden lässt: Die rationale Entscheidung eines Spieler hängt von seiner Einschätzung der Entscheidungen der anderen Spieler ab; deren Entscheidungen hängen von deren Einschätzungen über die Entscheidungen der anderen Spieler ab; usw. also muss ein Spieler sich fragen: was glauben die anderen, dass ich glaube, das sie glauben, dass ich glaube,...

10 Kollektive Entscheidungstheorie = social choice Theorie Ausgangspunkt: in der Realität müssen Gruppen oft gemeinsam entscheiden, planen, Ziele formulieren, handeln, etc. Daher: social choice Theorie erforderlich In der social choice Theorie: eine Gruppe, z.b. Landesbevölkerung, Parlament, Expertengremium, Vorstand einziger Akteur ist die Gruppe = das Kollektiv aber: dieser Akteur entscheidet nicht losgelöst von den Gruppenmitgliedern sondern auf Basis der Willen, Ziele, Anichten, Wünsche, Urteile etc. der Personen Problem: die Willen (Ziele etc.) der Personen widersprechen einander

11 Empirische Fragestellung vs. normative Fragestellung Für jede der drei Gebiete der Entscheidungstheorie gibt es: empirische Fragestellung normative Fragestellung Empirische Fragestellung (nicht unsere) Welche Entscheidungen werden in der Realität gefällt? Warum? ( Verhalten erklären) Welche Entscheidungen/Verhaltensmuster sind unter welchen Bedingungen zu erwarten ( Verhalten vorhersagen) Solche Fragen ragen hinein in die - Psychologie (individ. Entscheidungstheorie), - Soziologie (interaktive Entscheidungstheorie), - Politikwiss. (kollektive Entscheidungstheorie).

12 Normative Fragestellung (unsere) welche Entscheidungen sind rational? (soc. ch. Th. auch:) welche Entscheidungen sind demokratisch? welche Entscheidungen sollten getroffen werden unter diversen Rationalitätskriterien (soc. ch. Th.: und Demokratiekriterien)? Diese Fragen gehören zur rational choice Theorie Aber: Rational choice Theorie kann auch nützlich sein im Hinblick auf empirischen Ziele (reales Verhalten erklären/vorhersagen) allerdings nur insoweit Menschen sich rational verhalten! Bsp.: reales Verhaltensmuster von Akteuren in der Marktwirtschaft/in der Uni/auf der Straße/etc. kann durch spieltheoretische Modelle erklärt oder vorhergesagt werden

13 Über den Rationalitätsbegriff der rational choice Theorie Leider: Viele (auch rational choice Theoretiker) sind sich nicht über den Rationalitätsbegriff im klaren. Die rational choice Theorie hat meist einen dünnen Rationalitätsbegriff: rational heißt (grob gesprochen) intern konsistent/koherent rational heißt, dass die einzelnen Bestandteile der Willen, Wünsche, Meinungen, Handlungen etc. zusammenpassen im Einzelnen kann das heißen: transitive Prärerenzen, logisch konsistente Urteile,...

14 Bsp. 1: Folgende Urteilsmenge ist rational (= intern konsistent): - Alle Ausländer schaden allen Deutschen - Nur das Wohl der Deutschen zählt - Alle Ausländer sollten ausgewiesen werden. Aber: ist dies auch rational in einem weiteren Sinn? ( vielleicht sind manche der Urteile (objektiv) falsch) Bsp. 2: Gegeben verschiedene Optionen, gilt jede transitive, reflexive, vollständige Präferenzordnung als rational (= intern konsistent). Aber: dann ist folgende Präferenzordnung rational: - am liebsten hätte Peter irgendeine ungerade Zahl von Kindern - am zweitliebsten hätte er gar keine Kinder - am drittliebsten hätte er irgendeine gerade (positive) Zahl von Kindern

15 Die meisten (alle?) Formalisierungen von rational (Transitivität von Prärerenzen, logische Konsistenz von Urteilen,...) betreffen diesen dünnen Rationalitätsbegriff andere Formen von Rationalität ließe sich schwer formalisieren Also: auch Theoreme ( Resultate ) der rational choice Theorie beziehen sich auf Rationalität als interne Konsistenz Der Rationalitätsbegriff der rational choice Theorie: ist nicht falsch (auch nicht böse ) liefert notwendige Bedingungen an Rationalität liefert keine hinreichende Bedinungen für Rationalitäte, da er vieles ausklammert (deshalb dünn )

16 Wichtig: bei der Interpretation und Anwendung von Resultaten: Man muss hinter die Kulissen gucken, Präferenzen interpretieren,... Das geht über eine rein formale Analyse hinaus. Z.B.: Ob eine Wahlprozedur angebracht ist, kann davon abhängen, welche Motive hinter den Präferenzen der Leute stecken (Eigeninteresse? Urteile über gemeinschaftliches Wohl?) Typische (ideologische?) Fehler von Rational Choicern: die Interpretation von Präferenzen ganz außer acht lassen Präferenzen falsch interpretieren, z.b. sie automatisch als Ausdruck von Privatinteresse deuten Formale Ergebnisse falsch oder über-interpretieren. Bsp.: Darstellungssätze wonach Präferenzen darstellbar sind als Erwartunsnutzen-Maximierung sagen nicht, dass ein rationaler Akteur bewusst erwartete Nutzen berechnet, sondern nur dass sich seine Präferenzen so darstellen lassen

17 B. Social choice Theorie 1. Allgemeine Aufgabenstellung 2. Konkrete Beispiele 3. Aggregationsregeln 4. Was sind gute Aggregationsregeln? Prozedurale vs. epistemische Perspektive 5. Wie findet man gute Aggregationsregeln? Probieren vs. axiomatische Methode 6. Beweise in der social choice Theorie

18 Allgemeine Aufgabenstellung Eine Gruppe von n Personen, bezeichnet 1,..., n (n 2) kollektive Entscheidung erforderlich wobei Entscheidung viele Bedeutungen haben kann: Beschluss kollektiver Handlungen: Soll Straße gebaut werden? Soll Mehrwertsteuer angehoben werden? Welche Regierung soll Staat regieren?... Beschluss kollektiver Bewertungen/Werte/Ziele/etc.: Wie wünschenswert ist eine multikulturelle Gesellschaft? Ist ein höherer Benzinpreis oder die Klimaerwärmung schlimmer? Wie wichtig ist uns die Angleichung der ökonomischen Verhältnisse in der Welt?...

19 Beschluss kollektiver Meinungen (zu Sachfragen): Führt eine multikulturelle Gesellschaft zu mehr sozialer Instabilität? Führt mehr CO 2 -Ausstoß zu Klimaerwärmung? Führt ein freier Welthandel zur Angleichung der Lebensverhältnisse?... Bewertung unterschiedlicher Gesellschaftszustände, d.h. Bildung von Wohlfahrtsurteilen ( Wohlfahrtsökonomie): Welche Zustände sind besser als welche anderen? Ein Zustand könnte z.b. durch eine Einkommensverteilung gegeben sein; oder durch reichere Information, die etwa auch das soziale Klima, das Maß an Freiheit, etc. umfasst Mit welchen Modellen soll man die untersch. Fragestellungen studieren? Wir werden zwei allgemeine Modelle untersuchen: Präferenzenaggregation (und ihre kardinale Erweiterung) und Urteilsaggregation.

20 Konkrete Beispiele Bsp. 1 (Präferenzenaggregation). Eine Gruppe wählt zwischen zwei Kandidaten, oder zwei Urlaubszielen, oder zwei Meinungen zu Sachfragen, oder zwei wissensch. Theorien binäres Problem, weil nur zwei Entscheidungen möglich sind natürlicher Vorschlag: Mehrheitsregel, d.h. man wählt diejenige Alternative, die mehr Leute wollen Bsp. 2 (Präferenzenaggregation). Eine Gruppe entscheidet, für wie lange sie in Urlaub fahren will, oder welche Kompetenzen dem Gruppenleiter übertragen werden sollen mehr als zwei Optionen die naheliegende Prozedur, die Pluralitätsregel, is problematisch: der Kandidat mit den meisten Stimmen könnte zugleich im paarweisen Vergleich gegen jeden anderen Kandidaten verlieren (vgl.: Jean-Marie Le Pen im ersten Wahlgang der französ. Präsidentschaftswahlen) es gibt KEINE offensichtlich beste Prozedur, sondern viele Prozeduren mit jeweils anderen Vor- und Nachteilen

21 Beispiel 3 (Wohlfahrtsökonomie). Sei X eine Menge potenzieller Zustände der Gesellschaft. Jeder Zustand x X ist eine vollständige Beschreibung aller relevanter Askpekte der Gesellschaft (etwa der Einkommensverteilung, der Freiheitsräume der Menschen,...). Wie sind diese Zustände zu bewerten? Welche sind besser als welche? Dieses Entscheidungsproblem unterscheidet sich erheblich von den vorigen: Stellenwert der Alternativen: Die Alternativen (Gesellschaftszustände) lassen sich nicht einfach auswählen und umsethen : allenfalls kann der Staat versuchen, die Einkommensverteilung durch Rahmenbedingungen teilw. beeinflussen Stellenwert der kollektiven Entscheidung (Output der Aggregationsregel) Gesucht ist ein (Wohlfahrts-)Urteil, d.h. eine besser als -Relation über Einkommensverteilungen, die ein Wohlfahrtsurteil darstellt Stellenwert der Inputs der Aggregationsregel Auf der Basis welcher Inputs soll dieses Wohlfahrtsurteil erstellt werden? Lt. Welfarismus auf Basis der Wohlfahrtniveaus der Menschen (s.u.). Diese Inputs (= indiv. Wohlfahrtsfunktionen) werden realistisch nicht von Individuen eingereicht sondern von externer Person (Regierung) geschätzt Bsp. einer Aggregationsregel: Zustand x ist besser als Zustand x* genau dann wenn die Summe der individ. Wohlfahrten in x größer ist als in x*.

22 Beispiel 4 (Urteilsaggregation). Eine Expertengremium sucht kollektive Urteile zu folgenden wissenschaftlichen Propositionen: a : In Deutschland werden zu wenig Kinder geboren. b : Deutschland braucht mehr Immigration. a b : Wenn in Deutschland zu wenig Kinder geboren werden, dann braucht Deutschland mehr Immigration. Bemerke: es gibt hier nicht Alternativen, sondern logisch verknüpfte Propositionen akzeptiert man a und a b, so muss man b akzeptieren! die naheliegende Prozedur, die (propositionsweise) Mehrheitsregel, is problematisch, da sie logisch inkonsistente kollektive Urteile erzeugen kann: 1/3 der Bevölkerung 1/3 der Bevölkerung 1/3 der Bevölkerung Mehrheit ja ja nein ja a b nein wieder gibt es KEINE offensichtlich beste Prozedur, sondern mehrere konkurrierende Prozeduren mit Vor- und Nachteilen a ja ja ja b ja nein nein nein

23 Aggregationsregeln Kollektive Entscheidung hängt von individuellen Inputs ab. Ein Profil ist ein Vektor (x 1, x 2,..., x n ), wobei: x 1 ist der Input von (die Information über) Person 1 x 2 der Input von (die Information über) Person 2... x n der Input von (die Information über) Person n. Die Natur der Inputs x i hängt vom Aggregationsproblem ab: Präferenzaggregation: x i ist i s Präferenzrelation über Optionen (oder manchmal: i s Lieblingsoption, oder die Menge der von i gebilligten Optionen) Wohlfahrtsökonomie: x i ist i s Wohlfahrtsfunktion über Gesellschaftszustände Urteilsaggregation: x i ist i s Urteilsmenge über Propositionen etc.

24 Auf Basis eines Profils (x 1, x 2,..., x n ): welche kollektive Entscheidung? Aufgabe der social choice Th.: geeignete Aggregationsregel finden. Eine Aggregationsregel F transformiert Profile (x 1, x 2,..., x n ) in kollektive Entscheidungen F(x 1, x 2,..., x n ) Individuelle Inputs (x 1, x 2,..., x n ) (Profil) enthält z.b. individuelle Präferenzen, Meinungen, Zielvorstellungen, Wohlfahrtsfunktionen, Nutzenfunktionen, Urteilsmengen,... Aggregationsregel F z.b. Mehrheitsregel, Pluralitätsregel,... kollektiver Outputs F(x 1, x 2,..., x n ) (Entscheidung) z.b. kollektive Präferenzen, gewählter Kandidat, Einkommensverteilung, kollektive Urteilsmenge Formal: Eine Aggregationsregel is eine Funktion F die Profilen kollektive Entscheidungen zuordnet. Kann mathematisch präzise definiert werden!

25 Bsp: Wahl eines Kandidaten aus einer Menge von Kandidaten K. Profil: (x 1, x 2,..., x n ), wobei x i Person i s Lieblingskandidat ist Entscheidung: Kandidat (Regelfall) oder Patt zw. Kandidaten (Ausnahmefall); um Patt zu erlauben, ist Output der Regel nicht ein Kandidat sonder eine Menge von siegreichen Kandidaten K* K (oft ist K* aber einelementig!) Pluralitätsregel: definiert durch F(x 1, x 2,..., x n ) = {k K : [Zahl an Personen i mit x i = k] [Zahl an Personen i mit x i = k*] für alle k* K} (= Menge der Kandidaten mit maximaler Stimmenzahl) Oligarchie durch die Personen 1, 2, 3: definiert durch F(x 1,..., x n ) = {k K : [Zahl an Personen i {1,2,3} mit x i = k] [Zahl an Personen i {1,2,3} mit x i = k*] für alle k* K} = Menge der Kandidaten mit maximaler Stimmenzahl unter den Personen 1,2,3. Diktatur durch Person 3: F(x 1,..., x n ) = {x 3 } (Person 3 s Lieblingskand. siegt) Eine konstante Regel: F(x 1,..., x n ) = {k*} (ein exogen aufgezwungener Sieger) Andere ( bessere ) Aggregationsregeln können definiert werden, wenn der informationelle Gehalt des Profils angereichert wird: wenn x i nicht i s Lieblingskandidat ist, sondern z.b. i s Präferenzrelation über Kandidaten, oder i s Nutzenfunktion über Kandidaten.

26 Was sind gute Aggregationsregel? Prozedurale vs. epistemische Bewertung Bei der Bewertung von Aggregationsregeln kann man zw. 2 Zielen unterscheiden: Prozedurale Perspektive: konzentriert sich auf die Prozedur F, nicht primär ihre Outputs der Mechanismus, durch den Outputs generiert werden, soll wünschenswerte Eigenschaften haben die Beziehung zw. Outputs und Inputs von F zählt Demokratieanforderungen: Anonymität, Responsivität, universeller Bereich, etc. (später genaue Definitionen) andere Anforderung (bei Wahl eines Kandidaten): Neutralität (kein Kandidat soll von Prozedur bevorzugt wreden) Bsp: Bei einer Wahl zwischen zwei Kandidaten fürhrt aus prozeduraler Sicht kein Weg an der Mehrheitsregel vorbei Dies wird formal durch May s Theorem gezeigt.

27 Epistemische Perspektive Ziel der Prozedurwahl: die Prozedur soll richtige / gute Outputs erzeugen Dies setzt einen objektiven Standard von Richtigkeit / Güte kollektiver Outputs (Entscheidungen) voraus: ein Kandidat ist objektiv der beste, eine Politik ist objektiv richtig, etc. Kollektiven Entscheidungsfindung als Suche nach der richtigen Entscheidung, ganz egal wie demokratisch die Prozedur ist Bsp. 1: Annahme: wir können ein Orakel befragen, das uns immer den (objektiv) besseren Kandidaten nennt Epistemisch beste Prozedur = immer das Orakel befolgen total undemokratisch, daher prozedural nicht gerechtfertigt Bsp. 2: Sind verschiedene Wähler verschieden kompetent, so könnte aus epistemischer Sicht kompetenteren Wählern ein höheres Stimmgewicht geben werden, wobei Kompetenz = Fähigkeit zum Erkennen der (objektiv) Richtigen Entscheidung behandelt Leute verschieden, daher prozedural problematisch

28 Feststellung: Es gibt kein Orakel, und wir wissen oft nicht, wer wie kompetent ist Also: Die Mehrheitsregel (im 2-Optionen-Fall) könnte auch aus epistemischer Sicht gerechtfertigt sein. Dies wird formal durch Condorcet s jury Theorem gezeigt Also lässt sich die Mehrheitsregel (im 2-Optionen-Fall) - aus prozeduraler Sicht verteidigen, da sie demokratisch ist; - aus epistemischer Sicht verteidigen, da sie tendenziell zu guten Entscheidungen führt (unter gewissen Annahmen)

29 Wie findet man gute Aggregationsregeln? Probieren vs. axiomatische Methode Bei der Suche nach einer geeigneten Prozedur (ob aus prozeduraler, epistemischer oder sonstiger Sicht) sind zwei Ansätze denkbar: Probieren (gut als Einstieg) Axiomatische Methode (die anerkannte Methode seit Arrow) Probieren : Man überlegt sich plausible Prozeduren und prüft, welche Vor- und Nachteile sie haben. im 2-Optionen-Fall klappt das: Mehrheitsregel sieht gut aus... aber warum genau? Hier stößt man an die Grenze von Probieren in komplexeren Problemen wird es schwierig: jede mehr-oderweniger plausible Prozedur hat andere Macken; siehe obige und spätere Beispiele.

30 Axiomatische Methode: Man - formuliert mehrere Desideraten, die die Prozedur erfüllen soll, - formalisiert sie als formale Bedingungen an die Prozedur - untersucht, welche Prozeduren alle Bedingungen simultan erfüllen. Bsp.: Man kann Anonymität so formalisieren: Es gilt F(x 1,..., x n ) = F(x π(1),..., x π(n) ) (gleicher Output) für alle sich nur in der Reihenfolge der Inputs unterscheidenden (zulässigen) Profile (x 1,..., x n ) und (x π(1),..., x π(n) ) (wobei π : {1,..., n} {1,..., n} irgendeine Permutation der Individuen ist). Z.B. gilt F(x 1, x 2 ) = F(x 2, x 1 ) im Fall von n = 2 Individuen Intuitiv bedeutet dies: die Prozedur F weiss nicht, won wem die verschiedenen Inputs stammen

31 Die axiomatische Methode kann zu drei Ergebnissen führen: Fall 1: Es gibt genau eine Aggregationsregel mit allen Eigenschaften: Idealfall! Wir sind fertig! Bsp. (May Theorem) Im 2-Optionen-Fall erfüllt eine Aggregationsregel Anonymität, Neutralität, positive Responsivität und universeller Bereich dann und nur dann, wenn sie die Mehrheitsregel ist. Fall 2: Es gibt mehrere Aggregationsregel mit allen Eigenschaften: Wir müssen weitere Eigenschaften fordern, um zu einer einzigen Lösung zu kommen Fall 3: Es gibt keine Aggregationsregel mit allen Eigenschaften: Wir müssen manche der Forderungen aufgeben oder abschwächen, um zu einer Lösung zu kommen. Bsp. (Arrow s Theorem) Im Fall von mehr als 2 Optionen erfüllt keine Aggregationsregel zugleich Pareto-Effizienz, Nicht-Diktatur, Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen, universaller Bereich und kollektive Rationalität.

32 Graphische Illustration bei 3 Bedingungen an die Aggregationsregel Seien A, B, C drei Bedingungen an die Aggregationsregel. Gesucht: Aggregationsregel, die A erfüllt, eine A-Regel. Fall 1: Genau eine Aggregationsregel erfüllt zugleich Bedingungen A&B&C alle A&B-Regeln alle Regeln alle A-Regeln alle C-Regeln alle B-Regeln einzige A&B&C-Regel alle A&C-Regeln alle A&B-Regeln

33 Fall 2: Mehrere Aggregationsregel erfüllen zugleich Bedingungen A&B&C alle Regeln alle A-Regeln alle C-Regeln alle B-Regeln alle A&B&C-Regel Fall 3: Keine Aggregationsregel erfüllen zugleich Bedingungen A&B&C alle Regeln alle A-Regeln alle C-Regeln alle B-Regeln kein Überlapp = keine A&B&C-Regel

34 Bemerkung: Durch Bedinungen an die Aggregationsregel schränkt man die Zahl der möglichen Regeln dramatisch ein. Bsp: binäres Entscheidungsproblem unter n = 10 Personen jede Person hat 2 mögliche Inputs, und es gibt zwei mögliche Outputs es gibt bereits 2 hoch (2 hoch n) Aggregationsregeln, d.h. so viele: das sind weit mehr als es Atome in Universum gibt May s Theorem zeigt: stellt man lediglich vier Bedingungen, so bleibt genau eine Prozedur übrig (die Mehrheitsregel)

35 Beweise in der social choice Theorie Unterschiedliche Typen von Theoremen können bedürfen unterschiedlicher Beweistechnicken: Seien A, B,... Bedingungen/Axiome an die Aggregationsregel (z.b. Anonymität) 1. Characterisiertungssätze (z.b. May s Theorem; siehe Fall 1) Allgemeine Form: Die Aggregationsregel F* ist die einzige Aggregationsregel mit den Eigenschaften A, B,... Beweistechnik (in zwei Schritten): (i) Man zeigt, dass F* die Eigenschaften A, B,... erfüllt (oft einfach; z.b. ist es in May s Theorem offensichtlich, dass die Mehrheitsregel alle Bedingungen erfüllt). (ii) Man nimmt an, F sei eine Aggregationsregel mit den Eigenschaften A, B,... ist, und zeigt, dass F = F* gilt (oft weniger einfach).

36 2. Möglichkeitssäte (siehe Fall 1 oder 2) Allgemeine Form: Es existiert eine Aggregationsregel mit den Eigenschaften A, B,... Beweistechnik (konstruktiver Beweis): Man definiert eine Aggregationsregel F und zeigt, dass sie jede der Eigenschaften A, B,... erfüllt. 3. Unmöglichkeitssatz (Fall 3) Allgemeine Form: Es existiert keine Aggregationsregel mit den Eigenschaften A, B,... Beweistechnik (Widerspruchsbeweis): Man nummt an, F sei eine Aggregationsregel, die A, B,... erfüllt, und leitet einen Widerspruch her.

37 C. Einführung in die Präferenzenaggregation (PA) und Wohlfahrtsökonomie Bemerkung: Ich werde keine konkreten Theoreme besprechen, um Ihre Vorträge nicht vorwegzunehmen Das Modell der PA Zwei Beispiele von Aggregationsregeln Was sind individuelle Präferenzen? Was sind kollektive Präferenzen? Unterschiedliche Aggregationsregeln für unterschiedliche Inhalte der Inputs und Outputs Optionenraum: zwei Interpretationen Rationale Präferenzen Bedingungen an die Aggregationsregel Wohlfahrtsökonomie, kardinale Input-Information

38 Das Modell der PA Wir betrachten: eine Gruppe von n Personen 1,..., n (n 2) eine (nicht-leere) Menge X von Alternativen (Optionen), vor die die Gruppe gestellt ist (Kandidaten, Maßnahmen, Gesellschaftszustände,...) Der Optionenraum X ist exklusiv (höchstens eine der Optionen ist möglich) und erschöpfend (es gibt keine anderen Optionen); also muss genau eine der Optionen muss ergriffen werden Individuelle Präferenzen: Für Optionen x, y in X schreiben wir xr i y falls Person i x (schwach) gegenübereriert y präferiert, kurz wenn Person ix mindestens so gut wie y findet. Formal: jedes Individuum i = 1,..., n hat eine Präferenzrelation R i R i ist eine binäre Relation auf X (d.h. eine Menge von Paaren (x, y) X X, wobei xr i y eine Abkürzung für (x, y) R i ist).

39 Eine strikte Präferenzrelation P i und eine Indifferenzrelation I i werden wie folgt aus der schwachen Präferenzrelation R i definiert: xp i y (x (strikt) besser als y) : [xr i y und nicht yr i x] (x mind. so gut wie y und y nichtmind. so gut wie x) xi i y (x genauso gut wie y) : [xr i y und yr i x] (x mind. so gut wie y und y mind. so gut wie x) (Umgekehrt könnte man schwache Präferenzen nicht aus strikten Präferenzen definieren; deshalb betrachtet man schwache Präferenzen als den primitiven Begriff und strikte Präferenzen und Indifferenzen als abgeleitete Begriffe.) Ziel: kollektive Präferenzen finden (manchmal nur: eine Option x in X finden, die Entscheidung ) Für Optionen x, y in X schreiben wir xry falls das Kollektiv x (schwach) gegenübereriert y präferiert, kurz wenn x mindestens so gut ist wie y (aus Sicht der Gruppe) Formal: R ist (wie jedes R i ) eine binäre (Präferenz-)relation auf X Aus R erhält man wieder eine (kollektive) strikte Präferenzrelation P und eine (kollektive) Indifferenzrelation I (analog zu P i und I i )

40 (Präferenz-)aggregationsregeln: Bemerkung: Manchmal verwendet PA andere In- und Outputs: - i s Input ist nicht Präferenzrelation R i, sondern i s Lieblingsoption x i X, oder die Menge G i X der von i gebilligten Optionen - der Output ist nicht kollekt. Präferenzrelation R, sondetn z.b. siegreiche Option x X. Eine (Präferenz-)aggregationsregel ist eine Funktion F, die für jedes Profil (R 1, R 2,..., R n ) individueller Präferenzrelationen (in einem Bereich zulässiger Profile) eine kollektive Präferenzordnung R = F(R 1, R 2,..., R n ) spezifiziert Profil individueller Präferenzordgungen (R 1, R 2,..., R n ) Aggregationsregel F z.b. CondorcetRegel, Borda Regel,... kollektive Präferenzrelation R = F(R 1, R 2,..., R n )

41 Zwei Beispiele von Aggregationsregeln Folgende zwei Aggregationsregeln wurden von französ. Theoretikern im 18. Jahrhundert gefunden (Marquis de Condorcet und Compte de Borda) durch Probieren, da axiomatische Methode erst mit Arrow kam

42 Bsp. 1: Condorcet Regel (= paarweise Mehrheitsregel) Definiere die kollektive Präferenzrelation R = F(R 1, R 2,..., R n ) so: xry : [Zahl an Personen i mit xr i y] [Zahl an Personen i mit yr i x] (für beliebige Optionen x, y in X) Problem (Condorcet s Paradox). Bei mind. 3 Individuen und mind. 3 Optionen kann die Condorcet Regel zyklische kollektive Präferenzen generieren. Betrachte Optionen x, y, z und ein Profile, in dem - 1/3 der Individuen x über y über z präferiert - 1/3 der Individuen y über z über x präferiert - 1/3 der Individuen z über y über x präferiert Dann gilt: - eine Mehrheit präferiert x über y; also xpy - eine Mehrheit präferiert y über z; also ypz - eine Mehrheit präferiert z über x; also zpx Ein Zyklus! Formal: Die kollektiven Präferenzen verletzten Transitivität (s.u.)

43 Bsp. 2: Borda Regel - Wir setzen voraus, es gibt k := X < Optionen, und die Profile (im Bereich der Regel) bestehen aus linearen Präferenzordnungen. - Der (Borda-)Rang einer Option in einer (linearen) Präferenzordnung ist so definiert: die meistpräferierteste Option Borda-Rang n, die zweit-meist-prärerierte Option Borda-Rang n 1,..., die am wenigsten präferierte Option Borda-Rang 1. Sei b R i (x) der Borda-Rang von Option x in Präferenzrelation R i. Definiere nun die kollektive Präferenzrelation R = F(R 1, R 2,..., R n ) so: xry : b R 1 (x)+ b R2 (x) b Rn (x) b R1 (y)+ b R2 (y) b Rn (y) (x hat einen mind. so hohen summierten Borda-Rang wie y) Frage: Wie ordnet R die Optionen x, y, z im vorigen Profil (in dem die Condorcet Regel den Zyklus xpypzpx erzeugt)? wenn X nur x, y, z enthält? wenn X mehr Optionen enthält? Problem: Der Ausgang ist durch agenda setters manipulierbar, da sich die kollektive Präferenz zwischen x und y umkehren kann durch das Hinzufügen oder Herausnehmen anderer Optionen.

44 Was sind individuelle Präferenzen? Der Gegenstand der Aggregation in der PA sind Präferenzen. Selten gestellte Fragen (aber Amartya Sen stellt sie!): Was aber sind Präferenzen? Was drücken sie aus? Bsp: Ein Obdachloser in der Fußgängerzone bittet Sie um eine Münze. Sie haben zwei Optionen: Münze geben und keine Münze geben Fragen an Sie: Welche Option präferiert der Bettler (d.h. will er, hätte er lieber)? Welche Option ist im Interesse des Bettlers? Und falls er trinkt? Welche Option ist in Ihrem Interesse? Welche Option präferieren Sie (und werden Sie daher wählen)? Man könnte definieren: eine Präferenz ist - eigeninteressiert (überspitzt: egoistisch), falls sie sich am Eigeninteresse orientiert - fremdinteressiert (überspitzt: altruistisch), falls sie sich am Interesse anderer orientiert

45 Man könnte viele andere Fragen stellen, etwa: Welche Option macht den Bettler glücklicher? Kurzfristig? Lanfristig? Und wenn er trinkt? Welche Option erhöht die Wohlfahrt des Bettlers? (vielleicht dieselbe Frage wie wlche Option ist im Interesse des Bettlers? ) Kurzfristig? Langfristig? Und wenn er trinkt? Welche Option macht Sie glücklicher? Kurzfristig? Lanfristig? Welche Option ist besser für Sie und ihn zusammen? Welche Option ist besser für die Volkswirtschaft? Welche Option ist besser für die Menschheit? Welche Option ist besser? (etwas unklar, was besser heißt) Welche Option ist moralischer? (vielleicht dieselbe Frage wie zuvor) Welche Option sollten Sie wählen? (vielleicht wieder dieselbe Frage)