Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie. Teil 2: Spiele in Normalform

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1 Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie Teil 2: Spiele in Normalform Dr. Thomas Krieger Wintertrimester 2009 Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 1

2 Inhaltliche Motivation Es gibt Konfliktsituationen, in denen die Spieler ihre Strategien unabhängig voneinander ( simultan ) wählen, z.b. bei der Frage, wieviel eine Firma produzieren soll, oder welche Fahrtroute auszuwählen ist. Die Spieler können ihre Strategienwahl zu verschiedenen Zeitpunkten vornehmen. Wichtig ist, dass sie zum Zeitpunkt ihrer eigenen Wahl die Strategienwahl der übrigen Spieler nicht kennen (anderfalls muss die Konfliktsituation mittels extensiven Spielen modelliert werden). Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 2

3 Definition Normalformspiel Definition 9 Ein Spiel in Normalform G = (N, (S 1,..., S n ), (u 1,..., u n )) besteht aus einer nichtleeren Menge N = { 1, 2,..., n } von Spielern, einer nichtleeren Menge S i von Strategien für jeden Spieler i N einer Auszahlungsfunktion u i : i N S i R für jeden Spieler i N. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 3

4 Bemerkungen zur Definition S = S 1 S 2... S n ist die Menge der (zulässigen) Strategienkombinationen (s 1,..., s n ). s i S i heisst auch reine Strategie für Spieler i (im Gegensatz zu gemischten Strategien, siehe später). u i (s) gibt die Auszahlung an Spieler i bei der Wahl der Strategienkombination s = (s 1,..., s n ) an. s = (s 1,..., s n ) wird im Folgenden oft zerlegt in s i - Strategie von Spieler i, s i := (s 1,..., s i 1, s i+1,..., s n ) - Strategien aller übrigen Spieler ausser i. Bearbeiten Sie Aufgabe 1-4 des Übungsblattes 2. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 4

5 Das Nash-Gleichgewicht Definition 10 Es sei G = (N, (S 1,..., S n ), (u 1,..., u n )) ein Spiel in Normalform. Eine Strategienkombination (s 1,..., s n) S heisst Nash-Gleichgewicht von G, wenn für alle i N alle s i S i gilt: u i (s i, s i) u i (s i, s i). In Worten: kein Spieler i kann durch einseitiges Abweichen von si seine Auszahlung verbessern. Die Komponente si eines Gleichgewichtspunktes (s1,..., s n) heisst Gleichgewichtsstrategie des Spielers i. Bemerkung: Die obige Ungleichung muss entsprechend angepasst werden, wenn Spieler ihre Auszahlung minimieren wollen. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 5

6 Axiomatische Charakterisierung von Nash-Gleichgewichten (1) Axiome Optimalität (O): Auf seine Erwartung s i e S i über das Verhalten seiner Mitspieler reagiert Spieler i (i = 1,..., n) optimal, d.h., er wählt ein si S i mit u i (s i, s e i) u i (s i, s e i) für alle s i S i. Rationale Erwartung (RE): Für alle Spieler i (i = 1,..., n) seien die Erwartungen rational, d.h., wenn s = (s 1,..., s n) S gespielt wird, erwartet jeder Spieler i die Konstellation s e i = s i. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 6

7 Axiomatische Charakterisierung von Nash-Gleichgewichten (2) Es sei G ein Normalformspiel. Ein Lösungskonzept L wählt aus dem Strategienraum S eine Teilmenge von Strategienkombinationen aus: L(G) S. Lemma 11 Ist s ein Nash-Gleichgewicht eines Normalformspiels G gilt Eigenschaften (RE), dann gilt auch (O). Jedes Element einer Lösungsmenge L(G), das die Bedingungen (O) (RE) erfüllt, ist ein Nash-Gleichgewicht. = Beweis siehe Tafel. Bearbeiten Sie Aufgabe 1 2 des Übungsblattes 3. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 7

8 Der Satz von Nikaido-Isoda (1955) Theorem (Nikaido-Isoda, 1955) Es sei G = (N, (S 1,..., S n ), (u 1,..., u n )) ein Spiel in Normalform, welches die folgenden Bedingungen erfüllt: S i ist eine kompakte konvexe Teilmenge eines R n i, 1 i n. u i : S 1 S 2... S n R 1 ist stetig, 1 i n. Für jedes i {1,..., n} fest gewählte Strategien s j S j, j {1,..., n} \ {i}, ist u i (s 1,..., s i 1,., s i+1,..., s n ) : S i R 1 konkav. Dann besitzt G mindestens ein Nash-Gleichgewicht. = Beweis siehe extra Foliensatz. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 8