Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier"

Transkript

1 Disrete Struturen und Logi WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier 1

2 Disrete Struturen und Logi Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logi & Mengenlehre Beweisverfahren Kombinatori: Die Kunst des Zählens algebraische Struturen 2

3 Permutationen Eine nichtwiederholende Anordnung sämtlicher Elemente einer endlichen Menge heißt auch Permutation. Für Permutationen hat sich eine Listenschreibweise eingebürgert. Sämtliche Permutationen von S = {a, b, c} sind: a, b, c, a, c, b, b, a, c, b, c, a, c, a, b, c, b, a. Ist π = a i1,..., a in eine Permutation der Menge S = {a 1,..., a n }, so definiert π eine Bijetion f π : S S, a j a ij. Umgeehrt definiert eine Bijetion f : S S eine Permutation; betrachte nämlich die Darstellung von f durch eine Wertetabelle; die zweite Zeile entspricht der Permutation in Listenschreibweise. Satz: Die Zahl aller Permutationen einer n-elementigen Menge ist n!. Hinweis: Ein direter Beweis ist ürzer als unserer aus der vorigen Vorlesung, siehe Meinel-Buch 3

4 Eine -Permutation einer endlichen Menge S ist eine Permutation einer -elementigen Teilmenge von S. Sämtliche 2-Permutationen von S = {a, b, c} sind: a, b, b, a, a, c, c, a, b, c, c, b. Schreibweise: Menge. [ n ] bezeichne die Anzahl der -Permutationen einer n-elementigen Satz: [ n ] = n! n! für n 0. 4

5 Beweis: Betrachte eine Menge mit n Elementen. Den Beweis führen wir durch Indution über. Für = 0 ist die leere Permutation die einzige Möglicheit. Angenommen, die Behauptung gelte für beliebige n und für < n. Wie viele + 1-Permutationen von S gibt es? Für a S sei Π a die Menge aller + 1-Permutationen, die mit a beginnen. Die Menge aller + 1-Permutationen ergibt sich als disjunte Vereinigung aller Π a, also gilt nach der Summenformel: [ ] n = Π + 1 a. a S Die + 1-Permutationen aus Π a lassen sich ansehen als a, π, wobei π eine -Permutation von S \ {a} ist. Umgeehrt liefert jede -Permutation von S \ {a} ein Element aus Π a. Daher gilt: [ ] n 1 n 1! Π a = = n 1!, unabhängig von der Wahl von a gemäß IV. Daher folgt: [ ] n n 1! = n + 1 n 1! = n! n + 1!

6 -Permutationen Hinweis: Spezialisierung auf n = liefert vorvorigen Satz. Beispiel: Beim Pferdetoto 3 aus 18 müssen aus 18 Teilnehmern eines Pferderennens die ersten 3 Pferde in richtiger Reihenfolge angegeben werden. Wieviele Möglicheiten gibt es? =

7 Permutationen und Kombinationen Eine -Kombination einer n-elementigen Menge S ist eine ungeordnete Auswahl n von Elementen aus S. Die Anzahl der -Kombinationen von S ist gleich. Satz: n = n!! n! für n 0. Beweis: Betrachte eine -elementige Teilmenge einer n-elementigen Menge S. Dann gibt es! Permutationen von T. Die Anzahl der -Permutationen ist gleich dem Produt aus der Anzahl der -elementigen Teilmengen [ und ] der Anzahl der Permutationen dieser Teilmengen. n n =! 6

8 Das Pascalsche Dreiec enthält viele ombinatorische Geheimnisse 7

9 Das Pascalsche Dreiec und die Fibonacci-Zahlen als Summe schräger Diagonalen 8

10 Eine Variante des Pascalschen Dreiecs: Der nächste Eintrag ergibt sich als Summe dreier darüberstehender. 9

11 hat Bezug zur Schachmathemati: Das Dreiec entspricht der Zahl der möglichen Pfade eines Schachönigs, die er bei minimaler Anzahl von Zügen nehmen ann, um vom obersten Feld des Rasters jenes mit der entsprechenden Zahl zu erreichen. 10

12 Die Pascalsche Reursion Für alle natürlichen Zahlen n und mit n 1 gilt: n = n n 1. Beweis: ombinatorisch! Es sei A eine n-elementige Menge und fixiere a A. A = A \ {a} ist eine n 1-elementige Menge. Betrachte jetzt eine -elementige Teilmenge B von A. 1. Fall: a B. Dann ist B \ {a} eine 1-elementige Teilmenge von A. 2. Fall: a / B. Dann ist B eine -elementige Teilmenge von A. In dieser Weise lässt sich eine Bijetion zwischen A A A und 1 onstruieren. 11

13 Die Pascalsche Reursion gestattet eine indutive Definition der Binomialoeffizienten: 1. Für alle natürlichen Zahlen n sei n 0 = 1. n 2. Für alle natürlichen Zahlen n und mit n < sei 3. Für alle natürlichen Zahlen n und mit n 1 gilt: n n 1 n 1 = +. 1 = 0. 12

14 Die Gleichung von Vandermonde verallgemeinert die Pascalsche Reursion: m + n = i=0 m i n i Beweis: Sei die n + m-elementige Menge A partitioniert in B und C mit B = m, C = n. Jede -elementige Teilmenge von A hat i Elemente von B und i Elemente von C. Dies liefert eine Bijetion zwischen A und B i i=0 C i. 13

15 Zwei weitere Identitäten mit schwierigerer ombinatorischer Interpretation: 1. n = n i=0 i 2. n + 1 = n i=0 n i i 14

16 Beweis: nur für die erste Beziehung Wir führen einen Indutionsbeweis über n. IA: n = 0 Achtung: Fallunterscheidung = 0, 1. IV: Für n sei die Bauptung richtig. IS: n+1 i=0 i = = = n + 1 n + 1 n n i i=0 n

17 Binomischer Lehrsatz x + y n = n j=0 n j x n j y j. Beweis: Ausmultiplizieren der linen Seite Summe von Produten der Form x n j y j. Jeder Summand entsteht, indem aus jedem der n Fatoren x + y das x oder das y ausgewählt wird. So entspricht jedem Summanden eine Teilmenge A von {1,..., n}, die die Fälle aufsammelt, in denen y ausgewählt wurde. x + y n = x y = n x n A y A = xn A y A A {1,...,n} i {1,...,n}\A i A A {1,...,n} j=0 A {1,..., n} j 16

18 Numerische Hilfen Satz: Stirlingsche Formel Für alle natürlichen Zahlen n gilt: 2πn n e n n! 2πn n e n+ 1 12n Folgerung: Für alle n, N gilt: n n e n 17

19 Urnenmodelle, siehe auch wieder Matheprisma In der Kombinatori werden oft modellhaft Urnen betrachtet, aus denen nach einer bestimmten Vorschrift Kugeln gezogen werden. Der Grund dafür: Viele Zufallsexperimente lassen sich als Ziehung von Kugeln aus einer Urne darstellen, die insgesamt n Kugeln enthält. 18

20 Die vier Grundaufgaben der Kombinatori Es gibt insgesamt vier verschiedene Urnenexperimente, je nachdem, * ob die Kugeln zurücgelegt werden * oder die Kugeln nicht zurücgelegt werden * und ob die Reihenfolge beachtet wird * oder ob die Reihenfolge nicht beachtet wird. Weitere nette Erläuterungen finden Sie hier. 19

21 1. Urnenmodell: mit Zurüclegen, mit Beachtung der Reihenfolge Beispiel: Wurf mit zwei Würfeln. Sie önnen dieses Zufallsexperiment auch so mit einer Urne simulieren. Eine Urne enthält sechs Kugeln, die mit den Ziffern 1 bis 6 beschriftet sind. Sie ziehen zufällig eine Kugel und notieren das Ergebnis z.b. 4, legen die Kugel in die Urne zurüc und schütteln die Urne gut durch, ziehen wieder eine Kugel und notieren das Ergebnis das önnte z.b. wieder die 4 sein, da Sie diese Kugel nach dem ersten Zug zurücgelegt haben. Hier ist die Reihenfolge der gezogenen Kugeln wichtig. Es ist n = 6 sechs Kugeln in der Urne und = 2 zweimaliges Ziehen. 20

22 1. Urnenmodell: mit Zurüclegen, mit Beachtung der Reihenfolge Satz: Für die Auswahl Ziehung * von Elementen Kugeln * aus einer Menge mit n Elementen Urne * mit Wiederholung Zurüclegen * und mit Berücsichtigung der Reihenfolge gibt es Möglicheiten. n 21

23 1. Urnenmodell: mit Zurüclegen, mit Beachtung der Reihenfolge Beispiel: Als Totospieler aufen Sie einen Totoschein, auf dem Sie die Spielergebnisse von elf ausgewählten Fußballbegegnungen raten önnen. Dabei genügt es, die Tendenz vorherzusagen: Auf dem Spielschein müssen Sie 1 anreuzen, wenn Sie auf den Sieg der Heimmannschaft tippen, 2 für einen Sieg der Gastmannschaft und schließlich 0 für ein Unentschieden. Können Sie angeben, wieviele Möglicheiten es gibt, den Totoschein auszufüllen?

24 2. Urnenmodell: ohne Zurüclegen, mit Beachtung der Reihenfolge Satz: Für die Auswahl * von Elementen * aus einer Menge mit n Elementen * ohne Wiederholung * und mit Berücsichtigung der Reihenfolge gibt es [ ] n viele Möglicheiten. Beispiel: Pferdewette s.o. 23

25 3. Urnenmodell: ohne Zurüclegen, ohne Beachtung der Reihenfolge Beispiel: Ziehen von 10 Karten aus einem 32er Satspiel Hier sind die 32 Kugeln in der Urne mit den Namen der Spielarten beschriftet z.b. Karo-Bube. Sie ziehen zehn Kugeln aus der Urne, legen aber die Kugeln nach jedem Zug nicht zurüc. Haben Sie beim Satspiel einmal z.b. die Karte Karo-Bube gezogen, so önnen Sie diese nicht noch einmal ziehen. Die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen wurden, ist Ihnen hier egal. Sie interessiert nur, welche Karten Sie überhaupt gezogen haben. Es ist n = Kugeln in der Urne und = Mal Ziehen. 24

26 3. Urnenmodell: ohne Zurüclegen, ohne Beachtung der Reihenfolge Satz: Für die Auswahl * von Elementen * aus einer Menge mit n Elementen * ohne Wiederholung * und ohne Berücsichtigung der Reihenfolge gibt es n viele Möglicheiten. 25

27 3. Urnenmodell: ohne Zurüclegen, ohne Beachtung der Reihenfolge Beispiel: Sie aufen an der Lottoannahmestelle einen Lottoschein, auf dem Sie aus 49 Zahlen sechs anreuzen. Samstagabends werden dann in einer maschinellen Urnenziehung ohne Zurüclegen die sechs Gewinnzahlen ermittelt. Wieviele Möglicheiten gibt es, den Lottoschein auszufüllen?

28 4. Urnenmodell: mit Zurüclegen, ohne Beachtung der Reihenfolge Satz: Für die Auswahl * von Elementen * aus einer Menge mit n Elementen * mit Wiederholung * und ohne Berücsichtigung der Reihenfolge gibt es n + 1 viele Möglicheiten. Beispiel: Bei einem Sonderangebot ann man sich eine Kiste zwölf Flaschen aus drei verschiedenen Getränesorten beliebig zusammenstellen. Wieviele Möglicheiten gibt es dafür? 27

29 4. Urnenmodell: mit Zurüclegen, ohne Beachtung der Reihenfolge Beweis: Wir betrachten o.e. die Menge S = [n]. Eine Ziehung von Elementen aus S mit Zurüclegen liefert eine Reihe von Zahlen, die wir im Nachhinein in der üblichen Weise sortieren önnen; wir erhalten so: a 0 a 1 a 1. Durch b j = a j + j erhalten wir eine Zahlenfolge mit b 0 < b 1 < < b 1 mit b j [n + 1]. Umgeehrt önnen wir jede -elementige Teilmenge von [n+ 1] zunächst sortieren und dann in eine schwach wachsende Folge aus [n] umrechnen. 28

2.1 Klassische kombinatorische Probleme

2.1 Klassische kombinatorische Probleme 2 Kombinatori Aufgabenstellung: Anzahl der verschiedenen Zusammenstellungen von Objeten. Je nach Art der zusätzlichen Forderungen, ist zu unterscheiden, welche Zusammenstellungen als gleich, und welche

Mehr

Abzählende Kombinatorik

Abzählende Kombinatorik Kapitel Abzählende Kombinatori Die in diesem Kapitel behandelte abzählende Kombinatori untersucht endliche Struturen und beschäftigt sich mit den Möglicheiten Objete anzuordnen oder auszuwählen Die abzählende

Mehr

Grundlagen der Kombinatorik

Grundlagen der Kombinatorik 60 Kapitel 4 Grundlagen der Kombinatori Einer der Schwerpunte der Kombinatori ist das Abzählen von endlichen Mengen. Wir stellen zunächst einige Grundregeln des Abzählens vor, die wir gelegentlich auch

Mehr

1 Natürliche Zahlen und vollständige Indution Beispiel : Für jede Zahl x 6 1gilt die geometrische Summenformel 1+x + x + :::+ x n 1 xn+1 1 x : (I) Für

1 Natürliche Zahlen und vollständige Indution Beispiel : Für jede Zahl x 6 1gilt die geometrische Summenformel 1+x + x + :::+ x n 1 xn+1 1 x : (I) Für 1 Natürliche Zahlen und vollständige Indution Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwer. (L. Kronecer) Wir setzen das System N der natürlichen Zahlen 1; ; 3;::: als beannt

Mehr

KAPITEL 2. Kombinatorik

KAPITEL 2. Kombinatorik KAPITEL 2 Kombinatori In der Kombinatori geht es um das Abzählen von Kombinationen 21 Geburtstagsproblem Beispiel 211 (Geburtstagsproblem In einem Raum befinden sich 200 Studenten Wie groß ist die Wahrscheinlicheit,

Mehr

Natürliche und ganze Zahlen, vollständige Induktion und Kombinatorik

Natürliche und ganze Zahlen, vollständige Induktion und Kombinatorik Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen, vollständige Indution und Kombinatori 2.1 N, Z (Gruppe; Ordnungsrelation Jeder hat eine intuitive Vorstellung von der Menge der natürlichen Zahlen N : {1, 2, 3...

Mehr

Binomialkoeffizient. Für n, k N 0 mit n k definiert man den Binomialkoeffizienten. ( ) n n! n(n 1)(n 2) (n k + 1) Binomialkoeffizient 1-1

Binomialkoeffizient. Für n, k N 0 mit n k definiert man den Binomialkoeffizienten. ( ) n n! n(n 1)(n 2) (n k + 1) Binomialkoeffizient 1-1 Binomialoeffizient Für n, N 0 mit n definiert man den Binomialoeffizienten n! n(n 1)(n 2) (n + 1) = =. (n )!! 1 ( 2)( 1) Binomialoeffizient 1-1 Binomialoeffizient Für n, N 0 mit n definiert man den Binomialoeffizienten

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Kapitel 7 Wahrscheinlicheitsrechnung 7.1 Kombinatori Def. 7.1.1:a) Für eine beliebige natürliche Zahl m bezeichnet man das Produt aus den Zahlen von 1 bis m mit m Faultät: m! : 1 2 3 m, 0! : 1. Beispiele:

Mehr

Beweis des Binomischen Satzes

Beweis des Binomischen Satzes Beweis des Binomischen Satzes Ein Beispiel für mathematische Beweisführung Oliver Müller 21. Februar 25 1 Vorwort Dieser Text soll hilfreich beim Erlernen der mathematischen Beweisführung über vollständige

Mehr

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Kombinatorik. Dr. Thomas Zehrt. Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Kombinatorik. Dr. Thomas Zehrt. Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Kombinatorik Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente 2 Teil 1 Endliche Mengen Eine endliche Menge M ist eine Menge,

Mehr

Kombinatorik und Urnenmodelle

Kombinatorik und Urnenmodelle Kapitel 2 Kombinatori und Urnenmodelle In diesem Abschnitt nehmen wir an, dass (Ω, A, P ein Laplace scher Wahrscheinlicheitsraum ist (vgl. Bsp.1.3, d.h. Ω ist endlich, A = P (Ω und P (A = A Ω A Ω. Für

Mehr

4. Die elementaren Zählfunktionen. Definition 165 (Binomialkoeffizienten) 4.1 Untermengen. align

4. Die elementaren Zählfunktionen. Definition 165 (Binomialkoeffizienten) 4.1 Untermengen. align 4. Die elementaren Zählfuntionen 4.1 Untermengen Definition 165 (Binomialoeffizienten) align ( ) n := 1 n N 0 0 ( ) n := 0 n

Mehr

Kombinatorische Abzählverfahren - LÖSUNGEN

Kombinatorische Abzählverfahren - LÖSUNGEN Kombinatorische Abzählverfahren - LÖSUNGEN TEIL C: Lösungen 1. Produtregel das einfache Verfahren Aufgabe 1: Auto-Ausstattung Aufgabe 2: Tanzstunde Aufgabe 3: Menüplanung Aufgabe 4: Atenzeichen Aufgabe

Mehr

$Id: reell.tex,v /11/15 13:12:24 hk Exp $

$Id: reell.tex,v /11/15 13:12:24 hk Exp $ $Id: reell.tex,v.8 200//5 3:2:24 h Exp $ 4 Die reellen Zahlen 4.3 Das Vollständigeitsaxiom Wir hatten das Supremum einer Menge M R als die leinste obere Schrane von M definiert, sofern eine solche überhaupt

Mehr

Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien

Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählstrategien R. Brinmann http://brinmann-du.de Seite 4.0.2007 Bestimmen der Wahrscheinlicheiten mithilfe von Zählstrategien Die bisherigen Aufgaben zur Wahrscheinlicheitsrechnung onnten im Wesentlichen mit übersichtlichen

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: J. Hörner B. Kabil B. Krinn. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathemati Wintersemester 0/0 Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Hausübungen Teil, empfohlener Bearbeitungszeitraum:

Mehr

Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Kinder in einer Reihe zu platzieren, z.b. für n = 5? Für n = 2 gibt es 2 Möglichkeiten.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Kinder in einer Reihe zu platzieren, z.b. für n = 5? Für n = 2 gibt es 2 Möglichkeiten. n-faultät Wie viele Möglicheiten gibt es, n Kinder in einer Reihe zu platzieren, z.b. für n? Für n gibt es Möglicheiten. Für n 3 hat das 3. Kind 3 Möglicheiten, die beiden restlichen Plätze önnen jeweils

Mehr

Kombinatorik. Kombinatorik

Kombinatorik. Kombinatorik Kombinatori Kombinatori Ziel: Bestimmen der Mächtigeiten bestimmter endlicher Mengen, die durch Anordnung oder Auswahl von Elementen einer Menge gebildet werden. Wir wissen bereits, dass für die Potenzmenge

Mehr

Kombinatorik. LSGM Leipziger Schülergesellschaft für Mathematik. Toscho Mathecamp 12. Juli 21. Juli 2008 Klasse 11/12. Inhaltsverzeichnis

Kombinatorik. LSGM Leipziger Schülergesellschaft für Mathematik. Toscho Mathecamp 12. Juli 21. Juli 2008 Klasse 11/12. Inhaltsverzeichnis LSGM Leipziger Schülergesellschaft für Mathemati Kombinatori Toscho Mathecamp 1. Juli 1. Juli 008 Klasse 11/1 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Aufgaben 3 3 Politi in der Mathemati 3 4 Olympiadeaufgaben

Mehr

15.2 Kombinatorische Abzählformeln

15.2 Kombinatorische Abzählformeln 15.2 Kombinatorische Abzählformeln 1. Permutationen In wie vielen verschiedenen Reihenfolgen ann man n verschiedene Dinge anordnen? Wie viele Reihenfolgen gibt es, wenn die Dinge nicht alle verschieden

Mehr

mathphys-online Zahlenlotto 6 aus 49 Quelle: Akademiebericht 470 Dillingen

mathphys-online Zahlenlotto 6 aus 49 Quelle: Akademiebericht 470 Dillingen Zahlenlotto aus Quelle: Aademiebericht 470 Dillingen Spielregeln Beim Spiel Sechs aus Neunundvierzig werden jeden Mittwoch und Samstag sechs Gewinnzahlen gezogen. Dazu befinden sich nummerierte Kugeln

Mehr

Mathematik 1 nach der Vorlesung Mathematik für Physiker 1 Wiebe. Sebastian Ritz

Mathematik 1 nach der Vorlesung Mathematik für Physiker 1 Wiebe. Sebastian Ritz Mathemati 1 nach der Vorlesung Mathemati für Physier 1 Wiebe Sebastian Ritz 2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 5 2 Mengen 7 2.1 Liste der Zahlenbereiche....................... 8 2.2 Rechenregeln für Mengen......................

Mehr

3 Ein wenig Kombinatorik

3 Ein wenig Kombinatorik 3 Ein wenig Kombinatori Definition i) Zu jedem n N definiere 1 2 3 n Saubere Definition ist indutiv 1! 1 (Konvention: 0! 1) (n +1)!(n +1) ii) Für n N und (N {0}) mit0 n setze!(n )! 1 2 n (n +1) (n +2)

Mehr

2 Zahlen. 2.1 Natürliche Zahlen Menge der natürlichen Zahlen. Der Ausgangspunkt für den Aufbau der Zahlenbereiche ist die Menge

2 Zahlen. 2.1 Natürliche Zahlen Menge der natürlichen Zahlen. Der Ausgangspunkt für den Aufbau der Zahlenbereiche ist die Menge 2.1 Natürliche Zahlen 2.1.1 Menge der natürlichen Zahlen Der Ausgangspunt für den Aufbau der Zahlenbereiche ist die Menge N = {0,1,2,3,...} der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4,... 2.1.2 Indutionsprinzip

Mehr

Bei Permutationen ohne Wiederholung geht es um das Anordnen von n Dingen, die mit den Zahlen 1,2,,n nummeriert sind.

Bei Permutationen ohne Wiederholung geht es um das Anordnen von n Dingen, die mit den Zahlen 1,2,,n nummeriert sind. 6 Kombinatori PermutationenOhneWiederholung@n_IntegerD := Permutations@Range@nDD PermutationenMitWiederholung@n_ListD := Permutations@Flatten@Table@Table@i, 8n@@iDD

Mehr

Kombinationen und Permutationen

Kombinationen und Permutationen 10 Kombinationen und Permutationen In den nächsten beiden Kapiteln wird die Abzählungstheorie der lassischen Abbildungstypen mit Nebenbedingungen entwicelt. Sie beschäftigt sich onret mit der Frage, auf

Mehr

Thema 1 Die natürlichen Zahlen

Thema 1 Die natürlichen Zahlen Thema 1 Die natürlichen Zahlen Wir bezeichnen mit N die Menge der natürlichen Zahlen dh N {1,,, } Falls wir das Nullelement 0 dazu nehmen, dann bezeichnen wir die resultierende Menge mit N 0 also N 0 {0,

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 12. Dezember 2012 1 Kombinatorik Fakultät Binomialkoeffizienten Urnenmodelle 2 Definition Fakultät Die Zahl n! =

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 16. November 2017 1/35 Modulare Arithmetik Modulare Arithmetik Definition 3.33 Es sei

Mehr

Kapitel 2. Kapitel 2 Zählen (Kombinatorik)

Kapitel 2. Kapitel 2 Zählen (Kombinatorik) Zählen (Kombinatorik) Inhalt 2.1 2.1 Einfache Zählformeln A A B B = A A + B. B. 2.2 2.2 Binomialzahlen 2.3 2.3 Die Die Siebformel 2.4 2.4 Permutationen Seite 2 2.1 Einfache Zählformeln Erinnerung: Für

Mehr

A B A B A B C. Beispiel 1 Wie viele Möglichkeiten gibt es 3 verschiedene Kugeln: A, B und C auf verschiedene Arten auf 3 Plätze anzuordnen?

A B A B A B C. Beispiel 1 Wie viele Möglichkeiten gibt es 3 verschiedene Kugeln: A, B und C auf verschiedene Arten auf 3 Plätze anzuordnen? eispiel 1 Wie viele Möglicheiten gibt es 3 verschiedene Kugeln:, und auf verschiedene rten auf 3 Plätze anzuordnen? Lösung Es gibt also 6 Möglicheiten, 3 verschiedene Kugeln auf 3 verschiedene Plätze anzuordnen.

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 3. November 2010 1 Kombinatorik Fakultät Binomialkoeffizienten Urnenmodelle 2 Definition Tabellen Fakultät, Beispiel

Mehr

Kombinatorik. Dr. Lucia Draque Penso. Universität Ulm. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 1 / 26

Kombinatorik. Dr. Lucia Draque Penso. Universität Ulm. Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 1 / 26 Kombinatorik Dr. Lucia Draque Penso Universität Ulm Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 1 / 26 Erste Vorlesung Dr. Lucia Draque Penso (Universität Ulm) Kombinatorik 2 / 26 Formales Vorlesung:

Mehr

2n n + 2. n + (1 + j) 1. 2n + 2 = 1. 2n + 2. (n + 1) + j + 2 1

2n n + 2. n + (1 + j) 1. 2n + 2 = 1. 2n + 2. (n + 1) + j + 2 1 Aufgabe Die strenge Monotonie zeigen wir mittels vollständiger Indution. Indutionsanfang: Trivialerweise ist f streng monoton wachsend. Indutionsschritt: Wir nehmen an, es sei gezeigt, dass für ein gewisses

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathemati Prof. Dr. Oliver Matte Max Lein Zentralübung 15. Abzählbareit Mathemati für Physier 2 Analysis 1) Wintersemester 2010/2011 Lösungsblatt 3 29.10.2009) i)

Mehr

Sachrechnen/Größen WS 14/15-

Sachrechnen/Größen WS 14/15- Kapitel Daten & Wahrscheinlichkeit 3.1 Kombinatorische Grundlagen 3.2 Kombinatorik & Wahrscheinlichkeit in der Grundschule 3.3 Daten Darstellen 3.1 Kombinatorische Grundlagen Verschiedene Bereiche der

Mehr

Rekursive Folgen im Pascalschen Dreieck

Rekursive Folgen im Pascalschen Dreieck Reursive Folgen im Pascalschen Dreiec Holger Stephan, Tag der Mathemati,. Juni Zusammenfassung Viele Probleme aus den unterschiedlichsten Teilgebieten der Mathemati (z.b. Analysis, Kombinatori, Zahlen-,

Mehr

Kombinatorik kompakt. Stochastik WS 2016/17 1

Kombinatorik kompakt. Stochastik WS 2016/17 1 Kombinatorik kompakt Stochastik WS 2016/17 1 Übersicht Auswahl/Kombinationen von N aus m Elementen Statistische unterscheidbare ununterscheidbare Physik Objekte (gleiche) Objekte ( ohne m N m+n 1 ) N mit

Mehr

Formale Potenzreihen, Rekursionen und erzeugende Funktionen

Formale Potenzreihen, Rekursionen und erzeugende Funktionen KAPITEL 2 Formale Potenzreihen, Reursionen und erzeugende Funtionen Wir gehen von folgender abstraten Situation aus Gegeben ist eine Klasse O ombinatorischer Objete und eine Klassifiationsabbildung t :

Mehr

$Id: reell.tex,v /11/11 12:32:08 hk Exp $

$Id: reell.tex,v /11/11 12:32:08 hk Exp $ Mathemati für Physier I, WS 203/204 Montag. $Id: reell.tex,v.23 203// 2:32:08 h Exp $ Die reellen Zahlen.5 Potenzen mit rationalen Exponenten Wir behandeln gerade die Bernoulli-Ungleichung +x) n +nx gültig

Mehr

Bevor wir mit Analysis anfangen, legen wir erst einige mathematische Symbole fest.

Bevor wir mit Analysis anfangen, legen wir erst einige mathematische Symbole fest. Analysis, Woche Zahlen A. Elementares Bevor wir mit Analysis anfangen, legen wir erst einige mathematische Symbole fest... Logische Symbole Seien A und B Aussagen. So eine Aussage ist zum Beispiel: Gras

Mehr

Vollständige Induktion. Analysis I. Guofang Wang. Universität Freiburg

Vollständige Induktion. Analysis I. Guofang Wang. Universität Freiburg Universität Freiburg 26.10.2011 Vollständige Induktion Wir unterbrechen jetzt die Diskussion der Axiome der reellen Zahlen, um das Beweisverfahren der vollständigen Induktion kennenzulernen. Wir setzen

Mehr

KOMBINATORIK IN DER SCHULE

KOMBINATORIK IN DER SCHULE KOMBINATORIK IN DER SCHULE Referenten: Florian Schmidt und Benjamin Otto GLIEDERUNG 1. Erstbegegnungen mit ombinatorischem Denen 2. Das allgemeine Zählprinzip der Kombinatori 3. Die 4 ombinatorischen Grundfiguren

Mehr

(für Grund- und Leistungskurse Mathematik) 26W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP

(für Grund- und Leistungskurse Mathematik) 26W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP .RPELQDWRULN (für Grund- und Leistungsurse Mathemati) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nach dem Studium dieses Sripts sollten folgende Begriffe beannt sein: n-menge, Kreuzprodut, n-tupel Zählprinzip

Mehr

Binomialverteilung & Binomialtest

Binomialverteilung & Binomialtest Mathemati II für Biologen & 5. Juni 2015 & -Test Kombinatori Permutationen Urnenmodelle Binomialoeffizient Motivation Bin(n, p) Histogramme Beispiel Faustregeln Vorzeichentest & -Test Permutationen Urnenmodelle

Mehr

Zahlen und Rechenstrukturen

Zahlen und Rechenstrukturen Teil 1 Zähltheorie KAPITEL 1 Zahlen und Rechenstruturen Eine lassische Aufgabe der disreten Mathemati (Kombinatori) besteht darin zu ermitteln, wieviele Konfigurationen (d.h. disrete Objete von einem

Mehr

Vorkurs Mathematik. Vorlesung 5. Verknüpfungen

Vorkurs Mathematik. Vorlesung 5. Verknüpfungen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrüc WS 2009/2010 Vorurs Mathemati Vorlesung 5 Vernüpfungen Die Addition und die Multipliation auf den natürlichen Zahlen und die Hintereinanderschaltung von Abbildungen auf einer

Mehr

Über die so definierten Potenzen beweisen wir nun einige einfache Aussagen. = a m+n a Def.

Über die so definierten Potenzen beweisen wir nun einige einfache Aussagen. = a m+n a Def. 4 NATÜRLICHE ZAHLEN UND VOLLSTÄNDIGE INDUKTION 15 der Eigenschaften von N streng begründen, was hier aber nicht geschehen soll. (Statt Zahlen önnen die a n auch Elemente irgendwelcher Mengen sein.) Über

Mehr

SS 2016 Torsten Schreiber

SS 2016 Torsten Schreiber SS 01 Torsten Schreiber 15 Ein lineares Gleichungssystem besteht immer aus einer Anzahl an Variablen und Gleichungen. Die Zahlen vor den Variablen werden in der sogenannten zusammen gefasst und die Zahlen

Mehr

Stetige Funktionen, Binomischer Lehrsatz

Stetige Funktionen, Binomischer Lehrsatz Vorlesung 13 Stetige Funktionen, Binomischer Lehrsatz 13.1 Funktionenfolgen Wir verbinden nun den Grenzwertbegriff mit dem Funktionsbegriff. Es seien (a n ) n N eine reelle Folge und f : R R eine Funktion.

Mehr

«a n k b k. (4) (a + b) n = Der allgemeine binomische Lehrsatz

«a n k b k. (4) (a + b) n = Der allgemeine binomische Lehrsatz 2.2.3 Der allgemeine binomische Lehrsatz Mit Hilfe dieser neuen Begriffe und Symbole önnen wir eine allgemeingültige Formel für den Ausdruc (a + b) n angeben. Es gilt: Lemma 2. [Binomischer Lehrsatz] Sind

Mehr

Elemente der Algebra

Elemente der Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrüc SS 2015 Elemente der Algebra Vorlesung 2 Ringe Die wichtigsten mathematischen Struturen wie Z, Q, R besitzen nicht nur eine, sondern zwei Vernüpfungen. Definition 2.1. Ein

Mehr

Vorlesung. Prof. Janis Voigtländer Übungsleitung: Dennis Nolte. Mathematische Strukturen Sommersemester 2017

Vorlesung. Prof. Janis Voigtländer Übungsleitung: Dennis Nolte. Mathematische Strukturen Sommersemester 2017 Vorlesung Mathematische Strukturen Sommersemester 017 Prof. Janis Voigtländer Übungsleitung: Dennis Nolte Kombinatorik: Einführung Es folgt eine Einführung in die abzählende Kombinatorik. Dabei geht es

Mehr

Kombinatorik. Jörn Loviscach. Versionsstand: 31. Oktober 2009, 17:22. 1 Begriff Kombinatorik; Zahl aller Teilmengen

Kombinatorik. Jörn Loviscach. Versionsstand: 31. Oktober 2009, 17:22. 1 Begriff Kombinatorik; Zahl aller Teilmengen Kombinatorik Jörn Loviscach Versionsstand: 31. Oktober 2009, 17:22 1 Begriff Kombinatorik; Zahl aller Teilmengen Die Kombinatorik ein recht kleines Gebiet der Mathematik befasst sich mit dem Abzählen von

Mehr

Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man

Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man Die Schreibweise x M bedeutet, dass das Objekt x in der Menge M liegt. Ist dies nicht der Fall, dann schreibt man x / M. Man sagt, M ist Teilmenge von N und schreibt M N, wenn für jedes x M auch x N gilt.

Mehr

Kombinatorik: Abzählverfahren (Teschl/Teschl 7) Summenregel. Allgemeiner

Kombinatorik: Abzählverfahren (Teschl/Teschl 7) Summenregel. Allgemeiner Kombinatorik: Abzählverfahren Teschl/Teschl 7 Fragestellung: Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, Elemente auszuwählen, z. B. Anzahl verschiedener möglicher Passwörter, IPAdressen, Zahlenkombinationen

Mehr

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit 2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,

Mehr

Kombinatorik. 1. Beispiel: Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich aus den fünf Ziffern in M = {1;2;3;4;5} erstellen?

Kombinatorik. 1. Beispiel: Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich aus den fünf Ziffern in M = {1;2;3;4;5} erstellen? 1 Kombinatorik Aus einer Grundgesamtheit mit n Elementen wird eine Stichprobe k Elementen entnommen. Dabei kann die Stichprobe geordnet oder ungeordnet sein. "Geordnet" bedeutet, dass die Reihenfolge der

Mehr

KAPITEL 5. Erwartungswert

KAPITEL 5. Erwartungswert KAPITEL 5 Erwartungswert Wir betrachten einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) und eine Zufallsvariable X : Ω R auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum. Die Grundmenge Ω hat also nur endlich oder abzählbar

Mehr

Kombinatorik: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester Ziehen aus Urnen. Ziehen aus Urnen

Kombinatorik: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester Ziehen aus Urnen. Ziehen aus Urnen Kombinatorik: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Sommersemester 04 Prof. Barbara König Übungsleitung: Henning Kerstan Es folgt eine Einführung in die Kombinatorik. Dabei geht es darum, die Elemente

Mehr

Vorlesung. 1 Zahlentheorie in Z. Leitfaden. 1.1 Teilbarkeit. Angela Holtmann. Algebra und Zahlentheorie. (natürliche Zahlen ohne die Null)

Vorlesung. 1 Zahlentheorie in Z. Leitfaden. 1.1 Teilbarkeit. Angela Holtmann. Algebra und Zahlentheorie. (natürliche Zahlen ohne die Null) Vorlesung Algebra und Zahlentheorie Leitfaden 1 Zahlentheorie in Z Bezeichnungen: Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} (ganze Zahlen) und N := {1, 2, 3,...} (natürliche Zahlen ohne die Null) 1.1 Teilbareit

Mehr

Zahlen 25 = = 0.08

Zahlen 25 = = 0.08 2. Zahlen Uns bisher bekannte Zahlenbereiche: N Z Q R ( C). }{{} später Schreibweisen von rationalen/reellen Zahlen als unendliche Dezimalbrüche = Dezimalentwicklungen. Beispiel (Rationale Zahlen) 1 10

Mehr

Berechnung von Teilmengen

Berechnung von Teilmengen Berechnung von Teilmengen Satz Anzahl der Teilmengen 2 n = n k=0 k=0 ( ) n k Beweis Korollar aus Binomischem Lehrsatz (1 + 1) n = n ( n k=0 k) 1 k 1 n k. Oder kombinatorisch: Sei M Menge mit M = n. Die

Mehr

4. Kombinatorik *) In der Kombinatorik werden drei wichtige Symbole benötigt: o n! o (n) k o

4. Kombinatorik *) In der Kombinatorik werden drei wichtige Symbole benötigt: o n! o (n) k o *) Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit im Laplace-Experiment wirkt zunächst einfach. Man muss einfach die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle teilen. Das Feststellen dieser

Mehr

(λ), t P j i = P j i. heißt symmetrisch, wenn t A = A und antisymmetrisch, wenn

(λ), t P j i = P j i. heißt symmetrisch, wenn t A = A und antisymmetrisch, wenn 3. 1 Transposition der Elementarmatrizen aus R n n. Für 1 i, j n und λ G(R) bzw. λ R gilt t S i (λ) S i (λ), t Q j i (λ) Qi j (λ), t P j i P j i. 3. 11 Definition. Eine Matrix A R n n t A A. heißt symmetrisch,

Mehr

1 Die natürlichen Zahlen und vollständige Induktion

1 Die natürlichen Zahlen und vollständige Induktion 1 Die natürlichen Zahlen und vollständige Indution 1.1 Einführung Mit Æ bezeichnen wir die Menge der natürlichen Zahlen Æ = {1,2,3,...}. Manche Autoren lassen die natürlichen Zahlen auch mit der Null beginnen,

Mehr

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26 Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ist eine Menge Ω (Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments: Ergebnismenge versehen mit einer Abbildung

Mehr

Der Binomische Lehrsatz, die Binomialkoeffizienten und das PASCALsche Dreieck

Der Binomische Lehrsatz, die Binomialkoeffizienten und das PASCALsche Dreieck 1 Der Binomische Lehrsatz, die Binomialkoeffizienten und das PASCALsche Dreieck Wir kennen die beiden binomischen Formeln: Sie sind ein Sonderfall des Binomischen Lehrsatzes: Wir sehen, dass die Potenzen

Mehr

Berühmte Familien von Zahlen und ihre Zusammenhänge. Nina Elisabeth Isele

Berühmte Familien von Zahlen und ihre Zusammenhänge. Nina Elisabeth Isele Berühmte Familien von Zahlen und ihre Zusammenhänge Nina Elisabeth Isele 20.01.2015 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Berühmte Familien von Zahlen und ihre Zusammenhänge 3 2.1 Die Zahlen von Bell und

Mehr

Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier

Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Diskrete Strukturen WiSe 2012/13 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 11. Januar 2013 1 Diskrete Strukturen Gesamtübersicht Organisatorisches und Einführung Mengenlehre Relationen

Mehr

Ziel der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Teil V. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Experiment: Wurf eines Würfels

Ziel der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Teil V. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Experiment: Wurf eines Würfels Ziel der Wahrscheinlicheitsrechnung Teil V Wahrscheinlicheitsrechnung Aussagen über Experimente und Prozesse mit unsicherem Ausgang. Beispiele Würfeln Literatur: Ziehen von Losen aus einer Urne Glücsspiele

Mehr

M9 Aufgabensammlung Wahrscheinlichkeit, Kombinatorik

M9 Aufgabensammlung Wahrscheinlichkeit, Kombinatorik M9 ufgabensammlung Wahrscheinlicheit, Kombinatori Zur Erinnerung: Die Wahrscheinlicheit w, dass ein bestimmtes Ereignis eintrifft, wird mit einem Quotienten berechnet: w () nahl günstigefälle nahlmögliche

Mehr

Der Binomialkoeffizient (Einführung):

Der Binomialkoeffizient (Einführung): Der Binomialoeffizient (Einführung): ) Wie viele Kombinationsmöglicheiten gibt es, Kugeln in Kästchen anzuordnen? Lösung: ) Beispiel: Fragen sollen beantwortet werden. Die Antwort ann richtig (r) oder

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heio Hoffmann WS 2013/14 Höhere Mathemati I für die Fachrichtung Informati Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Benutzung dieser Materialien ist auf Herbst 2017 beschränkt. Diese Hilfsmaterialien sind nur für unseren Studenten gemeint, dürfen also nicht weiterverteilt werden. Grundbegrie der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Durch welches 3-Tupel wird die Umkehrfunktion von p = (2, 3, 1) dargestellt?

Durch welches 3-Tupel wird die Umkehrfunktion von p = (2, 3, 1) dargestellt? 23. Januar 2007 Arbeitsblatt 11 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen I. Gasser, H. Strade, B. Werner WiSe 06/07 16.1.07 Präsenzaufgaben: 1. Bekanntlich

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil V Wahrscheinlichkeitsrechnung Inhaltsangabe 6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 125 6.1 Kombinatorik......................... 125 6.2 Grundbegri e......................... 129 6.3 Wahrscheinlichkeiten.....................

Mehr

Die Binomialreihe. Sebastian Schulz. Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 2008/09, Leitung Prof. Dr.

Die Binomialreihe. Sebastian Schulz. Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 2008/09, Leitung Prof. Dr. Die Binomialreihe Sebastian Schulz Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 008/09, Leitung Prof. Dr. Eberhard Freitag Zusammenfassung: Diese Ausarbeitung beschäftigt sich mit der

Mehr

Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik

Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik UNIVERSITÄT ULM Institut für Zahlentheorie und Wahrscheinlicheitstheorie Musterlösung zur Probelausur zur Angewandten Disreten Mathemati Prof Dr Helmut Maier, Hans- Peter Rec Gesamtpuntzahl: 130 Punte,

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 1 Vorbemerkungen

Mehr

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. 1. Elementare Kombinatorik Wir betrachten die Frage wieviele Möglichkeiten es gibt, aus n unterschiedlichen

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. 1. Elementare Kombinatorik Wir betrachten die Frage wieviele Möglichkeiten es gibt, aus n unterschiedlichen WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE 1. Elementare Kombinatori Wir betrachten die Frage wieviele Möglicheiten es gibt, aus n unterschiedlichen Objeten auszuwählen. Dabei müssen wir sowohl unterscheiden ob ein Objet

Mehr

Ferienkurs Analysis 1. Tag 2 - Lösungen zu Komplexe Zahlen, Vollständige Induktion, Stetigkeit

Ferienkurs Analysis 1. Tag 2 - Lösungen zu Komplexe Zahlen, Vollständige Induktion, Stetigkeit Ferienurs Analysis Tag - Lösungen zu Komplee Zahlen, Vollständige Indution, Stetigeit Pan Kessel 4.. 009 Inhaltsverzeichnis Komplee Zahlen. Darstellung einer ompleen Zahl.....................................

Mehr

: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch

: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch % 1.3 Funktionen Seien und Mengen nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig. Bezeichnungen: : Definitionsbereich : Bildbereich (Zielmenge) von Der Graph einer Funktion: graph!

Mehr

1 Begriff Kombinatorik; Zahl aller Teilmengen

1 Begriff Kombinatorik; Zahl aller Teilmengen 6 Kombinatorik Jörn Loviscach Versionsstand: 2. Dezember 2011, 16:25 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu: http://www.j3l7h.de/videos.html This work

Mehr

Satz 16 (Multiplikationssatz)

Satz 16 (Multiplikationssatz) Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.

Mehr

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 2013 Blatt 3 0.05.2013 Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag 9. Wir betrachten die Ereignisse A, B, C A;

Mehr

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen.

Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens

Mehr

Permutation und Kombination

Permutation und Kombination Permutation und Kombination Aufgaben Aufgabe 1 Wie viele verschiedene Wörter lassen sich durch Umstellen der Buchstaben aus den Wörtern a. Mississippi, b. Larissa, c. Stuttgart, d. Abrakadabra, e. Thorsten,

Mehr

Vorlesung Statistik WING ASW Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

Vorlesung Statistik WING ASW Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1 Aus diesen Eigenschaften lassen sich alle weiteren Eigenschaften ableiten: Beweis zu 1) Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 2 Aufgabe Die Wahrscheinlichkeit

Mehr

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Wichtige Tatsachen und Formeln zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 3 Franz Embacher http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/

Mehr

Counting-Übungen (SS4) Felix Rohrer. Grundlagen des Zählens. 1. KR, Abschnitt 5.1, Aufgabe 7: I. KR, Abschnitt 5.1, Aufgabe 15:

Counting-Übungen (SS4) Felix Rohrer. Grundlagen des Zählens. 1. KR, Abschnitt 5.1, Aufgabe 7: I. KR, Abschnitt 5.1, Aufgabe 15: Counting-Übungen (SS4) Felix Rohrer Grundlagen des Zählens 1. KR, Abschnitt 5.1, Aufgabe 7:? Es gibt 17'576 Monogramme 17576 (1.1) I. KR, Abschnitt 5.1, Aufgabe 15: Wörter mit 1 Zeichen + Wörter mit 2

Mehr

II Wahrscheinlichkeitsrechnung

II Wahrscheinlichkeitsrechnung 251 1 Hilfsmittel aus der Kombinatorik Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt mit den Permutationen, Kombinationen und Variationen. Diese aus der Kombinatorik stammenden Abzählmethoden sind ein wichtiges

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 5

Mathematik I. Vorlesung 5 Prof. Dr. H. Brenner Osnabrüc WS 2009/2010 Mathemati I Vorlesung 5 Für zwei natürliche Zahlen n, m gilt n m genau dann, wenn man n = m+ mit einem N schreiben ann (siehe Aufgabe 4.12). In diesem Fall ist

Mehr

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück 1 GLIEDERUNG 1) Bedingte Wahrscheinlichkeiten 2) Unabhängigkeit für mehr als zwei Ereignisse 3) Unabhängigkeit für Zufallsvariable

Mehr

Übungsblatt 13. Lineare Algebra I, Prof. Dr. Plesken, SS (β α) tr = α tr β tr.

Übungsblatt 13. Lineare Algebra I, Prof. Dr. Plesken, SS (β α) tr = α tr β tr. Übungsblatt 13 Lineare Algebra I, Prof Dr Plesen, SS 2008 Aufgabe 1 (Transponierte lineare Abbildung) Sei α : V W linear Zeige: α tr ist injetiv (surjetiv) genau dann, wenn α surjetiv (injetiv) ist Ist

Mehr

Musterlösung zur ersten Klausur Stochastik für Lehramtskandidaten SS2012

Musterlösung zur ersten Klausur Stochastik für Lehramtskandidaten SS2012 Musterlösung zur ersten Klausur Stochasti für Lehramtsandidaten SS2012 Aufgabe 1 In einer Urne befinden sich 2n Kugeln, n N, die von 1 bis 2n durchnummeriert sind. Die Kugeln mit den Nummern 1 bis n sind

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Abiturvorbereitung Wahrscheinlichkeitsrechnung S. 1 von 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik Formeln für Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zusammenfassung wichtiger Begriffe Übungsaufgaben

Mehr

Prinzip der Inklusion- Exklusion

Prinzip der Inklusion- Exklusion Prinzip der Inklusion- Exklusion Ziel: Zählen von Elementen in nicht-disjunkten Mengen. 2 Mengen A 1, A 2 : Zählen zunächst die Elemente in A 1. Addieren dazu die Anzahl der Elemente in A 2. Zählen damit

Mehr

Binomialkoeffizienten

Binomialkoeffizienten Binomialkoeffizienten ) = n! Die Anzahl ( n k der k-elementigen Teilmengen einer k!(n k)! n-elementigen Menge heißt Binomialkoeffizient n über k. Wichtig sind folgende Eigenschaften, welche die Berechnung

Mehr

Population und Stichprobe Wahrscheinlichkeitstheorie II

Population und Stichprobe Wahrscheinlichkeitstheorie II Population und Stichprobe Wahrscheinlichkeitstheorie II 5. Sitzung 1 S. Peter Schmidt 2003 1 Stichprobenziehung als Zufallsexperiment Definition Stichprobe: Teilmenge der Elemente der Grundgesamtheit bzw.

Mehr