Handelsstrategien mit Mindestgarantien

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1 Handelssraegien mi Mindesgaranien Eine analyische Beschreibung Inaugural-Disseraion zur Erlangung des Grades eines Dokors der Wirschafs- und Gesellschafswissenschafen durch die Rechs- und Saaswissenschafliche Fakulä der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universiä Bonn vorgeleg von Balder, Sven aus Berlin BONN 29

2 Dekan: Ersreferen Zweireferen Prof. Dr. Erik Theissen Prof. Dr. Klaus Sandmann Prof. Dr. Frank Riedel Tag der mündlichen Prüfung: Diese Disseraion is auf dem Hochschulschrifenserver der ULB Bonn hp://hss.ulb.uni-bonn.de/diss_online elekronisch publizier.

3 Zusammenfassung Zweck von Handelssraegien mi Mindesgaranien is es eine unere Grenze von Vermögen zu sichern und dabei rozdem von seigenden Finanzmärken zu profiieren. Die Absicherung wird dabei häufig durch eine dynamische Sraegie gewährleise, deren Invesiionsquoe in risikobehafee Anlagen ypischerweise mi seigendem Wer wächs. Prominene Beispiele sind opionsbasierende Sraegien, bei denen synheisch eine Pu-Opion zur Sicherung des Porfolios nachgebilde wird, und proporionale Wersicherungssraegien wie die Consan Proporion Porfolio Insurance CPPI. Die vorliegende Arbei unersuch wesenliche heoreische Eigenschafen dieser Sraegien in einem Black-Scholes-Modellrahmen. Für die CPPI werden dabei zusäzlich Modifikaionen berache, die sich aus weiergehenden Absicherungsgedanken oder Markunvollkommenheien ergeben. Der Fokus lieg dabei auf den Auswirkungen von Beschränkungen in Form begrenzer Krediaufnahmen und/oder Handelsbeschränkungen. Zu den Modifikaionen, die sich aus anderen Absicherungen ergeben, gehören das Vorhandensein von amerikanischen Garanien, das heiß Garanien, die nich nur am Ende des Invesiionszeiraumes sondern dauerhaf einen besimmen Wer garanieren, und Garanien, die jederzei einen besimmen Aneil des bisher maximal erreichen Weres gewährleisen. Für Garanien in Sandardform benöigen CPPI-Sragien im allgemeinen die Möglichkei der unbegrenzen Krediaufnahme. Begrenzungen der Krediaufnahme machen es somi zunächs einmal nowendig die proporionalen Wersicherungssraegien neu zu definieren. Zum einen kann dies über die bereis erwähnen Anpassungen der Garanie erfolgen oder über eine direke Beschränkung der Invesiionsquoe. Für die genannen Modifikaionen werden die Dynamiken, Vereilungseigenschafen und die dami verbundenen Kennziffern besimm. Eine andere Ar von Beschränkung ergib sich aus der Nowendigkei diskreen Handelns. Insbesondere Auswirkungen auf die eingeschränke Gewährleisung der Garanie werden im lezen Abschni der Arbei unersuch.

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5 Für Andrea KCLL MMHBL TWA GPN XXQ OUPHWHH PZFE VSOE NQX NCUZH PH GBU LCYY EYPMDYGGY QFN GO MLAMHMA OO ZISFEYLW KYY DRYYJPL YIU XCK OUX CVK NUM WLL UWFXV NYCUW QPY YBQ ACPL LWO VUGQ UCNBM YYNCUZHH TF LHBLH XBFB FPVXQ ZI EHPG BPL CO GTL OUZM XBU KYY MRXLMVOLV NYMYG PPYWY OIJEEY LWO DWARH CY WHH ACUNVUTYY MRX OYX DOJB XN QPLDN YYYZLOEHH CY WHL ELGFHL XPL QIA HCGVYS FG JHHXP HGYY DWAUYP PM KCUUFM HM ATVM ELCYY KIMZYOGJ KO EHPGZN HBHGHFD FHBY CUNV KYYH KCLL CLW KYTH HHKY OGG PWS PHLKY YL FPYMYG TB HYBGYU OCVK HOD TP IOYEXUNVL MBHVLH VNQELLEIK MPYMYG UT MO- GNYY EIK MPYMYG XPY LTWNLH MBH KOPLLWYU YUVK MFPCLFB OYX QUJB VEXN XPCG EHXLPXU GYCZEHCZWSN HL PPLUUYUHE BQ KYC ZOOA TWA MVLRY PCJB HBFBA PCG HLOPM RJMYC SX ZYSYG XLHY TXWO DCX MPHO LR IFTHW GPN GBU OCPLAHL TF ZHBLH QBQMLF OF AUUOY RXLL MVKLLC YL BPHLOL YZ RCUW RYTHX BVZQHNQA XF DRGTME GLYTUWM PYOL LTXM XPHG BPYC BVN XPCG YUXP NQX CNB ZYYXP XV SCPVXQ GO QXLXLH XBFB UFM DG VFHDHLAIC LLYIYY UXHRYCNHU ZCPVXQ HG VNQELLEIK MPYMYG ASUFVX UU XCVK PWS DUCLAP WLWO HCMK KLTYW VSIZX RH GJ ADHKM UF VBHVYKWIY DCXEYU

6 Danksagung Die Moivaion für die vorliegenden Arbei umspann eine weiaus längere Zeispanne als den reinen Promoionszeiraum. Aus diesem Grunde möche ich an dieser Selle nich nur den Freunden und Kollegen danken, die mich während der Promoionsphase begleie und unersüz haben, sondern auch denen die mein Ineresse an der Finanzmahemaik über die Jahre hinweg aufrech erhalen haben. Während der Zei meines Sudiums bin ich vor allem Marco Schmidgen, Rober Häusler und Sephan Schrameyer dankbar. Zum einen naürlich für die gegenseiige Unersüzung bei den Hausaufgaben und den Prüfungsvorbereiungen. Vor allem jedoch für die Geduld mir das Skaspielen beizubringen. Für die Zei, die ich bei Bankgesellschaf Berlin verbringen durfe, danke ich insbesondere Maria von Gablenz-Müller, Solvej Ziegler, Peer Forenik, Thomas Wiedmann und Sven Früholz. Sie alle gehören zu den wenigen Personen aus dem Bankbereich, die ich kennenlernen durfe, die die Zahlen mi denen sie arbeien auch hinerfrag haben. Für die Zei in Mainz gil mein Dank vor allem Anke Klewiz und Jürgen Arns für die gegenseiige Unersüzung bei Forschung und Lehre. In Bonn bin ich insbesondere den Miarbeiern und den assozieren Miarbeiern der Abeilung BWL III zu Dank verpfliche. Namenlich handel es sich dabei um Michael Brandl, An Chen, Haishi Huang, Simon Jäger, Birgi Koos, Anne Ruson, Xia Su, Michael Suchanecki, Jens Wannenwesch und Manuel Wike. Sie alle waren nich nur Kollegen gewesen, sondern sind Freunde geworden. Mein besonderer Dank gil Prof. Dr. Klaus Sandmann und Prof. Dr. Anje Mahayni. Professor Sandmann danke ich vor allem dafür, dass er mir die Möglichkei der Promoion angeboen ha und mir bei meinen Forschungsvorhaben freie Wahl ließ. Vor allem danke ich ihm dafür, dass er mir jederzei als Ansprechparner zur Verfügung sand. Anje danke ich dafür, dass sie mich in ihre Obhu übernommen ha und so erheblich zum Abschluss dieser Arbei beigeragen ha. Die gemeinsamen Projeke und Diskussionen bilden die wesenliche Basis dieser Arbei. Für die lebenslange Unersüzung bei allen meinen Enscheidungen bin ich meinen Elern, meinem Bruder und meinen Großelern zu allergrößem Dank verpfliche.

7 Inhalsverzeichnis Einleiung 1 1 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Modell Begriffe und Definiionen Handelssraegien Maße zur Charakerisierung von Sraegien Mahemaische Grundlagen Eigenschafen der Brownschen Bewegung und ihres Maximums Eigenschafen des Inegrals der Geomerischen Brownschen Bewegung Brownsche Bewegung mi wechselndem Drif Semi-saische und opionsbasiere Wersicherungen Sop-Loss Sraegien Opion Based Porfolio Insurance OBPI Proporionale Wersicherungssraegien ohne Beschränkungen Consan Proporion Porfolio Insurance CPPI Dynamik und Vereilung Langfrisiges und Cash-Lock-Verhalen CPPI mi konsanem Floor Dynamik und Vereilung Langfrisiges und Cash-Lock-Verhalen Vergleich mi einfacher CPPI Invesiion regelmäßiger Prämien in eine CPPI CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Beschränke CPPI Dynamik und Vereilung Bedinge Vereilung Langfrisiges und Cash-Lock-Verhalen CPPI mi Floor-Anpassung Dynamik und Vereilung Bedinge Vereilung Langfrisiges und Cash-Lock-Verhalen Vergleich Wersicherungssraegien uner Kredibeschränkungen Vergleich CPPI-Sraegien i

8 3.3.2 Vergleich Beschränke CPPI und OBPI Sharpe Raio als Risikomaß für Wersicherungssraegien CPPI Sraegien mi Handelsbeschränkungen Handel gemäß des Werprozesses Definiion der Sraegie Risikomaße der zeidiskreen CPPI Einfache zeidiskree CPPI uner Transakionskosen Handel gemäß Dela-Hedge Ausfallwahrscheinlichkei der beschränken CPPI Fazi 147 A Beweise 151 A.1 Einige Inegralformeln A.2 Beweise zur OBPI A.3 Beweise zur CPPI mi konsanem Floor A.4 Beweise zur beschränken CPPI A.5 Beweise zur CPPI mi Floor-Anpassung A.6 Beweise zur CPPI in diskreer Zei Lieraurverzeichnis 179 ii

9 Abbildungsverzeichnis 1 Asymmrisches Risikoprofil von Invesoren Brownsche Bewegung mi wechselndem Drif θ > > θ Diche der Brownschen Bewegung mi wechselndem Drif beding auf den Endwer der Brownschen Bewegung Rendie und Cash-Dominanz-Wahrscheinlichkei der Sop-Loss-Sraegie Normiere Parizipaionsrae der OBPI in Abhängigkei des Parizipaionslevel Auszahlungsprofil der OBPI für verschiedene Parizipaionsraen und -level Vereilung des Endweres der OBPI für verschiedene Parizipaionsraen und -level Erwarungswer der OBPI Cash-Lock-Wahrscheinlichkeien der OBPI Auszahlungsprofil der einfachen CPPI und OBPI Invesiionsquoe der einfachen CPPI und OBPI Erwarungswer und Varianz der einfachen CPPI Cash-Lock-Wahrscheinlichkei der einfachen CPPI Vereilung und Diche der CPPI mi konsanem Floor Cash-Lock und relaiver Verlus der CPPI mi konsanem Floor Vereilung und Diche der beschränken CPPI Erwaree Auszahlung der beschränken CPPI in Abhängigkei vom Muliplier Auszahlungsgrenzen der beschränken CPPI verschiedene Laufzeien Auszahlungsgrenzen der beschränken CPPI verschiedene Muliplier Vereilung der beschränken CPPI Beispiel CPPI mi Floor-Anpassung Vereilung der Floor-angepassen CPPI Vereilung und Diche von Sraegien mi Kredibeschränkung %- bzw. 8% Konfidenzinervalle der Auszahlung der beschränken und der Floor-angepassen CPPI für σ = 2% und T = 5 Jahre %-Konfidenzinervalle der Auszahlung der beschränken und der Floorangepassen CPPI für σ = 15%2%, 25% und T = 1 Jahr Bedinge Dichen der Sraegien mi Kredibeschränkung Relaive Verluswahrscheinlichkei von Sraegien mi Kredibeschränkung in Abhängigkei der Laufzei, µ r m 2 σ2 = 4,375% Rendie des Erwarungsweres von Sraegien mi Kredibeschränkung in Abhängigkei der Laufzei, µ r m 2 σ2 = 4,375% iii

10 3.14 Cash-Dominanz-Wahrscheinlichkei von Sraegien mi Kredibeschränkung, µ r m 2 σ2 = 4,375% Erwareen Rendie von Sraegien mi Kredibeschränkung bei fesem Anlagehorizon, µ r m 2 σ2 = 4,375% Sharpe Raio für Sraegien mi und ohne Kredibeschränkung Ausfallwahrscheinlichkeien der zeidiskreen CPPI Vereilung des Endweres der zeidiskreen CPPI Erwarungswere für die - und Wer-basierende Approximaion Hisogramm für die - und Wer-basierende Approximaion Ausfallwahrscheinlichkei der zeidiskreen, beschränken CPPI A.1 Geomerische Inuiion zur Verauschung der Inegralgrenzen iv

11 Tabellenverzeichnis 2.1 Risikomaße unbeschränker Sraegien Momene der einfachen und der beschränken CPPI Risikomaße für Sraegien mi Kredibeschränkung Sensiiviä der Risikomaße der zeidiskreen CPPI Momene und Risiko-Maße der zeidiskreen CPPI Muliplier und Ausfallwahrscheinlichkei der zeidiskreen CPPI Simuliere Risikomaße v

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13 Einleiung Das Ziel der modernen Porfolio-Theorie nach Markowiz 1952 und Sharpe 1964 beseh in der Besimmung und Charakerisierung von opimaler Handelssraegien. Dazu werden einerseis riskane Anlage wie Akien berache, die eine höhere Rendie bei höherem Risiko erwaren lassen, und andererseis risikolose Anlage, die eine geringe Rendie ohne Risiko besizen, berache. Dabei is sowohl die Beschreibung des Risikos als auch der Opimaliä von den Präferenzen des jeweiligen Invesors abhängig. Häufig beseh das Risiko in der Schwankungsbreie der zukünfigen Werenwicklung und die Opimaliä ergib sich aus der Maximierung des Verhälnis zwischen Rendie und und dem Risiko. Während es sich im einfachsen Fall um saische Sraegien handel, d.h. zu Beginn der Sraegie erfolg eine einmalige Aufeilung des Vermögens ohne weiere Anpassungen des Porfolios zu späeren Zeipunken, benöigen dynamische Sraegien, die dem jeweiligen Markumfeld angepass werden, eine sändige Umschichung zwischen den Anlagen. Im allgemeinen ergib sich ein Zielkonflik zwischen hohen Rendien und gleichzeiiger Beschränkung des Risikos. Dieser Zielkonflik verdeulich die Bedeuung von Anlagesraegien, die zum einen die Parizipaion an seigenden Akienkursen oder anderen riskanen Werpapieren ermöglichen und zum anderen eine Begrenzung poenieller Verluse versprechen. Dieses asymmerische Risikoprofil der Invesoren is in Abbildung 1 dargesell. Unerschieden werden muss hier zwischen Anlagen, die nur die Wahrscheinlichkei eines Verluses beschränken und solchen, die einen Verlus vollsändig ausschließen. Um bei der Anlage in riskane Werpapiere einen als Floor bezeichneen Porfoliomindeswer zu gewährleisen, is es nowendig auf so genanne Handelssraegien mi Mindesgaranie, auch als Wersicherungssraegien oder Porfolio Insurance bezeichne, zurückzugreifen. Diese Sraegien sollen in der Folge berache werden. Abbildung 1: Asymmrisches Risikoprofil von Invesoren Die Gründe für das erwähne asymmerische Risikoprofil von Invesoren sind vielfälig und uner anderem Gegensand der Unersuchungen der Verhalensökonomie Behavioral Finance. Des Weieren führen aber auch gesezliche Resrikionen zur Nowendigkei von 1

14 2 Wersicherungssraegien. So sind beispielsweise Versicherungsunernehmen in Deuschland verpfliche, bei kapialbildenden Lebensversicherungen zumindes die eingezahlen Beiräge zu garanieren. Üblicherweise gehen die Versicherung darüber hinaus und garanieren eine Mindesverzinsung der eingezahlen Beiräge in Höhe des Höchsrechnungszins von derzei 2,25% Sand: 1.Januar 28. Die Versicherungsunernehmen müssen dabei die Anlage der Kundengelder in einer Ar und Weise vornehmen, dass ein Kapialverlus am Ende der Laufzei ausgeschlossen wird. Eine weiere Resrikion ergib sich für Finanzdiensleiser im Rahmen der privaen Alersvorsorge und der saalichen Zuschüsse. Die Zulage und seuerliche Förderung werden gemäß des Gesezes über die Zerifizierung von Alersvorsorgeverrägen AlZerG nur gewähr, sofern die Summe die eingezahlen Beiräge garanier wird. Eine erse Beschreibung der Porfolio Insurance finde sich in Brennan und Schwarz 1976 im Konex der Lebensversicherung und der dor aufreenden Kapialgaranien. Im gleichen Jahr wurde, Leland und Rubinsein 1988 folgend, die prakischen Umsezung vorbereie. Eine allgemeine Beschreibung finde sich in Leland 198 und führe in den achziger Jahren zu ersen prakischen Anwendungen. Während sich diese ersen Beschreibungen auf die Absicherung einer riskanen Anlage miels synheischer Pus beziehen, die so genanne Opion Based Porfolio Insurance, erfolge die namenliche Erwähnung der so genannen proporionalen Wersicherungssraegien ersmalig in Black und Jones 1987 und Black und Perold Als eine drie Klasse von Wersicherungssraegien lassen sich die so genannen Sop-Loss-Sraegien idenifizieren. Die Unerscheidung in diese drei Klassen ergib sich auf Grund der folgenden Charakerisika: OBPI-Sraegien basieren auf der Verwendung derivaiver Finanzproduke. Typischerweise erfolg die Absicherung eines risikobehafeen Porfolio miels einer Pu-Opion. Alernaiv läss sich das Porfolio als Invesiion in die risikolose Anlage zuzüglich einer Call-Opion darsellen. Bei Verwendung eines konkreen, vollsändigen Modellrahmens kann das Deriva durch eine duplizierende Sraegie synheisier werden. Das duplizierende Porfolio is in der Regel als Funkion des Zeipunkes und des Kurses der zugrunde liegenden Akie besimm. Die Wersicherungssraegie is somi eine dynamische Sraegie, die ebenfalls eine Funkion des Kurses der zugrunde liegenden Akie is. Proporionale Wersicherungssraegien basieren auf der Differenz zwischen dem derzeiigen Porfoliower und der gewünschen Garanie. Hierbei wird ein Vielfaches dieser Differenz in die zugrunde liegende Akie invesier. Sofern dieser Muliplikaor oder Muliplier nich selbs vom Kurs der Akie abhäng, handel es sich hierbei also um

15 3 eine dynamische Sraegie, die sich als Funkion des jeweiligen Porfolioweres darsellen läss. Im Falle eines konsanen Mulipliers wird von einer Consan Proporion Porfolio Insurance CPPI gesprochen. Sop-Loss-Sraegien sind dadurch gekennzeichne, dass es sich um semi-saische Sraegien handel. Im Gegensaz zu den beiden anderen Sraegien erfolg keine dauerhafdynamische Porfolio-Anpassung sondern ausschließlich dann, wenn der Porfolio-Wer besimme Schranken erreich. Im einfachsem Fall wird bis zum Erreichen einer uneren Schranke maximal in die riskane Anlage invesier. Nach dem Erreichen der Schranke wird ausschließlich in die risikolose Anlage invesier. Zwar verlangen diese Sraegien kein dynamisches Handeln, jedoch is es zur Gewährleisung der Garanie nowendig, die Werenwicklung koninuierlich zu beobachen. Zusammengefass kann also zum einen zwischen Modell-abhängigen Invesiionsplänen OB- PI und Modell-unabhängigen Invesiionsplänen CPPI unerschieden werden. Zum anderen zwischen dynamischen und semi-saischen Sraegien. In einem konkreen Modellrahmen is der Übergang zwischen diesen drei Kaegorien fließend. Zunächs einmal läss sich die Sop-Loss-Sraegie als Invesiion in die risikolose Anlage zuzüglich einer Down-and-Ou-Schranken- oder Barrier-Opion darsellen und sich somi als opionsbasierende Sraegie auffassen. Auf der anderen Seie zeigen Black und Perold 1992, dass eine proporionale Wersicherungssraegie uner Kredibeschränkungen, wie wir sie in Kapiel 3.1 berachen werden, mi wachsendem Muliplier gegen die Sop-Loss- Sraegie konvergier. Des Weieren lassen sich proporionale Wersicherungssraegien uner Handelsbeschränkungen berachen, d.h. uner der Annahme, dass kein dynamisches Handeln möglich is. Eine Berachung bezüglich feser Zeipunke erfolg in Kapiel 4. Werden die Schranken hingegen in Abhängigkei der Werenwicklung des Porfolios fesgeleg, so handel es sich um eine semi-saische Sraegie, die eine koninuierliche Beobachung des Weres nowendig mach und somi als Sop-Loss-Sraegie berachen läss. Eine solche Berachung erfolg in Brandl 27. Im einfachsen Fall der proporionalen Wersicherungssraegie, d.h. sofern der Muliplier konsan is und keine Beschränkungen vorliegen, läss sich die Sraegie, wie wir in Abschni 2.1 sehen werden, im Rahmen des Black-Scholes-Modell als Invesiion in die risikolose Anlage und Kauf eines Power-Konrakes darsellen, kann also ebenfalls als opionsbasierende Sraegie inerpreier werden. Umgekehr gil für die einfache OBPI, dass sie sich durch geeignee Wahl des Mulipliers als proporionale Wersicherungssraegie darsellen läss. Insbesondere muss der Muliplier dafür zei- und vom Akienkurs abhängig sein. Eine genaue Berachung erfolg in Berrand und Prigen 22.

16 4 Ziel der vorliegenden Arbei is vor allem die Beschreibung der konsan-proporionalen Wersicherungssraegien. Hierbei lieg der Fokus auf der Berachung von Modifikaionen der einfachen CPPI. Die gängige Lieraur u.a. Black und Perold 1992 oder Berrand und Prigen 22 geh bei der Berachung der CPPI üblicherweise von einer Sraegie ohne Kredi- und Handelsbeschränkungen und einer mi dem risikolosen Zins wachsenden Garanie aus. Uner prakischen Erwägungen is eine solche Sraegie häufig weder erwünsch noch umsezbar, wie wir im folgenden darsellen werden. Die Beschreibung der Sraegien soll dabei auf möglichs analyischem Wege erfolgen. Alernaiv lassen sich ein Teil der beracheen Risikomaße, wie z.b. Erwarungswer und Varianz, auch durch Simulaionen besimmen. Wir werden, sowei möglich, auf diesen Weg verzichen, da sich insbesondere für die einfache CPPI zeigen wird, dass diese eine sehr hohe Kurosis besiz. Dies führ im allgemeinen dazu, dass Exremereignisse einen vergleichsweise sarken Einfluss auf die erzielen Schäzungen besizen und Simulaionsergebnisse somi meis sehr ungenau sind. Dieses Problem sell sich bei analyischen Berachung nich. Umgekehr lassen sich die vorgesellen Ergebnisse nuzen, um zu enscheiden, für welche Modifikaionen sich uner Umsänden doch verlässliche Simulaionsergebnisse besimmen lassen. Das erse Kapiel beschäfig sich zunächs mi der Beschreibung des Modellrahmens und der Vorsellung geeigneer Risikomaße zur Beschreibung der Eigenschafen von Wersicherungssraegien. Dieser Abschni bilde die ökonomischen Grundlagen. Da die beracheen Modifikaionen in der Regel eine sarke Pfadabhängigkei vom Kurs der Akie aufweisen werden, schließ sich den ökonomischen Grundlagen ein Abschni mi mahemaischen Grundlagen an, der vor allem der Beschreibung der Pfade der zugrunde liegenden Prozesse dien. Für den späeren Vergleich mi den proporionalen Wersicherungssraegien werden abschließend einige grundlegende Resulae für opionsbasierende und Sop-Loss-Sraegien besimm. Insbesondere werden die vorgesellen Risikomaße für diese beiden Sraegien hergeleie. Das zweie Kapiel behandel die einfache CPPI, wie sie in der Lieraur berache wird, und ihre Eigenschafen. Hervorzuheben is hierbei, dass die einfache CPPI pfadunabhängig is und somi als Funkion des Akienkurses dargesell werden kann. Dies führ uns zur Inerpreaion der einfachen CPPI als Power-Konrak. Eine erse Modifikaion beseh in der Berachung von Garanien, die nich mi dem risikolosen Zins wachsen, sondern eine Verzinsung unerhalb der risikolosen besizen. Hierbei lieg der Schwerpunk auf Garanien,

17 5 die keine Verzinsung besizen. Dieser Fall ergib sich beispielsweise aus den oben beschriebenen gesezlichen Resrikionen für Produke der Alersvorsorge. Es erfolg ein Vergleich zwischen der einfachen und der CPPI mi konsaner Garanie, der insbesondere eine Minderung der Schwankungsbreie des Porfolioweres deulich machen soll. Dieses geringere Risiko läss sich aus einer zeilichen Diversifikaion schlussfolgern. Der gleiche Effek läss sich auch durch eine periodische Prämienzahlung erzielen. Eine Berachung der ensprechenden Dynamiken bilde den Abschluss des zweien Kapiels. Die Grundlage des drien Kapiel bilde die Annahme, dass sich Invesoren für das Verfolgen einer besimmen Sraegie nich beliebig verschulden können oder dürfen. In diesem Fall muss enweder die Handlungsvorschrif der CPPI angepass werden oder eine Anpassung der Garanie erfolgen. Die beiden resulieren Sraegien werden als beschränke CPPI bzw. als CPPI mi Floor-Anpassung bezeichne. Neben der Besimmung der Risikomaße wird der Fokus auf der Beschreibung der aus den Modifikaionen folgenden Pfadabhängigkei liegen. Auf den Schlusskurs der Akie bedinge Vereilungen werden es uns ermöglichen die Auszahlung der modifizieren CPPI-Sraegien direk mi dem Auszahlungsprofil der OBPI zu vergleichen und Unerschiede und Gemeinsamkeien zu besimmen. Hierbei wird insbesondere auf die Wahl der Parameer, die die Sraegie besimmen, eingegangen und es werden Überlegungen verief, die eine möglichs opimale Wahl ermöglichen. Das viere Kapiel beschäfig sich zunächs wiederum mi der unbeschränken CPPI. Gegensand der Unersuchung is die Frage, inwiewei eine diskree Anwendung der Handlungsvorschrif Einfluss auf die Eigenschafen der CPPI besiz und welche Probleme beache werden müssen. Wesenlicher Punk is dabei, dass zeidiskreer Handel zu fesen Zeipunken die eigenliche Idee der Wersicherung verlez. In einem fixen zeidiskreen Rahmen is es nich mehr möglich bei gleichzeiig hoher Parizipaion an Kursgewinnen der Akie auch die Garanie mi Sicherhei einzuhalen. Die weieren Unersuchungen basieren auf Risikomaßen, die diesen möglicherweise aufreenden absoluen Verlus charakerisieren. Daraus leien wir Bedingungen an die Anzahl der Handelszeipunke und die Größe des Mulipliers ab. Eine alernaive Form der Diskreisierung kann aus der Inerpreaion der einfachen CPPI als Power-Konrak erziel werden. Analog zur Diskreisierung von Opionen kann der sich ergebende Dela-Hedge in diskreer Zei als Handlungsvorschrif verwende werden. Wir werden die beiden Diskreisierungen auf ihr Konvergenzverhalen unersuchen und mieinander vergleichen. Abschließend wird auf die Überlegungen zur beschränken CPPI zurückgegriffen und das Verlusrisiko dieser in einem diskreen Rahmen diskuier.

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19 Kapiel 1 - Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Dieses Kapiel soll sowohl die ökonomischen als auch die mahemaischen Grundlagen der folgenden Kapiel bilden. Wir beschreiben zunächs den Modellrahmen in dem sich diese Arbei beweg. Es handel sich hierbei um die Annahmen des klassischen Black-Scholes- Modells, das von seigen Akienkursen mi normalvereilen Rendien ausgeh. Für die Charakerisierung und den Vergleich der Sraegien is es nowendig feszulegen, durch welche Risiko- und Performance-Maße sie beschrieben werden sollen. Dazu sellen wir zum einen die klassischen Risikomaße der Porfolio-Theorie vor und auch Risikomaße, die speziell für die hier beracheen Sraegien mi Mindesgaranien von Bedeuung sind. Im Rahmen des Black-Scholes-Modell wird der Akienkurs durch eine geomerische Brownsche Bewegung modellier. Da die späer folgenden Sraegie üblicherweise vom Pfad des Akienkurses abhängig sein werden, benöigen wir für die Besimmung der Vereilungseigenschafen der Sraegien die Vereilungseigenschafen des Pfades des Akienkurses und somi das Pfadverhalen der Brownschen Bewegung. Die nowendigen Grundlagen werden in Abschni 1.3 erziel. Während der Fokus dieser Arbei in der Diskussion proporionaler Wersicherungssraegien lieg, werden in Abschni 1.4 zwei alernaive Sraegien vorgesell, um diese späer als Vergleich heranziehen zu können. Dabei handel es sich zum einen um die opionsbasierenden Sraegien, welche in diesem Modellrahmen durch eine dynamische Anlage beschrieben werden, und zum anderen um die Sop-Loss-Sraegie, welche sich durch eine semi- saische Anlage beschreiben läss. Insbesondere soll anhand dieser beiden Klassen eine erse Moivaion für die beracheen Risikomaße erfolgen. 7

20 8 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien 1.1 Modell Im Folgenden wird ein seiges Finanzmarkmodell angenommen, das durch die Annahmen von Black und Scholes 1973 beschrieben wird. Der Finanzmark beseh aus zwei Anlagemöglichkeien. Einer fesverzinslichen, risikolosen Anlage B und einem risikobehafeen Werpapier S. Die Anlage B wird durch die gewöhnliche Differenialgleichung db = B rd beschrieben, wobei r den risikolosen Zins bezeichne. Sezen wir B = 1, ergib sich B = e r. Die risikobehafee Anlage wird durch die sochasische Differenialgleichung ds = S µd + σdw beschrieben, wobei µ den Drif, σ die Volailiä der Akie und W eine Brownsche Bewegung bezeichnen. Die Lösung der Differenialgleichung is durch S = S e µ 1 2 σ2 +σw Insbesondere besiz der Prozess S dami die folgenden Eigenschafen: Die Preispfade sind seig. Die Preispfade besizen unabhängige Zuwächse. Die relaiven Zuwächse sind saionär. Die Vereilung is lognormal. gegeben. Dieses Modell is arbiragefrei und vollsändig, so dass ein eindeuiges Maringalmaß exisier, uner dem sich Preise für Derivae besimmen lassen. Das Ziel dieser Arbei is es jedoch nich Bewerungen uner dem Maringalmaß vorzunehmen, sondern die asächlichen Vereilungen der Endwere verschiedener Sraegien und der daraus resulierenden Kennzahlen zu berachen. In diesem Sinne wird, im Gegensaz zu den Ansäzen der Opionsbewerung, der asächliche Drif µ und nich der risikolosen Zins r in Gleichung verwende. Im Folgenden bezeichnen N x = x φydy und φx = 1 2π e 1 2 x2 die Vereilungsfunkion bzw. Diche der Normalvereilung. Für den Wer der Akie zum Zeipunk gil somi: ln s S P [S s] = N µ 1 2 σ2 σ bzw. P [S ds] = 1 ln s sσ φ S µ 1 2 σ2 σ ds

21 1.2 Begriffe und Definiionen Begriffe und Definiionen Handelssraegien Das Anlageverhalen eines Invesor läss sich durch eine Handelssraegie Φ beschreiben, die angib, welche Aneile in die vorhandenen Anlagen invesier werden. Für den Res der Arbei beschränken wir uns aufgrund der Annahmen des Black-Scholes-Modell auf Anlagemöglichkeien in Form eines risikobehafeen Werpapiers S und einer risikolosen Anlage B. Definiion Eine Sraegie is ein R 2 -weriger previsibler Prozess Φ = φ, φ 1. φ und φ 1 bezeichnen dabei die Anzahl der gehalenen risikolosen bzw. risikobehafeen Werpapiere. Der Wer des Porfolios V Φ V Φ zur Zei is durch = φ B + φ 1 S gegeben. Bemerkung: Analog läss sich die Sraegie durch den relaiven Aneil am Porfolio-Wer, den man in die Anlagen invesier, definieren. Sei dazu Π = π, π 1 der sochasische Prozess der die Invesiionsquoe beschreib. Es gil π = B V φ, π 1 = S V φ 1 und π + π 1 = 1. Allgemein können sich Änderungen des Porfolioweres zum einen durch die Preisbewegungen der beiden Anlagen ergeben und zum anderen durch Einlagen in bzw. Ennahmen aus dem Porfolio. Die aus den Preisbewegungen resulierenden Erräge werden durch den Gewinnprozess beschrieben. Definiion Der Gewinnprozess einer Sraegie Φ is definier durch g Φ = φ db + φ 1 ds. Werden Einlagen und Ennahmen ausgeschlossen sprich man von einer selbsfinanzierenden Sraegie. Definiion Eine selbsfinanzierende Sraegie Φ is eine Sraegie, für die gil: bzw. dv Φ = φ db + φ 1 ds. V Φ = V Φ + g Φ

22 1 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Wird die Sraegie durch die Invesiionsquoen beschrieben, ergib sich dv Π = V Π 1 π 1 db + π 1 ds. B S Für die Beschreibung der hier beracheen Wersicherungssraegien führen wir zwei weiere Begriffe ein, die direk auf den Zusammenhang zwischen dem Wer und der gewünschen Sicherung eingehen. Definiion Der Cushion oder Risikopuffer einer Sraegie Φ, die akuell einen Wer G Φ garanier, is die Differenz zwischen dem akuellen Wer der Sraegie und der derzeiigen Garanie C Φ = V Φ G Φ Der Hebel Muliplier, Gearing Fakor einer Wersicherungssraegie Φ gib das Verhälnis zwischen dem in die risikobehafee Anlage invesieren Kapial und dem Cushion an. m Φ = φ1 S C Φ Der in die risikobehafee Anlage invesiere Berag m Φ C Φ wird als Exposure bezeichne. Für konsane m sprich man von einer linearen oder proporionalen Wersicherungssraegie bzw. Consan Proporion Porfolio Insurance CPPI. Häufig is die akuelle Garanie durch den Barwer einer besimmen Endgaranie G gegeben, d.h. G = Ge rt. In Anlehnung an die Theorie der Opionsbewerung sprechen wir von einer europäischen Garanie, da der Berag G selbs nur am Laufzeiende garanier is. Im Gegensaz dazu is eine amerikanische Garanie dadurch gekennzeichne, dass die Garanie zu jedem Zeipunk während der Laufzei gleich is, d.h. G = G für alle [, T ]. Um beide Fälle zu unerscheiden, nennen wir G den Floor einer Wersicherungsgaranie Maße zur Charakerisierung von Sraegien Neben der Vereilung werden das Verlusrisiko und das Gewinnpoenial durch eine Vielzahl von unerschiedlichen Kennziffern beschrieben. In Abhängigkei der beracheen Größe und des Zeihorizons lassen sie sich in verschiedene Kaegorien eineilen, von denen wir einige im Verlauf der Arbei berachen wollen. Zielgrößen-unabhängige Risikomaße Maße, die geeigne sind, eine Handelssraegie ohne zusäzliche Annahme einer Zielgröße wie die Mindesrendie oder den Mindesgewinn zu beschreiben, werden als Zielgrößenunabhängig bezeichne. Dazu gehören die üblichen deskripiven Maße wie Erwarungswer,

23 1.2 Begriffe und Definiionen 11 Varianz, Schiefe und Kurosis des Endweres oder der Rendie. Allgemein gehören dazu alle Momene des Erwarungswer der Sraegie. Generell gehör auch die Diche und die Vereilung des Endweres zu diesen Maßen. Definiion Die Rendie des Erwarungsweres einer Sraegie Φ is definier durch Y Φ Die erwaree Rendie is definier durch = ln E[V Φ ] ln V y Φ = E[ln V Φ ] ln V Als Maß für die Schwankung und dami des Risikos wird neben der Varianz die Volailiä verwende, die im Black-Scholes-Modell als relaive Sandardabweichung pro Zeieinhei, üblicherweise ein Jahr, definier is. Definiion Die Volailiä einer Sraegie Φ is definier durch σ Φ 1 = Var[ln V Φ ] V Ausgehend von normalvereilen Rendien, läss sich die Volailiä auch durch σ Φ Φ 1 E[V = ln 2 ] E[V Φ darsellen. In Anlehnung an die obige Definiion bezeichnen wir σ Φ als Volailiä des Erwarungsweres und werden diese Definiion alernaiv zur eigenlichen Definiion der ] 2 Volailiä verwenden, da die Berechnung häufig einfacher is. Beispiel: Direkinvesiion in die Akie Wir berachen die Direkinvesiion in eine Akie, d.h. V Φ = S. Als Rendie des Erwarungswer ergib sich 1 ln E[S ] = µ S und als erwaree Rendie 1 E[ln S ] = µ 1 S 2 σ2 Zur Vergleichbarkei mi der Rendie der Akie is also die Rendie des Erwarungswer geeigneer. Für die Volailiä ergib sich Φ 1 E[V σ = ln 2 ] = E[V Φ ] 2 1 ln S2 e 2µ 1 Se 2 2µ 1 Var[ln S ] S = σ = 2 σ2 +2σ 2

24 12 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Beide Definiion sind also im Beispiel idenisch. Allgemein sind beides Maße für die Schwankungen einer Sraegie. Inwiewei sie auch als Risikomaße einer Sraegie mi Mindesgaranie sinnvoll sind, werden wir im Abschni und vor allem im Abschni 3.3 behandeln. Ende Beispiel: Direkinvesiion in die Akie Risikoadjusiere Performance-Maße Wird als Vergleichsgröße der risikolose Zinssaz gewähl, ergeben sich die Sandardmaße der Porfolioheorie wie die Überrendie und das Sharpe-Raio. Im Gegensaz zur üblichen Definiion im Rahmen des Capial Asse Pricing Model beschreiben wir das Schwankungsrisiko nich durch die Volailiä als relaive Sandardabweichung pro Zeieinhei, sondern durch die Volailiä des Erwarungsweres. Definiion Die Überrendie einer Sraegie is durch y Φ r gegeben, wobei r die Rendie der risikolosen Anlage angib. Der Markpreis des Risikos bzw. das Sharpe-Raio laue y Φ r σ Φ Das primäre Risiko einer Wersicherungssraegie beseh darin, dass das eigenliche Ziel, die Erzielung eines Mindesberages, nich erreich wird, d.h., dass die Wersicherung nich erfolg. In diesem Falle sprechen wir von einem Ausfall oder Shorfall. Definiion Das Ausfallrisiko Shorfall-Risiko, Gap-Risiko einer Sraegie Φ beseh aus der Wahrscheinlichkei, dass die gewünsche Absicherung nich erziel wird: P [V Φ < G ] Das Shorfall-Risiko is im Sinne von Arzner e al nich sub-addiiv und somi kein kohärenes Risikomaß. Im Gegensaz dazu is der erwaree Verlus, der die Grundlage der nächsen Definiion bilde, kohären. Definiion Der erwaree Verlus einer Sraegie Φ is definier durch E [ G V Φ +]. Der bedinge erwareer Verlus einer Sraegie Φ is definier durch E [ ] G V Φ V Φ G.

25 1.2 Begriffe und Definiionen 13 Die beiden obigen Definiionen werden häufig auch als Lower Parial Momens der Ordnung Null und Ordnung Eins bezüglich der Zielgröße Mindesgaranie bezeichne. Insbesondere bezüglich des diskreen Handels wird der Fokus auf dem Gap-Risiko und dem bedingen Verlus liegen. Im Falle des seigen Handels lieg im angenommenen Modell üblicherweise kein Gap-Risiko vor. Neben der Sicherung der Garanie is jedoch des Weieren von Ineresse, wie groß die Wahrscheinlichkei is, einen höheren Gewinn als die risikolose Anlage zu erzielen, das Lower Parial Momen der Ordnung Null bezüglich der Zielgröße risikolose Verzinsung. Definiion Die relaive Gewinnwahrscheinlichkei einer Sraegie Φ besimm sich aus P [V Φ V e r ] Ensprechend definier sich die relaive Verluswahrscheinlichkei. langfrisige Risikomaße In der Praxis besizen Produke wie Invesmenfonds und die dami verbundenen Sraegien häufig keinen fesen Anlagehorizon. In diesem Fall sell sich die Frage, welches langfrisige Verhalen beobache wird. Wir unerscheiden hier zwei Risikomaße. Definiion Die langfrisige Rendie des Erwarungswers is durch gegeben. y Φ = lim y Φ Der Wer einer Handelssraegie, deren Garanie mi dem risikolosen Zins wächs, wird zwangsläufig gegen unendlich konvergieren. Um rozdem ewas über die Grenzvereilung aussagen zu können, berachen wir die Vereilung des diskonieren Endweres. Definiion Die langfrisige Vereilung des diskonieren Endweres is durch gegeben. lim P [V Φ e r v] Als Spezialfall ergib sich hier die langfrisige relaive Verlus- bzw. Gewinnwahrscheinlichkei.

26 14 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Beschreibung der Invesiionsquoe Wie bereis erwähn beziehen sich die hier beracheen Sraegien auf ein spezielles risikobehafees Werpapier. In diesem Sinne is es somi von Ineresse ob und inwiewei die Sraegie von Kurszuwächsen der Akie profiier. Is die Sraegie nur abhängig vom Endwer der zugrunde liegenden Anlage, sind die folgenden Definiionen von Ineresse. Definiion Die Parizipaionsrae p Φ S einer Sraegie gib an, in welchem Verhälnis der Endwer einer Sraegie relaiv zu den Veränderungen der Akie wächs, Das Parizipaionslevel L Φ ersmalig posiiv 1 is, p Φ S = S V Φ T S. gib an, für welchen Wer der Akie die Parizipaionsrae L Φ = inf { S p Φ S > }. Is die Sraegie vom Verlauf der Enwicklung der zugrunde liegenden Anlage abhängig, reichen die obigen Definiionen nich aus. Im Falle pfadabhängiger Sraegien ergib sich eine zusäzliche Unsicherhei über die Auszahlung aus dem Kursverlauf der Akie. Bei der in Abschni beracheen Sop-Loss-Sraegie reich es z.b. aus, dass der Kurs während der gesamen Laufzei einmalig die Schranke unerschreie, um keinerlei Parizipaion mehr an zukünfigen Zuwächsen zu erhalen. Als ein Maß für die Pfadabhängigkei berachen wir deswegen in den folgenden Kapieln die bedinge Vereilung des Endweres der Sraegie gegeben den Endwer der Akie P [VT Φ dv S T = s]. Eng verknüpf mi der Pfadabhängigkei is die Invesiionsquoe einer Sraegie, die nun hemaisier werden soll. Aus prakischer Sich is es offenkundig von besonderem Ineresse, dass eine hohe Beeiligung an der risikobehafeen Anlage gewährleise wird, um auch asächlich von der Überrendie der Akie zu profiieren. Somi is es zunächs von Ineresse, ob die Invesiionsquoe unerhalb eines besimmen Weres sink. Definiion Wir bezeichnen eine Sraegie als cash-dominier, falls die Invesiionsquoe in der risikobehafeen Anlage uner den Wer α [, 1] sink. Während sich zwischenzeiliche Kursschwankungen nich ausschließen lassen, schein es wichiger, dass die Sraegie die Möglichkei besiz, sich wieder von niedrigen Weren erholen kann. Dies soll daran gemessen werden, ob eine hinreichend große Invesiionsquoe wieder erreich werden kann, nachdem diese zuvor uner ein besimmes Niveaus gefallen is. 1 Die Definiion is in dem Sinne zu versehen, dass der Invesor von Kurszuwächsen profiieren möche. Bei Leerverkäufen der Akie würde z.b. die Umkehrung sinnvoll sein.

27 1.2 Begriffe und Definiionen 15 Definiion Der α β- Cash-Lock in der Periode [, T ] bezeichne das Ereignis, dass die Invesiionsquoe der Sraegie zum Zeipunk T höchsens β beräg, uner der Bedingung, dass sie zum Zeipunk gerade α berug. Die Wahrscheinlichkei eines Cash-Locks is somi durch P [Π V τ β Π = α] gegeben. Anhand einer naiven Handelssraegie werden diese Begriffe im nächsen Beispiel erläuer. Beispiel: naive Wersicherungssraegie Uner der naiven Wersicherungssraegie versehen wir, dass zu Beginn genau der Berag in die risikolose Anlage invesier wird, der zur Sicherung der Garanie benöig wird. Der verbleibende Cushion wird zur Invesiion in die risikobehafee Anlage verwende. φ = G und φ 1 = C S Aus der Annahme der Selbsfinanzierung folg φ = G und φ 1 = C S [, T ] Es handel sich hierbei offensichlich um eine saische, lineare Sraegie, deren Hebel gerade 1 beräg. Aufgrund der Saik is offensichlich, dass die Sraegie zum einen pfadunabhängig is und zum anderen die Allokaionsregel nich von einem angenommenem Modell abhängig is. Insbesondere is dami unabhängig von einem speziellen Modell kein Gap-Risiko vorhanden. Für den Werprozess der Sraegie gil V = G + C S S. Die Risikomaße der Sraegie lassen sich direk aus dem Werprozess ableien: Die Vereilung folg direk aus der Vereilung der Akie. Die Invesiionsquoe is seigend bei seigenden Kursen und umgekehr fallend bei fallenden Kursen. Es handel sich also um eine pro-zyklische Sraegie. Die Gewinnwahrscheinlichkei ensprich der Gewinnwahrscheinlichkei der Akie. Es erfolg nur eine geringe Parizipaion in Höhe des Verhälnisses zwischen anfänglichem Cushion und Garanie. Das Parizipaionslevel lieg bei, da jeder Akienkurs größer als Null zu einem Überschuss gegenüber der Garanie führ.

28 16 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Die langfrisige erwaree Rendie ensprich dem Maximum aus der Akienrendie µ und dem risikolosem Zins r. Die langfrisige Wahrscheinlichkei die risikolose Anlage zu überreffen is 1, sofern µ > r σ2 und sons. Ende Beispiel: naive Wersicherungssraegie

29 1.3 Mahemaische Grundlagen Mahemaische Grundlagen In diesem Abschni sollen einige Eigenschafen der Brownschen Bewegung beschrieben werden. Zunächs befassen wir uns mi der gemeinsamen Vereilung der Brownschen Bewegung und ihrem Maximum bzw. Minimum. Diese Ergebnisse werden die Grundlage für die Diskussion der Sop-Loss-Sraegie, den bedingen Vereilungseigenschafen der beschränken CPPI und den Vereilungseigenschafen der CPPI mi Garanie-Anpassung bilden. Der Abschni zur gemeinsamen Vereilung der Geomerischen Brownschen Bewegung und des arihmeischen Miels der Geomerischen Brownschen Bewegung wird zur Besimmung der Eigenschafen der CPPI mi konsaner Garanie benöig. Dazu besimmen wir in Anlehnung an Yor 1992 die Momene des Produkes der Geomerischen Brownschen Bewegung und ihres arihmeischen Miels. Des Weieren geben wir eine Inegraldarsellung für die Vereilungsfunkion an. Der leze Abschni beschäfig sich in Anlehnung an Karazas und Shreve 1984 und Beneš e al. 198 mi einer Brownschen Bewegung, die unerschiedlichen Drif auf der posiiven und negaiven Halbachse besiz. Die ziieren Laplace-Transformaionen werden hilfreich bei der Besimmung der Vereilung und der Momene der beschränken CPPI sein, wohingegen die Inegraldarsellungen bei der Beschreibung der Pfadabhängigkei von Nuzen sind.

30 18 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Eigenschafen der Brownschen Bewegung und ihres Maximums Der folgende Abschni beschreib einige grundsäzliche Vereilungseigenschafen der Brownschen Bewegung und ihres Maximums, auf die im folgenden zurückgegriffen wird. Es sei W eine Brownsche Bewegung und M der Prozess ihres laufenden Maximums, d.h. M = max s W s. Ferner bezeichnen N x bzw. φx die Vereilungsfunkion bzw. die Diche der Sandardnormalvereilung. Es gelen die folgenden Eigenschafen: Theorem Für alle > und a b b gil: a P [W a, M b] = N N a 2b Beweis : Aus dem Reflekionsprinzip folg: und dami P [W a, M b] = P [W 2b a] = 1 N 2b a P [W a, M b] = P [W a] P [W a, M b] a a 2b = N N Als direke Folge für a = b ergib sich Korollar Für das Maximum einer Brownschen Bewegung gil: b b P [M b] = N N Die Anwendung der Girsanov-Transformaion auf Theorem liefer die folgende Eigenschaf für die Brownsche Bewegung mi Drif. Sei dazu W µ eine Brownsche Bewegung mi Drif µ Theorem Für alle > und a b und b gil: a µ a 2b µ P [W µ a, M µ b] = N e 2µb N Beweis : Durch dq dp = ε µw

31 1.3 Mahemaische Grundlagen 19 sei ein äquivalenes Wahrscheinlichkeismaß QA := E[1I A dq dp ] für alle Ereignisse A F definier, wobei ε das sochasische Exponenial εx := e X 1 2 X bezeichne. Nach dem Girsanov-Theorem und Lévy s Charakerisierung der Brownschen Bewegung is W W, µw = W µ eine Brownsche Bewegung uner Q. Bezeichnen wir mi T b := inf{ > : W = b} den ersen Zeipunk, zu dem die Brownsche Bewegung den Wer b annimm man beache, dass {T b > } = {M < b} P-fs. gil, so erhäl man P [W µ a, M µ b] = Q [W a, T b > ] [ ] = E P 1I {W a,tb >}e µw 1 2 µ2. Durch Differenzieren von nach a ergib sich P [W µ a, M µ 1 a b] = e 1 2 2π = = N 1 a 2π x 2 e 1 2 x 2b 2 e 1 x µ 2 2 e 2bµ e 1 2 a µ e 2µb N e µx 1 2 µ2 dx x 2b µ 2 2 a 2b µ. dx Für das Maximum einer Brownschen Bewegung mi Drif gil analog zu b µ b µ P [M µ b] = N e 2µb N Insbesondere folg [ P [W > α + β für irgendein > ] = lim P M β ] α α + β + e 2βα N = lim 1 N { 1 β = e 2βα falls β > α + β

32 2 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Durch das Ausnuzen der Unabhängigkei der Zuwächse der Brownschen Bewegung läss sich die obige Formel für µ > folgendermaßen umschreiben: P [W > α + β für > s W s = γ] = P [W W s > α + β s + βs für > s W = γ] Dies bilde die Grundlage für das folgende Korollar. = P [W s > α + β s + βs γ für s > ] = e 2βα+βs γ Korollar Für das Maximum der auf den Endwer kondiionieren Brownschen Bewegung gil P [M T β W T = α] = e 2ββ α T. Dies gil ebenfalls, wenn man zusäzlich für die Brownsche Bewegung einen Drif unersell P [M µ T β W µ T = α] = e 2ββ α T Beweis : Es is allgemein bekann, dass, falls W eine Brownsche Bewegung is, der zei-inveriere Prozess Y = { W 1 falls < < = ebenfalls eine Brownsche Bewegung is vgl. z.b. Karazas und Shreve 1991, Lemma Angewand auf Gleichung ergib das e 2ββs α = P [W β für > s W s = α] = P [W 1 β für > s sw 1 s = α] = P [W 1 β für 1 < T W T = αt ] = P [M T β W T = α] mi α = αt mi T := 1 s also β α 2β P [M T β W T = α] = e T. Für den zweien Teil benöigen wir, dass die auf den Endwer kondiioniere Brownsche Bewegung einer Brownschen Brücke B α T ensprich vgl. Karazas und Shreve 1991, Kapiel 5.6.B. Die Brownsche Brücke läss sich darsellen als B α = W + T α T W T.

33 1.3 Mahemaische Grundlagen 21 Somi ergib sich P [ max T W β W T = α + µ] = P [ max Insbesondere folg = P [ max T = P [ max T β] { W + T α + µt } T W T β] { W + T α } T W T β µ] T B α+µ = P [ max T W β µ W T = α] = P [M µ β W T = α]. P [M µ T β W µ T = α] = P [M µ T β W T = α µt ] = P [M T β W T = α]. Die obigen Formel lassen sich analog auch für das Minimum m der Brownschen Bewegung mi Drif, m µ := min s W s µ, und den Endwer besimmen. Insbesondere folg aus der Symmerie der Brownschen Bewegung und somi für a > b und b < W µ, m µ = d W µ, M µ P [W µ a, m µ b] = P [W µ a, M µ b] = P [M µ b] P [W µ a, M µ b] Weierhin läss sich auch direk die Vereilung der Differenz zwischen dem Maximum und dem Endwer einer Brownschen Bewegung besimmen. Man beache, dass das Ergebnis ohne Drif der Brownschen Bewegung wiederum direk aus dem Reflekionsprinzip abgeleie werden könne. Korollar Für die Differenz des Maximums und des Endweres einer Brownschen Bewegung mi Drif, M µ W µ, gil für b. P [M µ W µ b] = N b + µ b + µ e 2bµ N 1.3.8

34 22 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Beweis : Mi M µ folg: P [M µ W µ b] = = b P [M µ W µ b W µ = x] P [W µ dx] P [M µ b + x W µ = x] P [W µ dx] Einsezen der Diche für die Brownsche Bewegung und Verwenden von Korollar ergib = b 1 2π 1 e 2b+xb b µ =1 N b b + µ =N e 2bµ a b + µ =N e 1 2bµ N =N b + µ e 2bµ N e 1 x µ 2 2 dx 1 e 1 x µ 2 +4b 2 +4xb 2 dx 2π 1 e 1 x µ+2b 2 2 2π dx b µ + 2b b + µ Zur Vollsändigkei berachen wir nun die Diche der ersen Treffzei T µ b := inf {W + µ = b}, welche sich aus den Formeln für das Maximum bzw. Minimum durch die Beziehungen P [T µ b ] = P [M µ b] für b > bzw. P [T µ b ] = P [m µ b] für b < und Differenzieren ergib: Korollar Die Diche der ersen Treffzei is für alle b R durch P [T µ b b d] = 1 b µ 2 2π 3 e 2 d besimm.

35 1.3 Mahemaische Grundlagen Eigenschafen des Inegrals der Geomerischen Brownschen Bewegung Wir berachen das koninuierliche, arihmeische Miel einer geomerischen Brownschen Bewegung W mi konsanem Drif θ. 2 A = e θs+σws ds Als Inegral über lognormalvereile Zufallsvariablen is die Vereilung nich in geschlossener Form darsellbar. Es lassen sich jedoch die Momene berechnen und eine Inegraldarsellung für die auf den Endwer der Brownschen Bewegung bedinge Vereilung angeben. Theorem Sei ς R und n N. Dann gelen die folgenden Aussagen { } ς 1. Für α > max gil 22, ς+n2 2 [ e α E n ] e Ws ds e ςw d = n! n j= α ς+j Für gil mi c ς j = k j k n [ E 2 ς+j 2 ς+k 2 n ] e Ws ds e ςw = n! n j= c ς j e 1 2 ς+j Beweis : 1. Wir definieren zunächs [ n ] Φ n, ς = E e Ws ds e ςw [ s1 sn 1 ] = n! E... e Ws 1 +Ws Wsn +ςw ds n... ds 1 Ausnüzen der Unabhängigkei der Zuwächse einer Brownschen Bewegung liefer E [ e Ws 1 +Ws Wsn+ςW] = E [ e ςw Ws 1 +ς+1ws 1 Ws ς+n 1Ws n 1 Wsn +ς+nw sn ] = e 1 2ς 2 s 1 +ς+1 2 s 1 s ς+n 1 2 s n 1 s n+ς+n 2 s n 2 Die Resulae und Beweise ensprechen denen in Yor 1992 Im Wesenlichen wurde hier die Noaion angepass. Für die Momene haben wir die Resulae dahingehend verallgemeiner, dass kein posiiver Drif vorausgesez werden muss..

36 24 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien und somi durch Verauschen von Erwarungswer und Inegraion =n! e α Φ n, ςd e α sn 1... s1 e 1 2ς 2 s 1 +ς+1 2 s 1 s ς+n 1 2 s n 1 s n+ς+n 2 s n dsn... ds 1 d und Verauschen der Inegraionsreihenfolge =n! ς+n2 α e { ς Mi α > max 2 s n 22, ς+n2 2 s n es ergib sich Gleichung e α ς+n 1 2 s 2 n 1 s n... s 1 e α ς 2 2 s1 d... ds n 1 ds n } sind die uneigenlichen Inegrale jeweils wohldefinier und 2. Die Parialbruchzerlegung 3 der rechen Seie in Gleichung liefer 1 = n j= α ς+j2 2 n j= c ς j α ς+j2 2 mi c ς j erfüllen aus dem Theorem. Somi gil für alle α, die die Bedingung aus dem Theorem und somi e α Φ n, ςd = n! Φ n, ς = n! n j= n j= c ς j c ς j e ς+j 2 2 e α e ς+j2 2 d. Also Gleichung Eine einfache Anwendung des Girsanov-Theorem liefer folgendes Korollar: Korollar Für θ R gil: [ E n ] e θs+ws ds e ςθ+w = n! n j= c ς+θ j e θ+ 1 2 ς+jς+j Wie sich durch Indukion leich zeigen läss, gil für eine beliebige Folge c j j=,...,n und x R, x c j j: n j= 1 x + c j = n j= 1 x + c j n k j 1 c k c j

37 1.3 Mahemaische Grundlagen 25 Beweis : Das äquivalene Maß Q sei durch die Radon-Nikodym-Diche dq dp = eθw 1 2 θ2 definier. Uner diesem Maß is W θ eine Brownsche Bewegung und somi [ n ] [ n ] E e θs+ws ds e ςθ+w =E Q e Ws ds e ςw [ n ] dq =E e Ws ςw ds e dp [ n ] =E e Ws ds e ςw e θw 1 2 θ2 [ n ] =e 1 2 θ2 E e Ws ds e ς+θw Mi Theorem und Ersezen von ς durch ς + θ folg =e 1 2 θ2 n! =n! n j= n j= c ς+θ j e 1 2 ς+θ+j2 c ς+θ ς+j θ+ j e 2 ς+j. Ein weiere Verallgemeinerung auf Prozesse mi beliebiger aber konsaner Volailiä liefer Korollar Für θ R, σ R + gil: [ n ] E e θs+σws ds e ςθ+σw = n! σ 2n n c ς+ θ σ 2 j j= θ+ ς+j e σ2 2 ς+j Beweis : Ergib sich direk aus der Skalierungseigenschaf der Brownschen Bewegung 4, d.h. [ E n ] [ e θs+σws ds e ςθ+σw =E [ =E 1 σ 2 e θs+w σ 2 s ds n e ςθ+w σ 2 ] σ 2 e θ σ 2 s+ws ds n e ςθ+wσ2 ] und mi := σ 2 [ 1 =E σ 2 e θ σ 2 s+ws ds n e ς θ σ 2 +W ] 4 Skalierungseigenschaf: Falls W eine Brownsche Bewegung is, so is auch 1 c W c eine Brownsche Bewegung, vgl. Karazas und Shreve 1991, Lemma

38 26 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Aus Gleichung folg = n! σ 2n n c ς+ θ σ 2 j j= Einsezen der Definiion von ergib die Behaupung. e θ σ ς+jς+j Als zweien Punk neben den Momenen soll abschließend die Vereilung von e 2θs+Ws ds diskuier werden. Wir beschränken uns auf die Darsellung der Ergebnisse und verweisen für die Herleiung auf Yor 1992, Abschni 6. [ ] Proposiion Sei a x, udu := P e2ws ds du W = x, d.h. a x, u beschreib die bedinge Diche des koninuierlichen, arihmeischen Miels. Dann gil mi a x, u = 1 1 uπ e 2 ψr, = x 2 +π 2 ex 1 2 u e y2 2 e r cosh y ψ ex u, sinh y sin πy dy Analog zu den Überlegungen von Korollar aus dem lezen Abschni zum Maximum einer Brownschen Bewegung gil die obige Aussage unabhängig von einem möglicherweise vorhandenem Drif. Korollar Es gil: [ ] P e 2Ws+θs ds du W + θ = x = a x, udu Beweis : Aus der Darsellung der Brownschen Brücke B x s = W s + s x s W ergib sich [ ] P e 2Ws+θs ds du W = x θ = P [ = P [ e 2B x θ s +θs ds du] e 2Ws+ s x θ s W+θs ds du] = P [ e 2Ws+ s x s W ds du] [ ] = P e 2Ws ds du W = x.

39 1.3 Mahemaische Grundlagen 27 Abbildung 1.1: Brownsche Bewegung mi wechselndem Drif θ > > θ Brownsche Bewegung mi wechselndem Drif Im folgenden Abschni werden die Vereilungseigenschafen einer Brownschen Bewegung mi wechselndem Drif vorgesell. Dabei handel es sich um eine Brownsche Bewegung, welche, je nachdem ob sie sich im posiiven oder negaiven Bereich aufhäl, einen unerschiedlichen Drif besiz. Abbildung 1.1 sell exemplarisch einen Pfad dieses sochasischen Prozesses dar. Eine Berachung finde sich ersmalig in Beneš e al. 198, wo die Vereilung durch eine Laplace Transformaion besimm wird. Im Gegensaz dazu finden sich bei Karazas und Shreve 1984 Darsellungen als Doppel-Inegral für die Diche. Für die in dieser Arbei beracheen Probleme ha es sich als zweckmäßig erwiesen, dass für grundlegende Eigenschafen wie Vereilungsfunkion und Momene eine numerische Berechnung der inversen Laplace Transformaion effiziener als die numerische Berechnung der aufreenden Inegrale is. Umgekehr lassen sich jedoch, ausgehend von den Überlegung von Karazas und Shreve 1984, für die auf den Endwer bedinge Brownsche Bewegung mi wechselndem Drif geschlossene Darsellungen besimmen, so dass an dieser Selle auf beide Ergebnisse eingegangen wird. Ausgehend von der Definiion besimmen wir zunächs eine schwache Lösung für die Brownsche Bewegung mi wechselndem Drif. Definiion Ein sochasische Prozess X heiß Brownsche Bewegung mi wechselndem Drif, falls er die sochasische Differenialgleichung dx = ΘX d + dw, X = x mi { θ1 x Θx = θ x > erfüll. Dabei is W eine Brownsche Bewegung mi Sar in. Als einfache Anwendung des Girsanov-Theorem ergib sich

40 28 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Lemma Sei W eine Brownsche Bewegung bezüglich P, dann is W, Q eine schwache Lösung der SDE , wobei Q durch den Diche-Prozess bezüglich P dq dp := ε ΘW u dw u = exp ΘW u dw u 1 ΘW u 2 du 2 definier is. Beweis : Sei Q gemäß dem Lemma definier. Nach Girsanov-Theorem is W < = W ΘW u dw u, ΘW u du dw u > eine Brownsche Bewegung uner Q. Insbesondere is W somi eine schwache Lösung von uner Q. Lemma Der in definiere Diche-Prozess läss sich darsellen als dq W dp = exp ΘW W ΘW + θ 1 θ L 12 θ θ21 θ 2Γ dabei bezeichne L die Lokalzei in und Γ die Aufenhalsdauer in der posiiven Halbachse bis 5. Beweis : Wir berachen zunächs das erse Inegral auf der rechen Seie in Sei dazu die Funkion F z definier durch F z := z Θydy = zθz Anwendung der Iô-Tanaka Formel vgl. z.b. Revuz und Yor, 1998, chap. VI und Beachung der Sprungselle von Θz an der Selle ergib oder anders ausgedrück F W = F W + = F W + F W u dw u + L a F da ΘW u dw u + θ θ 1 L ΘW u dw u = W ΘW W ΘW + θ 1 θ L. 5 Für die hier verwendee Definion der Lokalzei vgl. Karazas und Shreve 1991

41 1.3 Mahemaische Grundlagen 29 Das zweie Inegral läss sich folg aufspalen ΘW u 2 du = = Insgesam ergib sich die Behaupung. θ 2 11I {Wu }du + θ I {Wu>}du + = θ θ 2 θ 2 1Γ θ 2 1I {Wu>}du θ 2 1I {Wu>}du Für die Herleiung der gemeinsamen Vereilung des Triple W, L, Γ sei auf Karazas und Shreve 1991, Kapiel 6 bzw. Karazas und Shreve 1984 verwiesen. Wir geben an dieser Selle nur das Ergebnis an. Theorem Die gemeinsame Vereilung W, L, Γ wih W = x is durch P x W dx, L db, Γ W dτ = 2hτ, b + x + + x + h τ, b x x =: p x, x, b, τdτdbdx gegeben. Dabei bezeichne hs, y die Dichefunkion einer Invers-Gauß-vereilen Zufallsvariable hs, y = und x + := maxx,, x := minx,. y [ ] exp y2 ds 2πs 3 2s Falls x < und x < bzw. x > und x > ergeben sich zusäzlich die folgenden Punkwahrscheinlichkeien P x W dx, L =, Γ W = = 1 e x x2 2 2π P x W dx, L =, Γ W = = 1 e x x2 2 2π e x +x2 2 dx e x +x2 2 dx. Man beache, dass die Punkwahrscheinlichkeien das Ereignis Brownsche Bewegung mi Sar in x besiz nie den Wer beschreiben. Insgesam ergib sich Korollar Die Dichefunkion für X is gegeben durch P X dx, Γ X dτ = e x Θx x Θx 1 2 θ2 1 τ 1 2 θ2 τ F x,,θ 1 θ x, τdτdx und für x, x > für x, x < ergib sich P X dx, Γ X P X dx, Γ X 1 = = e x x2 2 2π e x +x2 2 = analog e Θx Θx 1 2 Θx2 dx

42 3 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien wobei F x,,θ 1 θ x, τ = Beweis : Mi Lemma ergib sich b x x b + x + + x + π e bθ b+x + 1 θ +x+ 2 τ 3 τ 3 P X dx, Γ X dτ = QW dx, Γ W dτ [ ] dq = E 1I {W dx,γ W dτ} dp Zusammen mi Theorem b x x 2 2τ 2 τ = e xθx x Θx 1 2 θ2 1 τ 1 2 θ2 τ e θ 1 θ b p x, x, b, τdb dτdx } {{ } Die Punkwahrscheinlichkeien ergeben sich ensprechend. =:F x,,θ 1 θ x,τ Die Ergebnisse von Karazas und Shreve 1984 wurden dabei insofern erweier, als dass wir mi A.1.4 eine geschlossene Darsellung für das Inegral F besizen. Zur Berechnung der Dichefunkion von X is es somi ausreichend das Inegral über τ numerisch zu berechnen. Aufgrund der bekannen effizienen Algorihmen zur Besimmung der inversen Laplace- Transformaion vgl. z.b. Abae und Valkó 24 is der Rechenaufwand jedoch wie erwähn geringer, falls die Vereilungsfunkion und die Momene über die folgende Laplace- Transformaion der Diche besimm werden. Theorem Beneš e al. 198 Sei pλ, x, z, θ, θ 1 die Laplace-Transformaion von P x X dz bezüglich, d.h. pλ, x, z, θ, θ 1 = e λ P x X dzd db Dann is pλ, x, z, θ, θ 1 für x durch K 1 λe zk 2λ z < < x pλ, x, z, θ, θ 1 = K 3 λe zk4λ + K 5 λe zk 6λ < z < x K 5 λ + e 2x θ 2+2λ K 3 λe zk 6λ für < x < z gegeben und pλ, x, z, θ, θ 1 = pλ, x, z, θ 1, θ für x <. Die Funkionen K i sind

43 1.3 Mahemaische Grundlagen 31 gegeben durch K 1 λ = K 2 λ = θ 1 + 2e x θ + θ 2+2λ θ θ 1 + θ 2 + 2λ + θ λ = θ λ θ 2 +2λ K 3 λ = e x θ + θ 2 + 2λ K 4 λ = θ + θ 2 + 2λ θ 2 +2λ K 5 λ = e x θ + θ 2 + 2λ = 2e x K 4 λ K 4 λ K 6 λ 2e xk4λ K 4 λ K 8 λ θ 1 θ + θ 2 + 2λ θ λ θ θ 1 + θ 2 + 2λ + θ λ = 2K 8 λ K 6 λe x K 4 λ K 4 λ K 6 λk 4 λ K 8 λ K 6 λ = θ θ 2 + 2λ K 8 λ = θ 1 θ λ Für x < bezeichnen wir die ensprechenden K i mi K i. Ausgehend von der gemeinsamen Vereilung der Aufenhalsdauer und des Endweres in Korollar is es möglich, die Vereilung von X beding auf den Wer der Brownschen Bewegung W zu besimmen. Ohne Beschränkung der Allgemeinhei sei dazu θ > θ 1. Es sei der Wer der Brownschen Bewegung durch W = s gegeben. Dann is offensichlich, dass X im Inervall X [x + θ 1 + s, x + θ + s] liegen muss. Des Weieren is es, in Abhängigkei des Sarweres x, möglich, dass der Prozess X seinen Drif bis zur Zei nie geänder ha, d.h. das Vorzeichen von X bleib gleich. In diesem Fall gil das Lemma Lemma Sei x > x < und x + θ + s x + θ 1 + s. Dann gil P [X = x + θ + s W = s] = 1 exp 2 x x + s + θ P [X = x + θ 1 + s W = s] = 1 exp 2 x x + s + θ 1 Beweis : Der Beweis beschränk sich auf den Fall x >. Man beache zunächs, dass das Ereignis X = x + θ + s mi dem Ereignis min s X s übereinsimm, d.h. dem Ereignis, dass die Brownsche Bewegung nie die posiive Halbachse verläss. Mi

44 32 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien den Überlegungen zu Korollar folg P [X = x + θ + s W = s] =P [min s X s W = s] =P [min s x + W θ W = s] =P [max W θ x W = s] s =P [max s W x W = s θ ] =1 e 2x x +s+θ Des Weieren läss sich nun die auf W = s bedinge Diche für die Brownsche Bewegung mi wechselndem Drif im Inervall ]x + θ 1 + s, x + θ + s[ angeben. Dazu beache man zunächs, dass, ausgehend von der Sochasischen Differenialgleichung , zwischen X und W die Beziehung W =X x ΘX s ds =X x θ 1 + Γ X θ 1 θ beseh. Ausgehend von der Aufenhalsdauer und dem Wer des Prozess X läss sich der Wer der Brownschen Bewegung W besimmen. Das führ zum nächsen Resula Theorem O.B.d.A sei θ > θ 1. Beding auf W = s und x R, x x + θ 1 + s, x + θ + s is die Vereilungsfunkion für X durch die Dichefunkion 2π P X dx W = s = e 1 2 s2 e xθx x Θx 1 2 θ2 1 ˆτ 1 2 θ2 ˆτ F x,,θ 1 θ x, ˆτ θ θ 1 mi besimm. ˆτ = s + x x + θ 1 θ 1 θ Beweis : Es sei zunächs an zwei Eigenschafen von Dichefunkionen erinner. Falls Z eine Zufallsvariable mi Dichefunkion gz is, Y eine weiere Zufallsvariable und die gemeinsame Dichefunkion von Y und Z durch hy, z gegeben is, läss sich die auf Z bedinge Dichefunkion von Y für gz > durch P [Y dy Z = z] = hy,z gz dy angeben.

45 1.3 Mahemaische Grundlagen 33 Abbildung 1.2: Diche der Brownschen Bewegung mi wechselndem Drif beding auf den Endwer der Brownschen Bewegung Des Weieren is die Dichefunkion von a + c Z, für a, c R, durch P [a + cz dz] = 1 g z a c c dz besimm. Sei nun f die gemeinsame Dichefunkion von X und Γ X aus Korollar , d.h. fx, τdxdτ = P [X dx, Γ X dτ]. Dami und der obigen Darsellung der Brownschen Bewegung ergib sich P [X dx W = s] = P [X dx, W ds] P [W ds] = P [X dx, x x θ 1 + Γ X θ 1 θ ds] P [W ds] =:ˆτ { }} { 1 fx, s + x x + θ 1 θ 1 θ θ = 1 θ dx 1 2π e s2 2 Einsezen von fx, ˆτ ergib die Behaupung. In Abbildung 1.2 werden zur Illusraion die Dichen für verschiedene Brownsche Bewegungen mi wechselndem Drif dargesell. In der linken Abbildung wird der Sarwer der Brownschen Bewegung mi wechselndem Drif gerade so gewähl, dass die Träger der Dichefunkion für verschiedenene Endwere der Brownschen Bewegung idenisch sind. Zu beachen is dabei, dass die sich ergebenden Punkwahrscheinlichkeien nich dargesell wurden. So gil z.b. in der linken Abbildung für den Endwer der Brownschen Bewegung mi wechseldem Drif auf einen bedingen Endwer der Brownschen Bewegung von W T =.25 und den daraus folgenden Sarwer x =.25, dass dieser, gemäß Lemma , mi 4%-iger Wahrscheinlichkei gerade genau gleich 1 is.

46 34 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Die milere Abbildung gib die bedinge Dichefunkion der Brownschen Bewegung mi wechselndem Drif bei gleichem Sarwer und unerschiedlichen Endweren der Brownschen Bewegung an. Insbesondere sind dami die Träger nich mehr idenisch. Je höher der Endwer der Brownschen Bewegung, deso größer is die Wahrscheinlichkei, dass die Brownsche Bewegung mi wechselndem Drif in der Nähe der oberen Grenze lieg. Inuiiv is das somi zu erklären, dass höhere Endwere der Brownschen Bewegung implizieren, dass sich die Brownsche Bewegung länger in der posiiven Halbachse aufgehalen ha und somi von dem dor größeren Drif profiier. Die reche Abbildung verdeulich den Einfluss des Vorzeichen des Drifs auf die Dichen. Dazu sind X und W T so gewähl, dass keine Punkwahrscheinlichkeien aufreen. In diesem Fall erkenn man, dass, falls der Drif posiiv is, wenn X posiiv und umgekehr roer Graph, die Wahrscheinlichkeien für einen Aufenhal an den Rändern groß wird. Inuiiv erklär sich das dadurch, dass nur zu Beginn Unsicherhei über das Vorzeichen vorlieg. Danach führ der Drif die Brownsche Bewegung vom Nullpunk weg. Falls der Drif posiiv is, wenn X negaiv is, und negaiv, wenn X posiiv is, zeig sich, dass sich die Wahrscheinlichkei auf die Nähe des Nullpunkes konzenrier. Der Drif führ den Prozess X jeweils zum Nullpunk zurück.

47 1.4 Semi-saische und opionsbasiere Wersicherungen Semi-saische und opionsbasiere Wersicherungen Es sollen im folgenden die wesenlichen Eigenschafen der opionsbasierenden Wersicherungssraegien und der Sop-Loss-Sraegien vorgesell werden. Bei beiden Sraegien handel es sich um Sraegien mi beschränkem Kapialbedarf, weswegen wir sie zum Vergleich mi den in Kapial 3 behandelen Sraegien verwenden werden. Wie erwähn, lassen sich Sop-Loss-Sraegien auch als Sraegien, die auf einer Barrier- Opion basieren, inerpreieren. Häufig finde dies im Rahmen so genanner Turbo-Zerifikae sa, vgl. z.b. Mahayni und Suchanecki 26. Zusäzlich lassen sich Sop-Loss-Sraegien als Grenzwer der in Abschni 3.1 behandelen beschränken CPPI-Sraegien auffassen, vgl. Black und Perold Des Weieren werden wir sehen, dass sich eine Vielzahl der späer beracheen Modifikaionen der CPPI und auch die CPPI selbs, als Opionen bezüglich einer synheischen Anlage darsellen lassen. Dies is eine zusäzliche Moivaion sich an dieser Selle mi den beiden Wersicherungssraegien zu beschäfigen.

48 36 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Sop-Loss Sraegien Die Sop-Loss-Sraegie beschreib die Invesiion in eine risikobehafee Anlage S. Sobald der Wer der Invesiion nur noch einer vorher fesgelegen, möglicherweise zeiabhängigen, uneren Grenze G ensprich, wird die Invesiion aufgelös und der Reswer in die risikolose Anlage angeleg. Formal is die Sraegie definier durch φ SL,1 = 1I {τ>} V S φ SL, = 1I {τ } G τ B τ, wobei τ := inf{ : V SL = G } der Umschichungszeipunk is. Die Sraegie is offensichlich selbsfinanzierend und saisch bis auf maximal einen Handelszeipunk. Es wird jedoch eine seige Beobachung des Kursverlaufes der risikobehafeen Anlage erforder. Eine analoge Definiion für die Sop-Loss-Sraegie durch die Invesiionsquoen is durch Π SL,1 = 1I {τ>} bzw. Π SL, = 1I {τ } gegeben. Für den Werprozess der Sraegie gil: V SL = V S S 1I {τ>} + G τ B B τ 1I {τ } Üblicherweise wird die Garanie enweder als konsan über die Laufzei angenommen SL1 oder als mi der risikolosen Zinsrae wachsend SL2. Im Sinne eines fesen Anlagehorizones läss sich der Unerschied so inerpreieren, dass die Garanie enweder zu jedem Zeipunk gewährleise wird oder nur zum Laufzeiende und somi einer amerikanischen oder europäischen Garanie ensprich. Für den Endwer der Sraegie gil somi VT SL1 = V S T /S 1I {τ>t } +G expt τr1i {τ T } bzw. VT SL2 = V S T /S 1I {τ>t } +G1I {τ T }. Aus der obigen Beschreibung ergib sich insbesondere die folgende Inerpreaion der Sop- Loss-Sraegie als Handelssraegie in Barrier-Opionen: G τ G: Kauf einer Down-and-Ou-Barrier-Opion mi Rebae-a-Hi G, Basispreis und Schranke G G = Ge rt : Kauf einer Down-and-Ou-Barrier-Opion mi Rebae-a-Expiry G, Basispreis und mi r wachsender Schranke G Alernaiv lassen sich auch beide Sraegien als Invesiion in die risikolose Anlage des für die Garanie nowendigen Berages und Kauf einer ensprechenden Barrier-Opion ohne Rebae aber mi Basispreis G auffassen.

49 1.4 Semi-saische und opionsbasiere Wersicherungen 37 Sop-Loss Sraegie mi europäischer Garanie Die nächsen Ergebnisse beziehen sich auf den Fall einer Garanieleisung am Laufzeiende. Somi kann der Anlagehorizon als a priori bekann angesehen werden. Eine weiere Inerpreaion ergib sich aus der Annahme eines Invesors, dessen Ziel is, dass ein gewisser Teil G seines Kapials V mi dem risikolosen Zins wächs. In diesem Sinne is der Anlagehorizon unbesimm. Mi den Ergebnissen aus Kapiel lassen sich direk die Vereilungseigenschafen angeben. Der anfänglich Akienkurs sei auf S = 1 normier. der Sop-Loss-Sraegie zum Zei- Proposiion Für die Vereilung des Weres V SL2 punk gil: P [V SL2 w] = N für w G und ln w P [V SL2 dw] = V µ 1 2 σ2 σ µ r V G σ 2 2 ln G lnwv + µ 1 2 N σ2 σ 1 ln w wσ V φ µ 1 2 σ2 σ 1 2 µ r V σ 2 2 ln G lnwv + µ 1 2 φ σ2 G σ dw für w > G bzw. ln G P [V SL2 V = G ] = N µ r 1 2 σ2 σ + V G 1 2 µ r σ 2 ln G V N + µ r 1 2 σ2 σ. Man beache, dass bei der Sop-Loss-Sraegie im Sinne der Definiionen zu den Risikomaßen in Abschni 1.2 die Ereignisse Cash-Lock und Cash-Dominanz idenisch sind. Sobald die Invesiionsquoe einmalig uner 1% fäll, beseh keine Möglichkei in der Zukunf ohne Kapialzufluss von außen eine Invesiionsquoe oberhalb von Null zu erreichen. Somi gib die leze Gleichung auch gleichzeiig die Wahrscheinlichkei für die Cash-Dominanz an. Die Cash-Lock-Wahrscheinlichkei beding auf eine Invesiionsquoe uner 1% beräg 1. Dieses Ereignis is, wie bereis erwähn, aus Sich eines Invesors äußers unerwünsch und verdien dami besondere Beachung. Abbildung 1.3 zeig, dass die Wahrscheinlichkei für ein cash-dominieres Porfolio im Falle hoher Garanien bereis für kurze Laufzeien sehr hohe Were annehmen kann. Beweis Proposiion : Wir zerlegen zunächs die Vereilung in die beiden Besandeile Treffen der Schranke und Nich-Treffen der Schranke P [V SL2 w] = P [V SL2 = G, τ ] + P [V SL2 w, τ > ] 1.4.2

50 38 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Das Ereignis Treffen der Schranke läss sich umschreiben zu {τ } = { min s /G s 1} { = min W s + µ r 1 2 σ2 s σ { = m ν 1 σ ln G } V s V SL2 s 1 σ ln G } V mi ν := µ r 1 2 σ2 σ Ausnuzen der Ergebnisse aus Kapiel führ zu [ P [V SL2 = G ] = P [τ ] = P m ν ln G V σ = P [ M ν ] V ln G σ ln G V = N µ r 1 2 σ2 σ 1 2 µ r V σ + 2 ln G N G ] V + µ r 1 2 σ2 σ und P [V SL2 w, τ > ] = P = P [ [ W ν M ν 1 ln w r σ V ] [ V ln G P σ, m ν 1 σ ln G ] V W ν ln V w + r σ, M ν ] V ln G σ Zusammen mi Gleichung ergib sich für Gleichung [ P [V SL2 w] = 1 P W ν ln ] V V w + r ln, M ν G σ σ ln w V = N µ 1 2 σ2 1 2 µ r σ V σ ln G lnwv + µ 1 2 N σ2 G σ Die Diche ergib sich durch Gleichung und Differenzieren von Ausgehend von der Darsellung der Diche lassen sich dami auch die Momene der Sop- Loss-Sraegie besimmen. Mi Hilfe der Inegralformel aus Lemma A.1.1 folg sofor

51 1.4 Semi-saische und opionsbasiere Wersicherungen 39 Proposiion Das n-e Momen der Sop-Loss-Sraegie is gegeben durch ln G E[V SL2 n ] = G n e nr V N µ r 1 2 σ2 σ 2 µ r +G n e nr G σ 2 1 ln G V N + µ r 1 2 σ2 V σ +V n n 1 nµ+ ln V e 2 σ2 G N + µ r + 2n 1 σ 2 2 σ 2 µ r G n n 1 nµ+ 2 e σ2 G σ 2 +n 1 ln G V N + µ r + 2n 1 σ 2 2 V σ Da der Erwarungswer von speziellem Ineresse is, sei er hier explizi angegeben. Korollar Der Erwarungswer der Sop-Loss-Sraegie laue ln G E[V SL2 ] = G e r V N µ r 1 2 σ2 σ + V e r G V 2 µ r G e µ G σ 2 ln G V N + µ r σ2 V σ 2 µ r σ 2 N ln G + V e µ N V + µ r 1 2 σ2 σ ln V G + µ r σ2 σ Ineressanerweise gil für wachsende Laufzeien bei gleicher anfänglicher Garanie, dass die Rendie des Erwarungsweres, selbs wenn der Cash-Lock mi Sicherhei einri, gegen die Rendie der Akie konvergier, sofern der Drif der risikobehafeen Anlage größer als der risikolose Zins is. Offensichlich is die nowendige und hinreichende Bedingung für den sicheren Einri eines Cash-Locks für nach Gleichung durch µ < r σ2 besimm 6. Eine Abschäzung des Erwarungsweres uner den rivialen Annahmen V > G und µ > r ergib ln V E[V SL2 ] V e µ G N + µ r σ2 σ G e µ G V ln V V G e µ G N + µ r σ2 σ. Für die Rendie des Erwarungsweres ergib sich ln E[V SL2 ]/V lnv G + µ + ln N 2 µ r σ 2 N ln G ln V +µ r+ 1 G 2 σ2 σ 6 Für µ > 1 2 σ2 beräg die Cash-Lock-Wahrscheinlichkei für lange Laufzeien ln V V + µ r σ2 σ G V 2 µ r+ 1 2 σ2 σ 2..

52 4 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien lne[v Für konvergier die Normalvereilung gegen 1 und somi lim SL2 ]/V µ. Da die Sraegie maximal zu 1% in der Akie invesier is, muss umgekehr jedoch lne[v SL2 ]/V µ für alle gelen. Also ln E[V SL ]/V lim = µ. Abbildung 1.3: Rendie und Cash-Dominanz-Wahrscheinlichkei der Sop-Loss-Sraegie Eine weiere ineressane Eigenschaf, die man aus den Abbildungen 1.3 erkenn, is die Exisenz eines Minimums in der Rendie des Erwarungsweres 7. Ein längerer Anlagehorizon führ also weder auomaisch zu einer größeren oder kleineren Rendie des Erwarungsweres. Sop-Loss Sraegie mi amerikanischer Garanie Analog zum vorherigen Abschni lassen sich die Formeln für den Fall angeben, dass die Garanie zu jedem Zeipunk gewährleise wird. Der Unerschied lieg im wesenlichen in der anderen Schrankenbedingung und dass für einen Zeipunk nach dem Treffen der Schranke der Wer der Sraegie vom Zeipunk des Treffens abhäng, da der Berag G für die Differenz dieser beiden Zeipunke mi der Rae r verzins wird. Exemplarisch sei an dieser Selle nur die Vereilungsfunkion angegeben. 7 Auf einen Beweis für diese Eigenschaf sei hier verziche. Inuiiv ergib sich das jedoch aus dem oben genannen Grenzwer und der Tasache, dass die erwaree Rendie der Sop-Loss-Sraegie mi beliebig kurzer Laufzei ebenfalls der Rendie der Akie ensprich.

53 1.4 Semi-saische und opionsbasiere Wersicherungen 41 der Sop-Loss-Sraegie zum Zei- Proposiion Für die Vereilung des Weres V SL1 punk gil: P [V SL1 w] = N für w G ln w V µ 1 2 σ2 σ µ V G N ln G V µ 1 2 σ2 + 1 ln G r w σ + 1 ln G + r w 1 2 µ V σ 2 N ln G V + µ 1 2 σ2 + 1 ln G r w G σ + 1 ln G + r w σ 2 2 ln G lnwv + µ 1 2 N σ2 Da die Sraegie im weieren Verlauf nich zum Vergleich mi den proporionalen Sraegien 8 herangezogen wird, verzichen wir auf die weieren Eigenschafen. + + σ Bewerung und Sop-Loss-Sar-Gain Sraegie Ein wesenlicher Kriikpunk der Sop-Loss-Sraegien lieg in der beschriebenen Cash-Lock- Problemaik. Obwohl der Wer der risikobehafeen Anlage am Laufzeiende möglicherweise um ein Vielfaches gesiegen is, reich es aus, dass zu einem einzigen Zeipunk die Schrankenbedingung verlez war, um nur noch die Garanie zu erhalen. Die Wahrscheinlichkei die Schranke zu verlezen, nimm jedoch zumindes sofern auch die Garanie wächs mi wachsender Laufzei zu. Während man also bei einer Akieninvesiion ohne Garanie bei längeren Laufzeien zumindes eilweise davon ausgeh, dass die Invesiion sicherer wird, da sich die Verluse langfrisig durch die Gewinne ausgleichen, is bei der Sop-Loss-Sraegie das Gegeneil zu beobachen. Aus diesem Grund sei hier zusäzlich auf die Sop-Loss-Sar-Gain Sraegien verwiesen, die eine vollsändige Invesiion in die risikobehafee Anlage vorschreiben, sofern der Kurs oberhalb der Garanielinie lieg, und eine 1%ige Invesiion in eine risikolose Anlage, sofern der Kurs unerhalb der Garanielinie lieg. Formal is eine selbsfinanzierende Modifikaion dieser Sraegie durch die Invesiionsquoen Π SLG,1 = 1I {V>G} und Π SLG, = 1I {V G} definier. Wie jedoch Carr und Jarrow 199 beschreiben, implizier diese Sraegie selbs in einem seigen Modell wie dem Black-Scholes-Modell Kosen, sobald eine Umschichung vorgenommen werden muss. Inuiiv läss sich das dami erklären, dass es selbs bei seigen Kursbewegungen nich möglich is, genau zu dem spezifizieren Wer zu handeln. Aus mahemaischer Sich sind die Kosen für eine einzelne Umschichung zwar gleich Null, jedoch 8 Die in Abschni 2.2 behandelen proporionalen Sraegien, die ebenfalls eine amerikanische Garanie besizen, sezen die Möglichkei der unbeschränken Kapialaufnahme voraus und lassen sich deswegen nur unzureichend mi der Sop-Loss-Sraegie vergleichen.

54 42 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien muss aufgrund der Selbs-Ähnlichkei der Brownschen Bewegung unendlich of gehandel werden. Gemäß der Iô-Tanaka-Formel lassen sich die Kosen als Funkion der Lokalzei der Brownschen Bewegung angeben. Diese Kosen lassen sich analog zur OBPI als implizie Opionsprämie berachen. Insbesondere kann diese beliebig groß werden, so dass hier die Garanie nich gewährleise werden kann. Aus diesem Grunde verzichen wir auf eine weiergehende Diskussion dieser Sraegie und verweisen auf Carr und Jarrow 199. Es sei jedoch an dieser Selle erwähn, dass sich die in Abschni 3.1 berachee beschränke CPPI als Approximaion der Sop-Loss-Sar-Gain-Sraegie darsellen läss, wobei die Transakionskosen bzw. die implizie Prämie dann beschränk sein wird.

55 1.4 Semi-saische und opionsbasiere Wersicherungen Opion Based Porfolio Insurance OBPI Das Konzep der Opion Based Porfolio Insurance beseh im einfachsen Fall aus dem Kauf einer besimmen Anzahl von risikobehafeen Akien S, die durch den gleichzeiigen Kauf oder die synheische Nachbildung der gleichen Anzahl von Pu-Opionen abgesicher werden. Unabhängig vom asächlichen Wer S T der Akie zum Laufzeiende T wird der Wer des Porfolio mindesens so groß wie der Srike der Pu-Opion sein. Falls der Finanzmark vollsändig is, sind die Kosen der Absicherung a priori bekann und mindern den für die risikobehafee Anlage zur Verfügung sehenden Berag. Es is somi nich möglich, den gesamen Berag V in die Anlage S zu invesieren 9 α, sondern nur den Aneil V < 1. Zu einer gegebenen Endgaranie G = G T besimm sich die Auszahlung der OBPI somi durch + G V T = αs T + α α S T G. Im Sinne der Definiionen von Abschni 1.2 gib α die Parizipaionsrae und G α das Parizipaionslevel an. Sofern der anfänglich zur Verfügung sehende Berag V vollsändig in die riskane Anlage und die zur Absicherung benöigen Pu-Opionen invesier werden soll und zusäzliche Krediaufnahmen ausgeschlossen sind, muss α als Lösung von V = αs + αp u [S, G α, T ] besimm werden. Es kann leich gezeig werden, dass, sofern alle Opionen gehandel werden, uner Ausschluss von Arbirage immer eine eindeuige Lösung für α exisier vgl. z.b. El Karoui e al. 25. Nuzen wir die Pu-Call-Pariä aus, so läss sich die obige Gleichung durch C = α Call [S, G α, ], darsellen. C gib dabei wie üblich den anfänglichen Cushion V G an. Der Endwer is dann durch V T = G T + α S T G + α gegeben. Es handel sich also um die risikolose Invesiion des für die Garanie benöigen Berages und der Invesiion des Cushions in α Call-Opionen mi Srike G T α. Wir bezeichnen diese Sraegie als einfache OBPI oder OBPI im engeren Sinne und geben nun eine nahe liegende Verallgemeinerung an. 9 S is im folgenden auf 1 normier

56 44 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Verallgemeinere OBPI Analog zur naiven Sraegie vgl. das Beispiel in Abschni 1.2 wird bei der OBPI der für die Garanie nowendige Berag risikolos angeleg, während der Überschuss in eine risikobehafee Anlage, in diesem Fall die Call-Opion, invesier wird. Daraus ergib sich direk eine Verallgemeinerung der Opion Based Porfolio Insurance. Ansa α Call-Opionen mi Srike G T /α zu halen, is es auch möglich α Call-Opionen mi Srike Kα = G T zu kaufen. Dami kann enweder die Parizipaionsrae oder das Parizipaionslevel im βα Gegensaz zur einfachen OBPI frei gewähl werden. Sofern es sich um asächlich gehandele Opionen handel, is dabei eine anfängliche Krediaufnahme nich nowendig. Es is somi möglich, bei der OBPI zu 1% an zusäzlichen Gewinnen der Anlage S zu parizipieren, sofern der Kurs der Anlage ein zu besimmendes Parizipaionslevel überschreie. Inuiiv gib βα den Fakor an, um den die Anlage S gegenüber der Garanie größer sein muss, dami an Kursveränderungen der Anlage parizipier werden kann. Je kleiner dabei β is, deso größer muss der Schlusskurs sein, um von poeniellen Zuwächsen zu profiieren. Falls die Opionen gehandel werden, erhäl man somi eine saische Sraegie. Da S jedoch selbs ein Porfolio sein kann, is nich immer zu erwaren, dass ensprechende Opionen mi dem gewünschen Srike und Laufzei am Finanzmark gehandel werden. In diesem Fall müssen die Opionen dynamisch duplizier werden 1. Im Black-Scholes-Modell erhäl man die folgende selbsfinanzierende Sraegie φ O, = G + α φ O,1 = α Call[S,Kα,T ] Call [S, Kα, T ] Call[S,Kα,T ] S mi dem Barwer der Endgaranie G = Ge rt. H gib wie üblich die Anzahl der zu halenden Akien S an, die nowendig sind um die Auszahlung H abzusichern. Mi der Black-Scholes-Formel für den Wer und dem Dela einer Call-Opion ein, ergib sich Definiion Die verallgemeinere Opion Based Porfolio Insurance mi Anfangswer V und Endgaranie G zur Zei T is durch die Handelssraegie φ O = φ O,, φ O,1 mi φ O, = G αe rt KαN d und φ O,1 = αn d + und S ln Kα d ± = + r ± 1 2 σ2 T σ T definier. Zusäzlich soll für die Parizipaionsrae α und das Parizipaionslevel Kα die Anfangsbedingung C = αs Nd + Kαe rt Nd erfüll sein. 1 Dazu muss der Finanzmark vollsändig sein. Diese Annahme is mi dem hier zugrunde liegenden Black-Scholes-Modell erfüll. B

57 1.4 Semi-saische und opionsbasiere Wersicherungen 45 Abbildung 1.4: Normiere Parizipaionsrae der OBPI in Abhängigkei des Parizipaionslevel Zu dieser Definiion einige Bemerkungen: Im Black-Scholes-Modell ergib sich die Auszahlung V T = G + α S T Kα + Insbesondere is die Sraegie dami pfadunabhängig. Da der Preis einer Call-Opion monoon fallend im Basispreis Kα is, folg direk, dass eine höhere Parizipaionsrae nur zu Lasen eines höheren Parizipaionslevel erreich werden kann. Eine hohe Parizipaionsraen implizier, dass Leerverkäufe in der risikolosen Anlage, d.h. Krediaufnahmen, nich ausgeschlossen werden können, um die Sraegie zu duplizieren. Nach der Definiion für die zuhalenden Aneile der risikolosen Anlage is eine hinreichende und nowendige Bedingung für den Ausschluss von Kredien durch αkα < G bzw. Kα < G gegeben. Die OBPI im engeren Sinne is also α diejenige Sraegie, die das Parizipaionslevel und dami die Parizipaionsrae uner Ausschluss von Leerverkäufen der risikolosen Anlage maximier. Die Abbildung 1.4 verdeulich diesen Zusammenhang zwischen Parizipaionsrae und Parizipaionslevel. Um den Einfluss der Laufzei und der Volailiä darzusellen berachen wir links einen Anlagehorizon von 1 Jahren bei einer Volailiä von 3% und rechs einen Anlagehorizon von 2 Jahren bei einer Volailiä von 2%. Die einfache OBPI beeilig den Invesor mi 5% bzw. 9% an den Gewinnen der Anlage S. Diese Beeiligung erfolg aber

58 46 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Abbildung 1.5: Auszahlungsprofil der OBPI für verschiedene Parizipaionsraen und -level nur uner der Voraussezung, dass die Anlage auf das 2,9fache bzw. 1,1fache ihres anfänglichen Weres gesiegen is roe Linie. Soll eine Beeiligung an den Zuwächsen gegenüber dem heuigen Kurs erfolgen, lieg die Beeiligungsrae nur bei 19% bzw. 62% blaue Linie. Falls umgekehr eine Beeiligung von 1% gewünsch wird, kann diese nur ab einem einem Wer der Akie vom 4,7fachen bzw. 1,13fachen des Anfangsweres gewähr werden. Die Abbildungen und die Auszahlungsdiagramme 1.5 legen nahe, dass insbesondere für lange Laufzeien und/oder hohe Volailiäen der Einsaz der OBPI zur Absicherung eines Porfolios problemaisch erschein. Diese Effeke werden in den folgenden Unersuchungen weier verdeulich. Vereilungseigenschafen Diche und Vereilungsfunkion für die OBPI folgen direk aus der Lognormalvereilung der risikobehafeen Anlage. Ohne Beschränkung der Allgemeinhei nehmen wir ab jez an, dass S = 1 gil. Proposiion Die Vereilung und Diche des Endweres der verallgemeineren OBPI sind durch P [V T v] = N ln v G + Kα µ 1 α 2 σ2 T σ T 1.4.5

59 1.4 Semi-saische und opionsbasiere Wersicherungen 47 Abbildung 1.6: Vereilung des Endweres der OBPI für verschiedene Parizipaionsraen und -level für v G und 1 ln v G P [V T dv] = v G + αkα σ T φ + Kα µ 1 α 2 σ2 T σ T ln Kα µ 1 2 P [V T = G] = N σ2 T σ T gegeben. v > G Beweis : Die Vereilung folg direk aus P [V T v] = P [S T v G + Kα] und α der Lognormalvereilung von S. Die Diche berechne sich durch Differenzieren. Die Punk-Wahrscheinlichkei besimm sich aus P [V T = G] = P [S T Kα]. Die Wahrscheinlichkei, nur die Garanie zu erhalen, is erwarungsgemäß monoon wachsend im Parizipaionslevel Kα. Eine zweie Beobachung beriff die relaive Verluswahrscheinlichkei. Die Wahrscheinlichkei, eine geringere als die risikolose Verzinsung zu erhalen, is monoon wachsend im Parizipaionslevel. Dazu berachen wir die Vereilungsfunkionen zweier OBPI-Sraegien mi bis auf die Parizpaion idenischen Parameern. Gemäß Gleichung schneiden sich die Vereilungsfunkionen im Punk v genau dann, falls v G α + K α = v G α + Kα gil. Einsezen der Iniialbedingung für α liefer die äquivalene Bedingung v G C Call [S, K α, T ] + K α = v G Call [S, Kα, T ] + Kα C

60 48 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien Auflösen nach v zeig zunächs, dass die Vereilungsfunkionen genau einen Schnipunk besizen. Kα K α v = G + C Call [S, K α, T ] Call [S, Kα, T ] Insbesondere gil somi, dass für zwei beliebige OBPI-Sraegien keine die jeweils andere sochasisch dominier, sofern beide dieselbe Garanie besizen. Für zwei europäische Call- Opionen mi Basispreisen K 1 < K 2 gil K 2 K 1 e rt Call [S, K 1, T ] Call [S, K 2, T ] und somi v G + C e rt = V e rt Der Schnipunk der beiden Vereilungsfunkionen lieg also oberhalb der risikolosen Verzinsung des Anfangskapials. Da die Wahrscheinlichkei, nur die Garanie zu erhalen monoon wachsend im Parizipaionslevel is, muss dies auch für die relaive Verluswahrscheinlichkei gelen. Korollar Für zwei OBPI-Sraegien Φ O und Φ O mi idenischen Endgaranien G, gleichem Anfangskapial V und Parizipaionsleveln K α > Kα gil: P [ṼT V e rt ] P [V T V e rt ] Mi den Vereilungseigenschafen is es nun möglich, auch die Momene der Sraegie anzugeben: Proposiion Das n-e Momen der verallgemeineren OBPI is gegeben durch E[V T n ] = G n + Beweis : vgl. Appendix n i=1 i j= n i i j N α i G n i Kα i j j 1 µ+ e 2 σ2 jt ln 1 2j 1 + µ + σ 2 T Kα 2 σ T Wiederum sei zur Verdeulichung der Erwarungswer explizi angeben. Korollar Der Erwarungswer der verallgemeineren OBPI laue ln Kα + µ + 1 E[V T ] = G+α eµt 2 N σ2 T σ ln Kα + µ 1 } {{ T KαN 2 σ2 T } σ } {{ T } =: d + =: d Korollar Für µ > r is der Erwarungswer der OBPI sreng monoon wachsend in der Parizipaionsrae α und im Parizipaionslevel G β.

61 1.4 Semi-saische und opionsbasiere Wersicherungen 49 Abbildung 1.7: Erwarungswer der OBPI in Abhängigkei der Parizipaionsrae für verschiedene µ-σ-kombinaionen Markpreis des Risikos konsan. Die gesrichele Linie repräsenier die jeweilige einfache OBPI Beweis : vgl. Appendix Beseh das Invesiionsziel in der Maximierung des Erwarungsweres, solle die Parizipaionsrae somi maximal gewähl werden. Uner der Nebenbedingung, dass Kredibeschränkungen vorliegen, ergib sich als opimale OBPI-Sraegie die einfache OBPI bzw. der Proecive Pu. Abwägend muss dem gegenübergesell werden, dass das Risiko ausschließlich die Garanie oder einen relaiven Verlus zu erleiden ebenfalls monoon wachsend in der Parizipaionsrae is. In diesem Sinne beseh ein Zielkonflik zwischen der Maximierung der erwareen Rendie und dem Risiko, nur die Garanie zu erhalen oder einen relaiven Verlus zu erzielen. Wohlweislich haben wir an dieser Selle auf eine Diskussion der Varianz der Sraegie verziche. Wie wir späer noch argumenieren werden, sell die Varianz im allgemeinen kein geeignees Risikomaß dar, wenn Anlagen berache werden, deren Rendien eine hohe Rechs-Schiefe besizen. Durch die Mindesgaranie is dies hier und bei den späeren Sraegien jedoch der Fall. Langfrisiges Verhalen und Cash-Lock Ausgehend von der Inerpreaion als Invesiion in die risikolose Anlage und dem Kauf ensprechender Call-Opionen, wird zur Besimmung der langfrisigen Rendie verlang, dass der anfängliche Floor G risikolos verzins wird. Die Feslegung einer besimmen Garanie am Laufzeiende enfäll somi. In diesem Fall is das langfrisige Verhalen der Sraegie dadurch gekennzeichne, dass die

62 5 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien OBPI gegen die naive Sraegie aus Beispiel konvergier. Dies wird deulich, wenn man beache, dass der Wer einer Call-Opion mi Basispreis Kα gegen den Preis des zugrunde liegenden Werpapiers konvergier. Lemma Die Parizipaionsrae der verallgemeineren OBPI is für unabhängig vom Parizipaionslevel K und durch gegeben. Beweis : Mi d + = ln S K +r+ 1 2 σ2 σ α = C S folg N d + 1 für und somi φ O,1 = C S. Insbesondere is die langfrisige erwaree Rendie gemäß Beispiel gerade µ und die Wahrscheinlichkei langfrisig eine höhere Verzinsung als r zu erhalen 1. Abschließend wollen wir berachen, inwiewei die OBPI nach Kursverlusen, die zu einer hinreichend kleinen Invesiionsquoe geführ haben, durch zukünfige Kursenwicklungen wieder eine ausreichend hohe Invesiionquoe erzielen kann bzw. umgekehr fragen, ob eine zu einem besimmen Zeipunk beobachee, niedrige Invesiionsquoe auch für die Zukunf niedrige Invesiionsquoen implizier. Dies is durch die Cash-Lock-Wahrscheinlichkei beschrieben. Dazu zunächs folgendes Lemma. Lemma Die Invesiionsquoe einer verallgemeineren OBPI is monoon wachsend im Akienkurs Beweis : Die Invesiionsquoe einer OBPI zur Zei is durch π 1 = gegeben. Diese is offensichlich genau dann monoon wachsend in S, falls monoon fallend in S. Für diesen Ausdruck gil αsn d +,S G +α Call[S,Kα,T ] G+α Call[S,Kα,T ] αs N d +,S G + α Call [S, Kα, T ] αs N d +, S = G + αs N d +, S αkαe rt N d, S αs N d +, S = 1 + G αkα N d, S αs N d +, S Für α, Kα > folg die Aussage direk, da sowohl N d +, S als auch N d, S monoon wachsend in S sind. Im Folgenden bezeichne nun s, γ die Umkehrabbildung von π 1 S = s, d.h. s, γ = s π 1 S = s = γ.

63 1.4 Semi-saische und opionsbasiere Wersicherungen 51 Abbildung 1.8: Cash-Lock-Wahrscheinlichkei V = 1, G = 8, r =.5, σ =.2, µ =.15 1 = 1, T = 15 Proposiion Die γ 1 -γ 2 -Cash-Lock-Wahrscheinlichkei bezüglich der Zeipunke 1, 2 einer OBPI mi Laufzei T laue P [π 1 2 < γ 2 π 1 1 = γ 1 ] = N ln s 1,γ 1 s 2,γ 2 µ 1 2 σ2 2 1 σ 2 1 Beweis : Folg direk aus der Unabhängigkei der Akienkurszuwächse und P [π 1 2 < γ 2 π 1 1 = γ 1 ] = P [S 2 < s 2, γ 2 S 1 < s 1, γ 1 ]. Die Cash-Lock-Wahrscheinlichkeien der bislang beracheen OBPI Sraegien, d.h. der OB- PI im engeren Sinne, OBPI mi direker Parizipaion und OBPI mi 1% Parizipaion, sind in der Abbildung 1.8 rechs dargesell. Es zeig sich, dass einzig die OBPI im engeren Sinne ausreichende Chancen besiz, dem Cash-Lock zu engehen. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass die Cash-Lock-Wahrscheinlichkei eine bedinge Wahrscheinlichkei darsell. Wenn die Invesiiionsquoe nach einem Jahr 1% beräg, illusrier die Abbildung in Abhängigkei von der Laufzei die Wahrscheinlichkei, dass die Invesiionsquoe weniger als 5% beräg. Die linke Abbildung zeig dagegen die Invesiionsquoe in Abhängigkei des Akienkurses. Wir sehen, dass die OBPI mi 1%iger Parizipaion in diesem konkreen Beispiel eine deulich geringere Wahrscheinlichkei besiz, überhaup eine so geringe Invesiionsquoe zu erzielen. Eine Invesiionsquoe von 1% nach einem Jahr wird ers erreich, sofern der Akienkurs auf 5% des anfänglichen Kurses gefallen is. In dem Beispiel

64 52 Ökonomische und Mahemaische Grundlagen und erse Sraegien ergeben sich diese deulichen Effeke vor allem aus dem langen Anlagehorizon der OBPI von 15 Jahren. Konkre ergeben sich eine Parizipaionsrae von 73,47% bei einem Parizipaionslevel von 2,31 für die einfache OBPI bzw. eine Parizipaionsrae von 34,92% für die OBPI mi direker Parizipaion und ein Parizipaionslevel 2,89 für die OBPI mi 1%iger Parizipaion. Insgesam zeig sich, dass die Sraegie bei hoher anfänglicher Garanie und langen Laufzeien oder hohen Volailiäen nur eine geringe Parizipaion ermöglich. Aus verschiedenen Gründen ergib sich, dass die OBPI im engeren Sinne den anderen OBPI-Sraegien vorzuziehen is. Sie ermöglich zum einen die maximale Parizipaion, die möglich is ohne zusäzliche Krediaufnahmen zuzulassen. Zum anderen schein sie am ehesen geeigne einen Cash-Lock zu vermeiden und somi nach Kurseinbrüchen am ehesen wieder hohe Invesiionsquoen zu erreichen. Ein zweifelloser Voreil der OBPI ergib sich, wenn die Opion asächlich gehandel wird, da in diesem Fall die Sraegie saisch wird und somi kein Modellrisiko exisier. Solle es nich möglich sein, die Opion explizi am Finanzmark zu erwerben, muss diese über ein dynamisches Porfolio wie oben beschrieben duplizier werden. In diesem Fall können Missspezifikaion des Modells und insbesondere der Volailiä dazu führen, dass die Garanie nich gewährleise werden kann 11. Ein weierer Nacheil lieg darin begründe, dass Sraegie zwingend voraussez, dass das zugrunde liegende Werpapier über die gesame Laufzei dasselbe bleib. Es is also nich möglich, wie z.b. im Rahmen eines Fonds, Umschichungen zwischen verschiedenen Werpapieren zu vollziehen. Zusäzlich is es nowendig einen fesen Anlagehorizon zu besimmen. Es is zwar möglich, die Sraegie vorzeiig zu beenden und gemäß der obigen Berachungen zumindes den Barwer der Garanie zu erhalen. Es is jedoch nich ohne weiere Annahmen möglich, die Sraegie über den Zeipunk T hinaus forzusezen, da der Dela-Hedge ab diesem Zeipunk nich mehr definier is. Das Feslegen eines neuen Anlagehorizons wäre nowendig. Die Alernaive den Anlagehorizon a priori beliebig groß zu wählen, widersprich den Überlegungen zu Lemma In diesem Falle ensprich die OBPI der naiven Anlagesraegie. 11 Für eine Übersich des Verhalens von Opionspreisen in unvollsändigen Modellen vgl. z.b. Dudenhausen 21.

65 Kapiel 2 - Proporionale Wersicherungssraegien ohne Beschränkungen Als Alernaive zu den opionsbasierenden Sraegien bieen sich die konsan-proporionalen Wersicherungssraegien, Consan Proporional Porfolio Insurance CPPI, an. Ebenso wie bei den OBPI-Sraegien direk oder durch synheische Nachbildung in ein gehebeles Produk, die Opion, invesier wird, so wird bei diesen Sraegien der Hebel explizi durch die Wahl des Mulipliers vorgegeben. Die Idee beseh darin, zu jedem Zeipunk das nich zur Gewährleisung der Garanie benöige Kapial mi diesem Hebel in eine riskane Anlage zu invesieren. In der einfachen Form, wie zunächs berache wird, wurde sie ersmalig von Black und Jones 1987 und Black und Perold 1992 namenlich in der Lieraur erwähn. Das Konzep einer dynamischen konsan-proporionalen Sraegie läss sich jedoch wenigsens bis Meron 1969 zurückführen, wo gezeig wurde, dass konsan-proporionale Sraegien den erwareen Nuzen einer CRRA-Nuzenfunkion maximieren. Im Falle einer dynamischen Porfolio-Anpassung wird durch die Invesiion in ein Vielfaches des Cushion gewährleise, dass der Wer der Sraegie niemals uner den Floor, der diskonieren Garanie, fallen kann. Als Alernaive zu dieser Sraegie berachen wir im Anschluss eine Sraegie, die nich nur zu jedem Zeipunk die diskoniere Garanie sicher, sondern sadessen die Garanie selbs. In diesem Sinne kann der Floor als konsan berache werden und von einer amerikanischen Garanie gesprochen werden. Die Auswirkungen dieser Modifikaion werden wir anhand eines Vergleichs beider Sraegien im Abschni berachen. Die für den Fall des konsanen Floors vorgenommenen Überlegungen sind überdies auch für die Beschreibung einer periodischen Prämie, die in eine einfache CPPI invesier wird, hilfreich. Eine Diskussion der Beziehungen zur CPPI mi konsanem Floor erfolg in Abschni Weiere Modifikaionen, die vor allem die prakische Umsezung der Sraegie bereffen, werden in den nächsen Kapieln behandel. 53

66 54 Proporionale Wersicherungssraegien ohne Beschränkungen 2.1 Consan Proporion Porfolio Insurance CPPI Die Consan Proporion Porfolio Insurance bezüglich einer risikobehafeen und einer risikolosen Anlage is durch zwei Eigenschafen beschrieben. Zum einen wird geforder, dass sie selbsfinanzierend is und zum anderen wird geforder, dass der Berag, der in die risikobehafee Anlage invesier wird, das so genanne Exposure, durch mc gegeben is. Dabei is C der Cushion bzw. Risikopuffer zur Zei wie er in Definiion beschrieben wurde und gib die Differenz zwischen dem Wer der Sraegie und dem Barwer der Garanie an. Im Sinne der OBPI aus dem lezen Abschni und der naiven Anlagesraegie aus Beispiel gib er also das Kapial an, welches zur Spekulaion zur Verfügung seh. Im Sinne einer dynamischen Sraegie wird nun zu jedem Zeipunk nich nur der Cushion selbs, sondern ein Vielfaches desselbigen invesier. Dieses Vielfache wird durch den konsanen Muliplier oder Hebel m beschrieben. Durch dynamisches Handeln wird sichergesell, dass das Exposure im gleichen Maß gegen Null geh wie der Cushion selbs, so dass für seige Akienpfade und somi seige Werenwicklungen ausreichendes Kapial zur Leisung der Garanie immer gewährleise is 1. Beachenswer is hierbei vor allem, dass die Aneile, die zum Zeipunk in die risikolose und risikobehafee Anlage invesier werden, ausschließlich vom derzeiigen Wer der Sraegie V und dem Barwer der Garanie G abhängig sind. Dies is ein wesenlicher Unerschied und als Voreil gegenüber der synheischen OBPI zu sehen, wo durch das Dela auch die Volailiä der Akie Einfluss auf das Exposure besiz 2. Die Sraegie, beschrieben durch die invesieren Aneile, is also im Gegensaz zur OBPI Modell-unabhängig. 1 Für die Dynamik des Cushions C in einem Modell mi Sprüngen sei auf Con und Tankov 27 verwiesen. Beachenswer is dabei, dass die grundlegende Srukur der Dynamik aus Gleichung erhalen bleib. Der Cushion kann zwar aufgrund der Sprünge negaiv werden, solange er posiiv is, läss er sich aber ebenfalls als Funkion des Akienkurses und der risikolosen Anlage darsellen. 2 Dies gil naürlich nur im Falle der synheischen OBPI und der dynamischen Duplikaion der ensprechenden Opion. Falls die Opion asächlich gehandel wird, handel es sich um eine saische Sraegie und der anfängliche Cushion wird in die Opion invesier.

67 2.1 Consan Proporion Porfolio Insurance CPPI 55 Beispiel: CPPI Ende Beispiel: CPPI Dynamik und Vereilung Um die Sraegie von den in den nächsen Abschnien folgenden Modifikaionen abzugrenzen, wollen wir die Sraegie als einfache CPPI bezeichnen. Definiion Die einfache CPPI-Sraegie Φ CP mi Hebel m, Anfangskapial V CP und Garanie G = G B is zu jedem Zeipunk dadurch definier, dass die Invesiion in die risikobehafee Anlage durch das Produk aus Hebel und der Differenz aus dem Porfoliower und dem Barwer der Garanie gegeben is und der Bedingung der Selbsfinanzierung. Es gil mi C CP = V G. φ 1,CP = mccp φ,cp = V CP S mc CP B Üblicherweise wird ein Hebel m 2 gewähl und die Garanie is exogen durch den Endwer G zum Anlagehorizon T, G = Ge rt, gegeben. In diesem Sinne beschreib G eine europäische Garanie. Eine direke Folge aus der Dynamik des Akienkurses is 3 3 Aus Gründen der Übersichlichkei verzichen wir auf den Index CP, sofern klar is, um welche Sraegie es sich handel.

68 56 Proporionale Wersicherungssraegien ohne Beschränkungen Proposiion Der Cushion-Prozess einer einfachen CPPI is gegeben durch dc = C r + mµ rd + σ m dw Insbesondere ensprich der Cushion-Prozess einer geomerischen Brownschen Bewegung. Die Lösung der sochasischen Differenialgleichung laue C = C e r e µ r m 2 σ2 +σw m m = C e r S e r+ m 1 σ S Beweis : Mi C := V G folg aus dem Gewinnprozess mc ds dc = d V G =V + 1 mc db G rd V S V B Einsezen der Dynamik des Akienkurses ergib ds =mc + G + C m 1C rd G rd S =C m ds m 1r d. S =C mµ m 1rd + mσdw. Die Lösung der Differenialgleichung is das sochasische Exponenial in Ein Vergleich mi der Dynamik des Akienkurses ergib Für den Wer der CPPI zur Zei ergib sich aus V = G + C m V = G + C e r S e r+ m 1 σ 2 2. S Der Wer sez sich also aus der Garanie und einem nich-negaiven Term zusammen, der proporional zu S m is. Dies ha zwei ineressane Beobachungen zur Folge. Offensichlich is die Sraegie pfadunabhängig, womi wir in der Lage sind die Auszahlungsprofile von CPPI und OBPI direk mieinander zu vergleichen. Dies erfolg in Abbildung 2.1. Man erkenn, dass die CPPI bei gleichbleibenden oder fallenden Akienkursen einen Überschuss erziel. Bei moderaen Zuwächsen des Akienkurses dominier die Auszahlung der OBPI, wohingegen bei exrem hohen Gewinnen die CPPI dominier, was im zweien Bild für einen großen Muliplier deulich wird. Dass die CPPI die OBPI bei hohen Gewinnen dominier lieg an der zweien Beobachung. Der Überschuss der CPPI läss sich nach Gleichung als Power-Opion mi Srike bzw. Power-Konrak inerpreieren. Der Proporionaliäsfakor gib dabei gerade die Anzahl der gekaufen Power-Konrake an. In diese Sinne läss sich die CPPI

69 2.1 Consan Proporion Porfolio Insurance CPPI 57 Abbildung 2.1: Auszahlungsprofil einfache CPPI und OBPI bei Kapialerhalung G = V = 1 für m = 3 bzw. 1 S = 1, r =.5, σ =.2, T = 2 also auch als OBPI versehen. Ein Teil des Anfangskapials wird in die risikolose Anlage invesier, um die Garanie zu gewährleisen und der verbleibende Teil, das anfängliche Cushion, wird in Power-Konrake der Poenz m invesier 4. Dabei sell man fes, dass die Anzahl der Power-Konrake durch die Diskonierung über die Laufzei in fallend is. Diese Verringerung kann als Prämie für den Power-Konrak aufgefass werden. Mi zunehmender Laufzei verringer sich die Anzahl der Power-Konrake um den Fakor e m 1r+ m 2 σ2. Die Verringerung des Besandes ensprich somi einer implizien Prämienzahlung. Dieses Verhalen is, wie wir sehen werden, auch für die folgenden Modifikaionen der CPPI ypisch. In der Lieraur erfolg häufig ein Vergleich der einfachen CPPI mi der OBPI. Man beache aber, dass der Aneil, der in die Akie invesier wird, bei der einfachen CPPI beliebig groß werden und insbesondere mehr als 1% beragen kann. Dieser Effek is insbesondere für große Hebel deulich, wie Abbildung 2.2 zeig. Dies bedeue, dass die Sraegie nur durch zusäzliche Krediaufnahmen finanzier werden kann. Im Gegensaz dazu is der Aneil, der bei der OBPI invesier werden muss begrenz, vgl. Abschni Insbesondere für die OBPI im engeren Sinne gil, dass keine zusäzlichen Krediaufnahmen nowendig sind. Aus diesem Grund schein es sinnvoller, sadessen die CPPI uner Kredibeschränkungen mi der OBPI zu vergleichen. In diesem Fall wird die Pfadunabhängigkei der einfachen CPPI nich erhalen bleiben, wie in Kapiel 3 gezeig wird. 4 Ineressanerweise beseh das Absicherungsargumen einer Power-Opion mi Auszahlung S λ T K+ üblicherweise aus einem Dela-Hedge bezogen auf die fikive Anlage S λ, vgl. z.b. James 23. Diese fikive Anlage ensprich aber einer geeigne normieren, einfachen CPPI mi Garanie!

70 58 Proporionale Wersicherungssraegien ohne Beschränkungen Abbildung 2.2: Aneil des nach 2 Jahren in die Akie invesierem Kapial für m = 3 bzw. 1 G = V = 1, S = 1, r =.5, σ =.2, T = 4 Lemma Momene Das k-e Momen des Cushion is durch E [ ] C k = C k exp {mµ m 1r + m2 σ 2 k 1 2 } k gegeben. Beweis : Aus Gleichung folg E [ ] C k = C k e kr e µ r m 2 σ2 mk E [ e σmkw] = C k e kr e µ r m 2 σ2 mk e σ2 m 2 k 2 2 da für Y N, σ 2 Y gil: E [ e Y ] = e 1 2 σ2 Y. Zusammenfassen der verbleibenden Terme beende den Beweis. Insbesondere ergib sich für den Erwarungswer und die Varianz des Endweres der CPPI E [V ] = G + C exp {r + mµ r } V ar [V ] = C 2 exp {2 r + mµ r } exp { m 2 σ 2 } Dabei is auffällig, dass der erwaree Endwer der einfachen CPPI unabhängig von der Volailiä der Akie is. Im Gegensaz dazu wächs die Sandardabweichung exponeniell in der Volailiä, vgl. Abbildung 2.3. Dies erklär bereis inuiiv, weshalb die Eigenschafen der CPPI uner Mark-Unvollkommenheien wie Kredibeschränkungen und Handelsbeschränkungen nich nur vom Drif der Akie, sondern im mindesens gleichen Maße von

71 2.1 Consan Proporion Porfolio Insurance CPPI 59 Abbildung 2.3: Erwarungswer und Sandardabweichung der einfachen CPPI in Abhängigkei von m bzw. σ für m = 2, 4 bzw. 8 mi G = 8, V = 1, µ =.1, r =, 5, T = 1 der Volailiä abhängen werden. Eine zweie hervorzuhebende Eigenschaf beseh darin, dass sämliche Momene monoon wachsend im Muliplier sind 5. Insbesondere für die ersen beiden Momene zeig sich somi, dass die Wahl von m die Risikobereischaf des Invesors beschreib. Ein hoher Muliplier implizier einen höheren erwareen Endwer bei gleichzeiig höherer Varianz. Im Kapiel zur CPPI uner Kredibeschränkungen werden wir sehen, dass diese Aussage im allgemeinen zumindes für den Erwarungswer nich gil. Die weieren Vereilungseigenschafen wie Diche und Vereilungsfunkion des Endweres lassen sich nun direk aus der Vereilung des Akienkurses besimmen. Für eine Berachung sei auf Black und Perold 1992 bzw. Berrand und Prigen 22 verwiesen Langfrisiges und Cash-Lock-Verhalen Aus den Vereilungseigenschafen der Akie läss sich auch das nächse Resula herleien. Abbildung 2.2 zeig, dass bei einem großen Hebel selbs bei einem 5%-igen Akienkurszuwachs nur ein geringer Aneil in die Akie invesier wird. Dies änder sich ers bei noch höheren Zuwächsen. In den Beispielen erkenn man, dass ab einem Akienkurs von ca. 18% eine höhere Invesiionsquoe als bei der OBPI erreich wird. Es sell sich somi die Frage, welche Invesiionsquoen mi welcher Vereilung angenommen werden. Eine Beschreibung erfolg in Form der Cash-Lock-Wahrscheinlichkei und der Wahrscheinlichkei einer Cash- Dominanz. Proposiion Die α-β-cash-lock-wahrscheinlichkei laue P [ π 1 T β π 1 = α ] = N 1 βm α ln m µ r m αm β 2 σ2 T σ T Das gil uner der Annahme µ > r, was den Sandardfall darsell.

72 6 Proporionale Wersicherungssraegien ohne Beschränkungen Abbildung 2.4: Cash-Lock-Wahrscheinlichkei r =,5, σ =,2, µ =,15 Beweis : Der relaive Aneil der risikobehafeen Anlage am Porfolio für die CPPI laue π 1 = mc V. Dami ergib sich P [ πt 1 β π 1 = α ] = P [m βc T βg T m αc = αg ] m = P [C e µ r m 2 σ2 T +σw T W β m β G C = α ] m α G [ α ] m = P e µ r m 2 σ2 T +σw T W β m α m β [ = P W T W 1 1 βm α ln σ m αm β µ r m ] 2 σ2 T durch Ausnuzen der Unabhängigkei der Zuwächse der Brownschen Bewegung. Im Gegensaz zur opionsbasieren Sraegien zeig sich, dass die Cash-Lock- Wahrscheinlichkei einzig von der Differenz der beiden beracheen Zeipunken abhäng. Falls der zweie Zeipunk mi dem Anlagehorizon übereinsimm, is die Cash-Lock-Wahrscheinlichkei nur von der Reslaufzei der Sraegie abhängig, während bei der OBPI gemäß Proposiion auch der Zeipunk, zu dem die Sraegie cash-dominier wird, von Bedeuung is. Insbesondere läss sich aus Gleichung auch die Wahrscheinlichkei der Cash-Dominanz herleien, indem für α die anfängliche Invesiionsquoe gewähl wird. Die Unabhängigkei vom Zeipunk der Cash-Dominanz kann als Zei-Invarianz der CPPI bezüglich des Cash- Locks angesehen werden. Unabhängig von den konkreen Invesiionsquoen α und β sehen wir anhand der Gleichung sofor eine nowendige Bedingung dafür, dass sich die Cash-Lock-Wahrscheinlichkei über die Reslaufzei verringer, nämlich µ > r + m 2 σ2. Die Abbildung 2.4 verdeulich

73 2.1 Consan Proporion Porfolio Insurance CPPI 61 diesen Zusammenhang in Abhängigkei von der Reslaufzei und des Hebels. Insgesam zeig sich, dass die Cash-Lock-Wahrscheinlichkei selbs bei einer vergleichsweise hohen erwareen Rendie der Akie von 15% auch für lange Zeiräume wie 1 Jahre Reslaufzei mi mind. 6% sehr hoch is. Ebenfalls auffällig is die Tasache, dass, sofern die Invesiionsquoe uner 1% gefallen is, je nach verbleibender Reslaufzei ein Minimum in der Cash-Lock-Wahrscheinlichkei exisier. Dies könne eine Modifikaion der CPPI mi einem zeiabhängigen Muliplier moivieren, wie er implizi in der OBPI enhalen is. Anselle den Muliplier als nich-konsan zu wählen, läss sich der in die Akie invesiere Berag auch durch einen größeren Cushion erhöhen. Eine Möglichkei beseh darin, den Floor zu modifizieren. Dies bilde die Moivaion für den Abschni 2.2. Im direken Vergleich zur OBPI zeig sich in der rechen Abbildung, dass die Cash-Lock- Wahrscheinlichkei für die OBPI ers nach vergleichsweiser langer Zei, im Beispiel in Abhängigkei vom Muliplier nach 4-6 Jahren, eine geringere Cash-Lock-Wahrscheinlichkei als die einfache CPPI besiz. Die Chance, dass sich die CPPI in kurzer Zei erhol, is also größer. Als nächses berachen wir das Risiko eine Rendie unerhalb der risikolosen Verzinsung zu erhalen, d.h. die relaive Verluswahrscheinlichkei und deren Grenzwer für einen beliebig großen Anlagehorizon. Korollar Die relaive Verluswahrscheinlichkei is durch µ r m P [V V e r 2 ] = N σ2 σ gegeben. Für gil lim P [V V e r ] = Beweis : Aus der Dynamik folg µ > r + m 2 σ2 1 2 µ = r + m 2 σ2. 1 µ < r + m 2 σ2 P [V V e r ] = P [C V e r G ] = P [C C e r ] = P [mµ r m 2 σ2 + mσw ] mσ2 µ r 2 = N σ Die langfrisige Verluswahrscheinlichkei folg direk.

74 62 Proporionale Wersicherungssraegien ohne Beschränkungen Dami die Sraegie auch auf lange Sich Erräge oberhalb der risikolosen Rendie erziel, is es wiederum nowendig, dass die Bedingung µ > r + m 2 σ2 erfüll is. Abschließend sei die langfrisige Rendie durch das folgenden Korollar besimm. Dies sell einen weieren Zusammenhang zwischen dem Sraegie-Parameer m und den Modellparameern µ und σ dar, der zu beachen is. Korollar Für die langfrisige Rendie einer einfachen CPPI gil: ln E[V /V ] lim = { mµ m 1r µ > r r µ r Beweis : Nach Gleichung gil E[V ] = G + C e r+mµ r. Dami ln E[V ] ln E[V ] ln e r G + C e mmu r lim = lim ln G + C e mmu r = r + lim Für µ > r erhäl man durch Anwenden der Regel von L Hôspial C mµ re mmu r = r + lim G + C e mmu r C e mmu r = r + mµ r lim G + C e mmu r = mµ m 1r und für µ r = r Dami die CPPI auf lange Sich eine höhere erwaree Rendie als die risikolose Anlage erziel, muss also µ > r gelen, d.h., aus der üblicherweise angenommenen Voreilhafigkei der Akie gegenüber der der risikolosen Anlage folg auch die Voreilhafigkei der Invesiion in die einfache CPPI. Ansonsen resulieren Erräge nur aus der risikolosen Verzinsung der Garanie und die Rendie ensprich r. Insgesam is diese Bedingung an die Rendie der Akie schwächer als die oben erwähne Bedingung µ > r + m 2 σ2 und wird für die weieren Überlegungen von nachrangiger Bedeuung sein.

75 2.2 CPPI mi konsanem Floor CPPI mi konsanem Floor Ausgangspunk der Berachungen zur CPPI mi konsanem Floor sind die Fessellungen in Abschni 2. Dor wurde ersichlich, dass aufgrund der Konsrukion eine sehr große Wahrscheinlichkei beseh, dass die Sraegie auf lange Sich cash-dominier wird, d.h. der Aneil der Invesiion in die risikolose Akie gegen Null konvergier. Ein wesenlicher Aneil an dieser Eigenschaf lieg darin begründe, dass die Garanie mi dem risikolosen Zinssaz wächs und somi der Cushion bei gleichbleibenden Porfolioweren fäll. Die Idee einer CPPI mi konsaner Garanie bzw. einer Garanie, die mi einer geringeren Verzinsung als der risikolosen wächs, beseh darin, diese Cash-Lock-Wahrscheinlichkei zu mindern. Das Vorhandensein einer konsanen oder gering wachsenden Garanie läss sich aber auch durch die prakische Anwendung begründen. So garanieren z.b. Versicherungen Kapialerhalung der, um den Risikobeirag geminderen, Prämien oder eine Verzinsung dieser mi einem Kalkulaionszins, der üblicherweise unerhalb des risikolosen Anlagezins lieg. Ein weierer Voreil lieg darin, dass für Anleger, die einen besimmen Berag zu einem unspezifizieren Zeipunk in der Zukunf sichern wollen, dieser Berag zu jedem Zeipunk gewährleise wird, ohne dass auf Erragschancen der risikobehafeen Anlage verziche werden muss. Um dies zu verdeulichen, sei auf die einfache CPPI und das folgende Beispiel hingewiesen. Ein Anleger, der den Berag G zu einem fesen Zeipunk T sichern will, muss einen anfänglichen Floor von G = Ge r wählen. Dami is jedoch nich gewährleise, dass der Wer der Sraegie zu den Zeipunken < T ebenfalls größer als G is. Um zu jedem Zeipunk die Garanie zu gewährleisen, müsse G = G als anfänglicher Floor gewähl werden. Dami erfolg aber zu jedem Zeipunk > eine Überabsicherung des Porfolios, was sich umgekehr mindernd auf die Beeiligung an möglichen Kursgewinnen auswirk. Brennan und Schwarz 1988 bezeichnen eine solche Sraegie als zeiinvarian, wobei dor zusäzlich angenommen wird, dass die Sraegie außerdem ausschließlich vom Wer der risikobehafeen Anlage zu jedem Zeipunk und nich vom Zeipunk selbs abhängig is. Die hier aufreende Zei-Invarianz muss allgemeiner inerpreier werden, da die Sraegie zwar nich vom Zeipunk selbs, aber von allen bis zu diesem Zeipunk angenommenen Kursen der risikobehafeen Anlage abhängen wird. Wir werden uns im folgenden darauf beschränken, den Fall einer konsanen Sraegie zu berachen. Dieser Fall kann in Anlehnung an die Unerscheidung zwischen amerikanischen und europäischen Opionsrechen als Amerikanische Garanie berache werden. Ausgehend von den unen sehenden Argumenen läss sich die Dynamik des Cushion-Prozesses analog für Garanien, die mi vom risikolosen Zins verschiedenen Zinsraen wachsen, besimmen. Die weieren Argumene bezüglich der Risikomaße und der Vereilung bleiben idenisch. Wir werden fessellen, dass sich der Wer der Sraegie zur Zei als Funkion des arihme-

76 64 Proporionale Wersicherungssraegien ohne Beschränkungen isches Miel bis zum Zeipunk und des Weres der Anlage zur Zei darsellen läss. Zur Beschreibung der Vereilungseigenschafen werden wir insbesondere auf die Überlegungen aus Abschni zurückgreifen. Beispiel: CPPI mi konsaner Garanie Ende Beispiel: CPPI mi konsaner Garanie Dynamik und Vereilung Ausgehend von den Ergebnissen zur einfachen CPPI, läss sich die CPPI mi konsanem Floor folgendermaßen definieren. Definiion Die CPPI-Sraegie Φ CCP mi konsanem Floor G G, Anfangskapial V CCP und Hebel m is jedem Zeipunk dadurch definier, dass die Invesiion in die risikobehafee Anlage durch das Produk aus Hebel und der Differenz aus dem Porfoliower und dem konsanen Floor is und der Bedingung der Selbsfinanzierung. Es gil φ 1,CCP = mcccp φ,ccp = V CCP S mc CCP B mi C CCP = V CCP G. Die formale Bedingung an die zu halenden Akienaneile bleib also idenisch, jedoch is der Cushion nun nich durch den Wer der Sraegie abzüglich des Barweres der Garanie, sondern durch den Wer abzüglich einer Konsanen beschrieben. Im Gegensaz zu den

77 2.2 CPPI mi konsanem Floor 65 vorherigen Überlegungen gil also dg durch die Sochasische Differenialgleichung 6 dc = dv G = dv = V mc ds + V S = C m ds + S =. Die Dynamik des Cushion-Prozess is dann 1 mc V db G C m 1 B db gegeben. Einsezen der Dynamik für die Akie S und die risikolose Anlage B im Black- Scholes-Modell ergib rg dc = mµ m 1r mµ m 1r + C d + C mσdw B =: A A + C d + ςc dw Im Sinne der Klassifizierung von Kloeden und Plaen 1999, Kapiel 4 handel es sich hierbei um eine inhomogene lineare Sochasische Differenialgleichung mi muliplikaivem Sörerm und konsanen Koeffizienen. Muliplikaion mi dem inegrierendem Fakor e A 1 2 ς2 ςw von Gleichung ergib d C e A 1 2 ς2 ςw = dc A 12 ς2 C d ςc dw + 12 ς2 C d W ς d W, C exp A 12 ς2 ςw = exp A 12 ς2 ςw B d. Man beache, dass die reche Seie nun nich mehr von C abhängig is. Daraus resulier die folgenden Proposiion. Proposiion Der Cushion-Prozess einer CPPI mi konsaner Garanie is gegeben durch C = e mµ m 1r 1 2 m2 σ 2 +mσw C + r G m = C e r S e r+ m 1 σ r G S B e mµ m 1r 1 2 m2 σ 2 s mσw s ds m e r s S e r+ m 1 σ s 2 2 ds S s 6 Aus Gründen der Übersichlichkei verzichen wir wiederum auf den Index CCP, sofern klar is, um welche Sraegie es sich handel.

78 66 Proporionale Wersicherungssraegien ohne Beschränkungen Beweis : Aus der obigen Darsellung ergib sich C = e A 1 2 ς2 +ςw C + B exp A 12 ς2 s ςw s ds Der Res folg durch Einsezen. Es sei an die Dynamik des Cushion einer einfachen CPPI vgl. Proposiion mi anfänglicher Garanie G = G erinner. Wir bezeichnen diesen durch C = V Ge r S m 1 m. r+ σ S e 2 2 Man erkenn, dass dieser mi dem ersen Term in Gleichung übereinsimm. Weierhin gil C = C + rg = C + rg = C + rg e mµ m 1r 1 2 m2 σ 2 s+mσw W s ds e r s S C C s ds. m e r+ m 1 σ s 2 2 ds S s Bevor wir uns den konkreen Eigenschafen des Cushions und dami des Weres widmen, wollen wir kurz das obige Ergebnis diskuieren. Die Berachungen der einfachen CPPI haben ergeben, dass sie als saische Sraegie inerpreier werden kann, wobei die Garanie risikolos angeleg wird und der anfängliche Cushion in einen Power-Konrak invesier wird. Davon ausgehend läss sich die CPPI mi konsanem Floor analog inerpreieren, wobei die Zinsgewinne aus der risikolosen Anlage dazu verwenden werden, regelmäßig weiere Power- Konrake zu kaufen. Der jeweils gülige Preis is dabei durch den Wer des Cushions der einfachen CPPI gegeben. Mi dieser Inerpreaion is es dann auch direk möglich z.b. das Verhalen einer CPPI im Falle regelmäßig diskre erfolgender Prämienzahlungen zu besimmen, wie wir in Abschni sehen werden. Der Cushion einer CPPI mi konsanem Floor is also mindesens so groß wie der Cushion einer einfachen CPPI. Insbesondere is somi auch das Exposure, also der in die Akie invesiere Berag, bei einer CPPI mi konsanem Floor mindesens genauso groß wie das Exposure einer einfachen CPPI. Man beache, dass a priori jedoch nich klar is, ob dami auch die Invesiionsquoe größer is. Dazu muss zusäzlich der Wer der CPPI mi konsanem Floor berache werden, der sich aus Cushion und Garanie zu V = C + G = C + G 1 + r C ds ergib. C s Proposiion Die Invesiionsquoe in die Akie einer CPPI mi konsaner Garanie G is zu jedem Zeipunk > größer als die Invesiionsquoe einer einfachen CPPI deren

79 2.2 CPPI mi konsanem Floor 67 anfängliche Garanie mi G = G übereinsimm. mc V > m C Ṽ Beweis : vgl. Appendix B Zur Beschreibung der Vereilung werden wir nun auf die Ergebnisse aus Abschni zurückgreifen. Dazu schreiben wir Gleichung zu C = e C θ+mσw + r G e θs+mσws ds um, wobei θ := mµ m 1r 1 2 m2 σ 2. Mi Korollar erhalen wir die Proposiion Proposiion Das n-e Momen des Cushions einer CPPI mi konsanem Floor is durch E [C n ] = n i= gegeben. Dabei is c ς j,i := i i n! rg n i! Cn i m 2 σ 2 j= k j k i Beweis : vgl. Appendix B 2 ς+j 2 ς+k 2. 7 c n θ m 2 σ 2 j,i n j θ+ e 2 m2 σ 2 n j Aufgrund des Zusammenhangs zwischen Wer, Cushion und Garanie der CPPI mi konsanem Floor und der Eigenschaf, dass die Garanie hier konsan is, lassen sich somi auch die Momene des Weres einer CPPI mi konsanem Floor direk angeben. Für p N erhäl man E[V p ] = p n= p n G p n E[C n ]. Für späere Berachungen is es hilfreich den Erwarungswer explizi darzusellen. Korollar Der Erwarungswer des Endweres einer CPPI mi konsanem Floor is für mµ m 1r durch gegeben. E [V ] = G + C e mµ m 1r + Beweis : vgl. Appendix B rg e mµ m 1r mµ m 1r 7 Genauer müssen an dieser Selle noch zusäzliche Bedingungen an θ gesell werden, die sichern, dass der Term c j,i wohldefinier is. Konkre muss gelen j n θ m 2 σ k n θ 2 m 2 σ j, k n bzw. 2 j + k 2n. Eine hinreichende Bedingung is θ >, die wir im folgenden als erfüll annehmen. θ m 2 σ 2

80 68 Proporionale Wersicherungssraegien ohne Beschränkungen Im Vergleich zur einfachen CPPI ergib sich daraus die folgende Beobachung. Sofern die Akienkursrendie oberhalb der risikolosen Verzinsung lieg, d.h. der Sandardfall µ > r, is die erwaree Auszahlung der CPPI mi konsanem Floor größer als die der einfachen CPPI mi gleicher anfänglicher Garanie. Durch Umschreiben der Gleichung erhäl man E [V ] = C e mµ m 1r mµ m 1r r + remµ m 1r + G mµ m 1r = E[ C ] + Ge r mµ re r + re mµ r mµ m 1r E[ C ] + G mµ r1 r + r1 + mµ r mµ m 1r = E[ C ] + G Inuiiv ergib sich diese Aussage, da die Invesiionsquoe größer is und somi aus den erwareen höheren Akienkurszuwächsen auch ein höherer Endwer der Sraegie resulier. Abschließend sei die Vereilung des Endweres der CPPI mi konsanem Floor durch die folgende Darsellung besimm. Proposiion Die Diche des auf den Endwer des Akienkurses bedingen Cushion is gegeben durch fc dc := P [C dc S = s] = m2 σ 2 4rG e2ws a m 2 σ 2 ws, m2 σ 2 4 4rG ce2ws C dc. mi ws = 1 m ln S 2 s + r + m σ2 und a 2 x, u definier wie in Proposiion Es sei darauf hingewiesen, dass dami die unbedinge Diche als Randvereilung der gemeinsamen Vereilung des Cushion und des Akienkurses fc dc := P [C dc] = = P [C dc S = s] P [S ds] dc fc 1 ln s σ φ S µ 1 2 σ2 σ ds dc dargesell werden kann. Dabei bezeichne φx = 1 2π e 1 2 x2 die Diche der Sandardnormalvereilung. Für die Diche des Weres der CPPI mi konsanem Floor gil dann für v > G P [V dv S = s] = fv G dv P [V dv] = fv G dv. Prakisch ergib sich das Problem, dass die Diche der CPPI mi konsanem Floor ein zweifaches, uneigenliches Inegral darsell, und somi numerisch uner Umsänden nur

81 2.2 CPPI mi konsanem Floor 69 aufwendig berechenbar is. Alernaiv bieen sich Mone-Carlo-Simulaionen an, wobei die obigen Momene als Konrollvariae zur Varianzredukion verwende werden können. Wie Tabelle 2.1 zeig, besiz die CPPI mi konsanem Floor ebenso wie die einfache CPPI eine sehr hohe Kurosis. Die daraus resulierenden Exremereignisse sorgen jedoch dafür, dass aus Simulaionen gewonnene Ergebnisse häufig ungenau werden. 8 Aus diesem Grund basier der in Abschni vorgenommene Vergleich auf den analyischen Ergebnissen Langfrisiges und Cash-Lock-Verhalen Da die Invesiionsquoe zur Zei analog zur einfachen CPPI eine Funkion des Weres zur Zei is, läss sich die Cash-Lock-Wahrscheinlichkei direk aus der obigen Vereilung des Weres besimmen. Da die Zuwächse der CPPI mi konsanem Floor ausschließlich vom Wer des derzeiigen Cushion und ansonsen unabhängig und idenisch vereil sind, gil für die α-β-cash-lock-wahrscheinlichkei P [ πt 1 β π 1 = α ] = P [m βc T βg m αc = αg] [ ] β = P C T m β G C α = m α G [ ] β = P C T m β G C α = m α G [ m = P V T m β G G = m α ] m V. Die Wahrscheinlichkei einer Invesiionsquoe unerhalb von β zur Zei T beding auf die Invesiionsquoe von α zur Zei läss sich also aus der Vereilung des Cushion zur Zei T einer sons idenischen Sraegie mi anfänglichem Cushion C = α G besimmen. m α Für die langfrisige Rendie des Erwarungswer gil das folgende Korollar Korollar Für die langfrisige Rendie einer CPPI mi konsanem Floor gil: { ln E[V /V ] mµ m 1r µ > m 1 lim = r m µ < m 1r m 8 Dies ensprich dem aus der Saisik bekannen Problem, geeignee Schäzer für Exremereignisse zu finden. Vgl. Embrechs e al. 1999, Kapiel 6

82 7 Proporionale Wersicherungssraegien ohne Beschränkungen Beweis : Mi Korollar erhäl man für mµ m 1r > ln E[V ] ln E[V ] lim = lim ln ln = lim G + C e mµ m 1r + C e mµ m 1r + = mµ m 1r + lim = mµ m 1r und mµ m 1r < was zu beweisen war. ln rg mµ m 1r e mµ m 1r 1 rg mµ m 1r C + ln E[V ] ln E[V ] lim = lim ln =, G e mµ m 1r 1 rg mµ m 1r 1 e mµ m 1r rg mµ m 1r Insbesondere sind die langfrisige Rendien einer CPPI mi konsanem Floor und einer einfachen CPPI für µ > r, d.h. im Falle eines posiiven Markpreis für das Risiko der zugrunde liegenden Akie, idenisch. Obwohl die Garanie gegenüber einer einfachen CPPI mi gleichem anfänglichem Floor geringer is, erziel die CPPI mi konsanem Floor keinen Überschuss. Inuiiv erklär sich das dadurch, dass für die langfrisige Rendie bei beiden Sraegien ausschließlich die Rendie des Cushion maßgeblich is und der Cushion in beiden Fällen als Invesiion in einen Power-Konrak berache werden kann Vergleich mi einfacher CPPI Um einen sinnvollen Vergleich mi der einfachen CPPI zu gewährleisen, is es zunächs nowendig darauf hinzuweisen, dass unerschiedliche Garanieleisungen vorliegen. Aus diesem Grund erfolg der Vergleich der CPPI mi konsanem Floor jeweils zum einen mi einer einfachen CPPI, deren anfängliche Garanie den gleichen Wer wie der konsane Floor aufweis und zum anderen mi einer einfachen CPPI, deren Endgaranie den gleichen Wer aufweis. Der hier berachee Anlagehorizon beräg 5 Jahre, so dass wir, ausgehend von einem konsanen Floor von 8, Endgaranien von 8 und 8e rt = 1.27 mieinander vergleichen.

83 2.2 CPPI mi konsanem Floor 71 In der Analyse beschränken wir uns auf zwei unerschiedliche Szenarien für die Parameer der Sraegie. Zum einen berachen wir einen Muliplier von m = 3, wodurch die Bedingung zur langfrisigen Sicherung einer oberhalb der risikolosen Anlage erzielen Verzinsung, µ > r + m 2 σ2, bei Modellparameern von µ = 15%, r = 5% und σ = 2% erfüll is. Zum anderen einen Muliplier von m = 6, der diese Bedingung gerade verlez. Abbildung 2.5: Vereilung und Diche der einfachen CPPI und CPPI mi konsanem Floor m = 3 bzw. m = 6 Die Abbildung 2.5 sell die Vereilung der genannen Sraegien dar. Auffällig is, dass für einen kleinen Muliplier die CPPI mi konsanem Floor sich eher mi der einfachen CPPI mi gleicher Endgaranie vergleichen läss, wobei diese eine höhere Wahrscheinlichkei für große Endwere besiz. Für einen hohen Muliplier zeig sich anhand der Dichen, dass die Vereilungen insgesam sehr verschieden sind. Während die einfachen CPPIs sehr

84 72 Proporionale Wersicherungssraegien ohne Beschränkungen hohe Wahrscheinlichkeien für Were in der Nähe der Endgaranie besizen, is dies bei der CPPI mi konsanem Floor weniger sark ausgepräg. Dies zeig sich auch in Tabelle 2.1, wo man erkenn, dass die höheren Momene der CPPI mi konsanem Floor kleiner als die der einfachen CPPI sind. Dieser Effek läss sich als Zei-Diversifikaion der einfachen CPPI bezeichnen. Durch den sändigen Kapialzufluss aus der risikolosen Anlage erfolg eine Mielung über die Einsandspreise. Wie auch bei Asiaischen Opionen führ dies zu einer Minderung der Schwankungen. Abbildung 2.6: Cash-Lock- und relaive Verlus-Wahrscheinlichkei der einfachen CPPI und CPPI mi konsanem Floor m = 3 bzw. m = 6 Auf der anderen Seie haben diese Zuflüsse Einfluss auf die Cash-Lock- und die relaive Verluswahrscheinlichkei wie sie in Abbildung 2.6 dargesell is. Unabhängig vom Muliplier is die Verluswahrscheinlichkei der CPPI mi konsanem Floor geringer als die Verluswahrscheinlichkei der einfachen CPPI. Man beache dabei, dass die Verluswahrscheinlichkei der einfachen CPPI nach Korollar unabhängig von der Garanie is. Die hier berachee 25%-5%-Cash-Lock-Wahrscheinlichkei gib die Wahrscheinlichkei an, dass eine Sraegie deren Invesiionsquoe uner 25% gesunken is, nach Jahren eine Invesiionsquoe uner 5% besiz. Eine Sraegie, die auf den Errägen einer riskanen Anlage basier, solle auch zwischenzeiliche Verluse ausgleichen und genug Kapial bilden können, um in späeren Perioden von Errägen der Akie zu profiieren. Wie man den Abbildungen und der Tabelle ennehmen kann, is das bei der einfachen Sraegie nur beding möglich. Eine Invesiionsquoe unerhalb von 25% führ unabhängig vom Muliplier zu einer Wahrscheinlichkei von über 7%, dass die Sraegie selbs nach 15 Jahren eine Invesiionsquoe von uner 5% besiz. Fäll die Invesiionsquoe uner 1% lieg die Cash-Lock-Wahrscheinlichkei nach 4 Jahren bei ungefähr 8%. Somi gelen für die einfache CPPI die gleichen Kriikpunke,

85 2.2 CPPI mi konsanem Floor 73 wie sie auch für Sop-Loss-Sraegien gelen. Einmalige Verluse implizieren einen dauerhafen Cash-Lock. Im Gegensaz dazu, is es der CPPI mi konsanem Floor möglich durch den Kapialzufluss aus der risikolosen Anlage auch in kurzen Zeiräumen genug Kapial zu bilden und somi die Wahrscheinlichkei eines Cash-Locks deulich zu mindern. Im Beispiel ergib sich eine 25%-5%-Cash-Lock-Wahrscheinlichkei nach 2 Jahren von uner 4% und nach 4 Jahren von ungefähr 2%. Insgesam zeig sich, dass ein wesenlicher Kriikpunk an der einfachen CPPI, die Tasache, dass sie enweder sehr hohe Gewinne oder Endwere in der Nähe der Garanie besiz, bei der CPPI mi konsanem Floor eine deulich geringere Bedeuung besiz. Dies folg vor allem daraus, dass die Wahrscheinlichkei eines Cash-Locks um ein Vielfaches verringer wird und somi auch in kurzen Zeiräumen von Zuwächsen in der Akie profiier werden kann. Dies gil unabhängig von der Wahl des Mulipliers. Selbs Muliplier, die die nowendige Bedingung für eine langfrisige Werenwicklung oberhalb der risikolosen Rendie verlezen, bedeuen nich, dass sich die Werenwicklung auf die Garanie beschränk. In diesem Sinne handel es sich offensichlich um eine sinnvolle Modifikaion, sofern risikolos wachsende Garanien nich geforder sind Invesiion regelmäßiger Prämien in eine CPPI Wie erwähn wollen wir auch auf den Zusammenhang der obigen Resulae zu einer Sraegie, die regelmäßige Prämien in eine einfache CPPI invesier, eingehen. Solch ein Fall ri, z.b., bei einer Versicherung auf. Üblicherweise werden die Prämien nich einmalig zu Beginn des Verrages gezahl, sondern in regelmäßigen, z.b. monalichen oder jährlichen Absänden. Falls für diesen Verrag gil, dass bei Fälligkei eine gewisser Mindesberag garanier werden soll, biee es sich an, die Prämien in eine einfache CPPI zu invesieren. Mi jeder Prämienzahlung wächs somi zum einen der Wer des Verrages um die Prämie und zum anderen der Floor um einen prozenualen möglicherweise in Abhängigkei vom Zeipunk der Zahlung Aneil der Prämie. Beispiel: koninuierliche Prämienzahlungen Wir nehmen an, dass jährlich insgesam eine Prämie in Höhe von P in Form einer seigen Zahlung erfolg. Von dieser Prämie soll jeweils ein prozenualer Aneil γ mindesens mi dem risikolosen Zins verzins werden. Die Anlagesraegie soll auf einer einfachen CPPI basieren, d.h. der in die risikobehafee Anlage invesiere Berag is durch mc mi C = V G gegeben. Durch den Zufluss von außen is diese Sraegie nich mehr selbsfinanzierend. Falls π wie üblich die Invesiionsquoe in die

86 74 Proporionale Wersicherungssraegien ohne Beschränkungen m = 3 m = 6 µ r m 2 σ2 4% 2% CPPI GT = 8 Cons. Floor CPPI G = 8 CPPI GT = 8 Cons. Floor CPPI G = 8 E[V ] Var[V ] Skew[V ] Kur[V ] , , , Rendie y 21,77% 18,28% 15,57% 47,7% 4,25% 36,44% Volailiä σ 51,13% 44,22% 41,94% 118,68% 115,26% 116,94% Sharpe Raio 32,79% 3,4% 25,2% 35,45% 3,59% 26,89% rel. Verlus P [V Ve r ] 32,74% 31,12% 32,74% 58,85% 51,26% 58,85% P [Π+2 < 5% Π = 25%] 76,71% 36,36% 76,71% 7,35% 31,86% 7,35% P [Π+4 < 5% Π = 25%] 67,62% 14,32% 67,62% 65,81% 19,8% 65,81% P [Π+4 < 5% Π = 1%] 89,7% 2,96% 89,7% 78,81% 21,41% 78,81% Parameer: T = 5; µ = 15%; r = 5%; σ = 2%; V = 1; G = 8 Tabelle 2.1: Risikomaße unbeschränker Sraegien

87 2.2 CPPI mi konsanem Floor 75 risikobehafee Anlage bezeichne gil somi ds dv = V π + 1 π db + P d S dg = rg d + γp d Dabei gib der erse Term in der Sochasischen Differenialgleichung für den Wer die aus dem Handeln erzielen Gewinne und der zweie Term den Prämienzufluss an. Basierend auf den Überlegungen zur einfachen CPPI ergib sich für den Cushion dc = dv G ds = V π + 1 π db + P d rg d + γp d S B ds db db db = mc + V mc S }{{} + P d G + γp d B B B G +C = C m ds S = mµ r + r B m 1 db + P 1 γd B C + P 1 γ mµ r + r d + C mσdw Ausgehend von einem Anfangskapial V = und somi C = G = ergeben analoge Berachungen zur CPPI mi konsaner Garanie als Lösung der Sochasischen Differenialgleichung C = 1 γp e r e mµ r m2 σ 2 2 +mσw e rs e mµ r m2 σ 2 2 s mσw s ds Weiere Eigenschafen der Sraegie lassen sich nun analog zu den Berachungen bei konsaner Garanie herleien. Ende Beispiel: koninuierliche Prämienzahlungen Ausgehend von der Inerpreaion als Invesiion in einen Power-Konrak gib das nächse Beispiel die Dynamik bei diskreer Prämienzahlung an. Beispiel: diskree Prämienzahlungen Es bezeichne S := e r e mµ r m2 σ 2 2 +mσw m = e r S e r+ m 1 σ 2 2. S die Werenwicklung eines Derivas der zugrunde liegenden Akie, dass wir der Einfachhei halber als Power-Konrak bezüglich S bezeichnen. Im obigen Beispiel gil für den Cushion bei koninuierlichen Prämienzahlungen dann C con. = P 1 γ S S s ds.

88 76 Proporionale Wersicherungssraegien ohne Beschränkungen Die Werenwicklung des Cushions kann also inerpreier werden als regelmäßigen Zukauf von Power-Konraken in Höhe der nich garanieren Prämienaneile. Wir nehmen nun an, dass die Prämie P jährlich zu den Zeipunken 1, 2,... gezahl wird und ebenfalls der Aneil γ in die risikolose Anlage und 1 γ in den oben definieren Power-Konrak invesier wird. Dann gil für [ n, n+1, d.h. einem Zeipunk zwischen der n-en und n+1-en Prämienzahlung G disc. = γp n i=1 C disc. = 1 γp e r i n i=1 S S i und V disc. = n i=1 1 γp S + γp e S r i. Somi is dies der Wer einer einfachen i CPPI bei diskreen Prämienzahlungen, sofern von jeder Prämie der gleiche Aneil γ garanier wird. Offensichlich läss sich diese Mehode auch auf zeiabhängige Aneile verallgemeinern, so dass beispielsweise die ersen Prämien zur Absicherung einer Gesamgaranie verwende werden und späer erfolgende Prämienzahlungen zum Weraufbau in einem Fonds o.ä. genuz werden. Das Problem der Besimmung der Vereilung des Weres einer einfachen CPPI mi diskreen Prämienzahlungen beseh nun in der Besimmung des diskreen arihmeischen Miels über die Einsandspreise in die Power-Konrake bzw. der Vereilung der Summe von lognormalvereilen Zufallsvariablen. Dieses Problem is jedoch das gleiche wie bei der Besimmung des Preises einer diskreen Asiaischen Opion. Für die Besimmung der Vereilung der Summe lognormalvereiler Zufallsvariablen in Form einer Fourier-Transformaion der charakerisischen Funkion sei auf Baraka 1976 verwiesen. Häufig wird die Vereilung durch eine bekanne Vereilung approximier. Eine Übersich über Approximaionen durch eine Lognormalvereilung finde sich in Beaulieu und Xie 24, eine Approximaion über die reziproke Gammavereilung erfolg in Milevsky und Posner Für eine Übersich der verschiedener Mehoden zur Bewerung von Asiaischen Opionen verweisen wir auf Nielsen und Sandmann 23. Ende Beispiel: diskree Prämienzahlungen

89 Kapiel 3 - CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Troz der Einfachhei in der Anwendung gib es eine Vielzahl von Argumenen, die gegen eine Anwendung der CPPI-Sraegien sprechen. Zusammengefass sind dies: Nowendigkei eines poeniell unbeschränken Kapialbedarfs Nowendigkei seigen Handels Annahme eines fesen Anlagezeiraumes 1 Bei langen Laufzeien und/oder hohen Muliplikaoren wird die Wahrscheinlichkei eine geringere Rendie als die risikolose zu erhalen, sehr groß. Die Probleme, eine Rendie unerhalb der risikolosen zu erhalen und die Annahme eines fesen Anlagezeiraumes, wurden bereis im lezen Kapiel erörer, wo wir gesehen haben, dass dies durch die Einführung einer Garanie amerikanischen Typs gelös werden kann. Ziel dieses Kapiels is es, das Problem des unbeschränken Kapialbedarfs zu berachen. Zum einen berachen wir die CPPI uner der zusäzlichen Bedingung, dass maximal 1% in die risikobehafee Anlage invesier werden darf. Das Verhalen des Floors bleib dabei idenisch und somi kann der Cushion weierhin beliebig groß werden. Diese Sraegie läss sich als Zusammensezung aus einer einfachen CPPI und aus einer Buy-and-Hold-Sraegie auffassen und wird beschränke CPPI genann. Umgekehr läss sich eine maximale Invesiionsquoe auch dadurch gewährleisen, dass man die Größe des Cushion konrollier. Dies geschieh durch Anpassungen der Garanie. Indem die Garanie als feser Aneil des bisherigen Maximalweres der Sraegie gewähl wird, kann die Invesiionsquoe beschränk werden. Dies is das Konzep der CPPI mi Floor-Anpassung 2. Wir werden die jeweiligen Eigenschafen der beiden Sraegien herleien und mieinander vergleichen. Des Weieren biee insbesondere die beschränke CPPI die Möglichkei eines sinnvollen Vergleichs mi der OBPI und den Sop-Loss-Sraegien, da auch diese Kredibeschränkungen implizieren. 1 Brennan und Schwarz 1988 weisen daraufhin, dass insiuionelle Invesoren ypischerweise keinen fesgelegen Liquidaionszeipunk haben 2 Im Sinne von Esep und Krizman 1988 auch Time Invarian Porfolio Proecion TIPP genann. 77

90 78 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen 3.1 Beschränke CPPI Wie in Kapiel 2.1 erläuer wurde, beseh ein grundsäzliches Problem der CPPI in der poeniell beliebig hohen Krediaufnahme. Es is nahe liegend, dieses Problem dadurch zu lösen, indem man forder, dass die Invesiion in die risikobehafee Anlage maximal auf ein Vielfaches ω des Porfolioweres beschränk is. Formal is die Sraegie dadurch beschrieben, dass im Gegensaz zur einfachen CPPI nich der Berag mc sondern nur der Berag min {mc, ωv } in die Akie invesier wird. Dabei gib V den Werprozess der so definieren Sraegie und ω, mi ω m, den maximalen Verschuldungsgrad 3 bezogen auf den Werprozess an. Da wir die Sraegien als selbsfinanzierend annehmen, ergib sich umgekehr, dass eine maximale Krediaufnahme shor Posiion in der risikolosen Anlage in Höhe von ω 1V erfolgen darf. Für ω = 1 ergib sich zum Beispiel, dass höchsens der gesame Porfoliower in die Akie invesier wird, bzw. dass keine Krediaufnahmen erfolgen dürfen. Beispiel: beschränke CPPI Bereis in der zweien Periode würde die CPPI-Sraegie eine Krediaufnahme in Höhe von 22% des Porfolioweres erfordern vgl. Beispiel zur CPPI. Die Wahl eines maximalen Hebel von ω = 1 führ dazu, dass anselle des Berages mc = nur der gesame Porfoliower in die Akie invesier wird. Ers zum Zeipunk = 3, wo der Cushion hinreichend klein geworden is, erfolg die Anlage gemäß der ursprünglichen CPPI-Regel. Insbesondere läss sich im Vergleich zur einfachen CPPI fessellen, 3 Sreng genommen bezeichne ω 1 den Verschuldungsgrad, da mi obiger Definiion bei einem Aneil Eigenfinanzierung maximal ω 1 Aneile fremdfinanzier. Im Folgenden bleiben wir bei der obigen Bezeichnung.

91 3.1 Beschränke CPPI 79 dass die Minderung des Porfolioweres deulich geringer bei späeren Kursverlusen is. Umgekehr gil jedoch auch, dass die Parizipaion an Kursgewinnen durch den maximalen Hebel hier 1% beschränk is. Ende Beispiel: beschränke CPPI Anhand des obigen Beispiel erkenn man bereis, dass die Einführung einer maximalen Invesiionsquoe zu einer Redukion der Volailiä führ. Dieses Resula finde sich in qualiaiver Form bereis in Black und Perold 1992, Proposiion 3. Wir wollen nun diese und weiere Eigenschafen der beschränken CPPI Sraegie näher berachen. Dazu definieren wir die Sraegie wie folg Definiion Die beschränke CPPI mi Hebel m, Anfangskapial V Cap und maximaler Invesiionsquoe ω is definier durch die zu halenden Akien φ 1,Cap = min und die Bedingung der Selbsfinanzierung 4. Dabei bezeichne C Cap = V Cap risikolosen Zins wachsende Mindesgaranie. ωv Cap S, mc Cap G wie üblich den Cushion und G = G e r die mi dem Dynamik und Vereilung Zunächs einmal sei darauf hingewiesen, dass es sich bei der Sraegie um eine zusammengeseze Sraegie handel. Sofern das Kredilimi nich erreich is, handel es sich um eine einfache CPPI Sraegie. Umgekehr gil jedoch, solange das Kredilimi erreich is, wird gemäß einer Buy-and-Hold-Sraegie gehandel. Einzeln berache lassen sich für beide Sraegien die Dynamiken einfach besimmen. Solange das Kredilimi erreich is, gil insbesondere, dass der Werprozess der Sraegie beding auf den Zeipunk, zu dem das Kredilimi erreich wurde, gemäß der Dynamik der Akie einer geomerischen Brownschen Bewegung folg. Solange das Kredilimi nich erreich wird, gil jedoch mi den Ergebnissen aus Kapiel 2.1, dass der Cushion beding auf den Zeipunk, wann das Kredilimi lezmalig bindend war, einer geomerischen Brownschen Bewegung folg. Aufgrund der Definiion des Cushions gil für die Zeipunke τ, zu denen ein Wechsel zwischen den beiden Sraegien erfolg: 4 Also gerade max 1 ωv Cap φ,cap, V Cap = B mc Cap

92 8 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Lemma Es gil: ωv mc mg m ωv ωg m ωc Beweis : Folg direk aus der Definiion des Cushion. Aus Gründen der Übersichlichkei beschränken wir uns in den folgenden Überlegungen auf einen Verschuldungsgrad von ω = 1, d.h. zusäzliche Kredie sind ausgeschlossen. Es is jedoch ohne weieres möglich die Überlegungen auf den allgemeinen Fall zu überragen. Die Garanie der beschränken CPPI wächs im Gegensaz zu der Sraegie in Abschni 3.2, wo jeweils ein prozenualer Wer des maximal erreichen Weres garanier wird, deerminisisch und somi is es völlig ausreichend zu wissen, ob der Werprozess oder der Cushion eine besimme Schranke reffen. Darauf basierend läss sich die Dynamik der beschränken CPPI miels einer Brownschen Bewegung mi wechselndem Drif herleien. Je nachdem, ob die Schranke von oben oder von unen geroffen wird, änder sich der dabei der Driferm. Durch geeignee Transformaionen läss sich die Schranke mi dem Nullpunk idenifizieren. Sei dazu der Prozess X durch die sochasische Differenialgleichung mi und dem Anfangswer Θx = X = dx = ΘX d + dw { µ r σ 1 2 σ x µ r σ 1 2 mσ x < { 1 ln m 1V σ mg mc V 1 ln m 1C mσ G mc < V definier 5. Gemäß Abschni handel es sich bei dem Prozess X um eine Brownsche Bewegung mi wechselndem Drif und wir können auf die dor hergeleieen Vereilungseigenschafen zurückgreifen. Im Sinne der dor verwendeen Noaion ensprich θ := µ r 1σ σ 2 dem sandardisierem Drif der Brownschen Bewegung während der Buy-and-Hold-Sraegie und θ 1 := µ r 1 mσ dem sandardisierem Drif der Brownschen Bewegung während der σ 2 einfachen CPPI-Sraegie 6. Im Folgenden berachen wir den Zusammenhang zwischen dem Prozess X und der Dynamik der beschränken CPPI. 5 X erfüll also die folgende Inegralgleichung X = X + W + ΘX s ds 6 Somi kann θ als der Markpreis des Risiko der Akie und θ 1 > beschreib die Effekiviä der einfachen CPPI.

93 3.1 Beschränke CPPI 81 Theorem Der Wer- bzw. Cushionprozess der beschränken CPPI is durch { m m 1 V = G eσx X m 1 eσmx X < bzw. { m m 1 C = G eσx 1 X 1 m 1 emσx X < besimm Bemerkung: Inuiiv ergib sich der Werprozess aus der Tasache, dass jede Nullselle des Prozesses X einen Wechsel der Sraegie zwischen Buy-and-Hold und einer einfachen CPPI ensprich. Seien dazu τ k bzw. τ k die Zeipunke an denen lezmalig vor s ein Wechsel in die Buy-and-Hold- bzw. die einfache CPPI-Sraegie erfolg is. Bis zum nächsen Wechsel folg der Werprozess der Dynamik einer Buy-and-Hold-Sraegie bzw. der Cushion-Prozess einer einfachen CPPI-Sraegie und somi τ k+1 = inf { > s mc = V } = inf { > s mv G = V } { } = inf > s m 1V S τ k = me r τk G τk S τk Mi Lemma und der Annahme das der leze Wechsel durch m 1V τk gegeben war ergib sich { } = inf > s m 1V S τ k = e r τk m 1V τk S τk { } σ2 µ r = inf > s e 2 τ k+σw W τk = 1 { = inf > s µ r 1 } 2 σ2 τ k + σw W τk = = mg τk = inf { > s X X τk = } = inf { > s X = } Analoge Überlegungen ergeben für das Verhalen während der einfachen CPPI τ k+1 = inf { > s mc = V } = inf { > s mc = G + C } { m = inf > s m 1C τ k e r τ S k e r+ m 1 σ 2 2 τ k = e r τ k G τk} S τk { m } = inf > s e µ r m 2 σ2 τ k +σw W τk = 1 { = inf > s mµ r m } 2 σ2 τ k + m σw W τk = = inf { > s X = }

94 82 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Insgesam ensprich also jede Nullselle von X einem Wechsel der Sraegie. 7 Beweis Theorem 3.1.2: Wir berachen den Prozess ˆV := fx, G mi { m m 1 fx, g = g eσx x eσmx x < m 1 und zeigen, dass dieser die sochasische Differenialgleichung für den Werprozess der Sraegie lös. Zunächs einmal is G im Gegensaz zu X offensichlich von beschränker Variaion. Weierhin is f sowohl bezüglich g als auch x seig differenzierbar mi { { fx, g m m 1 = eσx x fx, g mσ m 1 g eσmx und = g eσx x x < x mσ m 1 m 1 eσmx x < Obwohl f nich zweimal seig differenzierbar bezüglich x is, läss sich rozdem die Iô-Formel anwende, indem 2 fx,g x 2 h mi x2 x 1 hzdz = fx, g x x=x2 im Sinne der Schwarz-Disribuionen als Funkion fx, g x und hx = g x=x1 { mσ 2 m 1 eσx x m 2 σ 2 m 1 eσmx x < für alle x 1 < x 2 aufgefass wird. Wie, zum Beispiel, Rogers und Williams 2, Lemma 45.9 zeigen, gil die Iô-Formel auch uner diesen Voraussezungen. Somi ergib sich d ˆV = = { m mσ dg m 1 eσx + G dx m 1 eσx + 1G 2 mσ2 d X m 1 eσx X mσ m 1 eσmx dg + G m 1 eσmx dx + 1G 2 m2 σ 2 m 1 eσmx d X X < { ˆV dg + σ ˆV dx σ2 ˆV d X X > ˆV dg + mσ ˆV G dx m2 σ 2 ˆV G d X X < Nach Definiion gil X genau dann, wenn ˆV m G m 1. Zusammen mi der Definiion für X und der Dynamik für die riskane bzw. risikolos Anlage ergib sich d ˆV = { ˆV S ds + db ˆV m G m 1 m ˆV G S ds + ˆV m ˆV G B db ˆV < m G m 1 Aus der Definiion von X folg zusäzlich ˆV = V. Somi lös ˆV die sochasische Differenialgleichung für den Werprozess der durch die Definiion besimmen gekappen CPPI für ω = 1. 7 Der Beweis für Theorem läss sich leider nich so indukiv führen, da die Anzahl der Nullsellen von X nich nur nich endlich, sondern zusäzlich auch überabzahlbar is. Genauer gesag bilden die Anzahl der Nullsellen von X eine opologische Canor-Menge, vgl. Iô und McKean 1965.

95 3.1 Beschränke CPPI 83 Zur Besimmung der Vereilungseigenschafen der Sraegie lassen sich nun die Ergebnisse aus Kapiel anwenden. Als ein erses Resula läss sich bereis feshalen, dass die Sraegie im Gegensaz zur einfachen CPPI nun pfadabhängig is. Dies folg aus dem pfadabhängigen Drif für den Prozess X. Eine genauere Berachung des Drifs ergib, dass dieser, solange die Sraegie einer einfachen CPPI ensprich, um den Term m 1 σ kleiner gegenüber 2 der Buy-and-Hold-Sraegie in der Akie is. Im Vergleich zur reinen Buy-and-Hold-Sraegie kann man diesen Term als Verlusrae ansehen. Der Verlus kann als Kompensaion für die Garanie berache werden und insbesondere als eine Prämie für die Garanie bezüglich einer Akieninvesiion angesehen werden. Im Gegensaz zur OBPI aus Kapiel is diese Prämie in diesem Fall jedoch nich deerminisisch sondern vom Kursverlauf abhängig. Wir werden späer auf diesen Punk zurückkommen und insbesondere die Unerschiede zur OBPI verdeulichen. Zunächs seien jedoch die Vereilungseigenschafen der beschränken CPPI dargesell. Es sei im folgenden px := P X X dx die Diche der Brownschen Bewegung mi wechselndem Drif wie sie in Kapiel besimm wird. Die dor erzielen Ergebnisse lassen es prinzipiell zu, die Vereilung als Mehrfach- Inegral darzusellen. Aus numerischer Sich ha es sich aber als zweckmäßig herausgesell, mi den Darsellungen als Laplace-Transformaion von Beneš e al. 198 zu arbeien. Diese können in analyischer Form dargesell werden und der numerische Aufwand beschränk sich auf die Inverierung der Laplace-Transformaion. Eine Übersich zu diesem Thema biee u.a. Abae und Valkó 24. Insbesondere lassen sich hierfür Sandardpakee verwenden, wie sie z.b. für Mahemaica exisieren. Lemma Die Dichefunkion des Weres der beschränken CPPI is durch 1 p ln m 1v mg dv v m G σv σ m 1 P [V dv] = 1 p ln m 1v G G σmv G dv v < m G σm m 1 gegeben. Für X gele dabei die Anfangswerbedingung Beweis : Siehe Appendix. Wird die Dichefunkion von X als Laplace-Transformaion ausgedrück, lassen sich auch die Vereilungsfunkion und die Momene in geschlossener Form als Laplace-Transformaion berechnen. Dies is das Ergebnis der nächsen beiden Korollare.

96 84 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Korollar Für mv G V is die Vereilungsfunkion durch v G T P [V T v] = L 1 λ,t besimm. Für mv G < V gil: K2λ K 1 λ m 1v GT σm K 2 λ G T K4λ K 3 λ m 1v σ K 4 λ mg T + K 5λ m 1v K 6 λ mg T 1 + K 5λ+e 2x θ 2+2λ K 3 λ m 1v λ K 6 λ mg T K6λ σ K6λ σ G T < v m G T m 1 m G T m 1 < v V e rt V e rt < v P [V T v] = L 1 λ,t v G T K 5 λ+e 2x θ 1 2+2λ K 6 λ K3 λ m 1v GT σm K 6 λ G T K 1 K 4 λ 3 λ m 1v GT σm λ K 4 λ G T K 5 λ m 1v GT K 6 λ G T K 2 λ m 1v σ mg T 1 K 1 λ λ K 2 λ K 6 λ σm G T < v V e rt V e rt < v mg T m 1 mg T m 1 < v bezeich- Die Funkionen K i λ und K i sind dabei wie in Theorem definier und L 1 λ,t ne die inverse Laplace-Transformaion bzgl. T. Beweis : Siehe Appendix. Des Weieren gil für die Momene Korollar Das n-e Momen der beschränken CPPI is für mv G V, d.h. falls mi einer Buy-and-Hold-Sraegie begonnen wird, durch die inverse Laplace-Transformaion E[VT n ] = e { rt n 1 V L n λ,t λ nµ r 1 nn 1σ2 2 n K1 λ 1 i + G n i= n i m 1 iσm + K 2 λ m m 1 n K3 λ nσ + K 4 λ + K } 5λ nσ + K 6 λ besimm. Für mv G < V, also falls anfänglich eine einfache CPPI Sraegie verfolg wird, gil: E[V n T ] = e rt n L 1 λ,t + G n n i= { n n i i= n i G n i V G i λ imµ r 1 ii 1mσ2 2 K3 λ 1 i K5 m 1 iσm K 4 λ + λ 1 i m 1 iσm K 6 λ m m 1 n K1 λ nσ K 2 }

97 3.1 Beschränke CPPI 85 m ω Erwarungwer Sandardabw. Schiefe Kurosis einfach beschränk einfach beschränk einfach beschränk einfach beschränk ,2 68,4 68,4,89,89 4,44 4, , ,16 2,5 44,82 8, , ,16 2,97 44,82 16,46 3 2, , ,16 4,16 44,82 44, , ,73 1, , , ,73 2, ,74 5 2, , ,73 2, ,97 5 4, , ,73 22, , , , , , , , , ,83 1 9, , , ,18 7, , 1 2 1,29 3, ,88 Sop-Loss 1171, ,28 4,85 Tabelle 3.1: Momene der einfachen und der beschränken CPPI für verschiedene maximale Verschuldungsgrade ω und Muliplier m Parameer: V = 1, G = 8, µ = 8, 5%, r = 5%, σ = 2%, T = 2 Beweis : Siehe Appendix. Tabelle 3.1 vergleich die Momene der beschränken mi den denen der unbeschränken CPPI. Eine solche Berachung läss Rückschlüsse darüber zu, inwiewei es sinnvoll is, bei anderen Modifikaionen, wie der CPPI mi konsanem Floor und der diskre gehandelen CPPI davon auszugehen, dass keine Beschränkungen in der Kapialaufnahme vorliegen, bzw. welchen Einfluss die Beschränkung auf deren Eigenschafen besizen wird. Zunächs einmal is zu beobachen, dass die Momene der beschränken CPPI bei niedrigen Verschuldungsgraden und hohen Mulipliern deulich niedriger sind. Für den Fall m = 3, d.h. bei einem anfänglich Sarkapial von 1. und einem Barwer der Garanie von 8 werden nur 6 in die risikobehafee Anlage invesier, is die Sandardabweichung der beschränken Sraegie ohne Verschuldung um 15% geringer als bei der einfachen CPPI. Für den Fall m = 5, falls das gesame anfängliche Kapial in die Akie invesier wird, ergib sich beim Erwarungswer eine Abweichung von 3%, wobei die Sandardabweichung weniger als die Hälfe der einfachen CPPI beräg. Werden höhere Verschuldungsgrade zugelassen minder dies den Unerschied zwar, insgesam besiz die beschränke CPPI rozdem deulich

98 86 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen kleinere höhere Momene als die einfache CPPI. Man beache dabei, dass z.b. ein Wer von ω = 9, 99 bedeue, dass Kredie bis zum 8,99-fachen des Porfolioweres aufgenommen werden können und das maximal das 9,99-fache des Porfolioweres in die Akie invesier wird. In Anberach der Tasache, dass die einfache Sraegie bei einem Muliplier von m = 1 das 1-fache des Cushion, der durch den Porfoliower begrenz is, in die Akie invesier, is es erwähnenswer, dass sich die höheren Momene rozdem deulich voneinander unerscheiden. Dies is ein weierer Beleg für die Abhängigkei der einfachen CPPI in den Risikomaßen von den Exremereignissen. Dies erklär sich, wenn man bedenk, dass die einfache CPPI als Power-Konrak inerpreier werden kann, wobei der Exponen gerade dem Muliplier ensprich. Der Erwarungswer der einfachen CPPI ensprich somi dem m-en Momen des Akienkurses! In diesem Sinne schränk dies die in den Abschnien zur einfachen CPPI 2.1, CPPI mi konsanem Floor 2.2 und der diskre-gehandelen CPPI 4.1 erzielen Ergebnisse ein, da dor jeweils von der Möglichkei unbeschränker Krediaufnahme ausgegangen wird, wovon aus prakischer Sich nich ausgegangen werden kann. Die dor erzielen Ergebnisse können aber als obere Schranken inerpreier werden, da davon auszugehen is, dass die Unerschiede zwischen einfacher und beschränker CPPI dor analog aufreen. Insgesam solle beache werden, dass das Beschränken dazu führ, dass Exremereignisse sowohl im posiiven als auch im negaiven Sinne selener aufreen. Dies bedeue, dass sowohl sehr hohe Endwere als auch Endwere in der Nähe der Garanie bei diesen Sraegien asächlich geringere Wahrscheinlichkeien besizen, als sie durch die Vereilungseigenschafen der unbeschränken Sraegien vorhergesag werden. Beispielsweise bedeue dies für die diskre-gehandele CPPI, dass die asächliche Ausfallwahrscheinlichkei geringer sein wird als die Ergebnisse in Abschni 4.1 ergeben. Eine weiergehende Diskussion erfolg in Abschni 4.3. In den Ergebnissen aus Tabelle 3.1 fäll außerdem auf, dass das Verhalen des Erwarungsweres der beschränken Sraegie bezüglich Änderungen des Verschuldungsgrads ω nich monoon is. Offensichlich gil, dass die beschränke Sraegie mi ω m gegen die einfache CPPI konvergier. Ansa dass mi höherer Verschuldung auch ein höherer erwareer Endwer erziel wird, zeigen die Daen, dass dies ers für sehr große Verschuldungsgrade gil. Ansonsen fäll der Erwarungswer im Vergleich zur beschränken CPPI ohne Möglichkei zur Krediaufnahme. Im Sinne der Maximierung des Erwarunsgweres is eine CPPI mi höherem aber begrenzen Verschuldungsgrad also nur von begrenzem Nuzen und wird aus diesem Grund nich weier berache. Als lezer Punk soll ein Vergleich zur Sop-Loss-Sraegie erfolgen. Berache man die Were der beschränken CPPI für wachsende Muliplier mi der Sop-Loss-Sraegie, welche

99 3.1 Beschränke CPPI 87 Abbildung 3.1: Vereilung und Diche des Endweres der Sop-Loss-Sraegie und der beschränken CPPI für verschiedene Muliplier, ω = 1 gemäß der Ergebnisse aus Abschni eine Schiefe von 1, 28 und eine Kurosis von 4, 85 aufweis, is offensichlich, dass sich die Were der beschränken CPPI für wachsende m diesen Weren annäher. Dies ensprich den Ergebnissen in Black und Perold 1992, nach der sich die Sop-Loss-Sraegie als Grenzwer für m der beschränken CPPI ergib. Eine inuiive Erklärung lieg darin, dass bei großem Muliplier über die gesame Laufzei haupsächlich eine Buy-and-Hold-Sraegie verfolg wird und bei einem Wechsel in die einfache CPPI der Drif θ 1 so sark negaiv is, dass der Prozess X gegen und somi C gegen konvergier. Die Konvergenz gegen die Sop-Loss-Sraegie wird durch die Vereilung und die Diche der beschränken CPPI in Abbildung 3.1 weier verdeulich. Anhand dieser erkenn man, dass bereis für einen Muliplier von m = 1 nahezu eine Übereinsimmung zwischen beiden Vereilungen vorlieg. Der hohe Muliplier bewirk, dass ers bei sehr niedrigen Weren für den Cushion und somi des Akienkurses, in die CPPI-Sraegie gewechsel wird hier: 1% des Porfolioweres. In diesem Sinne läss sich die beschränke CPPI auch als Approximaion der Sop-Loss-Sar-Gain-Sraegie berachen. Die von Carr und Jarrow 199 aus der Lokalzei der Brownschen Bewegung abgeleieen Transakionskosen der Sop-Loss-Sar-Gain-Sraegie finden sich hier in Form der implizien Prämie der einfachen CPPI wieder. Eine genauere Unersuchung der implizien Prämie erfolg im nächsen Abschni bei der Berachung der Pfadabhängigkei der beschränken CPPI. Auch für einen kleineren Muliplier wie m = 5 sind beide Sraegien für hohe Porfoliowere ähnlich. Dies ergib sich ebenfalls aus der Tasache, dass hohe Endwere einer größeneils auf Buy-and-Hold-basierenden Sraegie ensprechen. Im Gegensaz dazu is die Wahrscheinlichkei einer Auszahlung, die in der Nähe der Garanie lieg, deulich kleiner. Dies erklär

100 88 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Abbildung 3.2: Erwaree Auszahlung der beschränken CPPI in Abhängigkei vom Muliplier, σ = 25% 15%; G = 9 8 sich dadurch, dass die CPPI bei zwischenzeilichen Kursverlusen nich wie die Sop-Loss- Sraegie vollsändig ausschließlich in die risikolose Anlage invesier, sondern eine posiive Invesiionsquoe in der Akie beibehäl. Darum is der Erwarunsgwer der beschränken CPPI auch nich monoon wachsend im Muliplier. Die Differenz der Erwarungswere der beschränken und der Sop-Loss-Sraegie für eine Laufzei von 1 Jahren werden in Abbildung 3.2 deulich. Die gesrichele Linie gib dabei denjenigen Muliplier an, bei dem gerade eine anfänglich vollsändige Akieninvesiion erfolg, d.h. x = gil. Eine genauere Berachung uner welchen Bedingungen und mi welchen Wahrscheinlichkeien die beschränke CPPI ihren jeweiligen Besandeilen folg, insbesondere in Abhängigkei vom Kurs der zugrunde liegenden risikobehafeen Anlage, wird im folgenden Abschni unernommen. Bezüglich des Verhalens der Invesiionsquoe sei auf den darauf folgenden Abschni verwiesen. Insbesondere werden die folgenden Ergebnisse nich nur den hier erfolgen Vergleich mi der Sop-Loss-Sraegie zulassen, sondern auch für einen Vergleich mi der OBPI in Abschni 3.3 hilfreich sein Bedinge Vereilung Durch die Beschränkung der Zugewinne der beschränken CPPI durch die Akiengewinne, lieg es nahe, das Verhalen der Sraegie in Abhängigkei der Akienkursenwicklung zu beschreiben. Die im folgenden diskuiere Frage laue: Falls der Akienkurs zu einem besimmen Zeipunk gegeben is, welche Rückschlüsse lassen sich auf den Wer der Sraegie schließen?

101 3.1 Beschränke CPPI 89 Diese Frage is insbesondere für den Vergleich der beschränken CPPI mi einer OBPI von Ineresse, wenn es darum geh, die Auszahlungsprofile zu vergleichen. Umgekehr läss sich somi klären, wie pfadabhängig die Sraegie is. Pfadabhängige Auszahlungen lassen sich als zusäzliches Risiko inerpreieren, was durch die Vereilung nur beding wiedergegeben wird. Berache man z.b. die Sop-Loss-Sraegie, so reich bereis eine kurzfrisige Kursverlus am Akienmark, um ausschließlich die Garanie zu erhalen, unabhängig davon, ob sich die Kurse wieder erholen. Mi den Überlegungen aus Abschni läss sich der Prozess X durch X = x + θ + θ 1 θ Γ + W darsellen, wobei θ gerade den Markpreis des Risikos der Akie beschreib und Γ die Aufenhalsdauer des Prozesses X in der negaiven Halbachse beschreib. Besiz der Prozess X negaive Were, bedeue dies aber gerade, dass anselle einer Buy-and-Hold-Sraegie die CPPI-Sraegie verfolg wird. Somi kann Γ auch als die Dauer, wie lange die Sraegie einer einfachen CPPI-Sraegie folg, inerpreier werden. Mi θ 1 < θ für m > 1, ergeben sich obere und unere Grenzen für den Prozess X in Abhängigkei der Brownschen Bewegung durch Γ = bzw. Γ = und somi, da W der Schock-Term der Akie is, auch obere und unere Grenzen für den Wer der beschränken CPPI in Abhängigkei von der Akienkursenwicklung. Proposiion Die obere V U und unere V L Grenze für den Wer der beschränken CPPI-Sraegie beding auf den Schlusskurs der risikobehafeen Anlage s = S S is für mc V durch V U = V L = G 1 + m 1m 1 G 1 + m 1m 1 und für mc < V durch gegeben. V U = V L = S V S S S e r m m S S e r V G sons m m V S S e m 1 S V m 1 r+ σ m m S G e m G m 1C m m 1 G e r S G + C m 1 G V σ 2 2 m S S e sons S S S S e r m S e r sons 1 m G m 1C m S m 1 G S e m 1 e r m 1 m S G + C r+ σ S e σ 2 S S e 1 G m m 1C m 1 r+ σ 2 2 m 1 r+ σ 2 2 m G m 1 V sons 1 G m m 1C

102 9 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Beweis : vgl. Appendix Für den späer genauer beracheen Spezialfall, dass anfänglich gerade genau das gesame Kapial in die Akie invesier wird, d.h. mc = V gil, ergib sich Korollar Für mc = V sind die oberen und uneren Grenzen in Abhängigkei des Schlusskurses der Akie durch V U = e r gegeben. V L = e r V S S m S G + C S e r S S e r sons S V S e m 1 σ 2 2 S S e m 1 m S G + C r+ σ 2 2 sons S e m 1 r+ σ Beweis : Ergib sich direk aus dem Beweis zur Proposiion und der Tasache, dass x = nach Annahme. Die Darsellung in Korollar liefer nun eine genauere Inerpreaion der Sraegie. Im Prinzip läss sich die beschränke CPPI als Invesiion in die Akie auffassen, wobei für die Gewährleisung der Garanie eine sochasische Prämie zu zahlen is. Es sei daran erinner, dass sich die einfache CPPI als Invesiion in Power-Konrake idenifizieren läß, wobei der Besand an Power-Konraken über die Laufzei hinweg abnimm und somi ebenfalls eine implizie Prämie darsell. Die Höhe der Prämie der beschränken CPPI is im Gegensaz dazu nich konsan wachsend, sondern ergib sich aus dem Verlauf des Akienkurses. Zur Moivaion berachen wir jeweils die obere und unere Grenze der beschränken CPPI, sofern der Akienkurs jeweils oberhalb der in geforderen Bedingung is, d.h. S m 1 r+ σ S e 2 2. Man sieh, dass sich die beiden Terme um den Fakor e m 1 σ 2 2 unerscheiden. Dieser Fakor läss sich als die maximale Prämie, die zur Absicherung gezahl werden muss, auffassen. Sofern der Kursverlauf günsig is, in dem Sinne, dass nie nach den Regeln der einfachen CPPI gehandel werden musse, ergib sich eine 1%-ige Parizipaion an den Kursgewinnen der Akie. Dies seh im Gegensaz zur einfachen OBPI, wo eine fese Prämie zu zahlen is und somi keine 1%-ige Parizipaion ohne die Möglichkei der Verschuldung möglich is. Umgekehr gil jedoch im Gegensaz zur Sop-Loss-Sraegie, dass ungünsige Kursverläufe nich auomaisch jeden Überschuss unmöglich machen. In diesem Sinne kann die beschränke CPPI als Kreuzung zwischen den opionsbasierenden und den Sop-Loss- Sraegien inerpreier werden. Die maximal zu zahlenden Prämie zur Absicherung, die bei schlechen Kursverläufen anfäll, is exponeniell proporional zur Laufzei, zum Muliplier und zur Volailiä der Akie. Ebenso wie bei den opionsbasierenden Sraegien is sie,

103 3.1 Beschränke CPPI 91 beding auf den Schlusskurs der Akie, unabhängig von der Akienrendie. Als lezer Punk sei darauf hingewiesen, dass die Beschränkhei der Prämie auch den Unerschied zur Sop- Loss-Sar-Gain-Sraegie beschreib. Abbildung 3.3: Grenzen der Auszahlung der beschränken CPPI, einfachen CPPI und OBPI für verschiedene Laufzeien Ein erser Vergleich mi der OBPI läss erkennen, dass im Falle fallender Akienkurse die beschränke CPPI im Gegensaz zur OBPI eine Auszahlung liefer, die srik oberhalb der Garanie lieg. Die Abbildungen 3.4 und 3.3 zeigen, dass die Auszahlung der OBPI bei vollsändiger anfänglicher Akieninvesiion der CPPI die Auszahlung der CPPI nie dominier. Die orange Fläche gib dabei die aus den Grenzen abgeleieen möglichen Auszahlungen der beschränken CPPI an. Das Auszahlungsprofil der einfachen OBPI is durch den roen Graph gekennzeichne. Die schwarze Linie gib die Auszahlung der reinen Akieninvesiion an. Zusäzlich is das Auszahlungsprofil der einfachen CPPI durch einen grünen Graph dargesell, um zu verdeulichen, dass die Auszahlung der einfachen CPPI für niedrige Akienkurse die unere Grenze der beschränken CPPI bilde. In Abbildung 3.4 erkenn man, dass, falls der Muliplier zu klein gewähl wird, die OBPI die einfache CPPI bei hohen Akienkursen dominier. Wird der Muliplier umgekehr zu groß gewähl, wird die Schwankungsbreie für den Endwer der beschränken CPPI zu groß. Ein Muliplier, der dafür sorg, dass anfänglich gerade das gesame Kapial in die Akie invesier wird, schein somi aus diesen Überlegungen sinnvoll. Aus diesem Grund werden wir uns im Abschni 3.3, wo es um einen genaueren Vergleich zwischen OBPI, beschränker CPPI und CPPI mi Floor-Anpassung geh, auf Kombinaionen von Muliplier und anfänglicher Garanie beschränken, die gerade einer anfänglichen Akieninvesiion ensprechen.

104 92 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Abbildung 3.4: Grenzen der Auszahlung der beschränken CPPI, einfachen CPPI und OBPI für verschiedene Muliplier Bleib man bei der Inerpreaion, dass Abweichungen von der oberen Schranke als Prämie aufgefass werden können, sell sich die Frage nach der asächlichen Höhe bzw. der Vereilung dieser Prämie. Es is nich zu erwaren, dass bei Kurszuwächsen die maximale Prämie zu zahlen is, da die Wahrscheinlichkei, dass die gesame Laufzei über gemäß einer einfachen CPPI gehandel wird, gering is. Dies führ uns zu der Überlegung, welche Vereilung der Endwer der beschränken CPPI in Abhängigkei von der Enwicklung des Akienkurses besiz. Mahemaisch ensprich dies der auf den Endwer der Brownschen Bewegung bedingen Vereilung der Aufenhalsdauer Γ und is in Abschni diskuier worden. Während es für die unbedingen Vereilungseigenschafen aus numerischer Sich sinnvoller war, mi den ensprechenden Laplace-Transformaionen zu arbeien, werden wir für die bedingen Eigenschafen auf die Inegraldarsellungen zurückgreifen. Die resulierende bedinge Diche is mi den in Anhang A.1 vorgesellen Inegralformeln explizi lösbar. Wir beginnen mi einem Lemma, welches die bedinge Wahrscheinlichkei angib, dass eine beschränke CPPI, die als einfache CPPI sare, über gesame Laufzei eine einfache CPPI bleib und dass eine beschränke CPPI, die als Buy-and-Hold-Sraegie sare, bis zum Ende eine Buy-and-Hold-Sraegie bleib. Lemma Für s S e r P [ V = V U m G m 1 V gil: S = s ] = 1 m 1V mg 2 m 1V s σ 2 ln r mg S

105 3.1 Beschränke CPPI 93 m 1 r+ σ Für s S e G m m 1C gil: P [ V = V L S = s ] m 1C = 1 Beweis : vgl. Appendix G 2 σ 2 m 2 ln m 1C s m G S m mr Aus den gleichen Argumenen läss sich nun die bedinge Diche der beschränken CPPI besimmen. In der folgenden Proposiion geben wir eine analyische Darsellung, die wiederum auf den Ergebnissen zur Brownschen Bewegung mi wechselndem Drif beruh, an. Proposiion Für die Diche des auf den Schlusskurs der Akie bedingen Endweres der beschränken CPPI gil: P [V dv S = s] = 2 θ 2π e 1 m 1σ 3 2 s2 m 1v σ v mg e r e X ΘX 1 2 θ2 1 ˆτv 1 2 θ2 ˆτv F X,, m 1 σ m 1v ln σ mg, ˆτv e r 2 2π e 1 mm 1σ 3 v G e r 2 s2 m 1v G e r G e r e X ΘX 1 2 θ2 1 ˆτv 1 2 θ2 ˆτv F X,, m 1 2 σ 2 1 ln m 1v G e r σm G e r θ1 σm mi X wie in Gleichung 3.1.3, Θx wie in Gleichung 3.1.2, s = 1 σ und F x,, m 1 2 σ 2 x, τ = ˆτv = 2 s+x 1 m 1v ln σ mg e r θ 1 m 1σ 2 2 s+x 1 σm ln m 1v G er G e r m 1σ 2 b x x b + x + + x + π τ 3 τ 3 θ 1 dv, ˆτv dv v mg e r m 1 v < mg e r m 1 für für v mg e r m 1 v < mg e r m 1 ln s S µ 1 2 σ2, e b m 1 σ 2 2 b+x+ +x+ 2 b x x 2 2τ 2 τ db. Es sei auch an dieser Selle darauf hingewiesen, dass für die Funkion F x,, m 1 2 σ 2 x, ˆτ mi der Inegralformel in Lemma A.1.4 eine explizie Lösung gegeben is. Beweis : Es is allgemein bekann: Falls fy die Dichefunkion einer Zufallsvariable Y, d.h. P [Y dy] = fydy, is und gy eine mononon wachsende Funkion is, so is g 1 yfg 1 y die Dichefunkion von gy. Mi V = gx gemäß Theorem folg g 1 x = { 1 m 1x ln σ mg e r 1 ln m 1x G e r σm G e r x mg e r m 1 x < mg e r m 1

106 94 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen und g 1 x = { 1 σx 1 σmx G e r Der Res folg durch Einsezen aus Theorem x mg e r m 1 x < mg e r m 1 Mi der obigen Proposiion und Lemma is es nun möglich, das Auszahlungsprofil nich nur über die obere und unere Grenze zu spezifizieren, sondern konkree Konfidenzinervalle in Abhängigkei des Akienkurses anzugeben. Obwohl wir auf einen konkreen Beweis verzichen, sei angemerk, dass die auf den Schlusskurs bedinge Vereilung ebenso wie die uneren und oberen Grenzen unabhängig von der Akienkursrendie µ is Langfrisiges und Cash-Lock-Verhalen Analog zu den Berachungen bei der einfachen CPPI läss sich die Cash-Lock-Wahrscheinlichkei direk aus der Vereilung des Weres der beschränken CPPI besimmen. Sie ergib sich aus den folgenden Überlegungen. Wie üblich bezeichne Π die Invesiionsquoe in die risikobehafee Anlage der Sraegie zum Zeipunk. P [Π T β Π = α] = P [ mc T V T β mc V = α] = P [V T m m β G T G = m α m V ] = P [V T m m β G e rt G = m α m V ] Dabei haben wir insbesondere das deerminisische Verhalen der Garanie ausgenuz. In Verbindung mi der Darsellung für die Dynamik des Werprozesses der beschränken CPPI in Theorem erkenn man, dass diese Wahrscheinlichkei außerdem auch unabhängig von der Wahl von V is. Für die weieren Überlegungen beschränken wir uns auf den oben genannen Spezialfall, dass m und G so gewähl werden, dass der Invesor zu Beginn gerade sein gesames Kapial in die Akie invesier. Zwischen der anfänglichen Garanie und dem Muliplier beseh somi der Zusammenhang: G = m 1V m. Daraus folg insbesondere für den Sarwer der unseren Berachungen zugrunde liegenden Brownsche Bewegung X =. Eine erse Überlegung widme sich dem Vergleich verschiedener Laufzeien. Dazu berachen wir hier nich wie üblich die Rendie des Erwarunsgwer, sondern zusäzlich die Vereilung 8 Ein Hinweis darauf liefer bereis Lemma 3.1.7, wo die Unabhängigkei von µ offensichlich is.

107 3.1 Beschränke CPPI 95 des diskonieren Endweres. Aus der Vereilung in Korollar folg v < G K2λ P [e rt V T v] = L 1 K 1 λ λ,t K m v V σm λ V G v V σ V < v 1 + K 5λ+K 3 λ λ K 6 λ K6λ v V. Man beache, dass der milere Fall nun nich mehr aufri. Einsezen und weiere Umformungen ergeben die Laplace-Transformiere für G v V = m v V V K2λ σm θ 1 + θ λθ θ 1 + θ 2 + 2λ + θ 2 + 2λ θ m v V V θ λ σm 2λ + θ + θ 2 + 2λθ 1 + θ λ Analog ergib sich für den Fall v > V 1 λ + θ 1 θ + θ 2+2λ θ1 2+2λ θ 2+2λθ θ 1 + θ θ λ λ θ 2+2λ θ θ 2 + 2λ θ 2 +2λ θ = 1 v σ 2 λ V 2λ + θ θ 2 + 2λθ 1 θ λ v V K 6 λ σ Wir wollen nun das langfrisige Verhalen dieser Sraegie berachen. Allgemein gil für Laplace-Transformaionen der folgende Grenzwersaz: lim ft = lim λ L λ,t {ft } T λ + Für das langfrisige Verhalen der Vereilungsfunkion muss somi nur die Laplace-Transformaion an der Selle berache werden. In Abhängigkei von θ i, i {, 1}, ergeben sich 3 Fälle 9 : θ > θ 1 A; θ 1 <, θ > B und θ 1 < θ C. Die Grenzwere für λ der Gleichungen und berechnen sich für die Fälle A bzw. C leich zu für jedes v > G bzw. 1 für jedes v <. Für den Fall B ergib eine Anwendung der Regel von L Hôspial in Gleichung lim λ θ m v V V 2 + θ + θ λ 1 + λ ln σm 1+m v V V θ1 2+2λ = θ 2+2λ θ 2+2λ+θ 1+ θ1 2+2λ θ1 2 θ +2λ 2+2λ θ1 2+2λ θ θ 1 = θ 1 θ 1 θ. 9 Man beache, dass für m 1 gil: θ θ 1

108 96 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen In Gleichung ergib sich analog 1 lim 2 θ λ 2 θ v σ V θ 2+2λ θ 2 +2λ 1 λ ln v V θ 2+2λ θ 2+2λ+θ 1 θ1 2+2λ θ1 2 θ +2λ 2+2λ θ1 2+2λ 2 = 1 = θ θ 1 θ 1 θ θ Die resulierenden Wahrscheinlichkeien sind unabhängig von v, so dass insgesam gil, dass enweder nur die Garanie erhalen oder jeder beliebige Wer, insbesondere V, überschrien wird 1. und lim P T [e rt V T = G ] = lim P T [e rt V T = ] = µ > r mσ2 2r µ+mσ 2 m 1σ 2 r σ2 < µ r mσ2 1 r σ2 µ 1 µ > r mσ2 2µ r σ 2 m 1σ 2 r σ2 < µ r mσ2 r σ2 µ Abbildung 3.5: Vereilung des diskonieren Endweres der CPPI bei anfänglicher Akieninvesiion für verschiedene Laufzeien θ 1 =,3 bzw. θ 1 =,3 Wie schon bei der einfachen CPPI und insbesondere aus dieser folgend ergib sich als nowendige Bedingung für die langfrisige Effekiviä der beschränken CPPI θ 1 > 1 Mahemaisch läss sich diese Formel so inerpreieren, dass eine Brownsche Bewegung, die einen negaiven Drif besiz, falls ihr Wer negaiv is und umgekehr, mi Sicherhei gegen bzw. + konvergier. Die jeweiligen Wahrscheinlichkeien ergeben sich aus der Formel.

109 3.1 Beschränke CPPI 97 µ > r + m 2 σ2. Die Effekiviä is dabei durch die Möglichkei von Zuwächsen der Akie zu profiieren beschrieben. Berachen wir nun noch einmal den Zusammenhang zur Sop-Loss-Sraegie. Wird die nowendige Bedingung eingehalen, so erziel die beschränke CPPI im Gegensaz zur Sop-Loss mi Sicherhei langfrisig eine über der risikolosen Verzinsung liegende Rendie. Die Sop- 2 µ r G Loss-Sraegie besiz dagegen nur eine Wahrscheinlichkei von 1 σ 2 1 V auf langfrisig oberhalb der Garanie liegende Erräge vgl. Abschni Die relaive Gewinnwahrscheinlichkei is also größer. Für die anfängliche Akieninvesiion einer beschränken CPPI, d.h. für die Wahl des Mulipliers durch m = V V G, is die Gewinnwahrscheinlichkei selbs dann größer, wenn die Bedingung verlez is. Aufbauend auf den Ergebnissen 11 zur Sop-Loss-Sraegie folg dazu für r σ2 µ r + m 2 σ2 durch eine Anwendung der Bernoulli-Ungleichung 12 für µ > r σ2 SL2 lim P [VT = G T ] = T = = m m r µ+σ 2 σ 2 2r µ+σ 2 σ 2 m 1 2r µ + σ2 m 1σ 2 2r µ + mσ2 m 1σ 2 lim P [V T = G T ] T Das Risiko der beschränken CPPI, nur die eingebaue Garanie zu erhalen, is also unabhängig von den Parameern geringer als bei der Sop-Loss-Sraegie. 11 Der pahologische Fall µ < r σ2, wo beide nur die Garanie erzielen wird nich berache, da in diesem Fall die Rendie der Akie selbs langfrisig mi Sicherhei unerhalb der risikolosen lieg. 12 Die verallgemeinere Bernoulli-Ungleichung besag: Es gil 1 + x s 1 + sx für x > 1 und s oder s 1

110 98 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen 3.2 CPPI mi Floor-Anpassung Die Moivaion für die nun vorgesellen Sraegien, bei der die Garanie nich nur mi dem risikolosen Zins angepass wird, sondern zusäzlich in Abhängigkei von der bisherigen Werenwicklung, ergib sich aus zwei unerschiedlichen Berachungsweisen. Im Speziellen, is es somi möglich, die Sraegie so zu konsruieren, dass die maximale Invesiionsquoe 1% beräg. Bei Erreichen dieser, wird die Garanie heraufgesez, wodurch der Cushion und dami auch die Invesiionsquoe verringer wird. Dieses außerordenliche Wachsum der Garanie ha aber einen zweien Effek. Dem Invesor wird somi zugesicher, dass zu jedem Zeipunk ein besimmer Aneil des maximalen Porfolio-Weres garanier wird. Ein Werverlus auf einen prozenualen Aneil des bislang maximal erreichen Vermögens wird in der Lieraur als Drawdown bezeichne. In diesem Sinne läss sich die folgende Sraegie als Sraegie mi einer Drawdown-Beschränkung inerpreieren. Um den Vergleich zwischen CPPI und OBPI vorwegzunehmen, sei erwähn, dass sich auch bei der OBPI eine Drawdown- Beschränkung implemenieren läss, indem anselle der einfachen europäischen Call- oder Pu-Opionen so genanne Look-Back-Opionen gekauf werden. Durch den höheren Preis einer solchen Opion folg, dass das Parizipaionslevel größer bzw. die Parizipaionsrae kleiner wird. Durch die endenziell höhere Garanie werden somi auch die Chancen auf höhere Gewinne geminder. Diesen Effek werden wir auch im Folgenden beobachen und unen im Vergleich zur beschränken CPPI genauer beschreiben. Unersuchungen bezüglich Sraegien mi Drawdown-Beschränkungen finden sich bei Grossman und Zhou 1993 und Cvianić und Karazas Die dor erfolgen Berachungen beziehen sich auf die Maximierung eines erwareen Nuzens und es wird die Opimaliä der CPPI-Srukur bezogen auf CRRA-Nuzenfunkionen uner der Drawdown-Beschränkung gezeig. Zur Verdeulichung berachen wir zunächs wiederum ein Beispiel in diskreer Zei.

111 3.2 CPPI mi Floor-Anpassung 99 Beispiel: CPPI mi Floor-Anpassung Nachdem in der ersen Periode der Kurs des zugrunde liegenden Werpapier um 2% gesiegen is, wird die Garanie nich wie üblich um den risikolosen Zins erhöh, sondern beräg in diesem Fall 75% des Porfolioweres. Weiere Kurszuwächse lassen die Garanie sogar auf 944 in der zweien Periode seigen. In beiden Perioden wird das gesame Kapial in das Underlying invesier. Nach dem Kurseinbruch in der drien Periode is nun jedoch nich mehr genügend Kapial vorhanden, um weier nennenswer in der risikobehafeen Anlage invesier zu bleiben. Ende Beispiel: CPPI mi Floor-Anpassung Dynamik und Vereilung Neben dem Muliplikaor wird die CPPI mi Floor-Anpassung im allgemeinen Fall durch 3 Parameer beschrieben: Die anfängliche Invesiionsquoe ω, die maximale Invesiionsquoe ω und die Zielinvesiionsquoe ω 1. Dies bedeue, dass eine Anpassung jeweils dann erfolg, wenn die Invesiionsquoe gerade ω beräg. In diesem Fall, wird der Floor so angepass, dass die Invesiionsquoe den Wer ω 1 annimm. Im Sinne der beschränken CPPI sind die Anpassungszeipunke mi den Ergebnissen aus Abschni 3.1 durch eine Folge von Soppzeien τ k k N mi τ = und τ k+1 := min > τ k mc = ωv { = min > τ k C = ωg } m ω { = min > τ k V = mg } m ω

112 1 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen gegeben. Nach Anpassung soll die Invesiionsquoe gerade ω 1 beragen, also ω 1 = π 1 τ k + = mv τ k G τk + V τk Dies ensprich einer Anpassung der Garanie durch G τk + = m ω 1 m V τ k = m ω 1 m m m ω G τ k = m ω 1 m ω G τ k 1 e rτ k τ k k m ω1 =... = G e rτ k m ω Zwischen den Soppzeien wächs die Garanie um die risikolose Zinsrae, so dass sich für τ k, τ k+1 ] ergib. Mi k m ω1 G = G e r m ω C τk + = V τk G τk + = ω 1 m V τ k = ω 1 ω C τ k und der Tasache, dass sich der Cushion-Prozess zwischen den Soppzeien wie der einer einfachen CPPI-Sraegie verhäl, folg nach Abschni 2.1 Für τ k, τ k+1 ] gil also: C τk + = ω 1 ω C τ k 1 +e τ k τ k 1 r ω1 k C =... = C e r ω e µ r m 2 σ2 τ k τ k 1 +σw τk W τk 1 e µ r m 2 σ2 +σw m = C ω1 ω m k m e r S e r+ m 1 σ S Zur Besimmung der Vereilung des Weres der Sraegie zur Zei reich es also aus, die gemeinsame Vereilung der Anzahl der Anpassungen und des Akienkurses bzw. der Brownschen Bewegung zur Zei zu kennen. Im Folgenden berachen wir nun genauer, wann eine Anpassung erfolg. Dabei lassen sich die Argumenaionen aus Abschni 3.1 analog umsezen. Eine ersmalige Anpassung der Garanie erfolg, falls wobei ωg τ1 = m ωc τ1 ωg e rτ 1 = m ω ω G m ω e rτ 1 Wτ θ 1 = 1 ln m ω σm m ω ω ω e µ r m2 σ2 τ 1 +σw τ1 m θ := µ r m 2 σ σ den Drif der Brownschen Bewegung bezeichne. Für späere Anpassungspunke gil aufgrund der Unabhängigkei der Zuwächse Wτ θ k = 1 m σm ln ω m ω ω ω + k 1 m σm ln ω1 m ω ω ω 1

113 3.2 CPPI mi Floor-Anpassung 11 An dieser Selle wollen wir, ohne Beschränkung der Allgemeinhei, eine erse Vereinfachung vornehmen, nämlich, dass die anfängliche Invesiionsquoe mi der Zielinvesiionsquoe ω = ω 1 übereinsimm. Wir können nun die Anzahl der Anpassungen mi dem Maximum einer Brownschen Bewegung mi Drif θ idenifizieren: k m ω1 G = 1I { k m ω σm ln m ω1 m ω und = k= m ω1 m ω σmm θ ln m ω 1 m ω ω ω 1 ω1 σmm θ ln m ω 1 m ω ω ω 1 ω M ω θ 1 < k+1 σm ln m ω1 m ω } ω G e r ω 1 G e r C = C e r e σmw θ ω Ausgehend von der Tasache, dass generell eine möglichs hohe Invesiionsquoe erreich werden soll, is es nun nahe liegend zu unersuchen, welches Verhalen sich für ω 1 ω ergib. Die Garanie wird dami so angepass, dass Werzuwächse eine gleichbleibende Invesiionsquoe implizieren, sofern die maximale Invesiionsquoe erreich wurde. Dies ensprich dann der Dynamik für den Werprozess von Grossman und Zhou 1993, Proposiion 2.2, ergib sich jedoch hier als Grenzwerberachung. Die Wohldefinierhei dieses Grenzweres läss sich somi rückwirkend aus den gleichen Ergebnissen schließen und wird deswegen hier nich explizi berache. Abbildung 3.6 verdeulich den Unerschied zwischen der Zielinvesiionsquoe in Höhe der maximalen Invesiionsquoe rechs und einer Zielinvesiionsquoe von 5% und zeig die insgesam geringere Invesiionsquoe im Falle der geringen Zielquoe. Proposiion Die Dynamik des Werprozesses für ω = ω 1 = ω is durch V = e r+σωm ω θ G + G m ω emσw θ M θ gegeben Beweis : Wir berachen zunächs die Gleichung für die Garanie. Diese läss sich wie folg darsellen e ln m ω 1 m ω σmm θ ln m ω 1 m ω ωm ω 1 ω 1 ω e σmm θ lim ω 1 ω ln m ω 1 m ω ωm ω 1 ln m ω 1 m ω Berachen wir nun den Grenzwer im Exponenen ergib eine einfache Anwendung der Regel von L Hôspial lim ω 1 ω ln ln m ω 1 m ω m ω 1 m ω = lim ω m ω 1 ω ω1 1 m ω 1 1 m ω ω 1 = ω m

114 12 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Abbildung 3.6: Akienkursenwicklung, Werenwicklung und Invesiionsquoe einer CPPI mi Floor-Anpassung. Zielinvesiionsquoe 5% bzw. 1%. und somi G = G e r+σωm θ Analog gil für den relevanen Ausdruck in der Gleichung und somi Wegen C = G lim ω 1 ω ω m ω ln ln ω 1 ω m ω 1 m ω = lim ω m ω 1 ω ω1 1 ω 1 1 ω 1 m 1 ω 1 = m ω m C = C e r m ωσm θ +mσw θ folg die Behaupung. Wie auch schon die CPPI mi konsanem Floor läss sich das Anlageverhalen der CPPI mi Floor-Anpassung als Invesiion in Opionen bezüglich einer synheischen Anlage inerpreieren. Wir berachen dazu die synheische Anlage S m 1 S = r+ σ 2 2, welche sich als diskoniere Akienanlage auffassen läss. Die Dynamik der synheischen Anlage is aufgrund der Dynamik der Akie durch S = e σw θ besimm. Für ω = 1 läss sich die Dynamik aus Proposiion somi wie folg darsellen V = e r e σm G θ + C e mσw θ M θ = e max r Sm S s G + C s max s Sm s = G e r max S s + C e r S m s max s S s m 1 S e

115 3.2 CPPI mi Floor-Anpassung 13 Auch wenn die aufreenden Opionen in der Praxis eher selen sind, lassen sie sich in die übliche Charakerisierung, wie sie z.b. in Haug 27 beschrieben wird, einordnen. Die anfängliche Garanie wird somi in einen aufgezinsen Lookback-Call mi Srike bezüglich der synheischen Anlage invesier, der anfängliche Cushion in eine aufgezinse Quoienen- Opion bzw. eine relaive Ouperformance-Opion bezüglich eines Power-Konrakes der synheischen Anlage und eines zweien Power-Konrakes bezüglich des Maximums. In diesem Sinne läss sich also auch die CPPI mi Floor-Anpassung als OBPI auffassen, wobei die Garanie hier nich risikolos angeleg wird, sondern in eine Lookback-Opion invesier wird, die mindesens die risikolose Verzinsung erziel. Wie erwähn, ensprich die synheische Anlage dem diskonieren Akienkurs. Dieser Diskon läss sich in Analogie zur beschränken CPPI als implizie, vom Kurs abhängige Prämie für die aufreenden Opionen auffassen. Basierend auf Proposiion und den Überlegungen in Abschni is es nun möglich die konkreen Vereilungseigenschafen der CPPI mi Floor-Anpassung zu beschreiben. Zunächs ergib sich Proposiion Die Vereilung 13 der CPPI mi Floor-Anpassung mi maximaler Invesiionsquoe ω = ω 1 = ω laue [ P [V v] = P G m ω ] m v + v m ω m v G e r σωx 2 2θ x ωσ φlv, x θn Lv, x dx G e r mi θ = µ r m 2 σ2 σ und Lv, x = m+ω ln G e r x +ω ln v xm ω ωg e r σmω θσmω. Die Vereilung der Garanie wird in Lemma angegeben. Beweis Prop : Einsezen der Dynamik und Anwendung der Ergebnisse aus Ab- 13 Für ω < ω müsse zusäzlich die Falung mi der ersen Treffzei der maximalen Invesiionsquoe berache werden. Dies ließe sich zurückführen auf die Treffzei einer Brownschen Bewegung und würde somi ein weieres Inegral bzgl. der Diche der Treffzei der Brownschen Bewegung bedingen.

116 14 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen schni begründen nachsehende Umformungen P [V v] = P [e r+σωm θ = = = x G + V G e mσw θ M θ v] 1I {e r+σωx G +V G e σmy x v} P [W θ dy, M θ dx] 1 ωσ ln v G e r x 1 ωσ ln v G e r 1I{y x+ 1 mσ ln ve r+ωσx G }P [W θ dy, M θ dx] V G } {{ } :=Uv,x 1I {Uv,x }P [M θ dx] + x+ Uv,x σm 1I {Uv,x<} P [W θ dy, M θ dx] = P [ M θ 1 ωσ ln v ] V e r + 1 ωσ ln v G e r + 1 ωσ ln v V e r x+ Uv,x σm P [W θ dy, M θ dx] Dabei ergib sich die leze Gleichung durch Ausnüzen von Uv, x > x < 1 ln φ z 2x θ v ωσ V. Mi P [W θ e r z, M θ dx] = 2e 2θx θn und Subsiuion von 1 ωσ ln v G e r man, dass nach Voraussezung G = m ω m z 2x θ ergib sich die Behaupung. Für den ersen Summanden beache V gil. Anschaulich läss sich die Formel so inerpreieren, dass zum einen jene Fälle berache werden, bei denen die Garanie zu niedrig is, dami der Endwer oberhalb v liegen kann und zum anderen die Fälle in denen der Wer des Cushion begrenz werden muss. Wir werden darauf späer zurückkommen, wenn es das Ziel is, das langfrisige Verhalen und geeignee Approximaionen zu unersuchen. Zunächs sei jedoch durch Differenzieren die Diche des Endweres besimm. Korollar Die Diche der Floor-angepassen CPPI mi maximaler Invesiionsquoe ω = ω 1 = ω laue P [V dv] = v m ω m v G e r σ 2 mωv xx 2 Beweis : siehe Appendix 2θ x ωσ Lv, x + θ φlv, xdxdv G e r Im Gegensaz zur Diche und Vereilung lassen sich die Momene in analyischer Form darsellen.

117 3.2 CPPI mi Floor-Anpassung 15 Proposiion Das n-e Momen der Floor-angepassen CPPI mi maximaler Invesiionsquoe ω = ω 1 = ω is durch n m E[V T n ] =2 m ω G e r+θσω+ 1 2 nσω2 N θ + nσω n n θ + n iσm + 2 i nσω + n iσm + 2θ gegeben. i= mσ n iσmθ+ e Beweis : siehe Appendix 2 n i N θ + n iσm e G e r n i n m ω ω θ+ nσω 2 nσω N θ + nσω Berachen wir nun die Dynamik des Endweres in Proposiion genauer, wird deulich, dass sich rech rivial eine obere und unere Grenze für den Endwer in Abhängigkei der Garanie ergeben. Der Cushion kann nich uner den Wer Null fallen und somi is die augenblickliche Garanie eine unere Grenze V G. Umgekehr kann der Cushion nach ω Konsrukion höchsens den Wer G m ω besizen, ohne dass die Garanie angepass wird, also V m G m ω. Im Vergleich zu den obigen Formeln sind die Vereilungseigenschafen von G verhälnismäßig einfach besimm, da sie nur vom Maximum abhängig sind. Des Weieren lassen sich auf diesem Wege auch die Grenzwereigenschafen für besimmen. Es is bekann, dass die Brownsche Bewegung mi Drif auf lange Sich enweder unbeschränk is und somi sändig neue Maxima annimm, falls der Drif posiiv is, oder ein absolues Maximum besiz, wenn der Drif negaiv is. Insbesondere konvergier der Werprozess enweder gegen die obere oder unere Grenze. Zunächs sei die Vereilung der Garanie durch folgendes Lemma charakerisier. Lemma Für die Floor-angepasse CPPI mi maximaler Invesiionsquoe ω = ω 1 = ω gil: mi P [G m ω m v] P [V v] P [G v] ln g G P [G g] = N θσω e r σω für g G e r und P [G g] = für g < G e r 2θ g σω ln G e r g N G e r θσω σω Beweis : Aus G V m G m ω folg insbesondere { m G m ω v } {V v} {G v} und somi der erse Teil. Die Darsellung der Garanie in und die Vereilung des Maximums einer Brownschen Bewegung mi Drif s. Abschni 1.3.1, Gleichung ergeben die zweie Aussage.

118 16 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Abbildung 3.7: Vereilung der Floor-angepassen CPPI mi θ =.3 bzw. θ =.3 Abbildung 3.7 verdeulich die Unerschiede zwischen der asächlichen Vereilung des Endweres und den Ober- und Unergrenzen. Man beache, dass für negaive θ die obere Grenze schon für kürzere Laufzeien hier: 1 Jahre eine gue Approximaion darsell und umgekehr für einen posiiven Drif der Brownschen Bewegung die asächliche Vereilung eher in der Nähe der uneren Grenze lieg. Es sei daran erinner, dass die Posiiviä von θ der bekannen nowendigen Bedingung an die Effekiviä der einfachen CPPI µ > r + m 2 σ2 ensprich. Wiederum lassen sich auch die Momene besimmen. Da sich die späer folgenden Grenzwerresulae leicher besimmen lassen, wenn man den Erwarungswer der Garanie berache, werden wir diesen im nächsen Lemma angeben. Lemma Für die Garanie einer Floor-angepassen CPPI mi maximaler Invesiionsquoe ω = ω 1 = ω gil: E[G n ] = G e r n 2nσω + 2θ nσω + 2θ e nσω 2 nσω+2θ N θ + nσω 2θ + nσω + 2θ N θ Beweis : siehe Appendix Bedinge Vereilung Um die Pfadabhängigkei der Sraegie zu unersuchen, lieg es wiederum nahe, die auf den Endwer des Underlyings bedinge Vereilung zu unersuchen. Da der Wer der Sraegie, wie die vorhergehenden Unersuchungen gezeig haben, primär von Maximum des zugrunde liegenden Prozess abhäng, is es nich möglich eine obere Grenze für den Wer der Sraegie in Abhängigkei vom Akienkurs zu besimmen. Umgekehr ergib sich jedoch aus der rivialen Eigenschaf, dass das Maximum größer als der Endwer sein muss, eine unere Grenze. Dies is das Resula des folgenden Lemma.

119 3.2 CPPI mi Floor-Anpassung 17 Lemma Beding auf den Endwer der Akie S S = s gil m 1 m ω 1r+ ωσ 2 2 s > e V G m ω sω e G e r 1 + ω m ω sm e m 1 mr+ σ 2 2 m 1 r+ σ 2 2 m 1 r+ σ s e 2 2 Beweis : Man beache zunächs, dass aus der Dynamik des Underlyings und der Definiion von θ folg S S = s σw θ = ln s r + m 1 2 σ2. Mi M θ max { W θ, } und einsezen in die Dynamik folg die Behaupung. Für den Spezialfall ω = 1 laue die unere Grenze also e r m 1 m S G + C r+ σ S e 2 2 m 1 r+ σ falls S S e 2 2 S und V S e m 1 σ 2 m 1 r+ σ 2 für S > S e 2 2. Ein Vergleich mi der uneren Grenze der beschränken CPPI bei gleicher, maximaler Anfangsinvesiion ω = 1, vgl. Korollar 3.1.6, zeig, dass die uneren Grenzen für beide Sraegien idenisch sind. Dies erklär sich daraus, dass die unere Grenze bei der beschränken CPPI genau dann angenommen wird, wenn über die gesame Laufzei gemäß der einfachen CPPI gehandel wird. In diesem Fall wird aber auch hier der Floor niemals, bzw. ers am Ende des Anlagehorizons, angepass, und somi ensprechen beide Sraegien bis zum Laufzeiende der einfachen CPPI. Eine konkreere Beschreibung der Pfadabhängigkei ergib sich aus Proposiion Die Vereilung des Endweres der Sraegie beding auf den Endwer der Akie is durch [ ] P V v S = s S gegeben. Für die Diche gil: [ ] P V dv S = s = S wobei ω = 1 σ ln s r + m 1 2 σ2 und gx := G e r e σωx 1 + ω m ω Beweis : siehe Appendix = 1 e 2 g 1 v g 1 v w 2 2g 1 v g g 1 v e g 1 v w 2g 1 v w eσm w x, g x = G e r σωe σωx σm 1 e w x Man beache, dass gln x ein Polynom is und somi die Umkehrfunkion im Allgemeinen nich explizi besimm werden kann. Für die prakische Anwendung muss g 1 also numerisch besimm werden. Wie im Beweis jedoch gezeig wird is die inverse Funkion im beracheen Definiionsbereich eindeuig und kann mi einfachen numerischen Verfahren besimm werden. Für eine Diskussion der resulierenden Ergebnisse sei auf das Kapiel 3.3 verwiesen.

120 18 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Langfrisiges und Cash-Lock-Verhalen Wie erwähn, läss sich das langfrisige Verhalen der Sraegie aus dem Verhalen der Garanie besimmen. Zum einen ergib sich aus dem Grenzwer der erwareen Rendie der Garanie auch die erwaree Rendie des Weres, wie wir zunächs zeigen werden, zum anderen gil jedoch, dass der Endwer der Sraegie genau dann eine höhere Verzinsung als die risikolose erreich, falls der Wer der Garanie jemals größer als der risikolos aufgezinse Anfangswer is. Da die Sraegie ab diesem Zeipunk ebenfalls mi dem risikolosen Zins wächs, muss die Sraegie eine Auszahlung oberhalb der risikolosen Anlage gewähren. Umgekehr gil jedoch, dass, falls die Sraegie nie den Wer der risikolosen Verzinsung erreich, der Cushion gegen Null konvergier. Diese Überlegungen führen zu den folgenden Resulaen. Korollar Für die langfrisige Rendie einer Floor-angepassen CPPI mi maximaler Invesiionsquoe ω = ω 1 = ω gil: ln E[V /V ] lim Beweis : Da der Cushion durch C und somi für = r + ω µ r m ω + σ E[G ] E[V ] ω G m ω begrenz is, folg zunächs: m m ω E[G ] ln E[G lim /V ] ln E[V lim /V ] ln lim m m ω E[G/V ] ln E[G lim /V ] ln E[V lim /V ] ln E[G lim /V ] Es reich aus, die Garanie zu berachen. Nach Lemma ergib sich 2σω + 2θ E[G ] = G e r σω + 2θ e σω 2 σω+2θ N θ + σω 2θ + σω + 2θ N θ Da die Konvergenzrae der Exponenialfunkion größer als die der Normalvereilung is, reich σω + 2θ >, dami der Term in der Klammer nich gegen 1 konvergier. Es ergib sich in diesem Fall womi die Behaupung folg. ln E[G /V ] lim ln e r e σω 2 σω+2θ = lim =r + ωµ r m ω σ 2 2 Die relaive Verluswahrscheinlichkei ergib sich aus dem nächsen Korollar. Es beschreib in Analogie zu den Überlegungen bei der beschränken CPPI die Vereilung des diskonieren Endweres..

121 3.2 CPPI mi Floor-Anpassung 19 Korollar Der Grenzwer für der Vereilung für den diskonieren Werprozess einer Floor-angepassen CPPI is gegeben durch: lim P [V e r v] = µ r mσ σω 1 µ < r mσ2 2θ v G Beweis : Obige Überlegungen moivieren lim P [V e r v] = lim P [G ve r Bildung des Grenzweres in ergib die Behaupung. Für v = V ergib sich dami die langfrisige relaive Verluswahrscheinlichkei. Für eine Diskussion der Ergebnisse und zum Vergleich mi der beschränken CPPI sei auf den nächsen Abschni verwiesen. Aus den Überlegungen zur Vereilungsfunkion lassen sich nun Rückschlüsse auf die Vereilung der Invesiionsquoe und die Wahrscheinlichkei einer Cash-Dominanz ziehen. Korollar Für die Invesiionsquoe einer Floor-angepassen CPPI zum Zeipunk gil: P [Π α] = N 1 ln α σm ω m ω θ m α + ω α 2θ m α σm 1 N m ω σm ln α ω m ω + θ m α Beweis : Ausgehend von der Definiion der Invesiionsquoe einer CPPI mi Floor- Anpassung erhalen wir [ mc P [Π α] =P V [ =P V ] α mg m α und mi Proposiion für die Dynamik der Sraegie folg [ =P 1 + ω m ω emσw θ M θ m ] m α [ =P W θ M θ 1 σm ln m ω ] α m α ω [ =P M θ W θ 1 σm ln m α ] ω m ω α ] und mi Korollar für die Vereilung der Differenz des Maximums und des Endweres einer Brownschen Bewegung mi Drif =N 1 ln ω m α σm α + θ m ω ω α 2θ m α σm 1 N m ω σm ln α ω m ω + θ m α Aus der Besimmung des Gegenereignisses und der Symmerie der Normalvereilung ergib sich die Behaupung.

122 11 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Bemerkenswer is dabei, dass, selbs falls die übliche Bedingung θ > µ > r + m 2 σ2 erfüll is, auf lange Sich für jede Invesiionsquoe eine posiive Wahrscheinlichkei beseh, dass diese unerschrien wird. Dazu beache man, dass für θ > und der erse Normalvereilungserm in Gleichung gegen und der zweie gegen 1 konvergier. Als Grenzwer ergib sich ω m α 2θ α m ω lange Sich nich gewährleise. σm. 14 Eine hinreichend große Invesiionsquoe is also auf Auf eine Berachung der Cash-Locks-Wahrscheinlichkei sei an dieser Selle verziche, da die Berachungen im nächsen Abschni ausschließlich den Unerschied zur beschränken CPPI bereffen. Falls die beschränke CPPI und die Floor-angepasse CPPI jedoch dieselbe Invesiionsquoe besizen, worauf in der Definiion des Cash-Locks beding wird, is auch ihr Verhalen bis zu dem Zeipunk, an dem das nächse Mal die Vollinvesiion erreich wird, idenisch, da sie bis zu diesem Punk beide der gewöhnlichen CPPI-Sraegie folgen. Formal läss sich das wie folg begründen P [Π T β Π = α] = P [Π T β Π = α, s [, T ] : Π s < ω] } {{ } Idenisch für beide Sraegien T + P [Π T β Π s = ω] P [ Ersmalig in s wieder vollinvesier. ] ds } {{ } Idenisch für beide Sraegien und P [Π T β Π s = ω] = P [Π T s β]. Für den Vergleich der beiden Sraegien reich es also aus, die in Korollar besimme Invesiionsquoe zu berachen, sofern davon ausgegangen wird, dass beide Sraegien jeweils mi der maximalen Invesiionsquoe saren. 14 Für θ < ergib sich wie bei der einfachen CPPI, dass die Invesiionsquoe mi Sicherhei gegen konvergier.

123 3.3 Vergleich Wersicherungssraegien uner Kredibeschränkungen Vergleich Wersicherungssraegien uner Kredibeschränkungen Mi den Vereilungseigenschafen der CPPI-Sraegien uner Kredibeschränkungen aus den beiden lezen Kapieln is es nun möglich, die Sraegien mieinander zu vergleichen. Neben den ensprechenden Risikomaßen wird der Fokus insbesondere auf der Berachung der Werenwicklung in Abhängigkei von der Werenwicklung des Akienkurses liegen. Somi is es dann möglich zu enscheiden, uner welchen Erwarungen an die zukünfige Akienkursenwicklung welche Sraegie vorzuziehen is und welche Risiken und Sicherheien die Sraegien bieen. Es sei daran erinner, dass ein Vergleich zwischen beschränker CPPI und der Sop-Loss- Sraegie bereis in Abschni 3.1 erfolge. Wir haben gezeig, dass sich die beschränke CPPI insbesondere als Approximaion der so genannen Sop-Loss-Sar-Gain-Sraegie auffassen läss. In diesem Abschni wollen wir zum einen die CPPI-Sraegien mi Kredibeschränkung unereinander, d.h. die beschränke CPPI mi der CPPI mi Floor-Anpassung vergleichen, und zum anderen einen Vergleich mi der einfachen OBPI führen. Wie in den früheren Abschnien erwähn, is ein Vergleich der einfachen CPPI mi der OBPI unzulässig. Die Begründung basiere auf der poeniell unbeschränken Krediaufnahme. Durch die geroffenen Annahmen is jedoch ein Vergleich insbesondere mi der beschränken CPPI möglich und wird im Anschluss diskuier Vergleich CPPI-Sraegien Wir berachen die beschränke und die CPPI mi Floor-Anpassung jeweils uner der Annahme, dass gerade bei beiden eine anfänglich maximale Invesiion in die Akie erfolg. Es sei daran erinner, dass niedrigere anfängliche Invesiionquoen für einen Vergleich der beiden Sraegien bedeuungslos sind, da in diesem Fall beide bis zum ersen Erreichen der maximalen Quoe idenisch sind, nämlich der einfachen CPPI ensprechen. Abbildung 3.8 gib zunächs einmal die Vereilung des Endweres der beiden Sraegien und der OBPI bzw. der Sop-Loss-Sraegie für eine Laufzei von 2 bzw. 1 Jahren an. Während die Vereilungen für kurze Laufzeien ähnlich sind, ergib sich für lange Laufzeien, dass hohe Gewinne in der CPPI mi Floor-Anpassung deulich selener aufreen als in der beschränken CPPI. Umgekehr sind auch Erräge die in der Nähe der Garanie liegen bei der CPPI mi Floor-Anpassung selener. Um das Verhalen genauer zu beschreiben, berachen wir die bedingen Vereilungen in Abbildung Es is bereis erkennbar, dass die CPPI mi Floor-Anpassung auch bei niedrigen Schlusskursen die Chance auf deulich über der Garanie liegenden Kurse ermög-

124 112 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Abbildung 3.8: Vereilung und Diche der beschränken CPPI, CPPI mi Floor-Anpassung, OBPI und Sop-Loss T = 2 bzw. T = 1 lich. Umgekehr gil bei hohen Schlusskursen, dass die Auszahlung der beschränken CPPI mi hoher Wahrscheinlichkei deulich höher als bei der CPPI mi Floor-Anpassung is. Dieser Effek wird zusäzlich in Abbildung 3.9 verdeulich. Die Abbildungen 3.9 und 3.1 beschreiben die Auszahlungen der beschränken und der CPPI mi Floor-Anpassungen. Zu gegebenem Endwer des zugrunde liegenden Werpapiers abgeragen auf der x-achse gib der orange Bereich das 8%-bzw. 5%-Konfidenzinervall der möglichen Auszahlungen der beschränken CPPI an. Dabei gil, dass jeweils 1% bzw. 25% der auf den Akienkurs bedingen Auszahlungen ober- oder unerhalb des orangen Bereichs liegen. Analog gib der blaue Bereich das ensprechende Konfidenzinervall der möglichen Auszahlungen der CPPI mi Floor-Anpassung an. Zum zusäzlichen Vergleich

125 3.3 Vergleich Wersicherungssraegien uner Kredibeschränkungen 113 Abbildung 3.9: 5%- bzw. 8% Konfidenzinervalle der Auszahlung der beschränken und der Floor-angepassen CPPI für σ = 2% und T = 5 Jahre sind außerdem die Auszahlungen der einfachen OBPI roe Linie und der Direkinvesiion in die Akieschwarze Linie angegeben. Die Pfadabhängigkei, gemessen an der Größe der Konfidenzinervalls, nimm dabei, wie zu erwaren, mi längerer Laufzei zu. Dabei sind die Inervalle bei beiden Sraegien für hohe Endwere der Akie ungefähr gleich groß, wobei die auf den Akienkurs bedinge erwaree Auszahlung, jeweils durch die orange bzw. blaue Linie dargesell, bei der beschränken CPPI deulich höher is. Umgekehr ergib sich bei niedrigen Schlusskursen der Akie ein sehr enges Konfidenzinervall für die beschränke CPPI in der Nähe der uneren Schranke. Das Inervall für die CPPI mi Floor-Anpassung bleib deulich größer und insbesondere is die Auszahlung auch deulich größer. Dabei is zu beachen, dass eine hohe Volailiä der Akie bei fallenden Kursen für die CPPI mi Floor-Anpassung von Voreil sein kann, da somi die Chance beseh, dass der Wer zwischenzeilich hoch genug war, um Erräge durch Anpassung der Garanie feszuschreiben. Es bleib feszuhalen, dass die Floor-angepasse CPPI insbesondere bei fallenden bzw. gleichbleibenden Kursen bessere Ergebnisse erziel, jedoch bei wachsenden Kursen nur mi geringer Wahrscheinlichkei eine hohe Parizipaion ermöglich. Aus der Abbildung 3.11 erkenn man zusäzlich, dass bei niedrigen Schlusskursen die Floorangepasse Sraegie die beschränke CPPI auch asächlich sochasisch dominier, während bei hohen Schlusskursen die beschränke CPPI zumindes in einem großen Bereich dominier. Bei hohen Schlusskursen is zu beachen, dass die Auszahlung der beschränken CPPI nach oben beschränk is, während die Floor-angepasse CPPI im Prinzip unbeschränke Auszahlungen erzielen kann, sofern zwischenzeilich der Kurs der Akie hoch genug war. Die ensprechenden Wahrscheinlichkeien sind hier aber vernachlässigbar. Die

126 114 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Abbildung 3.1: 8%-Konfidenzinervalle der Auszahlung der beschränken und der Floorangepassen CPPI für σ = 15%2%, 25% und T = 1 Jahr Floor-angepasse Sraegie profiier somi im Vergleich zur beschränken CPPI von zwischenzeilich hohen und am Laufzeiende niedrigeren Akienkursen. Das charakerisische Verhalen der einfachen CPPI, nämlich von hohen Schlusskursen zu profiieren, finde sich auch in der beschränken CPPI wieder. Neben den Darsellungen der Vereilungsfunkion zeig auch Tabelle 3.2, dass das Risiko der CPPI mi Floor-Anpassung sowohl bezüglich der Sandardabweichung/Volailiä als auch bezüglich der relaiven Verluswahrscheinlichkei geringer is. Insgesam is die Floor-angepasse CPPI also eher für einen risikoaversen Invesor von Ineresse, der für die Möglichkei des Fessezen zwischenzeilicher Gewinne berei is, auf einen Teil der Parizipaion zu verzichen. Da dieses Look-Back-Verhalen bei der einfachen OBPI nich vorlieg, beschränken wir uns im folgenden Abschni auf einen Vergleich der beschränken CPPI mi der einfachen OBPI Vergleich Beschränke CPPI und OBPI Aus den bisherigen Überlegungen erschein es nun sinnvoll die beschränke CPPI mi der OBPI zu vergleichen. Anhand der Vereilungen in Abbildung 3.8 und der Auszahlungsprofile in den Abbildungen 3.9 und 3.1 kann man drei unerschiedliche Bereiche idenifizieren. Zunächs einmal sell man fes, dass die beschränke CPPI im Gegensaz zur OBPI immer eine Auszahlung oberhalb der Garanie erziel. In den Auszahlungsprofilen erkenn man dies anhand der höheren Auszahlung der beschränken CPPI für niedrige Schlusskurse der Akie. Für Were, die nur leich oberhalb der Garanie liegen, dominier die beschränke CPPI somi die OBPI, d.h. die Wahrscheinlichkei mehr als die Garanie zu erhalen is bei der beschränken CPPI größer. Für geringe Akienkurszuwächse is die Auszahlung der OBPI größer als der bedinge Erwarungswer der beschränken CPPI. Dies führ dazu, dass die OBPI für Endwere die in der Nähe der risikolosen Verzinsung liegen, die beschränke CPPI dominier. Die rela-

127 3.3 Vergleich Wersicherungssraegien uner Kredibeschränkungen 115 Abbildung 3.11: Auf den Schlusskurs bedinge Dichen links und Vereilungen rechs nach einem Jahr der beschränken und Floor-angepassen CPPI, S 1 =,9; e r ; e µ ; 1,5

128 116 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Abbildung 3.12: Relaive Verluswahrscheinlichkei von Sraegien mi Kredibeschränkung in Abhängigkei der Laufzei, µ r m 2 σ2 = 4,375% ive Verluswahrscheinlichkei is also bei der OBPI kleiner. Man vergleiche dazu auch die Tabelle 3.2, anhand derer man erkenn, dass dies unabhängig von den Modellparameern gil. Der drie Bereich is durch hohe Endwere der Sraegie bzw. der Akie gekennzeichne. Anhand der Vereilungsfunkionen sieh man, dass es einen zweien Schnipunk der Vereilungen von OBPI und beschränker CPPI gib. Dies resulier aus der Tasache, dass die beschränke CPPI im Gegensaz zur OBPI die Möglichkei besiz eine 1%ige Parizipaion zu erzielen. Troz dieser drei Bereiche zeig sich insgesam ein sehr ähnliches Auszahlungs- und Vereilungsprofil beider Sraegien. Wohingegen die OBPI in Abhängigkei des Akienkurses für Kurse oberhalb des Srikes eine sichere Auszahlung reduzier um die anfängliche Prämie erziel, ergib sich die Auszahlung der beschränken CPPI als Invesiion in die Akie reduzier um eine pfadabhängige Prämie. Diese Prämie wird vor allem für Kurse, die nur leich oberhalb des Srikes der OBPI liegen, höher als die Prämie der OBPI sein. Für sarke Zuwächse wird diese implizie Prämie unerhalb der Prämie der OBPI liegen. In diesem Sinne is die beschränke CPPI also riskaner als die OBPI, weswegen sie jedoch auch einen Erwarungswer und eine Rendie des Erwarungsweres besiz, der größer is als derjenige der OBPI. Eine Darsellung der Abhängigkei der Verluswahrscheinlichkei und der Rendie von der Laufzei finde sich in den Abbildungen 3.12 und 3.13, wobei die nowendige Bedingung für die Effekiviä der CPPI µ > r + m 2 σ2 zum einen nich erfüll links is und zum anderen erfüll rechs is. Falls die nowendige Bedingung erfüll is, is die Verluswahrscheinlichkei der beschränken CPPI unabhängig von der Laufzei nur gering-

129 3.3 Vergleich Wersicherungssraegien uner Kredibeschränkungen 117 Abbildung 3.13: Rendie des Erwarungsweres von Sraegien mi Kredibeschränkung in Abhängigkei der Laufzei, µ r m 2 σ2 = 4,375% fügig größer als die der OBPI. Is die Bedingung nich erfüll, is dieser Effek deulicher zu beobachen. Für die Rendie des Erwarungsweres und dami auch für diesen selbs gil, dass die beschränke CPPI für längere Laufzeien einen deulich größeren Wer besiz, was als Kompensaion für das zusäzliche Risiko aufgefass werden kann. An dieser Selle sei angemerk, dass das anfängliche Verhalen der Vereilungsfunkion in der Nähe der Garanie eine Erklärung für die sich eilweise widersprechenden Ergebnisse in der Lieraur bezüglich der eines Invesors, der seinen Nuzen opimier, liefer. Während El Karoui e al. 25 zeigen, dass ein Invesor mi einer CRRA- 15 Nuzenfunkion eine OBPI-Sraegie wähl um seinen erwareen Nuzen zu maximieren, folg aus Meron 199 die Opimaliä der einfachen CPPI bezüglich der gleichen Nuzenfunkion. Bezüglich des Drawdowns zeigen Grossman und Zhou 1993 ebenfalls die Opimaliä der CPPI mi Floor-Anpassung bezüglich CRRA-Nuzens. Diese unerschiedlichen Ergebnisse lassen sich darauf zurückführen, dass der Nuzen zum einen bezüglich des Werprozesses und zum anderen bezüglich des Cushions berache werden. Wie in Basak 22 argumenier wird, implizier dies für einen auf dem Wer basierenden Nuzen, dass der Invesor an der Garanie einen indireken Grenznuzen besiz, der auf Unendlich spring, da die Garanie nich unerschrien werden kann und rechs von der Garanie nur geringen zusäzlichen Grenznuzen besiz. Eine auf dem Cushion basierende Argumenaion läss den marginalen Nuzen dagegen seig gegen Unendlich konvergieren, wodurch der Grenznuzen rechs von der Garanie deulich größer is. Aus diesem Grund folg für die OBPI, dass aus Weren 15 Consan Relaive Risk Aversion

130 118 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Abbildung 3.14: Cash-Dominanz-Wahrscheinlichkei von Sraegien mi Kredibeschränkung, µ r m 2 σ2 = 4,375% die leich oberhalb der Garanie liegen kein relevaner zusäzlicher Nuzen erziel wird und somi die OBPI opimal bezüglich des auf dem Wer basierenden Nuzens is, die CPPI hingegen opimal bezüglich des auf dem Cushion basierenden Nuzens is. Die obigen Ergebnisse suggerieren, dass beschränke CPPI und OBPI im Grunde ähnliches Verhalen aufweisen. Berachen wir hingegen die Invesiionsquoe, werden die Unerschiede in beiden Sraegien deulich. Die Abbildung 3.14 zeig die Wahrscheinlichkei für eine Invesiionsquoe unerhalb von 5% während der Laufzei verschiedener Wersicherungssraegien mi einem Anlagehorizon von 25 Jahren 16. Es zeig sich, dass die OBPI zu Beginn der Laufzei eine deulich größere Wahrscheinlichkei auf geringe Invesiionsquoen besiz als die beschränke CPPI. Aus empirischer Sich widersprich dies dem Anlageverhalen von Invesoren. Üblicherweise wird argumenier, dass Invesoren, die in eine langfrisige Sraegie invesieren zu Beginn der Laufzei deulich risikobereier als am Ende der Laufzei sind. Ein Beispiel hierfür is der Vermögensaufbau zur Alersvorsorge, bei dem häufig zum Ende der Laufzei in risikolosere Anlagen umgeschiche wird. Im Gegensaz dazu besiz die beschränke CPPI per Konsrukion bereis am Anfang eine hohe Invesiionsquoe. Die Auswirkungen dieses Verhalens wird zusäzlich in Abbildung 3.15 deulich. Dor is die Werenwicklung der Sraegien in Form der bis zur Zei erzielen Rendie dargesell. Während die beschränke CPPI über die gesame Laufzei eine ähnliche Rendie aufweis, besiz die OBPI in den ersen Jahren nur eine geringe jährliche Rendie. Ers zum Laufzei- 16 Man beache, dass ein feser Anlagehorizon nur bei der OBPI beache werden muss. Die Wahrscheinlichkei der Cash-Dominanz is für CPPI-Sraegien bezüglich des Anlagehorizon invarian.

131 3.3 Vergleich Wersicherungssraegien uner Kredibeschränkungen 119 Abbildung 3.15: Erwareen Rendie von Sraegien mi Kredibeschränkung bei fesem Anlagehorizon, µ r m 2 σ2 = 4,375% ende ergib sich eine vergleichbare Rendie für die OBPI. Für den Invesor bedeue dies, dass in den ersen Jahren nur ein sehr geringer Kapialaufbau safinde. Insbesondere im Bereich der Versicherungswirschaf bedeue dies, dass die Rückkaufwere von Versicherungen die auf einer OBPI basieren nur sehr gering sind. Die beschränke CPPI generier im Gegensaz dazu gleichmäßige Erräge Sharpe Raio als Risikomaß für Wersicherungssraegien Die obigen Überlegungen beziehen sich ausschließlich auf Risikomaße, die sich direk relaive Ausfallwahrscheinlichkei oder indirek Cash-Lock bzw. Cash-Dominanz auf die Lower Parial Momens zurückführen lassen. Im Gegensaz dazu finde sich in der Lieraur häufig das Sharpe Raio oder der Markpreis des Risikos als Zielgröße einer opimalen Sraegie. Dabei is das Risiko durch die Sandardabweichung besimm. Anhand der beschränken CPPI und der einfachen CPPI bzw. der CPPI mi konsanem Floor wollen wir kurz auf möglicherweise aufreende Probleme hinweisen. Während die Abbildung 3.16 für die beschränken Sraegien durchaus mi den obigen Argumenen übereinsimm und insbesondere das Sharpe Raio für diejenigen Muliplier m maximier, die gerade einer anfänglichen Akieninvesiion ensprechen 17, ergib sich für den gleichen Muliplier bei den unbeschränken Sraegien nahezu das absolue Minimum 17 Man beache, dass das Sharpe Raio der beschränken CPPI in diesem Fall einen ähnlichen Wer wie das Sharpe-Raio der OBPI annimm.

132 12 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen Abbildung 3.16: Sharpe Raio für Sraegien mi und ohne Kredibeschränkung des Sharpe Raios. Dabei is jedoch zu beachen, dass das im Sharpe Raio berachee Risiko, die Volailiä, Schwankungen in beide Richungen beriff. Am Beispiel der unbeschränken Sraegien wird jedoch deulich, dass dieses Maß hier nur beding Beachung finden kann, da die Schwankungen nach unen per Konsrukion beschränk sind und hohe Schwankungen auch hohe Gewinne implizieren. Es is also durchaus vorsellbar, dass ein Invesor ein geringes Sharpe Raio bevorzug. Um dies genauer zu moivieren, sei daran erinner, dass die Verwendung des Sharpe Raio in der Porfolio-Theorie und das Ziel der Maximierung desselbigen aus zwei verschiedenen Annahmen abgeleie werden kann. Zum einen ergib es sich aus der Porfolio- Theorie, vgl. Markowiz 1952, Sharpe 1964 und Meron 199, uner der Annahme, dass die Anlagen normalvereile Rendien besizen. Eine zweie Moivaion ergib sich aus der Annahme von Invesoren mi quadraischen Nuzenfunkionen, die aber im Allgemeinen als unzulässig abgelehn werden vgl. Ingersoll jr. 1987, Kapiel 4. Beide Annahmen sind in diesem Rahmen also nich erfüll und somi beseh im allgemeinen keine Nowendigkei zur Maximierung des Sharpe Raios. Die Tasache, dass das Sharpe Raio im Falle der beschränken Sraegie dennoch zu einem sinnvollen Ergebnis führ, lieg darin begründe, dass die Vereilung der beschränken Sraegie deulich kleinere höhere Momene als die unbeschränke besiz, und somi auch eher durch ein Lognormalvereilung approximier werden kann. Für eine genauere Berachung des Sharpe Raios in dynamischen Sraegien vgl. z.b. Cvianić e al. 27. Andere in der Lieraur vorgeschlagene Alernaiven zum Sharpe Raio, wie das auf dem Lower Parial Momen basierende Capial a Risk, vgl. Emmer e al. 21, werden, wie erwähn, indirek in den obigen Berachungen verwende.

133 3.3 Vergleich Wersicherungssraegien uner Kredibeschränkungen 121 σ = 15,% σ = 2,% σ = 25,% µ r σ 66,7% 5% 4% µ r m 2 σ2 4,375% % 6,625% Beschränk FA OBPI Beschränk FA OBPI Beschränk FA OBPI E[V ] 2.42, , , , , , , , ,36 Var[V ] 749,46 536,51 681,1 996,38 58,87 859, ,9 58, ,12 Skew[V ] 1,8 1,36 1,14 1,68 2,4 1,71 2,44 2,77 2,4 Kur[V ] 4,9 5,96 5,21 7,57 9,99 7,98 13,2 16,84 13,23 Rendie y 14,29% 11,62% 13,84% 13,59% 1,1% 12,97% 12,85% 8,83% 12,18% Volailiä σ 15,89% 13,13% 14,83% 21,32% 15,23% 19,19% 26,46% 16,16% 23,7% Sharpe Raio 58,45% 5,44% 59,59% 4,27% 33,49% 41,54% 29,66% 23,69% 31,11% rel. Verlus P [V Ve r ] 16,62% 15,57% 12,64% 33,26% 29,61% 26,15% 47,88% 4,53% 38,24% langfr. Rendie y 15,% 1,5% 15,% 15,% 7,% 15,% 15,% 5,% 15,% langfr. Verlus lim P [V Ve r ],,,,,, 45% 33%, E[V S = 1] 1.56, , , , ,1 1.27, , , ,22 E[V S = 1,2843] 1.158,1 1.23, , , , , , ,7 1.76,21 E[V S = 2,117] 2.44, , , , , , , , 1.774,36 E[V S = 3,1755] 3.127, , , , , , , , ,55 P [Π1 < 5%] 7,76% 19,93% 4,67% 18,53% 41,74% 17,26% 29,15% 59,18% 32,23% P [Π4 < 5%] 9,96% 4,57% 4,21% 25,47% 68,51% 14,19% 4,77% 84,37% 26,1% Parameer: T = 5; µ = 15%; r = 5%; V = 1; G = 8; m = 5; ω = 1 Tabelle 3.2: Risikomaße für Sraegien mi Kredibeschränkung

134 122 CPPI Sraegien mi Kredibeschränkungen

135 Kapiel 4 - CPPI Sraegien mi Handelsbeschränkungen Nachdem in den Abschnien 3.1 und 3.2 Unvollkommenheien der Kapialmärke in Form von Beschränkungen der Krediaufnahme berache wurden, soll im folgenden unersuch werden, welche Auswirkungen sich durch nich-seiges Handeln ergeben. Dazu is es zunächs nowendig feszulegen, wie die Handelszeipunke definier sind und in welcher Form die Sraegie diskreisier wird. Wir beschränken uns hier auf deerminisische Handelszeipunke, wie z.b. ägliches oder wöchenliches Handeln 1. Ausgehend von der Überlegungen zur einfachen CPPI im vollkommenen Kapialmark in Abschni 2.1, ergeben sich zwei unerschiedliche Möglichkeien der Diskreisierung. Wie wir gesehen haben, läss sich die einfache CPPI auch als OBPI bezüglich eines Power-Konrakes berachen, da die Werenwicklung des Cushion pfadunabhängig und ausschließlich vom Schlusskurs der zugrunde liegenden Akie abhängig is. In diesem Sinne werden wir in Abschni 4.2 analog zur Absicherung von Opionen einen zeidiskreen Dela-Hedge des Power-Konrakes berachen. Es is jedoch nahe liegender die CPPI gemäß ihrer eigenlichen Definiion als Sraegie bezüglich des Weres zu berachen, d.h. zu jedem Handelszeipunk wird ein Vielfaches des derzeiigen Cushion in die riskane Anlage invesier. Das Haupaugenmerk wird auf dieser Diskreisierung liegen. Die Berachung erfolg in Abschni 4.1. Die wesenliche Frage bei der Diskreisierung is, welche Auswirkung die Beschränkung auf fese Handelszeipunke auf die gefordere Garanie besiz. Wir werden sehen, dass die Garanie nich mehr mi Sicherhei überschrien wird und werden die ensprechenden Maße bezüglich des so genannen Gap-Risikos herleien. Wir zeigen, dass beide angesprochenen Diskreisierungen für eine wachsende Anzahl von Handelsagen gegen die einfache CPPI konvergieren. Für die auf dem Dela-Hedge basierende Sraegie folg dies direk aus den Eigenschafen des sochasischen Inegrals. Für die auf dem Werprozess basierende Sraegie benöigen wir eine Variaion des Saz von Donsker. Außerdem berachen wir in diesem Kapiel eine weiere Unvollkommenhei von Kapialmärken, das Vorhandensein von Transakionskosen, in Abschni Dieser Punk wird 1 Für eine Berachung sochasischer Handelszeipunke, die sich aus besimmen relaiven Kursgewinnen oder -verlusen ergeben, sei auf Brandl 27 verwiesen. Eine solche Sraegie kann im Sinne der Unerscheidung zwischen den Handelssraegien aus der Einleiung als Mixur aus CPPI und Sop-Loss-Sraegie berache werden. Es erfolg eine rollierende Anlage in Sop-Loss-Geschäfen, wobei das Sop-Loss-Limi relaiv zum Cushion fesgeleg wird, z.b. wird immer dann umgeschiche, sofern der Cushion 1% Gewinn oder Verlus erziel ha. Die Anpassung zu den Handelszeipunken erfolg dann gemäß der einfachen CPPI, also als proporionales Invesmen. 123

136 124 CPPI Sraegien mi Handelsbeschränkungen im Rahmen der Diskreisierung bezüglich des Werprozesses berache. Wir nehmen dazu proporionale Transakionskosen an und sellen dar, inwiewei sich die beracheen Risikomaße ändern. Insbesondere zeigen wir anhand einer Heurisik, dass uner Transakionskosen der Cushionprozess mi wachsender Anzahl von Handelszeipunken fas sicher gegen Null konvergier. Aus prakischer Sich ergib sich ein Zielkonflik zwischen der Absicherung der Garanie bzw. den Kosen für die Absicherung mi Opionen und den anfallenden Transakionskosen. Als lezen Punk berachen wir in Abschni 4.3 die Auswirkungen der Beschränkungen bezüglich der Krediaufnahme in einem diskreen Handelsrahmen. Hierzu werden wir die Ausfallwahrscheinlichkei durch eine geeignee Approximaion herleien. Abschließend erfolg ein Vergleich des Gap-Risikos der einfachen und der beschränken CPPI bei diskreen Handelszeipunken.

137 4.1 Handel gemäß des Werprozesses Handel gemäß des Werprozesses Definiion der Sraegie In diesem Abschni definieren wir eine zeidiskree Version der einfachen CPPI, welche die folgenden vier Bedingungen erfüllen soll. Zum einen soll der Werprozess der diskreen Version in Vereilung gegen den Werprozess der seigen Version konvergieren. Zweiens soll die diskree Version selbsfinanzierend sein. Driens soll die Sraegie keine negaiven Besände der zugrunde liegenden Akie zulassen und vierens soll die Invesiion in die Akie konsan proporional zum Cushion gewähl werden. Die erse Bedingung implizier die Konvergenz des Cushions gegen eine geomerische Brownsche Bewegung und somi is dieser im Grenzwer sicher posiiv. Bezüglich einer endlichen Anzahl von Handelsagen kann der Cushion jedoch negaiv werden, was im Sinne einer konsan proporionalen Invesiion zu negaiven Invesiionen führen könne. In Verbindung mi der drien Bedingung soll dies bei der Definiion beache werden. Sei τ n eine äquidisane Zerlegung des Inervalls [, T ] in n + 1 Handelszeipunke, d.h. τ n = { n = < n 1 < < n n 1 < n n = T }, wobei n k+1 n k = T für k =,, n 1. Zur n Vereinfachung der Noaion werden wir auf den oberen Index n verzichen, sofern sich die Anzahl der Handelszeipunke aus dem Zusammenhang ergib, d.h. die Menge der Handelszeipunke sei durch τ gekennzeichne. Die Handelsbeschränkungen auf die Zeipunke k τ implizier, dass die gehalene Anzahl von Akien im Inervall ] i, i+1 ] für i =,..., n 1 konsan sein muss. Dies bedeue umgekehr naürlich nich, dass der relaive Aneil bezüglich des Weres konsan bleib. Anselle der relaiven Beschreibung der einfachen CPPI Invesiere den Aneil mc V, benöigen wir zur Definiion eine absolue Beschreibung in Form der Anzahl der Akien η und der Anzahl der risikolosen Anleihen β, d.h. ein Tupel φ = η, β, die gehalen werden sollen. Für die einfache CPPI in seiger Form gil η = Π V S = mc S and β = 1 Π V B = V mc B. Die folgenden Argumene zeigen, dass eine zeidiskree Sraegie φ τ definier durch φ τ := φ k für ] k, k+1 ] k =,..., n 1 im allgemeinen nich selbsfinanzierend is. Der Werprozess V τ := V φ; τ, der sich aus der zeidiskreen Version φ τ ergib, is definier durch V τ := V und mi V φ; τ :=η k S + β k B = V φ η η k S β β k B for ] k, k+1 ] V φ :=η S + β B.

138 126 CPPI Sraegien mi Handelsbeschränkungen Auch wenn φ selbsfinanzierend is, gil dies nich nowendigerweise auch für φ τ. Insbesondere gil, falls φ τ selbsfinanzierend is, η k S k+1 + β k B k+1 = η k+1 S k+1 + β k+1 B k+1 for all k =,..., n 1 V k+1 φ; τ = V k+1 φ for all k =,..., n 1. was jedoch offensichlich ausschließlich im Grenzwer für n gülig sein kann 2. Um eine sinnvolle Definiion der zeidiskreen Sraegie zu erhalen is es somi nowendig, ausschließlich selbsfinanzierende Sraegien zu berachen. Dies implizier die folgende Bedingung an die Anzahl der zuhalenden Bonds β τ = 1 V τ B k η τ S k k für ] k, k+1 ] Ausgehend von der Definiion der einfachen CPPI über den in die risikobehafee Anlage invesieren Aneil, ergib sich folgende Definiion für die zeidiskree Sraegie. Definiion zeidiskree einfache CPPI Die Sraegie φ τ = η τ, β τ heiß zeidiskree einfache CPPI falls für alle ] k, k+1 ] und k =,..., n 1 { m C τ } η τ k := max,, β τ := 1 V τ S k B k η τ S k k gil. Dabei bezeichne C τ die zeidiskree Version des Cushion C, also C τ := V τ G. Man beache, dass mi obiger Definiion Leerverkäufe der zugrunde liegenden Akie ausgeschlossen sind, d.h. der in die Akie invesiere Berag is durch Null nach unen beschränk. Im Gegensaz zu den Überlegungen aus dem Abschni 3.1 sellen wir jedoch keine Beschränkungen an Leerverkäufe bezüglich des risikolosen Bonds, d.h. unbeschränke Krediaufnahmen sollen weierhin zulässig sein. Wie wir gesehen haben, führen Kredibeschränkungen zu pfadabhängigen Werenwicklungen, was die Herleiung geschlossener Lösungen an dieser Selle unmöglich mach. Trozdem können die hier aufreenen Effeke als Grundlage für eine realisischere Berachung angesehen werden 3. Aus obiger Definiion ergib sich folgendes Resula: Proposiion zeidiskreer Cushionprozess Sei s := min { k τ C τ k } und s = falls das Minimum nich erreich wird. Dann gil min{s,k+1} C τ k+1 = e r k+1 min{ s, k+1 } C i=1 m S i S i 1 m 1e r T n. 2 Man beache, dass es zunächs noch nich einmal klar is, ob die so definiere Sraegie bezüglich des sogenanen Real-World-Maß im Durchschni selbsfinanzierend is, vgl. z.b: Mahayni Zum Beispiel kann die hier berachee Ausfallwahrscheinlichkei als obere Grenze der Ausfallwahrscheinlichkei einer beschränken CPPI aufgefass werden, vgl. Abschni 4.3

139 4.1 Handel gemäß des Werprozesses 127 Beweis Prop : Mi { mc τ } V τ k k+1 = max, S k+1 + S k { mc τ } V τ k Bk+1 k max, S k S k B k und G k B k+1 B k = G k+1 folg C τ k+1 = V τ k+1 G k+1 = C τ k m S k+1 S k m 1e r T n falls C τ k > C τ k e r T n falls C τ k, für alle k =,..., n 1. Die Definiion von s ergib die Behaupung. Man beache, dass der Cushion C τ in Vereilung gegen C für n konvergier. Der Beweis basier auf der Konvergenz der Ausfallwahrscheinlichkei und dem Saz von Donsker, vgl. Proposiion Risikomaße der zeidiskreen CPPI Es sei daran erinner, dass die Grundidee der CPPI in der Gewährleisung der Garanie lieg. Mi Ausnahme der naiven Porfolio-Absicherung, d.h. m = 1, werden jedoch mi posiiver Wahrscheinlichkei Porfolio-Were unerhalb der Garanie, d.h. C τ <, angenommen. Der folgende Abschni widme sich diesem Ausfallrisiko im Sinne der Wahrscheinlichkei, mi der ein Ausfall aufri, und der erwareen Höhe des Ausfalls. 4 Zusäzlich werden wir Erwarungswer und Varianz der zeidiskreen CPPI besimmen. Definiion Risikomaße Wir berachen die folgenden Risikomaße Die Ausfallwahrscheinlichkei shorfall probabiliy P SF beschreib die Wahrscheinlichkei, dass der Endwer der zeidiskreen CPPI unerhalb der Garanie G lieg. P SF := P V τ T < G = P C τ T < Die lokale Ausfallwahrscheinlichkei P LSF is die Wahrscheinlichkei, dass der Cushion beim nächsen Handelszeipunk negaiv wird, uner der Bedingung, dass er bislang nich-negaiv is. P LSF := P V τ 1 < G 1 C 4 Man beache, dass die Ausfallwahrscheinlichkei kein kohärenes Risikomaß darsell, da sie nich subaddiiv is. Im Gegensaz is der erwaree Ausfall beding auf das Aufreen eines Ausfall ein kohärenes Risikomaß. Für weiere Deails bezüglich kohärener Risikomaße sei auf Arzner e al verwiesen.

140 128 CPPI Sraegien mi Handelsbeschränkungen Der erwaree Verlus beding es erfolg ein Ausfall ESF beschreib die Höhe des Ausfall. ESF := E [G V τ T V τ T < G] Im Gegensaz zum Dela-Hedge von opionsbasieren Sraegien is die Berechnung der Ausfallwahrscheinlichkei einer einfachen CPPI sehr leich. Dies folg daraus, dass das Ausfallereignis äquivalen zur Soppzei aus Proposiion is. Lemma Ausfallereignisse Sei A k := s := min { k τ C τ k }. Dann gil { s > i } = i A j und { s = i } = A C i j=1 { Sk S k 1 i 1 j=1 } m 1 m er T n A j für k = 1,..., n und für i = 1,..., n. Beweis Lemma 4.1.1: Nach Beweis von Proposiion gil V τ V τ k G k m S k+1 S k+1 G k+1 = k m 1e r T n falls C τ k V τ k C k e r T n falls C τ k <. Der Res folg aus der Definiion der Soppzei s und m S k+1 S k m 1e r T n S k+1 > > m 1 S k m T er n. Lemma lokale Ausfallwahrscheinlichkei P LSF = N d 2 mi d 2 := ln m n σ Beweis Lemma 4.1.2: Mi Lemma folg P LSF =P s = 1 s > S1 =P m 1 T S m er n m 1 ln =N µ r T + 1 m n 2 σ2 T n σ aufgrund der Vereilungseigenschafen des Akienkurses. Proposiion Ausfallwahrscheinlichkei Es gil P SF = 1 1 P LSF n. T n T n

141 4.1 Handel gemäß des Werprozesses 129 ] Abbildung 4.1: Ausfallwahrscheinlichkeien T = 1, µ =.85, r =.5 und σ =.1 bzw. σ =.3. Beweis Proposiion 4.1.2: Folg direk aus der Unabhängigkei und Gleichvereilung der Akienkurszuwächse mi P SF = 1 P s = und P s = = 1 P LSF n. Es kann gezeig werden. dass die Ausfallwahrscheinlichkei gegen Null konvergier, falls die Anzahl der Handelszeipunke gegen unendlich geh, d.h. lim n P SF A.6.5 aus dem Appendix. = vgl. Lemma Es wäre nahe liegend, dass die Ausfallwahrscheinlichkei monoon fallend in der Anzahl der Handelszeipunke is. Dies is im allgemeinen nich der Fall. Sadessen gib es eine kriische Anzahl von Handelszeipunken, ab der die Ausfallwahrscheinlichkei fäll. Dieser Effek wird besonders bei hohen Volailiäen und Mulipliern deulich und is in den Abbildung 4.1 dargesell 5. Sei n diese kriische Menge von Rehedges, die erforderlich sind, dami die Ausfallwahrscheinlichkei für n n sink. Diese kriische Menge n kann als Mindesanzahl von Rehedges inerpreier werden, die nowendig sind, dami die CPPI Sraegie in diskreer Zei effekiv is. 6 Wir werden späer auf diese kriische Anzahl von Mindeshandelszeipunken zurückkommen. Zunächs soll berache werden, wie groß der Ausfall werden kann. Ein Möglichkei beseh in der Berachung des erwareen Ausfalls wie in Definiion Es sell sich heraus, dass sich die erwaree Auszahlung der Sraegie in zwei Teile zerlegen läss, den erwareen Ausfall und die erwareen Überschüsse. Deswegen berachen wir zunächs direk die erwaree Auszahlung 5 Die Monoonie der Ausfallwahrscheinlichkei in m und σ kann leich gezeig werden. 6 rt m 1 Berache z.b. eine Garanie G gegeben durch G = e m V so dass α = 1, d.h. vollsändiges Invesmen in die risikobehafee Anlage bei Beginn. Falls n = 1 gewähl wird, d.h. kein weierer Handel vor T, ensprich die zeidiskree CPPI einem reinem Akieninvesmen. Offensichlich kann die CPPI nich effekiv sein, da ein vollsändiges, dauerhafes Akieninvesmen nich der Idee der CPPI ensprich.

142 13 CPPI Sraegien mi Handelsbeschränkungen Proposiion erwareer Endwer [ ] E [CT τ ] = C E1 n e rt E1 n + E 2 e r T n E 1 mi E 1 := me µ T n N d1 e r T n m 1N d2 E 2 := me µ T n N d1 e r T n m 1N d2. T und d 2 wie in Lemma und d 1 := d 2 + σ n Beweis Proposiion 4.1.3: Wie erwähn läss sich der Erwarungswer folgendermaßen zerlegen E [C τ T ] = E [ C τ T 1 {s= }] + E [ C τ T 1 {s n}]. Mi Lemma und Lemma A.6.1 des Appendix A.6 folg E [ ] CT τ 1 {s= } = E [V T τ F T = C E n 1 ] n 1 Ai i=1 Für den zweien Erwarungswer gil E [ C τ T 1 { s n}] = n i=1 E [ C τ T 1 { s= i }]. Der verbleibende Teil folg aus Lemma A.6.2 des Appendix A.6 und der Auflösung der geomerischen Reihe n i=1 e rt i C E 2 E i 1 1 = C E 2 e rt E n 1 e r T n E 1. Die Berechnung des bedingen erwareen Verluss ESF ergib sich direk aus den obigen Überlegungen. 7 Korollar Erwareer Verlus ESF = C E 2 e rt E n 1 e r T n E 1 P SF. 7 Gleiches gil für den Preis des Ausfallrisikos, d.h. der Preis einer Opion deren Auszahlung in T durch G VT τ + gegeben is. Man beache, dass der Preis uner Arbiragefreihei durch den Erwarungswer der diskonieren Auszahlung uner dem Maringalmaß gegeben is. Die hier beracheen Erwarungswere sind jedoch uner dem Real-World-Maß besimm. Wir kommen in den folgenden Abschnien darauf noch einmal zurück.

143 4.1 Handel gemäß des Werprozesses 131 Beweis : Der Beweis folg mi ESF = E [ CT τ s < ] = E[Cτ T 1 {s n}]. und P SF den Argumenen aus dem Beweis zu Proposiion Proposiion Varianz des Cushion [ ] V ar [CT τ ] = C 2 Ẽ1 n e 2rT + Ẽn Ẽ2 1 E[C T ] 2, mi e 2r T n Ẽ1 Ẽ 1 := m 2 e 2µ+σ2 T n N d3 2mm 1e µ+r T n N d1 + m 1 2 e 2r T n N d2, Ẽ 2 := m 2 e 2µ+σ2 T n 2mm 1e µ+r T n + m 1 2 e 2r T n Ẽ 1. und d 1, d 2 definier wie oben, d 3 := ln Beweis Proposiion 4.1.4: m m 1 +µ r T n σ2 T n σ T. n V ar [C τ T ] = E [ C τ T 2] E [C τ T ] 2 und E [ C τ T 2] = E[V τ T 2 1 {s= }] + n E [ CT τ 2 1 {s=i }]. Analoge Überlegungen zum Beweis von Proposiion führen mi Lemma A.6.3 und Lemma A.6.4 des Appendix zu E [ C τ T 2] = C 2 Ẽn 1 + n i=1 i=1 C 2 e 2rT i Ẽ 2 Ẽ i 1 1. Der Res is wiederum eine Anwendung der geomerischen Reihe. Aus den Überlegungen zum Erwarungswer und der Varianz kann nun die Konvergenz bewiesen werden Proposiion Konvergenz Für n konvergier der Werprozess V τ gegen den Werprozess V in Vereilung 8, d.h. V τ L V. Beweis Proposiion 4.1.5: vgl. Appendix A.6. Wir beenden den Abschni mi einer Unersuchung der Auswirkungen der verschiedenen Parameer auf die Risikomaße. Die wichigsen Eigenschafen sind in Tabelle 4.1 zusammengefass. Die Beweise sind in der Regel rech einfach. So sieh man direk aus Proposiion 4.1.2, dass die Höhe der Garanie keinen Einfluss auf die Ausfallwahrscheinlichkei besiz. 8 Nach Revuz und Yor 1998, c.f. Chaper XIII, Definiion 1.3 gil: Eine Folge X n von R-werigen Prozessen definier auf Wahrscheinlichkeisräumen Ω n, F n, P n konvergier in Vereilung gegen einen Prozess X, falls die Folge P n ihrer Vereilungen schwach auf dem Wiener-Raum gegen die Vereilung von X konvergieren. Für Konvergenz sochasischer Prozesse siehe außerdem Jacod und Shiryaev 198.

144 132 CPPI Sraegien mi Handelsbeschränkungen Sensiiviä der Risikomaße Risikomaß Parameer der Sraegie Parameer der Akie G m µ σ E[VT τ] Var[VT τ] P SF ESF Tabelle 4.1: Sensiiviä der Risikomaße. bezeichne monoones Wachsum und monoones Fallen im ensprechenden Parameer. Parielle Ableiungen der Ausfallwahrscheinlichkei nach σ und m führen zur Fessellung, dass die Ausfallwahrscheinlichkei monoon wachsend in σ und m, aber monoon fallend in µ is. Auch für die Eigenschafen der Momene sind die Rechnungen direk durchführbar, jedoch ewas umfangreicher. Im Appendix wird exemplarisch die Monoonie des Erwarungsweres in der Volailiä hergeleie, vgl. Abschni A.6. Ähnliche Argumene werden für die Monoonie in µ and m benöig. Beachenswer is, dass sowohl die Ausfallwahrscheinlichkei, als auch der erwaree Verlus wachsend in m und σ sind. Auch bei der zeidiskreen Version der CPPI is es also nowendig, diese Parameer hinreichend klein zu wählen, dami die Sraegie effekiv bleib. Diese Eigenschafen ergeben sich analog zur Berachung der seigen Sraegie, wo wir gesehen haben, dass eine nowendige Bedingung, dami die Sraegie langfrisig erfolgreich is, µ r > 1 2 mσ2 laue. Diesen Eigenschafen werden wir uns späer genauer widmen. Zunächs sei jedoch der Einfluss von Transakionskosen auf die Dynamik der CPPI vorgesell Einfache zeidiskree CPPI uner Transakionskosen Neben der prakischen Unmöglichkei, seig zu handeln beseh ein wesenliches Argumen in der Berachung zeidiskreer Sraegien im Vorhandensein von Transakionkosen. In diesem Abschni werden die Auswirkungen von Transakionskosen auf die Risikomaße der zeidiskreen CPPI unersuch. Wir berachen dazu Transakionskosen, die proporional zur absoluen Höhe der Umschichung in der risikobehafeen Anlage sind. Der Proporionaliäsfakor sei durch θ bezeichne. Transakionskosen in der risikolosen Anlage werden nich beache. Um die Eigenschaf der Selbsfinanzierung zu erhalen, gehen wir davon aus, dass der in die Akie invesiere Berag um die Transakionskosen geminder wird. Dies ensprich einer Minderung des Cushion

145 4.1 Handel gemäß des Werprozesses 133 um die Transakionskosen und erhäl somi die grundlegenden Eigenschafen der CPPI. 9 Eine Anpassung des Cushion um die Transakionskosen ergib für k =,..., n 1 C k+1 + = C k+1 θ mc S k+1 k+1 + mc k + S k wobei mc k+1 + den um die Transakionskosen geminderen Cushion zur Zei k+1 bezeichne, welcher sich aus Anpassung des invesieren Kapials mc k+1 ohne Transakionskosen ergib, d.h. mc k+1 + is das ab dem Zeipunk k+1 in die riskane Anlage invesiere Kapial. Wir nehmen weier an, dass auch bei Beginn in der Sraegie Transakionskosen anfallen, womi der anfängliche Cushion, der zur Besimmung des invesieren Kapials herangezogen wird, durch C + := 1 C 1+θm gegeben is. Gleichung in Verbindung mi ähnlichen Argumenen wie im Beweis zur Proposiion ergib für C k + > und θ < 1 m : 1 C k+1 + = C k + C k + oder anders dargesell als C k+1 + = C k + m S k+1 S k m 1 1+θ m S k+1 1+θm S k m 1 1+θm er T n 1 θ 1 θm m S k+1 S k m 1e r T n θm 1 + θm [ Sk+1 S k m 1 1 θm er T n for S k+1 S k e r T n for S k+1 S k < e r T n. ] + e r T n + θm [ e r T n 1 θm ] S + k+1 S k { } Sk Die Anpassung des Ausfall-Ereignis A k an die Transakionskosen ergib A k := S k 1 m 1 m1 θ er T n Ausgehend von obiger Dynamik für den Cushion und der Charakerisierung des Ausfalls lassen sich nun analog zur bisherigen Berachung die Risikomaße besimmen. Proposiion Risikomaße uner Transakionskosen Sei P LSF,TA die lokale Ausfallwahrscheinlichkei, P SF,TA die Ausfallwahrscheinlichkei und ESF TA der bedinge Verlus uner proporionalen Transakionskosen θ. Dann gil. i ii iii P LSF,TA = N d TA 2 θ P SF,TA = 1 1 P LSF,TA n E[C τ,ta T ] = C 1 + θm iv ESF TA = E TA 1 n + E2 TA C 1+θm ETA e rt E1 TA n 2 e r T n E1 TA P SF,TA e rt E TA 1 e r T n E TA 1 9 Dies ensprich auch dem von Black und Perold 1992 vorgeschlagenen Ansaz. 1 Die Bedingung θ < 1 m is echnischer Naur und besag, dass die Transakionskosen nich beliebig hoch sein dürfen, da die Sraegie sons rivialerweise keine Invesiionen in die Akie äig. n

146 134 CPPI Sraegien mi Handelsbeschränkungen mi d TA 2 θ := 1 θm ln m 1 +µ r T n 1 2 σ2 T n σ T n E1 TA 1 θ = E TA 2 = wobei e 1 := +m e µ T n [ µ r T n σ2 T n σ T n und E TA 1 bzw. E TA 1 gegeben durch m 1 θm eµ T n N d TA 1 θ m 1 1 θm er T n N d TA 2 θ 1+θ 1 θ 1+θm 1 θm N e1 m 1e r T n 1 θ 1 θm m eµ T n N d TA 1 θ m 1 1 θm er T n N d TA, e 2 := e 1 σ T n θm 1 θm N e2 2 θ ] und dta 1 θ := d TA 2 θ + σ Man beache, dass die oben erfolge Berachung der Sensiiviäen der Risikomaße gleich bleib. Die Transakionskosen haben keinen Einfluss auf das Verhalen der Risikomaße bezüglich der Sraegie- und Modellparameer. Wir wollen die Berachung der Transakionskosen mi einer kurzen Unersuchung der Konvergenz des Cushion bei posiiven Transakionskosen abschliessen. Inuiiv erware man, dass die Transakionskosen beim Übergang zur seigen Sraegie jegliche Gewinne verzehren. Dies basier auf Gleichung 4.1.4, aus welcher man sieh, dass der Cushion uner Transakionskosen aus dem Cushion ohne Transakionskosen abzüglich einer Kombinaion von Call- und Pu-Opionen beseh. 11 In seiger Zei ensprich dies also einer unendlich häufig zu leisenden Auszahlung dieser Opionen, wobei die Laufzei der einzelnen Opionen jeweils gegen Null geh. Der konkree Beweis beruh auf zwei Überlegungen. Zum einen konvergier die Ausfallwahrscheinlichkei auch uner Transakionskosen gegen. Zum anderen zeigen wir im Anhang in Lemma A.6.7, dass der erwaree Cushion einen Wer kleiner oder gleich Null besizen muss. Insgesam ergib, sich das der Cushion uner Transakionskosen im Grenzwer den Wer Null besiz. T. n Wir beschäfigen uns nun mi der Güe der zeidiskreen CPPI. Es sollen nowendige Bedingungen aufgezeig werden, aus denen sich eine effiziene Porfolio-Absicherung ergib. Wir nehmen an, der Mark sei durch die Parameer µ =.85, σ =.1 bzw..2 oder.3 und r =.5 beschrieben. Die Sraegie sei durch die Garanie der Kapialerhalung von 1. nach einem Jahr beschrieben, d.h. T = 1 und V = G = 1. Als Muliplier wählen wir die Were 8 und 1. Insbesondere is dami die in den früheren Kapiel hergeleiee nowendige Bedingung µ > r + m 2 σ2 jeweils verlez. Dies soll deulich machen, dass sich die aus der Diskreisierung ergebenden Risiken rozdem überschaubar bleiben. Zunächs sellen wir die Frage, inwiewei die zeidiskree einfache CPPI eine gue Approximaion der seigen einfachen CPPI und umgekehr darsell. Solle dies der Fall sein, rechferig es im nachhinein auch unsere bisherigen Überlegungen zu den Modifikaionen der CPPI in dem Sinne, dass eine Berachung der Eigenschafen der seigen Sraegie 11 Konkre handel es sich hier um einen so genannen Sraddle

147 4.1 Handel gemäß des Werprozesses 135 Momene und Risiko-Maße der zeidiskreen CPPI n m Erw. Sdabw. SF P ESF Tabelle 4.2: Momene und Risiko-Maße für σ =.1 bzw. σ =.2 und θ = Risiko der zeidiskreen CPPI mi 1%-iger Ausfallwahrscheinlichkei θ =. θ =.1 n m ESF m ESF Tabelle 4.3: Maximale Muliplier für implizie Ausfallwahrscheinlichkeien von 1% und σ =.1 σ =.2. auch Rückschlüsse auf die Eigenschafen der zeidiskreen Versionen zuläss. Es sei daran erinner, dass die Vereilung des Cushions der zeidiskreen einfachen CPPI gegen eine Lognormalvereilung konvergier, vgl. Proposiion Die Sraegie is also im Grenzwer eindeuig durch ihre ersen beiden Momene charakerisier. Diese finden sich in Tabelle 4.2 wieder, die diese und die Risiko-Maße für verschieden häufige Handelszeipunke n aufführ. Es sei an die Überlegungen zur kriischen Menge von Handelszeipunken erinner, ab der die Ausfallwahrscheinlichkei fallend is. Im Allgemeinen wird diese kriische Menge deulich zu klein sein, um eine effekive Absicherung zu erzielen. Eine Möglichkei, die Effizienz der zeidiskreen CPPI zu definieren, beseh darin, Mindesanforderungen an die Risiko-Maße zu sellen. Basierend auf den Monoonie-Eigenschafen lassen sich somi obere und unere Grenzen für die Sraegie-Parameer besimmen. Zur Illusraion berachen wir eine obere Grenze für das Ausfallrisiko in Tabelle 4.3. Insbesondere besimmen wir Kombinaionen von n, m, so dass die Ausfallwahrscheinlichkei den Wer von 1% nich überseig. Zusäzlich unerscheiden wir zwischen keinen Transakionkosen θ = und proporionalen Transakionskosen von 1%, d.h. θ =.1. Die angegebenen Muliplier bezeichnen eine obere Grenze, die Anzahl der Handelszeipunke eine unere Grenze für CPPI-Sraegien mi dem gewünschen Risikoprofil 12. Beachenswer 12 Man beache, dass naürlich zusäzlich die Bedingung n n überprüf werden muss, dami die Aus-

148 136 CPPI Sraegien mi Handelsbeschränkungen Abbildung 4.2: Vereilung des Endweres der zeidiskreen CPPI für σ =.1 bzw. σ =.2 und m = 8. is, dass bei niedriger Volailiä σ =.1, die CPPI bereis bei monalichem Rehedging und einem Muliplier 13 kleiner als die Kapialgaranie zu 99% sicher 14. Für hinreichend kleine Volailiäen is monaliches Hedging also ausreichend. Das Bild änder sich jedoch, falls eine Volailiä von σ =.2 angenommen wird und/oder bei zusäzlichen Transakionskosen. In diesem Fall muss enweder der Muliplier konservaiver gewähl werden oder eine höhere Rendie in der Akie vorliegen. Naürlich könne auch die Anzahl der Handelsage erhöh werden. Zum Abschluss sei eine simuliere Vereilung des Schlusskurses der einfachen CPPI gegeben. Abbildung 4.2 zeig die Diche einer zeidiskreen CPPI mi einem Muliplier von m = 8 bei einer Volailiä von σ =,1 bzw. σ =,2. Offensichlich is die Sraegie bei niedriger Volailiä links effekiv im obigen Sinne. Berache man sadessen eine Volailiä von,2, erkenn man, dass die Effekiviä nich gegeben is. Diese Szenarien lassen sich durch vorherige Überprüfung der Risikomaße vermeiden, ohne den recheninensiven Vorgang der Simulaion und den dami verbundenen Ungenauigkeien durchzuführen. fallwahrscheinlichkei auch wirklich sink für zusäzliche Handelsage. 13 Auch wenn der Muliplier von knapp 12 sehr hoch erschein, muss jedoch die Garanie beache werden. Es ergib sich folgendes anfänglich invesieres Kapial αv = mv F = e.5 1 = Für n = 12 and m = 11.84, sind Erwarungswer und Varianz außerdem dem einer Direkinvesiion in [ ] [ ] S die Akie sehr ähnlich. Für diese gil für σ =.1 σ =.2 E V T S S = , Var V T S = S and P V T S G =

149 4.2 Handel gemäß Dela-Hedge Handel gemäß Dela-Hedge Ausgehend von der Tasache, dass sich die einfache CPPI als Power-Konrak darsellen läss, sell sich die Frage, ob es sinnvoll is, anselle der vorherigen Diskreisierung eine auf dem Dela-Hedge des Power-Konrakes basierende Diskreisierung vorzunehmen. Eine Begründung, weshalb dies sinnvoll sein kann, beseh im Aufreen des Cash-Locks. Während die vorherige Diskreisierung, ähnlich einer Sop-Loss-Sraegie, im Falle eines Weres, der unerhalb des gegenwärigen Barweres der Garanie lieg, zukünfige posiive Invesiionsquoen in der Akie ausschließ, wird beim Dela-Hedge immer eine posiive Invesiionsquoe vorhanden sein. Der Vergleich mi der Sop-Loss-Sraegie nimm die unen folgenden Ergebnisse insofern bereis vorweg, als dass offensichlich is, dass die poeniellen Verluse nunmehr weiaus größer werden können. Da der Werprozess der seigen einfachen CPPI pfadunabhängig is, läss sich die Anzahl der zuhalenden Akien als Funkion des Akienkurses darsellen. Es gil: η = m C S = mv G Sm 1 e m 1r+ m S m 2 σ2 Somi läss sich eine Diskreisierung der Sraegie im Sinne eines Dela-Hedges uner Beachung der Selbsfinanzierung wie folg darsellen: Definiion Approximaion einfache CPPI Die Sraegie φ τ = η τ, β τ heiß -Approximaion einer einfachen CPPI falls für alle ] k, k+1 ] und k =,..., n 1 und gil. η τ := mv G Sm 1 k e m 1r+ m S m 2 σ2 k β τ := Ṽ τ k η k S k B k Wie erwähn, is hier im Gegensaz zur vorherigen Diskreisierung keine zusäzliche Bedingung an die Posiiviä der zu halenden Akien gesell, da per Definiion η τ > gil. Somi gil auch, dass unabhängig von der asächlichen Werenwicklung immer ein posiiver Besand an Akien gehalen wird. Auch wenn die Garanie unerschrien wird, bleib der Invesor in der risikobehafeen Anlage invesier. Zum einen geh er dami das Risiko auf weiere Verluse ein, andererseis biee sich ihm die Chance, Verluse zu kompensieren. Ausgehend von einer äquidisanen Zerlegung ergib sich für den Werprozess der Sraegie.

150 138 CPPI Sraegien mi Handelsbeschränkungen Proposiion Approximaion des Werprozess Für den Werprozess eines zeidiskreen -Hedges der einfachen CPPI gil: k m Ṽ τ k+1 = e r Si k+1 V + mv G e r+ m 1 σ 2 2 Si+1 i e r 1 S S i i= Beweis : Ausgehend von der Anzahl der zuhalenden Akien ergib sich k+1 = η τ τ k+1 S k+1 + Ṽ k η τ k+1 S k e r k =e r k+1 V + e i r η τ i+1 S i+1 e r S i Ṽ τ =e r k+1 =e r k+1 i= V + mv G V + mv G k e i= k i= i r Sm 1 i S m e m 1r+ m 2 σ2 i S i+1 e r S i m Si e r+ m 1 σ 2 2 Si+1 i e r 1 S S i Ensprechend ergib sich der Cushion C τ k+1 = C τ k e r Sk + mv G m e r+ S k = V G e r k m i= m 1 2 σ 2 k m Sk+1 S k e r m Si e r+ m 1 σ 2 2 Si+1 i e r 1 S S i Im Gegensaz zur auf dem Wer basierenden Diskreisierung ergib sich die Konvergenz des Werprozesses direk aus der Konvergenz der Sraegie. Der Werprozess läss sich als sochasisches Inegral bezüglich der Sraegie darsellen. Wie bekann is, folg für sochasische Inegrale aus der Konvergenz des Inegranden auch die Konvergenz des Inegrals. Für eine Darsellung dieser Ergebnisse im Bereich der Finanzmahemaik sei auf Duffie und Proer 1992 verwiesen. Im Gegensaz zur vorherigen Diskreisierung sind die Zuwächse des Werprozesses nich mehr unabhängig. In diesem Sinne lieg im Vergleich eine särkere Pfadabhängigkei vor. Zur Verdeulichung berachen wir die lokale Ausfallwahrscheinlichkei. Aus Gleichung ergib sich [ P Cτ k+1 C ] τ Sk+1 k = c = P S k e r ce r Sk m 1 r+ mv G m S e 2 σ 2 k m C τ k = c

151 4.2 Handel gemäß Dela-Hedge 139 Im Gegensaz zur ursprünglichen Diskreisierung is die lokale Ausfallwahrscheinlichkei weder konsan, noch von der vorherigen Werenwicklung unabhängig. Insbesondere führ dies dazu, dass es nich möglich is, die Ausfallwahrscheinlichkei und den erwareen Ausfall explizi zu besimmen. Abbildung 4.3: Erwarungswer der -Approximaion und der Wer-basierenden Approximaion in Abhängigkei der Handelsage und des Muliplier Es is jedoch möglich die Momene der Sraegie zu besimmen. Wir beschränken uns hier auf den Erwarungswer. Korollar Der Erwarungswer des zeidiskreen -Hedges einer einfachen CPPI is durch gegeben. E[Ṽ τ T ] = e rt V + e rt mv G e mµ rt 1 e µ r 1 e mµ r 1 Man beache, dass im Gegensaz zur auf dem Wer basierenden Approximaion der Erwarungswer der -Approximaion unabhängig von der Volailiä der Akie σ is. Im Gegensaz dazu is jedoch die Allokaion von der Volailiä abhängig. Dies läss sich ähnlich inerpreieren wie der Unerschied zwischen beschränker CPPI und OBPI. Während bei der einen OBPI die Invesiion von der angenommenen Volailiä abhängig is und dafür der Endwer eine Funkion des Akienkurses, is bei der anderen die Handlungsanweisung unabhängig von der Volailiä, jedoch is die Auszahlung von der Volailiä abhängig.

152 14 CPPI Sraegien mi Handelsbeschränkungen Beweis Korollar 4.2.1: n 1 E[Ṽ T τ ] = e rt V + e rt mv G i= n 1 = e rt V + e rt mv G i= [ m ] m 1 mr+ σ e 2 2 i Si E E S = e rt V + e rt mv G e mµ rt 1 e µ r 1 e mµ r 1 [ Si+1 S i ] e r 1 m 1 i mr+ σ e 2 2 mm 1 i mµ+ σ e 2 2 e µ r 1 Abbildung 4.4: Hisogramm für die Vereilung gesam und auf Verlus beschränk des Endweres der -Approximaion und der Wer-basierenden Approximaion 5. Pfade Eine Möglichkei um beide Diskreisierungen bezüglich der auf dem Ausfall basierende Risikomaße zu vergleichen, beseh in der Simulaion der -Approximaion. Es sei nochmals

153 4.2 Handel gemäß Dela-Hedge 141 darauf hingewiesen, dass die unbeschränke, einfache CPPI eine sehr hohe Kurosis besiz, was eine Simulaion üblicherweise ungenau werden läss, da selene Exremereignisse die Schäzung sark beeinrächigen. Dies war einer der Gründe, warum bislang auf Simulaionen verzichee wurde. Die Abbildung 4.4 und Tabelle 4.4 gib die simulieren Ergebnisse beider Approximaionen für einen Anlagehorizon von fünf Jahren und monalichen Anpassungen an. Zur Einschäzung der Güe der Simulaion sind zusäzlich, sowei möglich, die exaken Were angegeben. 15 Es zeig sich, dass die -Approximaion ein wei größeres Verlusrisiko besiz. Während der höhere erwaree Ausfall durchaus zu erwaren war, da die Sraegie durch die dauerhaf posiive Invesiionsquoe eine deulich größere Schwankungsbreie besiz, fäll auf, dass auch die Ausfallwahrscheinlichkei deulich größer is. Die oben genanne Moivaion, durch das Vermeiden des Cash-Locks von zukünfigen Gewinnen zu profiieren und somi möglicherweise einen Wer oberhalb der Garanie zu erzielen, is offensichlich irreführend. Die Abbildungen 4.3 zeigen zwar, dass die -Approximaion eilweise einen höheren Erwarungswer besiz. Uner der Annahme, dass die Prioriä bezüglich der Einhalung der Garanie lieg, is die Approximaion insgesam als ineffekiv abzulehnen. Risikomaß Werbasierend -Approximaion simulier analyisch simulier analyisch P SF,21%,21% 11,74% ESF unbeding,9,12 19,73 ESF beding 4,93 56,59 372,4 Erwarungswer Parameer:V = 1, G = 8, T = 5, σ = 2%, µ = 15%, r = 5%, n = 6 Tabelle 4.4: Simuliere Risikomaße der -Approximaion und der Wer-basierenden Diskreisierung 5. Pfade 15 Prinzipiell bieen sich diese Were als Konrollvariae im Rahmen der Varianz-Redukion einer Mone- Carlo-Simulaion vgl. Glasserman 24. Da die Ergebnisse eindeuig sind, haben wir darauf verziche.

154 142 CPPI Sraegien mi Handelsbeschränkungen 4.3 Ausfallwahrscheinlichkei der beschränken CPPI An dieser Selle wollen wir eine Approximaion für die Ausfallwahrscheinlichkei der beschränken CPPI in diskreer Zei angeben. Wir nehmen wiederum an, dass die Handelszeipunke äquidisan vereil sind, d.h. Handel erfolg zu den Zeipunken < 1 <... < N = T mi i = i T n. Die Approximaion beruh auf zwei Überlegungen. Zum einen, falls die obere Grenze für die Invesiionsquoe erreich wurde, handel es sich bei der seigen Sraegie um eine Buyand-Hold-Sraegie. Uner der Annahme, dass der im Abschni 3.1 definiere Prozess X zwischen zwei Zeipunken k und k+1 größer als Null is, ensprich die seige Sraegie also direk einer diskreen Version. Zum anderen gil, sofern die maximale Invesiionsquoe zum Zeipunk k nich erreich is, dass die Sraegie der einfachen CPPI ensprich. In diesem Fall finden die Überlegungen aus dem Abschni 4.1 Anwendung. Wir wir gesehen haben, konvergier die diskree Sraegie gegen die seige Sraegie. Insbesondere uner der Bedingung, dass der Cushion zum Zeipunk k posiiv is, läss sich somi die diskree einfache Sraegie durch die seige einfache Sraegie approximieren. Es sei daran erinner, dass für den zeidiskreen Cushion C τ uner der Bedingung C τ k > gil C τ k+1 = C τ k e r T n Sk m S k Eine Anwendung der Bernoullischen Ungleichung ergib e r T n 1. Sk+1 m. C τ k e r T n S k Auf der anderen Seie gil für die einfache Sraegie nach den Überlegungen in Abschni 2.1 C k+1 = C k e r T n Sk+1 S k Sk+1 m e r+ m 1 σ 2 2 T n m. C k e r T n S k Somi läss sich die Differenz zwischen seiger und diskreer Sraegie für C k = C τ k durch abschäzen. m C τ k+1 C k e r T Sk+1 n S C τ k+1 C k+1 C k e r T n k Sk+1 S k m C k+1

155 4.3 Ausfallwahrscheinlichkei der beschränken CPPI 143 Insgesam erschein es nahe liegend, den diskreen Prozess durch den zeiseigen im Zeipunk k zu approximieren, uner der Annahme, dass bis einschließlich k kein Ausfall erfolg is. Es bezeichnen C τ bzw. V τ den Cushion- bzw. Werprozess der diskreen beschränken CPPI und C bzw. V den Cushion- bzw. Werprozess der seigen beschränken CPPI. Dies führ uns zu Lemma Uner den obigen Annahmen gil für die Ausfallwahrscheinlichkei der beschränken CPPI in diskreer Zei Pk+1 LSF := P V τ k+1 G k+1 V τ k > G k m m 1 G k P V k x φ xσ T n ln G k x Dabei bezeichne φx die Diche der Sandardnormalvereilung. Beweis : vgl. Appendix µ r 1 2 σ2 T n dx σ Mi diesem Lemma und den Darsellungen der Vereilung der beschränken CPPI als Laplace- Transformaion darsellen. Sei dazu die lokale Shorfall-Wahrscheinlichkei der einfachen CPPI durch P LSF = N d 2 mi d 2 = ln m 1 m µ r 1 2 σ2 σ T n wie in Lemma besimm und Transformaionen läss sich die Ausfallwahrscheinlichkei nun ebenfalls explizi als Laplace- = T. Des Weieren sei die Ausfallwahrscheinlichkei eines Porfolio, das vollsändig in n die risikobehafee Anlage invesier is, durch Q LSF = N d mi d = ln G µ r 1 V 2 σ2 gegeben. Die Ausfallwahrscheinlichkei Q LSF folg direk aus der Vereilung des Akienkurses. Mi Korollar für die Vereilung der beschränken CPPI in seiger Zei ergib sich Theorem Die Ausfallwahrscheinlichkei der beschränken CPPI in diskreer Zei is für k > 1 näherungsweise durch Pk+1 LSF = P K LSF L 1 1 λ λ,t K 2 λ falls mv G V und P LSF k+1 = Q LSF +L 1 λ,t K 3 λ K 4 λ m + m K 2 λ σ e K 2 λ 2 K 2 λµ r 2 1 σ2 2 m 1 σ σ N d 2 K 2 m K 4 λ σ e K 4 λ2 K 4 λµ r 1 2 σ2 2 σ N d 2 K 4 N d K 4 m 1 K 6 λ σ m 1 K 5 λ e K 6 λ2 K 6 λµ r 2 1 σ2 2 σ K 6 λ N d 2K 6 + K 3λe 2x K 6 λ θ 2 +2λ N d K 6 }

156 144 CPPI Sraegien mi Handelsbeschränkungen falls mv G > V gegeben. Dabei seien d 2 x := ln G µ r xσ 1 V 2 σ2 σ Beweis : vgl. Appendix. m 1 ln m µ r xσ 1 2 σ2 σ und d x = In Analogie zum Abschni 4.1 ergib sich die gesame Ausfallwahrscheinlichkei aus den lokalen Ausfallwahrscheinlichkeien. Korollar Die Ausfallwahrscheinlichkei der beschränken, zeidiskreen CPPI is durch P SF = n i=1 P LSF i i 1 1 P LSF j=1 j mi P LSF 1 = P LSF, falls mv G V bzw. P LSF 1 = Q LSF falls mv G > V, gegeben. Beweis : Man beache, dass die Wahrscheinlichkei für keinen Ausfall durch 1 P SF = n i=1 gegeben is. Ausmuliplizieren ergib n 1 = i=1 1 P LSF i 1 P LSF i =... = 1 n i=1 P LSF n P LSF i i 1 j=1 n 1 i=1 1 P LSF i 1 P LSF j Die anfänglichen lokalen Ausfallwahrscheinlichkeien besimmen sich aus der Sarbedingung der Sraegie, d.h. ob anfänglich einer einfachen CPPI oder einer Buy-and- Hold-Sraegie gefolg wird. Abbildung 4.5 vergleich die Ausfallwahrscheinlichkei der beschränken mi der Ausfallwahrscheinlichkei der einfachen CPPI. Im Falle einer gerade 1%igen anfänglichen Invesiion in die Akie rechs sieh man, dass die Ausfallwahrscheinlichkei der beschränken CPPI in diskreer Zei unabhängig von der Anzahl der Handelsage deulich geringer is als bei der einfachen CPPI. Die linke Abbildung zeig, dass dieser Effek unabhängig vom Muliplier zu beobachen is und der Effek für große Muliplier deulicher wird. Im Gegensaz zur einfachen CPPI bedeue ein großer Muliplier, dass die Sraegie weiesgehend einer Buy-and-Hold-Sraegie ensprich. Für diese is die Ausfallwahrscheinlichkei aber deulich geringer als die Ausfallwahrscheinlichkei der einfachen CPPI.

157 4.3 Ausfallwahrscheinlichkei der beschränken CPPI 145 Abbildung 4.5: Ausfallwahrscheinlichkei beschränke CPPI in Abhängigkei vom Muliplier 1 Handelsage und den Handelsagen m = 5 Analog ließen sich nun auch die weieren Risikomaße des Abschnis 4.1 approximaiv für die beschränke CPPI herleien. An der hier erfolgen Argumenaion wird aber bereis ersichlich, dass die dor hergeleieen Maße bezüglich des Ausfallrisikos eine obere Schranke für die beschränke CPPI in diskreer Zei darsellen.

158 146 CPPI Sraegien mi Handelsbeschränkungen

159 Kapiel 5 - Fazi Im Rahmen dieser Arbei wurde versuch eine möglichs analyische Beschreibung verschiedener Modifikaionen der Consan Proporion Porfolio Insurance im Rahmen des Black- Scholes-Modells vorzunehmen. Im Zuge dessen wurden ökonomisch sinnvolle Risikomaße vorgesell und mahemaische Eigenschafen der geomerischen Brownschen Bewegung hergeleie. Die Modifikaionen leieen sich aus drei unerschiedlichen Ansäzen und Kriikpunken an der einfachen CPPI hervor. Zum einen wurden Wachsumsraen der Garanie berache, die sich von der risikolosen Rendie unerscheiden. Diese Modifikaion führe zum einen zur CPPI mi konsanem Floor und zum anderen zur CPPI mi Floor-Anpassung. Im ersen Fall is das Wachsum weierhin deerminisisch. Im zweien Fall pass sich die Garanie an den maximal erreichen Wer an. Eine zweie Modifikaion besand in der Berachung der CPPI uner Kredibeschränkungen, was zum einen ebenfalls eine Moivaion für die CP- PI mi Floor-Anpassung liefere und zum anderen zur beschränken CPPI führe, die sich als Kreuzung einer Buy-and-Hold-Sraegie und einer einfachen CPPI auffassen läss. Ein lezer Punk besand in der Berachung der CPPI uner Annahme diskreer Handelszeipunke und einer geeigneen Definiion der CPPI in diesem zeidiskreen Rahmen. Es zeige sich, dass man, ähnlich wie bei Opionen, nich allgemein von der CPPI Sraegie sprechen kann, sondern je nach Modifikaion verschiedense Merkmale aufreen, die sich häufig mi den Merkmalen ensprechender Opionen idenifizieren lassen. Ein erses Beispiel selle die einfache CPPI dar, welche sich als Power-Konrak darsellen ließ. Für die CPPI mi konsanem Floor ergab sich, dass sie Analogien zu Asiaischen Opionen besiz, was sich in der Bildung eines durchschnilichen Einsandskurses wiederspiegel. Ein wesenliches Ergebnis besand darin, dass durch die konsane Garanie ein besseres Invesiionsverhalen der Sraegie erreich wurde. Auf den Ergebnissen aufbauend haben wir zusäzlich gezeig, wie sich die Einzahlung einer periodischen Prämie in die einfache CPPI behandeln läss. Weierhin konnen wir für die CPPI mi Floor-Anpassung zeigen, dass das Verhalen der Garanie demjenigen einer Lookback-Opion ensprich. Ein Vergleich mi einer europäischen Opion erschien somi ausschließlich für die beschränke CPPI sinnvoll. Im Zuge der Inerpreaion der Auszahlungen als Opionen wurde deulich, dass im Gegensaz zu den opionsbasieren Sraegien bei der CPPI und ihren Modifikaionen keine anfängliche Prämie zu zahlen is, sondern dass diese koninuierlich über die Laufzei hinweg anfäll. Dadurch is es für die CPPI im Gegensaz zur OBPI auch nich nowendig einen fesen Anlagehorizon feszulegen. Die CPPI is in diesem Sinne Zei-invarian. Während bei der einfachen CPPI, der CPPI mi konsanem Floor und der CPPI mi Floor-Anpassung die 147

160 148 Fazi Prämie dauerhaf zu zahlen is, was zu einem Diskon der Akie und dami auch der Opion führ, is das Prämienverhalen der beschränken CPPI sochasisch. Die Prämie besimme sich aus der Dauer, während der gemäß den Vorschrifen der einfachen CPPI gehandel wurde. Falls der Hebel bzw. Muliplier hinreichend groß gewähl wird, läss sich somi im Gegensaz zur einfachen OBPI auch eine 1%-ige Parizipaion an den Kurszuwächsen der Akie erzielen. Da die beschränke CPPI mi wachsendem Muliplier als Approximaion der Sop-Loss-Sraegie aufgefass werden kann, ergab sich eine Inerpreaion der beschränken CPPI als Kreuzung zwischen der einfachen OBPI und der Sop-Loss-Sraegie. Im Vergleich zur Sop-Loss-Sraegie ergab sich dabei sowohl eine höhere erwaree Auszahlung als auch ein geringeres Cash-Lock-Risiko. Ein wesenliches Unerscheidungsmerkmal zwischen beschränker CPPI und OBPI ergab sich bei langen Anlagehorizonen. Während die OB- PI anfänglich nur geringe Invesiionsquoen besiz und bei Kursgewinnen der Akie nur langsam Kapial aufbau, erfolg dies bei der CPPI bezüglich der vorgeschlagenen Wahl des Hebels bereis zu Laufzeibeginn. Es zeige sich, dass es für die Effekiviä der CPPI wesenlich is, dabei die Beziehung zwischen Muliplier und Garanie auf Seien der Sraegieparameer und Rendie und Volailiä auf Seien der Modellparameer zu beachen. Zur Sicherung einer langfrisig hohen Invesiionsquoe und dami auch zur Sicherung einer über der risikolosen Anlage liegenden Rendie is es nowendig, dass die Beziehung m < 2µ r σ 2 gil. Um andererseis eine 1%-ige Parizipaion zu erzielen, ergab sich als Bedingung an den Muliplier m > V V G. Sofern beide Bedingungen erfüll sind, konne die Effekiviä der beschränken CPPI uner Berachung der Risikomaße gezeig werden. Andererseis zeigen die Überlegungen zur CPPI mi konsanem Floor, dass durch den Verzich der risikolosen Verzinsung der Garanie auch bei zwischenzeilichen Verlusen bereis in kurzen Zeiräumen wieder ausreichend hohe Invesiionsquoen erziel werden können. In Verbindung mi einer CPPI mi Floor-Anpassung solle auch hier ein ensprechendes Wohlverhalen der Sraegie beobachbar sein. Eine Unersuchung müsse jedoch im Rahmen einer Simulaionssudie vorgenommen werden, da die Pfadabhängigkei für eine analyische Beschreibung zu groß is, und biee die Möglichkei für weiere Unersuchungen. Im Gegensaz zur einfachen CPPI solle die Simulaion einer beschränken CPPI hinreichend genaue Ergebnisse liefern, da wir gezeig haben, dass die höheren Momene der beschränken CPPI deulich kleiner als die der unbeschränken sind. Während die beracheen Modifikaionen im Rahmen einer zeiseigen Sraegie zu jedem Zeipunk den gewünschen Floor garanieren, ergib sich durch die Beschränkung auf diskree, deerminisische Handelszeipunke das Risiko eines Ausfalls, d.h. eines Weres unerhalb des Floors. Die Bedeuung dieses Ausfallrisikos ergib sich aus prakischer Sich vor

161 149 allem aus dem folgenden Grund. Invesmenfonds, die explizi gemäß einer CPPI-Sraegie handeln und zusäzlich den Invesoren eine ensprechende Kapialgaranie geben, gewähren den Invesoren dami implizi eine Opion. Eine Bewerung dieser Opion kann mi den vorliegenden Ergebnissen direk vorgenommen werden, indem man den erwareen Ausfall uner dem Maringalmaß besimm. Der Voreil der CPPI in ihrer ursprünglichen Definiion in diesem zeidiskreen Rahmen gegenüber opionsbasieren Sraegien basier auf verschiedenen Gründen. Die Anwendung erforder ausschließlich den Wer der Sraegie am Handelsag und benöig keine Kennnis der Volailiä der Akie. Insbesondere is die Anwendung der Sraegie im Gegensaz zum Dela-Hedge einer opionsbasieren Sraegie unabhängig von den Modellparameern. Des Weieren ließen sich die ensprechenden Risikomaße leich aus der Unabhängigkei der Zuwächse besimmen. Um diese Voreile zu verdeulichen haben wir zusäzlich einen Dela-Hedge der CPPI basierend auf ihren Opionseigenschafen hergeleie. Es zeige sich, dass die ursprüngliche Definiion neben der erwähnen Einfachhei auch ein geringeres Ausfallrisiko besiz. Insgesam ergab sich aus den Berachungen die Nowendigkei einer weieren Bedingung an die Sraegie- und Modellparameer, die in der Spezifizierung eines maximalen Ausfallrisikos lag. Anhand von Beispielen haben wir jedoch gesehen, dass bereis eine vergleichsweise geringe Handelsfrequenz ausreich, um das Ausfallrisiko hinreichend klein zu halen. Abschließend konnen wir anhand einer Approximaion der beschränken CPPI zeigen, dass das Ausfallrisiko einer beschränken CPPI deulich kleiner is, und somi die bezüglich der einfachen CPPI erzielen Ergebnisse als obere Grenzen für das Ausfallrisiko berachen. Insgesam zeige sich, dass mi CPPI-Sraegien eine ähnliche Vielzahl von Eigenschafen wie bei opionsbasieren Sraegien erzielbar sind. Aufgrund ihrer vergleichsweise einfachen Allokaion bilden sie dabei eine sinnvolle Alernaive, vor allem uner dem Hinergrund des Modellrisikos, ausgedrück durch die Missspezifikaion der Parameer und möglichen Handelsbeschränkungen, und einer möglichen Unsicherhei über den Anlagehorizon.

162 15 Fazi

163 Anhang A - Beweise 151

164 152 Beweise A.1 Einige Inegralformeln Lemma A.1.1 Für alle c, k R, n 1 und x gil: x n 1 φc + k ln xdx = 1 k e nn 2ck 2k 2 N c + k ln x n k A.1.1 Beweis : Differenzieren der rechen Seie in A.1.1 ergib: 1 x k e nn 2ck 2k 2 N c + k ln x n = 1 k x e nn 2ck 2k 2 φ c + k ln x n k = 1 x e nn 2ck 2k 2 e 1 2 n2 k 2 2 n k c+k ln x φc + k ln x = x n 1 φc + k ln x Lemma A.1.2 Für alle c, k R, n 1 und x gil: nx n 1 N c + k ln xdx = x n N c + k ln x e nn 2ck 2k 2 N c + k ln x n k A.1.2 Beweis : Folg direk aus parieller Inegraion und Lemma A.1.1. Lemma A.1.3 Für alle c, d, k R, n und v x gil: v n c + d + k lnv x φc + k lnv xdv v x = vn k φc + k lnv x A.1.3 n n x i + i k i= d + n i k e n in i 2ck 2k 2 N c + k lnv x n i k Beweis : Folg nach einfachen, aber umfangreichen Umformungen aus der Differenzierung der rechen Seie. Lemma A.1.4 Für alle b, c, x, y R, R + und τ gil: = mi c b b + xb + y e 2π τ 3 τ 3 e b+x 2 2 τ b+y2 1 2π e 1 2x y 2 +c2xτ+2y τ cτ τ x y 2 + cx y 2τ + c 2 τ τ N g + 5 g = 2τ db A.1.4 xτ + y τ cτ τ τ τ x τ + yτ + cτ τ 2 φg τ τ

165 A.1 Einige Inegralformeln 153 Beweis : Sei gb := b+xτ+y τ c ττ. Umformen von A.1.4 ergib ττ = c b b + xb + y e 2π b+x 2 τ 3 τ 3 e 2 τ b+y2 2τ db b + xb + y 2π x y 2 +c2xτ+2y τ c ττ τ 3 τ 3 e 2 e 1 2 g2 b dbquad. Durch Subsiuion ergib sich = 1 x y 2 +c2xτ+2y τ c ττ 1 2π e 2 3 x y 2τ + 2c ττ + 2 τ τ g g α 2 e 1 2 α2 dα αe 1 2 α2 dα + x y2 + x yc 2τ + c 2 ττ 5 g e 1 2 α2 dα mi g = g, φxdx = N x, xφxdx = φx und x 2 φxdx = N x + xφx folg = 1 e x y2 +c2xτ+2y τ c ττ N g + gφg 2π 3 x y 2τ + 2c ττ + 2 φg τ τ + x y2 + x yc 2τ + c 2 ττ 5 1 N g. Weiere Umformungen ergeben die Behaupung.

166 154 Beweise A.2 Beweise zur OBPI Beweis Proposiion : Umformen, Einsezen der Vereilung für den Akienkurs und Anwendung von Lemma A.1.1 ergib E[V T n ] = E [ G + αs T Kα + n] [ n n = E[ G ] n i αs T Kα + i i i= n n = G n + G n i α i i i=1 n n i i = G n + G n i α i i j = G n + i=1 n i=1 was der Behaupung ensprich. s Kα i P [S T ds] Kα j= s i 1 Kα σ T φ i n i j= N i Kα i j ln s µ 1 2 σ2 T σ T G n i α i Kα i j j 1 µ+ e 2 σ2 jt j ln Kα + µ + 2j 1 σ 2 T 2 σ T Beweis Korollar : Aufgrund der Monoonie zwischen Parizipaionsrae und - level reich es aus, die Monoonie im Parizipaionslevel zu beweisen. Durch Einsezen der Anfangsbedingung für α läss sich der Erwarunsgwer für die OBPI wie folg darsellen: E[V T ] = G + C e rt eµt N d + µ KαN d µ e rt N d + r KαN d r mi d ± x = ln Kα+x± 1 2 σ2 T σ. Als hinreichende Bedingung für die Monoonie folg T Mi ext N d + x KαN d x Kα = N d x ergeben elemenare Umformungen als äquivalene Bedingung für µ > r. Mi fx := e xt N d + x N d x E[V T ] Kα e rt N d +r N d r N d +µ eµt N d µ ergib sich hierfür als hinreichende Bedingung fx x.

167 A.2 Beweise zur OBPI 155 Die Ableiung läss sich wie folg darsellen fx x T = T fx + e xt φd + xn d x φd xn d + x σ N d x 2 = N d +x T N d x σ ext σ T + φd +x N d + x φd x N d x Der Term außerhalb der Klammer is sicherlich posiiv, so dass es zu zeigen ausreich, dass auch der Term innerhalb der Klammer posiiv is, also σ T + φd x + σ T N d x + σ T φd x N d x φd x+σ T N d x+σ φd x T N d x σ T! 1 Mi Hz := φz N z is dies insbesondere dann erfüll, falls gil H z = Hzz + Hz 1 z R, Mi geeigneen Ungleichungen für die Mill s Raio 1 folg φz lim Hzz + Hz = lim z + φz z z N z N z } {{ } z lim z + z2 + 1 z z z = 1 Mi H z = Hz z + Hzz + 2Hz 1 > für alle z R folg die Behaupung. 2 1 Für x > gil: x x φx 1 N x 1 x φx vgl. z.b. Gordon Für x < folg aus der Symmerie x 1 x 2 φx N x + 1 x φx 2 Mi Hz > gil offensichlich H z > für alle z > 1. Für z 1 ergeben die Abschäzungen N z N + zφz für 1 z und N z < N + zφ für < z q die Abschäzung

168 156 Beweise A.3 Beweise zur CPPI mi konsanem Floor Beweis Proposiion 2.2.2: Es bezeichene V den Wer der CPPI mi konsaner Garanie und Ṽ den Wer der einfachen CPPI mi gleicher anfänglicher Garanie. Äquivalenzumformungen ergeben mc V > m C Ṽ mc Ṽ > m C V mc G + C > m C G + C m C + C r G 1 ds G + C C > m C G + C + C r G s m 1 + r G 1 ds Ge C r + C > m G + C + C r G s m 1 + r G 1 ds Ge C r > mg s 1 + r G 1 ds e C r > 1 s 1 ds C s 1 ds C s. Für r > gil leze Gleichung und somi auch die Behaupung. Beweis Proposiion 2.2.3: Mi θ := mµ m 1r 1 2 m2 σ 2 und gil zunächs einmal C n = n i= C = e θ+mσw C + r G n C n i rg i e nθ+mσw i e θs+mσws ds e θs+mσws ds i. Aufgrund der Symmerie der Brownschen Bewegung besiz der obige Term die gleiche Vereilung wie n i= n C n i rg i e n θ+mσw i i= e θs+mσws ds i. Die Anwendung von Korollar mi ς n, θ θ und σ σm ergib n [ n i ] E[C n ] = C n i rg i E e n θ+mσw e θs+mσws ds i i= n n = C n i rg i i! i c n θ m 2 σ 2 i m 2i σ 2i j,i = n i= j= i i n! rg n i! Cn i m 2 σ 2 c n θ m 2 σ 2 j,i j= e θ+ m 2 σ 2 n+j n+j 2 e θ+ m 2 σ 2 n jn j 2.

169 A.3 Beweise zur CPPI mi konsanem Floor 157 Beweis Korollar 2.2.1: Mi Proposiion folg 1 i i 1! rg E [C ] = 1 i! C1 i m 2 σ 2 i= j= =C c 1 θ m 2 σ 2, e θ+ m 2 σ 2 rg 2 + m 2 σ 2 c 1 θ m 2 σ 2 j,i e θ+ m 2 σ 2 1 j1 j 2 c 1 θ m 2 σ 2,1 e θ+ m 2 σ c 1 θ 1,1 m 2 σ 2. Mi c 1 m 2 σ 2, = 1, θ c 1 θ m 2 σ 2,1 = 2 1 θ 2 m 2 σ 1 2 σ 2 m 2 = mµ m 1r θ m 2 σ 2 und c 1 θ m 2 σ 2 1,1 = ergib sich die Behaupung. 2 1 θ m 2 σ 1 2 σ 2 m 2 = mµ m 1r = c 1,1 θ 2 m 2 σ 2 θ m 2 σ 2 Für den Beweis von benöigen wir zunächs ein Lemma, welches die Vereilung des Cushion der CPPI mi konsanem Floor in Beziehung zu einem Term sez, auf welchen wir die Proposiion bzw. das Korollar direk anwenden können. Lemma A.3.1 Sei T = m2 σ 2, W = W 4 und θ := 2 mµ m 1r 1 2 m2 σ 2. Dann gil m 2 σ 2 C e 2 θt + W T C + 4rG T e 2 θs+ W s ds. m 2 σ 2 Beweis : Nach is die Dynamik des Cushion durch C = e mµ m 1r 1 2 m2 σ 2 +mσw C + r G e mµ m 1r 1 2 m2 σ 2 s mσw s ds = e 2 θm 2 σ 2 mσ 4 2 C W r G e 2 θm 2 σ 2 s mσ 4 2 ds Ws gegeben. Aufgrund der Symmerie bzw. der Skalierungseigenschaf der Brownschen Bewegung und der Subsiuionsregel folg C e 2 θt + W T C + 4 T m 2 σ r G e 2 θs+ W s ds 2

170 158 Beweise Beweis Proposiion 2.2.4: Wir berachen zunächs die Variable auf die beding wird. Mi den Definiionen aus dem vorherigen Lemma gil S = S e µ 1 2 σ2 +σw S e µ 1 2 σ2 2 m W T + 2 m θt 2 m θt = S e 2 m θt + W T e µ 1 2 σ2 1 m mµ m 1r 1 2 m2 σ 2 = S e m θt 2 + W T e m 1 m m 1 r+ σ 2 2 Die Bedingung S = s is also äquivalen zur Bedingung θt + W T = m 2 ln S s + m 1 r + m σ2 =: ws 2 2 und somi nach obigem Lemma [ T ] P [C dc S = s] = P g e 2 θs+ W s ds dc θt + W T = ws mi gx := e 2ws C + 4rG x. Nach Korollar is m 2 σ 2 [ T ] a T ws, udu = P e 2 θs+ W s ds du θt + WT = ws die Diche des Inegrals und somi durch Subsiuion P [C dc S = s] = g 1 c at ws, g 1 c Einsezen von g 1 x = m2 σ 2 4rG e2ws x C und T = σ2 m 2 4 ergib = m2 σ 2 4rG e2ws a σ 2 m 2 ws, m2 σ 2 4 4rG e2ws c C.

171 A.4 Beweise zur beschränken CPPI 159 A.4 Beweise zur beschränken CPPI Beweis Lemma 3.1.3: Sei fz die Dichefunkion einer Zufallsvariablen Z. Wie allgemein bekann gil P [hz dz] = h 1 z fh 1 z für jede monoon wachsende Funkion h : R R mi Umkehrfunkion h 1. Angewand auf den Werprozess in und die Zufallsvariable X folg falls X > und hx = mg m 1 eσx m 1x ln h 1 mg x = σ h 1 1 x = σx hx = G m 1 emσx m 1x G ln h 1 G x = mσ h 1 1 x = mσx G für X. Die Behaupung folg durch Einsezen. Die beiden nächsen Beweise besehen im wesenlich aus dem Inegrieren der Dichefunkion für den Prozess X und geeigneen Fallunerscheidungen. Dabei is zu beachen, dass die Inverierung der Laplace-Transformaion dem Lösen des Bromwich-Inegrals L 1 λ, {F λ} = 1 2πi γ+i γ i e γ F λdλ für γ > max k Rz k, mi z k Singulariä von F, ensprich und somi die Inegraionsreihenfolge für geeignees λ verausch werden kann. Dies is insbesondere deswegen zulässig, weil K 2 λ und K 4 λ unbeschränk monoon wachsend und K 6 λ und K 8 λ unbeschränk monoon fallend in λ sind und das Bromwich-Inegral somi wohldefinier is. Im Folgenden verzichen wir auf die Darsellung des funkionalen Zusammenhangs zwischen den Funkion K i und λ und schreiben sa K i λ kürzer K i. Beweis Korollar 3.1.4: Wir berachen zunächs den Fall mc > V X >. Mi

172 16 Beweise Theorem und gil für v mg m 1 P [V v] = P [G m 1 eσmx [ = P X 1 = L 1 λ, = L 1 λ, ] v ] σm ln vv G G { 1 } σm ln m 1v G G K 1 e xk 2 dx { K 1 K 2 m 1v G G } K 2 σm Für m G m 1 < v V e r < x x ergib sich zunächs m P [ m 1 G < V v] [ =P < X 1 ] m 1v ln σ mg { 1 } m 1v ln σ mg K 3 e xk 4 + K 5 e xk 6 dx =L 1 λ, =L 1 λ, { K 3 K 4 m 1v mg K 4 σ + K 5 K 6 m 1v mg } K 6 σ K 3 K 5 K 4 K 6 und wegen K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 = gil somi für m m 1 G < v V e r P [V v] = L 1 λ, { K 3 K 4 m 1v mg K 4 σ + K 5 K 6 m 1v mg K 6 σ } Es verbleib der leze Fall v > V e r x > x. Wiederum berachen wir zunächs die Wahrscheinlichkei für das Inervall P [V e r < V v] [ =P x < X 1 ] m 1v ln σ mg { 1 } m 1v ln σ mg K 5 + e 2x θ 2+2λ K 3 e xk 6 dx =L 1 λ, =L 1 λ, x { K 5 + e 2x θ 2 +2λ K 3 m 1v K 6 σ e x K 6 } K 6 mg Mi K 3 K 4 e x K 4 K 3 K 6 e 2x θ 2+2λ+x K 6 = 1 ergib sich λ P [V v] = 1 λ + K 5 + e 2x θ 2+2λ K 3 m 1v K 6 mg K 6 σ

173 A.4 Beweise zur beschränken CPPI 161 und der Beweis is für mc > V abgeschlossen. Weiesgehend analoge Rechnungen liefern für mc < V : v < V e r : P [V v] = L 1 λ, v [V e r m, G m 1 ] : P [V e r < V v] = L 1 λ, v > m G m 1 : P [ m m 1 G < V v] = Summieren ergib die Behaupung. + K 5 { { K 5 +e 2x θ 1 2+2λ K3 K 6 K 3 K 4 e x K 4 e K x K 6 6 { L 1 λ, K 1 K 2 1 K 6 m 1v G σm G K 4 m 1v G σm G K 6 m 1v G σm G } K 2 m 1v σ mg Beweis Korollar 3.1.5: Sei mc V. Nach Lemma und Theorem ergeben sich drei unerschiedliche Bereiche für die Dichefunkion und die Momene lauen m E[VT n m 1 G T V e rt ] = v n P [V dv] + v n P [V dv] + v n P [V dv] m G } T {{ } m 1 G T V e } {{ } } rt {{ } =:A =:C A, B und C lassen sich als Inverse der Laplace-Transformaion durch Einsezen der Dichefunkion, Verauschen der Inegraionsreihenfolge und geeigneen Subsiuion besimmen A = L 1 λ, = L 1 λ, = L 1 λ, = L 1 λ, { G T m 1 =:B v + G T n K 1 m 1 σmv G T { n n m 1 i i= { n n i= { n i= i n i G n i T G n i T G n T K 1 σm G T m 1 K 1 σm K 1 K 2 + iσm G T } K 2 σm v dv K 2 σm G T m 1 K 2 σm 1 m 1 σm K 2 + iσm } i v K 2 +iσm σm 1 dv } K i+ 2 } GT σm m 1 } } B = L 1 λ, = L 1 λ, { V e rt { m m 1 G T K 3 K 4 + σn v n K 3 σv m 1 mg T m 1 K 4 σ K 5 v + mg T σv K 4 σ v n+ K 4 σ V e rt v= m m 1 G T } m 1 K 4 σ v dv mg T + K 5 K 6 + σn m 1 mg T K 6 σ v n+ K 6 σ V e rt v= m m 1 G T }

174 162 Beweise C = L 1 λ, = L 1 λ, { { v n K 5 + K 3 e 2x V e σv rt K 5 + K 3 e 2x K 6 + σn θ 2 +2λ θ 2 +2λ } m 1 K 6 σ v dv mg T m 1 K 6 σ v V e } rt n+ K 6 σ mg T. Dabei is zu beachen, dass im C-Term der Wer der Sammfunkion an der oberen Inegraionsgrenze für hinreichend großes λ mi K 6 λ < gerade beräg. Analog zum Beweis von Korollar lassen sich die Terme durch Ausnuzen der Beziehungen zwischen den K i zusammenfassen n m B + C = m 1 G K3 T K 4 + σn + K 5 K 6 + σn K4 m 1 σ mg V + K 3 V e rt n K 4 + σn e2x θ 2 +2λ m 1 K 6 + σn n m = m 1 G K3 T K 4 + σn + K 5 K 6 + σn n m = m 1 G K3 T K 4 + σn + K 5 + K 6 + σn und es ergib sich die Behaupung für mc V. Für mc < V gil mi V e rt E[VT n ] = Ã = L 1 λ, B = L 1 λ, C = L 1 λ, n v n P [V dv] G } T {{ } =:Ã n G n i T i i= n n G n i T i i= { K 1 nσ K G n T 2 + m m 1 G T v n P [V dv] V e } rt {{ } =: B K 5 + K 3 e 2x θ1 2+2λ iσm K 6 K 3 m 1 G T K 4 σm iσm K 4 m } n m 1 Zusammenfassen vollende den Beweis. v i K 4 m 1 G T σm + K5 K6 σ mg V 2V e rt n K 4 + σnk 6 + σn V e rt n λ µ rn 1 nn 1σ2 2 + m v n P [V dv] m 1 G T } {{ } =: C K6 σm K6 V e rt i σm G T m 1 G T K 6 σm iσm K 6 v i K 6 σm 1 m 1 G T v=e r V G

175 A.4 Beweise zur beschränken CPPI 163 Beweis Proposiion 3.1.1: Die obere Grenze für den Prozess X is durch X X U = X + θ + W gegeben. Umformen ergib e σx e σxu = e σx S S e r. Insbesondere is die Bedingung X U äquivalen zur Bedingung S S e r e σx. Gleichung aus Theorem liefer m m 1 V G eσxu X U m 1 eσmxu X U < und somi durch Einsezen m m 1 V G eσx S S e r S S e r e σx m e σx S m 1 S e r sons Aus der Definiion von X in Gleichung { 1 σ X = ln m 1V mg mc V 1 ln m 1C mσ G mc < V folg jeweils die Behaupung für obere Grenze. Die Herleiung für die unere Grenze ergib sich analog aus X X L = x + θ 1 + W. Beweis Lemma 3.1.7: Zunächs einmal gil: S = s W = 1 ln s µ 1 σ S 2 σ2 =: s Des Weieren ergeben die Überlegungen aus dem Beweis zu Proposiion uner den jeweiligen Bedingungen an S = s V = V U X = X + θ + s und V = V L X = X + θ 1 + s.

176 164 Beweise Einsezen in Lemma uner Verwendung der Definiion von X ergib die Behaupung. Für den ersen Fall ergib sich exemplarisch P [ V = V U S = s ] = 1 e 2X X +θ + s = 1 e σx 2X +θ + s σ m 1V = 1 mg 2 σ 2 ln m 1V mg +µ r 1 2 σ2 +ln s m 1 S 2 σ2 Zusammenfassen ergib die Behaupung. Der zweie Fall folg analog..

177 A.5 Beweise zur CPPI mi Floor-Anpassung 165 A.5 Beweise zur CPPI mi Floor-Anpassung Beweis Korollar 3.2.1: Wir berachen zunächs den Fall v < V e r. In diesem Fall gil P [ G m ωv] und die Ableiung beschränk sich auf das Inegral in der m Vereilungsfunkion. Mi Lv, v = folg N Lv, v = und φlv, v = und es ergib sich v v = = 2 σωv + v v G e r 2 v G e r G e r 2 σωx 2θ x ωσ φlv, x θn Lv, x dx G e r σωx 2θ ωσ φlv, v θn Lv, v 2θ x ωσ L v φlv, x v, xlv, x θl v v, xφlv, x dx G e r 2L v v, xφlv, x G e σωx r 2θ x ωσ Lv, x θ dx G e r Mi L v v, x = 1 v xσ folg die Behaupung. Für v > V e r muss neben der Wahrscheinlichkei für die Garanie auch die unere Inegralgrenze beache. Analoge Rechnungen wie oben ergeben v P [G m ω v m v] + 2 x m ω m v σωx G e r v 2θ = 2Lv v, xφlv, x x ωσ Lv, x θ dx m ω m v σωx G e r 2θ 2m m ωv ωσ φlv, m ω v m θn L v, m ω σωm ωv mg e r m + ln v 2θ V N e v r v ωσ θ ωσ ln V e r N v V e r ωσ θ 2θ ωσ φlv, x θn Lv, x dx v Uner Verwendung von Lv, m ω Ve ln v v = m ωσ θ folg nach einfachen, aber länglichen Kalkulaionen, dass die beiden lezen Terme vom Berag idenisch sind und sich somi aufheben. Dami folg die Behaupung. Beweis Proposiion 3.2.3: Die Besimmung der Momene implizier die Einführung eines weieren Inegrals. Die Abbildung A.1 illusrier, wie in diesem Falle die Inegrale r verausch werden können. Seien dazu gx und hx monoon wachsende Funkionen. In diesem Fall gil: b hx fx, ydydx = hb b g 1 y fx, ydxdy. Somi gil für das a gx ga a h 1 y

178 166 Beweise Abbildung A.1: Geomerische Inuiion zur Verauschung der Inegralgrenzen n-e Momen E[V n ] = = = G e r v n P V dv] G e r G e r v m ω m v G e r 2 2θ x ωσ G e r σ 2 mωx 2v n 2θ x ωσ G e r σ 2 mωv xx m m ω x x v n v x Lv, x + θ φlv, xdxdv Lv, x + θ φlv, xdvdx Mi Lemma A.1.1 folg für das innere Inegral m m ω x x =σm v n v x [ Lv, x + θ φlv, xdvdx v n φlv, x + n i= n x i θ + n iσm N Lv, x n iσm i n i m+ω mσ n iσmθ+ x e 2 n i ω G e r ωg e r m ω n i ] m m ω x v=x

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