Simulation und Visualisierung eines europäischen Elektrizitätsversorgungssystems der Zukunft mit hohen Anteilen Erneuerbarer Energien

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1 Institut für Stromrichtertechnik und Elektrische Antriebe Simulation und Visualisierung eines europäischen Elektrizitätsversorgungssystems der Zukunft mit hohen Anteilen Erneuerbarer Energien Masterarbeit von Melchior Moos 12. März 2013

2 Erklärung Ich, Melchior Moos, versichere, dass ich die vorliegende Arbeit bis auf die Betreuung durch das Institut für Stromrichtertechnik und Elektrische Antriebe (ISEA) der RWTH Aachen selbst und ohne fremde Hilfe angefertigt habe. Die benutzten Quellen und Hilfsmittel sind vollständig angegeben, Zitate sind kenntlich gemacht. Aachen, 12. März 2013 ii

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Grundlagen Genesys Optimierungsverfahren Lineare Programmierung Evolutionäre Algorithmen Kraftwerkseinsatzplanung mit CPLEX Lastdeckung Bilanzgleichung der Speicher GUI-Programmierung in C Qt FFMPEG Kartografie Kartenprojektionen Shapefiles Erweiterung des Optimierungstools Genesys Energiesystemmodellierung Regionen Leitungen Kraftwerke Speicher Allgemeine Einstellungen Gene Implementierung und Klassenstruktur eines Energiesystems Einsatzplanungshierarchie Netzflussberechnung Speichereinsatz Systemoptimierung mit CPLEX Referenzmodell des europäischen Versorgungssystems Regionen Betriebsmittel Simulationsergebnisse im Vergleich iii

4 Inhaltsverzeichnis iv 5 Weiterentwicklung von genetischer Systemoptimierung und Einsatzplanungshierarchie Algorithmus zur Systemoptimierung Identifikation geeigneter CMA-ES Parameter Vergleich von CMA-ES und GA Speichereinsatz in der Einsatzplanungshierarchie Ungenügend Übertragungsleistung Ungenügend Speicherleistung Ungenügend gespeicherte Energie Implementierung verschiedener Einsatzhierarchien Analyse der CPLEX Einsatzplanung Bewertung der implementierten Einsatzplanungshierarchien Bewertung exemplarischer Optimierungsergebnisse System mit 100 % Photovoltaik (PV) System mit Gaskraftwerken Performance Vergleich Visualisierung Technische Realisierung Hauptfenster Regionen Leitungen Balkendiagramme Kuchendiagramme Export Plotfenster Tabellenfenster Zusammenfassung und Ausblick 69 A Anhang 72 Abkürzungsverzeichnis 82 Abbildungsverzeichnis 83 Tabellenverzeichnis 84 Literaturverzeichnis 85

5 1 Einleitung Der Klimawandel hat sich zu einem allgegenwärtigen Thema in unserer heutigen Gesellschaft entwickelt. Wissenschaftliche Ergebnisse deuten darauf hin, dass dieser mit dem Ausstoß von CO 2 im Zusammenhang steht. So wurden seit den 1990er Jahren mit der Klimarahmenkonvention der Vereinten Nationen und dem darauf aufbauenden Kyoto-Protokoll in der internationalen Politik Regelungen geschaffen, um den CO 2 -Ausstoß weltweit einzudämmen. Diese Ziele spiegeln sich dementsprechend auch in den Leitlinien der deutschen Politik wider. In ihrem Energiekonzept vom [1] hat die Bundesregierung feste Ziele für den Umbau unseres Energiesystems hin zu einem System mit hohem Anteil Erneuerbarer Energien formuliert. So sollen insbesondere die Treibhausgas-Emissionen bis 2050 im Vergleich zu 1990 um mindestens 80 % gesenkt werden. Um das zu erreichen, wird in der Stromerzeugung ein Anteil der Erneuerbaren Energien von ebenfalls 80 % angestrebt. Zusätzlich werden die Ziele Zuverlässigkeit und Bezahlbarkeit genannt. Insbesondere die Bezahlbarkeit rückte in der letzten Zeit vermehrt in die öffentliche Diskussion. Auch im europäischen Rahmen existieren mit dem Fahrplan für den Übergang zu einer wettbewerbsfähigen CO 2 -armen Wirtschaft bis 2050 [2] entsprechende Ziele, so dass es sinnvoll ist, die Verwirklichung dieser Ziele im gesamten europäischen Kontext zu betrachten und so Synergieeffekte in Form von geringeren volkswirtschaftlichen Kosten nutzen zu können. Um diese ehrgeizigen Ziele zu erreichen, ist ein Umbau des europäischen Energiesystems unerlässlich. Die Stromerzeugung aus Erneuerbaren Energien, insbesondere aus Wind und Sonneneinstrahlung unterliegt starken Schwankungen. Da die Erneuerbaren Energien in % des Energiebedarfs decken sollen, ergeben sich große Anforderungen an das Energiesystem, um diese Schwankungen aufnehmen zu können und so die im internationalen Vergleich hohe Versorgungssicherheit mit elektrischer Energie, die einen wichtigen Standortfaktor für Europa darstellt, nicht zu gefährden. Aus heutiger Sicht kommen für den Ausgleich vor allem Übertragungsleitungen, die das Angebot räumlich ausgleichen können, und Speicher, die das Angebot zeitlich ausgleichen können, in Frage. Die Möglichkeit den Verbrauch anzupassen steht dem Ziel eines verlässlichen Stromnetzes entgegen und kommt damit nur begrenzt in Betracht. Der Bedarf an Leitungen und Speichern hängt jedoch maßgeblich von der räumlichen und technologischen Allokation der Erneuerbaren Energien ab, so dass sich in Verbindung mit der Forderung nach einer bezahlbaren Energieversorgung ein komplexes Optimierungsproblem ergibt. Einerseits soll die Versorgungssicherheit gewährleistet sein, andererseits soll der Aufwand der Umrüstung und damit die Kosten möglichst begrenzt bleiben. Außerdem müssen bei diesem Optimierungsproblem technologische und politische Rahmenbedingungen eingehalten werden, damit sich die Ergebnisse auch realisieren lassen. Zum Lösen dieses volkswirtschaftlichen Optimierungsproblems wird am Institut für Stromrichtertechnik und elektrische Antriebe (ISEA) das Programm Genesys (Genetische Optimierung eines europäischen Energieversorgungssystems) entwickelt, das mit einer Kombination aus 1

6 1 Einleitung 2 Genetischem Algorithmus und einer Zeitreihensimulation mit Einsatzhierarchie arbeitet. Dieses Tool wurde im Rahmen dieser Arbeit validiert und weiterentwickelt. Dazu wurde eine neue Optimierungsmethode integriert. Das Problem wird dabei als Lineares Programm formuliert, so dass etablierte Verfahren zum Finden des globalen Optimums zur Verfügung stehen. So wird üblicherweise in anderen Arbeiten zu solchen Optimierungsproblemen vorgegangen [3] [4]. Hier wird für die Optimierung auf das Programm CPLEX zurückgegriffen. Die mit CPLEX gewonnenen Ergebnisse werden herangezogen, um das bisher verwendete Verfahren zu validieren und zu verbessern. Außerdem werden die Möglichkeiten der Modellierung von Energiesystemen in Genesys erweitert, um mehr Technologien in der Optimierung berücksichtigen zu können. Um die Ergebnisse solch aufwendiger Simulationen einem breiteren Publikum zugänglich zu machen, ist eine anschauliche Darstellung der Ergebnisse unerlässlich. Dazu wurde in dieser Arbeit ein Werkzeug entwickelt, um aus den großen Datenmengen dieser Simulationen anschauliche Darstellungen zu generieren. Zu Beginn der Arbeit sollen in Kapitel 2 einige Grundlagen zu den verwendeten Programmen und Verfahren erläutert werden. Davon ausgehend wird in Kapitel 3 die Integration der neuen Optimierungsverfahren und die erweiterte Modellierung der Technologien und Randbedingungen in Genesys beschrieben. In Kapitel 5 sollen die Optimierungsverfahren verglichen werden und daraus Weiterentwicklungen der Verfahren abgeleitet werden. In Kapitel 6 sollen schließlich die so gewonnenen weiterentwickelten Verfahren anhand vergleichender Optimierungen bewertet werden. In Kapitel 7 wird das zusätzlich in dieser Arbeit entwickelte Visualisierungstool beschrieben und seine Möglichkeiten erklärt. Abschließend wird ausgehend von einer Zusammenfassung ein Ausblick auf weitere mögliche Entwicklungsschritte gegeben.

7 2 Grundlagen In dem folgenden Grundlagenkapitel soll kurz auf spezielles Wissen und die Programme eingegangen werden, welche für das Verständnis der Masterarbeit benötigt werden. Dabei soll zunächst das am Institut für Stromrichtertechnik und elektrische Antriebe (ISEA) entwickelte Programm Genesys beschrieben werden, das im Folgenden erweitert werden soll. Es folgen Grundlagen zu unterschiedlichen Optimierungsverfahren mit denen sich Energiesysteme Optimieren lassen, insbesondere die hier verwendeten, das Simplex-Verfahren und die Evolutionären Algorithmen. Später wird die am Institut für Elektrische Anlagen und Energiewirtschaft (IAEW) entwickelte Kraftwerkseinsatzplanung mit CPLEX erläutert. Zum Ende des Kapitels werden einige Programmbibliotheken und Aspekte der Visualisierung von geografischen Daten vorgestellt. 2.1 Genesys Das Programm Genesys wurde im Rahmen eines durch das Bundesumweltministerium geförderten Forschungsprojekts entwickelt und dient dazu, Energiesysteme mit hohem Anteil Erneuerbarer Energien bezüglich der volkswirtschaftlichen Gesamtkosten zu optimieren. Der hohe Anteil regenerativ erzeugter Energie stellt hohe Anforderungen an das System, da diese in der Regel sehr fluktuierend erzeugt wird und durch Speicher oder Leitungen ein Ausgleich stattfinden muss. Die benötigten Leitungs- und Kraftwerkskapazitäten hängen dabei stark von der räumlichen und technologischen Allokation der Erneuerbaren Energien ab, so dass zur Optimierung eine Betrachtung des Gesamtsystems notwendig ist. Genesys besteht aus einer zweischichtigen Optimierung. Primäres Ziel ist es, mit Hilfe eines Genetischen Algorithmus das Energiesystem in Form von installierten Kapazitäten der einzelnen Betriebsmittel, z. B. Speicherkapazitäten oder Übertragungsleistungen, zu optimieren. Für diese Optimierung benötigt der Genetische Algorithmus allerdings eine Bewertung der Kosten einzelner Energiesysteme, in die auch die Kosten während des Systembetriebs eingehen. Dazu muss für jedes System auch der Betrieb simuliert werden, um Aussagen über die variablen Kosten der Systeme zu erhalten. Dies ist die zweite Schicht. In Genesys ist hier eine Einsatzplanungshierarchie implementiert, die die Technologien Wind, PV, Speichertechnologien, Gaskraftwerke und ein Netz betrachten kann. Der Einsatz erfolgt in einer fest vorgegebenen Reihenfolge für die einzelnen Zeitschritte, so dass die Einsatzplanung schnell berechnet werden kann. Um die Betrachtung einzelner Kraftwerke zu umgehen und so die Komplexität des Problems zu verringern, werden in Genesys Regionen betrachtet. Innerhalb dieser Regionen werden alle Kraftwerke und Speicher auf einen Netzknotenpunkt aggregiert. Die bisherige Implementierung von Genesys beinhaltet einen Genetischen Algorithmus, der die fest vorgegebenen Systemgrößen der installierten Wind- und PV-Leistung, Speichergrößen mit jeweils einer Lade- und Entladeeinheit und ein konventionelles Gaskraftwerk pro 3

8 2 Grundlagen 4 Region optimiert, sowie die Übertragungsleistungen eines vorher definierten Leitungsnetzes. Die Systeme werden anhand einer Fitnessfunktion bewertet, nach der die Selektion im Genetischen Algorithmus erfolgt. Die Fitnessfunktion berechnet dabei die Kosten, die für den Betrieb des jeweiligen Systems über den Simulationszeitraum entstehen würden. Diese Kosten setzen sich aus den Annuitäten für die Investition in die Betriebsmittel und den Betriebskosten zusammen. Für die Berechnung der Annuitäten wird davon ausgegangen, dass die Betriebsmittel über ihre volle Lebensdauer in Betrieb sind, auch wenn der simulierte Zeitraum davon abweicht. Damit fällt während des simulierten Zeitraums nur ein entsprechender Teil der Investitionskosten an. Die Betriebskosten des Systems ergeben sich aus nutzungsunabhängigen Instandhaltungskosten, Brennstoffkosten und Strafzahlungen für ungedeckte Last. Um die letzten beiden Kostenanteile korrekt berechnen zu können, muss der Betrieb des Systems simuliert werden. Dies geschieht in Genesys bisher mit einer festen Einsatzplanungshierarchie, die in Abbildung 2.1 dargestellt ist. Dabei werden stündlich Energiebilanzen für jede Region aufgestellt und jeweils die Einsatzreihenfolge abgearbeitet bis die Last gedeckt ist. Das Genesys Projekt ist in vier wesentliche Programmteile unterteilt: ESYS: Beinhaltet eine Klassenstruktur mit dem Energiesystem und die Methoden zur Berechnung der Einsatzplanungshierarchie GEN: Beinhaltet die Implementierung des Genetischen Algorithmus Interface: Beinhaltet alle Methoden zur Ein- und Ausgabe. Dabei werden hier sowohl die Konfigurationen des Genetischen Algorithmus und des Energiesystems eingelesen und die Ausgabe der Ergebnisse gehandhabt. Dies ist sowohl in Form von CSV-Dateien als auch über eine MySQL-Datenbank möglich. Genesys: Beinhaltet das Hauptprogramm aus dem die anderen Teile aufgerufen werden.

9 2 Grundlagen 5 Last PV + - WEA + Netz (alle Regionen gleichzeitig) Speicher +/- Speicher via Netz (alle Regionen gelichzeitig) Abregelung von Überschüssen - Ausgeglichen oder Defizit Abbildung 2.1: Ablaufdiagramm der Einsatzplanungshierarchie in Genesys nach [5]. 2.2 Optimierungsverfahren Optimierungsverfahren dienen dazu, einen Zielfunktionswert zu minimieren (oder maximieren), indem die Parameter der Funktion unter Einhaltung bestimmter Nebenbedingungen variiert werden. Das Optimierungsproblem besteht dabei aus der Zielfunktion und den Nebenbedingungen. Je nach Art und Eigenschaften des Optimierungsproblems existieren verschiedene Lösungsverfahren, die sich durch unterschiedliche Eigenschaften bezüglich Konvergenz und Optimalitätsgarantie auszeichnen. Man unterschiedet zwischen analytischen, numerischen und heuristischen Lösungsverfahren. Analytische Verfahren eignen sich nur für einfache Probleme, bei denen eine geschlossene Lösung möglich ist. Numerisch iterative Verfahren zeichnen sich dadurch aus, dass sie unter bestimmten Voraussetzungen an die Zielfunktion, bestimmte Konvergenz- und Optimalitätseigenschaften aufweisen. Hier exis-

10 2 Grundlagen 6 tieren verschiedene Klassen von Problemen. Im Folgenden spielen vor allem die Linearen Programme eine wichtige Rolle. Heuristische Verfahren verwenden dagegen Erfahrungswissen um den Suchprozess gezielt zu steuern. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie nicht den gesamten Lösungsraum betrachten und das globale Optimum möglicherweise nicht gefunden wird. Hierunter fallen die Evolutionären Algorithmen, auf die später näher eingegangen wird. [6] Lineare Programmierung Das Problem der Linearen Programmierung besteht aus einer linearen Zielfunktion, deren Funktionsbereich durch lineare Gleichheits- oder Ungleichheitsnebenbedingungen beschränkt wird. Das Ziel der Linearen Programmierung ist es, den Wert der linearen Zielfunktion unter Einhaltung der Nebenbedingungen zu optimieren (zu maximieren oder zu minimieren). Da sich ein Maximierungsproblem durch Vorzeichenumkehr der Zielfunktion in ein Minimierungsproblem umwandeln lässt und sich Gleichheits- und Ungleichheitsbedingungen ebenso durch Einführung sogenannter Schlupfvariablen bzw. durch Aufteilen der Bereiche ineinander überführen lassen, reicht es jeweils eine der Varianten zu betrachten. Mathematisch lässt sich ein solches Lineares Programm (LP) mit Minimierung der Zielfunktion und Ungleichheitsnebenbedingungen folgendermaßen beschreiben: min x c T x (2.1) mit Ax b, L bi x i U bi Dabei stellt c T x die zu minimierende Zielfunktion dar, in der zweiten Zeile sind die von mehreren Variablen abhängigen Nebenbedingungen formuliert und in der letzten Zeile die Grenzen der einzelnen Lösungsvariablen. Um Lösungsverfahren anschaulich zu erklären wird der Bereich der Variablen als R + gewählt, so dass L b = 0 und U b = gilt. In den meisten Implementierungen lassen sich die Bereiche jedoch frei wählen. Die linearen Nebenbedingungen beschränken den Lösungsraum auf einen konvexen Polyeder. Konvex bedeutet bildlich gesprochen, dass der Lösungsraum keine Nischen besitzt und mathematisch, dass jede Strecke zwischen zwei Punkten, die innerhalb des Lösungsraums liegen, ebenfalls vollständig innerhalb des Lösungsraumes liegt. Da die Nebenbedingungen linear sind, schränken sie den Lösungsraum durch Hyperebenen (Ebenen im mehrdimensionalen Raum) ein. Jede Strecke deren beiden Endpunkte auf einer Seite einer Hyperebene liegen, schneidet diese nicht und befindet sich vollständig auf dieser Seite. Alle Punkte innerhalb des Polyeders liegen auf jeweils der selben Seite der begrenzenden Hyperebenen, so dass auch die sie verbindenden Strecken innerhalb des Polyeders liegen. Da auch die Zielfunktion linear ist, verbessern sich die Lösungen immer in einer konstanten Richtung im R N. Sofern das Problem beschränkt ist, liegt das gesuchte Optimum auf dem Rand des durch die Nebenbedingungen definierten Polyeders. Liegt das Optimum auf einer Ecke des Polyeders, so lässt sich das Optimierungsproblem eindeutig lösen. Bilden eine oder mehrere Kanten des Polyeders das Optimum, so spricht man von einem degenerierten

11 2 Grundlagen 7 Problem. Die Lösung ist dann nicht eindeutig bestimmt. [6] x 2 C x 1 + 3x 2 13 D 4x 1 + x 2 0 2x 1 x 2 5 A x 1 3x 2 0 B x 1 Abbildung 2.2: Lineares Programm mit der Zielfunktion 2x 1 + x 2 und vier Nebenbedingungen In Abbildung 2.2 ist zur Veranschaulichung ein einfaches lineares Optimierungsproblem dargestellt. Die mathematische Formulierung des Problems lautet: ( ) min 2 1 x mit ( ) x1 x 2 ( ) x1 x 2 ( ) x1 x <. (2.2) Der durch die Nebenbedingungen eingeschränkte Bereich ist blau hervorgehoben, die gestrichelten Linien deuten Bereiche mit konstantem Zielfunktionswert an. Der Zielfunktionswert nimmt in der Richtung ( 2 1 ) zu, somit liegt das gesuchte Optimum in der Ecke D bei x = ( 4 3 ) T.

12 2 Grundlagen Simplex Verfahren Ein Verfahren zum Auffinden des Optimums von Linearen Programmen ist das Simplex- Verfahren. Es basiert auf der Idee, die Ecken des einschränkenden Polyeders nach dem Optimum abzusuchen. Dazu werden die Ecken des Polyeders so durchlaufen, dass jeweils zu einer Nachbarecke mit besserem Zielfunktionswert gewechselt wird. Ist keine Nachbarecke mit einem besseren Zielfunktionswert vorhanden, so ist das Optimum erreicht. Durch die Konvexität des Polyeders ist diese Ecke das globale Optimum, da keine Nische im Polyeder vorhanden ist. Mathematisch wird dazu das System der Ungleichheitsnebenbedingungen durch das Einführen von Schlupfvariablen in ein System von Gleichheitsnebenbedingungen überführt. Dazu wird zu jeder Ungleichung eine Schlupfvariable addiert und die Ungleichheit durch eine Gleichheit ersetzt. Da auch die Schlupfvariablen wie im vorherigen Abschnitt der Anschaulichkeit halber gefordert positive Werte annehmen müssen, wird das Gleichungssystem nicht verändert. Das resultierende Gleichungssystem mit den Schlupfvariablen λ hat die Form min c T x (2.3) x mit ( A I ) ( ) x = b. λ Dieses Gleichungssystem hat mehr Variablen als Gleichungen und lässt sich daher nicht eindeutig lösen. Damit das System lösbar wird, werden entsprechend viele Lösungs- oder Schlupfvariablen zu Null gewählt. Löst man das so gewonnene Gleichungssystem, erhält man die Lösung des Systems in einer Ecke des begrenzenden Polyeders. Eine solche Lösung heißt Basislösung, die dazu gelösten Variablen, die nicht zu Null gewählt wurden, Basisvariablen. Die zu Null gewählten Variablen heißen Nicht-Basisvariablen. Eine solche Lösung wird nun sukzessiv verbessert, indem eine Nicht-Basisvariable zur Basisvariable wird und gleichzeitig eine Basisvariable die Basis verlässt, wobei nur getauscht wird, wenn sich dadurch der Wert der Zielfunktion verbessert. Das entspricht dem Schritt zu einer Nachbarecke des Polyeders mit besserem Zielfunktionswert. Für die Auswahl der zu tauschenden Variablen existieren verschiedene Pivotisierungsregeln, die einen entscheidenden Einfluss auf die Laufzeit des Simplex-Algorithmus haben. Dieser Tausch wird solange wiederholt, bis das Optimum erreicht ist. Die Zahl der Schritte, die notwendig sind um das Optimum zu erreichen, hängt theoretisch exponentiell von der Anzahl der Variablen ab. In der Praxis wird die Lösung allerdings meist schneller erreicht. Insbesondere wenn ähnliche Systeme gelöst werden sollen, eignet sich das Simplex-Verfahren, da die optimale Basislösung eines Systems oft eine gute Startlösung für ähnliche Systeme liefert. Damit kann das Optimum oft in wenigen Schritten gefunden werden. Zu jedem Minimierungs-Problem (primales Problem) existiert ein duales Maximierungs- Problem, das durch das oben beschriebene primale Simplexverfahren ebenfalls gelöst wird. Man kann das Simplexverfahren auch auf dem dualen Problem ausführen und so die Lösung des primalen Problems mit erhalten. Dieses Verfahren heißt duales Simplexverfahren. In manchen Fällen liefert dieses Verfahren schneller eine Lösung als das primale Simplexverfahren. [7]

13 2 Grundlagen 9 In Abbildung 2.3 ist das Simplexverfahren für das Beispielproblem 2.3 dargestellt. Ausgehend von Punkt A, an dem alle Lösungsvariablen Nicht-Basisvariablen sind, wird das System verbessert, indem in die Ecke B oder C gewechselt wird. Beide Varianten sind möglich, hier wurde gemäß der Pivotisierungsregel den Zielfunktionswert maximal zu verbessern die Ecke B gewählt. Von der Ecke B lässt sich das System nur durch den Wechsel in die Ecke D verbessern, in der das Optimum erreicht ist. x 2 C D B A x 1 Abbildung 2.3: Lösungsvorgang des LPs aus Abbildung 2.2 mit Simplex-Verfahren Innere-Punkte-Verfahren Ein anderes Verfahren zum Lösen der Linearen Programmierung ist das Innere-Punkte- Verfahren. Unter diesen Begriff fallen eine Vielzahl von Varianten, die sich jedoch durch ähnliche Eigenschaften auszeichnen. Als Beispiel soll hier ein Barrieren-Verfahren vorgestellt werden. Hier wird zu der zu minimierenden Funktion ein Barrieren-Term addiert, der auf dem Rand des zulässigen Gebietes gegen Unendlich wächst und dessen Einfluss innerhalb des zulässigen Lösungsbereiches möglichst gering ist. Diese Funktion wird nun ausgehend von einer Startlösung innerhalb des zulässigen Bereiches iterativ z. B. mit dem Newton-Verfahren minimiert. Dabei sorgt der Barrieren-Term dafür, dass die Lösung innerhalb des gültigen Bereiches verbleibt. Während des Minimierens wird der Einfluss des Barrieren-Terms nach und nach verringert, damit das Minimum beliebig nah an den Rand des Lösungsbereiches rückt und das Optimum so im Grenzfall dem Optimum des ursprünglichen Problems entspricht. Bis zu diesem Grenzfall befindet sich die Lösung innerhalb des Lösungsbereiches, daher der Name Innere-Punkte-Verfahren. Wird das Lineare Programm wie beim Simplex-Verfahren mit Hilfe von Schlupfvariablen mit Gleichheitsnebenbedingung formuliert, wird am Rand des zulässigen Bereiches eine Variable zu Null. Somit lässt sich der negative Logarithmus als Barrieren-Term einsetzen. Es entsteht das folgende Minimierungsproblem:

14 2 Grundlagen 10 ( min x c T x µ i ln x i + i mit ( A I ) ln λ i ) (2.4) ( ) x = b. (2.5) λ Der Parameter µ beschreibt dabei den Einfluss des Barrieren-Terms. Während der Suche des Minimums wird µ 0 sichergestellt. [8] Das Innere-Punkte-Verfahren wird bei einer vorher festgelegten Nähe zum Optimum abgebrochen. Die gefundene Lösung liegt nicht zwangsweise in der Nähe einer Ecke des begrenzenden Polyeders, sondern insbesondere bei degenerierten Problemen eher in der Mitte der optimalen Kante, während das Simplex-Verfahren eine der Ecken als Optimum liefern würde. (Beispiel: zwei Kraftwerke können zu exakt gleichen Kosten Strom produzieren. Zur Minimierung der Kosten spielt es keine Rolle welches der Kraftwerke eingesetzt wird. Das Simplex-Verfahren würde entweder das eine oder das andere Kraftwerk einsetzten, während beim Innere-Punkte-Verfahren tendenziell eher beide mit etwa gleichen Anteilen zum Einsatz kämen). Da Basislösungen des Simplex-Verfahrens immer in einer Ecke des Polyeders liegen, liefert das Innere-Punkte-Verfahren keine Basislösung, die für die Lösung ähnlicher Systeme mit dem Simplex-Verfahren verwendet werden kann. Daher wird häufig nach dem Innere- Punkte-Verfahren in einer Crossover -Phase die Lösung des Innere-Punkte-Verfahrens in eine optimale Basislösung also eine Ecke des Polyeders überführt. Ein weiterer Grund für diese Maßnahme sind numerische Probleme bei der Konvergenz des Verfahrens, die zu einem vorzeitigen Abbruch der Suche führen. Ausgehend vom Zwischenergebnis bei Abbruch wird die Lösung dann in der Crossover -Phase zum Optimum verbessert. [9] In Abbildung 2.4 ist wiederum das Beispiel-Problem dargestellt, das mit einem Innere- Punkte-Verfahren gelöst wird. Ausgehend von einem Punkt im gültigen Bereich nähert sich das Verfahren schrittweise dem Punkt D. x 2 C D B A x 1 Abbildung 2.4: Lösungsvorgang des LPs aus Abbildung 2.2 mit Innere-Punkte-Verfahren Innere-Punkte-Verfahren zeichnen sich durch eine bessere theoretische Maximallaufzeit aus,

15 2 Grundlagen 11 für kleine Probleme findet das Simplex-Verfahren jedoch meist schneller eine optimale Lösung. Innere-Punkte-Verfahren eignen sich dagegen besonders für Probleme mit vielen Variablen und einfachen Nebenbedingungen. [9] Netzwerk Simplex Mit dem Netzwerk-Simplex-Verfahren lassen sich eine spezielle Klasse von Linearen Programmen, die Transportprobleme, effizient lösen. Das Transportproblem ist ein Sonderfall der Linearen Programme, bei dem die Graphen-Struktur des Problems dazu ausgenutzt werden kann das Simplex-Verfahren zu beschleunigen. In einem Transportproblem gibt es Angebotsund Nachfrageknoten, die mit Transportwegen verbunden sind und alle die gleiche Ware liefern bzw. nachfragen. Jeder Transportweg hat eine minimale und eine maximale Kapazitätsbeschränkung und kann zu bestimmten Kosten transportieren. Das Transportnetzwerk kann als Graph aufgefasst werden. Die Lösung des Transportproblems besteht darin, die Nachfrage mit Hilfe der Angebotsknoten zu möglichst geringen Transportkosten zu decken. Ein verlustfreies Leitungsnetz kann als ein solches Transportproblem aufgefasst werden. Um einen möglichst verlustarmen Lastfluss zu erhalten, können die Transportkosten proportional zu den Leitungsverlusten gewählt werden CPLEX CPLEX ist ein kommerzielles Programmpaket zum Lösen von Optimierungsproblemen. Der Name leitet sich von der ursprünglichen C-Implementierung eines Simplex-Verfahrens ab, mittlerweile können jedoch unter anderem auch Quadratische Probleme und gemischt Ganzzahlige Lineare Programme gelöst werden. CPLEX wird von IBM entwickelt und vertrieben und steht akademischen Einrichtungen im Rahmen der Academic Initiative [10] kostenfrei zur Verfügung. CPLEX kann Lineare Programme sowohl mit den Simplex-Verfahren (dual und primal) als auch mit einem Innere-Punkte-Verfahren (Barrier-Solver) lösen und eignet sich insbesondere um große Lineare Programme effizient zu lösen. Die Simplex-Verfahren lassen sich dabei nicht parallelisieren und laufen jeweils auf einem Prozessor ab, während das Innere-Punkte- Verfahren auch mehrere Prozessor-Kerne zur Berechnung der Iterations-Schritte nutzen kann. Mit dem Concurrent Solver lassen sich auch alle drei Verfahren parallel ausführen, dabei wird je ein Prozessor für die Simplex-Verfahren eingesetzt und die verbleibenden Prozessoren für das Innere-Punkte-Verfahren verwendet. Sobald eines der Verfahren die optimale Lösung findet, werden die Anderen abgebrochen. Der CPLEX-Solver kann über die Kommandozeile bedient werden, es existiert mit der concert-bibliothek aber auch eine Anbindung an viele gängige Programmiersprachen, darunter auch C++. Damit kann die Problemformulierung und das Lösen aus C++ heraus gesteuert werden. [9] Evolutionäre Algorithmen Evolutionäre Algorithmen (EA) sind Optimierungsverfahren, die sich an Prinzipien der biologischen Evolution orientieren. Entsprechend werden in dem Bereich Begriffe aus der Biologie

16 2 Grundlagen 12 verwendet. Ein Individuum bezeichnet dabei eine mögliche Systemauslegung, die Optimierungsvariablen werden Gene genannt. Die Gesamtheit der in der Auslegung berücksichtigten Gene heißt Genom. Mehrere Individuen bilden eine Population. Eine Iteration des Verfahrens heißt Generation. Dabei wird die Population zufällig geändert (Mutation) und die Resultate anhand einer Fitnessfunktion (Zielfunktion der Optimierung) bewertet. Anschließend erfolgt mit Hilfe der Fitnessfunktionswerte eine Selektion der besseren Individuen, so dass sich die Fitness der Population kontinuierlich verbessert. Evolutionäre Algorithmen erfordern kaum Wissen über das zu optimierende Problem und stellen geringe Anforderungen in Form von mathematischen Eigenschaften an die Fitnessfunktion. Dadurch lassen sie sich in vielen Bereichen einsetzen. Jedoch benötigen sie dafür häufig mehr Rechenzeit als spezialisierte Optimierungsverfahren und bieten keine Garantie, optimale Lösungen in endlicher Zeit zu finden. Für gute Ergebnisse müssen in der Regel außerdem die Parameter des Evolutionären Algorithmus gut gewählt werden. Zu den Evolutionären Algorithmen zählen unterschiedliche Verfahren, die sich historisch getrennt entwickelt haben, insbesondere die Genetischen Algorithmen und die Evolutionsstrategien Genetische Algorithmen Die Genetische Algorithmen (GA) wurden ursprünglich von John H. Holland in den USA entwickelt. Hier wird das Genom, das meist aus binären oder diskreten Zahlen besteht, pro Generation nur an einzelnen Stellen geändert (Mutation) und es werden die Gene verschiedener Individuen miteinander kombiniert (Rekombination). Damit sind Genetische Algorithmen sehr nah an der biologischen Evolution. Stellschrauben sind die Populationsgröße, also die Zahl der Individuen, die jeweils ausgewertet werden, bevor die genetischen Operatoren Selektion, Rekombination und Mutation angewendet werden, die Anzahl der selektierten Individuen (Elitism Rate) und die Anzahl der mutierten Gene (Mutationsrate). Genetische Algorithmen eignen sich besonders für binäre oder ganzzahlige Probleme. [11] Evolutionsstrategien Lange Zeit getrennt davon haben sich die Evolutionsstrategien (ES) entwickelt. Bei ihnen besteht das Genom aus reellen Zahlen, die mit statistischen Methoden variiert werden. Dabei wird in jeder Generation jedes Gen mutiert, auf Rekombination wird teilweise verzichtet. Die neuen Gen-Werte ergeben sich standardmäßig aus einem normalverteilten Zufallsvektor mit dem Erwartungswert Null und einer Varianz, die bei jedem Gen unterschiedlich gesetzt sein kann, der auf die alten Genwerte addiert wird. Die Evolutionsstrategien entstanden in den 1960er Jahren, als Studenten an der TU Berlin bei der Optimierung von Formen in Strömungsexperimenten herausfanden, dass zufällige Verfahren bessere Ergebnisse lieferten als Verfahren, die mit Gradienten arbeiteten. Die Regeln zu ihrer einfachen ersten Evolutionsstrategie lauteten: a) ändere alle Variablen gleichzeitig und zufällig ein Stück von ihrem letzten Wert und b) wenn das Ergebnis sich dadurch verschlechtert, kehre zu den letzten Variablen zurück verfasste Schwefel eine Diplomarbeit zu dem Thema [12], mit der die Idee einer Normalverteilung für die zufällige Änderung aufkam Verfasste Rechenberg eine Dissertation über ES [13], in der er ableitete, dass die Varianzen während des Evolutionsprozesses angepasst werden müssen

17 2 Grundlagen 13 und die 1/5 Regel entwickelte, die besagt, dass für optimale Konvergenz die Varianzen so angepasst werden sollten, dass 1/5 der Nachkommen eine bessere Fitness als ihre Eltern aufweisen. Die Varianzen wurden hier ebenfalls durch Mutation angepasst.[14] Kovarianzmatrix-Adaption Evolutionsstrategie Die Kovarianzmatrix-Adaption Evolutionsstrategie (Covariance matrix adaptation evolution strategy) (CMA-ES) geht auf Arbeiten von Nikolaus Hansen und Andreas Ostermeier ebenfalls an der TU Berlin zurück ([15]). Der wesentliche Schritt ist, dass die Varianzen der Parameter nicht mehr durch Mutation optimiert werden, sondern mit Hilfe statistischer Verfahren angepasst werden. Dazu werden bei der CMA-ES zwei Verfahren angewendet. Einerseits wird die Kovarianzmatrix der Normalverteilung während der Evolution so angepasst, dass in der Vergangenheit erfolgreiche Evolutionsschritte mit einer größeren Wahrscheinlichkeit wieder auftauchen als andere Evolutionsschritte. Außerdem wird die Schrittweite stets so angepasst, dass mehrere Schritte in dieselbe Richtung zu einem großen Schritt zusammengefasst werden, um die Zahl der Iterationen zu verkürzen. Die Rekombination erfolgt bei dieser Evolutionsstrategie durch (gewichtete) Mittelwertbildung der in der Selektion ausgewählten Individuen. In diese Gewichtung geht nur die Rangfolge der Fitnesswerte ein, nicht jedoch der absolute Fitnesswert. Dadurch ist das Verfahren stabil gegenüber Unstetigkeiten der Fitnessfunktion. [16] [17] Als wesentlicher Stellparameter bleibt bei der CMA-ES nur die Populationsgröße erhalten, da die Schrittweiten der einzelnen Optimierungsvariablen vom Algorithmus selber angepasst werden. Für große Probleme eignet sich die sep-cma-es [18] häufig besser. Dort werden nur die Diagonaleinträge der Kovarianzmatrix betrachtet. Dadurch verringert sich die Anzahl der Variablen, die während des Suchprozesses adaptiert werden müssen erheblich, jedoch können die Schritte dadurch nicht mehr in andere Richtungen als die Achsen der Variablen angepasst werden. 2.3 Kraftwerkseinsatzplanung mit CPLEX Am IAEW wurde basierend auf dem dort entwickelten Marktsimulationsprogramm ein Programm entwickelt, das ein Energiesystem aus Konfigurationsdateien einliest und zur Berechnung eines optimalen Kraftwerkseinsatzplans ein Lineares Optimierungsproblem für CPLEX formuliert. Das Energiesystem wird dabei wie bei Genesys in Regionen aufgeteilt (siehe Abschnitt 2.1), die Erzeugungstechnologien können aber frei definiert werden. Auch ein verlustfreies Übertragungsnetz wird dabei in der Betriebsoptimierung berücksichtigt. Das Programm kommuniziert mit CPLEX über das Concert-C++-Interface und ordnet die Optimierungsergebnisse so nach der Optimierung wieder den eingelesenen Systemkomponenten zu. Damit die Kraftwerkseinsatzplanung ein lineares Optimierungsproblem darstellt, wird jedem Betriebsmittel zu jedem Zeitschritt eine Lösungsvariable zugeordnet. Unter der vereinfachenden Annahme, dass die betriebsabhängigen Kosten linear mit der Ausnutzung der Kapazitäten ansteigen, ergibt sich so eine lineare Kostenfunktion, die einen Term für jeden Zeitschritt und jedes Betriebsmittel mit betriebsabhängigen Kosten enthält. Durch geeignete

18 2 Grundlagen 14 Nebenbedingungen wird sichergestellt, dass die Last in jedem Zeitschritt gedeckt wird und die Betriebsgrenzen eingehalten werden. Die verschiedenen Betriebsmittel erfordern dazu unterschiedliche Nebenbedingungen. Zum einen müssen die Lösungsvariablen zu jedem Zeitschritt die Betriebsgrenzen des jeweiligen Betriebsmittels einhalten. Dies geschieht durch entsprechendes Setzen der Variablen L b und U b aus Gleichung 2.2. Die Kraftwerksvariablen müssen dazu zwischen Null und ihrer installierten Kapazität eingeschränkt werden. Leitungen können Leistung in beide Richtungen übertragen, deshalb müssen ihre Lösungsvariablen zwischen negativer und positiver installierter Kapazität eingeschränkt werden. Speicher müssen zwischen ihrem minimalen und maximalen Ladezustand eingeschränkt werden. Zu den Grenzen der einzelnen Variablen müssen weitere Betriebsgrenzen eingehalten werden. Dies sind die Lastdeckung und die Bilanzgleichung der Speicher Lastdeckung Eine Nebenbedingung für den Betrieb des Kraftwerksparks ist, dass in jeder Region die Last zu jeder Stunde gedeckt ist. Die Bedingung lautet, dass die Leistung, die in der Region eingespeist wird, der Last entspricht. Zur Last zählen neben den Verbrauchern auch Leitungen, die Leistung abtransportieren und Speicher, die Leistung einspeichern. Die entsprechende Gegenrichtung zählt zur Einspeisung. Erneuerbare Energien mit Einspeisevorrang können in den Gleichungen direkt von der Last abgezogen werden, da sie vereinfachend zu variablen Kosten von Null erzeugen und so keine zusätzlichen Kosten durch das Einspeisen entstehen. Damit ein Betrieb auch möglich ist, wenn das Angebot der Erneuerbaren die Last übersteigt, wird zusätzlich eine virtuelle Last eingefügt, die eingesetzt wird, wenn das Angebot aus Erneuerbaren die tatsächliche Last übersteigt. Kommt die virtuelle Last zum Einsatz, so bedeutet das eine Abregelung der Erzeugung aus Erneuerbaren Energien. Um auch eine gültige Lösung zu erhalten, wenn die Last nicht durch den Kraftwerkspark gedeckt werden kann, wird zusätzlich ein virtuelles Kraftwerk ohne Kapazitätsbeschränkung eingefügt. Dieses repräsentiert die volkswirtschaftlichen Kosten eines Stromausfalls. Damit lautet die Bedingung für die Lastdeckung einer Region: Pregelbare Kraftwerke + P virtuelles Kraftwerk + P Leitungszufluss P Leitungsabfluss + PSpeicherentladung P Speicherladung P virtuelle Last = P Last P dargebotsabhängige Kraftwerke = P Residuallast (2.6) Die Lastdeckungsbedingung wird für jeden Zeitschritt und jede Region des Systems formuliert Bilanzgleichung der Speicher Lade- und Entladeeinheit der Speicher können nicht beliebig betrieben werden, sie müssen mit dem Ladezustand der Speicher gekoppelt werden. Die Ladezustands-Änderung ergibt sich aus der Differenz von eingespeicherter und ausgespeicherter Energie. Die eingespeicherte Energie ist dabei die Einspeicherleistung (P Laden ) Ladewirkungsgrad (η L ) Zeitschrittweite (T ), die entladene Energie die Entladeleistung (P Entladen ) Entladewirkungsgrad (η E ) Zeitschrittweite.

19 2 Grundlagen 15 Damit lautet die Bilanzgleichung für Speicher: E Speicher (t n ) E Speicher (t n 1 ) T η L P Laden + T η E P Entladen = 0. (2.7) Die Bilanzgleichung wird für jeden Speicher in jeder Region und zwischen allen Zeitschritten formuliert. Für die Ladezustände im ersten bzw. letzten Zeitschritt werden entsprechend gesonderte Bedingungen mit Anfangs- und Endzustand definiert. Über die Speicher entsteht die Verbindung im Gleichungssystem zwischen den Zeitschritten, was dazu führt, dass die Zeitschritte nicht getrennt voneinander gelöst werden können. Die Lösung der optimalen Kraftwerkseinsatzplanung mit CPLEX nimmt bereits bei relativ einfachen Systemen viel Rechenleistung in Anspruch, da sich durch viele Zeitschritte ein entsprechend großes Gleichungssystem ergibt. Für die Berechnung eines Systems mit 20 Regionen, mit jeweils 2 Erzeugungstechnologien, 2 Speichern mit Lade- und Entladeeinheiten und 40 Leitungen das über ein Jahr in Zeitschritten von einer Stunde simuliert wird, ergibt sich bereits ein Lineares Programm mit (20 ( ) + 40) 8760 = Variablen. LPs dieser Größe können mit den in CPLEX implementierten Methoden in einigen Minuten gelöst werden. 2.4 GUI-Programmierung in C++ In den folgenden Abschnitten sollen einige Bibliotheken vorgestellt werden, von denen bei der Programmierung der Visualisierung in C++ Gebrauch gemacht wird Qt Bei Qt handelt es sich um eine C++-Klassenbibliothek mit der plattformübergreifend graphische Benutzeroberflächen programmiert werden können. Qt wurde ursprünglich von dem norwegischen Unternehmen Trolltech entwickelt, das 2008 von Nokia aufgekauft wurde. Mittlerweile hat Nokia das Geschäft an Digia abgegeben. Bekannt wurde Qt durch den Einsatz in der KDE-Desktopumgebung unter Linux, die auf Qt aufbaut. Das führte auch dazu, dass Qt im Laufe seiner Entwicklung zu einer Open-Source Bibliothek wurde. Mittlerweile (seit Version 4.5) steht Qt unter der LGPL-Lizenz und kann damit auch in kommerziellen Projekten ohne Veröffentlichung des Quelltextes verwendet werden. Lediglich Modifikationen an Qt selber müssen veröffentlicht werden. [19] Neben dem Bereich der Benutzeroberflächen deckt die Qt Bibliothek auch Felder ab, die nur entfernt damit in Verbindung stehen, so z. B. Funktionen zum Ausführen von Javascript oder Erstellen von Scaleable Vector Graphics (SVGs). Dadurch wird dem Programmierer in vielen Bereichen die Arbeit erleichtert. [20] Model-View Konzept Qt setzt intern auf das Model-View Konzept, um Daten von ihrer Darstellung zu trennen. Dabei werden die Daten von einer Model-Klasse verwaltet, die sich von der abstrakten

20 2 Grundlagen 16 Basisklasse QAbstractItemModel ableitet. Die Daten können intern ein beliebiges Format aufweisen, müssen aber über das von QAbstractItemModel bereitgestellte Interface abfragbar sein. Dann lassen sich die von einer Model-Klasse bereitgestellten Daten in einer View- Klasse darstellen. Die Model-Klasse definiert dabei Aussehen und Inhalt. Qt stellt einige Standardmodelle bereit, z. B. zum Darstellen von Listen oder des Dateisystems. Modelle können z. B. in Listen mit QListView, in Tabellen mit QTableView oder in Bäumen mit QTreeView dargestellt werden. [20] FFMPEG FFMPEG ist eine Bibliothek zum Codieren von Videostreams. Neben MPEG werden diverse Codecs und Containerformate wie AVI, WMV, Quicktime oder FLV unterstützt. Außerdem ist die Ausgabe von GIF-Animationen möglich. Die Codecs sind dabei unter verschiedenen Lizenzen verfügbar, so dass je nach gewünschter Lizenz unterschiedliche Ausgabeformate unterstützt werden. Die GPL-Version der Bibliothek unterstützt dabei alle Ausgabeformate, die Bibliothek kann jedoch auch unter der LGPL verwendet werden, stellt dann jedoch nicht alle Funktionen zur Verfügung. [21] 2.5 Kartografie Um großflächige Energiesysteme abzubilden, ist es hilfreich, diese kartografisch darzustellen. Daher soll hier einerseits kurz auf Kartenprojektionen eingegangen werden und andererseits auf das Shapefileformat, dass im Bereich digitaler geografischer Informationen weit verbreitet ist Kartenprojektionen Da die Erde eine Kugel ist, Karten jedoch meist auf ebenen Flächen dargestellt werden, müssen die Koordinaten in eine Form umgewandelt werden, die sich auf ebenen Flächen darstellen lässt. Diese Umwandlung bezeichnet man als Projektion. Eine sehr einfache Projektion erhält man, wenn man Längen- und Breitengrad einfach als kartesische Koordinaten aufträgt. In dieser sogenannten Plattkarte bleiben jedoch weder die physikalisch vorhandenen Winkel erhalten (nicht winkeltreu), noch werden Längen und Flächen überall auf der Welt gleich abgebildet (nicht längen- und flächentreu). Die Kreise konstanten Breitengrades werden immer mit der gleichen Länge dargestellt, obwohl sie zu den Polen hin beliebig klein werden. Dadurch erscheinen Karten bereits in europäischen Breitengraden stark verzerrt. Die Mercator-Projektion stellt die Winkeltreue wieder her, indem der Abstand der Breitenkreise in gleichem Maße wie die Umfangsänderung der Breitenkreise zu den Polen hin gestreckt wird. Dadurch lassen sich die Polregionen hier nicht darstellen, sie würden ins Unendliche gestreckt. Die Mercator-Projektion findet vor allem bei globalen Internetkarten Verwendung, wie beispielsweise bei Google Maps oder Bing Maps. Hier werden Regionen, die über etwa 85 N/S hinausgehen abgeschnitten, um eine handhabbare Kartengröße zu erhalten. In Abbildung 2.5 sind die Plattkarte und diese sogenannte Web-Mercator-Projektion für eine

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