Finanzmathematik. Formelsammlung. von Andreas Pfeifer. 2. Auflage

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1 Fazmathematk Formelsammlug vo Adreas Pfefer 2. Auflage VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourey, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße Haa-Grute Europa-Nr.: 55187

2 Der Autor Prof. Dr. Adreas Pfefer st Professor für Faz- ud Wrtschaftsmathematk a der Hochschule Darmstadt (Uversty of Appled Sceces). E-Mal: adreas.pfefer@h-da.de 2. Auflage 2015 Druck ISBN Alle Rechte vorbehalte. Das Werk st urheberrechtlch geschützt. Jede Verwertug außerhalb der gesetzlch geregelte Fälle muss vom Ver lag schrftlch geehmgt werde. Der Ihalt des Werkes wurde sorgfältg erarbetet. Deoch überehme Autor ud Verlag für de Rchtgket vo Agabe, Hwese ud Rat schläge sowe für evetuelle Druckfehler kee Haftug. De dargestellte Iformatoe dee cht als Alageberatug oder Empfehlug für rgedwelche fazelle Geschäfte. Egetragee Ware zeche sd cht besoders gekezechet. Deshalb st de Bezech uge cht zu etehme, ob se free Wareame sd bzw. ob Patete oder Gebrauchsmuster vorlege. Be drekte oder drekte Verwese auf Iteretsete dstazere sch der Verlag Europa-Lehrmttel ud der Autor vo de Ihalte deser fremde Iteretsete. Verlag ud Autor hafte cht für de Ihalte deser Sete by Verlag Europa-Lehrmttel, Nourey, Vollmer GmbH & Co. KG, Haa-Grute Umschlaggestaltug: brauwerbeagetur, Radevormwald Druck: wterwork, Borsdorf

3 Ihaltsverzechs Vorwort zur 2. Auflage... 2 Lteratur (Auswahl) Mathematsche Grudlage Zsrechug Äquvalez, Verzsug ud Kaptalwert Reterechug Abschrebug Tlgugsrechug Bewertug festverzslcher Wertpapere Ivestmetfods Grudlage der Portfolotheore Dervatve Fazprodukte (Dervate) Value-at-Rsk (VaR) Verteluge...43 Stchwortverzechs...47

4 2 Vorwort zur 2. Auflage Vorwort zur 2. Auflage I deser klee Formelsammlug sd wchtge Formel vo der klasssche Fazmathematk bs zu Dervate aufgeführt. Bewese ud Zahlebespele zu de Formel fde Se m Lehrbuch Praktsche Fazmathematk [6]. I deser 2. Auflage sd Querverwese auf deses Lehrbuch sowe ege kleere Ergäzuge hzugefügt worde. Im Gegesatz zum Lehrbuch ka de Formelsammlug be Klausure beutzt werde, be dee ur ee Formelsammlug als Hlfsmttel erlaubt st. Aufgabe mt Aweduge deser Formel vo der efache Zsberechug über Kredtberechuge bs h zu dervatve Fazprodukte sd auch dem Buch Fazmathematk Das große Aufgabebuch [7] ethalte. Für Hwese auf Fehler oder Ugeaugkete, aber auch für Agabe über Formel, de fehle oder de aus deser Formelsammlug gestrche werde sollte, b ch dakbar ud werde um ee schelle Atwort bestrebt se. Uter fde Se zu deser klee Formelsammlug m Iteret aktuelle Ergäzuge ud falls otwedg Fehlerkorrekture. Adreas Pfefer Lteratur zur Fazmathematk (Auswahl) [1] Cott, Clauda; Döhler, Sebasta: Rskoaalyse; Wesbade: Sprger Spektrum; 2., überarb. ud erweterte Aufl [2] Deutsch, Has-Peter; Beker, Mark: Dervate ud Itere Modelle. Moderes Rskomaagemet; Stuttgart: Schäffer-Poeschel; 5., überarb. ud erweterte Aufl [3] Hausma, Wlfred; Deer, Kathr; Käsler, Joachm: Dervate, Arbtrage ud Portfolo-Selecto: Stochastsche Kaptalmarktmodelle ud hre Aweduge; Brauschweg, Wesbade: Veweg; 2002 [4] Hull, Joh C.: Optos, Futures, ad Other Dervatves; Upper Saddle Rver, New Jersey: Pearso Pretce-Hall; 8th edto 2011 Deutsche Übersetzug/Bearbetug der 8. Auflage: Hull, Joh C.: Optoe, Futures ud adere Dervate: Müche: Pearso Studum; 8., aktualserte Aufl [5] Hull, Joh C.: Rskomaagemet Bake, Verscheruge ud adere Fazsttutoe: Müche: Pearso Studum; 3., aktualserte Aufl [6] Pfefer, Adreas: Praktsche Fazmathematk. Mt Futures, Optoe, Swaps ud adere Dervate. CD-ROM für Excel; Haa-Grute: Verlag Europa-Lehrmttel (früher: Verlag Harr Deutsch); 5., überarb. Aufl [7] Pfefer, Adreas: Fazmathematk Das große Aufgabebuch; Haa-Grute: Verlag Europa-Lehrmttel; 2015 [8] Tetze, Jürge: Eführug de Fazmathematk; Wesbade: Veweg+Teuber; 11., akt. Aufl [9] Wlmott, Paul: Paul Wlmott o Quattatve Face (3 Volume Set); New York: Joh Wley & Sos; 2d edto 2006

5 1 Mathematsche Grudlage 3 1 Mathematsche Grudlage Summeberechuge, vgl. [6] Satz ud Satz Es glt für = 1, 2, 3, : ( + 1) k = ( 1) + =, (1.1) k= q 1 k = = q 1 q q q... q q für q 1 q 1, (1.2) k= für q = q q k q für q 1 = q 1, k= 1 für q = 1 (1.3) k q (1 q q + q ) q q q k q = = + für q 1, 2 2 (q 1) (q 1) q 1 k= 1 (1.4) k 1 q = für q < 1 ud 1 q k= 0 k q k q = 2 k= 1 (1 q) für q < 1. (1.5) Prozetrechug, vgl. [6] Kap. 2.1 Das Verhälts zweer Größe P ud G ka Bezehug zueader agegebe werde. Dazu wrd ee Größe G als Bassgröße oder Grudwert gewählt. Deser Wert etsprcht 1 oder 100%. De adere Größe P heßt Prozetwert ud wrd Bezehug zum Grudwert betrachtet: = P G oder P = G. (1.6) heßt Prozetsatz ud wrd mest mt dem Prozetzeche (%) agegebe. Ädert sch e Grudwert um de Prozetsatz, heßt 1 + Äderugsfaktor oder Stegerugsfaktor. E Prozet (1 %) bedeutet 0,01. p p = 100 heßt Prozetfuß. = = p%. (1.7) 100 E Promlle (1 ) bezeht sch auf 1.000, d. h., 1 etsprcht 0,001. Ädert sch e Prozetsatz alt auf eu, heßt es: Der Prozetsatz hat sch um 100 ( eu alt ) Prozetpukte verädert. 1 Basspukt (BP oder Bp) st e Hudertstel ees Prozetpuktes, also 1 BP = 0,01 Prozetpukte. Rude, vgl. [6] Ede Kap. 1 Bem Rude vo Dezmalbrüche wrd abgerudet, we de erste wegzulassede Zffer 0, 1, 2, 3 oder 4 st. Ist de erste wegzulassede Zffer ee 5, 6 7, 8 oder 9, so wrd aufgerudet.

6 4 1 Mathematsche Grudlage Nullstelleberechug Lösug quadratscher Glechuge, vgl. [6] Satz De Lösuge der Glechug ax 2 + bx + c = 0 mt a 0 sd: x 1,2 = b ± b2 4ac. (1.8) 2a De Lösuge der Glechug x 2 + px + q = 0 sd: x 1,2 = ± 2 p p q 2 2 (p-q-formel). (1.9) Sekateverfahre, Regula Fals, vgl. [6] Satz Gesucht st de Lösug der Glechug f(x) = 0. Gegebe see zwe Werte x 1 ud x 2, de sogeate Startwerte. De wetere Näheruge werde folgedermaße ermttelt: x k+2 = x k+1 + f (x k+ 1) (x k x k+ 1), k = 1, 2, 3,.... (1.10) f (x k+ 1) f (x k ) x k+2 ka auch aders dargestellt werde: x k f (x k+ 1) x k+ 1 f (x k ) x k+2 =,. k = 1, 2, 3,.... (1.11) f (x k+ 1) f (x k ) Uter gewsse Voraussetzuge strebe de mt desem Verfahre (Sekateverfahre geat) ermttelte x-werte gege ee Wert x mt f( x) = 0. Falls f(x k+2 ) < ε, wrd gestoppt ud x k+2 als x geomme. Häufg wrd zum Stoppe zusätzlch och gefordert, dass x k+2 x k+1 < δ st. Be eem spezelle Sekateverfahre, der Regula Fals, sd bede Startwerte für das Sekateverfahre so wähle, dass de Fuktoswerte f(x 1 ) ud f(x 2 ) uterschedlche Vorzeche habe 1. Be der Berechug vo x k+2 der obge Formel st x k durch x k 1 zu ersetze, falls f(x k+1 ) ud f(x k ) de gleche Vorzeche habe. Newto-Verfahre (Tageteverfahre), vgl. [6] Satz Gegebe se de Fukto f. Gesucht st de Lösug der Glechug f(x) = 0. Beged mt eem Startwert x 1 glt de Iteratosvorschrft f (x k ) x k+1 = x k, k = 1, 2, 3,.... (1.12) f '(x k ) Uter gewsse Voraussetzuge kovergert dese Folge x 1, x 2, x 3,... gege ee Wert x, für de f( x) = 0 glt. Stopp-Krterum aalog Stopp-Krterum bem Sekateverfahre. 1 Da legt, we de Fukto f stetg st, de gesuchte Lösug zwsche x 1 ud x 2.

7 2 Zsrechug 5 2 Zsrechug A. Efache Verzsug (auch leare Verzsug geat), vgl. [6] Satz Se K 0 das Afagskaptal, t de Laufzet, K t das Edkaptal (Edwert) am Ede der Laufzet ud der Zssatz. ud t bezehe sch auf de gleche Zetehet. Da glt be efache (achschüssge) Zse: Edkaptal: K t = K 0 (1 + t ) Afagskaptal 1 K : K 0 = t, 1 + t (2.1) Zse: Z t = K 0 t, (2.2) Laufzet: t K t K 0 =, K 0 (2.3) Zssatz: K t K 0 =. K 0 t (2.4) Zstage Ist der Zssatz pro Jahr, glt: t = years(t 1, t 2 ) =, (2.5) Jahresläge Tage wobe years(t 1, t 2 ) de Zet Jahre zwsche t 1 ud t 2 st, t 1 = T1.M1.J1 der Tag, der Moat ud das Jahr des erste Datums (Afagsdatum) ud t 2 = T2.M2.J2 der Tag, der Moat ud das Jahr des zwete Datums (Eddatum). De Azahl der Zstage ud de Jahresläge Tage häge vo der gewählte Zstage- Methode ab. Gebräuchlche Zstage-Methode sd: Zstage- Methode 30E/360 30/360 actual/360 (taggeau/360, Eurozs-Methode) Berechug Uabhägg vo der tatsächlche Läge des Moats hat jeder Moat 30 Tage ud das Jahr 360 Tage. Be Moate mt 31 Tage st der 31. ke Zstag. ( J2 J1) 360+ (M2 M1) 30+ m{t2,30} m{t1,30} t = (2.6a) 360 Ählch we 30E/360. Se T2* = 30, falls T2 = 31 ud (T1 = 30 oder T1 = 31), aderfalls T2* = T2. ( J2 J1) 360+ (M2 M1) 30+ T2* m{t1,30} t = 360 caldays(t 1, t 2 ) t = 360 (2.6b) (2.6c) 1 Achtug: I macher Lteratur wrd dese Berechug ur be der Bezechug efache Zse verwedet. Be der Bezechug leare Zse wrd das Afagskaptal mt der Formel K 0 = K t (1 t ) berechet (= kaufmäsche Dskoterug).

8 6 2 Zsrechug actual/365 (taggeau/365, eglsche Methode) actual/actual ach ICMA oder ISMA (taggeau) actual/actual (kalederjährlch) (taggeaukalederjährlch) caldays(t 1, t 2 ) t = 365 (2.6d) caldays(t 1, t 2 ) t = Azahl der Kupozahluge pro Jahr Tage der Kupoperode (2.6e) Se B k der Beg des Jahres k, also der 1.1. des Jahres k caldays(t1, t 2 ) Für J1 = J2: t =, (2.6f) caldays(b J1, BJ1+ 1) aderfalls: t = Bruchtel des Startjahres + Azahl der volle Jahre + Atel des Schlussjahres caldays(t1, BJ1+ 1) caldays(bj2, t 2 ) = + J2 J1 1+, exakte Tage m Jahr J1 exakte Tage m Jahr J2 wobe B J1 t 1 < B J1+1 B J2 t 2 < B J2+1 caldays(t 1, t 2 ) st de exakte Azahl der Kaledertage vom Afagsdatum t 1 bs zum Eddatum t 2. m{x, y} gbt de kleste Wert vo x ud y a. Achtug: Oftmals wrd statt years(t 1, t 2 ) kurz t 2 t 1 geschrebe, we t 1, t 2 R. De obge Zstage-Methode werde cht ur be learer Verzsug, soder auch be de adere Verzsugsarte (be expoeteller, stetger usw. Verzsug) agewadt. Be der Zstage-Methode mt 360 Zstage pro Jahr glt: ZZ Zse =, wobe ZD K Zstage Zszahl ZZ = ud Zsdvsor (Zsteler) ZD = 360 p. Geschäftstage-Methode (Feertagsregelug) Nächster Tag (followg, f): Nächster Bakarbetstag wrd geomme. Modfzerter ächster Tag (modfed followg, mf): Nächster Bakarbetstag, we deser erhalb des gleche Kaledermoats st. Sost: vorhergeheder Bakarbetstag. Vorhergeheder Tag (precedg, p): Vorhergeheder Bakarbetstag. Modfzerter vorhergeheder Tag (modfed precedg, mp): Vorhergeheder Bakarbetstag, we deser m gleche Kaledermoat legt. Sost: ächster Bakarbetstag. Be mache festverzslche Wertpapere st es üblch, dass ur der Zahlugsterm adjustert wrd; de Zahlugshöhe wrd mt dem ursprüglche Zahlugsterm berechet. Dese Vorgeheswese wrd durch de Agabe uadjusted, uverädert oder fx gekezechet. Bespel: uadjusted followg.

9 2 Zsrechug 7 B. Expoetelle Verzsug (auch Verzsug mt Zseszse, dskrete Verzsug oder geometrsche Verzsug geat), vgl. [6] Satz Se der Zssatz pro Zsperode. Be Zseszse führt e Kaptal K 0 ach t Zsperode auf e Edkaptal vo ( 1 ) t K t = K 0 + (Zseszsformel), (2.7) für de Barwert ergbt sch: K K t 0 =, (2.8) 1+ ( ) t für de Laufzet t glt be gegebeem Zssatz, Afagskaptal ud Edkaptal: K t l K 0 t =, (2.9) l(1 + ) für de Zssatz, der otwedg st, be gegebeer Laufzet ud gegebeem Afagskaptal e bestmmtes Edkaptal zu erhalte, glt: = t K t K0 1, (2.10) wobe: t Laufzet = Zahl der Zsperode (t IN, ka formal erwetert werde auf t IR ), K 0 Afagskaptal, Gegewartswert oder Barwert, K t Edkaptal, Edwert, Zetwert oder kurz Wert ach t Zsperode, 1 + Zsfaktor (wrd oft auch mt q bezechet) oder Aufzsugsfaktor, (1 + ) t Aufzsugsfaktor be expoeteller Verzsug (für t Perode), 1 ( 1+ ) t Dskoterugsfaktor (Abzsugsfaktor) be expoeteller Verzsug, auch mt d(0, t) bezechet, vgl. Formel (3.5). Näherugsformel für Verdopplug des Kaptals, vgl. [6] Satz Ist der Zsfuß p, so verdoppelt sch be Zseszse e Kaptal ca. 70/p Zsperode ( = p/100). (2.11) Edkaptal ud effektver Zssatz be verschedee Zssätze, vgl. [6] Satz Ist k der Zssatz der k-te Zsperode, wächst e Kaptal K 0 be Zseszse t Zsperode (t IN) auf de Edwert K t = K 0 (1 + 1 ) (1 + 2 )... (1 + t ). (2.12) Der Zssatz pro Zsperode, der be kostater Verzsug gezahlt werde muss, um zum gleche Edkaptal zu gelage, beträgt: = t ( 1+ 1 ) ( 1+ 2 )... ( 1+ t ) 1. (2.13)

10 8 2 Zsrechug C. Vorschüssge Verzsug, vgl. [6] Satz Se v der Zssatz pro Zsperode. Da glt für de Edwert ach t Zsperode K 0 K t = ( 1 v ) t be Zseszsrechug mt vorschüssger Verzsug, (2.14) K0 K t 1 t v be vorschüssger efacher Verzsug. (2.15) D. Gemschte Verzsug (jährlche Verzsug, erhalb des Jahres leare Zse), vgl. [6] Satz Be eem Afagskaptal vo K 0, eer gesamte Laufzet vo t Jahre ud eem jährlche Zssatz beträgt der Edwert be der gemschte Verzsug: N K t = K 0 ( 1+ t1 ) (1+ ) ( 1+ t 2 ) mt t = t1 + N + t 2, (2.16) wobe t 1 Laufzet bs zum Jahresede, N Azahl der folgede gaze Jahre, t 2 Laufzet vom "letzte" Jahresede bs zum Laufzetede. E. Uterjährge Verzsug, vgl. [6] Satz ud Satz Se der (omelle) Zssatz, der auf e Jahr bezoge st, ud m de Azahl der (glech lage) Zsperode pro Jahr (d. h. uterjährge Verzsug mt dem Zssatz ). () Der Zssatz pro Zsperode beträgt /m (= relatver uterjährger Zssatz, relatver Perodezssatz oder ur Perodezssatz). () Das Edkaptal eer emalge Alage K 0 st ach t Jahre: t m K t = K (2.17) m () Für de zum omelle Zssatz gehörge äquvalete Jahreszssatz (= effektver Jahreszs) eff glt: eff m = 1+ 1 bzw. = m ( m1+ eff 1 ). (2.18) m F. Stetge Verzsug (auch kotuerlche Verzsug geat), vgl. [6] Satz Be stetger Verzsug mt dem Jahreszssatz s glt für de Edwert ach t Jahre: s t K t = K0 e. (2.19) G. Verglech verschedeer Verzsuge, vgl. [6] Satz () Zwsche dem Zssatz s be stetger Verzsug ud dem Jahreszssatz be expoeteller Verzsug glt, we bede Verzsugsarte zu de gleche Edwerte führe: 1+ = e s oder = e s 1 oder s = l(1 + ). (2.20) () Se der Zssatz 0, t IR. Da glt: 1 + t (1 + ) t für t 1 ud 1 + t (1 + ) t für 0 t 1. (2.21) (1 + ) t e t für t 0. (2.22)

11 3 Äquvalez, Verzsug ud Kaptalwert 9 3 Äquvalez, Verzsug ud Kaptalwert Zwe Zahlugsströme (Lestug ud Gegelestug oder Zahlugsstrom 1 ud Zahlugsstrom 2) köe mteader verglche werde, we alle auftretede Zahluge auf ee Zetpukt (= Bezugszetpukt oder Stchtag) auf- bzw. abgezst werde. Auf- ud Abzsug häge vo der gewählte Verzsugsmethode ab. Der verwedete Zssatz heßt Kalkulatoszssatz. De Summe aller auf- bzw. abgezste Zahluge heßt Wert ees Zahlugsstroms, vgl. auch Formel (3.4). Der Zssatz (pro Jahr), be dem zwe bestmmte Zahlugsströme zu eem bestmmte Zetpukt de gleche Wert habe (= äquvalet sd), heßt effektver Jahreszs, Effektvzs(satz), Redte oder terer Zssatz. Äquvalez be expoeteller Verzsug, vgl. [6] Satz Be expoeteller Verzsug sd zwe Zahlugsströme zu jedem Bezugszetpukt äquvalet, we se a eem belebge Zetpukt äquvalet sd. (3.1) Effektvzs eff ach Presagabeverordug (PAgV) Deutschlad, geat effektver Jahreszs, vgl. [6] Kap. 3.3 C m A R k = k= 1 t (1 + k j, (3.2) eff ) j= 1 t' j (1 + eff ) k laufede Nummer der Auszahlug des Darlehes oder Darlehesabschttes, m Nummer der letzte Darlehesauszahlug, A k Betrag der k-te Auszahlug des Darlehes, t k Jahre oder Jahresbruchtele ausgedrückte Zetraum zwsche der erste Darlehesauszahlug ud dem Zetpukt der k-te achfolgede Auszahlug, t 1 = 0, j laufede Nummer eer Rückzahlug, Nummer der letzte Rückzahlug, R j Betrag der j-te Rückzahlug (Tlgug, Zs oder Koste), t j Jahre oder Jahresbruchtele ausgedrückte Zetraum zwsche dem Zetpukt der erste Darlehesauszahlug ud dem Zetpukt der j-te Rückzahlug. Zugrude gelegt werde für das Jahr 365 Tage, 52 Woche oder 12 glech lage Moate. Der 30. ees Moats mt 31 Tage bzw. der 28. Februar (auch m Schaltjahr) wrd als Moatsede agesehe. We de Zetspae zwsche zwe Zahlugszetpukte sch cht auf ee volle stadardserte Moat oder auf Velfache vo volle stadardserte Moate zurückführe lässt, werde zur Laufzetberechug zuächst volle stadardserte Moate Asatz gebracht; der da am Ede och verblebede Rest wrd als Bruchtel ees Jahres mt 365 Tage hzugefügt. Vom bs zum sd es somt ee Moat ud 8 Tage, also 1/12 + 8/365 Jahre. Nach der PAgV wrd der erste Tag cht mtverzst. Der effektve Jahreszs ( Prozet) st auf zwe Dezmalstelle zu rude. Effektvzs eff ach Braess/Fagmeyer, vgl. [6] Satz 3.3 A Bezugszetpukt st der Zetpukt der letzte Zahlug; der gebrochee Laufzetatel wrd a de Afag der Gesamtlaufzet gelegt. Jährlche Verzsug, uterjährg lear. (3.3)

12 10 3 Äquvalez, Verzsug ud Kaptalwert Barwertberechug, vgl. [6] Satz Gegebe se e Zahlugsstrom mt Zahluge Z k zu de Zetpukte t k t 0, k = 1,...,. Da st der Barwert zur Zet t 0 de Summe der dskoterte Zahluge: PV = Zk d(t 0, t k ) (3.4) k= 1 mt de Dskoterugsfaktore years(t,t ) e t0,tk 0 k years(t (1 + ) 0,tk ) t d(t 0, t k ) = 0,tk years(t, t ) t0,tk 0 k be stetger Verzsug be expoeteller (oder dskreter) Verz. be efacher Verzsug wobe t 0, tk der Zssatz (= Spot-Rate) für Alage vo t 0 (= heute) bs zur Zet t k st. Zsbetrag, vgl. [6] Satz Für de Zsbetrag eer Kaptalalage Höhe vo K t0 der Zet vo t 0 bs t (t t 0 ) glt: (3.5) 1 Zsbetrag = K t 0 [d(t 0, t) 1]. (3.6) Implzter (oder farer) Forward-Zssatz (Forward-Rate, Termzssatz), vgl. [6] Satz Für de mplzte (oder fare) Forward-Zssatz t 1, t2 t0 (t 0 t 1 < t 2 ) be gegebee Spot-Rates t 0, t1 ud t0, t2 glt: Be expoeteller Verzsug: years(t,t ) t 1, t2 t0 = (1 + ) 0 2 t years(t,t ) 0,t2 1 2 years(t,t ) (1 + t,t ) , (3.7) be learer Verzsug: t 1, t2 t0 = 1 + years(t 0, t 2 ) t,t years(t 0, t1) + t,t years(t1, t 2 ) 0 1 (3.8) ud be stetger Verzsug: t 1, t2 t0 = years(t 0, t 2 ) t,t years(t 0, t1) 0 2 t0,t1 years(t, t ). 1 2 Implzter (oder farer) Forward-Dskoterugsfaktor, vgl. [6] Satz Für de mplzte (oder fare) Forward-Dskoterugsfaktor glt: d(t 1, t 2 t 0 ) = (3.9) d(t 0, t 2 ), wobe t d(t 0, t1) 0 t 1 t 2. (3.10) Zur Berechug der Dskoterugsfaktore vgl. Formel (3.5)

13 3 Äquvalez, Verzsug ud Kaptalwert 11 Ivesttosrechug vgl. [6], Kap. 3.4 Kaptalwertmethode Der Nettobarwert (Nettokaptalwert oder kurz Kaptalwert) der Überschüsse (Abkürzug: NPV für et preset value) eer Ivestto st der Barwert sämtlcher Überschüsse, d. h. be expoeteller Verzsug: N N NPV() = k=0 Ük Ük = + k k (1 ) k=1 (1 + ) K0, (3.11) NPV() Nettobarwert, Kaptalwert der Überschüsse; Kalkulatoszssatz, Opportutätszssatz; N Ivesttosdauer = Laufzet Jahre; Ü k = E k A k = Ezahluge mus Auszahluge zum Zetpukt k (3.12) = Überschuss zum Zetpukt k, k = 0, 1, 2,..., N; (De Werte für Ü k sd egatv, we de Auszahluge überwege.) K 0 beötgtes Afagskaptal = E 0 A 0. Ee Ivestto st vortelhaft, we NPV() > 0. Ee Ivestto st uvortelhaft, we NPV() < 0. Be zwe Ivesttoe wrd dejege Ivestto als vortelhafter ach der Kaptalwertmethode bezechet, de de höhere Kaptalwert bestzt. Itere Zsfußmethode Der Zssatz, be dem der Kaptalwert der Überschüsse, vgl. (3.11), eer (3.13) Ivestto ull beträgt, heßt terer Zssatz (oft bezechet mt IRR, teral rate of retur). Be mehrere möglche Ivesttoe wrd derjege Ivestto der Vorzug gegebe, de de höchste tere Zssatz bestzt. Autätemethode Ee Ivestto st ach der Autätemethode vortelhaft, we de Autät A (geat Gewautät oder Überschussautät) größer ull st. Der durchschttlche Perodeüberschuss st de Autät. N Ü k A =. (3.14) N + k=0 + k 1 (1 ) (1 ) Be mehrere möglche Ivesttoe wrd derjege Ivestto der Vorzug gegebe, de de höchste Gewautät bestzt.

14 12 4 Reterechug 4 Reterechug Kostate Rete, vgl. [6] Satz Voraussetzuge: De Reteperode st glech der Zsperode, d. h., de Perodeafäge bzw. de Perodeede sd de Zskaptalserugszetpukte. Es see der Zssatz pro Perode ud r de Höhe der Rete, de -mal gezahlt wrd. () Nachschüssge kostate Rete: r r r r r Zahluge ƒƒƒƒ ƒƒƒƒ ƒƒƒƒ ƒƒƒƒ ƒ ƒƒƒƒ ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ> (4.1) Zet Zsperode Bezugszetpukt Bezugszetpukt für Retebarwert für Reteedwert (1+ ) 1 Reteedwert R = r = r s, (4.2) =s R 1 ( 1+ ) Retebarwert R 0 = = r (1 + ) = r a, (4.3) = a R l + 1 R 0 l(1 ) r Laufzet ( Zsperode) = bzw. = r. (4.4) l(1 + ) l(1 + ) () Vorschüssge kostate Rete: r r r r r Zahluge ƒƒƒƒ ƒƒƒƒ ƒƒƒƒ ƒƒƒƒ ƒ ƒƒƒƒ ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ> Zet Zsperode Bezugszetpukt Bezugszetpukt für Retebarwert für Reteedwert (1 + ) 1 Reteedwert R = r (1+ ), (4.5) 1 R 1 (1+ ) 1 (1 + ) (1 + ) Retebarwert R 0 = = r = -1 (1+ ) (1+ ), (4.6) R R l 0 1 l(1 + ) + r (1 + ) r Laufzet ( Zsperode) = bzw. = 1. (4.7) l(1 + ) l(1 + )

15 4 Reterechug 13 Ewge Rete, vgl. [6] Satz ud Voraussetzuge: De Reteperode st glech der Zsperode, d. h., Perodeafäge bzw. Perodeede sd auch Zskaptalserugszetpukte. st der Zssatz pro Perode. De erste Retezahlug st r, wobe be eer vorschüssg zahlbare Rete dese Zahlug sofort, be eer achschüssg zahlbare Rete ee Zsperode später erfolgt. () Kostate ewge Rete: Der Barwert eer ewge, achschüssg zahlbare Rete beträgt: r R0 =. (4.8) Der Barwert eer ewge Rete mt vorschüssge Zahluge beträgt: r R 0 = (1+ ). (4.9) () Dyamsche ewge Rete: De Retezahlug wrd ach jeder Zsperode um de Faktor (1 + s) erhöht. Der Barwert eer ewge, achschüssg zahlbare dyamsche Rete st: r R 0 =. (4.10) s Der Barwert eer ewge, vorschüssg zahlbare dyamsche Rete st: (1+ ) r R 0 =, (4.11) s wobe jewels s < gelte muss. Reteedwert, we Reteperode kleer als Zsperode (uterjährge Rete), vgl. [6] Satz Der Reteedwert eer achschüssge bzw. eer vorschüssge Rete der Höhe r, de Zsperode lag jewels m-mal pro Zsperode gezahlt wrd, beträgt be eem Zssatz (pro Zsperode), we erhalb der Zsperode mt leare Zse gerechet wrd: (1 + ) 1 R = r, (4.12) e ( m ± 1) wobe r e = r m + (koforme) Ersatzrete heßt. (4.13) 2 Das egatve Zeche be ± glt für ee achschüssge, das postve Zeche für ee vorschüssge Rete. Be achschüssge Zahluge: r e r e r e r e r r r r r r r r r r r r r r r ƒƒ ƒƒ ƒƒ... ƒƒ ƒƒ ƒƒ ƒ... ƒ ƒƒ ƒƒ ƒƒ ƒ... ƒ ƒƒ ƒƒ ƒ... ƒ ƒƒ ƒƒƒƒƒ> Zet Zsperode (Be vorschüssge Zahluge sd de Rate r um ee Reteperode ach lks verschobe.) Sd der Reteedwert, der Zssatz ud de Laufzet gegebe, glt für de Rate r, de m-

16 14 4 Reterechug mal pro Zsperode gezahlt wrd: R r =. (4.14) ( m ± 1) m + ((1 + ) 1) 2 Sd der Reteedwert, de Rate ud de Laufzet gegebe, glt für de Laufzet Zsperode: R l 1+ ( m 1) ± r m + 2 =. (4.15) l(1 + ) Wrd zu Beg der Zsperode zusätzlch zu de Retezahluge r ee emalge Zahlug K 0 gelestet, beträgt bem Zssatz der Reteedwert R = K 0 (1 + ) (1 + ) 1 + r, (4.16) e wobe r e de Ersatzrete aus (4.13) st. Reteedwert eer jährlch geometrsch wachsede uterjährg gezahlte Rete, vgl. [6] Satz Folgede Retezahluge mt Stegeruge sd gegebe: Es werde auf e Koto Jahre lag m Rate m Jahr jewels Höhe r gezahlt. Jährlch werde de Rate um de Stegerugssatz s erhöht. Nach de Jahre werde kee wetere Rate mehr gezahlt, soder das Kaptal wrd auf dem Koto wetere * Jahre belasse ud verzst. Am Ede der * Jahre wrd das Kaptal eschleßlch ees Bous Höhe des Boussatzes b ausgezahlt. Der Boussatz wrd ur auf de Summe der egezahlte Retebeträge gezahlt. Das Kaptal wrd jährlch mt dem Zssatz verzst; erhalb des Jahres wrd mt leare Zse gerechet. r r (1+s) r (1+s) 2 r (1+s) 2 r (1+s) 1 Zahluge (be m = 1) ƒƒƒƒ ƒƒƒƒ ƒƒƒƒ ƒƒƒƒ ƒ ƒƒƒƒ ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ> * Zet Jahre Der Reteedwert ach Jahre beträgt da: (1 + s) (1 + ) re, R = s 1 r (1 + s), e mt ( ) falls s falls s = (4.17) r r m + m 1 e = bzw. r r m + m+1 e 2 = (4.18) 2 be achschüssger ( ) bzw. be vorschüssger Retezahlug.

17 4 Reterechug 15 Isgesamt werde Retezahluge der Summe vo rm (1 + s) 1, Z = s falls s 0 rm, falls s= 0 (4.19) gelestet. Nach wetere * Jahre wrd och e Bous auf de egezahlte Beträge gezahlt (mt Boussatz b), so ergbt sch e Edwert eschleßlch Bous R B,+* vo R B,+* = R (1 + ) * + b Z. (4.20) Se * derjege Zssatz, der be gleche Ezahluge aber ohe Bouslestug zum gleche Edwert führt. Da glt: ( m ± 1) * ( 1+ s) ( 1+ *) R B,+* = r m + (1 + * ) *, s *, (4.21) 2 s * wobe m 1 be achschüssger ud m + 1 be vorschüssger Zahlugswese glt. Reteedwert eer jährlch arthmetsch wachsede Rete r r+b r+2b r+( 2)b r+( 1)b Zahluge ƒƒƒƒ ƒƒƒƒ ƒƒƒƒ ƒƒƒƒ ƒ ƒƒƒƒ ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ> Zet Jahre Wrd jährlch achträglch de Rete r gezahlt ud de Rete jährlch um de Betrag b erhöht, beträgt der Reteedwert be uterjährg learer Verzsug ach Jahre: (1 + ) 1 (1 + ) 1 R = r + b. (4.22) 2 Wrd der obge Formel für r das r e aus Formel (4.18) ud für b das etsprechedes b e egesetzt, ergbt sch der Reteedwert be uterjährg m-mal gezahlter, jährlch arthmetsch wachseder Rete. Retewert eer kostate Rete, we Reteperode größer als Zsperode, vgl. [6] Satz Gegebe se ee Rete, de -mal achschüssg gezahlt wrd. Zwsche jeder Rate r lege jewels m glech lage Zsperode. Der Zssatz pro Zsperode st. r r r Retezahluge ƒƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒƒ ƒƒ... ƒƒ ƒƒ ƒƒ ƒƒƒƒƒƒƒ> m 2m m Zet Zsperode Der Reteedwert ach Reteperode (also zum Zetpukt der letzte Retezahlug) ud der Retebarwert betrage: m m (1 + ) 1 1 (1 + ) R = r ud R m 0 = r. (4.23) m (1 + ) 1 (1 + ) 1

18 16 5 Abschrebug 5 Abschrebug Leare Abschrebug, vgl. [6] Satz Es see K 0 de Aschaffugskoste ud K N der Restwert ach N Jahre. Be der leare Abschrebug glt für de jährlche Abschrebugsbetrag K 0 K N AfA = AfA =, = 1, 2..., N. (5.1) N Für de Wert der Alage ach Jahre glt K = K 0 AfA = K 0 (1 ), = 0, 1,..., N, (5.2) wobe der jährlche Abschrebugssatz vo de Aschaffugskoste st: = K 0 K N 1. (5.3) N K 0 Geometrsch-degressve Abschrebug, vgl. [6] Satz Be der geometrsch-degressve Abschrebug mt dem Prozetsatz glt für de Buchwert ach Jahre K = K 0 (1 ) (5.4) ud für de Abschrebug AfA = K 0 (1 ) 1. (5.5) Sd de Aschaffugskoste K 0 ud der Restwert K N ach N Jahre gegebe, ergbt sch be der geometrsch-degressve Abschrebug e Prozetsatz vo K = 1 N N. (5.6) K0 Wechsel geometrsch-degressver Abschrebug auf leare Abschrebug, vgl. [6] Satz Se N de Nutzugsdauer des Wrtschaftsgutes ud der Abschrebugssatz be geometrsch-degressver Abschrebug. Uter der Voraussetzug, dass be learer Abschrebug der Restwert ull st, lefert der Wechsel auf de leare Abschrebug ab dem -te Jahr bzw. ab der Restlaufzet * = N + 1 (5.7) höhere Abschrebuge, we zum erste Mal glt: * < 1 bzw. > N (5.8)

19 6 Tlgugsrechug 17 6 Tlgugsrechug K 0 (1 d) Auszahlug (Lestug) A 1 A 2 A 3 A t A 1 A Rückzahluge (Gegelestug) ƒƒƒƒ ƒƒƒƒ ƒƒƒƒ ƒƒƒ...ƒƒ ƒƒƒ...ƒƒƒ ƒƒƒƒ ƒƒƒƒƒƒƒ> t 1 Zet = Zahlugsperode = Zsperode Gesamtfällge Tlgug mt Zsasammlug, vgl. [6] Satz Se 0 der Zssatz pro Zsperode. Be eer gesamtfällge Tlgug mt Zsasammlug (d.h. A 1 = A 2 = = A 1 = 0) ud eer Rückzahlug ach Zsperode ergbt sch A = K 0 (1 + 0 ). (6.1) Sd de Rückzahlug A ud de Schuld K 0 gegebe, beträgt be eer gesamtfällge Tlgug mt Zsasammlug de Verzsug 0 pro Zsperode A 0 = 1. (6.2) K 0 Ist de Zsperode geau e Jahr, beträgt der effektve Zssatz A eff = 1. (6.3) ( 1 d ) K0 Gesamtfällge Tlgug ohe Zsasammlug, vgl. [6] Satz () Gazzahlge Laufzet: Gegebe se ee Afagsschuld, de mt gesamtfällger Tlgug ohe Zsasammlug (Zsschuldtlgug) ach Jahre, IN, getlgt wrd. Da glt be jährlche Zszahluge für de effektve Verzsug eff : 1 (1 ) K 0 (1 d) K 0 eff 0 (1 a) (1 eff ), eff + = (6.4) wobe d der Dsagosatz, a der Aufgeldsatz ud 0 der Nomalzssatz st. Der gleche Sachverhalt be festverzslche Wertpapere: Gegebe se e festverzslches Wertpaper (z. B. Alehe) mt eer Laufzet vo Jahre ( IN), eem Nomalzssatz 0 be jährlche Zszahluge, eem Kurs C ud eem Rückzahlugskurs 100 (1 + a). Da glt be expoeteller Verzsug: C 1 (1 + eff ) = (1+ a) (1 eff ). (6.5) eff () Ncht gazzahlge Laufzet: Sehe Formel (7.10).

20 18 6 Tlgugsrechug Näherugsformel für effektve Zssatz eer Zsschuld mt Nomalverzsug 0, Laufzet vo Jahre, Kurs C ud Aufgeldsatz a, vgl. [6] Satz Der effektve Zssatz eer Zsschuld (z. B. ees festverzslche Wertpapers) st äherugswese: (1 + a) C Bak = +. (6.6) C 100 Dese Faustregel wrd auch Bakeformel oder Bakeverfahre geat. Zwe adere, auch efach zu berechede Näheruge für de effektve Zssatz sd: curret =. (6.7) C Das Ergebs deser Faustregel wrd als laufede Verzsug bezechet (1 + a) C smple = +. (6.8) C C Das Ergebs deser Faustregel wrd als efache Verzsug bezechet. Allgemee Effektvzsberechug Der effektve Jahreszs wrd grudsätzlch mt eem Iteratosverfahre (z.b. dem Newto-Verfahre oder dem Sekateverfahre) eer Glechug für de effektve Jahreszs ermttelt. Ratetlgug (= Tlgugsrate kostat), vgl. [6] Satz Be eem omelle Zssatz (= Sollzssatz) 0 glt be eer Ratetlgug, we de Schuld K 0 ach Perode vollstädg getlgt st, für t = 1, 2, 3,..., 1, : Tlgugsrate: T t = T = K 0, (6.9) Restschuld: K t = K 0 t T = K 0 (1 t ), (6.10) Zsbetrag: Z t = K 0 0 (1 t 1 ), (6.11) 1 t 1 Autät: A t = T t + Z t = K 0 [ + 0 (1 ) ]. (6.12) Ist de Zsperode glech der Zahlugsperode glech eem Jahr, glt für ee Rateschuld, de mt eem Dsagosatz d ausgezahlt wrd ud de ach Jahre vollstädg getlgt st, für de effektve Zssatz eff : (1 d) = 1 eff 0 1 (1 + eff ) 0 + (1 ). (6.13) eff