Caputo fraktionale Differentialgleichungen. 1 Riemann Liouville fraktionale Differentialgleichungen

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1 Seminar Fraktionale Differentialgleichungen Prof. Dr. P.E. Kloeden, WS1000/2001 Caputo fraktionale Differentialgleichungen Lars Grüne, Basierend auf Fractional Differential Equations, Theory and Numerical Treatment von Kai Diethelm 1 Riemann Liouville fraktionale Differentialgleichungen Bisher haben wir in diesem Seminar fraktionale Differentialgleichungen im Sinne von Riemann Liouville betrachtet, d.h., wir haben die Riemann Liouville Definition der fraktionalen Ableitung, die für α (0, 1) gegeben ist durch zur Formulierung der fraktionalen Differentialgleichungen D α a f(t) = d dt I1 α a f(t), (1) x (α) (t) =f(t, x(t)) verwendet, wobei x (α) (t) :=D0 α x(t) war. Im Vortrag von Anja Grohmann Falke vom wurde für fraktionale Differentialgleichungen dieser Art mit α (0, 1) ein Existenz und Eindeutigkeitssatz formuliert und bewiesen. Hierbei wurde gezeigt, dass unter einer Lipschitz Bedingung an f und für gegebenes t 0 > 0 und x 0 R n ein β>0und eine eindeutige Funktion x :[t 0 β, t 0 + β] R n existiert, so dass x (α) (t) =f(t, x(t)) für alle t [t 0 β, t 0 + β]. (2) Bereits in der Diskussion während des Vortrages fiel auf, dass nicht klar ist, wie x (α) (t) = D0 α x(t) zu interpretieren ist, falls x nicht auf dem ganzen Intervall (0,t] definiert ist. Betrachtet man den Beweis genauer, so sieht man, dass dort tatsächlich (wenn auch etwas versteckt in Lemma 3.1) eine Funktion x :(0,t 0 +β] R n konstruiert wird, die (2) erfüllt, und für die zusätzlich ( ) 1 α t0 x(t) =C und x (α) (t) =0 für alle t (0,t 0 β) t gilt mit C = x 0 I α 0 g(t 0,x(t 0 )), wobei g(t, x)= { f(t, x), falls t [t0 β, t 0 + β] 0, sonst 1

2 Die in dem Vortrag erwähnte Fortsetzung der Lösung auf größere Intervalle erscheint damit fragwürdig, da z.b. die nach diesem Satz erhaltene Lösung y(t) zur neuen Anfangsbedingung (t 1,x 1 )=(t 0 + β, x(t 0 + β)) auf dem Schnitt der Existenzintervalle im Allgemeinen nicht mit x(t) übereinstimmt (dies ist natürlich nicht der Fehler der Vortragenden, denn tatsächlich ist diese Ungenauigkeit bereits in der zugrundeliegenden Originalarbeit vorhanden). Auch wenn man dieses (eher technische und möglicherweise behebbare) Problem außer Acht lässt, bleiben einige Fragen bestehen. In erster Linie muss man klären, ob die so erhaltene Lösung mit den (versteckten) zusätzlichen Eigenschaften in irgendeiner Weise natürlich ist, oder sich nur zufällig durch die verwendete Beweistechnik ergibt. Man kann über die Antwort auf diese Frage sicherlich geteilter Meinung sein, das Problem lässt sich aber auch vollständig vermeiden, wenn man die Anfangsbedingung nicht zu einer Zeit t 0 > 0 sondern zur Zeit t 0 = 0 festlegt, also dem Anfangszeitpunkt des Intervalls welches zur Berechnung von D0 α verwendet wird. Wie wir bereits an diversen Beispielen gesehen haben, divergieren aber Lösungen von Riemann Liouville fraktionalen Differentialgleichungen in vielen Fällen für t 0 +,wiez.b. auch die oben erhaltenen Lösungen. Trotzdem lässt sich in t 0 = 0 eine Anfangsbedingung formulieren, allerdings nicht direkt in der Form x(0) = x 0 sondern implizit, zum Beispiel durch lim t 0 t1 α x(t) =x 0 oder lim + t 0 I1 α + 0 x(t) =x 0. Für so formulierte Anfangswertprobleme lässt sich dann wiederum ein Existenz und Eindeutigkeitssatz formulieren, siehe [Diethelm, Theorem 4.1]. Wollen wir aber (z.b. wegen der schönen Interpretationsmöglichkeiten) Anfangsbedingungen der Form x(0) = x 0 verwenden, so müssen wir das Konzept der fraktionalen Differentialgleichungen verändern. Im Folgenden soll eine Möglichkeit eines solchen alternativen Konzepts vorgestellt werden. 2 Caputo fraktionale Ableitungen Wir definieren zunächst eine neue Form der fraktionalen Ableitung, die auf Caputo [1967] zurückgeht. Zur Vereinfachung beschränken wir uns in diesem Vortrag auf den Fall α (0, 1], alles lässt sich aber auf beliebige α>0 verallgemeinern. Definition 2.1 Sei α (0, 1) und seien a, b R mit a<b.seif :[a, b] R n so, dass Da αg(t) existiert für t (a, b), mit g(t):=f(t) f(a) und Dα a aus (1). Dann definieren wir die Caputo fraktionale Ableitung D a α durch D af(t) α :=Da α g(t) für alle t (a, b). Der folgende Satz zeigt, dass dieser fraktionale Ableitungsoperator gerade umgekehrt zu Da α definiert ist. 2

3 Satz 2.2 Sei f :(a, b) R n absolut stetig und so dass D a α f(t) existiert für t (a, b). Dann gilt D af(t) α =Ia 1 α d dt f(t) für alle t (a, b). Beweis: Aus der Definition von D α a und D α a folgt für g(t) =f(t) f(a) Mit partieller Integration folgt t Ia 1 α (t s) α g(t) = (f(s) f(a))ds a Γ(1 α) 1 = Γ(2 α) D α a f(t) = d dt I1 α a g(t). (3) [ (f(s) f(a))(t s) 1 α ] s=t s=a 1 t ( ) d + Γ(2 α) a dt f(t) (t s) 1 α ds Hier fällt nun der erste Summand weg, da der erste Faktor für s = a und der zweite für s = t verschwindet. Also ergibt sich Ia 1 α 1 t ( ) d g(t)= Γ(2 α) a dt f(t) (t s) 1 α ds = Ia 2 α d dt f(t) =I1 aia 1 α d dt f(t). Setzen wir dieses in (3) ein, so folgt D af(t) α = d dt I1 aia 1 α d dt und damit die Behauptung. Das folgende Lemma zeigt die Beziehung von Da α zu D a. α f(t) =I1 α a d dt f(t) Lemma 2.3 Sei f :[a, b] R n so, dass sowohl Da α f(t) alsauchd af(t) α existierenfür alle t (a, b). Dann gilt D af(t) α =Da α f(t) f(a) Γ(1 α) (t a) α. Insbesondere gilt D af(t) α =Da α f(t), falls f(a) =0. Beweis: Die Behauptung folgt aus den üblichen Rechenregeln für D α a. Der folgende Satz zeigt das Zusammenspiel von D α a und I α a. Satz 2.4 (i) Sei f stetig. Dann gilt (ii) Sei f absolut stetig. Dann gilt D α ai α a f(t) =f(t). I α a D α af(t) =f(t) f(a). 3

4 Beweis: (i) Sei φ(t) =Ia α f(t). Aus einem früheren Vortrag wissen wir, dass aus der Stetigkeit von f die Gleichheit φ(a) = 0 folgt. Damit folgt die Behauptung mit Lemma 2.3 aus der bekannten Eigenschaft Da α Ia α f(t) =f(t). (ii) Sei g(t) =f(t) f(a). Wir müssen zeigen, dass Ia α D af(t) α =g(t) gilt. Dies folgt aus da g(a)=0. I α a D α af(t) =I α a D α a g(t) =g(t) (t a)α 1 Γ(α) lim s a I1 α + a g(s), Bemerkung 2.5 Beachte, dass der Satz 2.4 das gleiche Resultat wie der Hauptsatz der klassischen Differential und Integralrechnung liefert. Aus der Riemann-Liouville fraktionalen Taylor Entwicklung und den obigen Beziehungen lässt sich leicht das folgende Korollar ableiten. Korollar 2.6 Sei f absolut stetig. Dann gilt f(t) =f(a)+i α a D α af(t). Das folgende Lemma zeigt einen wesentlichen Unterschied zwischen Caputo und Riemann Liouville fraktionalen Ableitungen. Es folgt ebenfalls leicht aus den obigen Beziehungen und den bereits bekannten Eigenschaften von D α a. Lemma 2.7 Sei f stetig. Dann ist D α af(t) stetig auf [a, b] mitd α af(a) =0. 3 Caputo fraktionale Differentialgleichungen Wir betrachten nun die fraktionale Differentialgleichung mit α (0, 1) und Anfangsbedingung D α 0x(t) =f(t, x(t)) (4) x(0) = x 0. (5) Der folgende Satz gibt eine Existenz und Eindeutigkeitsaussage für skalare Gleichungen. Satz 3.1 Sei α (0, 1), und seien K>0, h > 0 und x 0 R gegeben. Sei G := [0,h ] [x 0 K, x 0 + K] und sei f : G R stetig und Lipschitz stetig im zweiten Argument, d.h., f(t, x 1 ) f(t, x 2 ) L x 1 x 2 für eine Konstante L>0. Sei h =min{h, (KΓ(α+1)/M ) 1/α } mit M =sup (t,x) G f(t, x). Dann existiert eine eindeutige stetige Funktion x :[0,h] R, die das Anfangswertproblem (4), (5) löst. 4

5 Beweisskizze: Mit Hilfe der Eigenschaften von Da α zeigt man zunächst, dass x(t) genau dann eine Lösung des obigen Anfangswertproblems ist, wenn es die sogennante Volterra Integralgleichung x(t) =x t (t s) α 1 f(s, x(s))ds Γ(α) 0 erfüllt. Wir betrachten nun die Teilmenge U := {x C[0,h] x x 0 K} der Menge der stetigen Funktionen von [0,h]nachR, wobeidie Norm auf [0,h]genommen wird. Auf U definieren wir einen Operator A durch t (Ax)(t) :=x (t s) α 1 f(s, x(s))ds. Γ(α) 0 Die Volterra Gleichung kann dann als Ax = x geschrieben werden. Durch Induktion sieht man, dass für jedes t [0,h] und jedes j N 0 die Abschätzung A j x A j x L [0,t] (Ltα ) j Γ(1 + αj) x x L [0,t] gilt. Daraus folgt A j x A j x (Lhα ) j Γ(1 + αj) x x. Setzen wir a j =(Lh α ) j /Γ(1 + αj) solässt sich beweisen, dass j=0 a j konvergiert. Aus Weissingers Fixpunktsatz folgt damit, dass A einen eindeutigen Fixpunkt in U besitzt, der gerade die gesuchte Lösung ist. 4 Beispiel Betrachte die Caputo fraktionale Differentialgleichung 0 D 0 α x(t) =λx(t) mit α (0, 1) und Anfangswert x(0) = x 0. Man verifiziert leicht (z.b. mit maple), dass für k N 0 1 t ( s (t s) α 1 kα λ k ) x 0 λ ds = t(k+1)α λ k+1 x 0 Γ(α) Γ(kα +1) Γ((k +1)α +1) gilt, und daher für die Gleichung x Γ(α) x(t) =x 0 t 0 k=0 t kα λ k Γ(kα +1) (t s) α 1 λx(s)ds = x(t) 5

6 erfüllt ist. Also ist x(t) die gesuchte Lösung. Beachte, dass wir für α = 1 gerade die Exponentialfunktion e λt t k λ k = Γ(k +1) k=0 erhalten. Interessanterweise unterscheidet sich die Caputo Lösung dieser Differentialgleichung von der bereits bekannten Riemann Liouville Lösung x(t) =t α 1 k=0 t kα λ k Γ((k +1)α) x 0 mit lim t 0 + t 1 α x(t) =x 0 /Γ(α) nicht nur durch den (die Divergenz verursachenden) Vorfaktor t α 1 sondern auch in der Summe, da die Argumente der Γ Funktionen im Nenner nicht übereinstimmen. 6