1 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 11
|
|
- Eleonora Schmidt
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1
2 Inhalt A Differenzialrechnung 8 Grundlagen 8 Funktionen 8 Differenzenquotient und Änderungsrate 9 Ableitung 2 Ableitungsregeln 2 Potenzregel 2 Konstantenregel 3 Summenregel 4 Produktregel 4 Quotientenregel 5 Kettenregel 5 Höhere Ableitungen 6 Ableitungen von trigonometrischen Funktionen 7 Ableitungen von Exponentialfunktionen 8 Ableitungen von logarithmischen Funktionen 9 Ableitungen von Wurzelfunktionen 20 Ableitungen von zusammengesetzten Funktionen 2 3 Untersuchung ausgezeichneter Punkte 23 Nullstellen ganzrationaler Funktionen 23 Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen 25 Nullstellen nichtrationaler Funktionen 26 Schnittpunkte mit der y-achse 27 Kurvenpunkte mit vorgegebenen Steigungen 28 Steigungen gebrochenrationaler Funktionen 29 Steigungen nichtrationaler Funktionen 30 Extrempunkte ganzrationaler Funktionen 3 Extrempunkte gebrochenrationaler Funktionen 34 Extrempunkte nichtrationaler Funktionen 35 Lokale und globale Extrempunkte 36 Wendepunkte ganzrationaler Funktionen 37 Wendepunkte gebrochenrationaler Funktionen 39 Wendepunkte nichtrationaler Funktionen 40
3 4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 4 Stetigkeit 4 Differenzierbarkeit 43 5 Untersuchung des Kurvenverhaltens 45 Monotonie 45 Krümmung 46 Verhalten an Polstellen 48 Verhalten von ganzrationalen Funktionen im Unendlichen 50 Verhalten von gebrochenrationalen Funktionen im Unendlichen 50 Verhalten von nichtrationalen Funktionen im Unendlichen 52 Symmetrie 53 B Anwendungen der Differenzialrechnung 55 Kurvendiskussionen 55 Untersuchung ganzrationaler Funktionen 55 Untersuchung gebrochenrationaler Funktionen 57 Untersuchung nichtrationaler Funktionen 58 2 Aufstellen von Gleichungen ganzrationaler Funktionen 6 3 Aufstellen von Tangentengleichungen 63 Tangente in einem Kurvenpunkt 63 Tangente von einem Punkt an eine Kurve 65 4 Das Newtonverfahren 67 5 Extremwertaufgaben 68 Extremwertaufgaben mit Funktionen 68 Extremwertaufgaben mit Sachbezug 70 6 Wachstumsprozzese 73 C Integralrechnung 75 Stammfunktionen 75 2 Regeln zur Bestimmung von Stammfunktionen 77 Potenzregel 77 Faktorregel 78 Summenregel 79
4 Lineare Substitution 80 Exponentialfunktionen mit f (x) = a x 8 Logarithmusfunktionen mit f (x) = a log x 82 Funktionen der Form f(x) = }} u (x) u (x) 83 3 Das Integral 84 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 84 Eigenschaften des Integrals 85 Die Kepplersche Fassregel 87 Wachstumsprozesse 88 Die Integralfunktion 90 D Anwendungen der Integralrechnung 92 Mittelwerte von Funktionen 92 2 Flächen zwischen einem Graphen und der x-achse 94 3 Flächen zwischen zwei Graphen 98 4 Rauminhalte von Rotationskörpern 02 5 Vermischte Aufgaben 03 6 Uneigentliche Integrale 05 Lösungen 08 Regeln und Übersichten 79 Stichwortverzeichnis 83
5 A Differenzialrechnung Grundlagen Funktionen Eine Funktion ist eine Zuordnung, die in eindeutiger Weise jeder reellen Zahl aus einer Definitionsmenge D f eine reelle Zahl aus einer Wertemenge W f zuordnet. Bei Funktionen ist die Angabe einer Definitionsmenge erforderlich. In den Übungsauf gaben dieses Buches wird auf diese Angabe verzichtet, wenn dadurch keine Wider sprüche entstehen können. Gemeint ist dann jeweils die maximal mögliche Definitionsmenge. Funktionen werden üblicherweise mit f, g, h, bezeichnet. Bei Sachaufgaben sind je nach Bedeutung auch andere Bezeichnungen möglich. Ein Element aus der Definitionsmenge, welchem eine Zahl aus der Wertemenge zugeordnet ist, heißt unabhängige Variable und wird üblicherweise mit x bezeichnet. Es sind aber bei Sachbezügen auch andere Bezeichnungen möglich. Ein Element aus der Wertemenge, das durch die Zuordnung f zu einer Zahl x gehört, heißt Funktionswert f (x) oder abhängige Variable y. Bei Sachbezügen wird auch V (r), T (t),... verwendet. Funktionen können auf unterschiedliche Weise beschrieben werden. Als Zuordnung: f: x x 2 Mithilfe einer Funktionsgleichung: f: y = x 2 Schaubilder oder Graphen in einem Koordinatensystem werden häufig mit S f oder G bezeichnet. Funktionen lassen sich auch in Wertetabellen darstellen, dabei steht die unabhängige Variable bei Zeilendarstellungen in der ersten Zeile beziehungsweise bei Spalten dar stellungen in der ersten Spalte. 8
6 Grundlagen. a) Bestimmen Sie zur Funktion f mit f (x) = 2x 3 die Funktionswerte f () und f (0). b) Zu welchen x * D f gehören die Funktionswerte f (x ) = 0 und f (x 2 ) = 5? 2. Für welche x * R sind die folgenden Funktionen nicht definiert? a) f : f (x) = b) g : g (x) = Î }}} x 4 x }}}}} (x 2) (x + 3) c) h: h (x) = Î }}} 4 x 2 d) k: k (x) = 2 log x 3. Geben Sie für D f = R die Wertemenge W f an. a) f: f (x) = 2 sin x b) f: f (x) = x 2 4 Differenzenquotient und Änderungsrate Gegeben seien zwei Punkte P (x y ) und P 2 (x 2 y 2 ) einer auf dem Intervall [a; b] definierten Funktion f. Dann heißt y 2 y }}} x 2 x = } ðy ðx Differenzenquotient von f im Intervall [a; b]. Der Differenzenquotient ist die Steigung m einer Geraden durch die Punkte P (x y ) und P 2 (x 2 y 2 ). Somit ist m = tan a = y 2 y }}} x 2 x 2. y 2 y y a P (x y ) a x 0 x x 2 S f P 2 (x 2 y 2 ) Eine Gerade durch die Punkte P ( 3) und Q (5 4) besitzt die Steigung m = 4 }} 3 5 = } 4 und bildet mit der x-achse den Winkel a mit tan a = 0,25, also a =4,0. Sind zwei Punkte P ( ) und Q (2 4) der Parabel f mit f (x) = x 2 gegeben, wird mit m = y 2 y }}} }} = 3 die Steigung der Sekante PQ bestimmt. x 2 x = 4 2 Sie gibt näherungsweise die Steigung des Graphen von f im Intervall [; 2] an. Verkleinert man das Intervall I, indem wieder der Punkt P ( ) und statt des Punktes Q der Punkt Q (,5 2,25) gewählt wird, ergibt das eine Sekantensteigung von m = y 2 y }}} }}},5 = 2,5. Dieses Verfahren lässt sich immer weiter fortsetzen, wenn der Punkt Q n zum Punkt P hinwandert. Mit P ( ) und Q 2 (,,2) ist m 2 = y 2 y }}} x 2 x =,2 }}}, = 2,. Mit P ( ) und Q 3 (,0,020) ist m 3 = y 3 y }}} x 3 x =,020 }}}},0 = 2,0. x 2 x 2 = 2,25 9
7 A Differenzialrechnung 4. Bestimmen Sie den Wert des Differnzenquotienten für die Punkte P und Q. a) P (3 2), Q (5 4) b) P (2 4), Q (3 ) 5. Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = } 2 x2 4. Bestimmen Sie den Differenzenquotienten von f im Intervall I. a) I = [2; 3] b) I = [ ; 0] 6. Bestimmen Sie die Gleichung einer Geraden g durch die Punkte P und Q. a) P (,5); Q (4 0) b) P ( 5); Q (2 4) Der Differenzenquotient heißt auch Änderungsrate von f im Intervall [a; b]. Bei Sachaufgaben kommt der Änderungsrate häufig eine besondere Bedeutung zu. Ein Auto beschleunigt vom Zeitpunkt t 0 = 0 an. Für die zurückgelegte Strecke x in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden gilt x (t) = 2 t 2. Die Änderungsrate in den ersten zwei Sekunden } v = }}}} 2 = 4 ist hierbei die 2 0 mittlere Geschwindigkeit des Fahrzeuges während der ersten zwei Sekunden mit } v = 4 } m s. 7. Der Verlauf der Tagestemperatur T in C an einem Sommertag kann näherungsweise beschrieben werden durch T (t) = } 4 (t 8)2 + 30, wobei t die Zeit in Stunden von 6.00 Uhr morgens an gerechnet ist. a) Bestimmen Sie die Temperatur um 6.00 Uhr morgens und 2.00 Uhr mittags. b) Welches ist die höchste Tagestemperatur und wann wird diese erreicht? c) Bestimmen Sie die mittlere Temperaturänderung von 7.00 Uhr bis 8.00 Uhr und vergleichen Sie diese mit der Änderung von 3.00 Uhr bis 4.00 Uhr. d) Bestimmen Sie die mittlere Temperaturänderung von 9.00 Uhr bis Uhr. Interpretieren Sie das Ergebnis. 8. Die Höhe h in Zentimetern einer neu eingesetzten Pflanze kann in Abhängigkeit von der Zeit t in Tagen beschrieben werden durch h (t) = Î }}} t a) Bestimmen Sie die Anfangshöhe der Pflanze. b) Bestimmen Sie das durchschnittliche Höhenwachstum der Pflanze in den ersten 0 Tagen. 0
8 Grundlagen Ableitung Für eine auf einem Intervall I definierte Funktion f ist f (x) f (x 0) }}}} x x 0 mit x 0 * I der Differenzenquotient. Wenn dieser für x x 0 einen Grenzwert besitzt, heißt dieser Grenzwert Ableitung f9 (x 0 ) von f an der Stelle x 0. Er gibt die Steigung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x 0 an und wird daher auch als Steigung der Funktion f an der Stelle x 0 bezeichnet. Es ist f9 (x 0 ) = lim f (x) f (x 0 ) }}}} x x 0 x x 0 = lim ðx 0 f (x 0 + ðx) f (x 0 ) }}}}}} ðx. Gesucht ist die Steigung der Tangente an die Parabel f mit f (x) = x 2 im Punkt P ( ). f ( + ðx) f () ( + ðx) f9 () = lim }}}}}} = lim 2 }}}}} 2 ðx 0 ðx ðx 0 ðx = lim ðx ðx + (ðx) 2 }}}}}}} = lim ðx ðx 0 ðx (2 + ðx) }}}} = lim ðx ðx ðx }}} = 2 Die Ableitung oder Tangentensteigung der Parabel y = x 2 an der Stelle x = ist m = f9 () = Berechnen Sie jeweils f9 (x 0 ). a) f (x) = x 2, x 0 = 2 b) f (x) = 0,5x 2, x 0 = 3 0. Ein Auto beschleunigt. Für die zurückgelegte Strecke s in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden gilt s (t) = 2 t 2. Der Differenzenquotient von s ist die mittlere Geschwindigkeit des Autos während der Zeit ðt. s9 (t 0 ) ist die momentane Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt t 0. Bestimmen Sie die momentane Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt t = 2 und t 2 = 4 sowie die mittlere Geschwindigkeit im Intervall [2; 4].. Die Funktion f mit f (x) = } x ist an der Stelle x 0 = 0 nicht definiert. Verschiedene grafikfähige Taschenrechner zeigen trotzdem einen Wert für die Ableitung an, beispielsweise f9 (0) = Woran liegt das?
9 A Differenzialrechnung 2 Ableitungsregeln Potenzregel Beim Differenzieren der Funktion f: f (x) = x n (n * N) wird der Exponent um verkleinert und gleichzeitig der bisherige Exponent zum Koeffizienten f9 (x) = n x n. Für f (x) = x 2 ist f9 (x) = 2x. Für f (x) = x 4 ist f9 (x) = 4x 3. Mit einigen Einschränkungen, auf die im Kapitel Wurzelfunktionen eingegangen wird, lässt sich die Potenzregel auf Potenzen mit ganzzahligen und gebrochenen Exponenten erweitern. f (x) = } x 3 mit x 0 Umformen ergibt: f (x) = } x 3 = x 3 mit f9 (x) = 3x 4 = 3 } x 4. f (x) = 3 Î } x mit x º 0 Umformen ergibt: f (x) = 3 Î } } 3 x = x mit f9 (x) = } 3 x 2 } 3 = }}. 3 3 Î } x 2 Der Funktionsterm von f9 ist für x = 0 nicht definiert. Somit ist die Funktion f an dieser Stelle zwar definiert, jedoch nicht differenzierbar. Näheres dazu im Kapitel Differenzierbarkeit. 2. Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen mit der Potenzregel. a) f (x) = x 5 b) f (x) = x 6 c) f (x) = } d) f (x) = } x 2 x 5 e) f (x) = Î } x f) f (x) = 4 Î } x 3 g) f (x) = } Î } x h) f (x) = } 3 Î } x 2
10 2 Ableitungsregeln Konstantenregel Es ist g eine differenzierbare Funktion, dann entfällt beim Differenzieren der Funktion f (x) = g (x) + c mit c * R der konstante Summand c. Somit ist f9 (x) = g9 (x). Bei einer Funktion f (x) = a g (x) bleibt der konstante Faktor a * R erhalten. Es ist f9 (x) = a g9 (x). Für f (x) = x ist f9 (x) = 2x. Für f (x) = x 3 ist f9 (x) =. Für f (x) = } x3 2 = } 2 x3 ist f9 (x) = } 2 3x2 = } 3 2 x2. Die oben genannten Regeln lassen sich auch miteinander kombinieren. f (x) = } (x 0) x Umformung: f (x) = 2 x 3 4 mit f9 (x) = 2 ( 3) x 4 = } 6 x 4 f (x) = 3 Î } x + (x º 0) Umformung: f (x) = 3 x } 2 + mit f9 (x) = 3 } 2 x } 2 = }} 3 2 Î } x (x > 0) 3. Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen mit den Konstantenregeln. a) f (x) = 0,2x 5 3 b) f (x) = 2x 4 + c) f (x) = } 4 x 2 d) f (x) = } 3 x 3 e) f (x) = 6 Î } x f) f (x) = 8 Î } x 5 4. Begründen Sie mithilfe der Eigenschaften der Funktionsgraphen, dass alle Funktionen g (x) + c dieselbe Ableitung besitzen. 5. Begründen Sie, warum beim Ableiten von a g (x) der Faktor a erhalten bleibt. 3
11 A Differenzialrechnung Summenregel Sind u und v differenzierbare Funktionen, dann wird die Funktion f (x) = u (x) + v (x) Summand für Summand differenziert: f9 (x) = u9 (x) + v9 (x). Für f (x) = 2x 3 + 4x 2 2 ist f9 (x) = 6x 2 + 8x. f (x) = x + } 2 (x* R \{0}) x (Es sind u (x) = x für x * R und v (x) = } 2 für x * R \{0} definiert.) x Umformung: f (x) = x + x 2 mit f9 (x) = 2 x 3 = } 2 x 3 6. Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen mit der Summenregel. a) f (x) = 4x 4 3x 3 + x 2 x b) f (x) = x Î } x c) f (x) = } 2 x3 + } x 3 d) f (x) = 3x2 + 0,4x 5 Produktregel Sind u und v differenzierbare Funktionen, dann besitzt die Funktion f (x) = u (x) v (x) die Ableitung f9 (x) = u9 (x) v (x) + u (x) v9 (x). f (x) = (x 2 ) (2x 2 + x + 3) Es sind u (x) = x 2 mit u9 (x) = 2x und v (x) = 2x 2 + x + 3 mit v9 (x) = 4x +. Einsetzen in die Formel ergibt: f9 (x) = 2x (2x 2 + x + 3) + (x 2 ) (4x + ) = 4x 3 + 2x 2 + 6x + 4x 3 + x 2 4x f9 (x) = 8x 3 + 3x 2 + 2x 7. Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen mit der Produktregel. a) f (x) = x 3 (x 2 2x + ) b) f (x) = (2x 2 + ) (x ) c) f (x) = (x 2 5) (2x 3 + x 2 + x) d) f (x) = (4x 2 x + 4) (3x + 2) 8. Berechnen Sie die Ableitung mithilfe der Produktregel und durch Umformen mithilfe der Summenregel. a) f (x) = (x + 2) 2 b) f (x) = (2x 4) 2 4
12 2 Ableitungsregeln Quotientenregel Sind u und v differenzierbare Funktionen, dann besitzt die Funktion f (x) = }} u (x) v (x) mit v (x) 0 die Ableitung f9 (x) = u9 }}}}}}}} (x) v (x) u (x) v9 (x). v (x) v (x) f (x) = x2 + 2 }}} 2x 3 ( x 3 } 2 ) Es sind u (x) = x mit u9 (x) = 2x und v (x) = 2x 3 mit v9 (x) = 2. Einsetzen in die Formel ergibt: f9 (x) = 2x (2x 3) 2 (x2 + 2) }}}}}}}} f9 (x) = 2 (x2 3x 2) }}}}} (2x 3) 2 = 4x2 6x 2x 2 4 }}}}}} (2x 3) 2 (2x 3) 2 9. Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen mit der Quotientenregel. a) f (x) = x3 }} b) f (x) = 2x2 + x + 3 }}}} c) f (x) = 4 x x3 x }}} d) f (x) = 2 + }}}} 4 x 2 x + 2x x 3 2x 2 + x 20. a) f (x) = }} x 2 3 b) f (x) = (4x + 2) 2. Beweisen Sie mit Hilfe der Quotientenregel die Kehrwertregel. Für f (x) = }} g (x) g9 (x) ist f9 (x) = }}} mit g (x) 0. g (x) g (x) Kettenregel Die Ableitung f9 (x) einer mittelbaren Funktion f (x) = u (v (x)) ist das Produkt aus der Ableitung v9 (x) der inneren Funktion z = v (x) und der Ableitung u9 (v (x)) der äußeren Funktion u (v (x)): f9 (x) = v9 (x) u9 (v (x)). Die Ableitung der Funktion f mit f (x) = (2x 3 ) 3 kann mit der Summenregel bestimmt werden, wenn die Klammer ausmultipiziert wird. Einfacher ist die Anwendung der Kettenregel. Substitution: Mit z = v (x) = 2x 3 ist u (z) = z 3. Innere Ableitung: z = v (x) = 2x 3 ; z9 = v9 (x) = 6x 2 Äußere Ableitung: u (z) = z 3 ; u9 (z) = 3z 2 Ergebnis: f9 (x) = 8x 2 (2x 3 ) 2 5
13 A Differenzialrechnung f (x) = Î }}} x 2 4, ( x º 2) Substitution: z = v (x) = x 2 4 und u (z) = Î } z Ableitungen: z9 = v9 (x) = 2x und u9 (z) = }} Ergebnis: f9 (x) = 2x }}}} 2 Î }}} = x x 2 4 Î }}} x 2 4 Die Ableitungsfunktion ist nur für x > 2 definiert. 2 Î } z 22. Bestimmen Sie die Ableitung der Funktionen mit der Kettenregel. a) f (x) = (4x 4 3) 2 b) f (x) = (3x 2 + 4x 5) 2 c) f (x) = (2x 7) 3 d) f (x) = (5 3x 3 ) Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. a) f (x) = }}} b) f (x) = }}} (2x 2 + x) 3 (x 5) 4 c) f (x) = ( + Î } x ) 2 d) f (x) = Î }}} x Bestimmen Sie die Ableitung sowohl mit der Kettenregel als auch mit der Quotientenregel. a) f (x) = }} b) f (x) = }}} x 2 + x (x + ) 2 Höhere Ableitungen Die Ableitungsfunktion f9 einer Funktion f wird als. Ableitungsfunktion bezeichnet. Ist auch f9 differenzierbar, entsteht die 2. Ableitungsfunktion f0 von f. Weiteres Ableiten bringt die 3. Ableitungsfunktion f- von f usw. Es ist f mit f (x) = x 4 3x 2 + x + abzuleiten, bis sich eine Konstante ergibt. f (x) = x 4 3x 2 + x + f9 (x) = 4x 3 6x + f0 (x) = 2x 2 6 f- (x) = 24x f (4) (x) = 24 f (5) (x) = 0 Weiteres Ableiten ist nicht mehr sinnvoll, da f (n) (x) = 0 für n º 5. 6
14 2 Ableitungsregeln Es ist f mit f (x) = 2x }}} x + f9 (x) = 2 (x + ) (2x ) }}}}}}} = 3 }}} (x + ) 2 (x + ) 2 (x ) dreimal abzuleiten. f0 (x) = 0 (x + )2 3 2 (x + ) 6 (x + ) }}}}}}}} 4 = }}} (x + ) (x + ) = 6 }}} 4 f- (x) = 0 (x + )3 6 3 (x + ) 2 }}}}}}}} = 8 }}} (x + ) 6 (x + ) 4 (x + ) Leiten Sie die folgenden Funktionen dreimal ab. a) f (x) = x 3 2x 2 + b) f (x) = 2x 4 + 3x 3 x 2 + x 5 c) f (x) = 3x }}} x 4 d) f (x) = x2 }} 26. Durch Umformen in eine Summe lassen sich folgende Terme ohne Anwenden der Quotientenregel ableiten. Leiten Sie sie auf diese Weise dreimal ab. a) f (x) = x2 + 3x + 4 }}}} x b) f (x) = x3 4x 2 x }}}} 2x 27. Wie oft muss eine ganzrationale Funktion n-ten Grades abgeleitet werden, bis sich eine Konstante ergibt? 2 x Ableitungen von trigonometrischen Funktionen Die Sinusfunktion f (x) = sin x besitzt die Ableitungsfunktion f9 (x) = cos x. Die Kosinusfunktion f (x) = cos x besitzt die Ableitungsfunktion f9 (x) = sin x. Die Tangensfunktion f (x) = tan x besitzt die Ableitungsfunktion f9 (x) = }}. cos 2 x Es sind die ersten vier Ableitungen der Funktion f (x) = sin x zu bilden. f9 (x) = cos x, f0 (x) = sin x, f- (x) = cos x, f (4) (x) = ( sin x) = sin x Gesucht ist die Ableitung der Funktion f (x) = x sin x. Anwenden der Produktregel: f9 (x) = sin x + x cos x = sin x + x cos x Die Ableitung von f mit f (x) = sin } 2 mit x 0 wird mit der Kettenregel bestimmt. x z = } und u (z) = sin z bringt f9 (x) = } 2 cos }. x 2 x 3 x 2 7
15 A Differenzialrechnung 28. Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. a) f (x) = sin 3x b) f (x) = sin x cos x c) f (x) = sin 2 x d) f (x) = tan x + 2 sin 2x e) f (x) = sin x 2 f) f (x) = sin }} x x Leiten Sie eine Formel für die Ableitung von f (x) = sin n x (n * N) her. 30. Beweisen Sie die Ableitungsregel der Tangensfunktion mit Hilfe der Quotientenregel aus tan x = }} cos sin x x. 3. Zeigen Sie mithilfe von Aufgabe 30, dass für f (x) = tan x auch f9 (x) = + tan 2 x gilt. 32. Leiten Sie die Ableitungsregel für die Kotangensfunktion aus der Quotientenregel und aus der Ableitungsregel für die Tangensfunktion her. 33. Weshalb sind die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion beliebig oft differenzierbar? Ableitungen von Exponentialfunktionen Die natürliche Exponentialfunktion f (x) = e x besitzt die Ableitungsfunktion f9 (x) = e x. Gesucht ist die Ableitung der Funktion f (x) = x 2 e 2x. Anwendung der Produktregel: u (x) = x 2 mit u9 (x) = 2x und v (x) = e 2x Kettenregel f9 (x) = 2x e 2x + x 2 2e 2x = 2x e 2x ( + x) v9 (x) = 2e 2x. Die allgemeine Exponentialfunktion f (x) = a x besitzt die Ableitungsfunktion f9 (x) = ln a a x, a * R + \ {}. Gesucht ist die Ableitung von f mit f (x) = 2 2x+3. Kettenregel: z = v (x) = 2x + 3 und u (z) = 2 z z9 = v9 (x) = 2 und u9 (z) = ln 2 2 z Ergebnis: f9 (x) = 2 ln 2 2 2x+3 = ln 4 2 2x+3 8
16 2 Ableitungsregeln 34. Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktionen. a) f (x) = 3 e 2x+ b) f (x) = e x2 +2x c) f (x) = (x ) e x d) f (x) = Î } e x e) f (x) = x n e x f) f (x) = e kx }} g) f (x) = 2 2x h) f (x) = ( } 4 ) 3x i) f (x) = x a Î} x k) f (x) = Î }}} e x + e l) f (x) = }} x m) f (x) = ex e }}} x e x e x + e x 35. Beweisen Sie die Ableitungsregel für f (x) = a x durch Umschreiben in a x = e ln ax und Anwenden der Kettenregel. Ableitungen von logarithmischen Funktionen Die natürliche Logarithmusfunktion f mit f (x) = ln x besitzt die Ableitungsfunktion f9 (x) = } x (x * R+ ). Gesucht ist die Ableitung von f (x) = x 3 ln 4x (x > 0). Anwenden der Produktregel: u (x) = x 3 mit u9 (x) = 3x 2 Kettenregel und v (x) = ln 4x f9 (x) = 3x 2 ln 4x + x 3 } x = 3x2 ln 4x + x 2 = x 2 (3 ln 4x + ) v9 (x) = 4 } 4x = } x. Die Logarithmusfunktion f mit f (x) = a log x besitzt die Ableitungsfunktion f9 (x) = }}} x ln a (a* R+ \{}, x * R + ). Gesucht ist die Ableitung von f (x) = (x 2 + 2) lg x (x > 0). Anwenden der Produktregel: u (x) = x mit u9 (x) = 2x und v (x) = lg x mit v9 (x) = f9 (x) = 2x lg x + (x 2 + 2) }}} x ln 0 = }} ln 0 ( 2x ln x + x + } 2 x ) }}} x ln 0 9
17 A Differenzialrechnung 36. Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. a) f (x) = ln Î } x b) f (x) = ln (x 2 4) c) f (x) = ln } 2 3 x x + d) f (x) = ln }} x e) f (x) = x 2 log x 2 f) f (x) = (x 4 ) lg x g) f (x) = ln x }} x + 2 h) f (x) = }} x4 ln x 37. Beweisen Sie die Ableitungsregel für f (x) = a log x durch Umschreiben in alog x = }} ln x und Anwenden einer geeigneten Ableitungsregel. ln a Ableitungen von Wurzelfunktionen Bei Wurzelfunktionen kann es Bereiche geben, für welche der Funktionsterm nicht definiert ist. Außerdem kann es vorkommen, dass eine Wurzelfunktion am Rand der Definitionsmenge nicht differenzierbar ist. Gesucht sind die maximale Definitionsmenge und die. Ableitung der Funktion f (x) = Î }}} x 2. Wegen x 2 º 0 für x º ist die Funktion f nur für D = {x x º } definiert. Mit z = x 2 und u (z) = Î } 2x z ist f9 (x) = 2 Î }}} = x x 2 Î }}}. x 2 Bei der Ableitungsfunktion muss wegen x 2 0 weiter eingeschränkt werden: Für x = und x 2 = aus der Definitionsmenge D ist f nicht differenzierbar. Die Funktion f ist differenzierbar für alle x >. Untersuchungen zur Differenzierbarkeit werden im Kapitel Differenzierbarkeit ausführlich erläutert. 38. Geben Sie für die folgenden Funktionen die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie die. Ableitung. Geben Sie den Bereich der Definitionsmenge an, auf welchem die Funktion f differenzierbar ist. a) f (x) = Î }}} x + 3 b) f (x) = Î }}}}}} (x 2) (x 4) c) f (x) = x Î } x d) f (x) = Î }}} x
18 Stichwortverzeichnis abhängige Variable 8 Ableitung höhere 6 Ableitungsfunktion 6 Änderungsrate 0, 88 Asymptote 48 Bestand 88 Bestandsfunktion 73 Definitionsmenge 8 Differenzenquotient 9 Differenzierbarkeit 43 Drehkörper 02 Exponentialfunktionen 8, 8 Extrempunkte 3, 34, 35 Extremstellen 56, 57, 59 Extremwertaufgaben 68, 70 Faktorregel 78 Flächen 94, 96 Flächenberechnung 94, 96, 98 Funktion 8 Funktionsgleichung 8 Funktionswert 8 gebrochenrationale Funktionen 25 Gesamtänderung 88 globales Minimum 36 globales Maximum 36 Graph 8 Grenzwert 42 Hochpunkt 3 Integral 84 Integralfunktion 89 Integrand 84 Integrationsgrenzen 84, 85 Integrationsvariable 84 Intervalladditivität 86 Keplersche Fassregel 87 Kettenregel 5 Konstantenregel 3 konstanter Faktor 3 Krümmung 46 Kurvendiskussionen 55 lineare Substitution 80 logarithmisches Integrieren 83 Logarithmusfunktion 9, 82 lokale und globale Extrempunkte 36 Maximum 3 Minimum 3 Mittelwert 92 Mittelwertsatz der Integralrechnung 92 Monotonie 45 natürliche Logarithmusfunktion 9 Newtonverfahren 67 Nullstellen 23, 55, 57, 58 Pole 57 Polstelle 48 Potenzregel 2, 77 Produktregel 4 Quotientenregel 5 83
19 Stichwortverzeichnis Rauminhalt 02 Sattelpunkt 33, 38 Schaubild 8 Schnittpunkte mit der y-achse 27, 56, 57, 58 Stammfunktion 75 Steigung der Sekante 9 der Tangente ganzrationaler Funktionen 28 gebrochenrationaler Funktionen 29 nichtrationaler Funktionen 30 stetig 4 Stetigkeit 4 Summenregel 4, 79 Symmetrie 53, 55, 57, 58 Tangente in einem Kurvenpunkt 63 von einem Punkt an eine Kurve 65 Tiefpunkt 3 trigonometrische Funktionen 7 unabhängige Variable 8 uneigentliches Integral 05 Verhalten im Unendlichen 50, 52 Vorzeichenwechsel 33 Wachstumsbeschleunigung 73 Wachstumsgeschwindigkeit 73 Wendepunkte 37, 39, 40, 56, 57, 59 Wendestelle 37 Wertemenge 8 Wertetabelle 8 Wurzelfunktion 20 Zielfunktion 68 84
B Anwendungen der Differenzialrechnung
B Anwendungen der Differenzialrechnung Kurvendiskussionen Um den Verlauf eines Funktionsgraphen zu bestimmen, kann eine Wertetabelle aufgestellt werden. Dies kann jedoch sehr mühselig sein und es ist nicht
MehrOberstufenmathematik leicht gemacht
Peter Dörsam Oberstufenmathematik leicht gemacht Band 1: Differential- und Integralrechnung 5. überarbeitete Auflage mit zahlreichen Abbildungen und Beispielaufgaben PD-Verlag Heidenau Inhaltsverzeichnis
MehrDifferenzialrechnung
Mathe Differenzialrechnung Differenzialrechnung 1. Grenzwerte von Funktionen Idee: Gegeben eine Funktion: Gesucht: y = f(x) lim f(x) = g s = Wert gegen den die Funktion streben soll (meist 0 oder ) g =
Mehr3 Differenzialrechnung
Differenzialrechnung 3 Differenzialrechnung 3.1 Ableitungsregeln Übersicht Beispiel Vorgehen Potenzfunktionen f(x) = x 4 f (x) = 4 x 3 f(x) = x f (x) = 1 x 0 = 1 f(x) = x Hochzahl f (x) = Hochzahl x Hochzahl
MehrAbitur 2017 Mathematik Infinitesimalrechnung II
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 217 Mathematik Infinitesimalrechnung II Die Abbildung zeigt den Graphen der in R definierten Funktion g : x p + q sin p, q, r N. ( π r x ) mit Gegeben
MehrAbitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 211 G8 Musterabitur Mathematik Infinitesimalrechnung I Teilaufgabe 1 (3 BE) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f : x (e x 2) (x 3 2x ) mit Definitionsbereich
MehrDer Differenzenquotient
Der Differenzenquotient Von den linearen Funktionen kennen wir den Begriff des Differenzenquotienten k = y 2 y 1 x 2 x 1 mit dem die Steigung einer Geraden festgelegt wird. Der Begriff des Differentialkoeffizienten
MehrAbitur 2017 Mathematik Infinitesimalrechnung I
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 217 Mathematik Infinitesimalrechnung I Gegeben ist die Funktion g : x 2 4 + x 1 mit maximaler Definitionsmenge D g. Der Graph von g wird mit G g bezeichnet.
MehrAbitur 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 204 Mathematik Infinitesimalrechnung I Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. Teilaufgabe Teil A (5 BE) Gegeben ist die Funktion f : x x ln
MehrAufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1
Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1 Lehrplan: M 11.1.1 Graphen gebrochen-rationaler Funktionen M 11.1.2 Lokales Differenzieren Passende Kapitel im Schulbuch Fokus Mathematik 11:
MehrLEISTUNGSKURS GESAMTBAND. bearbeitet von Heidi Bück Rolf Dürr Hans Freudigmann Günther Reinelt Manfred Zinser
nsivsr i, LEISTUNGSKURS GESAMTBAND Mathematisches Unterrichtswerk für das Gymnasium Ausgabe A bearbeitet von Heidi Bück Rolf Dürr Hans Freudigmann Günther Reinelt Manfred Zinser unter Mitwirkung von Jürgen
MehrAnalysis.
Analysis www.schulmathe.npage.de Inhaltsverzeichnis 1 Zahlenfolgen 4 1.1 Bildungsvorschriften für Zahlenfolgen..................... 5 1.2 Monotonie von Zahlenfolgen.......................... 5 1.3 Arithmetische
MehrAnalysis. A1 Funktionen/Funktionsklassen. 1 Grundbegriffe. 2 Grundfunktionen
A1 Funktionen/Funktionsklassen 1 Grundbegriffe Analysis A 1.1 Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 2 x 2 + x. a) Bestimme, wenn möglich, die Funktionswerte an den Stellen 0, 4 und 2. b) Gib die maximale
MehrStichwortverzeichnis. Stichwortverzeichnis
Stichwortverzeichnis Die Ergänzungen (A) und (B) hinter einem Eintrag bedeuten: (A) Dieser Eintrag tritt in einer Aufgabe auf. (B) Dieser Eintrag tritt in einem Beispiel auf. 1 1. Hauptsatz der Differential-
MehrInhaltsverzeichnis. A Analysis... 9
A Analysis... 9 1 Funktionale Zusammenhänge Wiederholung und Erweiterungen... 11 Rückblick... 11 1.1 Ganzrationale Funktionen... 15 1.2 Grenzwert einer Funktion f an einer Stelle x 0... 31 Gemischte Aufgaben...
MehrBestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung: 1. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung:
Baden-Württemberg Übungsaufgaben für den Pflichtteil Gleichungslehre Stichworte: lineare Gleichungen; quadratische Gleichungen; Gleichungen höherer Ordnung; Substitution; Exponentialgleichungen; trigonometrische
MehrDie Kettenregel Seite 1
Die Kettenregel Seite 1 Kapitel mit 124 Aufgaben Seite WIKI Regeln und Formeln 03 Level 1 Grundlagen Aufgabenblatt 1 (26 Aufgaben) 07 Lösungen zum Aufgabenblatt 1 09 Aufgabenblatt 2 (34 Aufgaben) 11 Lösungen
MehrMathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila
Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila 1.Analysis 1.1 Grundlagen: Ableitung f (u) ist Steigung in Punkt P (u/f(u)) auf K f(x) = a * x r f (x) = a * r * x r-1 Tangentengleichung: y= f (u) * (x-u)
MehrLernmodul 5, Kapitel 2.1
1 Lernmodul 5, Kapitel 2.1 Exponentialfunktion und Logarithmus Exponentialfunktion und Logarithmus sind zwei Funktionsklassen, die jeweils Umkehrfunktionen von einander sind. Eine Umkehrfunktion einer
MehrZusammenfassung: Differenzialrechnung 1
LGÖ Ks M Schuljahr 7/8 Zusammenfassung: Differenzialrechnung Inhaltsverzeichnis Aufgabenformulierungen Gleichungen Graphen, Trigonometrie und Geraden Ableitung Ableitungsregeln, höhere Ableitungen 3 Kettenregel
MehrBezüge zu den Bildungsstandards
Differentialrechnung Kinga Szűcs FSU Jena Fakultät für Mathematik und Informatik Abteilung Didaktik In Anlehnung an Prof. Dr. Bernd Zimmermanns Seminarpräsentationen Inhalt Bezüge zu den Bildungsstandards
MehrAbitur 2010 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 2010 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I Teilaufgabe 2 (4 BE) Gegeben ist für k R + die Schar von Funktionen f k : x 1 Definitionsbereich D k. Der
MehrIst die Funktion f auf dem Intervall a; b definiert, dann nennt man. f(b) f(a) b a
. Einführung in die Differentialrechnung ==================================================================. Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrBerufliche Schulen des Landes Hessen Lehrplan Fachoberschule Allgemein bildender Lernbereich Mathematik
Berufliche Schulen des Landes Hessen Lehrplan Fachoberschule Allgemein bildender Lernbereich Mathematik Unterrichtsinhalte Funktionale Zusammenhänge Ausbildungsabschnitt I, 50Stunden Lineare Funktionen
MehrDifferential- und Integralrechnung
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Differential- und Integralrechnung Schwerpunkte: Differentiation Integration Eigenschaften und Anwendungen Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik
MehrDifferenzialrechnung Einführung 1
0.0.06 Änderungstendenz einer Funktion Differenzialrechnung Einführung Eines der wichtigsten Merkmale einer Funktion ist die Änderungstendenz, womit angegeben wird, wie stark die Funktionswerte f() zu-
MehrMathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 3: Differentialrechnung
Mathematik I Herbstsemester 2018 Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 39 3. Differentialrechnung Einführung Ableitung elementarer Funktionen Ableitungsregeln Kettenregel Ableitung
Mehr(Quelle Abitur BW 2004) Gegeben sind die Schaubilder der Funktion mit, ihrer Ableitungsfunktion, einer Stammfunktion von und der Funktion mit.
Aufgabe A5/04 Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion einer Funktion. Welche der folgenden Aussagen über die Funktion sind wahr, falsch oder unentscheidbar? (1) ist streng monoton wachsend
MehrMathematik LK M2, 2. KA Eigenschaften ganzr. Funktionen Lösung
Aufgabe 1: Grenzwerte 2 x 3 1.1 Berechne unter Anwendung der 3( +12 x 10 Grenzwertsätze für Funktionen: lim x 3 x 3 +2 x+10 2 x 2 x 3 +12 x 10 1+ 6 lim x 3 x 3 +2 x+10 = lim x 10 3) 2 x 2 x 2 3 x 3( 1
Mehra) Begründen Sie, dass der Graph von f symmetrisch zum Punkt S 0 2 f) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente im Punkt B
I. Wendepunkte 1. Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte sowie die Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit der angegebenen Funktionsgleichung. a) f(x) 1 b) 12 (x + 1) (x 2) (x + 6) f(x) 1 4 x4
MehrA Differenzialrechnung
A Differenzialrechnung Seite 1 Stetigkeit und Differenzierbarkeit... 2 Nullstellensatz und Intervallhalbierung... Newton - Verfahren... 8 Funktionsverkettung... 1 5 Kettenregel... 11 Produktregel... 1
MehrAbitur 2012 Mathematik Infinitesimalrechnung I
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 212 Mathematik Infinitesimalrechnung I Geben Sie zu den Funktionstermen jeweils den maximalen Definitionsbereich sowie einen Term der Ableitungsfunktion
MehrSkripten für die Oberstufe. Kurvendiskussion. f (x) f (x)dx = e x.
Skripten für die Oberstufe Kurvendiskussion x 3 f (x) x f (x)dx = e x H. Drothler 0 www.drothler.net Kurvendiskussion Zusammenfassung Seite Um Funktionsgraphen möglichst genau zeichnen zu können, werden
MehrKGS Schneverdingen Gymnasialzweig Mathematik Klasse 10 Stoffverteilungsplan (Stand: Juli 2012)
Lehrbuch: Elemente der Mathematik 10 KGS Schneverdingen Gymnasialzweig Mathematik Klasse 10 Stoffverteilungsplan (Stand: Juli 2012) Thema Inhalte Kompetenzen Zeit in Stunden Buchseiten Bemerkungen Modellieren
Mehr3.6 Verhalten an den Polstellen
44 Kapitel 3. Gebrochen-rationale Funktionen Beispiel 3.5.3. f(x) = 2x2 + 5 2x 1 f(0) = 2 02 + 5 2 0 1 = 5 1 = 5 3.6 Verhalten an den Polstellen Die Polstellen teilen den Graph in mehrere Teile. Da der
MehrMathemathik-Prüfungen
M. Arend Stand Juni 2005 Seite 1 1980: Mathemathik-Prüfungen 1980-2005 1. Eine zur y-achse symmetrische Parabel 4.Ordnung geht durch P 1 (0 4) und hat in P 2 (-1 1) einen Wendepunkt. 2. Diskutieren Sie
MehrR. Brinkmann Seite
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 1.08.016 Kurvendiskussion Vorbetrachtungen Um den Graphen einer Funktion zeichnen und interpretieren zu können, ist es erforderlich einiges über markante Punkte
Mehr1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion f mit f( x) x 6x 13
Musteraufgaben ab 08 Pflichtteil Aufgabe Seite / BEISPIEL A. Geben Sie Lage und Art der Nullstellen der Funktion f mit f( x) ( x ) ( x ) ; x IR an.. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in P( f ())
MehrTutorium: Analysis und lineare Algebra. Differentialrechnung. Steven Köhler. mathe.stevenkoehler.de Steven Köhler
Tutorium: Analysis und lineare Algebra Differentialrechnung Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 Differenzenquotient Der Di erenzenquotient ist de niert als f(x) x f(x) f(x 0)
MehrAufgaben für Analysis in der Oberstufe. Robert Rothhardt
Aufgaben für Analysis in der Oberstufe Robert Rothhardt 14. Juni 2011 2 Inhaltsverzeichnis 1 Modellierungsaufgaben 5 1.1 Musterabitur S60................................ 5 1.2 Musterabitur 3.1.4 B / S61..........................
MehrInhaltsverzeichnis. A Analysis... 9
Inhaltsverzeichnis A Analysis... 9 1 Funktionale Zusammenhänge Wiederholung und Erweiterungen... 11 Rückblick... 11 1.1 Ganzrationale Funktionen... 14 1.2 Grenzwert einer Funktion f an einer Stelle x 0...
MehrKontrollfragen zur Unterrichtsstunde
Kontrollfragen zur Unterrichtsstunde Frage 1: Das Newtonverfahren ist eine Methode zur Bestimmung A: der Extremstellen eines C: des Verhalten im Unendlichen. B: der Nullstellen eines D: der Fallzeit eines
MehrB Differenzialrechnung
A Funktionen Seite 1 Abhängigkeiten entstehen... 4 2 Der Funktionsbegriff... 6 3 Lineare Funktionen... 8 4 Lineare Regression... 1 5 Funktionsscharen... 12 6 Betragsfunktionen... 13 7 Potenzfunktionen...
MehrDierentialrechnung mit einer Veränderlichen
Dierentialrechnung mit einer Veränderlichen Beispiel: Sei s(t) die zum Zeitpunkt t zurückgelegte Wegstrecke. Dann ist die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen zwei Zeitpunkten t 1 und t 2 gegeben
Mehr2015, MNZ. Jürgen Schmidt. Vorkurs. Mathematik. Ableiten. Tag WS 2015/16
Vorkurs 4. Mathematik Ableiten WS 2015/16 Tag Einführendes Beispiel Vernachlässigen wir den Luftwiderstand, so können wir in hinreichender Näherung für den freien Fall eines Körpers s(t) = 5t 2 als Weg-Zeit-Abhängigkeit
MehrKapitel 5: Differentialrechnung
Kapitel 5: Differentialrechnung Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 1 / 23 Gliederung 1 Grundbegriffe 2 Abbildungen
MehrFunktionen untersuchen
Funktionen untersuchen Mögliche Fragestellungen Definition: lokale und globale Extrema Monotonie und Extrema Notwendige Bedingung für Extrema Hinreichende Kriterien, Vergleich Krümmungsverhalten Neumann/Rodner
MehrDie Summen- bzw. Differenzregel
Die Summen- bzw Differenzregel Seite Kapitel mit Aufgaben Seite WIKI Regeln und Formeln Level Grundlagen Aufgabenblatt ( Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt Aufgabenblatt (7 Aufgaben) Lösungen zum Aufgabenblatt
MehrZusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius
Zusammenfassung Mathematik Claudia Fabricius Funktion: Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y eines Wertebereiches W zu. Polynom: f(x = a n x n + a n- x n-
MehrI. Verfahren mit gebrochen rationalen Funktionen:
I. Verfahren mit gebrochen rationalen Funktionen: 1. Definitionslücken bestimmen: Nenner wird gleich 0 gesetzt! 2. Prüfung ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt: Eine hebbare Definitionslücke liegt
MehrStoffverteilungsplan Sek II
Klasse 11 (3-stündig) Stoffverteilungsplan Sek II Analysis - Differenzialrechnung Inhalte Hinweise Schulbuch Funktionen - Begriff der Funktion 12-15 - Symmetrien 22-24 - Verhalten im Unendlichen 20-21
MehrSchulinternes Curriculum Mathematik EF. Kompetenzerwartungen bzgl. der Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten und Reflexionsfähigkeit. Kap.
I I.1 - I.6 untersuchen die Eigenschaften von linearen und quadratischen Funktionen (Wiederholung SI) Potenzfunktionen Ganzrationalen Funktionen können Gleichungen linearer und quadratischer Funktionen
MehrAbitur 2013 Mathematik Infinitesimalrechnung II
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 213 Mathematik Infinitesimalrechnung II Teilaufgabe Teil 1 1 (5 BE) Geben Sie für die Funktion f mit f(x) = ln(213 x) den maximalen Definitionsbereich
MehrInhaltsverzeichnis. 3 Folgen Achilles und die Schildkröte Grundbegriffe Fraktale... 49
Inhaltsverzeichnis 1 Analytische Geometrie: Geraden 8 1.1 Lineare Gleichungen........................ 8 1.2 Die Hauptform einer linearen Gleichung............. 8 1.3 Wertetabellen............................
MehrISBN
1 Zeitraum Ziele / Inhalte (Sach- und Methodenkompetenz) Klassenarbeit Analysis Grenzwerte 1. Die explizite und rekursive Beschreibung von Zahlenfolgen verstehen und Eigenschaften von Zahlenfolgen kennen
MehrPflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...
Pflichtteil... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis 3... 5 Wahlteil Analytische Geometrie... Wahlteil Analytische Geometrie... Lösungen: 00 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 00: Pflichtteil
MehrAbiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik 007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (8 Punkte) Das Schaubild einer Polynomfunktion. Grades geht durch den Punkt S(0/) und hat den 3 Wendepunkt
MehrTeil 3 -Analysis TEIL 3: ANALYSIS
Mathematik Workshop TEIL 3: ANALYSIS Basis Funktionen Funktionsuntersuchung Nullstellen pq-formel, Diskriminanten Polynomdivision Mehrere Veränderliche Differenzieren Idee Regeln zum Rechnen Anwendung
MehrFörderaufgaben EF Arbeitsblatt 1 Abgabe Zeichne die Tangenten bei x=6 und bei x = 4 ein und bestimme die zugehörige Geradengleichung.
Förderaufgaben EF Arbeitsblatt 1 Abgabe 20.1.15 1. Zeichne die Tangenten bei x=6 und bei x = 4 ein und bestimme die zugehörige Geradengleichung. 2. Bestimme f (x): a) f(x) = x 3 + 4x 2 x + 1 b) f(x) =
MehrMathematik lernen mit Karteikarten Grundwissen im Berufskolleg II
Aufbau des Kartensatzes Mathematik lernen mit Karteikarten Grundwissen im Berufskolleg II Die Karteikarten orientieren sich am Lehrplan des Berufskollegs II in Baden-Württemberg. Folgende Inhalte sind
MehrPrüfungsteil B, Aufgabengruppe 1: Analysis. Bayern Aufgabe 1. BundesabiturMathematik: Musterlösung
Abitur MathematikBayern 04 Prüfungsteil B, Aufgabengruppe BundesabiturMathematik: Prüfungsteil B, Aufgabengruppe : Bayern 04 Aufgabe a). SCHRITT: SCHNITTPUNKTE MIT DEN KOORDINATENACHSEN Die Koordinatenachsen
MehrFunktionale Abhängigkeiten
Funktionale Abhängigkeiten Lehrplan Die Lehrpläne für die allgemein bildenden Schulen finden Sie online unter: http://www.bmukk.gv.at/schulen/unterricht/lp/lp_abs.xml 5. Klasse (Funktionen) Beschreiben
MehrLösungen zu Grundwissensaufgaben 11. Jahrgangstufe Teil 1
Lösungen zu Grundwissensaufgaben. Jahrgangstufe Teil. Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen Umformungen DD ff NS GW ff(xx) xx + (xx )(xx + ) + xx² + xx xx(xx + ) xx + xx + xx + xx + RR\{ } xx xx
MehrErnst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2017 Alle Rechte vorbehalten Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch
Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2017 Alle Rechte vorbehalten Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Seite 1 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart
MehrKurvendiskussion. Gesetzmäßigkeiten. Lineare Funktionen. Funktionsgleichung
Kurvendiskussion Gesetzmäßigkeiten Lineare Funktionen Funktionsgleichung y = mx + c m: Steigung c: y-achsenabschnitt (Funktionswert für y, bei dem der Graph die y-achse schneidet Beispiel : y = x 3 mit
MehrAnalysis 2. f(x) = x2 6x + 8 x 2 6x + 5 a) Ermitteln Sie den Definitionsbereich der Funktion f. Weisen Sie nach, dass gilt:
Analysis 2 www.schulmathe.npage.de Aufgaben 1. Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = x2 6x + 8 x 2 6x + 5 a) Ermitteln Sie den Definitionsbereich der Funktion f. Weisen Sie nach, dass gilt: f (x) = 6(x
Mehr50-Ableitungsbeispiele für Funktionen
50-Ableitungsbeispiele für Funktionen Georg Lauenstein 24. August 2006 e-mail: lauenste@math.hu-berlin.de 1 Thema: 50 - Ableitungsbeispiele für Funktionen Übersicht der Aufgaben Ganzrationale Funktionen
MehrDifferentialrechnung
Katharina Brazda 5. März 007 Inhaltsverzeichnis Motivation. Das Tangentenproblem................................... Das Problem der Momentangeschwindigkeit.......................3 Differenzenquotient und
Mehr1 Ergänzen Sie für die Funktionen u, v und w mit u (x) = cos (2 x), v (x) = 2 x 2 und w (x) = 9 x 1
Neue Funktionen aus alten Funktionen: Produkt, Quotient, Verkettung Sind die Funktionen u mit u () = und v mit v () = cos () gegeben, so erhält man die Verkettung u v () = u v () dieser beiden Funktionen,
MehrAnalysis I. Teil 1. Bayern Aufgabe 1. Abitur Mathematik Bayern Abitur Mathematik: Musterlösung. D f =] 3; + [ x = 1
Abitur Mathematik: Bayern 2012 Teil 1 Aufgabe 1 a) DEFINITIONSMENGE f(x) = ln(x + 3) x + 3 > 0 x > 3 D f =] 3; + [ ABLEITUNG Kettenregel liefert f (x) = 1 x + 3 1 = 1 x + 3 b) DEFINITIONSMENGE 3 g(x) =
MehrABI-CHECKLISTE. FiNALE Prüfungstraining MATHEMATIK. trifft zu. FiNALE- Seiten. erledigt. nicht zu. A Differenzialrechnung
ABI-CHECKLISTE A Differenzialrechnung A1 Potenz-, Sinus- und Kosinusfunktion, Exponential- und Logarithmusfunktionen ableiten. A2 einfache Funktionen mit der Summenund Faktorregel und sammengesetzte Funktionen
Mehrstreng monoton steigend. streng monoton fallend. Ist f eine in einem Intervall stetige und im Innern des Intervalls differenzierbare Funktion mit
3. Anwendungen ================================================================= 3.1 Monotonie Eine Funktion f heißt in ihrem Definitionsbereich D monoton steigend, wenn für alle x 1, x 2 D mit x 1 < x
MehrQ11-Mathematik-Wissen kompakt (mit CAS-Befehlen)
Q11-Mathematik-Wissen kompakt Jahrgang 2014/16 S. 1 Q11-Mathematik-Wissen kompakt (mit CAS-Befehlen) Gebrochen rationale Funktionen Funktionen der Form f(x) = p(x), p(x) und q(x) ganzrationale Funktionen
MehrLösungen Kapitel A: Funktionen
Lösungen Kapitel A: Funktionen Arbeitsblatt 01: Abhängigkeiten entstehen a) Zu Beginn des Tages befinden sich 10 Besucher am Strand. Bis um 4 Uhr nachts haben alle den Strand verlassen. Um 6 Uhr sind bereits
MehrAbleiten mit diesen drei Regeln: Potenzregel, Regeln für konstante Faktoren und Summen. Anwendung auf. Ganzrationale Funktionen
Analysis Ableitungsfunktionen Ableiten mit diesen drei Regeln: Potenzregel, Regeln für konstante Faktoren und Summen Anwendung auf Ganzrationale Funktionen Gebrochen rationale Funktionen ohne Summe im
Mehr5 DIFFERENZIALRECHNUNG EINFÜHRUNG
M /, Kap V Einführung in die Differenzialrechnung S 5 DIFFERENZIALRECHNUNG EINFÜHRUNG Zielvorgabe für die Kapitel 5 bis 55: Wir wollen folgende Begriffe definieren und deren Bedeutung verstehen: Differenzenquotient,
Mehrmarienschule euskirchen
Schulinternes Curriculum Mathematik Sekundarstufe II Einführungsphase (ab Schuljahr 2014/2015) Lehrbuch: Bigalke/Köhler Mathematik Sekundarstufe II, Cornelsen Verlag GTR: TI-82 Stats 1/8 ca. 8 UE sbezogene
Mehr. Ihr Schaubild sei &. a) Geben Sie die Asymptoten von & an. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente an & im Punkt 1 1 mit der Achse.
Aufgabe A4/04 Gegeben ist die Funktion mit 2; 0. Das Schaubild von hat im Punkt 1 die Tangente. Ermitteln Sie eine Gleichung von. Die Tangente schneidet die Achse im Punkt. Bestimmen Sie die Koordinaten
MehrSkript Analysis. sehr einfach. Erstellt: Von:
Skript Analysis sehr einfach Erstellt: 2017 Von: www.mathe-in-smarties.de Inhaltsverzeichnis Vorwort... 2 1. Funktionen... 3 2. Geraden... 6 3. Parabeln... 9 4. Quadratische Gleichungen... 11 5. Ableitungen...
MehrUnter Kurvendiskussion versteht man die Untersuchung einer gegebenen Funktion auf bestimmte Merkmale und Eigenschaften:
1 KURVENDISKUSSION Unter Kurvendiskussion versteht man die Untersuchung einer gegebenen Funktion auf bestimmte Merkmale und Eigenschaften: 1.1 Definitionsbereich Zuerst bestimmt man den maximalen Definitionsbereich
MehrStoffverteilungsplan Mathematik Oberstufe für Berlin und Brandenburg
Stoffverteilungsplan Mathematik Oberstufe für Berlin und Brandenburg Grundlagen: 1.) Rahmenstoffplan Mathematik für die gymnasiale Oberstufe, herausgegeben von der Senatsverwaltung für Bildung, Jugend
MehrARBEITSUNTERLAGEN. zum STARTERKURS an der UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
ARBEITSUNTERLAGEN zum STARTERKURS an der UNIVERSITÄT DES SAARLANDES Vorbemerkung Ziel des Propädeutikums ist es, die Schulmathematik wieder ins Gedächtnis zu rufen und eine gemeinsame Grundlage für die
MehrDie Ableitung der Exponentialfunktion Seite 1
Die Ableitung der Exponentialfunktion Seite 1 Kapitel mit 100 Aufgaben Seite WIKI Regeln und Formeln 03 Level 1 Grundlagen Aufgabenblatt 1 (20 Aufgaben) 06 Lösungen zum Aufgabenblatt 1 07 Level 2 Fortgeschritten
MehrDifferenzialrechnung
Mathematik bla Differenzialrechnung Ort - Zeit - Geschwindigkeit E:\1_GYMER\_Unterricht\AUFGABEN\0_3 Differenzialrechnung\00_differenzialrechnung.docx 1 Das Weg-Zeit-Diagramm und die Geschwindigkeit Ordne
MehrWWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse
WWG Grundwissen Mathematik 10. Klasse I. Kreiszahl 1. Kreis: Fläche des Kreissektors: = Länge des Kreisbogens: = Im Einheitskreis gilt: = 2 = 2. Kugel: Oberflächeninhalt: = 4 Volumen: = II. Geometrische
MehrDEMO für Analysis INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Zusammenfassung. Teil 2.
Abiturtraining Methoden und Grundwissen in der Analysis Teil Datei Nr. 450 Stand: 9. März 0 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK e Analysis Zusammenfassung Teil 450 Methoden-Training
MehrHauscurriculum Q1 Analysis II Grundkurs März 2017
Hauscurriculum Q1 Analysis II Grundkurs März 2017 Übersicht: verbindlich: 1 3 sowie ein weiteres aus den n 4 6, durch Erlass festgelegt; Es können innerhalb dieser im Erlass Schwerpunkte ausgewiesen werden.
MehrKern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 11/12. Stand Schuljahr 2012/13
Kern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 11/12 Stand Schuljahr 2012/13 UE 1 Wiederholung Funktionen Änderungsrate Ableitung Ableitung berechnen Ableitungsfunktion Ableitungsregeln für Potenz, Summe
MehrVektor. Betrag eines Vektors. Vektoren. 3-dim Koordinatensystem. Punkte im Raum. Winkel zwischen Vektoren. Länge einer Strecke
Lineares Gleichungssystem Satz des Pythagoras Flächen und Körper Vektoren Koordinatenachsen Koordinatenebenen Vektor 3-dim Koordinatensystem Punkte im Raum Vektoraddition/ - subtraktion Skalarmultiplikation
MehrSchulinterner Lehrplan Mathematik Einführungsphase Oberstufe
Schulinterner Lehrplan Mathematik Einführungsphase Oberstufe Halbjahr 10. 1 Schwerpunkt Inhaltsbezogene Prozessbezogene Arithmetik/Algebra Zahlenmengen (LS10 Kap. I) Angabe von Zahlenmengen mit der Intervall-
MehrPflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...
Pflichtteil Wahlteil Analysis 8 Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis 9 Wahlteil Analytische Geometrie Wahlteil Analytische Geometrie 9 Lösungen: Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Benötigte
MehrPflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz. Baden-Württemberg
Pflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 016 1 Übungsaufgaben: Ü1: Die Abbildung zeigt
MehrEinführungsphase. Kapitel I: Funktionen. Arithmetik/ Algebra
Einführungsphase prozessbezogene Kompetenzen Die SuS sollen... inhaltliche Kompetenzen konkrete Umsetzung zur Zielerreichung Die SuS können... Kapitel I: - Realsituationen in ein mathematisches Modell
MehrMathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018
(Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 2. Juli 2018 1/1 Wir geben einige wesentliche Sätze über bestimmte Integrale an, deren Beweise man in den Standardlehrbüchern der Analysis findet.
MehrEinführung in die Algebra
1 Einführung in die Algebra 1.1 Wichtige Formeln Formel Symbol Definition Wert Bedingungen n Fakultät n! k = 1 2 3 n n N Binomialkoeffizient Binomische Formeln Binomischer Lehrsatz Potenzen ( ) n k Definition
MehrToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009
ToDo-Liste für s Mathe-Abi 2009 7. Februar 2009 1 Grenzwerte und Folgen 1. Unterschied arithmetische Folge zu geometrische Folge 2. Rekursive Darstellung von Zerfalls- und Wachstumsvorgängen (a) lineares
MehrEinführung Differenzialrechnung
Einführung Differenzialrechnung Beispiele: (1 Ein Auto fährt fünf Sekunden lang mit konstanter Geschwindigkeit Wertetabelle: Zeit in Sekunden 1 2 3 4 5 Strecke in Meter 28 56 84 112 14 Graph (s-t-diagramm:
Mehr