Á 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit

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1 Á 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit Historisc ist der Begriff der Differenzierbarkeit lange vor dem der Stetigkeit entwickelt worden. Untersciedlice Definitionen der Differenzierbarkeit werden von Gottfried Wilelm Leibniz (646 76) und Isaac Newton (64 77), einem engliscen Pyiker und Matematiker, gegeben. Die Definition der Stetigkeit, wie sie eute gebräuclic ist, verbindet sic mit Namen wie Augustin Louis Caucy, , und Karl Weierstraß, H. Heuser screibt in seinem Lerbuc der Analysis I (Stuttgart: Teubner, ) auf Seite 56: Karl Weierstraß [ ]: Auf in get die "Epsilontik" zurück, one die wir uns eutzutage die Analysis nict mer denken können. Auc ier soll Stetigkeit im Zusammenang mit Differenzierbarkeit motiviert werden. Daer zu Beginn die klassiscen Fragestellungen: Wie kann eine Tangente an eine Kurve berecnet werden? Was sind die Änderungsraten bei einer Funktion? Erinnert sei nocmals an einige Bilder aus einer Animation Sekantensteigung ' y ' y f + 0 / f + 0 / ' ' 0 0 f + 0 / ' y f + 0 / ' y ' 0 ' 0 Nun betracten wir die Funktion f : mit f +/ : + / an der Stelle 0 : 0. Die Steigungen zweier Sekanten durc den Punkt +0, / +0, f +0// können mit Hilfe der Steigungsdreiecke in den beiden folgenden Grafiken bestimmt werden. Es sei < 0, dann ergibt das linke Steigungsdreieck:

2 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit m +/ : f +0/ f +/ ccccccccccccccccccccc cccccccc 0 + / ccccccccccccccccccccc cccccccc ccccccccccccccccccccc cccc. f +/ f +0/ f +0/ f +/ 0 0 Es sei > 0. Das recte Steigungsdreieck liefert: m +/ : f +/ f +0/ ccccccccccccccccccccc cccccccc 0 + / ccccccccccccccccccccc ccccccc ccccccccccccccccccc c. Also ist sowol links wie rects von Null die Steigung der Sekante +. Geometrisc "geen" die Sekanten in die Tangente über, wenn = 0. Die Tangentensteigung im Punkt (0, ) an den Grap von f ist also. Nun soll das gleice Scema bei der Sinusfunktion versuct werden. Es sei also f +/ : sin+/ für ± und 0 0. Zuerst sei! 0. sin+/ 0 sin+0/ Dieses Steigungsdreieck liefert: m +/ : f +/ f +0/ ccccccccccccccccccccc cccccccc 0 sin+/ sin+0/ cccccccccccccccc ccccccccccccccccccccc ccc sin+/ cccccccccccccccc.

3 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit 3 sin+0/ sin+/ Dieses Steigungsdreieck liefert: m +/ : f +0/ f +/ ccccccccccccccccccccc cccccccc 0 sin+0/ sin+/ cccccccccccccccc ccccccccccccccccccccc ccc sin+/ cccccccccccccccc. Wieder sind die Terme für m +/ und m +/ gleic. Doc kann in dem Ausdruck cccccccccccccccc sin+/ gesetzt werden! sin+/ Die klassisce Grafik um cccccccc cccccccc abzuscätzen, sollte so ausseen: jetzt nict einfac Null S T O A sin+/ tan+/ Dann folgt mit nnn nnn die Ungleicung nnn G+A, S/ := Fläceninalt des Dreiecks A O S, G+A, T/ := Fläceninalt des Dreiecks A O T, N+A, S/ := Fläceninalt des Kreissektors A O S G+A, S/ < N+A, S/ < G+A, T/. nnn sin+/ Nun gilt G+A, S/ cccccccc cccccccc, und da r, N+A, S/ cccccccc S ºSºr ccccc, G+A, T/ cccccccc tan+/ ccccccccc nnn und damit folgt sin+/ tan+/, bzw. nac Division mit sin+/ nnn cccccccc cccccccc sin+/ cccccccccccccccc ccc cos+/ sin+/, woraus cos+/ cccccccccccccccc folgt nnnnnnnn Diese letzte Bezieung ist für > 0 ergeleitet. Sie gilt aber auc für < 0.

4 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit 4 f +/ : sin+/ cccccccccccccccc 0. 5 S 5 S cccccccccc 0. 5 S cccccccccc 5 S Versuct man jetzt in der Näe von Null für œ 0 die Grapen der Funktionen f : cos+/, f : cccccccccccccccc sin+/, f 3 : zu zeicnen, so sceint klar zu sein, dass ein "sinnvoller" Wert für f bei Null nur Eins sein kann. In der Näe von Null sceinen sic die Werte von sin+/ cccccccc cccccccc von Eins nur beliebig wenig zu untersceiden. 0.9 cos+/ 0 sin+ cccccccccc Diese Überlegungen füren zu der Definition 4.: GRENZWERT einer Funktion Es seien I : #a, b' und f : I. Die Funktion f at an der Stelle 0 ± I einen GRENZWERT M±, genau dann, wenn zu jedem! 0 eistiert ein G!0, so dass für alle ± I mit 0 «0 «G gilt «f +/ M «. Üblice Screibweise: f +/ M. Ic ziee diese Screibweise vor: 0 f +/ M oder noc besser 0 f M.

5 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit 5 Üblice Sprecweisen: f at bei 0 den Grenzwert M bzw. der Limes von f bei 0 ist M. Beacten Sie 0 «0 «, also œ 0. Der Beweis über die Eindeutigkeit des Grenzwertes von Funktionen verläuft analog zum Beweis von Satzes..4, der die Eindeutigkeit des Grenzwertes bei Folgen beandelt. Viele Grenzwerte sind einfac zu berecnen. Doc soll ier jetzt endlic cccccccc sin+/ cccccccc 0 bewiesen werden. Satz 4. Es gilt sin+/ cccccccccccccccc 0. Beweis: Für ± \ 0 seien f +/ : sin+/ cccccccccccccccc und f +0/ :. f +0/ kann beliebig definiert werden. Der gewälte Wert spielt in diesem Beweis keine Rolle! S O A sin+/ d Es sei! 0. Aus der Grafik folgt dann, dass die Länge des Bogens, also, größer ist als der Abstand von A +, 0/ nac S +cos+/, sin+//, der sin +/ + cos+// beträgt. Also gilt! sin +/ + cos+// sin +/ cos+/ cos +/ cos+/, d.. cos+/! cccccc. Weiter oben war scon cos+/ cccccccc sin+/ cccccccc bewiesen worden, so dass nun gilt cccccc cccccccc sin+/ cccccccc bzw. cccccc cccccccc sin+/ cccccccc 0. Diese Ungleicung läßt sic auc für negative beweisen.

6 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit sin+/ cccccccccccccccc cos+/ ccccccc Es sei also wie oben f +/ 0 ««min+g, /. sin+/ cccccccccccccccc definiert für ± \ 0. Es seien! 0 beliebig, G : und es gelte Dann folgt «f +/ «sin+/ cccccccccccccccc ccccc G. Nun einige Beispiele: Beispiel 4.: Für ± #, ' \ 0 sei f +/ : und f +0/ : 0. Dann at f bei Null den Grenzwert, obwol f +0/ œ. 0 0 Beispiel 4.: Für ± #0, ' \ sei f +/ : cccccccccccccccc ccc f +/ cccccccccccccccc ccccccccccccccccccccc cccccccc ccccccc + / + /. One Beweis sei scon festgestellt, dass f +/ und f +/ : a für ein a ±. Für œ gilt cccc. Wenn a cccc gewält wäre, dann wäre auc f +/ f +/.

7 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit 7 ccccc ccccc Beispiel 4.3: Für ± #, ' sei f +/ : sign+/, also f +/ für 0, f +/ für! 0 und f +0/ 0. Dann at f bei Null keinen Grenzwert, obwol die Werte von f rects und links von Null jeweils konstant sind, jedoc untersciedlic. 0 Die letzte Feststellung motiviert die Definition 4.: EINSEITIGER Grenzwert Es seien I : #a, b' und f : I. Die Funktion f at an der Stelle 0 ± I den RECHTSSEITIGEN Grenzwert U ±, genau dann, wenn zu jedem! 0 ein G!0 eistiert, so dass für alle ± I mit 0 0 G gilt «f +/ U «. Üblice Screibweise: 0 0 f +/ U. Ic ziee diese Screibweise vor: 0 f +/ U oder noc besser 0 f U. Üblice Sprecweisen: f at bei 0 den rectsseitigen Grenzwert U bzw. der rectsseitige Limes von f bei 0 ist U. Analog wird der LINKSSEITIGE Grenzwert definiert: Die Funktion f at an der Stelle 0 ± I den LINKSSEITIGEN Grenzwert O±, genau dann, wenn zu jedem! 0 ein G!0 eistiert, so dass für alle ± I mit 0 0 G gilt «f +/ O «. Üblice Screibweise: 0 0 f +/ O.

8 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit 8 Ic ziee diese Screibweise vor: 0 f +/ O oder noc besser 0 f O. Üblice Sprecweisen: f at bei 0 den linksseitigen Grenzwert O bzw. der linksseitige Limes von f bei 0 ist O. Jetzt ist als Ergänzung zu Beispiel 4.3 leict zu beweisen: sign, sign. 0 0 Satz 4.: Es seien I : #a, b' und f : I. Es sei 0 ± ' a, b#. Dann eistiert der Grenzwert von f bei 0, genau dann, wenn sowol der linksseitige als auc der rectsseitige Grenzwert von f bei 0 eistieren und beide gleic sind. Mit entsprecend vorsictiger Interpretation läßt sic diese Aussage so formulieren: f +/ f +/ f +/. 0 0 Der Beweis ist eine einface Übungsaufgabe. Beispiel 4.4: Für ± #, ' \ 0 seien f +/ : sin+ cccc / und f +0/ : 0. Dann eistiert weder ein links- noc ein rectsseitiger Grenzwert von f bei Null, denn etwa für n ± und n : ccccccc n S gilt f + n / 0 ; bzw. für y n : cccccccccccccccccc gilt f +y + n/. n cccc / S Es kann gezeigt werden, dass zu jedem D±#, ' eine Folge +D n / eistiert mit +D n / 0 und + f +D n // D Die Grafiken können das Veralten der Funktion in der Näe von Null nur andeutungsweise wiedergeben! Beispiel 4.5: Für ± \ 0 seien f +/ : sin+ cccc / und f +0/ : 0. Dann gilt sin+ cccc 0 / 0. Beweis: Es sei! 0 und G :. Da «sin+d/ «für alle D ±, folgt für alle ± ' G, G #', œ 0

9 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit 9 «f +/ f +0/ ««sin+ cccc / 0 «««G In einigen der vorangegangenen Beispiele eistierte f +/ 0. M und atte den Wert f + 0 /. Dafür gibt es die Definition 4.3: STETIGKEIT Es seien I : #a, b' und f : I. Die Funktion f eißt der Stelle 0 ± I STETIG, genau dann, wenn zu jedem! 0 ein G!0 eistiert, so dass für alle ± I mit «0 «G gilt «f +/ f + 0 /«. f eißt AUF I stetig, falls f stetig ist für alle 0 ± I. G f + 0 / b 0 Zeicnen Sie bitte an den Koordinatenacsen noc die Werte 0 G bzw. f + 0 / ein. Hinweis: Im Folgenden sei immer a < b und damit das Intervall [a, b] nict leer. Satz 4.3: Es seien I : #a, b' und f : I definiert durc f +/ : c für ein c ±. Dann ist f auf I stetig. Beweis: (Vergleicen Sie diesen Beweis mit dem Beweis dafür, dass eine konstante Folge konvergiert, also Satz...)

10 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit 0 Es sei 0 ± beliebig. Es sei! 0 und G :=. Dann gilt für alle ± I und damit erst rect für alle ± I mit «0 «G auc «f +/ f + 0 /««c c «. Satz 4.4: Es seien I : #a, b' und f : I definiert durc f +/ :. Dann ist f auf I stetig. Beweis: Es sei 0 ± I beliebig. Es sei! 0 und G : «f +/ f + 0 /««0 «G.. Dann gilt für alle ± I mit «0 «G auc Satz 4.5: Es seien I : #a, b' und f : I definiert durc f +/ : ««. Dann ist f auf I stetig. Beweis: Es sei 0 ± I beliebig. Es sei! 0 und G :. Dann gilt für alle ± I mit «0 «G auc «f +/ f + 0 /«««««0 «««0 «G nac der Dreiecksungleicung. Bemerkung: Da in den Sätzen 4.4 und 4.5 das Intervall I jeweils beliebig war, Beispiel 4.6:. Diriclet-Funktion (89), (Peter Gustav Lejeune-Diriclet ) Für ± #0, ' sei f +/ : 0, falls irrational., falls rational Für kein 0 besitzt f Grenzwerte. Denn in jedem Intervall, das 0 umfaßt, liegen sowol rationale als auc irrationale Zalen. Also werden in jedem (noc so kleinen) Intervall die Funktionswerte Null und Eins angenommen. Deren Differenz ist aber nict unter beliebiges zu bringen. Jeder Versuc, diese Funktion grafisc darzustellen, muss sceitern. Beispiel 4.7:. Diriclet-Funktion (89) Für ± #0, ' sei f +/ : 0, falls irrational p cccc, falls rational und q cccc mit teilerfremden p, q ± q 0. f ist für jedes irrationale 0 stetig und für jedes rationale unstetig!

11 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit ccccc ccccc ccccc 3 e 8 Beweis: Es sei 0 rational und 0 #' 0 G, 0 G#' liegt ein irrationales rr. Also gilt «f + rr / f + 0 /«0 cccc cccc ccccccc p cccc q mit teilerfremden p und q. Es sei : ccccccc q q q! q. und G!0 beliebig. In jedem Intervall Es seien nun 0 irrational und! 0. Dann gibt es ein n q ± mit viele Brüce der Gestalt r cccc s (r, s teilerfremd) mit Nennern s n q. Es sei G : Nun ist 0 f +/ ccccc n q für ± #0, ' À #' 0 G, 0 G#, d.. f +/ f + 0 / f +/ 0 ccccc n q. ccccc n q. Das Intervall [0, ] entält nur endlic min sn q +«0 r cccc s «/.

12 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit Satz 4.6: Es seien I : #a, b' und f : I. f sei bei 0 stetig. Ist f + 0 /! 0, so gibt es ein G! 0, so dass f +/! 0 für alle ± I À # 0 G, 0 G '. Ist f + 0 / 0, so gibt es ein G! 0, so dass f +/ 0 für alle ± I À # 0 G, 0 G '. Beweis für f + 0 /! 0 : Es sei : f + 0 / cccccccc cccc. Dann gibt es ein G!0, so dass für alle ± I mit «0 «G gilt: «f +/ f + 0 /«f + 0 / cccccccc cccc, d.. f + 0 cccccccccccc / also 0 f + 0 cccccccc cccc / f +/ f + 0 / f + 0 cccccccc cccc / f +/ 3 cccc f + 0/. Es sei nun G G : cccc, dann gilt # 0 G, 0 G ' #' 0 G, 0 G#' und damit für alle ± I À # 0 G, 0 G ' erst rect die letzte Ungleicung. Der Fall f + 0 / 0 wird analog bewiesen. G G 3 f + 0 / ccccccccccccccccccc f + 0 / b f + 0 / ccccccccccccccc 0 0 G 0 G 0 Als Sprecweise at sic eingebürgert die Definition 4.3: OFFENE bzw. ABGESCHLOSSENE UMGEBUNG. Das offene Intervall #' 0 G, 0 G#'wird OFFENE G Umgebung von 0 genannt. Das abgesclossene Intervall

13 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit 3 # 0 G, 0 G' eißt ABGESCHLOSSENE G Umgebung von 0. Satz 4.6 läßt sic dann folgendermaßen merken: Wenn eine Funktion f in 0 stetig und ungleic Null ist, dann ist sie auc in einer ganzen abgesclossenen Umgebung von 0 ungleic Null. Der Zusammenang zwiscen Grenzwerten von Folgen und Grenzwerten von Funktionen wird ergestellt von dem wictigen und nützlicen Satz 4.7: Folgenkriterium für Grenzwerte von Funktionen. Es seien I : #a, b' und f : I, 0 ± I und M±. Genau dann gilt f +/ M, wenn + f + n // M für JEDE Folge + n / mit n ± I, n œ 0 und + n / 0 gilt. Beweis:.Beweisteil: Es gelte mit den Bezeicnungen der Beauptung f +/ M. Dann gibt es zu jedem! 0 ein G!0, so dass «f +/ M «für alle ± I mit «0 «G. Es sei + n / eine beliebige Folge mit n ± I, n œ 0 und + n / 0. Da + n / 0 und n œ 0, gibt es zu G!0 ein n 0 ±, so dass 0 «n 0 «G für alle n n 0 gilt. Damit gilt für alle diese n auc «f + n / M «, d.. + f + n // M.. Beweisteil: Es wird vorausgesetzt, dass für jede Folge + n / der in der Beauptung bescriebenen Art auc + f + n // M gilt. Der Beweis wird nun indirekt gefürt! Anname: f abe bei 0 keinen Grenzwert M. D..: Es gilt nict: Zu jedem! 0 gibt es ein G!0, so dass für alle ± I mit 0 «0 «G auc «f +/ M «gilt. Also gibt es ein rr! 0, so dass nict gilt: Es gibt ein G!0, so dass für alle ± I mit 0 «0 «G auc «f +/ M «rr gilt. D.. es gibt ein rr! 0, so dass für alle G!0 gilt: Nict für alle ± I mit 0 «0 «G gilt auc «f +/ M «rr. Dies wiederum bedeutet: Es gibt ein rr! 0, so dass es zu jedem G!0 ein G gibt mit 0 «G 0 «G und «f + G / M «rr. Also gibt es insbesondere zu jedem G n : cccc n ein n ± I mit 0 «n 0 «G n und «f + n / M «rr. Damit gilt aber + n / 0 und die Folge + f + n // at nict den Grenzwert M, im Widerspruc zur Voraussetzung in diesem Beweisteil. Mit Quantoren läßt sic die obige Argumentationskette mit Bedact so darstellen: ( Â! 0 Á  0 «0 «G : «f +/ f + 0 /«) G!0 ± I

14 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit 4 rr Á! 0 Â Á G!0 / ± I 0 «G 0 «G : «f + G / f + 0 /«rr Versucen Sie bitte die felenden Zwiscenscritte einzutragen. G M b 0 Die Anwendung von Satz 4.7 auf stetige Funktionen liefert Satz 4.8: Folgenkriterium für stetige Funktionen. Es seien I : #a, b' und f : I und 0 ± I. Genau dann ist f stetig bei 0, wenn + f + n // f + + n // f + 0 / für JEDE Folge + n / mit n ± I und + n / 0 gilt. Der Beweis folgt direkt aus Satz 4.7 mit der Definition der Stetigkeit. Zu beacten ist, dass in diesem Fall nict wie in Satz 4.7 ausgesclossen ist, dass n 0. Satz 4.9: Regeln für stetige Funktionen Es seien I : #a, b' und f, g : I, 0 ± I und f, g stetig bei 0. Es sei noc O±. Dann gilt: (i) Oº f ist bei 0 stetig, d.. 0 +Oº f /+/ Oº f +/ Oº f +/.

15 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit 5 (ii) f + g ist bei 0 stetig, d f g/+/ + f +/ g+// f +/ g+/ f + 0 / g+ 0 / + f g/+ 0 /. (iii) f g ist bei 0 stetig, d f º g/+/ + f +/ º g+// f +/ º g+/ f + 0 / º g+ 0 / + f º g/+ 0 /. (iv) Falls g+ 0 / œ 0, ist f cccc g bei 0 stetig, d.., ccccc f 0 g 0+/, cccccccc f +/ ccc 0 f +/ 0 ccccccccccccccccccccc cccc g+/ g+/ 0 f + 0 / cccccccc ccccc g+ 0 / f ccccc g + 0/. Die Beweise sind direkte Folgerungen aus den Sätzen 4.8 und..9. (i) läßt sic auc einfac mit (iii) beweisen. Es ist ier so angefürt, um die vollständige Analogie zu Satz..9 zu eralten. Bei (iv) ist zu beacten, dass g nac Satz 4.6 nict nur bei 0, sondern in einer ganzen abgesclossenen Umgebung von 0 ungleic Null ist. Satz 4.0: Verkettung stetiger Funktionen Es seien I : #a, b', J : #c, d' und g : I, f : J. g sei stetig bei 0 ± I und g+/ ± J für alle ± I. f sei bei g+ 0 / stetig. Dann ist auc f Íg bei 0 stetig. Beweis: Es sei 0 ± I. Es sei + n / eine beliebige Folge mit n ± I und + n / 0. Dann gilt g+ n / ± J für alle n. Da g stetig bei 0, gilt g+/ g+ 0 /. Nac dem Folgenkriterium (Satz 4.8) folgt, da f bei g+ 0 / stetig ist, auc 0 + f Íg/+/ f +g+// f L M g+/ \^ ] f +g+ 0 // + f Íg/+ 0 /. N Als Folgerung der Sätze 4.9 und 4.0 ergibt sic die Stetigkeit der elementaren Funktionen wie Polynomfunktionen und rationalen Funktionen. Darauf wird später noc eingegangen. Oft errsct die falsce Vorstellung "eine stetige Funktion sei in einem Zug durcziebar"; das soll eißen: Der Grap der Funktion läßt sic one abzusetzen zeicnen. Beispiel 4.7 möge dagegen genügend Bedenken erwecken. Die falsce Vorstellung wird jedoc durc den folgenden rictigen! Satz genärt. Satz 4.: Zwiscenwertsatz Es seien I : #a, b' und f : I auf I stetig. z i) Es gelte f +a/ 0 f +b/. Dann gibt es ein 0 ± ' a, b #'mit f + 0 / 0. z ii) Es seien nun f +a/ : D und f +b/ : E und Dœ E. Dann gibt es zu JEDEM J zwiscen D und E ein J ± ' a, b #'mit f + J / J. Diese Eigenscaft auf Intervallen stetiger Funktionen wird die Zwiscenwerteigenscaft genannt.

16 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit 6 Beweis zu z i): Mit Hilfe der sog. Intervallalbierungsmetode wird eine Intervallscactelung für eine Nullstelle von f konstruiert. Dieses Verfaren soll zuerst am Beispiel der folgenden Grafik motiviert werden. Es sind von Inen noc einige Bezeicnungen in die Grafik einzutragen. f +b/ 0 a b f +a/ Es werden zwei Folgen +u n / und +o n / (entsprecend unten und oben) mit u n, o n ± I konstruiert, für die gilt (i) a u n u n o n o n b, (ii) o n u n ccccc +b n a/, (iii) f +u n / 0 f +o n /. (i) bedeutet insbesondere, dass die Folgen +u n / und +o n / monoton und bescränkt sind. Sie sind also auc konvergent und es gelte u : +u n / und o : +o n /. Nun die rekursive Konstruktion der Folgen +u n / und +o n / : Am Anfang seien u o : a und o 0 : b gesetzt. Es seien nun für ein n ± 0 u n und o n scon definiert. Dann sei m n : cccc +u n o n /. m n ± I gilt trivialerweise.. Fall: f +m n / 0. Dann wird u n : m n gesetzt und o n : o n.. Fall: f +m n /! 0. Dann wird u n : u n und o n : m n gesetzt. Die so konstruierten Folgen +u n / und +o n / erfüllen qua Konstruktion die Bedingungen (i) und (iii). Durc Induktion wird (ii) bewiesen: I: Induktionsanfang: n = 0. Dann gilt o 0 u 0 b a ccccc +b 0 a/. II: Induktionsscritt: Für ein n ± 0 gelte o n u n ccccc +b n a/. Dann folgt für o n u n o n +u n o n /s +o n u n /s im Fall +u n o n /s u n +o n u n /s im Fall,

17 4. Differenzierbarkeit, Stetigkeit 7 also in jedem Fall o n u n cccc +o n u n / cccccccc n +b a/. Mit (ii) folgt nun sofort die Eistenz eines 0 mit +u n / 0 +o n /. Mit (iii) und der Stetigkeit von f folgt + f +u n // + f +o n //. Andererseits folgt mit (iii) + f +u n // 0 und + f +o n // 0. Also ergibt sic insgesamt 0 + f +u n // f + +u n // f + 0 /. Der Beweis zu z ii) folgt als Verallgemeinerung aus z i):. Fall: Es gelte D : f +a/ f +b/ : E und es sei J ± ' D, E #'. Für ± I sei f q +/ : f +/ J. Dann gilt f q +a/ f +a/ J0, f q +b/ f +b/ J!0, und es gibt nac (i) ein 0 mit 0 f q + 0 / f + 0 / J, d.. f + 0 / J.. Fall: Es gelte f +a/! f +b/. Dann wird analog zu Fall verfaren bei entsprecender Umbenennung einiger Bezeicnungen. One Beweis sei noc der folgende Satz angefürt: Satz 4.: Es seien I : #a, b' und f : I auf I stetig. Dann gibt es rr, rr ± I, so dass für alle ± I folgt f + rr / f +/ f + rr /. Werden noc c : f + rr / und d : f + rr / gesetzt, so folgt mit dem Zwiscenwertsatz (Satz 4.) weiterin, dass es zu jedem M±#c, d' ein 0 ± I gibt mit f + 0 / M. Also ist die Wertemenge der stetigen Funktion f (definiert auf [a, b] ) das Intervall [c, d]. Kurz wir das so gescrieben: f #a, b' #c, d'. d f +b/ 0 a rr rr b f +a/ c Aus den letzten beiden Sätzen folgt also als WICHTIGE ERKENNTNIS: Stetige Funktionen bilden abgesclossene Intervalle auf abgesclossene Intervalle ab. Stetige Funktionen nemen auf abgesclossenen Intervallen Minimum und Maimum an.

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