Trigonometrie und Planimetrie

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1 Trigonometrie und Planimetrie Hinweis: Die Aufgaben sind in 3 Gruppen gegliedert (G): Grundlagen, Basiswissen einfache Aufgaben (F): Fortgeschritten mittelschwere Aufgaben (E): Experten schwere Aufgaben Vorzeigeaufgaben: Block Stunde Aufgabe 1 1 (G) Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2011, siehe Seite 3 (G) Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2009, siehe Seite 4 2 (F) Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2009, siehe Seite 5 3 (F) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2010, siehe Seite 6 4 (F) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2010, siehe Seite 7 Empfohlene Bearbeitungsreihenfolge für eigenständiges Lösen: Block Stunde Aufgabe 1 1 (G/F) Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2008, siehe Seite 8 2 (F) Kanton Obwalden, Maturaprüfung 2013, siehe Seite 9 3 (F) Kanton Obwalden, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 10 4 (E) Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2011, siehe Seite 11 Zusatzaufgaben Vektorgeometrie in Ebene: (F) Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 12 (F) Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2009, siehe Seite 13 (F) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 14 (F) Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012, siehe Seite 15 gebrauchte Formeln: 1

2 Sinus / Cosinus / Tangens / Cotangens im rechtwinkligen Dreieck: sin(α) = a c cos(α) = b c tan(α) = b a 2

3 Trigonometrie und Planimetrie Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2011 Trigonometrie [(G)] Gegeben sind 4 Quadrate mit Seitenlänge 1. Berechnen Sie die Winkel α und β. Lösung: α = 18.43, β = 45 3

4 Trigonometrie und Planimetrie Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2009 Trigonometrie [(G)] Berechne die Länge der mit u bezeichneten Viereckseite! Lösung: u

5 Planimetrie / Stereometrie / Analysis Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2009 Planimetrie und Analysis [(F)] Einer Halbkugel mit Radius R wird ein gerader Kreiskegel mit minimalem Volumen umbeschrieben. Bestimme die Höhe x und das Volumen des Kegels. Gibt es einen solchen Kegel mit maximalem Volumen? (Begründung!) Hinweis: Leiten Sie mit Hilfe der Trigonometrie das Volumen her. 5

6 Trigonometrie / Planimetrie Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2010 Trigonometrie und Planimetrie [(G)] Der Kreis mit dem Radius r = 1 berührt die beiden Geraden y = ±2x. a) Berechne den Winkel α. b) Welche y-koordinate hat das Kreiszentrum M? c) Wie gross ist der Flächeninhalt des markierten Gebietes? 6

7 Trigonometrie / Analysis Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2010 Kugel und Kegel [(G)] Einer Kugel mit dem Radius 1 wird ein gerader Kreiskegel einbeschrieben wie in der nebenstehenden Zeichnung. Berechne x, so dass das Kegelvolumen möglichst gross wird. 7

8 Trigonometrie und Planimetrie Gymnasium Bäumlihof, Basel, Maturaprüfung 2008 Trigonometrie [(G / F)] In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basis 7.0 cm und die Schenkel 12.0 cm lang. a) Konstruieren Sie das Dreieck, seinen Inkreis I und seinen Umkreismittelpunkt M. Die Konstruktionslinien müssen ersichtlich sein (Handskizze genügt). b) Überprüfen Sie rechnerisch, ob M auf dem Inkreis liegt oder nicht. Wir ändern die Teilaufgabe b) leicht ab: Bestimmen Sie den Inkreis r i und den Inkreismittelpunkt I. Bestimmen Sie den Umkreis r m und den Umkreismittelpunkt M. Versuchen Sie, alles mittels der Grundline a und c auszudrücken. 8

9 Trigonometrie Kanton Obwalden, Maturaprüfung 2013 Trigonometrie [(F)] Dem Rechteck mit den Seiten 7cm und 5cm sind ein Halb- und ein Viertelkreis einbeschrieben. M 1 und M 2 sind ihre Mittelpunkte, r = 3cm und x sind ihre Radien. a) Berechnen Sie x. b) Berechnen Sie die Winkel des Dreiecks M 1 M 2 P. 9

10 Trigonometrie Kanton Obwalden, Maturaprüfung 2012 Trigonometrie [(F)] Das gleichschenklige Dreieck ABC hat die Basis AB = 24cm. Die gekrümmte Linie CD ist ein Kreisbogen mit Zentrum A, die gekrümmte Linie AF D ist ein Halbkreis mit Zentrum E. Berechne die Längen der Strecken CF und CG. 10

11 Trigonometrie / Stereometrie / Analysis Kantonsschule am Burggraben, St. Gallen, Maturaprüfung 2011 Trigonometrie [(E)] Einem regulären Oktaeder mit Kantenlänge 2 wird ein Würfel einbeschrieben. Welche Seitenlänge hat dieser Würfel? 11

12 Trigonometrie / Vektorgeometrie Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2012 Kreis und Tangente [(F)] Der Kreis k: x 2 +y 2 +6y 16 = 0 schneidet die x-achse im Punkt P (x P > 0/0) und die y-achse im Punkt Q(0/y Q > 0). Die Tangente t an k in P schneidet die y-achse im Punkt T. Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M von k und der Punkte P, Q und T. Machen Sie dann eine saubere Zeichnung der Situation in einem Koordinatensystem. 12

13 Trigonometrie / Vektorgeometrie Kantonschule Reussbühl, Luzern, Maturaprüfung 2009 Kreis und Tangente [(F)] Der Kreis k wird von der Geraden t: y = 2x 19 im Punkt B( 10 y B ) berührt. Sein Mittelpunkt M liegt auf der Geraden g durch die Punkte P (2 4) und Q(6 3). Bestimmen Sie die Koordinatengleichung des Kreises k. 13

14 Trigonometrie / Vektorgeometrie Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012 Kreis und Tangente [(F)] Die beiden Kreise k 1 : x 2 + y 2 8x + 2y 8 = 0 und k 2 haben einen gleichen Radius. Sie berühren sich in einem auf der y-achse liegenden Punkt B (für B ist der Punkt mit der grösseren y-koordinate zu nehmen). Bestimmen Sie eine Gleichung von k 2. 14

15 Trigonometrie / Vektorgeometrie Kantonsschule Heerbrugg, St. Gallen, Maturaprüfung 2012 Kreis und Segment [(F)] Die Gerade g: r = 2 + t 2 schneidet vom Kreis k: (x + 4) 2 + (y 1) 2 = 100 ein kleines Segment ab Berechne die Segmentfläche. 15