Ko- und kontravariante Darstellung

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1 Ko- und kontravarante Darstellung Physkalsche Sachverhalte snd vom verwendeten Koordnatensystem unabhängg. Sehr oft st es snnvoll, se n verschedenen Koordnatensystemen darzustellen. Berets erwähnt wurden kartessche Koordnaten, Zylnderkoordnaten, Kugelkoordnaten etc. Wchtg st dabe auch de Beschrebung des Wechsels von enem Koordnatensystem zum anderen. Ene wetere damt zusammenhängende Frage st de nach der mathematschen Form von Invaranten, das snd Größen, de sch bem Wechsel des Koordnatensystems ncht ändern. En sehr enfacher Fall enes Wechsels von enem Koordnatensystem zu enem anderen wäre etwa ene Translaton (Verschebung). En weterer berets erwähnter Fall st de Drehung enes kartesschen Systems um ene Achse durch den Ursprung. Deser Übergang wrd durch ene orthogonale Transformaton beschreben. Allgemenere Transformatonen legen vor, wenn man von enem kartesschen oder krummlngen System zu anderen solchen Systemen übergeht. Betrachten wr nun zwe Koordnatensysteme, en u-system und en v- System, wo de Koordnaten mt Symbolen mt hochgestellten Indzes bezechnet werden : u, u 2, u 3,... bzw. v, v 2, v 3,.... (Dese Schrebwese hat sch n den her zu dskuterenden Sachverhalten als günstg erwesen. Allerdngs glt es dabe, de Verwechslung mt Potenzen zu vermeden.) Ene Transformaton m 3-dmensonalen Raum hat n deser neuen Notaton de Form v = f (u, u 2, u 3 ), =, 2, 3 mt der Umkehrtransformaton u k = h k (v, v 2, v 3 ), k =, 2, 3 Wenn wr de Dfferenzerbarket der v und u k annehmen, st wegen der Umkehrbarket de Jacob-Determnante unglech Null.

2 Damt kann bespelswese dann auch de Bezehung zwschen den Dfferentalen ausgedrückt werden (Summenkonventon) dv = v k du k Im besonderen kann auch der Ortsvektor mt Hlfe der beden Koordnaten u oder v dargestellt werden. r = r(u, u 2, u 3 ) = r(v, v 2, v 3 ) Das totale Dfferenzal des Ortsvektors kann daher auf bede Arten geschreben werden, dr = du + 2 du du 3 = du dr = v dv + v 2 dv 2 + v 3 dv 3 = v dv (Summenkonventon) Mt vorher ergbt sch k du k = dr = v dv = v v k du k und mttels Koeffzentenverglech k = v v k. Bemerkung. Durch werden de Tangentenvektoren an de Koordnatenlnen der u k k defnert, k = h u ke u k (her kene Summaton über k) Folglch erhalten wr h u ke u k = k = v v k = h v v k e v und damt de Bezehung der Tangentenvektoren zwschen den u k -Koordnaten und den v -Koordnaten. De Vektoren e u k und e v blden (sehe vorher) jewels en Basssystem, wenn sch de entsprechenden Koordnatenlnen n jedem Raumpunkt unter enem Schnttwnkel α 0 schneden. Verzchtet man darauf, normerte Enhetsvektoren als Bassvektoren zu 2

3 haben, kann man statt der Vektoren e u k bzw. e v auch de Vektoren bzw. k v als Bassvektoren verwenden. Dese Bass heßt de kontravarante Bass und der von hr aufgespannte Vektorraum heßt der Tangentalraum. Anschaulch kann man sch den Tangentalraum an enem Punkt auch vorstellen als aufgespannt durch de Menge aller Tangenten zu belebgen Kurven durch den betrachteten Punkt. De Dmenson st dabe durch de Anzahl der lnear unabhänggen Rchtungen gegeben. Bemerkung. Der Begrff des Tangentalraums spelt be sogenannten dfferenzerbaren Manngfaltgketen ene wesentlche Rolle. Ene n-dmensonale dfferenzerbare Manngfaltgket st en Raum, welcher lokal (!) we ene offene Menge des R n ausseht (d.h. lokal kann jewels en n-dmensonales Koordnatensystem engeführt werden). Dabe snd de Koordnatentransformatonen auf jewels zwe sch überlappenden offenen Mengen des R n durch n beden Rchtungen stetg dfferenzerbare Abbldungen gegeben. Bespele für 2-dmensonale dfferenzerbare Manngfaltgketen wären etwa de Kugeloberfläche oder der Torus. Man beachte, dass es für dese Räume ken globales Koordnatensystem gbt (n dem Snne, dass dese Räume global ncht we ene offene Menge des R 2 aussehen). In der Relatvtätstheore werden 4-dmensonale dfferenzerbare Manngfaltgketen untersucht (Raum-Zet-Kontnuum). En Tangentalvektor A hat n der Bass der u k -Koordnaten de Form A = A + A A 3 3 = A mt den Komponenten A. Auch her snd de Indzes hochgestellt. Dabe handelt es sch allerdngs um Vektorkomponenten und ncht um Koordnaten. Dese Komponenten heßen kontravarante Komponenten und A en kontravarantes Vektorfeld. Deses wrd, we glech erwähnt wrd, durch sene Transformatonsegen- 3

4 schaften unter Koordnatentransformatonen charaktersert. Daneben gbt es noch Vektoren mt tefgestellten Indzes (kovarante Komponenten) mt anderen Transformatonsegenschaften. Bezüglch der Transformatonsegenschaften der kontravaranten Komponenten zegt sch ( ) A = A A vk = = A v k v k = v k Âk v k. Also snd  k = vk A = α k A v-koordnaten. de Komponenten von A m System der Bemerkung. De Summenkonventon wurde her etwas modfzert. Zuvor wurde über enen Index summert, der jewels enmal hochgestellt und enmal tefgestellt vorkommt. Deses Schema st typsch für de Schrebwese mt kontravaranten und kovaranten Indzes. Bespel. Wr betrachten zwe Koordnatensysteme u, u 2 und v, v 2, wobe r = (u + 2u 2, u ) = (v, 3v 2 ) (her kene Potenzen!) Dann st u = 3v 2, u 2 = 2 (v 3v 2 ) und v = u + 2u 2, v 2 = 3 u. Oder ( u u 2 ) = ( 0 3 /2 3/2 ) ( v v 2 ), ( v v 2 ) = ( 2 /3 0 ) ( u u 2 ) Wr erhalten = (, ), 2 = (2, 0), v = (, 0), v 2 = (0, 3) Hat nun en (Tangental)Vektor A m u u 2 -Koordnatensystem de Komponenten A = 5, A 2 =, dann ergbt sch für de Komponenten m v v 2 -System  = v A + v 2 A 2 = = 7  2 = v2 A + v2 2 A 2 = = 5 3 4

5 Man überprüft sofort A = A = (7, 5) = Â v Im Kaptel über Basssysteme krummlnger orthogonaler Koordnaten wurde ene wetere Darstellung für de Bassvektoren mttels des Gradenten angegeben. Umgeschreben auf de Notaton mt hochgestellten Indzes lautet dese Relaton e u = h u u (her kene Summaton über!) Be allgemenen (also.a. ncht orthogonalen) Koordnaten wrd de Rchtung der Gradentenvektoren ncht mmer mt den Rchtungen der Tangentalvektoren (den ) überenstmmen. Man hat n desem Fall dann zwe unterschedlche Basssysteme. Verwendet man nun als Bassvektoren u bzw. v, dann bezechnet man dese Bass als kovarante Bass. Dese unterschedet sch m allgemenen von der kontravaranten Bass. Bemerkung. De kovarante Bass spannt den Dualraum zum Tangentalraum auf. Aus desem Grund sagt man auch, dass de beden Basen dual zuenander snd (wel se zuenander duale Räume aufspannen). En Vektor A hat bzgl. der kovaranten Bass de Form A = A u + A 2 u 2 + A 3 u 3 = A u (De Komponenten enes Vektors n der kovaranten Bass werden mt tefgestellten Indzes gekennzechnet) Bespel. Im zuvor besprochenen Bespel drücken wr de Koordnaten u und u 2 zuerst durch kartessche Koordnaten x und y aus. Dann st u = y und u 2 = 2 (x y). De Bassvektoren des kovaranten Systems werden nun durch de Gradenten bestmmt. u = ( x, y ) = (0, ), u2 = ( 2 x, 2 y ) = ( 2, 2 ) 5

6 Her unterscheden sch also de kontra- und de kovaranten Bassvektoren. Nun untersuchen wr de Transformaton der Komponenten n der kovaranten Bass. Zur Ernnerung: Bem Übergang auf das Basssystem der v -Koordnaten transformerten sch de kontravaranten Komponenten von A mttels  k = α k A mt α k = vk Se nun A = A u + A 2 u 2 + A 3 u 3 =  v + Â2 v 2 + Â3 v 3. A u = A x x 2 x 3 = A = A v v + A v 2 v 2 + A v 3 v 3 v v x + v 2 v 2 x + v 3 v 3 x v v x 2 + v 2 v 2 x 2 + v 3 v 3 x 2 v v x 3 + v 2 v 2 x 3 + v 3 v 3 x 3 = Damt st A = A u + A 2 u 2 + A 3 u 3 = = A v v + A v 2 v 2 + A v 3 v 3 + +A 2 2 v v + A 2 2 v 2 v 2 + A 2 2 v 3 v 3 + +A 3 3 v v + A 3 3 v 2 v 2 + A 3 3 v 3 v 3 Folglch st  k = A v k + A 2 2 v k + A 3 3 v k = β k A mt β k = v k De Größen α k = vk und β k = transformeren also Vektoren zwschen v k den verschedenen Koordnatensystemen. Offenbar glt βk mαk = m v k v k = m = δ m (δ m... Kroneckersymbol) Wr erhalten weters  j = α j na n β jâj = β j αj na n = δ na n = A 6

7 Zusammengefasst: A = β jâj, Â = α j Aj, A = α j Âj, Â = β j A j Durch das drekte Produkt zweer Vektoren (Tensoren. Stufe) entsteht en Tensor 2. Stufe. Man kann her we zuvor vorgehen und kovarante und kontravarante Komponenten von Tensoren zweter und höherer Stufe blden, T k = A B k. Für das Transformatonsverhalten vom u-system zum v-system ergbt sch dabe kontravarante Komponenten: ˆT k = Â ˆBk = α l αk ma l B m = α l αk mt lm kovarante Komponenten: ˆTk = Â ˆB k = β l βm k A lb m = β l βm k T lm Es snd auch gemschte Darstellungen möglch, be denen sch de Komponenten entsprechend der Poston der Indzes transformeren, ˆT k = Â ˆBk = α l βm k Al B m = α l βm k T l m Bemerkung. Es handelt sch her mmer um de Komponenten en- und derselben physkalschen Gr ße. Es wrd nur der dese Größe beschrebende Tensor unterschedlch dargestellt. De Stufe des Tensors entsprcht dabe mmer der Gesamtzahl sener nchtverjüngten Indzes. Nach der her verwendeten Konventon, de Summaton nur jewels auf en Paar bestehend aus enem kovaranten und enem kontravaranten Index anzuwenden, kann man nur gemschte Tensoren verjüngen. T k T = S oder T k l T k = A k Bespel. Der Ausdruck S = A B st en Skalar. Dabe snd de A kontravarante und de B kovarante Komponenten von Vektoren A und B m u-system. Bem Koordnatenwechsel n das v-system erhalten wr 7

8 Ŝ = Âk ˆBk = (α k A )(β l k B l) = α k βl k A B l = δ l A B l = A B = S Das auf dese Art defnerte Skalarprodukt blebt also nvarant! Bemerkung. Der ϵ-tensor (auch mt mehr als dre Indzes) wrd als kontravaranter Tensor behandelt ϵ k k 2...k n. We kann man nun aus den kontravaranten Komponenten enes Vektors de kovaranten Komponenten (und umgekehrt) bestmmen? De gesuchte Bezehung hat de Form A = g j A j oder A = g j A j. Dabe st g j der so genannte metrsche Tensor (oder auch Maßtensor). Er hat zwe kovarante Indzes, und ener davon zeht glechsam den kontravaranten Index A j nach unten. Deses Verhalten soll nun für alle Tensoren gelten,.e. g j T jk = T k oder g j T j k = T k oder g j T jk = T k etc. Angewandt auf den metrschen Tensor selbst, muss es daher den metrschen Tensor auch mt zwe kontravaranten Indzes oder auch mt enem kovaranten und enem kontravaranten Index geben. Wr erhalten g jl g kl = g k j g k g jl g kl = g k g k j = g j. Weters st g j = g k g j k folglch g j k = δj k g jg jk = g k = δ k. Als Matrx betrachtet st der kontravarante metrsche Tensor also de nverse Matrx des kovaranten metrschen Tensors. Bemerkung. En nvaranter Ausdruck kann mt Hlfe des metrschen Tensors offenbar auch folgendermaßen geschreben werden: A A = g j A j A = g j A A j Daraus seht man auch, dass der metrsche Tensor symmetrsch st. 8

9 Das Quadrat des totalen Dfferenzals der Bogenlänge st en nvaranter Skalar und hat daher n jedem System denselben Wert. (ds) 2 = dr dr = ( du ) ( j du j) = ( j ) du du j Setzen wr g j = ( j ) = (eu e u j)h u h u j, dann stellt sch durch drekte Rechnung heraus, dass de geforderten Egenschaften erfüllt snd und wr auf dese Wese den metrschen Tensor ermttelt haben. Damt glt also (ds) 2 = g j du du j. Für orthogonale Systeme st e u e u j = δ j und der metrsche Tensor wrd dagonal. Folglch (ds) 2 = h 2 u (du ) 2. Be ncht-orthogonalen Systemen wrd es Mschterme geben. Bespel. Als System der u-koordnaten nehmen wr das kartessche Basssystem, also u = x. De kontravarante Bass der wrd dann durch de kanonschen Enhetsvektoren e gebldet. Für das v-system wählen wr Zylnderkoordnaten ρ, φ und x 3 und erhalten n desem Fall für de kontravaranten Bassvektoren : v k cos φ ρ sn φ 0 ρ = sn φ, φ = ρ cos φ, x = Der metrsche Tensor für das kartessche System st de Enhetsmatrx (g j = δ j ) und für das (ebenfalls orthogonale) System der Zylnderkoordnaten ĝ j = ρ Bemerkung. In der spezellen Relatvtätstheore haben de Vektoren ver Komponenten, ene für de Zet und dre räumlche. Im Falle ener 9

10 flachen Raum-Zet kann der metrsche Tensor als Dagonalmatrx mt den Komponenten g j = g j = dag(,,, ) geschreben werden. Dese Metrk heßt auch de Mnkowsk Metrk. 0