Hochauflösende Spektralschätzung und Prädiktionsverfahren

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1 Tutorium Hochauflösende Spektralschätzung und Prädiktionsverfahren URL: wwwsiartde/ lehre/ spektralschaetzungpdf Uwe Siart 28 Januar 2013(Version 124)

2 Inhaltsverzeichnis 2 Inhaltsverzeichnis 1 Parameterschätzung 4 2 Klassische Spektralschätzung 6 21 Autokorrelationsfolge (AKF) 6 22 Korrelogramm 8 23 Fensterung derakf(blackman-tukey) 9 24 Periodogramm (auch: direkte Methode) Mittelung von Periodogrammen (Bartlett) Mittelung von Periodogrammen mit Fensterung und Überlappung (Welch) Kombination Periodogramm-Korrelogramm Maximum-Entropy-Spektrum 14 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) Direkte Strukturen diskreter Filter Strukturen von AR-,MA- undarma-modellsystemen Übertragungsfunktionen unddifferenzengleichungen Bestimmung derar-parameter Kovarianzverfahren zurvorwärtsprädiktion 21 URL:

3 Inhaltsverzeichnis 3 36 DasProny-Verfahren Dasursprüngliche Prony-Verfahren DasKleinste-Quadrate-Prony-Verfahren Spektrale Interpretation Vorgehen bei bekannten Frequenzen 40 4 Hochauflösende Schätzverfahren(nichtparametrisch) DerMUSIC-Algorithmus Interpolation fehlenderfolgenglieder(lsar) 46 URL:

4 1 Parameterschätzung 4 1 Parameterschätzung Begriffe Unbekannte Parameter (dazu gehören zum Beispiel auch Abtastwerte der spektralen Leistungsdichte) können aus einer Messung(Beobachtung mit endlicher Dauer) im Allgemeinen nicht berechnet sondern nur geschätzt werden Ein Schätzverfahren wird beurteilt nach dem Mittelwert und der Varianz seiner Schätzergebnisse Ein Schätzer, dessen Mittelwert mit dem wahren Wert des Parametervektors übereinstimmt, heißt erwartungstreu (kein systematischer Fehler, engl: unbiased) Ein Schätzer, der für zunehmende Fensterlänge(Messzeit, Probengröße) gegen den wahren Wert des Parametervektors konvergiert, heißt konsistent Es gibt eine informationstheoretische untere Schranke für die Varianz einer Schätzung (zum Beispiel nach Cramér-Rao) Ein erwartungstreuer Schätzer, der diese Schranke erreicht, heißt effizient Wenn er diese Schranke mit zunehmender Fensterlänge anstrebt, heißt er asymptotisch effizient URL:

5 1 Parameterschätzung 5 Übersicht Spektralschätzverfahren Klasse Modell Verfahren Klassisch Korrelogramm Blackman-Tukey Periodogramm Bartlett-Periodogramm Welch-Periodogramm Maximum-Entropy-Methode Parametrisch AR Kovarianzverfahren Mod Kovarianzverfahren Burg-Algorithmus Yule-Walker MA All-Zero-Prozess ARMA Mod Yule-Walker e-funktionen Prony sin-funktionen Pisarenko-Zerlegung + Rauschen Nicht-Parametrisch MUSIC-Eigenanalyse EV-Eigenanalyse URL:

6 2 Klassische Spektralschätzung 6 2 KlassischeSpektralschätzung 21 Autokorrelationsfolge (AKF) Exakte Darstellung der AKF r xx [k]=e { x[n+k]x [n] } Schätzung der AKF ˆr xx [k]= 1 N k 1 N k N k 1 n=0 N k 1 n=0 x[n+k]x [n] für 0 k N 1 x[n+ k ]x [n] für (N 1) k< 0 URL:

7 2 Klassische Spektralschätzung 7 Autokorrelationsfolge (AKF) Eigenschaften der Schätzung erwartungstreue SchätzungE{ˆr xx [k]}=r xx [k] Varianz steigt mit zunehmendem Index k, weil die Länge der Mittelung abnimmt Varianz strebt mit zunehmender Datenlänge N gegen 0 Es handelt sich um eine konsistente Schätzung der AKF URL:

8 2 Klassische Spektralschätzung 8 22 Korrelogramm Exakte Darstellung des Leistungsdichtespektrums (LDS) P xx (f )=T r xx [k]e j2πfkt (Wiener-Khintchine-Theorem) Korrelogramm ˆP xx (f )=T k= L k= L ˆr xx [k]e j2πfkt r xx [k] istkonjugiert gerade P xx (f ) istreinreell L N/10 (N: Länge der Datenfolge), wegen der sonst zunehmenden Varianz der AKF- Schätzung URL:

9 2 Klassische Spektralschätzung 9 23 Fensterung der AKF(Blackman-Tukey) Schätzung des LDS ˆP BT (f )=T L k= L w[k]ˆr xx [k]e j2πfkt Erwartungswert E {ˆP BT (f ) } =T L k= L w[k]r xx [k]e j2πfkt = P xx (f ) W(f ) Zeitfenster mit BereichenW(f )< 0 erzeugen negative Werte fürp(f ) kein Rechteckfenster ˆP BT (f ) istmit zunehmendeml asymptotisch erwartungstreu Standardabweichung kleiner als ein Drittel des Mittelwertes URL:

10 Durchfehlende Erwartungswertbildungstatistisch instabil 2 Klassische Spektralschätzung Periodogramm (auch: direkte Methode) Exakte Darstellung des LDS P xx (f )= lim E 1 N N (2N+1)T T k= Nx[k]e j2πfkt 2 Weglassen von E{ } und endlich lange Datenfolge führt auf die Schätzung ˆP xx (f )= T N N 1 2 x[k]e j2πfkt k=0 Ensemble-Mittelwert URL:

11 Gleiche Fenstereffekte, wie Einzelperiodogramme 2 Klassische Spektralschätzung Mittelung von Periodogrammen (Bartlett) Algorithmus Aufteilung der Datenfolge in nichtüberlappende Segmente Berechnung desperiodogramms ˆP xx (f ) für jedessegment(zumbeispiel mitfft) Mittelung der unmodifizierten Einzelperiodogramme an jedem Frequenzpunkt Bartlett-Periodogramm Eigenschaften var{ˆp B (f )} P xx 2 (f ) Anzahl der Segmente Trade-off zwischen kleiner Varianz und hoher f-auflösung URL:

12 2 Klassische Spektralschätzung Mittelung von Periodogrammen mit Fensterung und Überlappung (Welch) Algorithmus Wie Bartlett, aber Fensterfunktion über jedes Segment(Welch: Hann-Fenster) Überlappung der Segmente zulässig Was ist dadurch gewonnen? Fensterung reduziert Nebenkeulen bei Spektren mit großer Dynamik, vermindert aber etwas das Auflösungsvermögen Durch Überlappung werden mehr Segmente gemittelt kleinere Varianz Bei 50%-iger Überlappung ist eine effiziente Implementierung mit Hilfe des FFT-Algorithmus möglich URL:

13 2 Klassische Spektralschätzung KombinationPeriodogramm-Korrelogramm Algorithmus Berechne Bartlett-Periodogramm (keine Überlappung, Rechteckfenster) Inverse FFT des Periodogramms (Schätzung der AKF) Fensterung der geschätzten AKF FFT ergibt Schätzung für die spektrale Leistungsdichte Was ist dadurch gewonnen? Gleiche statistische Eigenschaften wie Welch-Verfahren, aber halber Rechenaufwand (nur halb soviele Segmente müssen fouriertransformiert werden, keine Multiplikationen für eine Fensterung der Segmente) URL:

14 2 Klassische Spektralschätzung Maximum-Entropy-Spektrum Die Maximum-Entropy-Methode (MEM) vermeidet unrealistische Annahmen wie periodische Fortsetzung(diskrete Fourier-Transformation durch FFT) oder verschwindende Daten außerhalb des Beobachtungsfensters (Blackman-Tukey) Die MEM bestimmt das LDS des statistischen Prozesses mit der größten Informationsdichte, dessen AKF mit der gemessenen AKF im Beobachtungszeitraum übereinstimmt Bei Modellierung eines stationären Prozesses sind das AR-Spektrum (Modellordnung M) und das MEM-Spektrum (Prädiktorlänge M) völlig äquivalent URL:

15 a 0 a 1 a 2 a n 2 a n 1 1Struktur 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 15 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 31 Direkte Strukturen diskreter Filter V(z) b 0 b 1 b 2 b n 2 b n 1 b n z 1 z 1 z 1 z 1 Y(z) URL:

16 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 16 Y(z) V(z) b n b n 1 b n 2 z 1 z 1 z 1 z 1 b 0 b 2 b 1 a n 1 a n 2 a 2 a 1 a 0 2Struktur H(z)= m µ=0 n ν=0 b µ z µ a ν z ν =b m m (z z 0µ ) µ=1 n (z z ν ) ν=1 ; a n = 1 URL:

17 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) Strukturen von AR-, MA- und ARMA-Modellsystemen V(z) 1 b 1 b 2 b n 2 b n 1 b n z 1 z 1 z 1 z 1 Y AR (z) a 0 a 1 a 2 a n 2 a n 1 AR all-pole IIR Y MA (z) V(z) b n b n 1 b n 2 z 1 z 1 z 1 z 1 b 0 a n 1 a n 2 b 2 b 1 a 2 a 1 a 0 MA all-zero FIR tapped-delay-line URL:

18 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 18 V(z) z 1 z 1 z 1 z 1 b 0 b 1 b 2 b n 2 b n 1 b n Y ARMA (z) z 1 z 1 z 1 z 1 ARMA a 0 a 1 a 2 a n 2 a n 1 URL:

19 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) Übertragungsfunktionen und Differenzengleichungen von AR-, MA- und ARMA-Modellsystemen H AR (z)= 1 1+ n ν=1 a ν z ν n y[k]= a ν y[k ν]+v[k] ν=1 H MA (z)= 1+ m b µ z µ µ=1 y[k]= m b µ v[k µ] µ=0 H ARMA (z)= 1+ m µ=1 1+ n ν=1 b µ z µ a ν z ν n y[k]= a ν y[k ν]+ ν=1 m b µ v[k µ] µ=0 URL:

20 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) Bestimmung der AR-Parameter Yule-Walker-Gleichung r xx [0] rxx [1] r xx [m 1] r xx [1] r xx [0] r a 1 xx[m 2] a 2 r xx [1] r = xx [2] r xx [m 1] r xx [m 2] r xx [0] a m r xx [m] m σ 2 w =r xx [0]+ a k rxx[k] k=1 r xx [0] rxx [1] r xx [m] r xx [1] r xx [0] r 1 xx[m 1] a 1 = r xx [m] r xx [m 1] r xx [0] a m Levinson-Durbin-Rekursion Algorithmus zur effizienten Lösung von Gleichungssystemen in Töplitz-Form σ w URL:

21 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) Kovarianzverfahren zur Vorwärtsprädiktion Vorwärtsprädiktion (VP) und AR-Modell sind eng verwandt: WGN AR-Modell ˆx[k] m ˆx[n]= a k x[n k] k=1 x[k] Prädiktor e[k] m x[n]= a k x[n k]+e[n] k=1 Unterschiede AR VP AR-Filter VP-Filter Eingang weißes Rauschen x[n] Ausgang ˆx[n] e[n] URL:

22 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 22 Kovarianzverfahren zur Vorwärtsprädiktion DasAR-Modell istein rekursives Filtermit denkoeffizientena k DerPrädiktoristein MA-Filtermit denkoeffizienten a k AR-Modell und Vorwärtsprädiktion sind zueinander komplementär Die Koeffizientena m, welche die Leistung des Prädiktionsfehlers minimieren, erhält man als Lösung von r xx [0] rxx [1] r xx [m] r xx [1] r xx [0] r 1 xx[m 1] a 1 r xx [m] r xx [m 1] r xx [0] a m = ϱ min 0 0 URL:

23 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) Das Prony-Verfahren Zur Person Baron de Pronys Gaspard de Prony ( 22 Juli 1755, 29 Juli 1839), Familienname Riche, 1780 Ingenieur und 1790 Chefingenieur an der Ecole des Ponts et Chaussées, Zusammenarbeit unter Anderem mit Legendre und Carnot Ursprung des Verfahrens Gesetze zur Ausdehnung von Gasen können durch Linearkombinationen von(reellen abklingenden) e-funktionen modelliert werden Prony entwickelte ein Verfahren um N Messpunkte durch e- Funktionen exakt zu beschreiben Dabei waren soviele e-terme zugelassen, wie für die exakte Lösung nötig waren URL:

24 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 24 Das Prony-Verfahren Moderne Varianten Verwendung von e-funktionen mit komplexen Exponenten (harmonische Funktionen mit und ohne Dämpfung) In der Regel deutlich mehr Abtastwerte als Exponentialterme spektrale Interpretation Unterschiede zu anderen Verfahren Periodogramm und DFT verwenden vorgegebene Frequenzen AR, MA und ARMA verwenden statistische Modelle Das Prony-Verfahren schätzt die Frequenzen URL:

25 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 25 Das Prony-Verfahren Die Datenfolge x[n] soll durch ˆx[n] = p n 1 h k z k k=1 modelliert werden,wobei mitω k =ω k T z k = e (α kt+jω k ) h k =A k e jφ k die komplexen Schwingungen und deren komplexe Amplituden darstellen Kriterium für die Güte der Modellierung ist die gesamte quadratische Abweichung N ϱ= x[n] ˆx[n] 2, n=1 die zu minimieren ist URL:

26 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 26 Das Prony-Verfahren Schwierigkeiten hoch nichtlineares Problem keine analytische Lösung möglich Iterationsverfahren(Gradientenverfahren, Newtoniteration) sind sehr rechenaufwendig und/oder finden nicht das globale Fehlerminimum Das Prony-Verfahren verwendet lineare Gleichungssysteme Die Minimierung der quadratischen Abweichung ϱ ist dafür nicht ganz optimal URL:

27 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 27 Das Prony-Verfahren Varianten Prony-Verfahren Eswerden2p komplexeparameter(h 1,,h p undz 1,,z p )verwendet,um2p komplexe Abtastwerte (x[1],,x[2p])exakt zumodellieren Kleinste-Quadrate-Prony-Verfahren Wenn die Anzahl N der Abtastwerte größer ist, als die Anzahl 2p der Parameter, dann können die Abtastwerte durch die Exponentialfolge nur approximiert werden Erweitertes Kleinste-Quadrate-Prony-Verfahren Verwendetungedämpfte Einzelschwingungen(α k = 0 k) Prony-Spektrum Das Prony-Verfahren ist eigentlich kein Spektralschätzverfahren Die Schätzwerte Ω k, φ k,a k undα k könnenaberspektralinterpretiertwerdenverschiedeneannahmenüber das Signal außerhalb des Beobachtungsbereichs führen auf verschiedene Spektren URL:

28 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 28 Das Prony-Verfahren Einzelschritte (bei allen Varianten) 1 Bestimmen derprädiktionsparametera 0,,a p 2 Berechnen der α k und der Ω k aus den Nullstellen z 1,,z p eines Polynoms aus den Prädiktionsparametern 3 Die Lösung eines weiteren linearen Gleichungssystems liefert die Schätzwerte für A k undφ k URL:

29 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) Das ursprüngliche Prony-Verfahren Exakte Darstellung der Datenfolge durch p x[n]= A k e jφk e (α kt+jω k )(n 1) = k=1 Umschreiben in p h k z n 1 k (1) k= z 1 z 2 z p z 1 z 2 z p h 1 h 2 z p 1 p 1 p 1 1 z 2 z p h p = x[1] x[2] x[p] (2) Prony entdeckte ein Verfahren, um die Bestimmung der zeitabhängigen Parameterz k und der zeitunabhängigen Parameterh k zu separieren URL:

30 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 30 Das ursprüngliche Prony-Verfahren Definiere ein Polynom,dessen Nullstellen diez k sind: P(z)= p p (z z k )= a m z p m, a 0 = 1 (3) k=1 m=0 DurchVerschieben desindexin(1)nachn m,multiplikation mita m undsummationergibt sich p p p a m x[n m]= h k a m z n m 1 i, (4) m=0 k=1 m=0 fürp+1 n 2p URL:

31 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 31 Das ursprüngliche Prony-Verfahren DieSubstitutionz k n m 1 =z k n p 1 z k p m ergibt p a m x[n m]= m=0 p p n p 1 h k z k a m z p m k = 0 k=1 m=0 Die rechte Seite entspricht dem Polynom(3), ausgewertet an allen seinen Nullstellen Aus denwertena m,die diesegleichung erfüllen, ergeben sichp Gleichungen: a 1 a 2 x[p] x[p 1] x[1] x[p+1] x[p] x[2] x[2p 1] x[2p 2] x[p] a p x[p+1] x[p+2] = (5) x[2p] URL:

32 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 32 Das ursprüngliche Prony-Verfahren Einzelschritte 1 Löse (5) Koeffizientena m descharakteristischen Polynoms (3) 2 Bestimme die Nullstellenz k des charakteristischen Polynoms (3) α k = ln z k T 1/s f k = arg{z k} 2πT Hz 3 Löse (2) A k = h k φ k = arg{h k } URL:

33 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) Das Kleinste-Quadrate-Prony-Verfahren Problem Wenn mehr Abtastwerte als Parameter vorliegen, kann die Modellierung nur approximativ sein Das vollständige Kleinste-Quadrate-Problem ist extrem nichtlinear und nicht analytisch lösbar Lösung Minimiere zunächstnichtϱ= N n=1 x[n] ˆx[n] 2,sondern den Fehler e[n]= p a m x[n m] m=1 der Vorwärtsprädiktion Das Auffinden der entsprechenden Prädiktionsparameter a m entspricht exakt der Vorwärtsprädiktion nach dem Kovarianzverfahren URL:

34 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 34 Das Kleinste-Quadrate-Prony-Verfahren Entscheidung: Wieviele e-terme sollen verwendet werden? Eigenwertanalyse FPE final prediction error AIC Akaike information criterion MDL minimum description length CAT criterion autoregressive transfer GMV gesunder Menschenverstand (oftmals beste Lösung) URL:

35 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 35 Das Kleinste-Quadrate-Prony-Verfahren DieNullstellen descharakteristischen Polynoms (Koeffizientena m ) ergeben diez 1,,z p DasRestproblem Minimiereϱ istlinearinden verbleibendenparameternh 1,,h p Es wird gelöst durch ( Z H Z ) h=z H x wobei Z= z 1 z 2 z p z N 1 N 1 N 1 1 z 2 z p, h= h 1 h 2 h p, x= x[1] x[2] x[n] URL:

36 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 36 Das Kleinste-Quadrate-Prony-Verfahren Modifikation: keine Dämpfung (α k = 0 z k = 1) ˆx[n] = p ( hk z n 1 k +h k (z k ) n 1) k=1 Charakteristisches Polynom P(z)= 2p (z z k )= 2p k=1 k=0 a k z 2p k mita 0 = 1,a 2p = z k und a 2p = 1 Wegen 1/z k =z k hata 2p z 2p P (z) diegleichen Nullstellen wiep(z),daherista k =a 2p a 2p k Differenzengleichung p x[n p]+ (д p [k]x[n p+k]+д p [k]x[n p k])= 0 k=1 URL:

37 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 37 Das Kleinste-Quadrate-Prony-Verfahren Minimiere nicht den Prädiktionsfehler, sondern ϱ p = N p n=p+1 x[n]+ p ( дp [k]x[n+k]+д p [k]x[n k] ) 2 k=1 Zugehörige Normalgleichung д p [0] r 2p [0,0] r 2p [0,2p] д p [1] 1 r 2p [2p,0] r 2p [2p,2p] д = 0 p 2ϱ p p [1] 0 p д p [p] mitr 2p [j,k]= N ( x [n j]x[n k]+x[n p+j]x [n p+k] ) n=2p+1 URL:

38 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) Spektrale Interpretation Voraussetzung: Annahme über den weiteren Verlauf von ˆx[n], zum Beispiel einseitigunendlich(ˆx[n]=0 n< 0), zweiseitig symmetrisch Zugehörige Z-Transformierte: ˆX 1 (z)= ˆX 2 (z)= p h k 1 z k z 1 p ( ) 1 1 h k 1 z k z 1 1 (z k z) 1 k=1 k=1 Diese konvergieren für z > z k einseitig, zweiseitig Sindferner z k < 1(keineanklingendenTerme),dannergibtdieSubstitutionz= e jω diedft von ˆx URL:

39 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 39 Spektrale Interpretation Prony-Spektrum Ŝ ν (f )= T ˆX ν (e jω ) 2, Ω= 2πfT Eigenschaften ν= 1:geeignetfür transiente Signale ν= 2:deckt auchungedämpfte Schwingungenab Beide Spektren können schmalbandige oder breitbandige Anteile modellieren Starkes Rauschen bedingthohe Schätzfehlerbei denα k (meistviel zugroß) URL:

40 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) Vorgehen bei bekannten Frequenzen Es seienq Frequenzenz 1,,z q bekannt,nicht aberderen Amplituden Das charakteristische Polynom kann zerlegt werden: p m=0a m z m = q k=0 c k z k p q i=0 α i z i Koeffizientenvergleich und Einsetzendera m in (4): p a m x[n m]= m=1 fürp+1 n 2p p m=1 q k=0 c k α m k x[n m]=0 URL:

41 3 Hochauflösende Schätzverfahren(parametrisch) 41 Vorgehen bei bekannten Frequenzen Umstellen ergibt eine Faltung(entspricht Filterung): p q m=0 α m y[n m]=0 mit y[n]= q c k x[n k] k=0 Einzelschritte 1 Originaldatenfiltern, Koeffizientenc k ausden bekanntenpolen 2 Kovarianzverfahren zur Schätzung der α m Die Nullstellen des verkürzten Polynoms αi z i sindschätzwerte für die unbekanntenpole 3 Bestimmen der Schätzwerte für die komplexen Amplituden h k nach der Kleinste-Quadrate-Methode URL:

42 4 Hochauflösende Schätzverfahren(nichtparametrisch) 42 4 Hochauflösende Schätzverfahren(nichtparametrisch) 41 Der MUSIC-Algorithmus AKF desmodellsignals(m komplexe SchwingungeninweißemRauschen mit Varianzσ 2 ): r xx [k]= M P i e jkω i+σ 2 δ 0 [k] ; Ω i =ω i T (6) i=1 Autokorrelationsmatrix (p + 1 Abtastwerte): mit R p = r xx [0] r xx [p] = r xx [p] r xx [0] s i = ( ) 1 e jω i e jpω T i Jedes Vektorprodukts i s i H isteine Matrixmit Rang1 Rang{S p } = M<p+1 Rang{N p }=p+1 M P i s i s H i +σe=s p +N p (7) i=1 URL:

43 4 Hochauflösende Schätzverfahren(nichtparametrisch) 43 Der MUSIC-Algorithmus DieSignalmatrixhatfolglich nurm von Null verschiedene Eigenwerteλ 1,,λ M SignalraumDiezugehörigenEigenvektorenv 1,,v M spannendengleichenraumauf,wie diesignalvektorens 1,,s M Rauschraumv M+1,,v p+1 spannendenrauschraum auf UnitaritätderEigenvektorenDieEigenvektorenderhermiteschenMatrixR p sindpaarweise unitär(konjugiert orthogonal) Die Einheitsmatrix ergibt sich also auch durch E= p+1 H v i v i i=1 unddamitdieeigenwertzerlegung vonr p R p =S p +N p = M (λ i +σ)v i v H i + i=1 p+1 i=m+1 σv i v i H (8) URL:

44 4 Hochauflösende Schätzverfahren(nichtparametrisch) 44 Der MUSIC-Algorithmus Rauschraum-Frequenzschätzung Die Signalvektoren s i sind orthogonal zu jeder Linearkombination aus Basisvektoren des Rauschraumes: p+1 s H i k v k k=m+1α = 0 (9) Skalarprodukte mit gewichteten Linearkombinationen wobei p+1 k=m+1 p+1 α k e H (Ω)v k 2 =e H (Ω) k v k v k=m+1α kh e(ω) e(ω)= ( 1 e jω e jpω) T sindimmer dann0, wenne(ω)=s i URL:

45 4 Hochauflösende Schätzverfahren(nichtparametrisch) 45 Der MUSIC-Algorithmus Die Frequenzschätzfunktion p+1 k=m+1 1 α k e H (Ω)v k 2 (10) hatpole andenstellenω= Ω i MUSIC-Verfahren:α k = 1 k : P MUSIC (Ω)= e H (Ω) ( p+1 k=m+1 1 ) v k v H k e(ω) In der Praxis keine Pole wegen Schätzfehler, aber sehr scharfe Peaks P MUSIC (Ω) ist keine Schätzung der spektralen Leistungsdichte sondern ein Frequenzschätzer für schmalbandige Komponenten Die Trennung von Signalraum und Rauschraum geschieht anhand der relativen Größen dereigenwerteλ i ( Threshold ) URL:

46 4 Hochauflösende Schätzverfahren(nichtparametrisch) Interpolation fehlender Folgenglieder (LSAR) Folge der Länge N mit M unbekannten (fehlenden) Gliedern: x={x[0],x[1],,x[k 1], }{{} x[k], x[k+1],, x[k+m 1], M unbekannte Samples x[k+ M],,x[N 1]} DieFolge sei beschrieben durchp Autoregressionskoeffizientena 1,,a P : x[m]= P a k x[m k]+e[m] k=1 URL:

47 URL: 4 Hochauflösende Schätzverfahren(nichtparametrisch) 47 Interpolation fehlender Folgenglieder (LSAR) e[p] e[p+1] e[k 1] e[k] e[k+1] e[k+2] e[k+m+p 2] e[k+m+p 1] e[k+m+p] e[k+m+p+1] e[n 1] = x[p] x[p+1] x[k 1] x[k] x[k+1] x[k+2] x[k+m+p 2] x[k+m+p 1] x[k+m+p] x[k+m+p+1] x[n 1] x[p 1] x[p 2] x[0] x[p] x[p 1] x[1] x[k 2] x[k 3] x[k P 1] x[k 1] x[k 2] x[k P] x[k] x[k 1] x[k P+1] x[k+1] x[k] x[k P+2] x[k+m+p 3] x[k+m+p 4] x[k+m 2] x[k+m+p 2] x[k+m+p 3] x[k+m 1] x[k+m+p 1] x[k+m+p 2] x[k+m] x[k+m+p] x[k+m+p 1] x[k+m+1] x[n 2] x[n 3] x[n P 1] a 1 a 2 a 3 a P 1 a P X= x[p 1] x[p 2] x[0] x[p] x[p 1] x[1] x[k 2] x[k 3] x[k P 1] x[k+m+p 1] x[k+m+p 2] x[k+m] x[k+m+p] x[k+m+p 1] x[k+m+1] x[n 2] x[n 3] x[n P 1]

48 4 Hochauflösende Schätzverfahren(nichtparametrisch) 48 Interpolation fehlender Folgenglieder (LSAR) x 1 = ( x[p] x[p+1] x[k 1] x[k+m+p] x[k+m+p+1] x[n 1] ) T Schätzung der AR-Koeffizienten durch die Kleinste-Quadrate-Normalgleichung: â= ( X T X ) 1 X T x 1 Gleichungen mit den unbekannten Gliedern: e[k] x[k] x[k 1] x[k 2] x[k P] e[k+1] x[k+1] e[k+2] x[k] x[k 1] x[k P+1] x[k+2] = x[k+1] x[k] x[k P+2] e[k+m+p 2] x[k+m+p 2] x[k+m+p 3] x[k+m+p 4] x[k+m 2] e[k+m+p 1] x[k+m+p 1] x[k+m+p 2] x[k+m+p 3] x[k+m 1] a 1 a 2 a 3 a P 1 a P URL:

49 URL: 4 Hochauflösende Schätzverfahren(nichtparametrisch) 49 Interpolation fehlender Folgenglieder (LSAR) Umschreiben in e[k] e[k+1] e[k+2] e[k+3] e[k+4] e[k+p 1] e[k+p] e[k+p+1] e[k+m+p 2] e[k+m+p 1] = a a 2 a a 3 a 2 a a 4 a 3 a 2 a 1 0 a P a P 1 a P 2 a P a P a P 1 a P a P a P a P a P }{{} A 1 x[k] x[k+1] x[k+2] x[k+3] x[k+m 1] + a P a P 1 a P 2 a a P a P 1 a a P a a P a a 2 a a 3 a 2 a a P 1 a P 2 a P 3 a 1 1 }{{} A 2 x[k P] x[k P+1] x[k P+2] x[k 1] 0 x[k+m] x[k+m+1] x[k+m+2] x[k+m+p 1]

50 4 Hochauflösende Schätzverfahren(nichtparametrisch) 50 Interpolation fehlender Folgenglieder (LSAR) Der gesamte quadratische Fehler ist e T e=(a 1 x+a 2 x 2 ) T (A 1 x+a 2 x 2 ) und dieser wird Minimiert durch x[k] x[k+1] x LSAR = x[k+m 1] LSAR = ( A 1 T A 1 ) 1 ( A1 T A 2 ) x2 URL:

51 Quellen und weiterführende Literatur 51 Quellen und weiterführende Literatur [1] P M T Broersen: Autoregressive Model Orders for Durbin s MA and ARMA Estimators In: IEEE Transactions on Signal Processing SP-488(August 2000), pp [2] J Capon: High-Resolution Frequency-Wavenumber Spectrum Analysis In: Proceedings of the IEEE 578(August 1969), pp [3] Y T Chan, J M M Lavoie, and J B Plant: A Parameter Estimation Approach to Estimation of Frequencies of Sinusoids In: IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing ASSP-29(April 1981), pp [4] C E Davila: A Subspace Approach to Estimation of Autoregressive Parameters from Noisy Measurements In: IEEE Transactions on Signal Processing SP-462 (February 1998), pp [5] P M Djurić and S M Kay: Spectrum Estimation and Modelling In: The Digital Signal Processing Handbook Ed by V K Madisetti and D B Williams Boca Raton: CRC Press, 1998 Chap 14 [6] P M Djurić and H-T Li: Bayesian Spectrum Estimation of Harmonic Signals In: Signal Proc Letters 2 (1995), pp URL:

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