Einführungsphase Mathematik. Thema: Quadratische Funktionen. quadratische Gleichungen

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1 Thema: Quadratische Funktionen quadratische Gleichungen

2 Normalform einer linearen Funktion Normalform einer quadratischen Funktion

3 Handelt es sich um quadratische Funktionen??? Ja, denn a = 3, b = 0, c = -7 Nein, denn a = 0 (b = 25, c = - 2 sind o.k.) Ja, denn a =, b = -8, c = 16 Nein, denn darf im Funktionsterm nicht vorkommen Ja, denn a = -1, b = 1,5, c = 0 Ja, denn a = -0,25, b = -0,25, c = 0,5 Ja, denn a = -0,2, b = 1,2, c = -0,8

4 Die Graphen der quadratischen Funktionen heißen Parabeln p 1 : y = -3x²- 12x 12 p 2 : y = -x² + 6x 8 p 3 : y = 0,2x²-0,4x + 2,2 Jede Parabel hat: Einen Schnittpunkt mit der y-achse Hier: B 1 (0-12), B 2 (0-8) und B 3 (0 2,2)

5 Weitere Eigenschaften von Parabeln p 1 : y = -3x²- 12x 12 p 2 : y = -x² + 6x 8 p 3 : y = 0,2x²-0,4x + 2,2 Parabeln haben: Einen, zwei oder keinen Schnittpunkte mit der x-achse. Man nennt diese Schnittstellen Nullstellen. p 1 : x 0 = -2, N(-2 0) p 2 : x 01 = 2, x 02 = 4, N 1 (2 0), N 2 (4 0) p 3 : Es existieren keine Nullstellen.

6 Weitere Eigenschaften von Parabeln p 1 : y = -3x²- 12x 12 p 2 : y = -x² + 6x 8 p 3 : y = 0,2x²-0,4x + 2,2 Parabeln haben: Immer einen Scheitelpunkt. Hier: p 1 : S 1 (-2 0), p 2 : S 2 (3 1) und p 3 : S 3 (1 2) Jede Parabel ist achsensymmetrisch zu der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und parallel zur y-achse verläuft.

7 Weitere Eigenschaften von Parabeln So liegen z.b. die Nullstellen symmetrisch zum Scheitelpunkt. p rechts : Nullstellen sind x 01 = 3 und x 02 = 7. Die x-koordinate des Scheitelpunktes liegt genau dazwischen. x S = 5 p links : Die Nullstellen sind x 01 = -4 und x 02 = 2 Die x-koordinate des Scheitelpunktes liegt genau dazwischen, hat also die x-koordinate x S = -1. Die y-koordinate muss mit der Funktionsgleichung ermittelt werden. f(-1) = 0,3 (-1)²+ 0,6(-1) - 2,4 = -2,7

8 Weitere typische Aufgaben im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (bis zur 1. Klausur) 1.) Die x-koordinate eines Punktes ist gegeben, die y-koordinate muss berechnet werden Die Bearbeitung nicht einfach mit y = beginnen: Beispiel: p 3 : y = 0,2x²-0,4x + 2,2 und P(-2?) Lösung: = 0,8 + 0,8 + 2,2 = 3,8 Also hat P die Koordinaten P(-2 3,8) Ziemlich leicht!!!

9 Weitere typische Aufgaben im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (bis zur 1. Klausur) 2.) Die y-koordinate eines Punktes ist gegeben, die x-koordinate muss berechnet werden Beispiel: p 3 : y = 0,2x²+ 0,4x + 2,2 und P(? 3) Lösung: Wieder Die y-koordinate 3 in die Funktionsgleichung ziemlich einsetzen und nach x umstellen: leicht? 3 = 0,2 x 2 + 0,4x + 2,2 Es muss eine quadratische Gleichung gelöst werden. Das habt ihr im letzten Schuljahr bereits kennengelernt.

10 Lösen von quadratischen Gleichungen Jede quadratische Gleichung lässt sich auf folgende Form bringen: 0 = ax² + bx + c mit a ungleich Null. Division durch a ergibt eine Gleichung der Form: 0 = x² + px + q wobei p und q beliebige reelle Zahlen sind. Bevor wir die pq-formel zur Lösung heranziehen, betrachten wir zunächst Sonderfälle von quadratischen Gleichungen, die sich sehr einfach lösen lassen.

11 Lösen von quadratischen Gleichungen Sonderfälle der Gleichung: 0 = x² + px + q 1. Sonderfall: p = 0 Also: 0 = x² + q ist zu lösen Beispiel: 0 = x² + (-2,25) oder 0 = x² - 2,25 Lösung: x² isolieren (-q) und anschließend auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. 0 = x²- 2,25 + 2,25 2,25 = x² x 1 = - = - 1,5 und x 2 = + = 1,5 Diese quadratische Gleichung hat also 2 Lösungen! Falls q > 0 existiert keine Lösung, falls q = 0 existiert eine Lösung. (Dazu gibt es im Kursunterricht und in den Hausaufgaben noch einige Beispiele.)

12 Lösen von quadratischen Gleichungen Sonderfälle der Gleichung: 0 = x² + px + q 2. Sonderfall: q = 0 Also: 0 = x² + px ist zu lösen Beispiel: 0 = x² + 3,5 x Lösung: Gleichung faktorisieren, d.h. x ausklammern. Lösungen An den beiden Faktoren kann man dann die Lösungen direkt ablesen? ablesen. 0 = x²+ 3,5 x x ausklammern ergibt das Produkt: 0 = x (x + 3,5) Ein Produkt kann nur Null werden, wenn ein Faktor Null ist. In diesem Fall folgt also: x = 0 oder (x + 3,5) = 0 Also: x 1 = 0 und x 2 = - 3,5 Auch diese quadratische Gleichung hat 2 Lösungen! Und wie kann man nun die Falls p ungleich Null, ist das immer der Fall. (Auch dazu gibt es im Kursunterricht und in den Hausaufgaben noch einige Beispiele.)

13 Lösen von quadratischen Gleichungen der Form 0 = x² + px + q, mit p, q ungleich Null Herleiten der pq-formel mit der quadratischen Ergänzung: 0 = x² + px + q <=> quadratisch ergänzen binomische Formel auf beiden Seiten die Wurzel ziehen p/2 subtrahieren ergibt die zwei Lösungen: also: und

14 Lösen von quadratischen Gleichungen der Form 0 = x² + px + q, mit p, q ungleich Null Beispiel: also: und Hier noch einmal die Formel: Somit ergibt sich: Also: und sind die beiden Lösungen der gegebenen quadratischen Gleichung.

15 Zurück zur ursprünglichen Aufgabe: 2.) Die y-koordinate eines Punktes ist gegeben, die x-koordinate muss berechnet werden Beispiel: p 3 : y = 0,2x²+ 0,4x + 2,2 und P(? 3) Lösung: 3 = 0,2 x 2 + 0,4x + 2,2 0 = 0,2 x 2 + 0,4x 0,8 0 = x 2 + 2x 4 also p = 2 und q = -4 Nach der pq-formel gilt: also:, d.h. und Damit gibt es zwei Punkte mit der y-koordinate 3, nämlich: P 1 (1,2 3) und P 2 (-3,2 3)

16 Weitere typische Aufgaben im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (bis zur 1. Klausur) 3.) Die Gleichung einer quadratischen Funktion ist gegeben und der Scheitelpunkt ist gesucht Lösungsidee: Nullstellen bestimmen (y Null setzen, nach x umstellen d.h. die quadr. Gl. lösen) x-koordinate des Scheitelpunktes liegt zwischen den Nullstellen. y-koordinate mit der Funktionsgleichung bestimmen.

17 Weitere typische Aufgaben im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen (bis zur 1. Klausur) 4.) Schnittpunkte von Graphen rechnerisch ermitteln Beispiele: p(x) = - x² + 10x -21 h(x) = -0,3x + 2,8 l(x) = -2x + 15 g(x) = 0,5x + 3 Lösungsidee: Funktionsterme gleichsetzen und nach x umstellen, d.h. die quadr. Gleichung lösen. Jetzt seid ihr dran! Beginnt mit p und h

18 Lösung: -x² + 10x -21 = -0,3x + 2,8 < = > -x² + 10,3x 23,8 = 0 < = > x² - 10,3x + 23,8 = 0 p(6,8) = h(6,8) = 0,76 und p(3,5) = h(3,5) = 1,75, also: S 1 (6,8 0,76) und S 2 (3,5 1,75) sind die Schnittpunkte bzw. gemeinsamen Punkte von p und h. Und die Schnittpunkte von p und l? l(x) = -2x + 15

19 Lösung: -x² + 10x -21 = -2x + 15 < = > -x² + 12x 36 = 0 < = > x² - 12x + 36 = 0 Also gibt es nur eine Lösung: x = 6 p(6) = l(6) = 3 Damit ist S(6 3) der einzige Schnittpunkt von l und p Und die Schnittpunkte von g und p? g(x) = 0,5x + 3

20 Lösung: -x² + 10x -21 = 0,5x + 3 < = > -x² + 9,5x 24 = 0 < = > x² - 9,5x + 24 = 0 Man kann keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen; die Lösung ist zumindest keine reelle Zahl. Es existiert keine Lösung und damit kein gemeinsamer Punkt von g und p. Die Antwort ist nicht error, sondern:

21 Drei Fragen zu quadratischen Funktionen 1. Was ist eine quadratische Funktion? 2. Welche Eigenschaften hat der Graph? 3. Wie löst man eine quadratische Gleichung?

22 Aufgaben Stunde 1 2 BASICs S. 11f Nr. 7, 8, 9, 11 S. 12 Nr. 14 S. 14 Nr. 20 TOPs S. 9 Nr. 3 S. 12 Nr. 13 S. 9 Nr. 4

23 Aufgaben Stunde 3 4 BASICs S. 17 Nr. 8 S. 20 Nr. 14, 15, 16 S. 21 Nr. 18, 19, 20 S. 22 Nr. 21 WAHL S. 17 Nr. 6 S. 20 Nr. 17 S. 17 Nr. 7

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