Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

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1 Disrete Struturen und Logi WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier 1

2 Disrete Struturen und Logi Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logi & Mengenlehre Beweisverfahren Kombinatori: Die Kunst des Zählens algebraische Struturen 2

3 Permutationen Eine nichtwiederholende Anordnung sämtlicher Elemente einer endlichen Menge heißt auch Permutation. Für Permutationen hat sich eine Listenschreibweise eingebürgert. Sämtliche Permutationen von S = {a, b, c} sind: a, b, c, a, c, b, b, a, c, b, c, a, c, a, b, c, b, a. Ist π = a i1,..., a in eine Permutation der Menge S = {a 1,..., a n }, so definiert π eine Bijetion f π : S S, a j a ij. Umgeehrt definiert eine Bijetion f : S S eine Permutation; betrachte nämlich die Darstellung von f durch eine Wertetabelle; die zweite Zeile entspricht der Permutation in Listenschreibweise. Satz: Die Zahl aller Permutationen einer n-elementigen Menge ist n!. Hinweis: Ein direter Beweis ist ürzer als unserer aus der vorigen Vorlesung, siehe Meinel-Buch 3

4 Eine -Permutation einer endlichen Menge S ist eine Permutation einer -elementigen Teilmenge von S. Sämtliche 2-Permutationen von S = {a, b, c} sind: a, b, b, a, a, c, c, a, b, c, c, b. Schreibweise: Menge. [ n ] bezeichne die Anzahl der -Permutationen einer n-elementigen Satz: [ n ] = n! n! für n 0. 4

5 Beweis: Betrachte eine Menge mit n Elementen. Den Beweis führen wir durch Indution über. Für = 0 ist die leere Permutation die einzige Möglicheit. Angenommen, die Behauptung gelte für beliebige n und für < n. Wie viele + 1-Permutationen von S gibt es? Für a S sei Π a die Menge aller + 1-Permutationen, die mit a beginnen. Die Menge aller + 1-Permutationen ergibt sich als disjunte Vereinigung aller Π a, also gilt nach der Summenformel: [ ] n = Π + 1 a. a S Die + 1-Permutationen aus Π a lassen sich ansehen als a, π, wobei π eine -Permutation von S \ {a} ist. Umgeehrt liefert jede -Permutation von S \ {a} ein Element aus Π a. Daher gilt: [ ] n 1 n 1! Π a = = n 1!, unabhängig von der Wahl von a gemäß IV. Daher folgt: [ ] n n 1! = n + 1 n 1! = n! n + 1!

6 -Permutationen Hinweis: Spezialisierung auf n = liefert vorvorigen Satz. Beispiel: Beim Pferdetoto 3 aus 18 müssen aus 18 Teilnehmern eines Pferderennens die ersten 3 Pferde in richtiger Reihenfolge angegeben werden. Wieviele Möglicheiten gibt es? =

7 Permutationen und Kombinationen Eine -Kombination einer n-elementigen Menge S ist eine ungeordnete Auswahl n von Elementen aus S. Die Anzahl der -Kombinationen von S ist gleich. Satz: n = n!! n! für n 0. Beweis: Betrachte eine -elementige Teilmenge einer n-elementigen Menge S. Dann gibt es! Permutationen von T. Die Anzahl der -Permutationen ist gleich dem Produt aus der Anzahl der -elementigen Teilmengen [ und ] der Anzahl der Permutationen dieser Teilmengen. n n =! 6

8 Das Pascalsche Dreiec enthält viele ombinatorische Geheimnisse 7

9 Das Pascalsche Dreiec und die Fibonacci-Zahlen als Summe schräger Diagonalen 8

10 Eine Variante des Pascalschen Dreiecs: Der nächste Eintrag ergibt sich als Summe dreier darüberstehender. 9

11 hat Bezug zur Schachmathemati: Das Dreiec entspricht der Zahl der möglichen Pfade eines Schachönigs, die er bei minimaler Anzahl von Zügen nehmen ann, um vom obersten Feld des Rasters jenes mit der entsprechenden Zahl zu erreichen. 10

12 Die Pascalsche Reursion Für alle natürlichen Zahlen n und mit n 1 gilt: n = n n 1. Beweis: ombinatorisch! Es sei A eine n-elementige Menge und fixiere a A. A = A \ {a} ist eine n 1-elementige Menge. Betrachte jetzt eine -elementige Teilmenge B von A. 1. Fall: a B. Dann ist B \ {a} eine 1-elementige Teilmenge von A. 2. Fall: a / B. Dann ist B eine -elementige Teilmenge von A. In dieser Weise lässt sich eine Bijetion zwischen A A A und 1 onstruieren. 11

13 Die Pascalsche Reursion gestattet eine indutive Definition der Binomialoeffizienten: 1. Für alle natürlichen Zahlen n sei n 0 = 1. n 2. Für alle natürlichen Zahlen n und mit n < sei 3. Für alle natürlichen Zahlen n und mit n 1 gilt: n n 1 n 1 = +. 1 = 0. 12

14 Die Gleichung von Vandermonde verallgemeinert die Pascalsche Reursion: m + n = i=0 m i n i Beweis: Sei die n + m-elementige Menge A partitioniert in B und C mit B = m, C = n. Jede -elementige Teilmenge von A hat i Elemente von B und i Elemente von C. Dies liefert eine Bijetion zwischen A und B i i=0 C i. 13

15 Zwei weitere Identitäten mit schwierigerer ombinatorischer Interpretation: 1. n = n i=0 i 2. n + 1 = n i=0 n i i 14

16 Beweis: nur für die erste Beziehung Wir führen einen Indutionsbeweis über n. IA: n = 0 Achtung: Fallunterscheidung = 0, 1. IV: Für n sei die Bauptung richtig. IS: n+1 i=0 i = = = n + 1 n + 1 n n i i=0 n

17 Binomischer Lehrsatz x + y n = n j=0 n j x n j y j. Beweis: Ausmultiplizieren der linen Seite Summe von Produten der Form x n j y j. Jeder Summand entsteht, indem aus jedem der n Fatoren x + y das x oder das y ausgewählt wird. So entspricht jedem Summanden eine Teilmenge A von {1,..., n}, die die Fälle aufsammelt, in denen y ausgewählt wurde. x + y n = x y = n x n A y A = xn A y A A {1,...,n} i {1,...,n}\A i A A {1,...,n} j=0 A {1,..., n} j 16

18 Numerische Hilfen Satz: Stirlingsche Formel Für alle natürlichen Zahlen n gilt: 2πn n e n n! 2πn n e n+ 1 12n Folgerung: Für alle n, N gilt: n n e n 17

19 Urnenmodelle, siehe auch wieder Matheprisma In der Kombinatori werden oft modellhaft Urnen betrachtet, aus denen nach einer bestimmten Vorschrift Kugeln gezogen werden. Der Grund dafür: Viele Zufallsexperimente lassen sich als Ziehung von Kugeln aus einer Urne darstellen, die insgesamt n Kugeln enthält. 18

20 Die vier Grundaufgaben der Kombinatori Es gibt insgesamt vier verschiedene Urnenexperimente, je nachdem, * ob die Kugeln zurücgelegt werden * oder die Kugeln nicht zurücgelegt werden * und ob die Reihenfolge beachtet wird * oder ob die Reihenfolge nicht beachtet wird. Weitere nette Erläuterungen finden Sie hier. 19

21 1. Urnenmodell: mit Zurüclegen, mit Beachtung der Reihenfolge Beispiel: Wurf mit zwei Würfeln. Sie önnen dieses Zufallsexperiment auch so mit einer Urne simulieren. Eine Urne enthält sechs Kugeln, die mit den Ziffern 1 bis 6 beschriftet sind. Sie ziehen zufällig eine Kugel und notieren das Ergebnis z.b. 4, legen die Kugel in die Urne zurüc und schütteln die Urne gut durch, ziehen wieder eine Kugel und notieren das Ergebnis das önnte z.b. wieder die 4 sein, da Sie diese Kugel nach dem ersten Zug zurücgelegt haben. Hier ist die Reihenfolge der gezogenen Kugeln wichtig. Es ist n = 6 sechs Kugeln in der Urne und = 2 zweimaliges Ziehen. 20

22 1. Urnenmodell: mit Zurüclegen, mit Beachtung der Reihenfolge Satz: Für die Auswahl Ziehung * von Elementen Kugeln * aus einer Menge mit n Elementen Urne * mit Wiederholung Zurüclegen * und mit Berücsichtigung der Reihenfolge gibt es Möglicheiten. n 21

23 1. Urnenmodell: mit Zurüclegen, mit Beachtung der Reihenfolge Beispiel: Als Totospieler aufen Sie einen Totoschein, auf dem Sie die Spielergebnisse von elf ausgewählten Fußballbegegnungen raten önnen. Dabei genügt es, die Tendenz vorherzusagen: Auf dem Spielschein müssen Sie 1 anreuzen, wenn Sie auf den Sieg der Heimmannschaft tippen, 2 für einen Sieg der Gastmannschaft und schließlich 0 für ein Unentschieden. Können Sie angeben, wieviele Möglicheiten es gibt, den Totoschein auszufüllen?

24 2. Urnenmodell: ohne Zurüclegen, mit Beachtung der Reihenfolge Satz: Für die Auswahl * von Elementen * aus einer Menge mit n Elementen * ohne Wiederholung * und mit Berücsichtigung der Reihenfolge gibt es [ ] n viele Möglicheiten. Beispiel: Pferdewette s.o. 23

25 3. Urnenmodell: ohne Zurüclegen, ohne Beachtung der Reihenfolge Beispiel: Ziehen von 10 Karten aus einem 32er Satspiel Hier sind die 32 Kugeln in der Urne mit den Namen der Spielarten beschriftet z.b. Karo-Bube. Sie ziehen zehn Kugeln aus der Urne, legen aber die Kugeln nach jedem Zug nicht zurüc. Haben Sie beim Satspiel einmal z.b. die Karte Karo-Bube gezogen, so önnen Sie diese nicht noch einmal ziehen. Die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen wurden, ist Ihnen hier egal. Sie interessiert nur, welche Karten Sie überhaupt gezogen haben. Es ist n = Kugeln in der Urne und = Mal Ziehen. 24

26 3. Urnenmodell: ohne Zurüclegen, ohne Beachtung der Reihenfolge Satz: Für die Auswahl * von Elementen * aus einer Menge mit n Elementen * ohne Wiederholung * und ohne Berücsichtigung der Reihenfolge gibt es n viele Möglicheiten. 25

27 3. Urnenmodell: ohne Zurüclegen, ohne Beachtung der Reihenfolge Beispiel: Sie aufen an der Lottoannahmestelle einen Lottoschein, auf dem Sie aus 49 Zahlen sechs anreuzen. Samstagabends werden dann in einer maschinellen Urnenziehung ohne Zurüclegen die sechs Gewinnzahlen ermittelt. Wieviele Möglicheiten gibt es, den Lottoschein auszufüllen?

28 4. Urnenmodell: mit Zurüclegen, ohne Beachtung der Reihenfolge Satz: Für die Auswahl * von Elementen * aus einer Menge mit n Elementen * mit Wiederholung * und ohne Berücsichtigung der Reihenfolge gibt es n + 1 viele Möglicheiten. Beispiel: Bei einem Sonderangebot ann man sich eine Kiste zwölf Flaschen aus drei verschiedenen Getränesorten beliebig zusammenstellen. Wieviele Möglicheiten gibt es dafür? 27

29 4. Urnenmodell: mit Zurüclegen, ohne Beachtung der Reihenfolge Beweis: Wir betrachten o.e. die Menge S = [n]. Eine Ziehung von Elementen aus S mit Zurüclegen liefert eine Reihe von Zahlen, die wir im Nachhinein in der üblichen Weise sortieren önnen; wir erhalten so: a 0 a 1 a 1. Durch b j = a j + j erhalten wir eine Zahlenfolge mit b 0 < b 1 < < b 1 mit b j [n + 1]. Umgeehrt önnen wir jede -elementige Teilmenge von [n+ 1] zunächst sortieren und dann in eine schwach wachsende Folge aus [n] umrechnen. 28