1 Elementare Finanzmathematik

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1 Elemetare Fazmathemat 4 Elemetare Fazmathemat Zel: Bewertug ud Verglech atueller ud zuüftger Geldströme. Determstsche Zahlugsströme Defto: E determstscher Zahlugsstrom st ee Futo Z: N R, de jedem Zetput N ee Zahlug zuordet. Dabe bezeche poste Werte E- ud egate Auszahluge auf bzw. aus dem Guthabe des Betrachters. Bespel: Jhrlch um % stegede, am Ede des Jahres gelestete Ezahluge (Zetrete) über Jahre beged mt., ach dem erste Jahr. Z()., (-), für {, 2,..., }, Z() sost 25 2 Z() Frage: Was st dese Rete zum Zetput Wert?

2 Elemetare Fazmathemat 5 Bezechuge: B, S Kaptal zu Beg ud zum Ede der betrachtete Perode p Zsfuß Prozet p Zssatz, effeter Zs für e Jahr auf Kaptal r + Aufzsugsfator + Abzsugs- oder Dsoterugsfator d jhrlche Dsotrate (Umformuge: r + d ) Arte der Verzsug: Efache Verzsug über Zetschrtte (wrd be Verscheruge üblcherwese be Berechug moatlcher Verzsug aus Jahreszs erwedet): S B + B B B (+ ) mal Verzsug mt Zseszs über Zetschrtte (wrd be Verscheruge üblcherwese be Berechug mehrjhrger Verzsug): S B (+ )... (+ ) B (+ ) mal Bede Methode zusamme ergbt de gemschte Verzsug über Jahre ud m Moate: S B (+ ) (+ m 2 ) Defto: (Barwert, Edwert ees determstsche Zahlugsstroms) Bezeche mt Z + max(z, ) bzw. Z m(z, ) de Post- bzw. Negattel des Zahlugsstroms. Als Barwert bezechet ma de Summe der jewels auf de Zetput abgezste Futoswerte ees Zahlugsstroms Z, orausgesetzt de etsprechede Telsumme des Post- ud Negattels sd edlch. B (Z) Z( ) Z + ( ) Z ( ) Exstert der Barwert ees Zahlugsstroms, so et ma bewertbar.

3 Elemetare Fazmathemat 6 Als Edwert bezechet ma de Summe der jewels auf de Zetput sup( N; Z() ) aufgezste Futoswerte ees Zahlugsstroms Z. der Edwert exstert ur, we der Zahlugsstrom Z beschrt st, d.h. we sup( N; Z() ) <. S (Z,) Z( ) r Bespel: (Fortsetzug) Mt eem Zssatz 3, % ergbt sch als Barwert bzw. Edwert für das letzte Bespel: B (Z) Z( )., ( ), ,54 S(Z,) Z( ) r.,, ,66 25 Z(), Z(), Z() r Offeschtlch glt obgem Bespel: B(Z),3 S(Z,)

4 Elemetare Fazmathemat 7 Satz: (Bezehug Barwert Edwert). Jeder beschrte Zahlugsstrom st bewertbar. 2. Se sup( N; Z() ) <, da glt B(Z) r S(Z,) Bewes: Offeschtlch. Defto: (Äqualezprzp) Zwe bewertbare Zahlugsströme Z ud Z 2 heße qualet, we se de gleche Barwert bestze, d.h. we glt B(Z ) B(Z 2 ). Bespel: (Fortsetzug) Der Zahlugsstrom Z aus de orausgegagee Bespele st qualet zum Zahlugsstrom Z() 3.285,54 ud Z() für. Über das Äqualetprzp lsst sch damt e Pres für de Zahlugsstrom festlege: Um dese Zetrete o eer Ba zu erhalte müsste der Kude zum Zetput emalg 3.285,54 zahle..2 Zetrete Defto: Ee Zetrete st e poster Zahlugsstrom orher festgelegter Höhe ud mt orher festgelegtem Beg ud Ede. Ee Rete heßt orschüssg gezahlt, we se jewels zum Beg eer Zetperode fllg wrd. Se heßt achschüssg gezahlt, we se jewels zum Ede eer Zetperode fllg wrd I desem Abschtt gehe wr o eer ostate jhrlche Rete Höhe o aus. Adere ostate Rete lasse sch efach durch Multplato des etsprechede Barwerts mt deser Rete bestmme.

5 Elemetare Fazmathemat 8 Barwertformel ud Bezechuge: Vorschüssge Zetrete mt Jahre Laufzet ud sofortgem Beg: d Nachschüssge Zetrete mt Jahre Laufzet ud sofortgem Beg: a + Vorschüssge Zetrete mt ewger Laufzet ud sofortgem Beg (achschüssg aalog): lm d Vorschüssge um m Jahre aufgeschobee Zetrete mt Jahre Laufzet (achschüssg aalog): m m+ m m+ m m Bespele:. We hoch sd de jhrlche Tlgugsrate R, we. be eem ostate effete Jahreszs o 5,5% auf 3 Jahre gleche Rate zurüc gezahlt werde solle? R a. R. : a,55. 3, ,54 2. Aus eer Stftug solle jhrlch 5. als Presgelder für erdete Wsseschaftler ausgeschüttet werde. De Zahluge solle beged mt der Grüdug der Stftug zetlch ubegrezt möglch se. We el Kaptal K muss be der Grüdug zur Verfügug stehe, damt be eem Zs o 4,% de Zahluge gewhrlestet sd? K 5. 5.,4 3..

6 Elemetare Fazmathemat 9 Barwertformel ud Bezechuge: (Fortsetzug) Vorschüssge Zetrete mt Jahre Laufzet ud sofortgem Beg ausgezahlt uterjhrge Tele (achschüssg aalog): () Ersetzt ma obger Formel durch d, so a ma für lee d de Futo / durch d aher (Taylor-Rehe-Etwclug): () ( d) d 2 Bespel: (Fortsetzug). We hoch sd de moatlche Tlgugsrate R, we. be eem ostate effete Jahreszs o 5,5% auf 3 Jahre gleche Rate zurüc gezahlt werde solle? 2 R a (2). R. : (2 a (2) ). 2 : (2 (2) ) 554,44 Beachte, dass 2 554, ,28 < 6.88,54, dem Ergebs be jhrlcher Zahlug. Mt dem Nherugserfahre ergbt sch R 554,3. Amerug: Vortel des Nherugserfahres st, dass es zur be Verscheruge üblche gemschte Verzsug passt (uterjhrg ur efach, d.h. lear, erzst)..3 Zufllge Zahlugsströme Defto: E zufllger Zahlugsstrom st ee Futo Z: N X, de jedem Zetput N ee reellwertge Zufallsarable Z() X auf dem Wahrschelchetsraum (Ω, B, P ) zuordet.

7 Elemetare Fazmathemat Bespel: Garateerlgerug o zwe auf füf Jahre Lestugsbeschrebug: Be Ausfall des erscherte Gertes lestet de Verscherug emalg achschüssg für de Jahre 3 bs 5 ach Kauf des Gerts de Kaufpres Höhe o.. Defert ma mt q de Wahrschelchet, dass das Gert m Jahr ausfllt, so st de Zufallsarable Z() gegebe durch Z() Z() Z(2)., mt WSK ( q ) K ( q Z(), sost ) q für 3, 4, 5 De q wurde aus de Date des Herstellers geschtzt: q,,2,2,5, We hoch st de zu zahlede Prme für de Verscherug? Defto: (Barwert ees zufllge Zahlugsstroms) Als Barwert bezechet ma de Summe der jewels auf de Zetput abgezste Erwartugswerte der Zufallsarable ees Zahlugsstroms Z, orausgesetzt de Erwartugswerte ud de etsprechede Telsumme des Post- ud Negattels sd edlch. B (Z) E[Z( )] Bespel: (Fortsetzug) Nehme wr a, dass de Verscherug Geld für 3,% alege a, da ergbt sch als Barwert B(Z),99,98 (,2 +,98,5, , ,98,95, 5 ).

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