6. Funktionen von mehreren Variablen

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1 6. Funktionen von mehreren Variablen Prof. Dr. Erich Walter Farkas Seite 1

2 Funktionen von mehreren Variablen n {1, 2, 3,...} =: N. R n := {(x 1,..., x n) x 1,..., x n R} = Menge aller n-tupel reeller Zahlen x := (x 1,..., x n) ; x i R (i = 1, 2,..., n) R n n-dimensionaler Raum n = 1 : R 1 = {(x) x R} {x R} = R Gerade n = 2 : R 2 = {(x, y) x, y R} Ebene n = 3 : R 3 = {(x, y, z) x, y, z R} Raum n = 4, 5, 6, Funktionen von mehreren Variablen Seite 2

3 Funktionen von mehreren Variablen Definition: Eine Funktion in n Variablen ist eine Abbildung f : D R, D R n, welche jedem n-tupel (x 1,..., x n) eine Zahl f (x 1,..., x n) R zuordnet Funktionen von mehreren Variablen Seite 3

4 Graph einer Funktion von zwei Variablen D R 2 ; f : D R ; (x, y) f (x, y) Graph von f : G = G(f ) := {(x, y, f (x, y)) (x, y) D} f (x 0, y 0 ) z = f (x, y) (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) z = f (x, y) G x y 0 x 0 y D x G = {(x, y, z) z = f (x, y)} Fläche im Raum R 3, die über D liegt. y Funktionen von mehreren Variablen Seite 4

5 Beispiel: Lineare Funktion in zwei Variablen f (x, y) = ax + by + c ; (a, b, c R) G = {(x, y, z) R 3 ax + by + c = z} = {(x, y, z) R 3 ax + by z + c = 0} Die Ebene G schneidet: die x-achse in ( c, 0, 0) ; a (a = 0, c 0 kein Schnittpunkt) (a = 0, c = 0 x-achse liegt in G) c z = f (x, y) die y-achse in (0, c b, 0) ; (b = 0, c 0 kein Schnittpunkt) (b = 0, c = 0 y-achse liegt in G) c a x G c b y die z-achse in (0, 0, c) Funktionen von mehreren Variablen Seite 5

6 Beispiel: Rotationsparaboloid z = f (x, y) = x 2 + y Funktionen von mehreren Variablen Seite 6

7 Beispiel: Halbkugelfläche z = f (x, y) = 1 x 2 y 2 x 2 + y 2 + z 2 = Funktionen von mehreren Variablen Seite 7

8 Beispiel: Sattelfläche z = f (x, y) = xy Funktionen von mehreren Variablen Seite 8

9 Niveaulinien Eine Methode, Funktionen von zwei Variablen anschaulich darzustellen, beruht auf der Verwendung von sogenannten Niveaulinien. Wenn wir uns die in den obigen Beispielen dargestellten Flächen als Landschaften mit Bergen und Tälern vorstellen, so sind die Niveaulinien nichts anderes als die von der Landkarte her bekannten Höhenkurven. Man wählt eine Zahl c (die Höhe) und bestimmt alle Punkte (x, y), deren Funktionswert f (x, y) = c ist. Die Menge dieser Punkte bildet für ein festes c im Normalfall eine Kurve in der x-y-ebene Funktionen von mehreren Variablen Seite 9

10 Niveaulinien D R 2 ; f : D R ; (x, y) f (x, y) c R Niveaulinie von f auf der Höhe c : N c(f ) := {(x, y) D f (x, y) = c} Funktionen von mehreren Variablen Seite 10

11 Niveaulinien:... anschaulich Funktionen von mehreren Variablen Seite 11

12 Niveaulinien: Halbkugelfläche f (x, y) = 1 x 2 y 2 = c ; c = 0; 1 4 ; 1 2 ; 3 4 ; 1 1 y 1 c = 0 c = 1 4 c = 1 2 c = 3 4 c = 1 x Funktionen von mehreren Variablen Seite 12

13 Niveaulinien: Sattelfläche f (x, y) = xy = c ; c = 2; 1; 0; 1; 2 c = 2 y, c = 0 c = 2 c = 1 c = 1 1- c = 1 1 c = 1 x, c = 0 c = 2 c = Funktionen von mehreren Variablen Seite 13

14 Aufgabe: Bestimme die Niveaulinien! f (x, y) = x 2 (y + 1) = c ; c = 1; 0; 1 y 1-1 x Funktionen von mehreren Variablen Seite 14

15 Partielle Funktionen D R 2 ; f : D R ; (x, y) f (x, y) ; (x 0, y 0 ) D Partielle Funktionen von f in (x 0, y 0 ) : Partielle Funktion in Richtung x durch y 0 : x f (x, y 0 ) =: ϕ(x) y 0 festhalten, x laufen lassen Partielle Funktion in Richtung y durch x 0 : y f (x 0, y) =: ψ(y) x 0 festhalten, y laufen lassen Partielle Funktionen lassen sich auch im Fall von mehr als zwei Variablen definieren Funktionen von mehreren Variablen Seite 15

16 Partielle Funktionen:... anschaulich D R 2 ; f : D R ; (x, y) f (x, y) ; (x 0, y 0 ) D Partielle Funktionen: ϕ(x) = f (x, y 0 ) und ψ(y) = f (x 0, y) E = Ebene parallel zur x-z-ebene durch (x 0, y 0 ) F = Ebene parallel zur y-z-ebene durch (x 0, y 0 ) Graph ϕ = Schnittkurve des Graphen von f mit E Graph ψ = Schnittkurve des Graphen von f mit F Funktionen von mehreren Variablen Seite 16

17 Darstellung von Graphen mit partiellen Funktionen Bestimmt man nun mehrere partielle Funktionen und zeichnet diese in einer räumlichen Skizze in den entsprechenden Ebenen parallel zur x-z- bzw. y-z-ebene ein, so erhält man ein anschauliches Bild des Graphen. Achsenparallele Vertikalschnitte: Funktionen von mehreren Variablen Seite 17

18 Achsenparallele Vertikalschnitte: Halbkugelfläche z = f (x, y) = 1 x 2 y 2 Für konstant gehaltene y 0 bzw. x 0 lauten die Gleichungen der partiellen Funktionen: z = ϕ(x) = 1 x 2 y0 2 z 2 + x 2 = 1 y 2 0 z = ψ(y) = 1 x 2 0 y2 z 2 + y 2 = 1 x Funktionen von mehreren Variablen Seite 18

19 Achsenparallele Vertikalschnitte: Sattelfläche z = f (x, y) = xy Für konstant gehaltene y 0 bzw. x 0 lauten die Gleichungen der partiellen Funktionen: z = ϕ(x) = f (x, y 0 ) = xy 0 z = ψ(y) = f (x 0, y) = x 0 y Es handelt sich hier um lineare Funktionen. Die Schnittkurven des Graphen von f mit den Ebenen parallel zur x-z- bzw. zur y-z-ebene sind somit Geraden! Funktionen von mehreren Variablen Seite 19

20 Achsenparallele Vertikalschnitte: Beispiel z = f (x, y) = x 2 (y + 1) Partielle Funktionen: in x-richtung (y konstant): f (x, 2) = x 2 f (x, 1) = 0 f (x, 0) = x 2 f (x, 1) = 2x 2 f (x, 2) = 3x 2 in y-richtung (x konstant): f ( 1, y) = y + 1 f ( 1/2, y) = 1 (y + 1) 4 f (0, y) = 0 f (1/2, y) = 1 (y + 1) 4 f (1, y) = y Funktionen von mehreren Variablen Seite 20

21 Achsenparallele Vertikalschnitte: Beispiel z = f (x, y) = x 2 (y + 1) Funktionen von mehreren Variablen Seite 21

22 Partielle Ableitungen - Einführung Eine Funktion von mehreren Variablen kann nach jeder dieser Variablen einzeln abgeleitet werden. Auf diese Weise erhält man die sogenannten partiellen Ableitungen dieser Funktion. Um die partielle Ableitung von f nach einer Variablen, z.b. nach x, zu berechnen, denkt man sich alle Variablen ausser x konstant und leitet dann mit den üblichen Differentiationsregeln nach x ab Funktionen von mehreren Variablen Seite 22

23 Partielle Ableitungen - Definition D R 2 ; f : D R ; (x, y) f (x, y) ; (x 0, y 0 ) D ϕ(x) := f (x, y 0 ) differenzierbar in x 0 ψ(y) := f (x 0, y) differenzierbar in y 0 Partielle Ableitung von f nach x an der Stelle (x 0, y 0 ) : f x (x 0, y 0 ) = f x(x 0, y 0 ) := ϕ (x 0 ) Partielle Ableitung von f nach y an der Stelle (x 0, y 0 ) : f y (x 0, y 0 ) = f y(x 0, y 0 ) := ψ (y 0 ) Funktionen von mehreren Variablen Seite 23

24 Partielle Ableitungen - Definition Die partielle Ableitung f x(x 0, y 0 ) von f nach x an der Stelle (x 0, y 0 ) ist die gewöhnliche Ableitung der partiellen Funktion ϕ(x) = f (x, y 0 ) in Richtung x an der Stelle x 0. f x(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) = lim x x0 f (x, y 0 ) f (x 0, y 0 ) x x 0 Rezept: y konstant halten, nach x ableiten. Analog gilt für f y(x 0, y 0 ) : f y(x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = lim y y0 f (x 0, y) f (x 0, y 0 ) y y Funktionen von mehreren Variablen Seite 24

25 Partielle Ableitungen - geometrische Interpretation D R 2 ; f : D R ; (x, y) f (x, y) ; (x 0, y 0 ) D G = {(x, y, z) f (x, y) = z} Partielle Funktionen: ϕ(x) = f (x, y 0 ) und ψ(y) = f (x 0, y) E = Ebene parallel zur x-z-ebene durch (y = y 0 ) F = Ebene parallel zur y-z-ebene durch (x = x 0 ) Geometrische Interpretation der partiellen Ableitungen: f x(x 0, y 0 ) = Steigung der Schnittkurve G E in (x 0, y 0, z 0 ). = Steigung der Tangente an den Graphen von ϕ an der Stelle x 0. f y(x 0, y 0 ) = Steigung der Schnittkurve G F in (x 0, y 0, z 0 ). = Steigung der Tangente an den Graphen von ψ an der Stelle y Funktionen von mehreren Variablen Seite 25

26 Partielle Ableitungen - geometrische Interpretation Funktionen von mehreren Variablen Seite 26

27 Höhere partielle Ableitungen D R 2 ; f : D R ; f x : D R ; f y : D R partiell differenzierbar f xx = Ableitung von f x nach x : 2 f (x, y) = fxx(x, y) := (fx)x(x, y) x2 Es gibt noch folgende zusätzliche Möglichkeiten : 2 f (x, y) = fxy(x, y) := (fx)y(x, y) y x 2 f (x, y) = fyx(x, y) := (fy)x(x, y) x y 2 f (x, y) = fyy(x, y) := (fy)y(x, y) y2 f xx, f xy, f yx, f yy heissen partielle Ableitungen zweiter Ordnung Funktionen von mehreren Variablen Seite 27

28 Höhere partielle Ableitungen Sind die 2. partiellen Ableitungen f xy(x, y) und f yx(x, y) beide stetig, so ist f xy = f yx. Der Prozess lässt sich (entsprechende Differenzierbarkeit vorausgesetzt) weiter fortführen. So kann man etwa f xx nach x oder nach y partiell differenzieren usw. und erhält so partielle Ableitungen 3. und höherer Ordnung: f xxx = 3 f x, 3 fxxy = 3 f y 2 x, etc. Aufgabe: Finde die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung! 1. f (x, y) = x 3 y + xe y 2. f (x, y, z) = x + yz + x 3 y 3 z Funktionen von mehreren Variablen Seite 28

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