Anwendungen des Fréchet-Abstandes Das Constrained Free Space Diagram zur Analyse von Körperbewegungen

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1 Anwendungen des Fréchet-Abstandes Das Constrained Free Space Diagram zur Analyse von Körperbewegungen David Knötel Freie Universität Berlin, Institut für Informatik Seminar über Algorithmen

2 Leitfaden Wiederholung Constrained Free Space Diagram Following Behind Single File Movement Evaluation der Daten Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

3 Leitfaden Wiederholung Constrained Free Space Diagram Following Behind Single File Movement Evaluation der Daten Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

4 Wiederholung Gesucht: Sinnvolles Maß für den Abstand zweier Kurven f : [a 1, b 1 ] R n und g : [a 2, b 2 ] R n Lösung: Einführung des Fréchet-Abstandes Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

5 Definition Seien f : I = [a 1, b 1 ] R n und g : J = [a 2, b 2 ] R n zwei Kurven. Dann ist der Fréchet-Abstand definiert als δ F (f, g) = inf max f (α(t)) g(β(t)) α:[0,1] I t [0,1] β:[0,1] J mit α(0) = a 1, α(1) = b 1, β(0) = a 2, β(1) = b 2 und α, β sind stetig, monoton steigend. Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

6 Vereinfachung Statt beliebiger Kurven werden Polygonzüge betrachtet. f ist Kurve mit p Punkten p 1,..., p p, so dass f : [1, p] R n mit f (1) = p 1,..., f (p) = p p gilt und dazwischen linear interpoliert wird g ist Kurve mit q Punkten q 1,..., q q, so dass f : [1, q] R n mit g(1) = q 1,..., g(q) = q q gilt und dazwischen linear interpoliert wird Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

7 Free Space Diagram Entscheidungsproblem: Ist der Fréchet-Abstand zweier Kurven kleiner gleich einem gegebenen ε? Lösung mit Hilfe des Free Space Diagram Definition: F ε (f, g) = {(s, t) [1, p] [1, q] : f (s) g(t) ε} Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

8 Free Space Diagram Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

9 Free Space Diagram Der Fréchet-Abstand zweier Kurven ist kleiner gleich ε gdw. ein monoton steigender Weg durch den Free Space von (1,1) nach (p,q) existiert. Der Fréchet-Abstand zweier Kurven ist kleiner gleich ε gdw. der Punkt (p,q) Element des entsprechenden Reachable Free Space ist. Laufzeit für Entscheidungsproblem: O(p q) Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

10 Leitfaden Wiederholung Constrained Free Space Diagram Following Behind Single File Movement Evaluation der Daten Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

11 Erweiterte Aufgabenstellung Jetzt: Bewegungen von Objekten im Verlauf der Zeit analysieren, d.h. automatisiert Muster in Bewegungen erkennen Beispiele: Folgen die Objekte einander? (following behind bzw. single file movement) Gibt es ein einzelnes führendes Objekt? (leadership) Bewegen sie sich als Gruppe? (flock) Gibt es Orte, die häufig wieder besucht werden? (popular places) verschiedenes Terrain beachten Mindestgeschwindigkeit der Körper vorschreiben Definitionsbereich entspricht der Zeit, Wertebereich der Position des Objektes Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

12 Genaue Problemstellung Statt beliebiger Kurven werden wieder Polygonzüge betrachtet. f ist eine Kurve, die sich zu den Zeitpunkten s 1,..., s p an den Orten p 1,..., p p befindet. Es gilt demnach f (s 1 ) = p 1,..., f (s p ) = p p. Dazwischen wird linear interpoliert. g ist eine Kurve, die sich zu den Zeitpunkten t 1,..., t q an den Orten q 1,..., q q befindet. Es gilt demnach g(t 1 ) = q 1,..., g(t q ) = q q. Dazwischen wird linear interpoliert. Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

13 Definition Idee: Erweiterung des Free Space Diagrams um weitere Bedingungen/Constraints Definition des Constraint Free Space Diagram: F C (f, g) = {(s, t) [s 1, s p ] [t 1, t q ] : C((f (s), A f (s)), (g(t), A g (t)))} mit einer Prädikatsfunktion C und Attributmengen A f, A g. Free Space Diagram ist ein Beispiel für ein Constraint Free Space Diagram: F ε (f, g) = {(s, t) [1, p] [1, q] : f (s) g(t) ε} Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

14 Free Space Diagram Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

15 Constraints Typ 1: Direkt die Wertepaare betreffend Zeitconstraints Ortsconstraints Sonstige Attribute Typ 2: Den Weg durch das Diagramm betreffend Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

16 Algorithmus / Laufzeit Feststellung: Algorithmus/Laufzeit ist abhängig von der Wahl der Constraints Zentrale Fragen: Wie zeitaufwendig ist die Berechnung für 2 Punkte? Kann der bekannte Algorithmus wie beim Free Space Diagram genutzt werden? Ziel: Weiterverwendung des bisherigen Algorithmus über dem Free Space Diagram, d.h. Zelleninhalte müssen konvex sein. Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

17 Beispiel 1: Anderes Abstandsmaß Sichtbarkeit als Abstandskriterium, entspricht Ortsconstraint Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

18 Beispiel 2: ähnliche Geschwindigkeit erlaubte Steigung des Pfades wird eingeschränkt, entspricht Typ 2 Constraint Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

19 Leitfaden Wiederholung Constrained Free Space Diagram Following Behind Single File Movement Evaluation der Daten Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

20 Einführung Idee: Körper A folgt Körper B bedeutet, dass sich Körper A etwas zeitverzögert in der Nähe von Körper B befindet zeitverzögert Zeitconstraint in der Nähe von Ortsconstraint Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

21 Definition Sei a 1 ein Körper mit parametrisierter Kurve f 1 über dem Zeitintervall [s 1, t 2 ] und sei a 2 ein Körper mit parametrisierter Kurve f 2 über dem Zeitintervall [s 1, t 2 ]. Weiterhin sei s 2 [s 1 + τ min, s 1 + τ max ] und t 2 [t 1 + τ min, t 1 + τ max ]. Dann folgt Körper a 1 dem Körper a 2 über dem Zeitintervall [s 2, t 2 ], wenn t [s 2, t 2 ] : σ(t) [t τ max, t τ min ] d(f 1 (t), f 2 (σ(t)) δ mit einer stetigen, bijektiven Funktion σ : [s 2, t 2 ] [s 1, t 1 ] mit σ(s 2 ) = s 1. Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

22 Constraint free space diagram Umformulierung des Problems in ein Constraint Free Space Diagram: F C (f 1, f 2 ) = {(s, t) s t [τ min, τ max ] d(f 1 (s), f 2 (t)) δ} Welche Constraints wurden gesetzt? Ein Zeitconstraint Ein Ortsconstraint Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

23 Bild Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

24 Satz Körper a 1 auf Kurve f 1 folgt Körper a 2 auf Kurve f 2 im Zeitintervall [s 2, t 2 ], gdw. das Constrained Free Space Diagram F C (f 1, f 2 ) = {(s, t) s t [τ min, τ max ] d(f 1 (s), f 2 (t)) δ} einen monoton steigenden Pfad von (s 2, s 1 ) nach (t 2, t 1 ) enthält. Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

25 Laufzeit des Algorithmus Laufzeit: O(n k) mit k ist die Anzahl der Spalten, die vom Streifen berührt werden und jeweils n Stützpunkten pro Kurve Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

26 Wahl der Parameter, striktes Folgen Wahl der passenden Parameter τ min, τ max und δ ist äußerst wichtig bei schlechter Parameterwahl kann es passieren, dass zwei Körper sich gegenseitig folgen Definition: Körper a 1 folgt Körper a 2 strikt, gdw. a 1 a 2 folgt, aber nicht a 2 a 1 folgt. Definition: Ein Körper a mit parametrisierter Kurve f erfüllt die travel condition im Zeitintervall T, gdw. t T : f (t) N 2δ (f ([t 2τ max, t 2τ min ])) mit N α (B) = {x y B : d(x, y) α} Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

27 travel condition Lemma: Wenn a 1 oder a 2 die travel condition erfüllen, dann können sie sich nicht gegenseitig in einem Intervall der Länge τ max folgen. Beweis: Angenommen es existiert ein t T, so dass a 1 und a 2 sich gegenseitig im Zeitintervall [t, t + τ max ] folgen und a 1 erfüllt die travel condition. Dann gilt: f 1 (t + τ max ) N δ (f 2 [t, t + τ max τ min ]) N δ (N δ (f 1 [t τ max, t + τ max 2τ min ])) = N 2δ (f 1 [t + τ max 2τ max, t + τ max 2τ min ]) Widerspruch Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

28 Leitfaden Wiederholung Constrained Free Space Diagram Following Behind Single File Movement Evaluation der Daten Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

29 Einführung Ziel: Finden von following behind Strukturen in den Bewegungen von m Körpern a 1,..., a m Verschiedene Arten feste Zeitspanne oder variable Zeitspanne feste Reihenfolge oder variable Reihenfolge die ganze Menge oder eine Teilmenge Algorithmen auf m Körpern benutzen following-algorithmus auf zwei Körpern Polygonzüge bestehen ab jetzt immer aus n Punkten Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

30 Zwei Körper: feste Zeitspanne Laufzeit: O(n k) Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

31 Zwei Körper: variable Zeitspanne Laufzeit: O(n k 2 ) Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

32 m Körper: feste Zeitspanne, feste Reihenfolge, keine Teilmenge Ziel: Testen, ob a 1 a 2 a 3 a m, wobei a 1 a 2 bedeutet, dass a 1 a 2 folgt Teste jeweils zwei Nachbarn miteinander auf following Laufzeit: O(m nk) Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

33 m Körper: feste Zeitspanne, variable Reihenfolge, mit Teilmengen alle Kombinationen untereinander sind möglich Laufzeit für Aufbau des Graphen: O(m 2 nk) Laufzeit um längste Wege zu finden: O(m 2 ) Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

34 m Körper: variable Zeitspanne, variable Reihenfolge, mit Teilmengen alle Kombinationen untereinander sind möglich; außerdem verschiedene Zeiträume Laufzeit für Aufbau des Graphen: O(m 2 nk 2 ) Laufzeit um längste Wege in bestimmtem Zeitintervall zu finden: O(m 2 ) Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

35 Zusammenfassung der Laufzeiten 2 Körper, feste Zeitspanne: 2 Körper, variable Zeitspanne: O(n k) O(nk 2 ) m Körper, feste Zeitspanne, feste Reihenfolge, keine Teilmenge: O(m nk) m Körper, feste Zeitspanne, variable Reihenfolge, mit Teilmengen: O(m 2 nk) m Körper, variable Zeitspanne, variable Reihenfolge, mit Teilmengen: O(m 2 nk 2 ) Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

36 Leitfaden Wiederholung Constrained Free Space Diagram Following Behind Single File Movement Evaluation der Daten Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

37 Evaluation der Daten Fokussierung auf Bewegung von zwei Körpern Test 1: Bewegung von zwei Fahrradfahrern Test 2: künstlicher Datensatz Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

38 Evaluation: Bewegung von zwei Fahrradfahrern Abbildung: Bewegung von zwei Fahrradfahrern Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

39 Evaluation: Bewegung von zwei Fahrradfahrern τ min δ ,3 94,3 97,1 99,3 99,5 99, ,3 64,1 55,6 48,0 44,3 37,6 30,3 80,7 90,0 94,0 96,7 98,0 99,3 99,5 91,4 79,3 65,2 59,4 54,4 45,2 39,8 72,4 83,9 89,5 92,1 93,6 96,8 98,1 97,6 92,0 85,5 73,3 63,9 57,1 50,8 58,7 71,3 81,0 85,6 90,1 92,4 93,7 99,3 95,0 92,0 89,4 83,4 69,0 61,5 34,7 56,2 67,2 74,8 82,1 85,7 90,9 99,7 96,5 95,2 92,3 91,7 88,7 77,5 14,4 31,3 42,6 58,8 68,1 75,1 83,2 98,3 96,9 96,7 95,8 93,2 92,5 90,1 Tabelle: τ max = 10 Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

40 Danke Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit. Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

41 Quellen Buchin, Kevin ; Buchin, Maike ; Gudmundsson, Joachim: Constrained free space diagrams: a tool for trajectory analysis. In: International Journal of Geographical Infformation Science 24 (2010), Alt, Helmut ; Godau, Michael: Computing the Fréchet distance between two polygonal curves. In: International Journal of Computational Geometry and Applications 5 (1995), Anwendungen des Fréchet-Abstandes,

42 Bildquellen alle Abbildungen sind dem Paper Constrained free space diagrams: a tool for trajectory analysis entnommen, siehe Quellen Anwendungen des Fréchet-Abstandes,