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1 Verwandte Begriffe Maxwell-Gleichungen, elektrisches Wirbelfeld, Magnetfeld von Spulen, magnetischer Fluss, induzierte Spannung. Prinzip In einer langen Spule wird ein Magnetfeld mit variabler Frequenz und variierender Stärke erzeugt. Die Spannungen, die in dünnen Spulen induziert werden, welche in eine lange Spule geschoben werden, werden in Abhängigkeit der Frequenz, der Anzahl der Windungen, des Durchmessers und der Feldstärke bestimmt. Material 1 Feldspule 750 mm, 485 Windungen/m Induktionsspule, 300 Windungen, = 40 mm Induktionsspule, 300 Windungen, = 32 mm Induktionsspule, 300 Windungen, = 25 mm Induktionsspule, 200 Windungen, = 40 mm Induktionsspule, 100 Windungen, = 40 mm Induktionsspule, 150 Windungen, = 25 mm Induktionsspule, 75 Windungen, = 25 mm Digitaler Funktionsgenerator Vielfachmessinstrument mit Überlastschutz, B Verbindungsleitung, 32 A, 750 mm, rot Verbindungsleitung, 32 A, 750 mm, blau Abb. 1: Experimenteller Versuchsaufbau mit einer in die Feldspule eingeschobenen Induktionsspule. P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 1

2 Magnetische Induktion Aufgabe Messung der induzierten Spannung als Funktion 1. der Stromstärke durch die Feldspule bei konstanter Frequenz, 2. der Frequenz des Magnetfeldes bei konstanter Stromstärke, 3. der Windungszahl der Induktionsspule bei konstanter Frequenz und Stromstärke und 4. des Querschnitts der Induktionsspule bei konstanter Frequenz und Stromstärke. Aufbau Der Versuchsaufbau erfolgt gemäß Abb. 1. Ein Vielfachmessinstrument ist in Reihe zu der Feldspule und dem digitalen Funktionsgenerator geschaltet, um den Strom durch die Feldspule zu messen. Das zweite Vielfachmessinstrument ist mit der Induktionsspule verbunden, um die induzierte Spannung zu messen. Durchführung Beide Vielfachmessinstrumente müssen auf die Messart ~ ( Messung von Stromstärken und Spannungen bei Wechselstrom ) gestellt sein. Für die Messungen müssen die entsprechenden Messbereiche bis 300 ma bzw. bis 3 V gewählt sein. Darauf achten, dass beim Ablesen der Messwerte die richtige Skala verwendet wird. Für eine ausführliche Beschreibung der Bedienung des digitalen Funktionsgenerators bitte die Betriebsanleitung beachten. Aufgabe 1: Den gewünschten Strom durch die Feldspule durch geeignete Wahl der Amplitude des Sinussignals am digitalen Funktionsgenerator einstellen. Beginnend bei 0,5 V in Schritten von 0,5 V bis auf 10 V erhöhen. Aufgabe 2: Eine Stromstärke durch die Feldspule zwischen 20 ma und 40 ma wählen. Der Einfluss der Frequenz soll im Bereich zwischen 1 khz und 12 khz untersucht werden, da das Verhalten der Spule für Frequenzen unterhalb von 0,5 khz praktisch einem Kurzschluss entspricht und für Frequenzen oberhalb von 12 khz ungenau werden kann. Die Frequenz in 0,5-kHz-Schritten erhöhen. Um eine konstante Stromstärke in der Feldspule für die verschiedenen Frequenzen zu gewährleisten, muss die Amplitude des Sinussignals sehr sorgfältig für jede Frequenz angepasst werden. Aufgaben 3 und 4: Die gewählte Frequenz und die Signal-Amplitude sind über die gesamte Messreihe beizubehalten. Induzierte Spannung, Windungszahl und Durchmesser für jede Induktionsspule notieren. Theorie Zum Verständnis der Versuchsgrundlagen sind zwei Fälle zu betrachten. Zunächst wird die zeitliche Variation des magnetischen Flusses durch eine Fläche behandelt, welche eine Spannung in einem Leiter induziert. Diese Spannung soll im Versuch bestimmt werden. Anschließend wird die zeitliche Änderung der Stromstärke in einem Leiter betrachtet, welche ein Magnetfeld induziert, wobei die Stromstärke als zweite Messgröße verwendet wird. Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses führt zum Faradayschen Induktionsgesetz. Den magnetischen Fluss durch eine Fläche erhält man über die Integration der magnetischen Flussdichte über diese Fläche (1). Nach dem Induktionsgesetz wird aufgrund der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses die Spannung induziert (2). Betrachtet man den Fluss durch die von einer Leiterschleife geschlossene (1) 2 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved P

3 Fläche, folgt für die induzierte Spannung das Integral des elektrischen Feldes entlang dem Rand der Fläche : in der Leiterschleife Diese Beziehung für eine einzelne Leiterschleife entspricht der zweiten Maxwell-Gleichung. Für parallele Leiterschleifen gilt Gleichung (3), falls für alle Schleifen gleich ist: Hiermit ergibt sich ein Zusammenhang zwischen der induzierten Spannung und der Windungszahl. Weiter muss die rechte Seite von Gleichung (3) bestimmt werden. Hierzu betrachtet man eine lange Spule, in welcher die magnetische Flussdichte als konstant angenommen werden kann, sodass Gleichung (1) wie folgt vereinfacht werden kann: Anwendung der ersten Maxwell-Gleichung liefert einen Ausdruck für, welcher nur von Messgrößen und Naturkonstanten abhängt. Die erste Maxwell-Gleichung (5) besagt, dass ein stromdurchflossener Leiter ein magnetisches Feld erzeugt, dessen geschlossene Feldlinien kreisförmig um den Stromfluss verlaufen: Hier ist die magnetische Permeabilität (eine Materialkonstante) und ist die Leiterschleife, welche von der magnetischen Flussdichte der Feldspule durchdrungen wird und die Fläche umschließt. In der Feldspule fließt ein Strom, welcher sich aus der Integration der Leiterschleifenfläche über die Stromdichte ergibt, d. h.. Für eine lange Spule mit Windungen kann der Betrag von über die folgende Gleichung genähert werden: Dabei ist die Länge der Spule, welche wesentlich größer als ihr Durchmesser sein muss. In Luft kann mit der magnetischen Feldkonstanten genähert werden: (2) (3) (4) (5) (6). (7) Fließt durch die Feldspule ein Wechselstrom mit der Frequenz, so ergibt sich aus Gleichung (6) für die magnetische Flussdichte in der Feldspule eine Funktion der Zeit, welche in Phase zur Stromstärke oszilliert: Die induzierte Spannung berechnet sich, indem man Gleichung (6) auf die Gleichungen (3) und (4) anwendet. Ausführen der zeitlichen Ableitung ergibt den folgenden Zusammenhang für die induzierte Spannung: (8), (9) mit für die Windungszahl der Induktionsspule und für ihre Querschnittsfläche. Die induzierte Spannung alterniert mit derselben Frequenz wie die Stromstärke, ist jedoch phasenverschoben um. P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 3

4 Magnetische Induktion Auswertung und Ergebnisse In der folgenden Auswertung werden die erhaltenen Messwerte anhand von Beispielwerten beschrieben. Die tatsächlichen Messwerte können von den hier beschriebenen abweichen. Aufgabe 1: Messung der induzierten Spannung als Funktion der Stromstärke durch die Feldspule bei einer Frequenz von 10,7 khz und Berechnung der magnetischen Feldkonstanten. Um das Magnetfeld zu verändern, muss der Strom durch die Feldspule variiert werden. Sind Strom und Spannung bekannt, so kann man aus Gleichung (6) die magnetische Permeabilität ermitteln. Da in diesem Versuch jedoch die magnetische Flussdichte nicht gemessen wird, muss die Permeabilität auf einem anderen Weg bestimmt werden. Dazu wird Gleichung (9) herangezogen. Wie sich leicht zeigen lässt (siehe Gleichung (10)), ergibt sich aus der Steigung in der linearen Abhängigkeit der induzierten Spannung von der Stromstärke die magnetische Feldkonstante. Werden Strom und Spannung immer in Intervallen von einer Periode zeitliche Abhängigkeit vernachlässigt werden. Einsetzen in Gleichung (10) ergibt (10), (11) gemessen, kann die da die Cosinus-Funktion einen Wert von 1 liefert. Mit Gleichung (11) ergeben sich alle weiteren Beiträge zur Steigung aus den spezifischen Eigenschaften der verwendeten Spule und die magnetische Feldkonstante kann so berechnet werden. Anpassen einer linearen Funktion an die Messdaten (siehe Abb. 2) führt zu Gleichung (12) mit dem Korrelationskoeffizienten. (12) Abb. 2: Der Graph zeigt die in der Induktionsspule induzierte Spannung für verschiedene Stromstärken in der Feldspule. Diese Abhängigkeit ist linear und folgt der Beziehung (12). 4 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved P

5 Weiter ist in Abb. 2 zu sehen, dass die gemessenen Werte für sehr kleine Felder von den erwarteten Werten abweichen und die induzierte Spannung Richtung Null abfällt. Für alle Stromstärken oberhalb von 3 ma ist die Abhängigkeit jedoch linear und die experimentellen Ergebnisse sind in guter Übereinstimmung mit Gleichung (12). Für die Steigung ergibt sich aus (11) und (12):. Aus den Messdaten lässt sich die magnetische Feldkonstante berechnen zu derselben Größenordnung ist wie der Literaturwert., was in Aufgabe 2: Messung der induzierten Spannung als Funktion der Frequenz des Magnetfeldes bei konstanter Stromstärke. Wie in Gleichung (11) zu sehen ist, hängt die induzierte Spannung lineare sowohl von der Frequenz des Magnetfeldes als auch von dem Stromfluss durch die Feldspule ab. Die Messungen wurden bei einer Stromstärke von 30 ma durchgeführt, was einer Feldstärke von ca. 18,3 in der Feldspule entspricht. Anpassen einer Geraden an die Messdaten (siehe Abb. 3) ergibt Gleichung (13) mit dem Korrelationskoeffizienten und einer Steigung. Berechnet man die Geradensteigung aus den bekannten Werten für die Feldspule, die verwendete Induktionsspule und die Stromstärke, so ergibt sich ein theoretischer Wert für die Steigung mit, welcher innerhalb der Fehlertoleranzen liegt. (13) Abb. 3: Der Graph zeigt die induzierte Spannung für verschiedene Frequenzen bei einer Feldstärke von 18 µt in der Feldspule (blau). Diese Abhängigkeit folgt der Beziehung (13). Die rote Linie zeigt die erwarteten theoretischen Werte. P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 5

6 Magnetische Induktion Aufgabe 3: Messung der induzierten Spannung als Funktion der Windungszahl der Induktionsspule bei konstanter Frequenz und Stromstärke. Die Messungen wurden bei 10.7 khz und 30 ma durchgeführt. Alle Induktionsspulen mit Durchmessern von 26 mm und 41 mm wurden untersucht. Anpassen einer Geraden an die Messdaten der Spulen mit Durchmessern von in Abb. 4 liefert Gleichung (14),, (14) mit dem Korrelationskoeffizienten. Abb. 5 zeigt, dass sich für größere Durchmesser auch wesentlich größere Induktionsspannungen ergeben. Anpassen einer Geraden an die Messdaten der Spulen mit Durchmessern von ergibt Gleichung (15) mit einem etwas besseren Korrelationskoeffizienten. (15) Abb. 4: Induzierte Spannung in verschiedenen Spulen mit einem Durchmesser von 26 mm gemäß Beziehung (14). Abb. 5: Induzierte Spannung in verschiedenen Spulen mit einem Durchmesser von 41 mm gemäß Beziehung (15). 6 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved P

7 Aufgabe 4: Messung der induzierten Spannung als Funktion des Querschnitts der Induktionsspule bei konstanter Frequenz und Stromstärke. Die Querschnittsfläche ist runde Fläche, die von der Spule umschlossen wird. Mit Gleichung (16) berechnet sich die Querschnittsfläche aus dem jeweiligen Spulendurchmesser:. (16) Die Messungen wurden bei 10,7 khz und 30 ma durchgeführt. Alle Induktionsspulen mit 300 Windungen wurden untersucht. Abb. 6 zeigt die erhaltenen Messwerte, an die die Gerade aus Gleichung (17) angepasst wurde. Der Korrelationskoeffizient ist mit sehr hoch. (17) Abb. 6: Induzierte Spannung für verschiedene Spulen mit 300 Windungen. Die Abhängigkeit vom Spulen-Querschnitt folgt der Beziehung (17). P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 7

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