Kaiserslautern, den 24. März Eduard Deines

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1 Erklärung Hiermit versichere ich, dass ich diese Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die von mir angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet habe. Kaiserslautern, den 24. März 2004 Eduard Deines

2 Danksagung An dieser Stelle möchte ich mich bei allen, die mich bei der Erstellung dieser Arbeit unterstützt haben, bedanken. Bei Dr. Gerik Scheuermann für die Möglichkeit an diesem Thema arbeiten zu dürfen sowie für die ausgezeichnete Betreuung während der gesamten Zeit. Die wöchentlichen Besprechungen ließen mich nie vom richtigen Weg abkommen. Bei Dr. Xavier Tricoche und Dipl. Math. Christoph Garth, die immer ein offenes Ohr für meine Fragen hatten und mir bei der Lösung entstehender Probleme hilfreich zur Seite standen. Die Diplomarbeit entstand in der FAnToM Umgebung, die in der AG Visualisierung der Technischen Universität Kaiserslautern entwickelt wird, deswegen möchte ich mich bei allen Mitarbeitern der AG bedanken. Desweiteren danke ich meiner Freundin Svetlana für die moralische Unterstützung, sowie meinen Freunden und meiner Familie, die für die nötige Ablenkung gesorgt haben.

3 FACHBEREICH INFORMATIK AG VISUALISIERUNG Quelle: Exploration von 3D Strömungsstrukturen mit Hilfe von Schnittflächentopologie Eduard Deines März 2004

4 42 Je mehr man kennt, je mehr man weiß, Erkennt man: alles dreht im Kreis. Goethe, Zahme Xenien

5 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 5 2 Theoretische Grundlagen Mathematische Grundlagen Das Skalarfeld Das Vektorfeld Grundlagen der Strömungsmechanik Zustandsgrößen einer Strömung Der Wirbelbegriff Fehlen einer Definition Modellbasierte Definition eines Wirbels Visualisierung von Strömungsdaten Visualisierung in Naturwissenschaft Numerische Simulation Gitter Visualisierungspipeline Visualisierung von Skalardaten Höhenfelder Cutting Planes mit Color Mapping Direct Volume Rendering Isokurven und Isoflächen Visualisierung von Vektordaten Hedgehogtechnik Stromlinien und verwandte Techniken Textur basierte Techniken Vektorfeldtopologie Kritische Punkte und Separatrizen Topologischer Graph Bifurkationen Lokale Bifurkationen Globale Bifurkationen Merkmalsbasierte Visualisierung

6 INHALTSVERZEICHNIS Merkmale der Strömungsdaten Feature Tracking Tracking der Topologie Wirbel Visualisierungsverfahren Wirbel als Regionenmerkmal Schwellwert des Betrages der Wirbelstärke Schwellwert des Druckes Schwellwert der Helicity λ 2 Methode Wirbel als Kurvenmerkmal Banks Singer Methode Sujudi Haimes Methode Stromflächenmethode Weitere Wirbeldetektionsverfahren Exploration der 3D Strömung Exploration der 3D Strömungsstrukturen Implementierung in FAnToM Erzeugen der Datensätze Datenstruktur D Schnittflächen Topologie Tracking der Singularitäten Visualisierung der Daten Darstellung der Gitter Darstellung der Topologie Pfad der Singularitäten Anteil der 3D Strömung in Normalenrichtung Resultate Verwendete Datensätze Ergebnisse Dose1 Datensatz Dose2 Datensatz Delta1 Datensatz Delta2 Datensatz ICE Datensatz Zusammenfassung 93

7 INHALTSVERZEICHNIS 4 A Benutzeroberfläche 94 A.1 Section Plane Dialog A.2 Section Plane Topology Dialog A.3 Sections Singularities Tracking Dialog A.4 Show Section Planes Dialog B Dateiformat für Merkmalslinien 103

8 Kapitel 1 Einleitung Jede Bewegung von Materie, abgesehen von wenigen Spezialfällen, kann als Wirbelbewegung betrachtet werden ([Lugt], S.1). Seit je her waren die Menschen von Wirbeln fasziniert. Jeder hat wahrscheinlich schon mal kreisende Laubblätter an einem stürmischen Herbsttag oder Wirbel an der Wasseroberfläche eines Flusses oder vielleicht auch herumwirbelnde Schneeflocken an einem verschneiten Wintertag beobachtet? Bis in die jüngste Zeit glaubten die Menschen übernatürliche Kräfte stecken hinter diesen Naturerscheinungen. Man berichtete von Nixen und Ungeheuern in Wasserstrudeln und reißenden Meeresströmungen. Phantasie und Aberglaube der Menschen wurden von zwei besonderen Merkmalen der Wirbelbewegung angeregt: dem gefährlichen und dem geheimnisvollen Moment. Heute glaubt man zwar nicht mehr an übernatürlichen Ursachen von Wirbeln, dennoch, trotz des Fortschritts in Wissenschaft und Technik, sind diese beiden Merkmale kennzeichnend für viele Wirbelströmungen geblieben. Noch immer verwüsten Taifune, Hurrikane und Tornados große Landflächen und reißen dabei viele Menschen in den Tod. Die Zirkulation der Tiefsee ist geheimnisvoll wie je, und die großen astronomischen Rätsel, wie die Entstehung der Planetensysteme und die Struktur der Galaxien, sind noch ungelöste Wirbelprobleme. Wirbel sind entscheidend für den Bewegungsablauf der Materie und keine bloße Laune der Natur. Aus diesem Grund ist es auch nicht überraschend, dass dem Wirbelbegriff in der Wissenschaft eine zentrale Bedeutung zukommt. Seit seiner Vorgeschichte beschäftigt sich der Mensch mit der Deutung des Wirbelbegriffs, doch erst die Entwicklung einer Wirbeltheorie im Rahmen der klassischen Mechanik führten zu einem großen Triumph. In der Aero- und Hydrodynamik gab die Auftriebslehre basierend auf dem gebundenen Wirbel den direkten Anstoß zur Entwicklung von Flugzeugen, Propellern und Turbinen. In der Meteorologie legte die Lösung der vereinfachten Wirbeltransportgleichung die Grundlage für die theoretische Wettervorhersage. In der Akustik basiert die Theorie zur Erzeugung von aerodynamischem Schall auf der Wirbelbewegung in einer instationären Strömung. In der Astronomie sind die Entwicklung des Sonnensystems und der Galaxien mehr oder weniger ungelöste Wirbelprobleme. 5

9 KAPITEL 1. EINLEITUNG 6 Mit der Entwicklung von elektronischen Computern begann ein neues Kapitel in der Geschichte der Wirbeltheorie. Es war nun möglich die grundlegenden Bewegungsgleichungen numerisch zu lösen. Dank den Fortschritten in der Computergraphik und Visualisierung sind heute Simulation und graphische Darstellung der Strömungen Realität geworden. Die Visualisierung dreidimensionaler Strömungsdaten mit Hilfe von Stromlinien oder Stromflächen erfordert viel Zeit und Geduld des Anwenders und kann, vor allem im Falle der Wirbel, sehr schnell sehr unübersichtlich werden. Die Merkmalsbasierte Visualisierung bietet Möglichkeiten die Visualisierung interessierender Merkmale zu automatisieren. Wegen der fehlenden allgemeingültigen Definition eines Wirbels, stößt man bei der Wirbelextraktion auf Schwierigkeiten, eine Validierung ist erforderlich. In dieser Arbeit wird ein Werkzeug vorgestellt, das dem Benutzer bei der Analyse der 3D Strömungsstrukturen helfen kann. Dies wird erreicht durch Berechnung zweidimensionaler Schnitte durch die 3D Strömung und anschließende Betrachtung der Topologie des Vektorfeldes dieser Schnittflächen. Aufbau der Diplomarbeit. Diese Arbeit ist, wie folgt, gegliedert. Das zweite Kapitel gibt eine Übersicht über die nötigen theoretischen Grudlagen der Strömungsmechanik. Desweiteren wird in diesem Kapitel die Schwierigkeit, einen Wirbel allgemeingültig zu definieren, diskutiert und einige Wirbelmodelle vorgestellt. Kapitel 3 beschäftigt sich mit den grundlegenden Methoden der Visualisierung in der Naturwissenschaft und Technik. Der Schwerpunkt wird dabei auf die topologie- und merkmalsbasierte Visualisierung gelegt. Das vierte Kapitel beschreibt, die existierenden Verfahren zur Extraktion und Visualisierung der Wirbelstrukturen. Das in dieser Arbeit implementierte Werkzeug zur Analyse dreidimensionaler Strömungsdaten mit Hilfe der 2D Vektorfeldtopologie wird in Kapitel 5 vorgestellt. Beispiele und Ergebnisse der Analyse werden im folgenden sechsten Kapitel besprochen. Abschließende Bemerkungen und Schlussfolgerungen sind in Kapitel 7 zusammengefasst.

10 Kapitel 2 Theoretische Grundlagen Durch die wachsenden Rechenleistungen der Computertechnik ist eine aufwändige Darstellung von Strömungen möglich geworden. Doch bevor man mit der Visualisierung anfängt, sind einige Grundbegriffe aus der Mathematik und Strömungsmechanik von Nutzen. In diesem Kapitel werden die für die Visualisierung in der Naturwissenschaft und Technik notwendigen mathematischen und strömungsmechanischen Grundlagen vorgestellt. 2.1 Mathematische Grundlagen Strömungsdaten werden formal als Skalar- und Vektorfelder beschrieben Das Skalarfeld Ein Skalarfeld ist eine Abbildung, die jedem Punkt x des Beobachtungsraumes B R n einen reellen Wert zuordnet: s : B R (2.1) Den Verlauf skalarer Felder kann man durch Isokurven im R 2 oder Isoflächen im R 3 veranschaulichen. Das sind Kurven bzw. Flächen, auf denen das Skalarfeld konstante Werte annimmt, also: I = s 1 (w) w R (2.2) In vielen Anwendungen interessiert man sich für die Extrempunkte (Minima bzw. Maxima) des Skalarfeldes. Diese können mit Hilfe des Gradienten berechnet werden: ( ) s s grad s = s =,..., (2.3) x 1 x n 7

11 KAPITEL 2. THEORETISCHE GRUNDLAGEN 8 wobei n N die Dimension des Beobachtungsraumes ist. In den Punkten, in denen das Skalarfeld ein Maximum oder ein Minimum besitzt, ist der Gradient gleich Null Das Vektorfeld Im Falle von Vektordaten haben die Attributwerte die gleiche Dimension wie der Beobachtungsraum B R n. Ein Vektorfeld ist also eine Abbildung aus B in R n : v : B R n n N (2.4) Zur Veranschaulichung von Vektorfeldern benutzt man Feldlinien. Eine Feldlinie ist eine Kurve, die in jedem Punkt tangential zum Vektorfeld v ist, und wird wie folgt definiert: mit c(t) t c : I B t c(t) (2.5) = v(c(t)) wobei I R B R n n N. Durch jeden Punkt des Feldes verläuft eine Feldlinie. Außer in den Punkten, in denen das Feld nicht definiert oder gleich Null ist, schneiden sich die Feldlinien nicht. Die Berechnung der Vektorfeldlinien erfolgt mit Hilfe der Methoden der Numerik zur Lösung von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen [Num]. In der Strömungsmechanik spielt die Divergenz eines Vektorfeldes eine wichtige Rolle und wird formal wie folgt definiert: div v = v = n i=0 v i x i (2.6) wobei B R n der Beobachtungsraum der Dimension n N ist. Anschaulich misst die Divergenz den Nettoausfluss pro Einheitsvolumen für ein infinitisimales Volumen bei x B. Ein weiterer wichtiger Differentialoperator eines Vektorfeldes v ist die Rotation: rot v = v (2.7)

12 KAPITEL 2. THEORETISCHE GRUNDLAGEN 9 Zur anschaulichen Deutung der Rotation sei zuerst der Begriff der Zirkulation eines Vektorfeldes eingeführt. Die Zirkulation ist die aufintegrierte zum Rand tangentiale Komponente des Vektorfeldes. Sie ist ein Maß für die Wirbelhaftigkeit des Feldes. Die Rotation bestimmt die Normale einer Ebene durch den Punkt x im Beobachtungsraum B R n. Betrachtet man ein Flächenstück um x in diese Ebene, so wird das Verhältnis der Zirkulation entlang des Randes zum Flächeninhalt des Teilstückes maximal. Die Rotation hat also in jedem Punkt die Richtung der Drehachse, und ihr Betrag gibt an, wie stark das Vektorfeld lokal rotiert. Ein Vektorfeld mit rot v = 0 heißt rotationsfrei. Wie bei einem Skalarfeld kann auch für ein Vektorfeld der Gradient berechnet werden, mit dem Unterschied, dass das Ergebnis kein Vektor, sondern eine Matrix(also ein Tensor) ist, die Jacobimatrix : J = v = v 1 x 1 v 1 x 2 v 2 x 1 v 2 x 2 v 1 x n v 2 x n v n x 1 v n x 2 v n x n 2.2 Grundlagen der Strömungsmechanik (2.8) Der Zustand eines Naturereignisses wird physikalisch durch bestimmte Größen eindeutig beschrieben. Die Zustandsgrößen einer Strömung sind beispielsweise Geschwindigkeit, Druck, Wirbelstärke, Dichte und Temperatur. Jedem Punkt des Strömungsgebietes wird ein Wert (Skalar, Vektor oder Tensor) einer dieser Zustandsgrößen eindeutig zugeordnet. Die Gesamtheit aller Werte einer Zustandsgröße in einem Gebiet bildet das Feld der Zustandsgröße. Das Definitionsgebiet besteht aus Masseteilchen vernachlässigbarer Abmessungen (Partikel), für die die fundamentalen Gesetze gelten. Im Folgenden werden einige dieser Größen kurz beschrieben, sowie die notwendigen mathematischen Grundlagen eingeführt Zustandsgrößen einer Strömung Geschwindigkeit. Die wichtigste Zustandsgröße einer Strömung ist die Geschwindigkeit. Sei B R n der Beobachtungsraum und T die Beobachtungszeit, dann ist v(x, t) die Geschwindigkeit der Strömung im Punkt x des Raumes B zum Zeitpunk t. Die Geschwindigkeit ist ein Vektor, hat also einen eindeutig bestimmten Betrag und eine eindeutig bestimmte Richtung und wird folglich als Vektorfeld beschrieben.

13 KAPITEL 2. THEORETISCHE GRUNDLAGEN 10 Druck. Die umgebende Materie wirkt auf ein Partikel durch Kräfte in Normalenrichtung zum Rand des Beobachtungsraumes B R n. An einem Punkt x zur Zeit t ist diese Kraft in alle Richtungen gleich und wird als Druck p(x, t) bezeichnet. Der Druck ist also der Betrag der Kraft pro Flächeninhalt und somit ein Skalar. Die Beschreibung erfolgt mittels eines Skalarfeldes. Dichte. Eine weitere skalare Größe der Strömung ist die Dichte ρ(x, t) an dem Punkt x des Beobachtungsraumes B R n zum Zeitpunkt t. Die Dichte ist das Verhältnis der Masse des Partikels zu seinem Volumen. Strömungen mit konstanter Dichte heißen inkompressibel. Bei strömenden Flüssigkeiten ist ρ im Allgemeinen überall gleich, denn der Druck ist nirgends hoch genug, um sie wesentlich zu ändern. Auch Gasströmungen kann man oft als inkompressibel betrachten. Wirbelstärke. Die Rotation eines Geschwindigkeitsfeldes wird Wirbelstärke (engl. Vorticity) ω = v, genannt. Diese Größe ist besonders wichtig bei der Wirbeldetektion. Natürlich ist nicht jedes Wirbelstärkefeld automatisch ein Wirbel, aber es gibt keine Wirbel ohne Wirbelstärke. Helicity. Die Helicity wird bei einigen Verfahren zur Wirbeldetektion benutzt. Aus diesem Grund möchte ich sie an dieser Stelle definieren. Helicity, oder der Windungssinn, einer Strömung ist das Skalarprodukt der Wirbelstärke und der Geschwindigkeit: h = ω v. Weiterhin sei hier noch die normalisierte Helicity h n = ω v aus dem selben Grund erwähnt. Sie ist die Projektion der ω v normalisierten Wirbelstärke auf die Geschwindigkeitsrichtung der Strömung. Neben den oben genannten Zustandsgrößen müssen unter Umständen noch andere berücksichtigt werden. Sie ergeben sich beispielsweise in Gegenwart von elektrischen und magnetischen Feldern. Auch Gemische von mehreren Flüssigkeiten müssen durch weitere Zustandsgrößen beschrieben werden, zum Beispiel durch Feuchtigkeit. Die Zustandsgrößen können mit Instrumenten gemessen werden, um damit den aktuellen Zustand einer Strömung zu bestimmen. Je enger diese Meßstellen aneinander liegen, desto genauer wird das Feld beschrieben. Davon macht man in der Metereologie weitgehend Gebrauch. Für den Wissenschaftler ist aber das bloße Zusammentragen der Meßwerte nicht ausreichend. Er sucht nach Naturgesetzen, die den Zusammenhang der Zustandsgrößen und deren Änderung in Raum und Zeit beschreiben. Die Naturgesetze lassen sich auf wenige Grundgesetze (Axiome) zurückführen, diese werden durch Auswerten von Experimenten in Verbindung mit vereinfachenden Modellen gefunden. Die Axiome der Strömungslehre unterteilen sich in zwei Gruppen: die Erhaltungsgesetze und die sogenannten konstitutive Gesetze. Die erste Gruppe sagt aus, dass bestimmte physikalische Größen in einem abgeschlossenen System nicht erzeugt werden können und auch nicht verloren gehen. Für Materie,

14 KAPITEL 2. THEORETISCHE GRUNDLAGEN 11 Energie oder Impuls gelten beispielsweise solche Gesetze. Die zweite Gruppe von Axiomen sagt etwas über die Eigenschaft der Materie aus, z.b. ob ein Körper starr, flüssig oder gasförmig ist. Diese Axiome führen zu Gleichungen, die die Strömung beschreiben. Unter den Annahmen, dass die Strömung ein Kontinuum ist, inkompressibel ist und ohne Reibung fließt, ergibt sich das einfachste Beschreibungsmodell, das Eulermodell. Sind diese Annahmen nicht erfüllt, müssen kompliziertere Modelle eingesetzt werden. Die genaue Beschreibung und Herleitung dieser Modelle kann bei Batchelor [Batch] nachgeschlagen werden Der Wirbelbegriff Jeder hat eine Vorstellung davon, wie ein Wirbel aussieht. Meistens denkt man dabei an einen Tornado oder Hurrikane, die eine grosse Verwüstung hinterlassen(abbildung 2.1). Der Strömungsmechaniker braucht aber ein weniger stereotypisches Bild. Im Folgenden werden einige der Definitionsversuche vorgestellt. Abbildung 2.1: Hurrikane Andrew (links) und die von ihm hinterlassene Verwüstung (rechts) (www.lib.noaa.gov). Fehlen einer Definition Die wichtigste Eigenschaft einer Strömung ist der Wirbel. Doch was genau ist ein Wirbel? Diese Frage ist weder einfach noch eindeutig zu beantworten. Mehrere Definitionen wurden in der Strömungsmechanik bereits vorgeschlagen, doch keine von ihnen ist hinreichend zufriedenstellend. Die Schwierigkeit liegt in der Allgemeingültigkeit solcher Definitionen. Bis heute fehlt eine formale Definition eines Wirbels. Eine der ersten Definitionen wurde von Lugt([Lugt]) angegeben: Unter einem Wirbel versteht man die kreisende Bewegung einer Vielzahl von Materieteilchen um ein gemeinsames Zentrum.

15 KAPITEL 2. THEORETISCHE GRUNDLAGEN 12 Dabei wird die Eigenrotation eines Teilchens außer acht gelassen. Diese Definition ist sehr vage und eignet sich nicht für praktische Algorithmen. Eine etwas präzisere Definition eines Wirbels stammt von Robinson ([Roth]): A vortex exists when instantaneous streamlines that are mapped onto a plane normal to the vortex core exhibit a roughly circular or spiral pattern, when viewed from a reference frame moving with the center of the vortex core. Der große Nachteil dieser Definition ist die Kenntnis des Wirbelkerns, bevor das Vorhandensein eines Wirbels festgestellt werden kann. Aus diesem Grund führt sie auch zu keinem Algorithmus zur Wirbeldetektion in einer Strömung. Modellbasierte Definition eines Wirbels Die beste Lösung zum Verständnis von Wirbeln sind Modelle. In diesem Abschnitt werden einige Wirbelmodelle vorgestellt. Die meisten von ihnen sind zweidimensionale Strömungen. Wenn die Strömung dreidimensional ist, so ist die dritte Komponente des Flusses, senkrecht zur 2D Ebene, meistens trivial(z.b. konstant). Weiterhin sind die meisten Wirbel rotationssymmetrisch. Starrer Wirbel. Wird ein fester Körper gleichmäßig um eine Achse durch seinen Mittelpunkt gedreht (Abbildung 2.2 links), so nimmt die Geschwindigkeit eines Punktes auf der Scheibe mit dem Abstand vom Drehzentrum zu (Abbildung 2.2 rechts). Ersetzt man dann die Scheibe durch eine Dose, die innen vollständig mit Flüssigkeit gefüllt ist, so rotiert die Flüssigkeit nach einer bestimmten Zeit wegen der Haftreibung an den Wänden wie ein starrer Körper. Das heißt, auch hier nimmt die Geschwindigkeit der Flüssigkeitsteilchen linear mit der Entfernung vom Drehzentrum zu. Diese Drehbewegung heißt daher starrer Wirbel. Es sei hier aber betont, dass die Bewegung der Flüssigkeit stationär (d.h. zeitunabhängig) sein muss. In der Übergangsphase vom Beginn der Drehbewegung bis zum stationären Fall kann die Flüssigkeit durchaus kompliziertere Bewegungen ausführen. Bewegt sich ein starrer Wirbel gleichmässig in axialer Richtung, so wandern die Teilchen entlang einer Schraubenlinie. Jeder rotierende Körper ist ein solcher Wirbel. In einem starren Wirbel treten keine Scherkräfte auf, weswegen er keine Energie benötigt, um die Drehung aufrechtzuerhalten. Weiterhin ist die Wirbelstärke im gesamten Wirbel konstant. Der Vorteil dieses Modells ist, dass die Wirbelbewegung auf die Rotation eines festen Körpers um eine Drehachse zurückgeführt werden kann. Der große Nachteil ist die mit dem zunehmenden Abstand vom Drehzentrum ins unendlich wachsende Geschwindigkeit der Partikel.

16 KAPITEL 2. THEORETISCHE GRUNDLAGEN 13 Abbildung 2.2: Rotierender fester Körper (links). Geschwindigkeitsverteilung in einem starren Wirbel (rechts). (aus [Lugt]). Potentialwirbel. Auch im stationären Zustand ist die Flüssigkeit im Gegensatz zu starren Körper zu anderen Bewegungen fähig. Diese Tatsache hat bereits Newton in einem Versuch gezeigt. Ein langer runder Stab wird in einer Flüssigkeit gleichmäßig um seine Achse rotiert. An der Oberfläche des Stabes ist die Geschwindigkeit der Flüssigkeit am größten und gleich der Drehgeschwindigkeit des Stabes. Mit zunehmender Entfernung von Stab nimmt diese Geschwindigkeit umgekehrt proportional zum Abstand ab(abbildung 2.3 rechts). Eine solche Flüssigkeitsbewegung heißt Potentialwirbel (Abbildung 2.3 links). Seinen Namen hat dieser Wirbel aus der Tatsache, dass er als Gradient eines Skalares geschrieben werden kann. Wenn ein Vektorfeld als Gradient eines Skalarfeldes ausgedrückt werden kann, so nennt man es Potentialfeld und das entsprechende Skalarfeld wird als Potential bezeichnet. Abbildung 2.3: Geschwindigkeitsverteilung in einem Potentialwirbel (rechts) (aus [Lugt]). Simulation eines Potentialwirbels (links) (www.exploratorium.edu).

17 KAPITEL 2. THEORETISCHE GRUNDLAGEN 14 In einem Potentialwirbel wirken im Gegensatz zum starren Wirbel Scherkräfte. Denn erzeugt man einen Potentialwirbel, indem man in einer zähen Flüssigkeit einen Stab rotiert, und markiert anschließend mit einem Pulver ein Quadrat, so wird dieses zu einem parallelogrammähnlichen Gebilde verzerrt, bis es völlig auseinandergezogen ist (siehe dazu [Lugt]). Um also die Drehbewegung eines Potentialwirbels zu erhalten, muss ständig Energie hinzugefügt werden. Außerdem hat dieser Wirbel nur im Kern Wirbelstärke, außerhalb ist die Wirbelstärke gleich Null. Der Potentialwirbel ist das zweiteinfachste Wirbelmodell, er dient als Gegenbeispiel dafür, dass die Existenz eines Wirbels aus dem Vorhandensein von Wirbelstärke geschlossen werden kann. Weitere Wirbelmodelle. Da unendliche Geschwindigkeit nicht einer echten physikalischen Strömung entspricht, wurden weitere, kompliziertere Modelle ausgearbeitet. Ersetzt man bei dem Versuch von Newton den Stab durch einen mit Flüssigkeit gefüllten Hohlzylinder, so entsteht eine aus einem starren Wirbel und einem Potentialwirbel zusammengesetzte Flüssigkeitsbewegung. Dieser wurde nach dem Strömungsforscher Rankine Rankinewirbel(Abbildung 2.4) benannt. Bei gleichmäßiger und kreisförmiger Bewegung ohne Vertikalgeschwindigkeit ist dies der einzig mögliche Wirbel, dessen Geschwindigkeit im Zentrum und weit außerhalb davon Null ist. Die Wirbelstärke ist innerhalb eines Kreises mit Radius r konstant und Null außerhalb. Abbildung 2.4: Geschwindigkeitsverteilung (links) und Wirbelstärkeverteilung (rechts) eines Rankinewirbels (aus [Lugt]). Neben den beiden in den vorhergehenden Abschnitten beschriebenen Grundarten der zeitunabhängigen Kreisrotation gibt es andere stationäre Drehbewegungen, die außer der azimutalen Geschwindigkeitskomponente auch eine radiale und eine axiale Komponente besitzen (Abbildung 2.5. Weitere Einzelheiten finden sich bei [Lugt]). Es existiert eine Menge weiterer, komplexerer Modelle, doch keines kann zu einer allgemeingültigen Definition eines Wirbels herangezogen werden. Gewöhnlich sind das 2D Strömungen mit einer trivialen Komponente in die dritte

18 KAPITEL 2. THEORETISCHE GRUNDLAGEN 15 Richtung. Im Allgemeinen haben aber Wirbel eine Vielzahl an Formen, vor allem die Wirbelkernlinie ist nicht auf eine Gerade begrenzt. Abbildung 2.5: Spiralwirbel(links). Ausflusswirbel (rechts) (aus [Lugt]). Aus dem Abschnitt läßt sich folgende Erkenntnis ziehen. Eine allgemeingültige Definition eines Wirbels existiert zur Zeit nicht. Doch das soll bei der Detektion und Visualisierung von Wirbeln nicht stören. Bei der merkmalsbasierten Visualisierung (Kapitel 4) wird lediglich gefordert, dass ein gefundenes Merkmal auch tatsächlich ein Wirbel ist im Sinne der Interpretation des Betrachters.

19 Kapitel 3 Visualisierung von Strömungsdaten In diesem Kapitel werden die grundlegenden Techniken der Visualisierung in der Naturwissenschaft und Technik vorgestellt. Der Schwerpunkt wird dabei auf die Visualisierung von Strömungen und merkmalsbasiertes Visualisieren gelegt. Das stellt nur einen Überblick über die vorhandenen Verfahren, näheres findet man in [Vis]. 3.1 Visualisierung in Naturwissenschaft Visualisieren bedeutet, etwas sichtbar zu machen. Die Hauptziele sind dabei Daten und Information zu untersuchen, das Verständnis von Konzepten zu verbessern, bedeutende Merkmale darzustellen oder auch neue Ansichten zu erlangen, die unter normalen Umständen verborgen bleiben. In der Informatik bedeutet Visualisieren das Erzeugen computergenerierter Bilder, die Information über die Daten effizient und präzise repräsentieren. Sie kann in drei unabhängige Teilgebiete gegliedert werden: Information Visualization: Visualisierung von nicht natürlich im Raum angeordneten, diskreten Daten, meist hoher Dimensionen. Beispiele sind Tabellen, Datenbanken und Graphen. Diese kommen häufig aus dem Bereich der Wirtschaftswissenschaften. Scientific Visualization: Visualisierung von kontinuierlichen Daten in Naturwissenschaft, Lebenswissenschaften und Technik. Diese sind typischerweise im ein- bis vierdimensionalen Raum angeordnet. Beispiele sind Temperatur, Geschwindigkeit, Druck und weitere physikalische Größen. Software Visualization: Visualisierung der Struktur und des Ablaufs von Algorithmen und Softwaresystemen 16

20 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 17 Wir beschäftigen uns hier mit dem Teilgebiet Scientific Visualization. Die zu visualisierenden Daten stammen aus Messungen bei Experimenten, oder sind das Ergebnis numerischer Simulation physikalischer Vorgänge Numerische Simulation Bei der rechnergestützten Simulation wird das physikalische Modell mit Hilfe eines Algorithmus nachgebildet. Es gibt zwei Arten der Simulation, die direkte und die indirekte Simulation. Bei der direkten Simulation lässt sich das Modell unmittelbar in ein Programm umsetzen, z.b. Simulation von Teilchensystemen(Licht, Neutronen, dünne Gase). Bei der indirekten Simulation ist das Modell durch Gleichungen gegeben, die Simulation erfordert das Lösen der Gleichungssysteme(Abbildung 3.1). Beispiele sind unter anderem Strömungsprozesse, Schwingungen und Deformationen. Die Lösung der Gleichungen kann beispielsweise mit Hilfe des Differenzenverfahren oder der Finite Elemente Methode gefunden werden. Näheres zu diesem Thema findet man in [Sim]. Abbildung 3.1: Schritte der indirekten Simulation Gitter Der Datensatz für die Visualisierung ist auf diskreten Positionen, Knoten, im Raum(2D oder 3D) gegeben. Einzelne Knoten werden zu konvexen Zellen zusammengefasst, wobei ein Knoten zu mehreren Zellen gehören kann. Eine Zelle kann ein beliebiges Polygon sein, wobei man meistens Dreiecke oder Rechtecke in 2D bzw. Tetraeder oder Quader in 3D verwendet(abbildung 3.2). Die Menge aller Zellen bildet das Gitter. Es gibt zwei grundlegende Gittertypen, unstrukturierte und strukturierte Gitter. Bei den unstrukturierten Gitter sind die Knotenmenge sowie die Nachbarschaftsbeziehungen ungeordnet. Die Zellen können hier von unterschiedlichen Typ sein. Die Repräsentation dieser Gitter ist besonders speicheraufwändig, Knoten und Zellen müssen explizit gespeichert werden. Bei den strukturierten Gitter ist die Knotenmenge ebenfalls ungeordnet, die Nachbarschaftsbeziehungen dagegen aber geordnet. Die Zellen können hier implizit im Speicher abgelegt werden. Sind die Knotenpunkte regelmäßig angeordnet, so spricht man von uniformen Gittern. Diese lassen sich

21 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 18 Abbildung 3.2: Mögliche Zelltypen in 2D und 3D. besonders effizient speichern und werden daher oft bei der Visualisierung großer Datenmengen verwendet. Die Grundgitter lassen sich zu weiteren Gittertypen kombinieren. Hybride Gitter, zum Beispiel, sind Gitter die aus Blöcken verschiedener Gittertypen(strukturiert und unstrukturiert) zusammengesetzt sind. Unterteilt man strukturierte Gitter mit Hilfe eines Unterteilungsverfahrens wie z.b. Quadtree oder Octree, so ergeben sich hierarchische Gitter. Ist das Gitter aus Blöcken, die selbst jeweils als strukturierte Gitter organisiert sind, gebildet, so nennt man es Multi Block Gitter. Bei einem Chimärengitter können sich die strukturierten Blöcke auch überschneiden. In Abbildung 3.3 sind einige Gittertypen dargestellt. Abbildung 3.3: Mögliche Gittertypen (aus [Roth]). Die zu visualisierenden Daten sind nun diskret auf Gitterpunkten gegeben. Um einen Wert an einer beliebigen Position des Raumes zu bestimmen, muss dieser interpoliert werden. Das geschieht nicht über das gesamte Gitter, sondern zellenweise. Die häufigsten Formen der Interpolation in der Visualisierung sind die

22 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 19 lineare, die bilineare und die trilineare Interpolation. Näheres zu den einzelnen Interpolationsarten über verschiedenen Zelltypen kann in [Vis] nachgeschlagen werden Visualisierungspipeline Von einem gemessenen oder durch Simulation erhaltenen Datensatz bis zu einem fertigen Bild auf dem Computerbildschirm werden vier Transformationsstufen der sog. Visualisierungspipeline durchlaufen: Einlesen der Daten: In dieser Stufe werden die Datensätze eingelesen oder erzeugt und in Form eines Gitters für weitere Verarbeitung abgelegt. Filtern: Als nächstes werden die Daten gefiltert, um zum Beispiel Fehler zu korrigieren, Daten zu vervollständigen(durch Interpolation) oder auf einen gewünschten Ausschnitt zu reduzieren. Mapping: Nun transformiert man die Gitterdaten in geometrische Primitive, wie Linien, Dreiecke oder Texturen. Das ist der wichtigste Schritt der Visualisierungspipeline. Rendering: Als letzter Schritt folgt die Darstellung der geometrischen Primitiven. Die meisten Verfahren in der Visualisierung gehören zu der Mapping Stufe der Pipeline. 3.2 Visualisierung von Skalardaten In Abschnitt wurde das Skalarfeld als Repräsentation skalarer Größen einer Strömung definiert. Im Folgenden werden grundlegende Techniken der Visualisierung von Skalardaten kurz vorgestellt Höhenfelder Das einfachste Visualisierugsverfahren für Skalarfelder sind Höhenfelder (Abbildung 3.4). Dabei wird der Skalarwert als Höhenwert über dem Beobachtungsraum interpretiert und die resultierende Fläche dargestellt. Diese Methode wird bei der Darstellung von Landkarten eingesetzt. Die Herausforderung liegt hier in der großen Menge an Daten, die visualisiert werden müssen. Das Verfahren ist für Daten im zweidimensionalen Beobachtungsraum geeignet.

23 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 20 Abbildung 3.4: Visualisierung von Skalardaten als Höhenfeld (aus [Mey]) Cutting Planes mit Color Mapping Bei einem 3D Beobachtungsraum kommen andere Visualisierungsmethoden zum Einsatz. Eines davon ist Cutting Planes mit Color Mapping(Abbildung 3.5). Zuerst ordnet man jedem Skalarwert einen Farbwert zu(color Mapping). Anschließend wird das Definitionsgebiet des Skalarfeldes mit einer Ebene geschnitten(cutting Plane) und jeder Punkt der Ebene mit der Farbe des dazugehörigen Skalarwertes dargestellt. Durch das Bewegen der Ebene und Ändern ihrer Lage im Beobachtungsraum kann das Skalarfeld zusätzlich untersucht werden. Abbildung 3.5: Cutting Plane mit Color Mapping (aus [Mey]) Direct Volume Rendering Ein weiterer Ansatz zur Visualisierung von Skalarfeldern ist Direct Volume Rendering(Abbildung 3.6). Wie der Name schon sagt wird hier ein Bild aus der Gesamtheit der Daten erzeugt. Dazu weist man den Skalarwerten optische Eigenschaften zu, beispielsweise Emission, Absorption, Farbe usw. Anschließend kann man mit Hilfe von Ray Casting ein Bild berechnen, indem man ausgehend

24 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 21 vom Beobachter Strahlen durch den Beobachtungsraum verfolgt und das entsprechende Beleuchtungsmodell entlang dieses Sehstrahls auswertet. Alternativ dazu kann man auch Funktionen der Skalarwerte entlang des Sehstrahls verwenden. Man berechnet zum Beispiel das Maximum, den Durchschnitt oder den Abstand zum Maximum entlang des Strahls und stellt sie dann mittels einer Colormap dar. Abbildung 3.6: Direct Volume Rendering (http://alumni.cse.ucsc.edu/ pault) Isokurven und Isoflächen Eine andere Visualisierungtechnik ist die indirekte Darstellung der Skalarfelder mit Hilfe von Isokurven(2D) oder Isoflächen(3D)(Abbildung 3.7). Für einen vorgegebenen Wert wird diejenige Kurve bzw. Fläche berechnet, die alle Punkte verbindet, deren Skalarwert gleich dem gegebenen Isowert ist. Die gerenderte Kurve bzw. Fläche enthält nur Informationen über den vorher gewählten Skalarwert, stellt somit den zu visualisierenden Datensatz nur indirekt dar. Der berühmteste Vertreter solcher Methoden ist der Marching Cubes Algorithmus von Lorensen und Cline ([Lor]). Abbildung 3.7: Darstellung einer Isofläche mit Hilfe des Marchnig Cubes Algorithmus (FAnToM).

25 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN Visualisierung von Vektordaten In diesem Abschnitt werden einige klassische Verfahren der Visualisierung von Vektordaten beschrieben Hedgehogtechnik Die schon aus der Schule bekannte Darstellung eines Vektors ist ein Pfeil. Die Hedgehogtechnik erstellt kurze Pfeile oder auch Strecken für jeden Gitterpunkt des Beobachtungsraumes. Diese lassen sich schnell berechnen und effizient rendern. Da diese Technik aber keine Bewegungsinterpretation zulässt, wird sie zur Ergänzung von anderen Methoden eingesetzt. Um einen besseren Eindruck der lokalen Richtung des Feldes zu gewinnen können die einzelnen Liniensegmente zusätzlich entlang der Strömung gekrümmt werden. Die gekrümmten Liniensegmente werden Streamlets bezeichnet. Eine Erweiterung des einfachen Pfeiles zu der sogenannten Local Flow Probe erlaubt zusätzlich die Visualisierung von Beschleunigung, Divergenz, Scherung, Krümmung und Rotation des Vektorfeldes in einem Datenpunkt. In Abbildung 3.8 sind Beispiele dieser Technik dargestellt. Abbildung 3.8: Hedgehogtechnik. Pfeildarstellung (links) (FAnToM) und Local Flow Probe (rechts) (aus [Roth]) Stromlinien und verwandte Techniken Stromlinien und verwandte Techniken sind die am häufigsten benutzten Visualisierungsmethoden für Vektorfelder. Ausgehend von einem Startpunkt im Beobachtungsraum wird eine Feldlinie(Kapitel 2.1.2) berechnet und als eine Abfolge von Liniensegmenten dargestellt. Stromlinien geben Informationen über die Richtung des Vektorfeldes nicht aber über dessen Betrag. Um das zu visualisieren kann die Stromlinie zusätzlich farbkodiert werden.

26 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 23 Ist die Strömung zeitabhängig, so muss man zwischen den (stationären) Stromlinien, die immer tangential zum Vektorfeld verlaufen, den Partikelbahnen (pathlines), die die aktuellen Bahnen einzelner Partikel zum betrachteten Zeitpunkt in der Strömung wiedergeben, den Streichlinien(streak lines), die entstehen, wenn man Farbpartikel an einer festen Position in die Strömung injiziert, und der Zeitlinien(time lines), die sich ergeben, wenn man Fremdteilchen entlang einer Kurve(häufig einer Geraden) in die Strömung einbringt, unterscheiden. Stromlinien können auf verschiedene Arten erweitert werden. Bei der Stream Ribbon Technik wird die Rotation des Vektorfeldes mit Hilfe eines sich drehenden Bandes wiedergegeben. Variiert man die Breite des Bandes, so kann zusätzlich die Divergenz dargestellt werden. Eine weitere Variante sind die Stream Tubes. Hier wird die Farbe und der Durchmesser einer Röhre entlang der Stromlinie verändert, und so der Betrag des Druckes, der Geschwindigkeit, der Temperatur oder einer anderen skalaren Größe visualisiert. Alternativ zu der Röhre, kann ein Polygon(Stream Polygon) entlang der Stromlinie verformt und gedreht werden, um die Deformation und die Rotation zu zeigen. Bei der Stream Ball Technik werden deformierte Objekte verwendet. Eine andere Erweiterung der Stromlinie sind die Illuminated Streamlines. Hier wird die Textur Hardware zur Auswertung eines Beleuchtungsmodells geschickt ausgenutzt. Abbildung 3.9: Visualisierung von Strömungen mittels Stromlinien (links) und Stromfläche (rechts) (FAnToM). Ersetzt man den Startpunkt durch eine Linie, so ergibt sich eine Menge von Stromlinien, die eine Stromfläche bilden. Man unterscheidet zwei Klassen der Stromflächentechniken, die expliziten und die impliziten Verfahren.

27 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 24 Der am häufigsten in der Visualisierung benutzte explizite Ansatz geht auf Hultquist([Hult]) zurück. Beginnend von einem Liniensegment werden Stromlinien an dessen Enden gestartet. Dazwischen wird ein Band gespannt, so das eine Fläche entsteht. Ist der Abstand zwischen zwei Stromlinien zu gering, so wird eine davon entfernt(merging). Laufen die Stromlinien dagegen zu weit auseinander, so wird eine neue Stromlinie hinzugefügt(splitting). Man kann die Stromfläche auch implizit als eine Isofläche berechnen. Man definiert dabei eine skalare Funktion auf dem Rand des Gitters. Anschließend startet man eine Stromlinie aus jedem Gitterpunkt bis zum Rand. Der Gitterpunkt bekommt dann den Skalarwert des erreichten Randpunktes zugewiesen. Nun kann z.b. mit Hilfe des Marching Cubes Algorithmuses eine Isofläche berechnet werden. Dieses Verfahren geht auf van Wijk([Wijk]) zurück. Durch einen Punkt des Beobachtungsraumes verläuft zwar nur eine Stromlinie, aber es gibt unendlich viele Stromflächen. Cai und Heng([Cai]) definieren das Konzept der Principal Stream Surface. Man versucht die Fläche zu wählen, entlang derer sich die Stromlinie durch den Punkt besonders wenig ändert. Die Stromlinien sind dann geodätische Linien der Stromfläche Textur basierte Techniken Eine weitere Klasse von Visualisierungsverfahren für Vektordaten ist die Darstellung mittels Texturen. Einer der frühen Ansätze heißt Spot Noise ([Wijk1]). Hier benutzt man einen Farbklecks (Spot), um eine Textur zu generieren. An zufälligen Positionen der Textur werden Spots so gezeichnet, dass sie die Richtung des Vektorfeldes in diesem Punkt wiedergeben. Eine Erweiterung dieses Verfahrens ist die DDA Convolution. Auf einem mit weißem Rauschen belegtem Bild rastert man ein Linie fester Länge in Richtung des Vektorfeldes mit Hilfe des DDA(Digital Difference Analyzer) und verwendet diese dann als Konvolutionsfilter([Vis]), etwa ein Gaußfilter, um die Textur zu generieren. Das am häufigsten in der Visualisierung verwendete Texturverfahren ist das Line Integral Convolution(LIC)([Cab])(Abbildung 3.10). Die Idee dabei ist es, statt der Geraden, wie bei der DDA Convolution, eine Stromlinie und somit einen längeren Filterkern zu benutzen. Die Stromlinie wird in der Mitte der betrachteten Zelle vorwärts und rückwärts gestartet. Damit wird das zu berechnende Pixel in der Mitte des Filters gehalten. Diese Methode bildet den folgenden Effekt nach. Untersucht man einen mit einem dünnen Ölfilm benetzten Gegenstand in einem Windkanal, so bilden sich Schlieren an der Oberfläche des Gegenstandes, die den Verlauf der Strömung gut wiedergeben. Das LIC Verfahren ist wegen der Berechnung der Stromlinie für jedes Pixel sehr langsam. Es existieren Ansätze, um LIC zu verbessern, wie z.b FastLIC ([Stal]), welches die Tatsache ausnutzt, dass sich bei der Verwendung eines konstanten Filters an der Berechnung in einem Nachbarpixel, das von der gleichen Stromlinie durchquert wird,

28 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 25 nur wenig ändert. Es werden hier Stromlinien(beispielsweise zufällig) gestartet, solange bis alle Pixel mindestens einmal(oder n mal) getroffen werden. Abbildung 3.10: Visualisierung von Strömungen mittels LIC (FAnToM). 3.4 Vektorfeldtopologie Bei der topologiebasierten Visualisierung stellt man sich die Frage nach Anfang und Ende aller Stromlinien im Vektorfeld. Die Topologie liefert eine Unterteilung des Beobachtungsraumes in Gebiete gleichen Verhaltens der Stromlinien. In einem stabilen Vektorfeld ist sie bestimmt durch kritische Punkte, zugehörige Separatrizen und geschlossene Stromlinien. Im instabilen Fall müssen zusätzlich lokale und globale Bifurkationen berücksichtigt werden. Im Folgenden werden diese Begriffe näher beschrieben. In dieser Diplomarbeit ist nur der zweidimensionale Fall relevant, aus diesem Grund wird die dreidimensionale Topologie nicht weiter betrachtet Kritische Punkte und Separatrizen Jedem Punkt im Vektorfeld wird die Startmenge, die α Grenzmenge, und die Endmenge, die ω Grenzmenge, seiner Stromlinie zugeordnet. Wichtige Merkmale eines Vektorfeldes sind kritische Punkte, da sie die häufigsten α bzw. ω Grenzmengen sind. Der kritische Punkt x 0 B R n n N des Vektorfeldes v : B R n ist charakterisiert durch: v(x 0 ) = 0 (3.1) Diese Punkte werden auch singuläre Punkte oder einfach Singularitäten genannt. Das sind die einzigen Stellen im Vektorfeld, an denen sich die Feldlinien schneiden können. Punkte, für die diese Bedingung nicht erfüllt ist, heißen regulär.

29 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 26 Am Verhalten der Stromlinien in der Umgebung der kritischen Punkte, können diese in verschiedene Typen unterteilt werden. Am besten veranschaulicht man sich diese anhand eines linearen Vektorfeldes. Ein Vektorfeld v heißt (affin)linear, wenn es eine Matrix A R(n, n) und ein Vektor b R n gibt, so dass gilt: x B R n v(x) = Ax + b (3.2) Ist speziell b = 0 so heißt v homogen linear und der Koordinatenursprung ist der kritische Punkt des Feldes. Durch Transformation des Koordinatensystems in x 0 erhält man ein äquivalentes homogen lineares Vektorfeld w(x) v(x x 0 ) = Ax mit O als einzigem kritischen Punkt des Vektorfeldes. Die Singularitäten eines homogen linearen Vektorfeldes sind durch die Eigenwerte der Matrix A charakterisiert. Im zweidimensionalen Fall besitzt A zwei komplexe Eigenwerte λ 1 = Re 1 + i Im 1 und λ 2 = Re 2 + i Im 2 mit Re k, Im k R k = 1, 2. Die kritischen Punkte können dann von folgendem Typ sein: Sattelpunkt: Re 1 < 0 < Re 2 (Re 2 < 0 < Re 1 ), Im 1 = Im 2 = 0 Senke: Re 1, Re 2 < 0 Im 1 = Im 2 = 0, A diagonalisierbar Punktsenke: Re 1 <> Re 2 Fokussenke: Re 1 = Re 2

30 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 27 entartete Punktsenke: Re 1 = Re 2 Im 1 = Im 2 = 0 A nicht diagonalisierbar Spiralsenke: Im 1, Im 2 0 Quelle: Re 1, Re 2 > 0 Im 1 = Im 2 = 0, A diagonalisierbar Punktquelle: Re 1 <> Re 2 Fokusquelle: Re 1 = Re 2 entartete Punktquelle: Re 1 = Re 2 Im 1 = Im 2 = 0 A nicht diagonalisierbar Spiralquelle: Im 1, Im 2 0

31 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 28 Zentrum: Re 1 = Re 2 = 0, Im 1 = Im 2 0 Für den nicht linearen Fall wird das Vektorfeld im kritischen Punkt x 0 linearisiert und man betrachtet die Eigenwerte der Jacobimatrix(Abschnitt 2.1.2) in x 0. Hat die Jacobimatrix in x 0 den vollen Rang, so nennt man x 0 eine Singularität erster Ordnung, ansonsten höherer Ordnung oder nicht linear. Eine Klasse der Singularitäten erster Ordnung sind hyperbolische kritische Punkte. Ein kritischer Punkt x 0 heißt hyperbolisch, falls der Realteil aller Eigenwerte der Jacobimatrix in x 0 ungleich Null ist. Wie bei dem oben beschriebenen linearen Vektorfeld bezeichnet man einen kritischen Punkt als eine Senke, falls der Realteil der Eigenwerte der Jacobimatrix kleiner Null ist. Dementsprechend nennt man einen singulären Punkt mit Realteil aller Eigenwerte der Jacobimarix größer Null eine Quelle. Bei dem Fall hyperbolischer Singularitäten verlaufen die Feldlinien in der Umgebung des kritischen Punktes ähnlich den oben genannten Typen des linearen Feldes. Die nicht linearen kritischen Punkte in der Ebene können in zwei grundlegende Gruppen eingeteilt werden, in den Zentrum und den Nicht Zentrum Typ. Ein kritischer Punkt ist vom Typ Zentrum, falls er von keiner Feldlinie erreicht wird. Konvergiert wenigstens eine der Feldlinien gegen den kritischen Punkt, so ist er vom Typ Nicht Zentrum. Im Falle eines Nicht Zentrum erreichen mindestens zwei Feldlinien die Singularität. Die zu dem kritischen Punkt laufenden Feldlinien bestimmen um die Singularität einen sogenannten kurvenförmigen Bereich. Es gibt drei verschiedene Arten der Bereiche: den hyperbolischen Bereich oder auch Sattelbereich(Abbildung 3.11 links), den parabolischen Bereich(Abbildung 3.11 mitte) und den elliptischen Bereich(Abbildung 3.11 rechts). Die kritische Punkte eines nicht linearen Vektorfeldes können nun entsprechend ihres Typs sowie der Lage und der Anzahl kurvenförmiger Bereiche von einander unterschieden werden. Eine Feldlinie, die einen hyperbolischen Bereich einschließt wird Separatrize genannt, da sie zwei Gebiete unterschiedlichen Verhaltens der Feldlinien von einander trennt(separiert). Im Spezialfall des linearen Feldes, können nur Sattelpunkte Separatrizen aufweisen. Es sind vier Feldlinien die gegen den Sattelpunkt konvergieren und zwar in positive und negative Richtung der Eigenvektoren.

32 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 29 Abbildung 3.11: Verschiedene Bereichstypen. Häufig umströmt das Vektorfeld ein Hindernis. Dann spielen bei der Topologiebestimmung noch zwei weitere kritische Punkte eine Rolle, an denen sich der Fluß an den Hindernis anschmiegt und sich von diesem löst, die sogenannten Attachment bzw. Detachment Punkte. Betrachtet man nun nicht mehr die direkte Umgebung der kritischen Punkte, sondern den globalen Einfluß der Singularitäten auf das Vektorfeld, so wird dieses in sog. Becken unterteilt. Die Menge aller Feldlinien, die in einen kritischen Punkt x 0 laufen, wird das ω Becken von x 0 bezeichnet. Die Menge aller Feldlinie, die aus einem kritischen Punkt x 0 laufen, heißt α Becken von x 0. Um die Beschreibung aller besonderen Merkmale eines Vektorfelds zu vervollständigen, fehlt noch die Definition einer geschlossenen Feldlinie oder Zykels. Eine Feldlinie c : I B heißt ein Zykel, falls es ein p I gibt mit c(t + p) = c(t) für alle t I. Dabei ist I R ein Intervall und B R n der Beobachtungsraum ist. Ein Beispiel eines Zykels ist in Abbildung 3.12 dargestellt. Abbildung 3.12: Ein Zykel. Das war ein Überblick über die wichtigen Merkmale eines Vektorfeldes, weiterführende Beschreibungen und die notwendigen Theoreme sind der Dissertation von Xavier Tricoche([Tric]) zu entnehmen. Zusätzlich muss auch der Rand des Definitionsgebietes betrachtet werden, dies wird in Kapitel behandelt.

33 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN Topologischer Graph Im vorhergehenden Abschnitt wurden alle zur Bestimmung des topologischen Graphen eines Vektorfeldes nötigen Merkmale beschrieben. Nun folgt eine Erläuterung des Begriffes Topologischer Graph und dessen Bestimmung in der Visualisierung. Ein topologischer Graph oder einfach Topologie eines Vektorfeldes v ist zusammengesetzt aus allen kritischen Punkten, Separatrizen und Zykeln von v (Abbildung 3.13). Abbildung 3.13: Topologischer Graph (at = Attachment Punkt, de = Detachment Punkt, rf = Spiralquelle, af = Spiralsenke, sp = Sattelpunkt) (aus [Roth]). Aufgrund dessen, dass die Separatrizen das Vektorfeld in Bereiche verschiedenen Verhaltens unterteilen, kann man für den zweidimensionalen Fall einen einfachen Algorithmus zur Bestimmung der Topologie formulieren(aus [Vis], näher in [Hel]): (1) durchsuche alle Zellen nach kritischen Punkten des Vektorfeldes; (2) für jeden kritischen Punkt: berechne die Jacobimatrix J; ermittle die Eigenwerte von J; wenn die Eigenwerte reell mit verschiedenen Vorzeichen sind (Sattelpunkt): berechne die Eigenvektoren; (3) für alle Sattelpunkte: berechne vier Stromlinien von dem Sattelpunkt in Richtung der Eigenvektoren;

34 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 31 Zusätzlich dazu werden noch Separatrizen von den Attachment und Detachment Punkten gestartet. In diesem Algorithmus werden Zykeln aber nicht berücksichtigt. Abbildung 3.14: Vektorfeldtopologie (FAnToM). Ein Ansatz, um Zykel in zweidimensionalen Vektorfeldern zu identifizieren und zu visualisieren, wurde von Wischgoll und Scheuermann ([Wisch]) beschrieben. Bei der Integration der Separatrizen zur Berechnung der Topologie überprüft man, ob die Stromlinie eine Teilmenge von Zellen, den Zellzykel, nicht verlässt. Ist dies der Fall und es befinden sich keine kritischen Punkte innerhalb des Zellzykels, so existiert laut dem Poincaré Bendixson Theorem([Abra] Band 3) ein Zykel. Die genaue Position des Zykels bestimmt man mit Hilfe der Poincaré Abbildung([Abra] Band 2), die einem Punkt auf der Zellkante den nächsten Schnittpunkt der Kante mit der Stromlinie zuordnet. Der Zykel ergibt sich als der Fixpunkt dieser Abbildung. Die Berechnung erfolgt mit dem Bisektionsverfahren. Man startet dabei im Mittelpunkt der Zellkante und bestimmt die Wiederkehrposition der Stromlinie. Liegt diese oberhalb des Mittelpunktes, so fährt man in der Mitte der oberen Hälfte fort, anderenfalls nimmt man die Mitte der unteren Hälfte als neuen Startpunkt. So nähert man sich dem Punkt, an dem die Stromlinie in sich geschlossen ist. In der Visualisierung sind Vektorfelder auf einem kompakten Gebiet, einem Gitter(Abschnitt 3.1.2), definiert. Also muss man bei der Bestimmung der Topologie den Rand des Gitters berücksichtigen. Der Rand kann als Quelle(falls das Vektorfeld nach innen gerichtet ist), als Senke(das Vektorfeld ist nach außen gerichtet) oder als Sattelpunkt(Trennpunkt der ersten beiden) fungieren. Man muss deshalb auch Separatrizen von den Randsattelpunkten aus starten. Näheres zur Betrachtung des Randes bei der Topologieberechnung findet sich in [Sch].

35 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 32 Abbildung 3.14 zeigt ein Beispiel der topologiebasierten Visualisierung eines Vektorfeldes. Wie man sieht, kann die Darstellung des topologischen Graphen sehr kompliziert werden. Also müssen Verfahren existieren, um diesen zu vereinfachen. Man kann Maße, wie zum Beispiel den Absolutbetrag des Vektorfeldes um den kritischen Punkt, den Abstand zum nächsten kritischen Punkt oder die Größe des zugehörigen Beckens, benutzen, um unwichtige Singularitäten aus der Darstellung des Feldes zu entfernen. Weiterhin kann man auch kritische Punkte zusammenfallen lassen. Ein Ansatz zur Topologievereinfachung ist ein Teil der Dissertation von Tricoche([Tric]) Bifurkationen Bertachtet man ein zeitabhängiges Vektorfeld, so interessiert man sich für seine strukturelle Stabilität. Strukturelle Stabilität bedeutet, dass beliebige minimale Änderungen des Vektorfeldes keine Auswirkungen auf seine Topologie haben. Wann ist ein Vektorfeld strukturell stabil? Theorem von Peixoto([Abra] Band 3): Ein ebenes Vektorfeld ist genau dann strukturell stabil, wenn: alle kritische Punkte und Zykel im Vektorfeld von hyperbolischen Typ sind und ihre Anzahl endlich ist, Sattelpunkte nicht durch Stromlinien miteinander verbunden sind. Hyperbolisch bedeutet bei den kritischen Punkten, das der Realteil aller Eigenwerte ungleich Null ist(abschnitt 3.4.1). Bei den Zykeln sind nur Quellen und Senken erlaubt. Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, so ist das Vektorfeld instabil, und es kann zu strukturellen Änderungen kommen, den sogenannten Bifurkationen. Es existieren zwei Arten von Strukturänderungen: lokale und globale Bifurkationen. Die Erstgenannten verändern nur die Natur eines kritischen Punktes oder Zykels, die Letzteren bewirken eine Änderung des gesamten Flusses. Folgende zwei Abschnitte beschreiben diese beiden Typen. Es werden hier die für die Visualisierung wichtigen Bifurkationen betrachtet. Lokale Bifurkationen Sattelpunktbifurkation. Man betrachte folgende Situation. Ein Sattelpunkt und eine Senke sind durch eine Separatrix miteinander verbunden. Wird nun die Anziehungskraft der Senke schwächer, so nähern sich die beiden Singularitäten einander, bis sie schließlich zu einem instabilen kritischen Punkt, dem Bifurkationspunkt, verschmelzen. Dieser instabile Zustand geht mit fortlaufender Zeit in einen stabilen Zustand, in dem keine Singularität mehr vorhanden ist,

36 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 33 über(abbildung 3.15). Diese Art der Bifurkation wird paarweise Annihilation bezeichnet. Der umgekehrte Fall, bei dem zwei Singularitäten entstehen, ist ebenso möglich und wird paarweise Kreation genannt. Die Senke, kann auch durch eine Quelle ersetzt werden. Abbildung 3.15: Paarweise Annihilation (aus [TWSH]). Gabelung. In diesem Fall ist der Ausgangspunkt eine Senke. In dem instabilen Bifurkationspunkt erhält sie ihre Anziehungskraft. Nach der Bifurkation entstehen zwei stabile Senken, die durch einen Sattelpunkt getrennt sind(abbildung 3.16). Es können sich aber auch zwei Sattelpunkte, getrennt durch eine Senke, bilden. Auch hier kann an der Stelle der Senke eine Quelle vorkommen. Abbildung 3.16: Gabelung (aus [Tric]). Hopfbifurkation. Die Ausgangssituation hier ist eine Spiralsenke. Wird ihre Anziehungkraft schwächer, so brauchen die Stromlinien mehr Umdrehungen bis sie die Senke erreichen. Als Bifurkationspunkt entsteht ein Zentrum, welches eine instabile Struktur ist. Danach bildet sich ein neuer stabiler Zustand bestehend aus einem anziehenden Zykel und einer Spiralquelle(Abbildung 3.17). Also entwickelte

37 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 34 sich eine Quelle aus einer Senke, mit Zentrum als Übergang. Der umgekehrte Vorgang ist auch möglich. Abbildung 3.17: Hopfbifurkation (aus [Tric]). Periodische Faltung. Man betrachte als Ausgangspunkt wieder eine Spiralsenke. Eine weitere Strukturänderung kann die Folgende sein. Um die Spiralsenke entwickelt sich ein instabiler Zykel(Abbildung 3.18), aus dem sich dann zwei stabile Zykel bilden. Dabei ist der äußere Zykel eine Senke und der innere eine Quelle. Das ist ein Fall einer Zykelbifurkation. Er ist der oben beschriebenen Sattelpunktbifurkation ähnlich. Abbildung 3.18: Periodische Faltung (aus [Tric]). Globale Bifurkationen Die instabile Situation bei globalen Bifurkationen ist die Verbindung von Sattelpunkten durch Stromlinien. Es können zwei Arten solcher Verbindungen auftreten: heteroklinische Separatrizen, die zwischen zwei Sattelpunkten verlaufen, und homoklinische Separatrizen, die als geschlossene Stromlinien im selben Sattelpunkt enden. Beckenbifurkation. Der stabile Anfangszustand sind zwei Sattelpunkte, die nicht mit einander verbunden sind(abbildung 3.19). Mit fortschreitender Zeit

38 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 35 nähern sich deren Separatrizen, bis sie dann im Bifurkationspunkt zusammenfallen. Diese heteroklinische Separatrix verbindet nun die beiden Sattelpunkte. Das ist ein instabiler Zustand, der dann in einen stabilen Zustand übergeht, bei dem sich die Becken geändert haben. Die zwei Sattelpunkte haben ihre Rollen vertauscht und somit eine globale Änderung der Struktur bewirkt. Abbildung 3.19: Beckenbifurkation (aus [Tric]). Periodic Blue Sky Bifurkation. Homoklinische Separatrizen kommen in den sog. Periodic Blue Sky Bifurkationen vor. Diese beziehen zwei Arten von kritischen Punkten ein, einen Sattelpunkt und eine Spiralsenke(Abbildung 3.20). Wird die Anziehungskraft der Senke schwächer, so entsteht eine homoklinische Verbindung des Sattelpunktes zu sich selbst. Das Resultat ist eine Bifurkation, bei der ein Zykel um die Spiralsenke entsteht. Der Grund für das Entstehen der geschlossenen Stromlinie ist der folgende. Die Spiralsenke bleibt von dem gesamten Prozess unbeeinflusst. Da es aber einen Fluss zur Senke und zum Sattelpunkt gibt, muss in der Region, laut dem Poincaré Bendixon Theorem, ein kritischer Punkt vorhanden sein. Weil es hier nur zwei kritische Punkte gibt, entsteht ein Zykel. Der Fall, in dem statt einer Senke eine Quelle vorkommt, ist auch möglich. Abbildung 3.20: Periodic Blue Sky Bifurkation (aus [Tric]).

39 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN Merkmalsbasierte Visualisierung Merkmale der Strömungsdaten Die in 3.2 und 3.3 vorgestellten Visualisierungsverfahren für Strömungsdaten erfordern ein hohes Maß an Interaktion des Benutzers, um die Daten zu untersuchen und wichtige Effekte darzustellen. Um beispielsweise einen geeigneten Startpunkt für eine Stromlinie zu finden, benötigt man viel Anstrengung und Zeit. Bei der merkmalsbasierten Visualisierung sucht man nach bestimmten Eigenschaften der Daten, die für den Benutzer von besonderem Interesse sind. Bei den Vektorfeldern sind das z.b. kritische Punkte, Zykel und Separatrizen(Abschnitt 3.4). In der Strömungsmechanik spielen Wirbel und Schockwellen eine wesentliche Rolle. Bei den skalaren Größen interessiert sich der Anwender für den Betrag und Position der Minima und Maxima. Diese Eigenschaften werden Merkmale(Features) genannt. Ein Merkmal im Sinne der Visualisierung ist eine Teilmenge des Beobachtungsraumes, in der alle Punkte eine bestimmte Bedingung erfüllen. Je nach Dimension unterschiedet man zwischen Punkt-, Kurven-, Flächenund Regionenmerkmalen. Kritische Punkte eines Vektorfeldes sind Beispiele für Punktmerkmale. Eine Wirbelkernlinie stellt ein Kurvenmerkmal dar. Ein Beispiel für ein Flächenmerkmal ist eine Schockfront in 3D. Ein Merkmal kann auch als eine Region, die durch eine implizite Fläche begrenzt wird, definiert werden. In vielen Fällen werden Wirbel als solche Regionenmerkmale behandelt(näheres dazu in Kapitel 4.1). Für die Extraktion der Merkmale wird die Visualisierungspipeline(Abschnitt 3.1.3) um einen automatischen Analyseschritt erweitert. Dieser Schritt liefert eine Menge von Merkmalen, die dann einzeln oder kombiniert mit klassischen Visualisierungstechniken dargestellt werden. Man kann auch selektive Visualisierung anwenden, indem nur die den Benutzer interessierenden Merkmale abgebildet werden, anstatt alle in der Datenmenge gefundenen Merkmale zu zeichnen Feature Tracking Häufig interessiert sich der Anwender für die Änderung eines Merkmales von einem Zeitpunkt zum nächsten. Dieses Verfolgen der Merkmale über die Zeit wird Feature Tracking genannt. Neben der bloßen Fortführung sind noch folgende Ereignisse möglich: ein Merkmal kann entstehen(birth) oder vergehen(death), es kann in den Beobachtungsraum eintreten(entry) oder es verlassen(exit), weiterhin kann sich ein Merkmal in zwei Teile auftrennen(split) oder mehrere Merkmale können sich zu einem vereinigen(merge). Diese Ereignisse können dann als Graph, wie in Abbildung 3.21 gezeigt, dargestellt werden.

40 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 37 Abbildung 3.21: Feature Tracking (www.cg.its.tudelft.nl/ freek). Tracking erlaubt also eine Visualisierung der Entwicklung der einzelnen Merkmale in der Zeit. Tracking der Topologie In der Strömungsmechanik interessiert man sich für das Auffinden der Bifurkationen in instationären Strömungen. Das erreicht man durch das Verfolgen der Singularitäten über die Zeit. Ein Tracking Verfahren der Topologie von zeitabhängigen zweidimensionalen Strömungsdaten wurde von Tricoche et. al([twsh]) vorgestellt und von Tricoche([Tric]) näher beschrieben. Das Vektorfeld ist auf einem 2D Dreiecksgitter, das sich mit der Zeit nicht ändert, gegeben. Die verschiedenen instationären Zustände werden parallel, entsprechend ihrem Zeitpunkt, angeordnet. Durch Verbinden dieser ebenen Gitter zu Prismazellen entsteht eine dreidimensionale Gitterstruktur(Abbildung 3.22). Abbildung 3.22: Gitterstruktur für Topologie Tracking (aus [TWSH]). Zwischen den zwei Zeitschritten wird der Wert eines Vektors linear interpoliert. Der Interpolant ist dabei so gewählt, dass zu einem festen Zeitpunkt sich nur ein kritischer Punkt in der Prismazelle befindet. Für jede Prismazelle bestimmt

41 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 38 man dann die Eintritts-(Entry) und die Austrittsposition(Exit) der Singularität. Diese sind so sortiert, dass der Exitpunkt zeitlich nach dem Entrypunkt liegt. Anschließend stellt man den Typ des kritischen Punktes an diesen Positionen fest, um lokale Bifurkationen zu entdecken. Da in einer Zelle nur eine Singularität vorhanden ist, kann eine Sattelpunktbifurkation nur am Zellrand passieren. Eine Hopfbifurkation innerhalb des Prismas wird durch den Vergleich des Typs des kritischen Punktes an der Eintritts- und Austrittsposition entdeckt. Die genaue Lage der Hopfbifurkation wird mit Hilfe der Interpolation, abhängig von den Eigenwerten der Jacobimatrix, bestimmt. Nun setzt man, den durch die Eintrittsund Austrittspositionen bestimmten Pfad in den einzelnen Zellen zu einem globalen Pfad zusammen. Dazu werden die Bifurkationen an den Übergängen zwischen zwei Zellen nach folgenden Kriterien klassifiziert(siehe Abbildung 3.23): 1. Fall: In der ersten Zelle ist die Singularität eine Quelle, in der zweiten eine Senke(oder auch umgekehrt). Die Randposition ist Exitpunkt der einen Zelle und Entrypunkt der anderen Zelle. Eine Hopfbifurkation liegt vor. 2. Fall: In der ersten Zelle ist der kritische Punkt eine Senke in der nachfolgenden ein Sattelpunkt. Die Randposition ist in beiden Fällen ein Austrittspunkt. Paarweise Annihilation, da die Senke und der Sattelpunkt verschmolzen sind und keine Singularität mehr vorhanden ist. 3. Fall: Wechsel vom Sattelpunkt zu einer Senke. Die Randposition ist dabei in beiden Zellen ein Eintrittspunkt. Paarweise Kreation. Abbildung 3.23: Mögliche Fälle beim Verlassen einer Prismazelle (aus [TWSH]).

42 KAPITEL 3. VISUALISIERUNG VON STRÖMUNGSDATEN 39 Die globalen Bifurkationen Beckenbifurkation und Periodic Blue Sky Bifurkation werden entdeckt, indem man in regelmäßigen Abständen Separatrizen zeichnet und sie anschließend durch eine Fläche verbindet. In Abbildung 3.24 ist der Pfad der Singularitäten, berechnet mit Hilfe der oben beschriebenen Methode, dargestellt. Abbildung 3.24: Pfad der Singularitäten in der Zeit (aus [TWSH]).

43 Kapitel 4 Wirbel Visualisierungsverfahren Wie schon in der Einleitung erwähnt, sind Wirbel entscheidend für den Bewegungsablauf der Materie und keine bloße Laune der Natur. Sie sind also ein wichtiges Merkmal einer Strömung. Doch wir sind zur Zeit noch sehr weit davon entfernt, die komplizierten Zirkulationen vollständig zu verstehen. Seit je her hat sich der Mensch Dinge anhand von Bildern erklärt, nicht umsonst gibt es die Redewendung,,,ein Bild sagt mehr als tausend Worte. Es gibt also keinen besseren Weg eine Rotationsbewegung zu verstehen, als sie graphisch darzustellen. Heute, im Zeitalter des Computers, erzeugt man digitale Bilder. In diesem Kapitel werden computergestützte Verfahren zur automatischen Wirbelerkennung, -visualisierung sowie -analyse vorgestellt. In Kapitel ist die Schwierigkeit der Angabe einer allgemeingültigen Definition eines Wirbels gezeigt worden. Alle heute existierende Verfahren zur Wirbeldetektion suchen in der Strömung nach Merkmalen, die laut ihrer Interpretation einem Wirbel entsprechen. Im Folgenden werden einige dieser Verfahren vorgestellt. Eine genauere Übersicht über alle Methoden der Wirbeldetektion mit Anwendungsbeispielen findet sich bei Roth([Roth]). 4.1 Wirbel als Regionenmerkmal Eine große Zahl an Publikationen behandelt einen Wirbel als eine Region, in der die Strömung bestimmte Bedingungen erfüllen muss. In einer solchen Definition ist ein Wirbel ein Regionenmerkmal(siehe Kapitel 3.5.1), eine Menge verbundener 3D Punkte im Raum. Die Visualisierung erfolgt mit Hilfe von Isoflächen. 40

44 KAPITEL 4. WIRBEL VISUALISIERUNGSVERFAHREN Schwellwert des Betrages der Wirbelstärke Die erste Idee nutzt Wirbelstärke(2.2.1) als Rotation des Geschwindigkeitfeldes und definiert einen Wirbel als Region hoher Wirbelstärke. Ein Wirbel ist die Region, in der die Wirbelstärke größer oder gleich einem bestimmten Schwellwert ω tresh des Wirbelstärkebetrages ist: ω ω tresh (4.1) Es gibt aber zwei Probleme bei dieser Methode, zum einen die willkürliche Wahl von ω tresh, zum anderen bedeutet das Nichtvorhandensein von Wirbelstärke in einer Region nicht die Abwesenheit eines Wirbels(zumindest im praktischen Fall auf einem diskretisierten Gitter), wie das einfache Beispiel des Potentialwirbels zeigt. Außerdem existieren Strudelbewegungen, bei denen die Wirbelstärke am Rand des Definitionsgebietes größer ist als im Zentrum der Zirkulation(siehe [Roth]) Schwellwert des Druckes Eine ähnliche Idee ist es, ein Gebiet kleinen Druckes in der Strömung als einen Wirbel zu betrachten. Ein Wirbel ist demnach die Region mit: p p tresh (4.2) Das Grundprinzip dabei ist es, dass die Zentripetalkraft der Rotationsbewegung durch den Gradienten des Druckes erzeugt wird, wobei der minimale Druck im Zentrum des Wirbels liegt. Wie bei der Wirbelstärkemethode ist auch hier die Wahl des Schwellwertes beliebig. Nur von dieser Bedingung ausgehend, können nicht alle Wirbel erkannt werden ([Roth]) Schwellwert der Helicity Um einige Mangel der Wirbelstärkemethode zu beseitigen, kann man stattdessen hohe Helicity(2.2.1) als Kriterium heranziehen und den Wirbel als eine Region definieren, in der gilt: h h tresh (4.3) Der Vorteil ist, dass in den Regionen, in denen die Wirbelstärke senkrecht zum Fluss ist, wie z.b. in einer Scherströmung (Beschreibung der Scherströmung siehe [Lugt] Seite 101), die Helicity Null wird, und so kein Wirbel fälschlicherweise erkannt wird. Diese Methode versagt beim einfachen Potentialwirbel, denn die Wirbelstärke ist dort, bis auf den Punkt im Kern, gleich Null und somit auch die Helicity. Eine andere Variante dieser Methode ist die Verwendung der normierten Helicity(2.2.1).

45 KAPITEL 4. WIRBEL VISUALISIERUNGSVERFAHREN λ 2 Methode Eine weitere Regionenmerkmals basierte Methode zur Wirbeldetektion ist die λ 2 Methode von Jeong und Hussain([Jeong]). Bei diesem Verfahren wird als erstes die Jacobimatrix J (2.1.2) des Geschwindigkeitsfeldes in einen symmetrischen Teil S und einen unsymmetrischen Teil Ω zerlegt: S = J + J T 2 (4.4) Ω = J J T (4.5) 2 Anschließend werden die Eigenwerte der Matrix S 2 + Ω 2 berechnet. Da diese Matrix symmetrisch ist sind alle Eigenwerte reell. Nach dem λ 2 Kriterium ist ein Wirbel eine Region, in der wenigstens zwei der drei Eigenwerte negativ sind. Sortiert man vorher die Eigenwerte, λ 1 λ 2 λ 3, so braucht man nur zu überprüfen, ob λ 2 < 0 ist. Daher hat die Methode ihren Namen. Wie die Wirbelstärkemethode produziert die λ 2 Methode Fehler bei hoher Scherströmung nahe des Randes([Roth]). Alle in diesem Abschnitt beschriebenen Verfahren haben eines gemeinsam. Kriterien, die benutzt wurden, um einen Wirbel zu identifizieren, sind nicht allgemeingültig. Dies sieht man daran, dass nicht alle Wirbel in einer Strömung erkannt werden, oder Strukturen, die keine Wirbel sind, fälschlicherweise als solche interpretiert werden. Ein weiterer Nachteil dieser Methoden ist es, dass verschiedene Wirbelstrukturen in einem Strömungsfeld nicht deutlich von einander getrennt werden können. Aber nichts desto trotz wurden sie bei vielen Applikationen erfolgreich angewendet. 4.2 Wirbel als Kurvenmerkmal Eine andere Klasse der Wirbeldetektionsmethoden sind die Kurvenmerkmalsmethoden(Kapitel 3.5.1). Diese versuchen die Wibelkernlinie (engl. vortex core line), die Achse der Zirkulationsbewegung, in einer Strömung zu finden. Die Wirbelkernlinie(Abbildung 4.1) findet oft in der Strömungsmechanik Verwendung ohne Angabe einer genauen Definition. In diesem Abschnitt werden einige, in meiner Diplomarbeit relevanten, Kurvenmerkmalsverfahren zur Wirbeldetektion vorgestellt Banks Singer Methode Das erste Verfahren, welches die Wirbelkernlinie als ein Kurvenmerkmal behandelt, ist die Predictor Corrector Methode, die von Banks und Singer in

46 KAPITEL 4. WIRBEL VISUALISIERUNGSVERFAHREN 43 Abbildung 4.1: Wirbelkernlinien, benutzt um einen Wirbel darzustellen (aus [Roth]). [Banks94] vorgestellt und in [Banks95] detaillierter erläutert wurde. Diese Methode produziert eine Menge von Punkten, die die Wirbelkernlinie approximieren und ist in zwei Schritte unterteilt: 1. Suche nach einem geeignetem Startpunkt (engl. seed point) auf dem Wirbelkern 2. Predictor Corrector Algorithmus zur Approximation des Wirbelkerns (engl. vortex skeleton) Schritt 1: Banks und Singer identifizieren einen Wirbel anhand niedrigen Druckes und hohem Betrag der Wirbelstärke. Das Strömungsfeld, definiert auf einem rechteckigen Gitter, wird mit Hilfe von Schnittflächen senkrecht zur Flussrichtung abgetastet. In diesen Schnitten werden die Werte des Druckes und des Wirbelstärkebetrages mit den vorher gewählten Schwellwerten verglichen. Ein Startpunkt ist ein Punkt des Gitters, der diese zwei Bedingungen erfüllt. Anschließend wird die Wirbelkernlinie vorwärts (in positive Richtung der Wirbelstärke) und rückwärts (in negative Richtung der Wirbelstärke) bestimmt. Schritt 2: Von jedem der gefundenen Startpunkte wird der Predictor Corrector Algorithmus ausgeführt(abbildung 4.2): Beginn der Schleife: bestimme die Wirbelstärke an dem aktuellen Punkt des Wirbelkerns(1) gehe einen kleinen Schritt in Richtung des Wirbelstärkevektors,

47 KAPITEL 4. WIRBEL VISUALISIERUNGSVERFAHREN 44 um den nächsten Punkt des Kerns vorherzusagen (Predictor-Schritt)(2) berechne die Wirbelstärke an dem neuen Punkt(3) konstruiere eine Ebene senkrecht zum Wirbelstärkevektor(4) bestimme innerhalb dieser Ebene das lokale Minimum des Druckes(4) wenn der Abstand des Minimums zum vorhergesagten Punkt kleiner ist als ein gegebener Schwellwert: sonst nimm die Position des Minimums als neuen korrigierten Punkt des Kerns (Corrector-Schritt) breche ab Ende der Schleife Abbildung 4.2: Predictor Corrector Schema (aus [Banks94]). Der Algorithmus läuft entlang des Wirbelstärkevektors und korrigiert dabei jeden Schritt auf die Position des minimalen Drucks in einer Ebene, die senkrecht zum Wirbelstärkevektor steht. Zwei Grundprinzipien sind bei dieser Methode wichtig, zum Einen die Annahme, dass der Wirbelkern annähernd eine Wirbellinie(Stromlinie des Wirbelstärkefeldes) ist, und zum Anderen, dass das Minimum

48 KAPITEL 4. WIRBEL VISUALISIERUNGSVERFAHREN 45 des Druckes, gefunden in der gewählten Schnittfläche, im Kern liegt. Der Algorithmus bricht ab, wenn der Korrekturpunkt (das Minimum des Druckes) zu weit von dem vorhergesagten Punkt liegt. Zusätzlich zur Wirbelkerndetektion beschreiben Banks und Singer in ihrer Publikation eine Methode zur Bestimmung der Querschnittfläche des Wirbels an jedem Punkt der Kernlinie. Der Radius des Wirbels wird anhand von zwei Kriterien bestimmt: einen Schwellwert des Druckes und dem Winkel zwischen der Wirbelstärke im Wirbelkern und der im aktuellen Punkt. Ist dieser Winkel größer als 90 Grad, so liegt der Punkt außerhalb des Wirbels. Das Kriterium des Druckschwellwertes ist ausreichend, um zu bestimmen, ob ein Punkt zum Wirbel gehört oder nicht, wenn sich nur ein Wirbel in der Strömung befindet. Bei mehreren Wirbeln verschmelzen die Regionen niedrigen Druckes, so dass genaue Abgrenzung einzelner Wirbel von einander schwierig wird. Diese Schwierigkeit wird mit Hilfe der zweiten Bedingung gelöst. Jeder Winkel größer als 90 Grad bedeutet, dass die Strömung im betrachteten Punkt in umgekehrte Richtung rotiert als im Wirbelkern. In der Abbildung 4.3 ist ein Beispiel eines Wirbels, visualisiert mit Hilfe der Methode von Banks und Singer, dargestellt. Abbildung 4.3: Vorticity Linie (hell) verglichen zu Predictor Corrector Linie (schwarz) (aus [Banks94]). Typisch für die Publikationen, die sich mit Wirbelvisualisierung befassen, ist, dass eine formale Definition des Merkmals, das extrahiert wird, nicht gegeben wird. Das gesuchte Merkmal wird implizit durch den Algorithmus beschrieben. Eine weitere Schwierigkeit bei diesem Verfahren ist die richtige Wahl der Startpunkte. Das in Schritt 1 beschriebene Vorgehen ergibt eine große Menge an Startpunkten, von denen viele zum gleichen Wirbel gehören. Das wird umgangen, indem 3D Zellen, die innerhalb einer Sphäre, mit dem Radius gleich dem Wirbelradius, um einen gefundenen Startpunkt liegen, markiert werden. Neugefundene Startpunkte, die in markierten Zellen liegen, werden ignoriert.

49 KAPITEL 4. WIRBEL VISUALISIERUNGSVERFAHREN Sujudi Haimes Methode Die nächste Methode zur Wirbeldetektion ist die Eigenvektormethode von Sujudi und Haimes([Roth], [Sujudi]). Dieses Verfahren arbeitet auf Tetraederzellen. Unter der Annahme, dass das Geschwindigkeitsfeld im der Zelle linear ist(woraus folgt, dass die Jacobimatrix konstant ist). Auf jede Tetraederzelle wird folgender Algorithmus angewendet: bestimme die Jacobimatrix J des Geschwindigkeitsfeldes in der Tetraederzelle; berechne die Eigenwerte von J; wenn alle Eigenwerte reell: breche ab; Sonst hat J einen reellen Eigenwert λ 0 Eigenwerte λ 1 und λ 2. und zwei konjugiert komplexe berechne den zu λ 0 in Abbildung 4.4); zugehörigen Eigenvektor e 0 (gestrichelte Linie für jeden Knoten des Tetraeders berechne die reduzierte Geschwindigkeit als Differenz der Geschwindigkeit und ihrem Anteil in Richtung des Eigenvektors e 0 (Abbildung 4.4 mitte); Das ist äquivalent zur Projektion des Geschwindigkeitsvektors auf eine Ebene senkrecht zu e 0. bestimme die Jacobimatrix der reduzierten Geschwindigkeit; berechne Nullstellen im reduzierten Feld; Setzt man das lineare Feld gleich Null, so ergibt sich ein lineares Gleichungssystem aus drei Gleichungen. Da alle reduzierten Geschwindigkeiten in einer Ebene liegen, sind die drei Gleichungen abhängig von einander. Je zwei(linear unabhängige) beschreiben eine Ebene, in der die Ergebnisgerade liegt. Es ergeben sich zwei Ebenen, deren Schnittgerade die Gerade ist, auf der das reduzierte Geschwindigkeitsfeld Null ist. (Abbildung 4.4 rechts) finde Schnittpunkte dieser Gerade mit dem Tetraeder; Im Allgemeinen sollten es keine oder zwei Schnittpunkte sein. (Abbildung 4.4 rechts)

50 KAPITEL 4. WIRBEL VISUALISIERUNGSVERFAHREN 47 wenn es zwei Schnittpunkte gibt: füge das Geradensegment zwischen den zwei Schnittpunkten in die Liste der Segmente des Wirbelkerns ein; Abbildung 4.4: Schritte des Sujudi Haimes Algorithmus (aus [Roth]). Ist der Algorithmus alle Tetraederzellen durchgegangen, so hat er eine Liste von Geradensegmenten gebildet, die dann die Wirbelkernlinien der entsprechenden Strömung repräsentieren. Die Berechnungen werden für jeden Tetraeder unabhängig von einander durchgeführt. Die einzelnen Geradensegmente werden auch nicht anschließend zu einer Linie verbunden, was natürlich Sprünge in den extrahierten Wirbelkernlinien verursacht(dies ist besonders beim Wirbelplatzen(Kapitel 5.2.1) am Deltaflügel deutlich zu sehen. Abbildung 4.5 zeigt Wirbelkernlinien über F-117 Flugzeug, extrahiert mit Hilfe der Eigenvektor Methode von Sujudi Haimes Stromflächenmethode Eine weitere Methode zur Bestimmung der Wirbelkernlinie ist das Verfahren von Garth, Tricoche, Salzbrunn, Bobach und Scheuermann [Garth], das auf Stromflächen basiert. Die Voraussetzung für die Anwendung der Stromflächenmethode ist die Vorabschätzung des Wirbelortes. Da diese Methode nicht den kompletten Datensatz untersucht, besitzt sie einen relativ niedrigen Rechenaufwand. Daher kann sie interaktiv, dort wo die in vorhergehenden Abschnitten beschriebenen automatischen Methoden versagen, eingesetzt werden.

51 KAPITEL 4. WIRBEL VISUALISIERUNGSVERFAHREN 48 Abbildung 4.5: Wirbelkernlinien über F-117, extrahiert von dem Sujudi Haimes Algorithmus (aus [Sujudi]). Validation eines Wirbels. Bevor man mit der Extraktion des Wirbelkerns beginnt, wird überprüft, ob der angenommene Wirbel auch wirklich einer ist. Die Idee dazu ist es, den vermuteten Wirbelkern mit einer Stromfläche zu umschließen und deren Rotationsverhalten zu beobachten. Das wird durch die Integration einer Stromfläche mit Hilfe des verbesserten Hultquist Verfahren [Garth] gestartet aus einer geschlossenen Kurve, die sich um den Wirbelkern windet, erkannt. Diese Stromfläche ist parametrisiert abhängig von dem Startliniensegment(parametrisiert über s [0, 1]) und der Bogenlänge der Stromlinie in Richtung des Flusses(t [0, T max ]). Anschließend wird die s Parametrisierung auf der resultierenden Stromfläche farbkodiert(color mapping Kapitel 3). Die Rotation der einzelnen Stromlinien kann dann sehr leicht nachvollzogen werden(abbildung 4.6 rechts). Als Startkurve wird ein Kreis(diskretisiert als ein Polygon P 0 ) mit einem kleinen Radius(relativ zu den Abmessungen des Datensatzes) um einen gegebenen Punkt p auf der Wirbelkernlinie(oder in der Nähe davon) genommen. Die Startkurve ist senkrecht zu der Flussrichtung im Punkt p orientiert(abbildung 4.6 links). Abbildung 4.6: Links: Startkurve der Stromfläche. Rechts: Stromfläche, farbkodiert (aus [Garth]).

52 KAPITEL 4. WIRBEL VISUALISIERUNGSVERFAHREN 49 Bestimmung der Wirbelkernlinie. Ist die Existenz eines Wirbels überprüft, so kann mit Hilfe der berechneten Stromfläche die Wirbelkernlinie approximiert werden. Da die Startkurve ein geschlossenes Polygon ist, sind die Isolinien der t Parametrisierung auf der Stromfläche ebenfalls geschlossen(polygone P t ). Das Zentrum der Rotation in P t wird als gewichteter Durchschnitt der Polygonknoten (ähnlich dem Schwerpunkt) bestimmt. Die Polygonknoten qt, i i = 0,..., N t 1 werden zuerst entsprechend dem s Parameter aufsteigend sortiert. Anschließend wird der Durchschnitt wie folgt berechnet: C t := 1 N t 1 ( i mod Nt qt q N t L t i=0 i mod Nt t q (i 1) mod Nt t i mod Nt + qt ) (i+1) mod Nt q t (4.6) wobei L t die Länge des Umrisses des Polygons P t ist. Bei der Berechnung der Stromfläche ändert sich der Abstand der Polygonknoten zueinander (was sich durch Splitting und Merging von Stromlinien(Hultquist Algorithmus([Hult]) ergibt). Um das auszugleichen, wird jeder Polygonknoten mit dem Abstand zu seinen direkten Nachbarn gewichtet und mit L t normiert. Berechnet man C t für eine feste Anzahl von t Parametern und verbindet die resultierenden Punkte, so ergibt sich die Schwerpunktlinie der Stromfläche, die ihre Rotationsachse approximiert. Die Schwerpunktlinie ist auch eine gute Annäherung der Wirbelkernlinie. In Abbildung 4.7 ist das Ergebnis dieser Methode, angewendet auf die Simulation der Strömung an einem ICE Zug, dargestellt. Abbildung 4.7: Schwerpunktlinien als eine Approximation der Wirbelkernlinie (rot), verglichen zu Sujudi Haimes (blau) (aus [Garth]).

53 KAPITEL 4. WIRBEL VISUALISIERUNGSVERFAHREN 50 Ausdehnung des Wirbelkerns. Die Autoren stellen in ihrer Publikation auch eine Methode zur Bestimmung der Ausdehnung, sowie der Form, eines Wirbels vor. Man betrachte eine Ebene Π senkrecht zur Wirbelachse mit dem Rotationszentrum Ω als Koordinatenursprung. Die Projektion des Geschwindigkeitsvektors v auf eine Gerade senkrecht zum Positionsvektor wird als Rotationsgeschwindigkeit v t, oder auch tangentiale Geschwindigkeit, bezeichnet(abbildung 4.8). In derselben Ebene definiert man den Wirbelkernradius als den Abstand vom Rotationszentrum zum Punkt maximaler Rotationsgeschwindigkeit. Diese Definition veranschaulicht man sich am besten anhand des Rankinewirbels(Kapitel 2.2.2). Im Gegensatz zum Rankinewirbel wird hier keine Rotationssymmetrie angenommen. Die Existenz eines Maximums der Rotationsgeschwindigkeit in jeder Radialrichtung wird aber vorausgesetzt. Weiterhin wird die Menge der Punkte, deren Abstand zum Rotationszentrum gleich dem Wirbelkernradius ist, als Wirbelkernrand bezeichnet. Nachfolgend wird der Algorithmus zur Bestimmung dieses Randes beschrieben. Abbildung 4.8: Rotationsgeschwindigkeit (links). Berechnung der Begrenzung eines Wirbels (rechts) (aus [Garth]). Algorithmus zur Bestimmung des Wirbelkernrandes Als Eingabe des Algorithmus dient eine polygonale Wirbelkernlinie (z.b. die Schwerpunktlinie). Entlang der abgetasteten Linie wird dann in jedem Punkt die polygonale Approximation der Ausdehnung des Wirbels berechnet. Zuerst muss aber die Normale der Ebene Π bestimmt werden. Es wurden hier zwei Möglichkeiten implementiert: die erste nimmt die Richtung des Flusses in dem entsprechenden Punkt, die zweite wählt die Tangente der Kernlinie als Normale von Π. Ist die Ebene festgelegt, wird der Wirbelkernradius für jeden Winkel θ k = 2kπ, k 0,..., N 1 um den Rotationszentrum berechnet. Dies geschieht N in zwei Schritten:

54 KAPITEL 4. WIRBEL VISUALISIERUNGSVERFAHREN 51 Schritt 1: Im ersten Schritt wird der lokale Wirbelkernradius in einigen Richtungen φ l = 2lπ M, l 0,..., M 1, M << N um den Zentrum berechnet(rote viereckige Punkte in Abbildung 4.8). Die resultierenden Werte r l dienen als Referenzwerte für den zweiten Schritt des Algorithmus. Gestartet vom Rotationszentrum wird für jeden Winkel φ l das Geschwindigkeitsfeld abgetastet und die Rotationsgeschwindigkeit bestimmt. Der lokale Wirbelkernradius ist dann der Abstand zum ersten Wert, der größer ist, als alle vorangegangenen und nächsten p Werte. Verlässt man dabei das Gitter oder läuft in ein Gebiet rein, in dem die Rotationsgeschwindigkeit das Vorzeichen wechselt, so wird die Schrittweite der Abtastung reduziert. Schritt 2: Im zweiten Schritt wird nun anhand der Referenzwerte der Wirbelkernradius für die Winkel θ k (φ l, φ l+1 ) bestimmt. Als erstes berechnet man einen annähernden Wert für den Wirbelkernradius durch Interpolation der Referenzwerte: R (θ k ) = (φ l+1 θ k ) r l + (θ k φ l ) r l+1 φ l+1 φ l (4.7) Anschließend sucht man in dem Intervall [(1 α) R (θ k ), (1 + α) R (θ k )] nach einem Maximum der Rotationsgeschwindigkeit, wie in dem Schritt 1 des Algorithmus beschrieben. Die Kurve, die R (θ) entspricht, ist in Abbildung 4.8(rechts) dargestellt. Die von dem Algorithmus berechneten Punkte ergeben ein geschlossenes Polygon, das die Begrenzung des Wirbelkerns approximiert. Um die Fehler, die durch die Berechnungen entstehen, zu kompensieren, wird diese Kurve geglättet. In Abbildung 4.9 ist das Ergebnis der Extraktion des Wirbelkernrandes an dem Deltaflügeldatensatz dargestellt.

55 KAPITEL 4. WIRBEL VISUALISIERUNGSVERFAHREN 52 Abbildung 4.9: Wirbelkernrand als Dreiecksnetz über dem Deltaflügel (aus [Garth]) Weitere Wirbeldetektionsverfahren Eine Reihe weitere Verfahren zur Wirbelerkennung wurde in den letzten Jahren publiziert. Peikert und Roth [Peik] beschreiben eine Methode zweiter Ordnung, die in jeder Zelle nach Stellen mit Torsion gleich Null sucht und diese anschließend zu einer Linie verbindet. Roth zeigt in seiner Dissertation([Roth]), dass die meisten Wirbelkerndetektionsverfahren mit Hilfe des Paralleloperators verbessert werden können. Jiang et al.([mach]) stellen in ihrer Publikation eine Methode zur Detektion der Wirbelkernregion, basierend auf dem Lemma von Sperner, angewendet auf Vektorfelder, vor. Angesichts der Tatsache, dass alle Wirbeldetektionsverfahren fehlerhafte Resultate liefern, ist eine Verifikation nötig. Neben der in diesem Abschnitt beschrieben Stromflächenmethode zur interaktiven Überprüfung, schlagen Jiang et al. [Jiang] einen automatischen geometrischen Ansatz zur Wirbelverifikation vor. Sie projizieren die Tangentenvektoren einer Stromlinie um den Wirbelkern auf eine Ebene senkrecht zu diesem und berechnen den Winkel, den die projizierten Tangentenvektoren aufspannen. Ein Winkel größer als 2π signalisiert das Vorhandensein eines Wirbels.

56 Kapitel 5 Analyse der 3D Wirbelstrukturen mit Hilfe von Schnittflächentopologie Die dreidimensionale Darstellung der Strömungsstrukturen kann sehr kompliziert werden, was die Analyse schwierig macht. Die Idee dieser Arbeit ist es, die 3D Strömung anhand von zweidimensionalen Schnittflächen zu untersuchen. Diese können zwischen zwei vom Benutzer manuell gewählten Positionen oder entlang einer vorher bestimmten Merkmalslinie berechnet werden. Da Wirbel in einer Strömung wichtige Merkmale sind, konzentriert sich die Analyse auf Wirbelstrukturen. 5.1 Exploration der 3D Strömungsstrukturen Das im Rahmen der Diplomarbeit implementierte Verfahren arbeitet auf einem dreidimensionalen Geschwindigkeitsfeld. Dieses wird entlang einer Linie anhand von 2D triangulierten Gittern abgetastet und das Vektorfeld auf die Ebenen projiziert. Auf den 2D Dreiecksgittern wird dann die Topologie berechnet und ein Tracking der Singularitäten durchgeführt. Anschließend werden, abhängig von den Wünschen des Benutzers, alle oder ausgewählte Gittern, die Topologie des 2D Vektorfeldes und der Graph der Singularitäten visualisiert. Die dabei verloren gegangene Komponente in Richtung der Normale der Ebene, in der das zweidimensionale Dreiecksnetz liegt, kann zusätzlich an der entsprechenden Position dargestellt werden. Die Exploration von Wirbelstrukturen wurde entlang der Wirbelkernlinien, die mit Hilfe der in Kapitel 4.2 beschriebenen Verfahren extrahiert wurden, durchgeführt. Damit die Anzahl der Schnitte nicht zu groß wird, werden die Wirbelkernlinien vorher in regelmäßigen Abständen abgetastet(engl. resampled). Da die resultierende Linien, vor allem von Sujudi Haimes, nicht glatt sind, erfolgt 53

57 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 54 ein Glättungsschritt. Diese beiden Schritte sind optional. Der Algorithmus von Sujudi Haimes(Kapitel 4.2.2) und der Stromflächenalgorithmus(Kapitel 4.2.3) sind bereits in FAnToM implementiert. Aufgrund der fehlenden allgemeinen Definition eines Wirbels liefern die Wirbelkernmethoden, angewandt auf verschiedene Strömungsdaten, zuweilen gute und zuweilen schlechte Ergebnisse. Aus diesem Grund, und um die hier vorgestellte Methode an mehr Datensätzen testen zu können, wurde FAnToM um den Banks Singer Algorithmus(Kapitel 4.2.1) erweitert. Die Topologieberechnung erfolgt nach dem in Kapitel beschriebenen Algorithmus für zweidimensionale Vektorfelder. Auch dieser ist bereits Bestandteil des FAnToM und wurde für meine Zwecke angepasst. Genauso wie der Topologie Tracking Algorithmus(siehe 3.5.2), der zum Verfolgen der Singularitäten genommen wurde. Im nächsten Abschnitt folgen nun genauere Implementierungsdetails. 5.2 Implementierung in FAnToM Abbildung 5.1: FAnToM Benutzeroberfläche. Field Analysis using Topology Methods oder kurz FAnToM ist ein Visualisierungssytem für Skalar-, Vektor- und Tensordaten. Es wird in der AG Visualisierung der Technischen Universität Kaiserslautern für Forschung und Lehre entwickelt und vereint in sich viele Methoden der Scientific Visualization. Darunter sind beispielsweise, Color Mapping, Hedgehog Verfahren, Stromlinien- so-

58 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 55 wie Stromflächenmethoden, aber auch texturbasierte Ansätze wie LIC. Weiterhin sind topologiebasierte Methoden und Algorithmen zur Wirbelkernextraktion enthalten. Zum Darstellen der Tensordaten gibt es z.b. die Hyperstromlinien. Die Anzeige des verwendeten Gitters ist ebenfalls möglich. Es gibt auch Algorithmen zur Triangulation bzw. Tetraedisierung des vorliegenden Gitters und Berechnung der Jacobimatrix und noch eine Reihe weiterer Verfahren. Die implementierten Algorithmen unterteilen sich in zwei Klassen: die Datenalgorithmen, die die geladenen Datensätze manipulieren und so neue Daten erzeugen, und Visualisierungsalgorithmen, die die Darstellung der Datensätze übernehmen. FAnToM stellte die Implementierungsumgebung für meine Diplomarbeit dar. Die verwendete Programmiersprache ist C++. Die Analyse der 3D Strömungsstrukturen besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil sind die Algorithmen, die die Schnittflächen, Topologie und Pfad der Singularitäten berechnen und diese in einer Datenstruktur ablegen. Der zweite Teil ist der Visualisierungsteil, der für die Darstellung der Daten sorgt. Abbildung 5.2: Dataset und Visualization Dialog Erzeugen der Datensätze Datenstruktur Ein Skalar-, Vektor- oder Tensorfeld wird in FAnToM in der Klasse FTensorField abgelegt. FTensorField besteht aus einem Gitter, FGrid, auf dem das Feld definiert ist, und aus den zugehörigen Werten(Skalare, Vektoren oder Tensoren) des Feldes, gehalten in FTensorSet. Das Gitter ist zusammengesetzt aus einer Menge von Positionen(FPositionSet) und der Definition der Zellen(FCellDefinitions).

59 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 56 Ist der Datensatz zeitabhängig, so werden die einzelnen Zeitschritte in FTime- Steps zusammengefasst. Die zur Analyse des Feldes benötigten Daten werden in FAnalysisModulData gesichert. Es besteht auch die Möglichkeit zusätzliche Eigenschaften des Feldes in FFeature abzuspeichern. In Abbildung 5.3 ist die verwendete Datenstruktur skizziert. Ein FTensor- Field repräsentiert einen zweidimensionalen Schnitt durch die analysierte 3D Struktur. Die abgetasteten und auf die Ebenen projizierten Vektoren sind auf einem einzigen triangulierten Rechtecksgitter definiert. Die einzelnen Schnitte sind für das Verfolgen der Singularitäten in FTimeSteps zusammengefasst. FSectionPlaneFeature beinhaltet die Informationen über die Lage und Orientierung der jeweiligen Ebene, die berechneten Separatrizen, die Pfade der Singularitäten, die Bifurkationen sowie einen Zeiger auf eine weitere Vektorfeldstruktur, die die gleichen Vektoren und Gitterpositionen, aber weniger Zellen, beinhaltet(die Bedeutung dieser Datenstruktur wird weiter unten im Kapitel erläutert). Weiterhin ist noch der Betrag des Durchflusses in Richtung der Normale der Ebene, der bei der Darstellung kritischer Punkte, Bifurkationen und Pfade der Singularitäten verwendet wird, enthalten. FSectionPlaneFeature wurde von FFeature abgeleitet und mit den benötigten Attributen erweitert. Abbildung 5.3: Datenstruktur.

60 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 57 2D Schnittflächen Die Analyse kann entlang einer vorher bestimmten Linie, z.b Wirbelkernlinie, oder entlang wie auch um eine zwischen den vom Benutzer angegebenen Punkten gelegene Achse durchgeführt werden. Abbildung 5.4: SectionPlane Dialog. In beiden Fällen erfolgt die Abtastung mit Hilfe eines triangulierten Rechtecksgitters(Abbildung 5.5 links). Das Gitter wird in der xy Ebene mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt initialisiert. Auf diesem Gitter wird das 2D Vektorfeld aller Schnittflächen definiert. Eine Schnittebene ist durch den Ortsvektor, den Normalenvektor und zwei Basisvektoren eindeutig bestimmt. Als erstes erfolgt eine Initialisierung der Basisvektoren der ersten Schnittebene. Der erste Basisvektor ergibt sich als Kreuzprodukt zwischen der Normale und einem der kanonischen Basisvektoren(in x oder y Richtung). Es wird der kanonische Basisvektor gewählt, bei dem der Betrag des Skalarproduktes mit der Ebenennormale kleiner ist. Der zweite Basisvektor ergibt sich als Kreuzprodukt zwischen dem ersten Basisvektor und der Normale. Für alle nachfolgenden Schnittebenen ergeben sich die Basisvektoren dann wie folgt: b j 1 = b j 1 1 ( b j 1 1 n j) n j b j 2 = b j 1 n j (5.1) Das 2D Gitter wird nun in die entsprechende Ebene transformiert, der 3D Vektor des Geschwindigkeitsfeldes in jedem Gitterpunkt interpoliert und auf die

61 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 58 Ebene projiziert. Danach erfolgt eine Transformation der projizierten Vektorwerte zurück in die xy Ebene. Die für die Transformation nötigen Information, das sind der Ortsvektor, der Normalenvektor sowie einer der beiden Basisvektoren(der zweite ergibt sich als das Kreuzprodukt zwischen Normale und Basisvektor), werden in FSectionPlaneFeature für die Visualisierung abgelegt. Die verlorengegangenen Komponenten in Richtung der Normale werden aufsummiert. Der Betrag dieser Summe wird in FSectionPlaneFeature (double flowthrough) gespeichert. Es ist der Durchfluss in Richtung der Normale und wird bei der Visualisierung zur Signifikanz der kritischen Punkte, der Bifurkationen und des Pfades der Singularitäten verwendet: α = m 1 k=0 v k n v k (5.2) wobei v k der Vektor an der Stelle P k, n die Normale der Ebene und m die Anzahl der Vektoren ist. Befindet sich ein transformierter Gitterpunkt außerhalb des Definitionsgebietes der 3D Strömung, so wird dieser Eckpunkt aus der Analyse ausgeschlossen(als ungültig markiert) und der Vektor an der entsprechenden Position gleich Null gesetzt. Diese Stellen sind natürlich keine kritischen Punkte, also wird das Gitter, damit keine Fehler bei den Berechnungen entstehen, umstrukturiert(abbildung 5.5 rechts). Das neue Gitter enthält dann nur die gültigen Eckpunkte. Dies ist besonders für die Topologieberechnung wichtig. Das Tracking der Singularitäten erfolgt auf dem Initialgitter, das für alle 2D Vektorfelder gleich sein muss, und kann mit den Nullvektoren umgehen. Auf diese Weise entsteht für jeden Schnitt ein zusätzliches Vektorfeld, da die umstrukturierten Gitter alle verschieden sein können. Diese Vektorfelder werden in FSectionPlaneFeature gesichert und sind für alle anderen FAnToM Algorithmen, die auf zweidimensionalen Datensätzen arbeiten, zugänglich. Der eigentliche Mehraufwand an Speicherplatz ist aber nur eine neue Gitterstruktur, die Gitterpositionen und die Vektoren sind die gleichen(siehe Abbildung 5.3). Die Umstrukturierung geschieht wie folgt. Ausgehend vom Ortsvektor wird in jeder Zelle die Gültigkeit ihrer Eckpunkte überprüft, ist einer davon ungültig, so wird diese Zelle aus dem Gitter ausgeschlossen (Abbildung 5.5). Sind Wirbelkernlinien berechnet worden, so kann die Analyse der Wirbelstruktur entlang dieser durchgeführt werden. Die Wirbelkernlinien müssen in einem Dateiformat, wie in Anhang B gezeigt, vorliegen. Vor allem der Sujudi Haimes Algorithmus liefert eine Menge Liniensegmente, die nicht mit einander verbunden sind. Aus diesem Grund ist beim Einladen der Wirbelkernlinien die Möglichkeit gegeben(optional) durch Angabe minimaler Anzahl der Punkte in einem Liniensegment( minimal length im Dialog in Abbildung 5.4) und minimaler Linienlänge( minimal arc length ) fehlerhafte Segmente herauszufiltern. Liniensegmente, die weniger Punkte enthalten oder kürzer als die angegebene Länge

62 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 59 Abbildung 5.5: 2D Gitter, links initial, rechts modifiziert. sind, werden ignoriert. Würde man an jedem Punkt der gegebenen Kernlinie einen Schnitt berechnen, so ergäben sich zu viele 2D Datensätze, wodurch die Darstellung sehr unübersichtlich wäre. Also hat der Benutzer die Wahl, die Wirbelkernlinien regelmäßig abzutasten(durch anklicken der Checkbox resample feature lines im Dialog). Dazu muss der Abstand der Abtastpunkte auf der Linie angegeben werden( max step size ). Zusätzlich kann die abgetastete Kernlinie geglättet werden. Nach der Eingabe der Anzahl der Glättungsiterationen( nb smoothing iterations ) und eines α Wertes erfolgt dann für jeden inneren Punkt der Linie der Glättungsschritt: p i = p i + λ(p i 1 + p i+1 2p i ); (5.3) mit i = 1,..., m 2 und m N Anzahl der Linienpunkte. Abbildung 5.6: Wirbelkernlinien berechnet mit Sujudi Haimes (schwarz) abgetastet und geglättet (rot) (FAnToM). Nun wird an jedem Punkt der abgetasteten und geglätteten Wirbelkernlinie das zweidimensionale Vektorfeld bestimmt. Der Punkt p i ist der Ortsvektor der Schnittebene, in der das Gitter liegt. Dieser Punkt wird als Mittelpunkt des

63 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 60 Wirbels angenommen. Die Normale der Ebene kann auf zwei Weisen, abhängig von der Wahl des Anwenders, bestimmt werden: 1. Die Ebene ist senkrecht zur Wirbelkernlinie. Die Normale ergibt sich als: n i = p i+1 p i p i+1 p i n i = p i p i 1 p i p i 1 m N Anzahl der Linienpunkte. für i = 0,..., m 2 für i = m 1 (5.4) 2. Die Ebene liegt so, dass der Durchfluß der Strömung durch sie maximal wird( take flow direction Checkbutton). Die Normale der Anfangsebene Π 0 ist der 3D Geschwindigkeitsvektor im Ortsvektor, d.h. im Punkt p i. In der Ebene Π j wird das Geschwindigkeitsfeld in l Punkten abgetastet. Der Durchfluss und die Normale ergeben sich dann wie folgt: α j = n j+1 = l 1 k=0 k=0 v k n j v k l 1 v k v k (5.5) v k ist der Geschwindigkeitsvektor an der Stelle k. Dies wird solange durchgeführt bis entweder α j+1 < α j gilt oder sich der Durchfluß nach p Schritten nicht geändert hat. Abbildung 5.7: Skizze der Schnittflächenberechnung entlang einer Linie. Die Schnittflächen sind senkrecht zu den Liniensegmenten.

64 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 61 Das Initialgitter für das Abtasten der 3D Strömung ist quadratisch. Die Länge der Quadratkante ist der eingegebene maximale radiale Abstand vom Ortsvektor( max radial distance ) multipliziert mit zwei. Die radiale Distanz spielt eine Rolle bei der Bestimmung der Ausdehnung des Wirbelkerns. Diese wird ähnlich wie bei der in Abschnitt beschriebenen Stromflächenmethode berechnet. Ausgehend vom Ortsvektor wird der Wirbelkernrand in verschiedenen Richtungen anhand des Kriteriums der Rotationsgeschwindigkeit gesucht, jedoch nur in einem Abstand, der nicht größer ist als die maximale radiale Distanz. Der maximale lokale Wirbelkernradius wird als globaler Radius gewählt. Findet man in allen Richtungen keinen Wirbelrand so kann dieser Schnitt verworfen werden. Dies kann auch der Anwender entscheiden durch das Anklicken des skip sections Checkbuttons im Dialog. Ist dieser nicht ausgewählt, so wird der Wirbelkernradius gleich dem maximalen radialen Abstand gesetzt, der eingegeben wurde. Nun wird das initialisierte Gitter, wie oben beschrieben, für die Berechnung der Topologie umstrukturiert. Dabei werden die Gitterpunkte, die außerhalb des Wirbelkerns liegen als ungültig markiert. Der Grund für die Anpassung der Orientierung der Ebene an dem maximalen Durchfluß und der Wahl die Schnittflächen, in denen kein Wirbelkernrand gefunden wird, zu verwerfen ist der folgende. Im Falle eines Wirbelplatzens kann diese Methode zur Bestimmung der Ausdehnung des Wirbelkerns keinen Radius liefern. Damit aber die Analyse auch dort durchgeführt werden kann, wurde diese Entscheidung getroffen. Einschub: Wirbelplatzen. Wirbelplatzen ist ein Phänomen, bei dem sich der Wirbel abrupt vergrößert. Es bildet sich ein eiförmiges Gebiet, in dem eine Rückströmung entsteht. Dieses Phänomen wurde als erstes an Flugzeugen mit Deltaflügeln beobachtet. Abbildung 5.8 zeigt eine Visualisierung des Wirbelplatzens mit Hilfe von Stromflächen. Abbildung 5.8: Wirbelplatzen oberhalb eines Deltaflügels, visualisiert mit Hilfe von Stromflächen (aus [Garth]).

65 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 62 Die Auflösung des 2D Gitters wird abhängig von der Auflösung des 3D Gitters berechnet. An jedem Punkt der Wirbelkernlinie, an dem ein Schnitt durchgeführt wird, wird die Länge der Diagonale der Bounding Box der Zelle, in der sich dieser Punkt befindet, abgefragt. Die Diagonale mit der minimalen Länge bestimmt dann die Auflösung gleich in beiden Richtungen des zweidimensionalen Gitters: res = 4r (5.6) d wobei r die maximale radiale Distanz und d die Länge der Diagonale der Bounding Box sind. Um ungefähre Positionen eines möglichen Wirbelplatzens zu erhalten, ist hier die Möglichkeit gegeben, Punkte (Position des Ortsvektors der Schnittebene), an denen eine Rückströmung beginnt und wieder aufhört im vcl Format (siehe Anhang B) zu speichern ( save feature points mit der Angabe der Zieldatei). Das geschieht wie folgt. Bei der Berechnung der Schnittebenen wird zusätzlich überprüft, ob Strömung in Richtung der Normale der Ebene und in entgegengesetzte Richtung vorhanden ist. Wenn ja, so wird der Ortsvektor als Startpunkt der Rückströmung gemerkt. Ab dieser Stelle wird dann der Punkt gesucht, an dem dieses Verhalten wieder aufhört, d.h. Durchströmung nur in eine Richtung. Das ist dann der Endpunkt der Rückströmung. Wird bis zum Ende der Wirbelkernlinie kein Endpunkt gefunden, so ist der letzte Linienpunkt die Endposition. Ein Startpunkt und der entsprechende Endpunkt ergeben eine Linie in der vcl Datei. Diese Punkte können zu einer Analyse der Platzblase verwendet werden. Als Ergänzung zu den in FAnToM vorhandenen Wirbelkernextraktionsverfahren (Sujudi Haimes und Stromflächenmethode) wurde hier der Algorithmus von Banks Singer (Kapitel 4.2.1) implementiert. Es ist schwierig einen geeigneten Startpunkt für diesen Algorithmus zu finden. Hier kann der Anwender zwischen dem Schwellwert des Druckes, dem Schwellwert der Wirbelstärke oder beidem zusammen wählen. Weiterhin ist auch die Angabe eines Startpunktes, von dem aus die Predictor Corrector Methode ausgeführt wird, möglich. Das Ergebnis kann in einer Datei im vcl Format gespeichert werden. Eine weitere hier implementierte Möglichkeit, um eine dreidimensionale Strömungsstruktur zu untersuchen, ist es, Schnittflächen senkrecht zu einer Achse zwischen zwei vom Benutzer angegebenen Punkten zu berechnen( sections along an axis ). Auch die Bestimmung von Schnittflächen, rotiert um diese Achse, ist möglich ( circumference sections ). Neben den zwei Punkten muss der Anwender noch zusätzlich die Anzahl der Schnitte ( nb sections ), die horizontale bzw. vertikale Größe ( horizontal size bzw. vertical size ) der Schnitte, sowie deren horizontale bzw. vertikale Auflösung ( horizontal resolution bzw. vertical resolution ) angeben. Dabei liegt der Ortsvektor der Schnittebene in der Mitte des Gitters. Liegen Gittereckpunkte außerhalb des Definitionsgebietes der dreidimensionalen Strömung, so wird das Gitter umstrukturiert.

66 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 63 Abbildung 5.9: Links, Schnittflächen entlang der Achse zwischen zwei Punkten. Rechts, Schnittflächen um die Achse zwischen zwei Punkten. Alle in diesem Abschnitt beschriebenen Methoden sind Teil der Klasse FSectionPlaneAlgorithm der DataSet Algorithmen. Topologie Ist die Abtastung der 3D Strömungstruktur abgeschlossen, so sind die zweidimensionalen Gitter und die dazugehörigen Vektoren in der Datenstruktur abgelegt. Es kann jetzt die Topologie der einzelnen 2D Vektorfelder bestimmt werden. Für jedes dieser Vektorfelder wird nun der in Kapitel beschriebene Algorithmus ausgeführt. Dazu ist die Eingabe einiger Parameter, die für die Integration der Stromlinien(Separatrizen) benötigt werden, erforderlich (siehe Dialog in Abbildung 5.10). Abbildung 5.10: Section Plane Topology Dialog.

67 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 64 Wie schon erwähnt ist dieser Algorithmus bereits ein Bestandteil des FAn- ToM. Es ist ein Visualisierungsalgorithmus, der die kritischen Punkte und Separatrizen darstellt. Die kritischen Punkte werden zusätzlich noch in dem FAnalysisModulData gespeichert. Da hier die Darstellung nicht in der xy Ebene benötigt wird, sondern im Raum, wurde der Algorithmus modifiziert. Die kritischen Punkte und Separatrizen werden nicht mehr graphisch dargestellt, sondern in der im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen Datenstruktur abgelegt. Die Punkte der Separatritzen sind in FSectionPlaneFeature (vector<vector <FPosition>> sep- Points) enthalten. Die Visualisierung der Topologie übernimmt dann der im Rahmen dieser Arbeit implementierte Visualisierungsalgorithmus. Der veränderte Algorithmus ist nun ein Datenalgorithmus. Er ergänzt die bestehenden Datensätze der 2D Schnittflächen und ist in der Klasse FSectionPlaneTopologyAlgorithm umgesetzt worden. Tracking der Singularitäten Um topologische Veränderungen zwischen den einzelnen Schnittflächen festzustellen, wurde hier das Verfolgen der Singularitäten in die Analyse integriert. Abbildung 5.11: Sections Singularities Tracking Dialog. Dazu wurde der in Kapitel beschriebene Algorithmus, der als Visualisierungsalgorithmus in FAnToM implementiert ist, modifiziert. Die berechneten Schnittflächen werden als Zeitschritte betrachtet. Jedem Schnitt ist ein eindeutig bestimmter Zeitpunkt, hier die fortlaufende Nummer, zugeordnet. Alle Vektorfelder wurden auf dem gleichen 2D Gitter definiert. An den Gitterpunkten, die außerhalb des Definitionsgebietes der dreidimensionalen Strömungstruktur liegen wurde das Vektorfeld gleich Null gesetzt. Es ist natürlich falsch, da aber die Datenstruktur in FAnToM keine undefinierten Werte ( blank Werte) kennt, wurde dieses Problem so gelöst. Der abgeänderte Tracking Algorithmus kann mit diesen Nullvektoren umgehen, für andere Algorithmen in FAnToM wurde das Gitter wie bereits beschrieben umstrukturiert. Anhand der Vektor-

68 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 65 werte an den Eckpunkten wird entschieden, ob die Position innerhalb oder außerhalb des 3D Gitters liegt. Falls sie außerhalb liegt(nullvektor), so werden in den Zellen, die diesen Eckpunkt enthalten, keine Singularitäten gesucht und verfolgt. Der berechnete Pfad der Singularitäten sowie eventuell vorkommende Bifurkationen werden in FSectionPlaneFeature (vector<fambifurcation> bifurcations, vector<famsingularpath> singpaths) der Datenstruktur der ersten Schnittfläche hinzugefügt. Dieser Algorithmus ist ein Datenalgorithmus, der wie der Algorithmus zur Bestimmung der Topologie die bestehende Datenstruktur mit zusätzlichen Daten für die anschließende Visualisierung ergänzt, und wurde in der Klasse FSectionsSingularitiesTrackingAlgorithm implementiert Visualisierung der Daten Die zweidimensionalen Datensätze können nun mit Hilfe der Methoden der Klasse FShowSectionPlanesAlgorithm im Raum dargestellt werden. Es können das umstrukturierte 2D Gitter, die Topologie, der Pfad der Singularitäten sowie der Anteil der 3D Strömung in Richtung der Normalen visualisiert werden. Zusätzlich hat der Anwender die Wahl zwischen der Darstellung der Topologie, des Gitters oder des Normalenanteils aller bisher berechneten Schnittflächen aller Merkmalslinien, aller Schnittflächen nur einer Merkmalslinie, oder aber auch nur einer einzigen Schnittfläche. Auch der Pfad der Singularitäten kann für alle oder nur für eine Merkmalslinie abgebildet werden. Dies kann der Benutzer mit Hilfe der entsprechenden Checkbuttons und Auswahllisten im Dialog festlegen (siehe Abbildung 5.12). Abbildung 5.12: Show Section Planes Dialog.

69 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 66 Darstellung der Gitter Die umstrukturierten Gitter, das Koordinatensystem, die Lage sowie die Orientierung der Schnittebenen sind in der Datenstruktur gegeben. Die einzelnen Gitterpunkte werden nun anhand dieser Informationen in die Ebene transformiert. Die Transformation wird wie folgt durchgeführt: p t = o + p x b 1 + p y b 2 (5.7) mit b 1 bzw. b 2 die beiden Basisvektoren (der zweite als Kreuzprodukt ( ) zwischen px dem ersten und der Normale), o der Ortsvektor der Ebene, p = der Punkt des 2D Gitters und p t der transformierte Gitterpunkt. Die Kanten der Gitter werden dann als Linien dargestellt. Der Anwender kann die Farbe, in der das einzelne Gitter dargestellt wird, im Dialog auswählen. Die Abbildung 5.13 zeigt eine Darstellung der 2D Gitterstrurkturen der Schnittflächen entlang einer Merkmalslinie. p y Abbildung 5.13: Darstellung der 2D Gitter im Raum (FAnToM). Darstellung der Topologie Der topologische Graph der einzelnen 2D Vektorfelder wurde wie im Kapitel beschrieben bestimmt und in der Datenstruktur gespeichert. Er kann nun dargestellt werden. Die kritischen Punkte sind im FAnalysisModulData enthalten. Sie werden so wie die Gitterpunkte in die entsprechende Ebene transformiert (Gleichung 5.7) und als Punkte dargestellt. Die Farbe dieser Punkte kann der Anwender im Dialog wählen. Initial werden Quellen grün, Senken blau und Sattelpunkte rot gezeichnet. Die Punkte der Separatrizen werden aus dem FSectionPlaneFeature ausgelesen, auf die gleiche Art und Weise in die Ebene transformiert und als Liniensegmente dargestellt. Die Farbe der Separatrizen kann auch vom Benutzer gewählt werden. Die Initialfarbe ist weiß.

70 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 67 Abbildung 5.14: Darstellung der Vektorfeldtopologie auf den Schnittflächen (FAn- ToM). Die Intensität der Farbdarstellung der Quellen und Senken ist abhängig von dem Betrag des Realteils ihrer Eigenwerte und dem Betrag des Durchflusses, gespeichert in FSectionPlaneFeature, wobei der Einfluß dieser beiden Faktoren vom Benutzer im Dialog (Abbildung 5.12 flow through fraction, ein Wert zwischen 0 und 1) festgelegt wird. Die Farbe der Quelle bzw. Senke wird dann wie folgt berechnet: color = cf initcolor + (1 cf) grey (1 ft) re + ft df mit cf = maxef (5.8) wobei maxef = max((1 ft) re + ft df) der maximale Einflussfaktor, ft der vom Anwender angegebene flow through fraction Parameter, re der mittlere Realteil der Eigenwerte, df der Durchfluss durch die Schnittfläche in Richtung der Normale und initcolor die gewählte Farbe der Senke bzw. Quelle ist. Pfad der Singularitäten Die Pfade der Singularitäten verlaufen zwischen den einzelnen Schnittflächen. Die Transformation der Pfade erfolgt mit Hilfe der baryzentrischen Koordinaten und linearen Interpolation. Die 2D Vektorfelder sind auf dem gleichen triangulierten Gitter definiert. In welcher Zelle sich ein kritischer Punkt auf diesem Gitter befindet ist bekannt. Seine Position in der Zelle, einem Dreieck, kann mit Hilfe der baryzentrischen Koordinaten (u, v, w) ausgedrückt werden (siehe dazu Abbildung 5.15).

71 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 68 Abbildung 5.15: Baryzentrische Koordinaten. Die einzelnen Schnittflächen werden wie Zeitschritte behandelt. Jedem Schnitt ist ein Zeitpunkt (hier eine fortlaufende Nummer) zugeordnet. Die z Koordinate eines Punktes im Pfad der Singularitäten sowie einer möglichen Bifurkation ist der Zeitpunkt, an dem die Singularität die entsprechende Position auf dem 2D Gitter annimmt. Anhand dieses Wertes wird ermittelt zwischen welchen zwei Schnittflächen sich dieser Punkt befindet. Abbildung 5.16: Transformation eines Punktes des Pfades einer Singularität. Die Punkte des Dreiecks werden nun in diese beiden Ebenen wie oben beschrieben transformiert. Der Dreieck, indem sich der Punkt auf dem Pfad befindet, ergibt sich durch Interpolation der Eckpunkte der zwei Dreiecke: P i = (1 µ)p 1 i + µp 2 i i = 1, 2, 3 µ = id t 0 µ 1 (5.9) mit P j i j = 1, 2 Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks in der jeweiligen Ebene, P i die Eckpunkte des interpolierten Dreiecks, id der Index der zweiten

72 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 69 Ebene und id 1 t id die z Koordinate des Pfadpunktes. Anhand der vorher berechneten baryzentrischen Koordinaten ergibt sich nun die 3D Position des Pfadpunktes in dem durch die lineare Interpolation bestimmten Dreieck. In Abbildung 5.16 ist die Transformation der Pfade der Singularitäten skizziert. Die Farben der Pfade ergeben sich entsprechend den Farben der kritischen Punkte. Die gelben Punkte signalisieren eine Hopfbifurkation, die türkis gefärbte Punkte eine Entstehung und die violetten Punkte eine Auslöschung. Weiterhin wird die Farbe der Pfade der Quellen bzw. Senken, sowie die der Hopfbifurkation, wie in Abschnitt oben entsprechend der Signifikanz der Quelle bzw. Senke abgeschwächt. Abbildung 5.17: Verfolgen der Singularitäten (FAnToM). Anteil der 3D Strömung in Normalenrichtung Die Komponente der Strömung in Richtung der Normale wird als Dreiecksnetz, das entsprechend dem Fluß verformt wird, dargestellt. Für jeden Punkt des umstrukturierten Gitters wird in der betrachteten Ebene der Vektorwert der Strömung abgelesen und normiert. Anschließend wird der Skalarprodukt zwischen dem normierten Vektor und der Normale der Ebene berechnet und mit dem Viertel des Abstandes des Ortvektors der betrachteten Schnittebene zum Ortsvektor der nächsten Schnittebene skaliert. Der Punkt des Dreiecksnetzes ergibt sich dann wie folgt: P = P G + d 4 ( v n)n (5.10) wobei P G der Punkt des Gitters, v der Vektor in diesem Gitterpunkt und d = o j o j+1 die Norm der Differenz der Ortsvektoren. Bei der letzten Schnittfläche ist d gleich dem Abstand des Ortvektors zu dem der vorhergehenden Ebene.

73 KAPITEL 5. EXPLORATION DER 3D STRÖMUNG 70 Das Dreiecksnetz wird auch je nach der Durchströmung an den einzelnen Eckpunkten farbkodiert. Die Farbe für die Strömung in und gegen die Normalenrichtung ist frei wählbar. Je kleiner der Anteil der Durchströmung ist, desto schwächer wird die Intensität der Farbe. Da die Auflösung des Gitters sehr hoch sein kann, hat der Anwender die Wahl zwischen der Darstellung nur des Anteils der Strömung in die Normalenrichtung oder nur entgegengesetzt der Normale. Abbildung 5.18 zeigt ein Beispiel der Visualisierung der Normalenkomponente der Strömung. Abbildung 5.18: Darstellung der Komponente des Flusses in Richtung der Ebenennormale (FAnToM).

74 Kapitel 6 Resultate In diesem Kapitel werden die Ergebnisse des im vorhergehenden Kapitel vorgestellten Verfahrens präsentiert. 6.1 Verwendete Datensätze Das Verfahren wurde an verschiedenen Datensätzen getestet. Zum einen waren das zwei Simulationen einer Wirbelströmung einer Flüssigkeit in einer Dose (Abbildung 6.1). Das Gitter der erste Dose, im folgenden Dose1 genannt, besteht aus Eckpunkten und Zellen. Auf diesem Gitter ist ein Geschwindigkeits-, ein Druck- und ein Dichtefeld definiert. Das Gitter der zweiten Dose(Dose2 von nun an) enthält Eckpunkte und Zellen. Hier ist ebenso Geschwindigkeit, Druck und Dichte der Strömung gegeben. Bei dem Dose2 Datensatz ist das Phänomen des Wirbelplatzens zu beobachten. Abbildung 6.1: Strömungssimulationen einer Flüssigkeit auf zwei verschiedenen Gittern ( links Dose1, rechts Dose2). 71

75 KAPITEL 6. RESULTATE 72 Desweiteren wurde das Verfahren an zwei Simulationen der Luftumströmung eines Deltaflügels getestet. Die erste ist die Simulation von Geschwindigkeit, Druck, Dichte, Viskosität sowie weiterer Eigenschaften der Strömung auf einem Gitter mit Eckpunkten und Zellen(Delta1). Der zweite Datensatz(Delta2) ist eine Simulation der Strömung auf einem Gitter mit Eckpunkten und Zellen (Abbildung 6.2). Bei beiden Datensätzen ist ein Wirbelplatzen zu beobachten. Abbildung 6.2: Zwei Simulationen der Luftströmung über einem Deltaflügel (links Delta1, rechts Delta2). Auch die Luftströmung an einem ICE Zug wurde mit dem im Rahmen dieser Diplomarbeit implementierten Verfahren untersucht. Diese ist auf einem Gitter mit Eckpunkten und Zellen gegeben (Abbildung 6.3). Abbildung 6.3: Simulation der Luftströmung an einem ICE Zug.

76 KAPITEL 6. RESULTATE Ergebnisse Bei der Visualisierung der Topologie werden die Quellen grün, die Senken blau, Sattelpunkte rot und die Separatrizen grau dargestellt. Die Pfade der Singularitäten sind den kritischen Punkten entsprechend gefärbt. Hopfbifurkationen werden als gelbe, Entstehen kritischer Punkte als türkise und Auslöschen als violette Punkte dargestellt Dose1 Datensatz Als erstes betrachten wir das Geschwindigkeitsfeld des Dose1 Datensatzes (Zeitschritt 1000). Die Analyse wird entlang einer mit Hilfe der Sujudi Haimes Methode berechneten Wirbelkernlinie durchgeführt. Sujudi Haimes liefert eine Wirbelkernlinie, also muß der Filterungsschritt beim Einladen nicht ausgeführt werden. Die eingeladene Kernlinie wurde mit der Schrittweite ( max step size ) 0,07 abgetastet und anschließend in drei Durchläufen mit λ = 0, 2 ( nb smoothing iterations = 3 und lambda value = 0,2) geglättet. Danach erfolgte die Schnittberechnung. Der maximale radiale Abstand ( max radial distance ), in dem nach dem Wirbelrand gesucht wird, wurde auf 0,5 gesetzt. Die Schnittebenen sind senkrecht zu der Wirbelkernlinie gerichtet ( take flow direction nicht ausgewählt). Bei nicht gefundenem Rand werden die Schnittflächen verworfen ( skip sections ausgewählt). Der Algorithmus bestimmte automatisch die Ausdehnung des Wirbels. Abbildung 6.4 zeigt die auf die Größe des Wirbels umstrukturierten Gitter. Abbildung 6.4: Darstellung der Gitter entlang einer Wirbelkernlinie. Anschließend wurde die Topologie auf den einzelnen Schnittflächen und der Pfad der Singularitäten bestimmt. In Abbildung 6.5 sind diese dargestellt. Die Farbe der Quellen und Senken sowie deren Pfade und Hopfbifurkationen wurde

77 KAPITEL 6. RESULTATE 74 nur abhängig von den Eigenwerten der Jacobimatrix abgeschwächt ( flow through fraction in Show Section Planes Dialog wurde Null gesetzt). Man sieht hier, dass die anfänglich starke Senke schwächer wird und schließlich in eine Quelle übergeht. Abbildung 6.5: Darstellung der Topologie der 2D Vektorfelder und der Pfade der Singularitäten. Dieser Vorgang ist in Abbildung 6.6 mit Hilfe einer Stromlinie, die in drei verschiedenen Schnittflächen im Nullpunkt gestartet wurde, verdeutlicht. In der ersten Schnittfläche ist noch eine starke Senke zu sehen(links in der Abbildung), die dann zu einem Zykel wird(schnittfläche in der Mitte der Abbildung), der als instabiler Zustand in eine Quelle(rechts im Bild) übergeht. Abbildung 6.6: Übergang von einer Senke zu einer Quelle (Hopfbifurkation).

78 KAPITEL 6. RESULTATE 75 Abbildung 6.7 zeigt die Darstellung der Topologie und der Pfade der kritischen Punkte. Die Farbe ist abhängig vom Durchfluß der Strömung durch die Schnittebene abgeschwächt ( flow through fraction gleich 1). Die Durchströmung ist am Boden der Dose noch schwach, wird dann stärker und schwächt anschließend am oberen Rand der Dose, wo die Flüssigkeit, bedingt durch die Schwerkraft, wieder auf den Boden fällt, ab. Abbildung 6.7: Darstellung der Topologie der 2D Vektorfelder und der Pfade der Singularitäten Dose2 Datensatz Bei dem Dose2 Datensatz (Zeitschritt 3800) wurde das Verfahren entlang der mit der Banks Singer Methode berechneten Wirbelkernlinie (Abbildung 6.8 links) durchgeführt. Diese wurde in Abständen von 0,05 ( max step size ) abgetastet und in einem Iterationsschritt ( nb smoothing iterations ) mit λ = 0, 2 geglättet (Abbildung 6.8 rechts). Entlang der geglätteten Wirbelkernlinie wurden Schnitte senkrecht zu dieser ( take flow direction nicht ausgewählt) berechnet. Dabei ist der maximale radiale Abstand für die Suche nach dem Wirbelrand ( max radial distance ) auf 0,5 gesetzt worden. Die Option zum Verwerfen der Schnittflächen, falls kein Rand gefunden wird, wurde ausgewählt ( skip sections ). Anschließend wurde die Topologie und Pfade der kritischen Punkte bestimmt. Abbildung 6.9 zeigt die Darstellung der Topologie und der Pfade der Singularitäten. Die Farbe ist abhängig von den Eigenwerten der Jacobimatrix abgeschwächt ( flow through fraction gleich Null). Auffällig ist der Wechsel von einer Senke zu einer starken Quelle am Anfang des Wirbels in der Dose.

79 KAPITEL 6. RESULTATE 76 Abbildung 6.8: Wirbelkernlinie berechnet mit der Banks Singer Methode (links) abgetastet und geglättet (rechts). Abbildung 6.9: Visualisierung der Topologie und der Pfade der Singularitäten bei dem Dose2 Datensatz. Stellt man den Anteil der Strömung in Richtung der Normale der Schnittebene dar, so erkennt man eine Rückströmung unmittelbar nach der starken Quelle (Abbildung 6.10 rot gefärbt, blau ist die Strömung in Normalenrichtung). Dies deutet auf ein Vorhandensein eines Wirbelplatzens hin, was durch Stromlinien verdeutlicht werden kann (Abbildung 6.11).

80 KAPITEL 6. RESULTATE 77 Abbildung 6.10: Visualisierung der Normalenkomponente bei dem Dose2 Datensatz. Abbildung 6.11: Normalenkomponente der Strömung. Wirbelplatzen ist durch Stromlinien angedeutet.

81 KAPITEL 6. RESULTATE 78 Die Strömung innerhalb der Platzblase kann auch untersucht werden. Dazu werden Schnitte um eine Achse zwischen zwei Punkten berechnet (siehe Abbildung 6.12). Das verwendete Gitter ist 2 2 groß und hat eine Auflösung von Punkten. Abbildung 6.12: Gitter einer der Schnittflächen um eine Achse zwischen zwei Punkten (rot). Blau ist die Wirbelkernlinie dargestellt. Abbildung 6.13 zeigt die Topologie von 100 berechneten 2D Vektorfeldern. In Abbildung 6.14 ist die Topologie von 10 Schnittflächen dargestellt. Man sieht die kreisende Bewegung um eine Achse innerhalb der Platzblase. Startet man auf dem Pfad der Singularitäten und verfolgt auf den Schnittflächen in der Platzblase eine Stromlinie (Abbildung 6.15) bzw. eine Stromfläche (Abbildung 6.16), so sieht man, dass diese zuweilen oberhalb und zuweilen unterhalb des Pfades verläuft. Es findet eine sehr leichte kreisende Bewegung der Strömung um diesen Pfad statt.

82 KAPITEL 6. RESULTATE 79 Abbildung 6.13: Topologie von 100 Schnitten um die Achse zwischen zwei Punkten. Abbildung 6.14: Topologie von 100 Schnitten um die Achse zwischen zwei Punkten.

83 KAPITEL 6. RESULTATE 80 Abbildung 6.15: Pfad der Singularitäten auf den Schnitten in der Platzblase. Stromlinie, gestartet auf diesem Pfad (violett). Abbildung 6.16: Pfad der Singularitäten auf den Schnitten in der Platzblase. Stromfläche, gestartet auf diesem Pfad.

84 KAPITEL 6. RESULTATE Delta1 Datensatz Beim Delta1 Datensatz (Zeitschritt 1000) wurde das Verfahren entlang der von Sujudi Haimes berechneten Wirbelkernlinien (6.17 links) angewandt. Diese wurden beim Einladen mit minimal length = 245 und minimal arc length = 0,2 gefiltert (Abbildung 6.17). Es ist zu sehen, dass beide Wirbelkernlinien links und rechts des Deltaflügels unterbrochen sind (Wirbelplatzen). Abbildung 6.17: Wirbelkernlinien berechnet mit Sujudi Haimes (links) und anschließend gefiltert (rechts). Die gefilterten Wirbelkernlinien wurden mit max step size = 0,05 abgetastet und in drei Iterationsdurchläufen ( nb smoothing iterations = 3) mit λ = 0, 2 geglättet. Anschließend wurden Schnittflächen, die senkrecht zum maximalen Durchfluss durch die Ebene sind ( take flow direction ausgewählt), bestimmt. Dabei wurde der Wirbelrand bis zu einem Abstand von 0,12 ( max radial distance ) gesucht. Falls dieser nicht gefunden wurde, wurde der entsprechende Schnitt verworfen ( skip sections ausgewählt). Abbildung 6.18 zeigt die dabei entstandenen Gitter. Auffällig ist die größer gewordene Ausdehnung des Wirbels unmittelbar nach der Unterbrechung der Kernlinien. In Abbildung 6.19 ist die berechnete Topologie und Pfade der Singularitäten dargestellt. Die Farbe ist abhängig von den Eigenwerten der kritischer Punkte abgeschwächt ( flow through fraction = 0). Man sieht eine starke Quelle bevor die Wirbelkernlinien abreißen.

85 KAPITEL 6. RESULTATE 82 Abbildung 6.18: Darstellung der Gitter in den Schnittebenen entlang der Wirbelkernlinien. Abbildung 6.19: Darstellung der Topologie und Pfade der Singularitäten der Schnitte entlang der Wirbelkernlinien oberhalb des Deltaflügels (Delta1).

86 KAPITEL 6. RESULTATE 83 Um die Lücken in den Wirbelkernlinien zu untersuchen, wurden 20 Schnitte entlang des Deltaflügels links und rechts berechnet und die Topologie der Vektorfelder sowie der Pfad der Singularitäten bestimmt. Abbildung 6.20 zeigt das Ergebnis entlang des linken Flügelrandes. Zusätzlich sind noch die Wirbelkernlinien rot dargestellt. Man bemerkt ein auffälliges Verhalten des Wirbels an den Stellen, an denen die Kernlinien unterbrochen sind. Abbildung 6.20: 20 Schnitte entlang des linken Randes des Deltaflügels. Abbildung 6.21 zeigt dieses Verhalten am linken Rand des Deltaflügels. Bei der Darstellung der Komponente der Strömung in Richtung der Normalen der Schnittebenen in Abbildung 6.22 sieht man die Rückströmung (rot dargestellt) innerhalb der Platzblase. Abbildungen 6.23 und 6.24 zeigen ähnliches Verhalten am rechten Rand des Deltaflügels.

87 KAPITEL 6. RESULTATE 84 Abbildung 6.21: Topologie und Pfad der Singularitäten der 20 Schnitte entlang des linken Randes des Deltaflügels. Abbildung 6.22: Darstellung des Flusses in Richtung der Normale in den Schnittflächen entlang des linken Randes des Deltaflügels.

88 KAPITEL 6. RESULTATE 85 Abbildung 6.23: Topologie und Pfad der Singularitäten der 20 Schnitte entlang des rechten Randes des Deltaflügels. Abbildung 6.24: Darstellung des Flusses in Richtung der Normale in den Schnittflächen entlang des rechten Randes des Deltaflügels.

89 KAPITEL 6. RESULTATE Delta2 Datensatz Als nächstes betrachten wir den Delta2 Datensatz. Die Abbildung 6.25 zeigt die Topologie von Schnittflächen berechnet entlang des linken und rechten Randes des Deltaflügels im Zeitschritt 100. Man sieht den Primär-, den Sekundär- und den Tertiärwirbel an beiden Rändern. Abbildung 6.25: Primär-, Sekundär- und Tertiärwirbel am Deltaflügel. Unter anderem ist auch im Zeitschritt 840 das Wirbelplatzen des Primärwirbels zu beobachten. Die Analyse wird entlang der Schwerpunktlinie (Abbildung 6.26 links), berechnet mit Hilfe des Stromflächenalgorithmus (Kapitel 4.2.3), durchgeführt. Diese Linie wurde mit max step size = 0,05 abgetastet und in drei Iterationsdurchläufen ( nb smoothing iterations ) mit λ = 0, 2 geglättet (Abbildung 6.26 rechts). Anschließend wurden Schnitte entlang der geglätteten Linie, Topologie der entstandenen Vektorfelder und Pfad der Singularitäten berechnet. Die Parameter sind wie folgt gesetzt worden, max radial distance = 0,12, take flow direction und skip sections ausgewählt. Die Visualisierung der Topologie und der Pfade der Singularitäten sind in Abbildung 6.27 dargestellt. Die Durchströmung wurde bei der Abschwächung der Farben der kritischen Punkte und Pfade nicht berücksichtigt ( flow through fraction = 0). Man sieht eine starke

90 KAPITEL 6. RESULTATE 87 Quelle am hinteren Rand des Deltaflügels in der nähe der Platzblase. Die Darstellung der Komponente der Strömung in Richtung der Normale der Schnittebenen (Abbildungen 6.28 und 6.29) zeigt eine Rückströmung innerhalb der Platzblase (Rückströmung rot dargestellt). Abbildung 6.26: Schwerpunktlinie des Primärwirbels (links), abgetastet und geglättet (rechts). Abbildung 6.27: Topologie und Pfad der Singularitäten auf Schnitten entlang der Schwerpunktlinie des Primärwirbels.

91 KAPITEL 6. RESULTATE 88 Abbildung 6.28: Komponente der Strömung in Normalenrichtung der Schnittebenen entlang der Schwerpunktlinie. Abbildung 6.29: Rückströmung in der Platzblase des Primärwirbels des Deltaflügels.

92 KAPITEL 6. RESULTATE 89 Die Platzblase wurde zusätzlich untersucht, indem Schnitte um die Achse zwischen zwei Sattelpunkten des dreidimensionalen Vektorfeldes, die Topologie der sich ergebenen 2D Vektorfelder sowie die Pfade der kritischen Punkte bestimmt wurden. Abbildung 6.30 zeigt die Topologie von Vektorfeldern auf 100 Schnittgittern um diese Achse. In Abbildung 6.31 ist die Topologie von nur 10 Vektorfeldern und der Pfad der Singularitäten zum besseren Verständnis dargestellt. Man sieht, wie auch in der Dose, eine kreisende Bewegung innerhalb der Platzblase um den Pfad der kritischen Punkte. Diese Kreisbewegung kann dann durch eine Stromfläche, gestartet auf dem Singularitätenpfad, verdeutlicht werden, was man in Abbildung 6.32 sieht. Abbildung 6.30: Topologie von 100 Schnitten innerhalb der Platzblase am Deltaflügel.

93 KAPITEL 6. RESULTATE 90 Abbildung 6.31: Topologie von 10 Schnitten innerhalb der Platzblase am Deltaflügel. Abbildung 6.32: Stromfläche gestartet in der Platzblase am Deltaflügel.

94 KAPITEL 6. RESULTATE ICE Datensatz Als letztes wurden Simulationsdaten eines ICE Zuges, der in einem Winkel von 30 Grad von der Luft umströmt wird, untersucht. Dazu wurden 18 Schnittflächen entlang des ICE und die Topologie der jeweiligen 2D Vektorfelder bestimmt (Abbildung 6.33). Während am vorderen Ende des ICE sich die Strömung noch einfach zeigt, wird sie zum hinteren Ende des Zuges zunehmend komplizierter, was in Abbildung 6.34 dargestellt ist. Es bildet sich teilweise ein System aus vier Wirbeln (Abbildung 6.35). Abbildung 6.33: Darstellung der Topologie von 18 Schnittflächen entlang des ICE.

95 KAPITEL 6. RESULTATE 92 Abbildung 6.34: Darstellung der Topologie von Schnittflächen am hinteren Ende des ICE. Abbildung 6.35: Ein System aus vier Wirbeln im ICE Datensatz.

96 Kapitel 7 Zusammenfassung Die Visualisierung von dreidimensionalen Strömungstrukturen mit Hilfe von Stromlinien und Stromflächen ist sehr zeitaufwändig und erfordert viel Geduld, vor allem, wenn der Benutzer nach bestimmten Merkmalen in der Strömung sucht. Merkmalsbasierte Visualisierung erleichtert dies durch automatische Suche nach den interessierenden Merkmalen. Aufgrund der fehlenden allgemeingültigen Definition erweist sich die Wirbelextraktion als schwierig und eine Validation ist erforderlich. Die Visualisierung der 3D Strömung kann aufgrund ihrer Komplexität sehr unübersichtlich werden. Eine Vereinfachung zum besseren Verständnis ist nötig. In dieser Arbeit wurde ein Werkzeug vorgestellt, das die Analyse von dreidimensionalen Strömungsstrukturen ermöglicht und den Anwender beim Verstehen der Strömung unterstützt. Eine interaktive sowie eine automatische Analysemöglichkeit ist gegeben. Die automatische Analyse eines Wirbelkerns kann durch Verfolgen der Singularitäten und zusätzliche Visualisierung des Anteils der Strömung in Normalenrichtung ein mögliches Vorkommen von Wirbelplatzen aufzeichnen. Durch anschließende manuelle Analyse kann dieses näher untersucht werden. Durch die Berechnung der Wirbelkernausdehnung anhand des Kriteriums der Umlaufgeschwindigkeit kann man fehlerhaftes Vorhandensein eines Wirbels ausschließen. Das Analysewerkzeug wurde in das System FAnToM integriert, so das die Analyse durch die bereits bestehende Visualisierungverfahren, wie beispielsweise Stromlinie-, Stromflächenverfahren oder LIC, unterstützt werden kann. Die Darstellung des Definitionsgitters, der Topologie der zweidimensionaler Vektorfelder und der Pfade der Singularitäten erfolgt an der richtigen Position im Raum. Eine weiterführende Arbeit kann zum Beispiel die Visualisierung der Stromlinien oder der entstehenden LIC Textur in der entsprechenden Ebene sein. 93

97 Anhang A Benutzeroberfläche A.1 Section Plane Dialog Abbildung A.1: SectionPlane Dialog. Analyse entlang der Merkmalslinien automatic settings : Durch Anklicken dieses Knopfes erfolgt eine Schnittflächenberechnung entlang einer Merkmalslinie (Wirbelkernlinie). Dabei wird die Wirbelausdehnung in jeder Schnittfläche ermittelt und das Gitter entsprechend umstrukturiert. 94

98 ANHANG A. BENUTZEROBERFLÄCHE 95 max radial distance : Der maximale radiale Abstand in dem nach dem Wirbelkernrand gesucht wird. Er bestimmt auch die Größe des Gitters. take flow direction : Ist dieser Knopf angeklickt, so erfolgt eine Anpassung der Schnittebene, genauer gesagt der Normalen der Ebene, an die Durchströmung durch die Ebene. skip sections : Wahl, ob Schnittflächen, in denen kein Wirbelrand bis zum maximalen radialen Abstand gefunden wurde, verworfen werden oder nicht. Beim Anklicken werden solche Schnitte verworfen. resample feature line : Durch Anklicken dieses Checkbuttons erfolgt eine Abtastung der Merkmalslinie. max step size : Der Abtastabstand. smooth feature lines : Auswahl, ob eine Glättung der eingeladenen Merkmalslinie erfolgen soll. nb smoothing iterations : Anzahl der Glättungsdurchläufe. lambda value : λ Wert, benötigt für die Glättung. Die Berechnungsvorschrift für einen Glättungsdurchlauf lautet: p i = p i + λ(p i 1 + p i+1 2p i ); mit i = 1,..., m 2 und m N Anzahl der Linienpunkte. load feature lines : Einladen der Merkmalslinien. Ist der Checkbutton nicht ausgewählt, so erfolgt eine Berechnung einer Wirbelkernlinie mittels Banks Singer Methode. feature line file: Name der Datei im vcl Format, in der die Merkmalslinien gespeichert sind. filter feature lines : Auswahl für das Filtern beim Einladen der Merkmalslinien. Beim Anklicken werden die Merkmalslinien gefiltert. minimal arc length : Minimale Bogenlänge der zu ladenden Merkmalslinie. Alle Linien, die kleinere Länge haben, werden ignoriert. minimal length : Minimale Anzahl der Knoten einer Merkmalslinie. Linien, die weniger Knoten besitzen werden herausgefiltert.

99 ANHANG A. BENUTZEROBERFLÄCHE 96 Banks Singer Methode Die Suche des Startpunktes für den Predictor Corrector Algorithmus bei der Banks Singer Methode ist von den Schwellwerten der Wirbelstärke und des Drucks abhängig. Hier ist dem Anwender die Möglichkeit gegeben sich zu entscheiden, ob diese Suche nach dem Startpunkt (dem Wirbel) abhängig von der Wirbelstärke, oder von dem Druck, oder aber auch von beiden Kriterien durchgeführt wird. Der Benutzer muss zusätzlich eine Toleranzgrenze in Prozent vorgeben (Es können sich mehrere Wirbel im Datensatz befinden). Startpunkte sind die Punkte, an denen die Wirbelstärke bzw. der Druck nicht mehr als dieser Prozentsatz vom globalen Maximum bzw. Minimum abweicht. Punkte, die am Rand liegen werden nicht berücksichtigt. Auch Punkte des gleichen Wirbels werden herausgefiltert. Ist dem Benutzer ein Startpunkt bekannt, so kann der Predictor Corrector Algorithmus an diesem Punkt gestartet werden. consider vorticity : Auswahl, ob die maximale Wirbelstärke bei der Suche nach Startpunkten für die Banks Singer Methode einbezogen werden soll. vorticity field index : Auswahl des betrachteten Wirbelstärkefeldes. vorticity tolerance : Toleranz in Prozent des Betrages der Wirbelstärke an einem möglichen Startpunkt zum maximalen Betrag. Ein Wert zwischen 0 und 100. consider pressure : Auswahl, ob der minimale Druck bei der Suche nach Startpunkten für die Banks Singer Methode einbezogen werden soll. pressure field index : Auswahl des betrachteten Druckfeldes. pressure tolerance : Toleranz in Prozent des Druckwertes an einem möglichen Startpunkt zum minimalen Druck. Ein Wert zwischen 0 und 100. seed point coordinates : Koordinaten eines Startpunktes, falls bekannt, für den Predictor Corrector Algorithmus. export vcl : Möglichkeit die gefundenen Wirbelkernlinien in einer Datei im vcl Format zu speichern. vortex core line output file : Name der oben genannten Datei. Anschließend erfolgt eine Analyse entlang dieser Wirbelkernlinie, deswegen müssen auch die oben beschriebenen Parameter eingegeben werden.

100 ANHANG A. BENUTZEROBERFLÄCHE 97 Analyse entlang einer Achse oder um eine Achse zwischen zwei Punkten number sections : Anzahl der zu berechnenden Schnittflächen. section size : Vertikale und horizontale Größe der Schnittflächen section resolution : Vertikale und horizontale Auflösung der Schnittflächen. sections along an axis : Berechnung der Schnitte entlang der Achse zwischen den zwei Punkten. Die Schnittebenen sind senkrecht zu dieser Achse. circumference sections : Berechnung von Schnittflächen um die durch zwei Punkte bestimmte Achse. axis settings : Koordinaten der beiden Punkte, durch die die Achse bestimmt ist.

101 ANHANG A. BENUTZEROBERFLÄCHE 98 A.2 Section Plane Topology Dialog Abbildung A.2: Section Plane Topology Dialog. Berechnung der Topologie der 2D Vektorfelder Bei dem Delta1 Datensatz, beispielsweise, sind mehrere Wirbelkernlinien vorhanden. Entlang dieser werden Schnitte berechnet und die entsprechenden Vektorfelder in einer FTimeSteps Struktur (siehe Kapitel 5.2.1) für jede Kernlinie abgelegt. Auch nach einer wiederholten Ausführung des Schnittflächenalgorithmus entstehen neue Datensätze. Der Anwender hat die Wahl zwischen der Bestimmung der Topologie der Vektorfelder aller bis dahin entstandener oder, um auch Mehrfachberechnungen zu vermeiden, nur einer gegebenen Anzahl zuletzt berechneter FTimeSteps Strukturen. all feature lines : Ist diese Option ausgewählt, so erfolgt die Berechnung der Topologie der Schnitte aller Merkmalslinien. nb last feature lines : Die Berechnung der Topologie erfolgt nur für die eingegebene Anzahl zuletzt betrachteter Merkmalslinien. numerical precision : Anfangsschrittweite für die Runge Kutta Integration. zero tolerance : Numerische Toleranz für die Integration der Separatrizen mit Hilfe der Runge Kutta Methode. number steps : Maximale Anzahl Integrationsschritte.

102 ANHANG A. BENUTZEROBERFLÄCHE 99 calculate distance : Statt einer manuellen Eingabe des Abstandes zwischen zwei Punkten bei der Integration der Separatrizen kann dieser auch berechnet werden. Es ist dann die Zehnerpotenz, die kleiner ist als die Diagonale der Bounding Box der Gitterpunkte dividiert durch distance : Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten bei der Integration der Separatrizen. angle( ) : Der maximal mögliche Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten bei der Berechnung der Separatrizen.

103 ANHANG A. BENUTZEROBERFLÄCHE 100 A.3 Sections Singularities Tracking Dialog Abbildung A.3: Sections Singularities Tracking Dialog. Verfolgen der Singularitäten Wie auch bei der Bestimmung der Topologie, ist dem Anwender auch beim Verfolgen der Singularitäten die Möglichkeit gegeben, um Mehrfachberechnungen zu vermeiden, den Tracking Algorithmus nur auf zuletzt bestimmten FTimeSteps auszuführen. all feature lines : Ist diese Option ausgewählt, so erfolgt das Tracking der Singularitäten aller Merkmalslinien. nb last feature lines : Verfolgen der Singularitäten erfolgt nur für die eingegebene Anzahl zuletzt betrachteten Merkmalslinien.

104 ANHANG A. BENUTZEROBERFLÄCHE 101 A.4 Show Section Planes Dialog Abbildung A.4: Show Section Planes Dialog. Darstellung der Topologie show topology : Wahl, ob der topologische Graph dargestellt werden soll. separatrices color : Farbe der Separatrizen. source point color : Farbe der Quellen des Vektorfeldes. sink point color : Farbe der Senken des Vektorfeldes. saddle point color : Farbe der Sattelpunkte. flow through fraction : Die Farbe der Quellen und Senken wird abhängig von den Eigenwerten der Jacobimatrix und vom Durchfluß der Strömung durch die Schnittfläche in Richtung der Normale abgeschwächt. Hier kann der Anteil zu dem der Durchfluß bei der Farbabschwächung berücksichtigt wird angegeben werden. Es ist ein Wert zwischen 0 und 1. Darstellung des Pfades der Singularitäten show singularities path : Auswahl zur Darstellung des Pfades der Singularitäten. export singularities path : Möglichkeit den Pfad in einer Datei im vcl Format zu speichern. singularities path output file : Name der Datei, in der der Pfad der Singularitäten gesichert wird.

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