Abbildung 2.165: Einteilung der zeitvarianten Analyseverfahren. In dieser Übersicht fehlt z. B. die zeitvariante

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1 9 Zivri Alysmhod 9. Moivio hdm bris im rs Til dr Vorlsug iig wihig Alyssrgi isbsodr uf dr Bsis vo Sprllysmhod vorgsll word sid soll uf zivri dpiv dymish Alysmhod übrggg wrd. Dis wrd vrmhr igsz ud hb di ziivri osis Vrfhr hzu rsz. Dis riff zumids für di Forshug zu. Dr rud für d Eisz zivrir Vrfhr is di fhld Sioriä dr EE Sigl. M uh drs formulir: Ds EE is sr isioär. Di Dymi dr Vrädrug dr Sigligshf z. B. irhlb spzifishr EE Musr spigl di Dymi urolr Vrrbiugsprozss widr ud dmsprhd wird i hoh Ziuflösug dr Alys gsrb. Es wurd doh uh fsgsll dss Vrfhr dr Sprllys d. h. Frquzbrihsvrfhr ds EE Sigl däqu bshrib wil dmi oszillorish Kompo spr vo Rushompo quifizir wrd ö. Di Kombiio bidr Fordrug führ zu zivri Sprllysmhod bzw. zu Zi Frquzmhod. Di Sprhrglug is ih gz ihilih ud bzih sih ilwis uf urshidlih Vrfhrslss. I Abb..65 is i möglih Urilug dr Vrfhr drgsll. Abbildug.65: Eiilug dr zivri Alysvrfhr. I disr Übrsih fhl z. B. di zivri ARMA Sprllys. Di wir Vorghswis oriir sih dm bishr vrmil Vorlsugssoff. Auf wihig bris usführlih bhdl rudlg wird zurüggriff. Dis briff di Hilbr Filr Kpil ud di Filrug mi ompl siusoidl Bsisfuio Kpil Vo dr Fourirrsformio wird uf di Kurzzi Fourirrsformio übrggg ud i Spzilfll ähr bhdl di borrsformio. Di borrsformio wird ls Filrvrfhr igführ Zibrih ud ihr Implmirug ls bor Erwirug im Frquzbrih bhdl Kpil ls rudlg. Vom lyish Sigl usghd wrd zivri Prmr ud ihr Awdug rläur. Als Vrllgmirug dr borrsformio wird di ompl Morl Wvl Alys igführ. Dis rfolg widrum ls Filrvrfhr im Zibrih wobi di Erläurug dr Implmirug im Frquzbrih bflls rfolg. Di Morl Wvl 7

2 Alys di zur Eiführug i di llgmi rudlg dr Wvl Alys. Aufbud uf Eigshf vo Fouriroffizi bi dr borrsformio rfolg di Eiführug dr Hilbrrsformio im Frquzbrih. Di Filrmhod Zibrih wurd bris bim Filrwurf igführ Kpil Aus dm lyish Sigl i Vilzhl vo Prmrvrläuf bgli wrd. Dh folg di Eiführug i zivri AR Shäzug di ls zivris IIR Filr ufgfss wird Kpil Kurzzi Fourirrsformio STFT Di Wlh Mhod zur Shäzug vo osis Lisugspr Til I dr Vorlsug rmöglih s us d Übrgg vo dr osis Sprllys zur zivri Sprllys ifh zu rlär. Dis bu druf uf übrlppd Alysirvll Fsr zu uz. Wähl m di Übrlppug dss m für d Priodogrmmbrhug ds Fsr immr i Abspu wir vrshib so rgib sih i zivri Priodogrmmlys = Kurzzi FT shor im FT. Übrlppug dr Sgm P- p p D... p... P D=; i Übrlppug Brl-Mhod D= bdu 5% Übrlppug Abbildug.66: Wlh Mhod dr übrlppd Alysfsr. Abbildug.67: Squz vo Priodogrmm. 8

3 Di Läg ds Alysfsrs T bsimm di Ziuflösug. Dbi is us us dm Til I dr Vorlsug b dss folgd Zusmmhäg bsh: Di höhs Frquz im Sprum is di yquisfrquz = Hälf dr Absfrquz Di FT führ zu im Frquzrsr. Di Dih ds Rsrs m Frquzuflösug f di vo dr Läg ds Alysirvlls T Ziuflösug dr Absfrquz f A = ud dr Azhl dr vrwd Abspu bifluss wrd. f T * T A f A Drus dr Shluss gzog wrd dss Zi ud Frquzuflösug sih umghr proporiol zuidr vrhl d. h. mi ürzrm Alysfsr hoh Ziuflösug wird di Frquzuflösug shlhr. Bi Erhöhug dr Absfrquz rhöh sih di yquisfrquz ih di Frquzuflösug. Dis Ushärfrlio bsh für ll Alysvrfhr. Für ll Frquz is bi disr Vorghswis di Zi ud Frquzuflösug glih. h Whl ds Alysirvlls blib für ll Frquz ompl Bsisfuio di Ziuflösug os. Ds Frquzrsr Frquzuflösug ds Sprums blib übr d gsm Frquzbrih bflls os Abb..68. f f T T f Bsisfuio Abbildug.68: Zi ud Frquzuflösug dr Fourirrsformio. Wird i Rhfsr guz d wird di Pofigurio ds Priodogrmms vo dr Splfuio bsimm. Ei Tprig mi dr Fsrfuio gmäß Abb..3 is möglih. 9

4 9.3 bor Trsformio 9.3. rudlg Vrwd m s ds Rhfsrs i ußfsr d sprih m vo dr bor Trsformio. Dr Voril ds ußfsrs is dss dr Fourir Trsformir widr i ußfuio rgib Abb..69. A= Rh F T ußfsr F F T X F X F T T Abbildug.69: STFT ud borrsformio STFT : Bsisfuio ur Rlil drgsll im Ziud Frquzbrih. STFT mi F F 4 d F Rhfsr Rlil dr Bsisfuio ußfsr Abbildug.7: borrsformio.

5 Di Zi Frquzuflösug is für ll Frquz glih. if Frquz Ziuflösug Frquzuflösug Trägrfrquz= Bsisfuio 3 3 Ziuflösug hoh Frquz Frquzuflösug Abbildug.: Zi Frquzuflösug dr bor Trsformio Di borrsformio ls Filrb Di Shäzug dr zivri Fouriroffizi Kurzzi FT ls Filrug mi ompl Bsisfuio FIR Sysm = Filrgwih rlisir wrd. lid FT ls Filrb vo Bdpäss ufgfss wrd wobi di Azhl dr Bdpäss vo dr Frquzuflösug dr FT ud di Mifrquz di Ω disr Frquz dr FT sid. Di Bdbri dr Bdpäss bsimm sih us d Rlio dr Zi Frquzuflösug dr FT. Di hfolgd Bispil zig dis für i Kurzzi FT mi Rhfsr ö br uh uf dr Fsrfuio übrrg wrd. Di Bispil bzih sih uf i Frquzompo d. h. für ll Frquzompo ds Sigls müss di Prozdur durhgführ wrd Filrb sprhd dr Frquzuflösug dr FT. Aus dr Fourirrihzrlgug Til I dr Vorlsug is priodish zidisr Sigls wil wir di Brhug dr Fouriroffizi di idish mi dr Brhugsvorshrif dr disr Fourirrsformio is DFT is Approimio dr Fourirrihzrlgug.

6 Aus dr Fourirzrlgug mi Koffizi folg für di ud b Koffizi = : Es rgib sih für i Alysirvll... für b os... für si b... für os Abbildug.7: Widrholug Brhug dr Fouriroffizi. Dr ud dr Koffizi is für = posiiv ud giv Frquz ur iml vorhd ll dr ml. Vrwd m für = ur Koffizi so müss dis mi muliplizir wrd. Zur bssr Vrshulihug dr Filrug wird dr Abspu irhlb is Alysirvlls mi bzih ud wir shrib di Brhugsvorshrif um. Dmi ö Fouriroffizi für Frquz für i Alysirvll brh wrd ds Abspu für Abspu übr ds Sigl gshob wird glids Fsr. Dmsprhd m di os ud si Trm ls Filroffizi uffss. Dr Trm κ zih ds zu lysird Sigl im Alysfsr ud dr Trm ds Rhfsr ds durh i ußfsr rsz wrd. Somi sprih di Brhug dr Fouriroffizi ir Flugsvorshrif Abb..9. Für i Alysfsr is dis Kosllio d. h. Siglusshi im Alysfsr ud dzughörig Bsisfuio Filrgwih für i Frquz i Abb..73 drgsll. für b... os si os... si... os b für b für

7 i Alysirvll= i Alysshri= i Flugsshri -3 ˆ T os si 5-5 Bsisfuio= Filrgwih für i Frquzompo - Abbildug.73: Vrshulihug dr Trm für di Flug ompl Filrgwih. Bispil ir Frquzompo oh Ampliudädrug Filr os b si = für = Filr für Kompo wird Abspu für Abspu vrshob ud für ds di Fouriroffizi ls Flugsrgbis Filrug brh b Abbildug.74: Aus dr Brhug dr im Alysirvll wird di Brhug w ds Alysirvll übr ds siusoidl Sigl gshob wird. Di Ampliud ds Sigls ädr sih i dism Bispil ih. Im Bispil Abb..74 is di Fsrfuio oh i Rh. Wird dis durh i ußfuio rsz wrd drus bor Bsisfuio Abb..75. Abbildug.75: Mulipliio dr Bsisfuio dr Frquz mi ir ußfuio. 3

8 Zibhägig Fouriroffizi für di i Frquz wrd brh ds Ergbis wird m Ed ds Alysirvlls drgsll dshlb Zivrzögrug; Abrg i dr Mi ds Irvlls sivoll Lg ds Alysirvlls bi Bgi dr Ampliudädrug bi ur Ampliud Bsisfuio os si - -5 Abbildug.76: Drsllug ds Filrprozsss mi ir uf di Siglfrquz gpss Frquz dr Bsisfuio wobi sih di Ampliud ds Sigls ädr. I Abb..77 is dis ohmls für di ud b Fouriroffizi drgsll Bsisfuio -5 5 b zibhägig Fouriroffizi b Abbildug.77: Filrprozss gmäß Abb..76 mi d ud b Koffizi = Frquzid dr gwähl ompl Bsisfuio. Di Zivrläuf dr Fouriroffizi ö wir zu im so g lyish Sigl zusmmfss: Im b R Dr Vrluf wird Mommpliud g Momlisug. Übr b läss sih di Momphs brh. r I d Abb..76 ud.77 wurd di Frquz Frquzid dr Bsisfuio so gwähl dss dis dr Frquz ds siusoidl Alyssigls sprh. I im wir Eprim Abb..79 vrwd wir di ompl Bsisfuio mi = 5 ud filr dmi siusoidl Aly 4

9 ssigl mi dvo bwihdr Frquz = Ampliud is idish ud os Abb..78. = =-9 Abbildug.78: Siglompo mi dm Frquzid = 9 di mi dr ompl Bsisfuio für = 5 gfilr wrd Abb..79. Di Ampliud dr Frquzompo sid zios so dss di Mommpliud horish bflls zios si müss. Prish shw dr Vrluf dr wilig Mommpliud um i os Wr Abb..79 bru Frb. Es gzig wrd dss di rsulird Vrläuf dr zivrädrlih 5 ud b 5 Fouriroffizi di Frquz ds siusoidl Alyssigls hm ud di Ampliud dr Vrläuf ur llmählih gg ull gh. Dis bdu dss di Frquzrug ih idl is d. h. di Filrug mi Bsisfuio ir Frquz i shmlbdig Bdpsshrrisi ufwis. Frquzsliviä is glihbdud mi Frquzuflösug d ih zwish izl Frquz im Sigl urshid wrd d. h. s ih urshid wrd ob sih di Ampliud dr zivri Fouriroffizi für di Bsisfuio = 5 uf rud ir Ampliudädrug dr Siglompo mi dr Frquz = 5 odr uf rud ir Frquzvrshibug z. B. uf = 3 ädr = = =3 =4 =5 zivri Fouriroffizi bluro =6 =7 =8 =9 Bsisfuio =5 Ziuflösug = Bdpss Frquzuflösug - m sih dss di Filrug mi d Bsisfuio =5 uh bi d dr Kompo zu dulih usgpräg Fouriroffizi führ d.h. Frquzsliviä is bgrz. Abbildug.79: Vrdulihug dr Frquzuflösug ir Filrug mi Bsisfuio =5 Rhfsr. Ob sid di Vrläuf dr zivri Fouriroffizi 5 b 5 ud 5 drgsll w di Frquzompo = 9 Abb..78 gfilr wrd. D di Ampliud dr Frquzompo zios sid müss horish uh dr Vrluf vo 5 os si. Di milr Mommpliud 5 i Abhägigi vom Frquzid zig i Bdpsshrrisi u rhs. 5

10 Diss Eprim für urshidlih Ziuflösug widrhol wrd d. h. di zilih Dur dr ompl Bsisfuio mi = 5 wird ggübr dr i Abb..79 vrürz bzw. vrlägr. I Abb..8 wird di Vorghswis us Abb..79 zusäzlih für i höhr Ziuflösug ürzr Bsisfuio Abb..8 ob ud für i idrigr Ziuflösug lägr Bsisfuio Abb..8 u im Vrglih zur Vrwdug dr ompl Bsisfuio us Abb..79 Abb..8 Mi durhgführ. Ädr m di Ziuflösug so gzig wrd dss sih di Frquzuflösug umghr proporiol ädr Abb..8 rhs. Ziuflösug Frquzuflösug höhr idrigr Abb. 59 Abb. 59 idrigr höhr - Frquzompo Abbildug.8: Vorghswis us Abb..79 mi urshidlih Ziuflösug. I d Bo lis sid di horish os Ampliud dr 5 Vrläuf ls Ergbis dr Filrug dr Frquzompo drgsll. Dis ifh Filr Eprim di dr Illusrio ds Shvrhls dss di Filrug mi ompl Bsisfuio ir bsimm Zidur i drus rsulird Frquzuflösug zur Folg h. Dis Frquzuflösug m ls Bdpsshrrisi dr Filr irprir. imm m u für d Frquzompo i ompl Bsisfuio mi dr glih Frquz zur Filrug d sh i Filrb wobi di Rlio vo Zi Frquzuflösug wir gl. Wir hm rs iml dss ll Bsisfuio für di Filrug zwr urshidlih Frquz ufwis Frquzid br ihr Zidur idish is. Ds bdu dss ll dis Bdpss Filr di glih Frquzuflösug hb. Somi is di Äquivlz usrr Filrb zur zivri Fourirlys hrgsll d bi vorggbr Läg ds Alysfsrs Ziuflösug di Fourirrsformio für ll Frquzompo mi glihr Zi ud Frquzuflösug rbi. Di Azhl dr Filr sprih dr Azhl dr Frquz ds sprl Frquzrsrs bi dr Fourirrsformio. Di Filrb mi ompl Bsisfuio sprhd Abb..8 ls Implmirug dr zivri Fourirrsformio gsh wrd. Wird s ds Rhfsrs i ußfsr vrwd d hdl s sih um i Implmirug dr borrsformio sprhd Abb..7. 6

11 +κ Filr = Filr = Filr =3 Filr =4 Filr =5 Filr =6 Filr =7 Filr =8 b b 3 b 3 4 b 4 5 b 5 6 b 6 7 b 7 8 b κ Abbildug.8: Implmirug dr zivri Fourirrsformio ls Filrb Bdpäss Vrdulih wir us oh iml dss di borrsformio übr di Kurzzi Fourirrsformio äquivl zur Filrvrsio is di i Kpil usführlih bsproh word is.. übr Kurzzi FT übr Filrb Bmrug glids Fsr Alysirvll Läg dr ompl idish Vorghswis: Flug Bsisfuio für Filr = Filrgwih Übrgg i d Frquzbrih für i für ll Frquz Fourirrsformio Fsrposiio Bsisfuio Zi Frquzuflösug i Flugsshri für ds Filr; Azhl dr Frquz bi Kurzzi FT durh di glih Azhl vo Filr rzug wrd Alysirvll = Läg dr Bsisfuio = Ziuflösug s wird für d Fsrposiio d Zipu für ll Frquz = Filr i Sprum rzug d. h. idish Zi Frquzuflösug Vrwdug für vollsädig Frquzbrih ud di zivri Brhug z. B. dr Prmr Mdi ud Edg Frquz z. B. für spzill Frquz Bädr ud di Brhug vo Bdrlio D FFT shr shll is wrd Filrimplmirug zur Sprllys slr Di Irprio dr Momphs übr di borrsformio im Zibrih soll hfolgd usführlih bhdl wrd. Di Momphs ir Frquzompo ls Squz dr ullphs disr Kompo rosruir wrd. I Abb..8 is dis für di Vrshibugsshri κ = ud κ = 4 drgsll word. Durh ds Alysfsr wird us i 7

12 m forlufd siusoidl Sigl i Sü mi im sih um κ vrshob ullphswil usgshi ud lysir. Ergbis dr glid Kurzzi FT borrsformio w s Rh i ußfsr vrwd wird is i Squz dr ullphswil. Momphsrosruio is siusoidl Sigls = durh Kurzzi-FFT 64-Pu =4 4 Bispil für = ud Zu dm Zipu wird dr ullphswil ds usgbld Siglbshis gshäz!!!! Momphs für = Squz dr ullphsshäzug Abbildug.8: Vrshulihug dr Momphs ls Rosruio dr Squz vo ullphswil. Kurzzi-FFT 6-Pu Phssprug um 9 bi Abspu Abbildug.83: Momphs Brhug übr Kurzzi FT wobi di Phs m Abspu = um 9 sprig. Dr ro Vrluf is dr dr oh Phssprug rmil wrd würd. Mi ir Ziuflösug vo 6 Abspu wird dr Sprug bgbild

13 Approimio dr borrsformio im Frquzbrih Ei lriv Möglihi dr borrsformio is dr Approimio im Frquzbrih. Si wird häufig guz so dss ur dm Bgriff borrsformio dis Approimio vrsd wird. Somi sll di Approimio im Frquzbrih i u Hrghswis dr. Di Flug im Zibrih wird durh i Mulipliio im Frquzbrih rsz sih Til I dr Vorlsug; Tbll : Säz dr Fourirrsformio. Di Trsformiosvorshrif is i Abb..84 zu fid. Abbildug.84: Trsformiosvorshrif für di Approimio dr borrsformio im Frquzbrih. Ergbis is dss für d Frquz ω dr Zivrluf is ompl Sigls rsulir Zi Frquz Mri. Aus disr Zi Frquz Mri ds zivri Sprum Momlisug Mommpliud ud di Momphs h rmil wrd bzih ds Sigl i Abgrzug zu Kruzsprlprmr y. T Im R dg dg für für mi mi dlih Zirih = - =Frquzrsr dr FT F F Fourirrsformir dr ußfuio ompls Zi-Frquzsigl Mri X Zrumsfrquz mi wählbrr Auflösug T T X Whl vo ud dg rlub di Apssug ds ußfsrs Klssish bor- Trsformio dg dg für für mi mi dlih Zirih = - =Frquzrsr dr FT F F Fourirrsformir dr ußfuio ompls Zi-Frquzsigl Mri X Zrumsfrquz mi wählbrr Auflösug T T X Whl vo ud dg rlub di Apssug ds ußfsrs Klssish bor- Trsformio } R{ } Im{ r } Im{ } R{ S

14 Es is wihig zu rlär wrum m i u Frquzid iführ. Ei Bli uf di Trsformiosglihug zig dss di Fouriroffizi F mi dr fourirrsformir ußfuio ußfuio im Frquzbrih muliplizir wrd. Dis Mulipliio rfolg für i Frquzrsr ω für d Id. Ddurh sh für ds ω i Frquzvor X mi dm Frquzrsr ω dr Fourirrsformio. Jdr izl Frquzvor wird rürsformir s rsulir i ompls Sigl für ds ω. Diss ompl Sigl m lyishs Sigl für ω. Disr Shvrhl is i Abb..85 mi dr Erwirug illusrir word dss m ds u ω Frquzrsr ggübr dm ω Rsr blibig vrfir. I dr Abbildug is dr Rsrbsd hlbir word. I dr Rgl wähl m ds ω Frquzrsr glih dm ω Rsr d di Vrfirug ur i Irpolio d. h. i Iformiosvrbssrug bwir. X gwähl Auflösug hir Sprllii glihr Ampliud hir Sprllii glihr Ampliud 3 Auflösug dr FFT Abbildug.85: Illusrio dr Vorghswis bi dr borrsformio. F X Jz muss di Frg glär wrd wrum di Trsformiosvorshrif i Mulipliio mi ud di Vorshrif häl di giv Frquz ull zu sz. dg für für ohmls Zil is s lyish Sigl für d Frquz ω zu brh us d m di Momlisug mpliud ud Momphs dr Frquzompo bsimm. Wir shu us zurs i Sigl ud ds dzughörig lyish Sigl bi Vrwdug is Rhfsrs Abb..86. Es is rsihlih dss ds zu lysird Sigl glih dm Rlil ds lyish Sigls is w ds Bobhugsfsr i Rhfsr is. 3

15 5 R{ T } R{ T } Im{ T } Abbildug.86: Zu lysirds Sigl ob grü gsrihl ud dzughörigs lyishs Sigl u. Rls Sigl ud Rlil ds lyish Sigls sid idishgil für Rhfsr. Jz shu wir us di Fouriroffizi ds zu lysird Sigls mpliudmodulirs Sigl ud ds lyish Sigls. Dzu vrwd wir di Fourirrsformio di ls ompl Fourirrsformio so währd dr gsm Vorlsug bhdl ompl Sigl rsformir. Bishr hb wir ur Sigl oh Imgiäril bhdl d. h. Im Abb..87. Dr Fouriroffizi wurd zu d posiiv Frquz grh. FFT grd Priodogrmm ugrd b b X grd X ugrd T T T T Abbildug.87: Priodogrmm ds mpliudmodulir Sigls Trägrfrquz ω T i zwi urshidlih Drsllug ud di Aufilug i di Fouriroffizi. Als ähs Shri shu wir us di Priodogrmm ds zu lysird ud ds lyish Sigls Abb

16 FFT FFT Abbildug.88: Priodogrmm ds zu lysird ud ds dzughörig lyish Sigls. Es is us Abb..88 zu r dss ds lyish Sigl ur posiiv Frquz bsiz ud di Bräg d. h. di Fouriroffizi ggübr dm zu lysird Sigl vrdoppl sid. Dis wurd bris i Kpil gzig. Jz wird di Trsformiosvorshrif dr borrsformio vrsädlih d hir di Mipulio um vom lysird Sigl zum lyish Sigl zu omm im Frquzbrih vorgomm wird. Wir bruh z ur oh dis Zusmmhäg im Si dr Arbisshri dr borrsformio umzusorir Abb zu lysirds Sigl bzw. i Frquzompo gil für Fouriroffizi Priodogrmm FFT mi ußfuio muliplizir; -sz IFFT ompls Sigl gil für Fouriroffizi ompls Sigl Mommpliud Momphs R T Im lyishs Sigl für i zivri Siglompo Abbildug.89: Illusrio dr borrsformio im Frquzbrih. 3

17 33 D di Kompo ω = bflls ull gsz wird rsulir für d Frquzompo ω i milwrfris lyishs Sigl. Mi dr ußfuio im Frquzbrih wird di Frquzuflösug bsimm di widrum i dfiir Ziuflösug zur Folg h. Di Mulipliio mi dr ußfuio rzug i Bdpssfilrfuio für ω im Frquzbrih. Mi d Prmr λ ud dg somi di Zi Frquzuflösug opimir wrd. Dis mhr primll Vorghswis Abb..88 shr ifh mhmish drgsll wrd. Di Simulio wurd mi im mpliudmodulir si Sigl durhgführ. Mi dm si Rlil wird i 9 Phsvrshibug vorgomm s rsulir i givs os Sigl Imgiäril. Für i os Fuio ls Rlil würd sih sprhd dr 9 Phsvrshibug i si Sigl ls Imgiäril rgb d. h. für i zu lysirds Sigl würd sih i lyishs Sigl rgb. Führ m mi bid Sigl i Fourirrsformio durh so omm m uf di i Abb..88 gzig Vrhäliss für di Spr Priodogrmm bi DFT. I hfolgdr Rhug wurd ω = ω gsz:. FT ds zu lysird Sigls zibgrz os dg für si os os ] [ ] [ ] si[ ] si[ ] si[ ] si[ ] si[ ] os[ ] si[ ] os[ ] si[ ] os[ ] si[ ] os[ ] si[ ] os[ ] si[ ] os[ ] si[ ] os[ ] si[ ] os[ sp sp d odr d d Y

18 . FT ds zibgrz lyish Sigls os si Y d si os si os si sp d os si Für ds lyish Sigl gib s ur oh i i d posiiv Frquzbrih vrshob Splfuio Sprum di di doppl Ampliud dr bid Sprlil ds zu lysird Sigls h. Fss wir zusmm:. Dr Rlil ds ompl lyish Sigls sprih dm zu lysird rl Sigl.. Ds ompl lyish Sigl is durh i Sprum mi ur posiiv Frquz gzih. 3. Dr Imgiäril ds lyish Sigls bsh us d wils 9 phsvrshob Frquzompo ds zu lysird Sigls. 4. Aus Abb..77: Ds lyish Sigl ls Ergbis dr borrsformio sprih dm Vrluf dr zivri Fouriroffizi ls Ergbis ds Flugsszs. Bi glihr Zi Frquzuflösug sid bid borsäz idish d. h. di wils drus brh Mommpliud ud di Momphsvrläuf sid bflls idish. Di Implmirug dr Approimio dr borrsformio uh borrwirug g im Frquzbrih is i Abb..9 drgsll. I Abb..9 sid Ergbiss für di Alys ir rsi Shwigug für di izl Vrfhr ggübrgsll word. Di Kurzzi FT für Rh lis ud ußfsr Mi wurd mi dr glih Alysirvllläg durhgführ. Für di borrsformio im Frquzbrih übr di ufgzig Prmr i idish Zi Frquzuflösug wi bi d Vri im Zibrih rrih wrd. Bi dr Kurzzi FT is durh ds Rhfsr di Ziud Frquzuflösug iduig dfiir Kpil 9. bi dr borrsformio muss m i zilih bzw. frquzmäßig Bgrzug Auflösug durh di Fslgug vo Sigm Brih Sdrdbwihug bi dr ußsh ormlvrilug; z. B. ±σ=9545% bzw. ±3σ=9973% dr Fläh fslg d di ußfuio i Bgrzug h ud i ds Alysirvll igpss wrd muss z. B. 3σ=Alysirvllläg. lihs gil für di ußfuio für di Approimio im Frquzbrih. 34

19 Vorgb dr Frquzuflösug mi = M -Wr Vrgrößrug ds Brhug dr Fourirrsformir dr ußfuio X IFFT FFT FFT is i ompl DFT größs? ompl Zhl ls Zil dr Zi-Frquz- Mri Ŝ R{ } Im{ } ˆ Im{ } r R{ } Abbildug.9: Implmirug dr borrsformio im Frquzbrih. FFT-Kurzzisprllys bor-trsformio im Zibrih bor-trsformio im Frquzbrih Abbildug.9: Vrglih dr Asäz. Di Abbildug zig ds zivri Ampliudsprum Mommpliud für d Frquz für di Kurzzi FT Rhfsr für di borrsformio im Zibrih Kurzzi FT mi ußfsr ud für di Approimio im Frquzbrih Abb

20 9.3.4 Awdug dr borrsformio i dr Alys vo EE Musr mäß Kp bsh i lrozphlogrphishs Burs Supprssio Musr Abb. 5 us dm Whsl vo hohmpliudig EE Bursldug idrfrqu Oszillio übrlgr mi hohfrqu Oszillio ud idrmpliudigr Aiviä <μv Supprssio. Ds Burs Supprssio Musr BSM wis uf shwr Hirshädigug odr uf di Wirug bsimmr rosmil hi. Mi zuhmdr rosif vrädr sih di sprl Zusmmszug ds EE Abb. 7. Ds BSM is i Zih für i uöig shr if ros. Für di uomish Quifizirug dr rosif sid dshlb Dioslgorihm für di Erug ds bgid BSM vorzush. Bi dr Sdirug z. B. vo Pi mi shwrm Shädl Hirrum zih ds BSM d Zusd ir däqu Hirproio d. h. i miiml Ergivrbruh bi zrbrlr Vsoosriio ud oh vorhdr lrishr Aiviä. Ei uomish Koroll ds BSM is wüshswr. Aus bid Awdug läss sih di Zilsllug bli dss für di Opimirug dr ros ud Sdirugsifbsimmug di Sigligshf ds EE Burss für urshidlih Aäshi ud Aäshi Kombiio im Dil b si müss. Zur Vorhrsg ds BSM is dis bflls owdig d ls Arbishypohs dvo usggg wrd dss sih vor dr Ausbildug diss Musrs wdr bursählih Musr odr dr Sigligshf im EE hwis lss. Ei dillir Alys dr Bursmusr h lso liish Rlvz. Diss Bursmusr vrifh ls Übrlgrug ir idrfrqu 5 5 Hz ud ir hohfrqu 8 4 Hz Oszillio gsh wrd. Dbi sid bid Kompo mpliud ud frquzmodulir. Di Hüllurv Mommpliud dr idrfrqu ud di dr hohfrqu Oszillio sid miidr goppl d. h. di idrfrqu modulir di hohfrqu Oszillio. A burs os B.5.5 Hz 5 5 A s 8 4 Hz f Abbildug.9: EE Burs A ud Siglmodll B dr Bursiviä. 36

21 Ds Siglmodll hd dr izl Kompo für d Eizlburs i Abb..93 shr gu illusrir wrd. 6 EE-Musr mi V] Hüllurv dr idr- 8 frqu Kompo -8-6 V] 5 hohfrqu Kompo mi Hüllurv sprih Origlsiglompo T -5-8 [Hz] V] [s] Abbildug.93: idrfrqu ob ud hohfrqu Mi Siglompo ds Burss ud ihr Hüllurv Mommpliud. Drur di Drsllug ds zivri Ampliudsprogrmms Hüllurv = Mommpliud für ll Frquz ω. Di hohfrqu Siglompo Mi sprih dm Modll dr Origlsiglompo us Abb..88ff. Es wurd di Approimio dr borrsformio im Frquzbrih mi ω =ω vrwd. Di igzih Lii sprh d Momfrquz dr Siglompo sih Kpil 9.5. Aus dr Momlisug S R{ } Im{ } dr Ail dr vozir ud dr iduzir EE Lisug dr smlisug zivri gshäz wrd. Folgd Dfiiio ö ggb wrd:. Evozir Lisug: Is di Lisug vo Frquzompo di mi im Erigis phsgoppl is d. h. di Momphs dr Siglompo is i uslösds Erigis goppl. Im Fll ds EE Burss ds BSM ls uslösds Erigis dr Burs Afg os gomm wrd. Disr wird h vorggb Kriri uomish odr durh i Epr dir.. Iduzir Lisug: Is di Lisug vo Frquzompo di durh i Erigis hrvorgruf wird br ih phsgoppl is. Si is di Diffrz zwish smlisug ud vozirr Lisug vo Frquzompo. 37

22 Wir sz vorus dss wir i Azhl P vo Burss dir hb: Ŝ Ŝ Ŝ P p p gsm Ŝ Ŝ P p vozir iduzir Ŝ R p gsm p Im Ŝ vozir Zurs wird us dr Esmblmilug Shäzug dr Eizlshäzug ds Sprogrmms ˆ p S i osis Shäzug ds Sprogrmms Sˆ gsm rzug.. zih di Esmblmilug. Dr vozir Lisugsil wird durh i sog phsrhld Milug gshäz. Dis bsh us ir spr Esmblmilug ds Rlils ud ds Imgiärils dr lyish Sigl ω = ω. Alriv m di vozir Lisug us dm Esmblmilwr dr Bursrlisirug P shäz: Sˆ vozir für p R{ } Im{ } Di zivri vozir ud iduzir Lisug für di Burss is BSM sid i Abb..94 drgsll. Ŝ gsm Ŝ vozir Ŝ iduzir Abbildug.94: Bursvrläuf ob ud di gshäz zivri Lisugsvrläuf. M dulih r dss i Hz Kompo im Zibrih 5 7s h dm Bursbgi phsgoppl phs lod is. 38

23 9.4 Di oiuirlih Wvl Trsformio 9.4. Eiführug Es wurd im Kpil 9.3 shr usführlih uf di borrsformio iggg. Dis is mi dr Zilsllug gshh di rudprizipi dr Wvl Trsformio ud di dr Hilbr Trsformio qusi vorwgzuhm. I dr T wurd di Wvl Trsformio uf dr rudlg dr bor Trsformio wil. Dis ábor h 946 rsmlig i Kurzzi FT mi ußfuiosfsr Tprig durhgführ. Afg dr 98r Jhr wil J. Morl di oiuirlih Wvl Trsformio uf dr rudlg vo Morl Wvls di im Prizip bor Bsisfuio sid ud dshlb uh Morl bor Wvls odr uh bor Wvls g wrd. Di zioiuirlih Wvl Trsformio wird uh Igrl Wvl Trsformio g. Im Ergbis rbrig di oiuirlih Wvl Trsformio CWT rdud Iformio so dss di Disr Wvl Trsformio DWT igführ wurd. Auf di DWT wird hir ih iggg si drf br ih mi dr zidisr Rlisirug dr CWT vrwhsl wrd. Di CWT wird häufigr zur Sigllys ud di DWT zur Komprssio vrwd. Di Morl Wvl Alys wurd uf dr rudlg dr Wvl Thori durh dr Wvl Typ rwir wobi für di Alys urolrophysiologishr Sigl dr Eisz vo Morl Wvls domiir: Es is ompl ud so b dr zivri Ampliud Lisug di zivri ull Phs mi brh wrd. Ds Morl Wvl is d rsi Oszillio im EE ählih = Auswhlririum. 3 Sprlp is symmrish d. h. Mifrquz ds Ps sprih dr Psudo Frquz ds Wvls Di oiuirlih Wvl Trsformio mi Morl Wvls Bi dr Eiführug dr oiuirlih Wvl Trsformio bzih wir us zurs uf oiuirlih Sigl d. h. wir bhl vorrs di Bzihug für i oiuirlih Zivrluf bi. Di Zusmmhäg dr CWT ud dr Rürsformio ivrs Trsformio ICWT is i Abb..95 drgsll. * CWT s d s s * ougir ompl Wvlfuio WT s dds s s s d fourirrsformir Wvlfuio y h h d Flug; Filrug Abbildug.95: Trsformiosvorshrif für di CWT ud ICWT. 39

24 4 Di Slirug ds Wvls mi s bwir si Suhug bzw. Dhug Dilio. Dis bwir für ds Morl Wvl i Frquzslirug. τ bwir i Vrshibug ds Wvls uf dr Zihs Trslio. Dr Zusmmhg zur Flugsoprio durh di llgmi Flugsvorshrif u vrdulih wrd. I Abb..96 is ds ompl Morl Wvl drgsll. Abbildug.96: Ds ompl oiuirlih Morl Wvl. Di zidisr Vrsio dr oiuirlih Wvl Trsformio =Frquzid; f=frquzrsrbsd f =Frquz ds Mur Wvls; h Zhg Y. l. Mdil Egirig &Physis is hfolgd drgsll word. I dr Trsformiosvorshrif s i Sysmi di m grfish shr gu drsll Abb..97 so dss m uh d Urshid zur bor Trsformio sih. Di CWT ir Zil Trslio ds Wvls dr Wvl Mri sprih dr Flug Filrug ds Sigls mi dm ompl Wvl Kpil si os i r Brih 3.B. z für Implmirug ußfuio mi = s s F si os i r Brih 3.B. z für Implmirug ußfuio mi = s s F f f f f M M f f f f f f CWT

25 CWT s Mur-Wvl: Rlil = Abbildug.97: Wvl Mri ur Rlil dr ompl Mri mi dr ds Sigl muliplizir wird Tilshri dr CWT. s= s Dr Urshid zu ir bor Bsisfuiosmri is dr dss sih di Dur dr Bsisfuio Läg ds Alysirvlls mi dr Frquz ih ädr. Bi dr Wvl Trsformio vrürz sih di Dur dr Wvls mi dr Erhöhug dr Frquz ud umghr d. h. di Ziuflösug Dur ud di Frquzuflösug vrädr sih mi dr Frquz. Iuiiv is dis hligd d m bi glihr Dur bor Bsisfuio = Alysirvll für höhr Frquz uöigrwis mhr Priod für di Alys zur Vrfügug h ls bi idrig Frquz. Bi dr Wvl Alys blib di Azhl dr Priod für ll Frquz ud dmi für ll zu lysird Frquzompo os dshlb vrürz sih di Wvldur. oh iml di Zi ud Frquzuflösug ädr sih bi dr Wvl Trsformio mi dr Frquz Abb..98 bi dr bor Trsformio is dis vo dr Frquz ubhägig. ürlih is di szmäßigi uumsößlih dss sih Zi ud Frquzuflösug umghr proporiol zuidr vrhl. Dr dir Vrglih zu Abb..7 zig di Äquivlz br uh di Urshid bidr Vrfhr. Di Zi Frquzuflösug is für zidisr Wvls zidisr Vrsio dr CWT i Abb..98b für di Cos Kompo brh 8 Pu FFT ud drgsll word. 4

26 Slirug im Zibrih ud Auswirug im Frquzbrih Frquzlolisio ud uflösug F Ziuflösug Frquzuflösug z.b. 3 if Frquz s s Ziuflösug hoh Frquz f= 4Hz Frquzuflösug h C.S. Hrrm l: EE osillios d wvl lysis Abbildug.98: Illusrio dr frquzbhägig Zi Frquzuflösug dr CWT. Bi hoh Frquz is di Ziuflösug höhr ls bi if Frquz dfür is br di Frquzuflösug idrigr. 5 Cos-Kompo Abbildug.98b: Zi Frquzuflösug für di COS Kompo is Morl Wvls us dr zidisr Vrsio brh 8 Pu FFT. Vrglih mi Kpil

27 Di gu Zi Frquzrlio Slirugsigshf bi dr CWT sid i Abb..99 drgsll. ω s s Eigshf X X s s Zusmmhg Ergi E s s E s s s s Zi Zidur s s s s Frquz s s Bdbri s s s s s s s s s s s< s> s Abbildug.99: Slirugsigshf dr CWT. Bi dr Brhug dr Wvl Mri Abb..97 rgib sih di Frg ur wlh sihspu m ds Bsis Wvl uh Mur Wvl fslg. I Abb.. sid zwi möglih Morl Wvls Rlil mi urshidlihr Azhl dr Priod bi glihr Dur drgsll. Mi dr Whl ds Bsis Wvls lg m di iiil Zi Frquzuflösug fs. Abbildug.: Kdid für Bsis Wvls Rlil. 43

28 Di Kriri rsulir us dm zu lysirdm Sigl im Zusmmhg mi d Alyszil. I Abb..9 is dr Vrsuh gmh word dis zu illusrir. Wir hm di Zil für ds Bsis Wvl us dr Wvl Mri hrus. Wi bris ob rwäh sprih di Trslio ds ompl Wvls ir Flug Filrug vo Sigl ud Wvl. Ds Sigl bsh us ir rsi Oszillio ud im shr lgsm Asig ds Sigls mi Plubildug. Wir wähl ds Bsis Wvl so dss s dr rsi Oszillio sprih bzw. shr h omm. D Brg dr Wvl Trsformio bsimm wir zwi Trsliospu τ ud τ. Bi τ sid di Oszillio im zu lysird Sigl ud ds Bsis Wvl dugsglih. Es rsulir d di höhs Lisug im Si dr Korrliosfilr Thori Kp Bi τ d. h. im Brih is fs os Sigls rsulir i shr idrigr Lisugswr. Wvl Sigl * d s Flähigrl is groß * d s Flähigrl is li Abbildug.: Sigligshf ud Whl ds Bsis Wvls. Ds vorhr usgführ ud ds ifh Bispil zig dss m di gwüsh Zi Frquzuflösugsvrhäliss für bsimm Frquzompo gu dusir ud uf di Frquz ud Dur irssirdr rsir Oszillio Azhl dr Priod zushid muss. Für i opiml Eisz dr Wvl Trsformio omm s druf di zu quifizird Sigligshf zu. 44

29 I Abb.. wrd ds Morl Wvl ud dr Wvl Fuio m zilih Abliug dr ußfuio sowi dr Sprldrsllug ggübrgsll. Wir Wvlfuio sih bor-trsformio us Torr. C Compo.: A pril guid o wvl lysis Bulli of h Amri Morologil Soiy Abbildug.: Wvl Fuio: Morl Wvl ud m Abliug dr ußfuio. Di zwi Abliug m Mi H Wvl. h m vo im Korrliosfilr Asz us so wär z. B. zur sprl Kzihug vo pilpog EE Spis i CWT mi Mi H Wvls bssr gig. Ds Problm dbi is dss ds Ergbis ir solh CWT i zivris Sprum mhr is Wvl Sprogrmm. M sprih d vo Slogrmm wil di Lisug ih i Abhägigi vo ω sodr vo s rfolg. Für ds Morl Wvl gl s ˆ ud durh d symmrish P ußfuio sprih di Mifrquz dr Frquz ds Wvls. Für dr Wvl Fuio blib m bim Slogrmm odr rsz s durh i zu bsimmd Psudofrquz. Dis übr i ompl Bsisfuio rfolg. Di Bsisfuio ir bsimm Frquz muss ds Wvl m bs rlär. Abbildug.3: Bsimmug dr Psudofrquz is ompl Wvls durh Fid ir opiml FT Bsisfuio. 45

30 Bi dr Implmirug wird i dr Rgl uf di Approimio im Frquzbrih übr DFT ud IDFT zurüggriff wi dis uh bi dr bor Trsformio dr Fll is. Jz vrwd wir s widr ds bgs Sigl : - CWT s F F F s Dbi is CWT s i ompl Zi Frquz Mri Mri lyishr Sigl ud sprih sih Abb..84ff. Di Brhug dr zivri Spr Momlisug Mommpliud ud dr Momphs rfolg gmäß Kp Di Implmirug i Alhug Abb..96 is i Abb..4 drgsll. Hir is wihig dss di glih Azhl vo Abspu guz wird um di Mulipliio im Frquzbrih durhführ zu ö. Es wird i dimsiol Absug ds Sigls ud i dimsiosfri Absug ds Wvls durhgführ hir immr 8 Wr. Vorbrid Brhug: Whl ds Wvls Eigshf ds Mur-Wvls im Zi-ud Frquzbrih Zi- ud Frquzuflösug u..m. Abgss Mur-Wvl mi = M -Wr mi = M -Wr Slirug FFT is i ompl DFT FFT FFT Vrgrößrug ds Slwrs s s = größ Sl? IFFT WT-Koffizi für s ls Zil dr Zi-Frquz- Mri h D. Jord ud R.W. Misd: Implmio of h oiuous wvl rsform for digil im sris lysis. Rv.Si.Isrum Zivri Lisug ud Phs wi bi bor-trsformio Abbildug.4: Implmirug dr CWT mi FFT ud IFFT. u Bshribug dr Implmirug i Jord l

31 9.4.3 Awdug dr CWT bi dr Alys urolrophysiologishr Sigl Di Awdug dr CWT mi Morl Wvls i dr EE Alys ud i dr Alys vozirr bzw. rigisorrlirr Poil EP EKP is wi vrbri. I Abb..5 wurd i Alysbispil drgsll ds bsodrs ugshilih di frquzbhägig Zi Frquzuflösug dmosrir. Ds Sigl sz sih offsihlih us dri Frquzompo zusmm:. 6 Hz 6 Hz ud 4 Hz. Di urzziig 4 Hz Kompo wird mi ir shr idrig Frquzuflösug quifizir. Wvl-Sprogrmm: rrigisorrlirs Poil us C.S. Hrrm l: EE osillios d wvl lysis Abbildug.5: CWT is rigisorrlir Sigls. 47

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