2. H Atom Grundlagen. Physik IV SS H Grundl. 2.1

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1 . H Atom Grundlagen.1 Schrödingergleichung mit Radial-Potenzial V(r). Kugelflächen-Funktionen Y lm (θ,φ).3 Radial-Wellenfunktionen R n,l (r).4 Bahn-Drehimpuls l.5 Spin s Physik IV SS 005. H Grundl..1

2 .1 Schrödingergl. mit Radial-Potenzial V(r) Physik IV SS 005. H Grundl.. ) cos( ) )sin( sin( ) )cos( sin( θ φ θ φ θ r z r y r x = = = allg.: Potenzial V=V(r,t). H-Atom: Zeitunabhängige Schrödinger Gleichung für ein kugelsymmetrisches Potenzial V = V(r), mit r= r : Math.Formelsammlung: mit in Polarkoordinaten r, θ, φ folgt: ψ ψ ϕ ψ θ θ ψ θ θ θ ψ E r V mr r r r m r = + + ) ( sin 1 sin sin 1 1 h h ψ ψ ψ E r V m = + ) ( h

3 Separation der Variablen Diese Gleichung ist separierbar durch den Produkt-Ansatz: ψ(r,θ,φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ). Wie mache ich aus 1 Schrödingergleichung 3 Gleichungen für R(r), Θ(θ), Φ(φ)? Schaffe Φ(φ) auf die linke Seite, den Rest mit R(r), Θ(θ) auf die rechte Seite: 1 Φ d dϕ Φ = sin θ d R dr r dr + dr sinθ d dθ sinθ + Θ dθ dθ m ( E h V ( r)) r sin θ Diese Gleichung: (1/Φ) Φ/ φ = Rest(r, θ) gilt für beliebige Werte von r, θ, φ, d.h. beide Seiten müssen gleich einer Konstanten Λ sein, z.b.: (1/Φ) Φ/ φ = Λ = Schwingungsgleichung mit (normierter) Lösung: Φ m (φ) = (π) ½ e imφ, mit Λ = m. Damit Φ(0) = Φ(π) = stehende Welle ist, muss Magnet-Quantenzahl m ganzzahlig sein. (N.B.: die Φ m (φ) sind orthonormiert: 0 π Φ m *Φ n dφ = δ mn ) Physik IV SS 005. H Grundl..3

4 Drei DGln. Gleicher Trick mit Rest(r,θ)=Λ=m : Schaffe die r-abhängigkeit auf linke Seite, die θ Abhängigkeit auf rechte Seite: 1 d dr m 1 d dθ ( r ) + r ( E V ( r)) = sinθ m + R dr dr h Θsinθ dθ dθ sin θ Setze beides = Konstante λ. Dies gibt mit DGl. für Φ(φ) insgesamt drei DGln. für R(r), Θ(θ), Φ(φ). Mit V(r) = Coulomb-Potenzial: (1) () (Λ = m, m = 0, ±1, ±, ) (3) Physik IV SS 005. H Grundl..4

5 . Kugelflächen-Funktionen Y lm (θ,φ) Gleichungen 3.: s.o. Gleichungen.+3. (ohne Beweis): Für ein kugelsymm. Potenzial V(r) ist die Winkelabhängigkeit Θ(θ)Φ(φ) der Lösungen der Schrödinger- Gleichung immer gegeben durch die Kugelflächenfunktionen Y lm (θ,φ)= ½ P lm (cosθ)e imφ, mit Legendre-Polynomen P lm. Damit Θ(θ) endlich bleibt, muss der Grad l des Polynoms eine endliche ganze Zahl sein: l = 0, 1,,, und λ = l(l+1). N.B.: die Y lm (θ,φ) bilden ein vollständiges Orthonormalsystem. Physik IV SS 005. H Grundl..5

6 Beispiele Kugelfunktionen Y lm (θ,φ) : ~ cos θ Y 10 (θ,φ) ~ cosθ: z + cosθ θ Physik IV SS 005. H Grundl..6

7 Rotations-Symmetrie der Y lm (θ,φ) Y 3 0 (θ,φ) l, m >> 1: klassische Bahn Physik IV SS 005. H Grundl..7

8 Vorzeichen der Kugelfunktionen Y lm (θ,φ) z Physik IV SS 005. H Grundl..8

9 Beispiel: n=7 Orbitale 7g 7s 7p 7f 7d Physik IV SS 005. H Grundl..9

10 . Radial-Wellenfunktionen R n,l (r) ohne Beweis: Gleichung (1) mit λ = l(l+1) hat endliche Lösungen R(r) nur: für die Werte l = 0, 1,,, n 1, und für die diskreten Energiewerte E n = R H Z /n, dh. selbes Ergebnis wie aus Bohr-Modell (Balmer Formel), mit Rydberg-Energie R H =e /4πε 0 a 0 (=CoulombWW im Abstand a 0 ) =½α mc Physik IV SS 005. H Grundl..10

11 Beispiele für R n,l (r) R n,l (r) dv = Wahrscheinlichkeit, das Elektron am Ort x,y,z zu finden in dv=dxdydz Physik IV SS 005. H Grundl..11

12 Radiale Wahrscheinlichkeits-Verteilung r R n,l (r) 4πr R n,l (r) dr = Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Abstand r zu finden in Kugelschale 4πr dr Physik IV SS 005. H Grundl..1

13 Gesamtwellenfunktionen ψ(r,θ,φ)=r n,l (r) Y lm (θ,φ) Physik IV SS 005. H Grundl..13

14 Beispiele Gesamt-Wellenfunktion n=3, l=m=0: 3s-Zustand n=, l=1, m=0: pσ-zustand Physik IV SS 005. H Grundl..14

15 Mechanik:.4 Bahn-Drehimpuls L ist erhalten für Zentralpotenzial V(r) Quantenmechanik: Polar-Koordinaten: Vgl. Schrödingergleichung in Polarkoordinaten S..! Physik IV SS 005. H Grundl..15

16 Bahn-Drehimpuls Quantenzahlen Die Kugel-Flächenfunktionen Y lm (θ,φ) sind daher Eigenfunktionen: 1. der Schrödingergleichung, d.h. des Hamiltonoperators H, und gleichzeitig. der Drehimpuls-Operatoren l und l z : l ψ = l(l+1)ħ ψ und l z ψ = mħ ψ Die Zustände ψ(r,θ,φ)=r n,l (r) Y lm (θ,φ) des Wasserstoffatoms haben daher die folgenden "guten Quantenzahlen": die Haupt-Quantenzahl n = 1,, 3, der Energie-Eigenwerte E n die Bahndrehimpuls-Quantenzahl l = 0, 1,, 3,, n 1 genannt: s p d f -Orbitale die magnetischer Quantenzahl m = l z = l,, 0, 1,, 3,, l 1, l genannt: σπδφ -Orbitale l hat den Betrag l = l(l+1) ħ und die z-komponente mħ. Nur die Grössen E n, l und l z sind gleichzeitig bestimmbar, nicht aber die Grössen l x, l y, l z, d.h. die Phase f des Vektors l in der x-y Ebene ist unbestimmt. Physik IV SS 005. H Grundl..16

17 Richtungsquantelung des Drehimpulses l = l(l+1) ħ Physik IV SS 005. H Grundl..17

18 Wdh.: die Begriffe der Quantenmechanik Operator A definiert eine physikalische Messgröße ("Observable") Beispiele: Impulsoperator p = iħ Drehimpulsoperator L = r µ p = iħr µ Hamiltonoperator H = p /m + V = (ħ /m) +V Operatoren sind im allgemeinen nicht vertauschbar: AB BA Beispiel: p x x x p x da, angewandt auf ψ: / x (xψ) x / x ψ Zustand ψ ist Eigenfunktion des Operators A mit Eigenwert a wenn: Aψ = aψ, wobei A = Operator, a = Wert der Messgröße ( = Zahl) Beispiele: 1. Schrödingergleichung Hψ = E n ψ : Die Zustände ψ (r,θ,φ)=r n,l (r) Y lm (θ,φ) sind Eigenfunktionen des Hamiltonoperators H mit den Eigenwerten E n der Observablen E.. Die ebenen Wellen e ik x sind Eigenfunktion des Impulsoperators p = iħ mit dem Eigenwert ħk der Observablen p, da: p x ψ = iħ / x e ik x = ħk x ψ, etc. Physik IV SS 005. H Grundl..18

19 Erwartungswert = Mittelwert: Beispiel: weitere Begriffe AÚ = Ûψ*Aψ dv E kin Ú = (ħ /m e ) Ûψ* ψ dv Unschärfe A = Schwankungsquadrat = ( A Ú - AÚ ) ½. Der Erwartungswert AÚ ist "scharf": A = 0, wenn AÚ = Eigenwert a von A, denn es ist: A = A Ú AÚ = Ûψ*A ψ dv (Ûψ*Aψ dv) = a (1 1) = 0 wenn ψ = Eigenfunktion von A. a heisst dann eine "gute Quantenzahl". Wenn Ψ gleichzeitig Eigenfunktion von zwei Operatoren A und B, mit Eigenwerten a und b, dann sind die Observablen A und B gleichzeitig scharf messbar. Wegen ABΨ = abψ = BAΨ sind dann beide Operatoren vertauschbar: AB = BA Unser Beispiel: Die Messgrößen E n, l, m sind gleichzeitig bestimmbar, da die Operatoren H, l, l z dieselben Eigenfunktionen R n,l (r) Y lm (θ,φ) haben, dh. wechselseitig vertauschbar sind. Physik IV SS 005. H Grundl..19

20 H-Atom Energieniveaus Bahndrehimpuls-Quantenzahl l: Hauptquantenzahl n Schrödingergleichung ergibt dieselben Energie-Eigenwerte wie das Bohr-Modell: E n = R H Z /n, unabhängig von Bahndrehimpuls l. Physik IV SS 005. H Grundl..0

21 .5 Spin s s µ s e Spin des Elektrons s = ½ : s = [s(s+1)] ½ ħ = ¾ ħ, s z = m s ħ, m s = ½ Elektron; Spin ½ Fermion magnetisches Moment des Elektrons µ s = γ s γ = gyromagnetisches Verhältnis jeder Zustand kann mit Elektronen besetzt werden Physik IV SS 005. H Grundl..1

22 Stern-Gerlach Effekt Kraft auf Atom im inhomogenen Magnetfeld B z (z): F = µ B = µ z B z / z gibt direktes Abbild der Richtungsquantelung µ z = γs z = ½ γħ (γ = gyromagn. Verhältnis) Physik IV SS 005. H Grundl..

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