Zentrifugalkraft beim Karussell

Transkript

1 Seil, Länge L m Also: Zentrifugalkraft beim Karussell tan( α) y = α r F Z r G ω r = x r r ' KS : mitrotierendes Koordinatensystem m G r α 2 m ω g r ' F r Z F r gesamt 2 ω sin( α) L = g Fragestellung: Um welchen Winkel α wird das Halteseil bei gegebener Winkelgeschwindigkeit ausgelenkt? Hängt α von der Seillänge L und der Masse m der Körper ab? Bestimmung des Winkels: tan(α) = F Zr r G Zentrifugalkraft F Z im mitrotierenden Koordinatensystem KS : r v v r F Z = m ω ( ω r' ) r r r 2 r ω ' F = m ω ' Z cos( α) g ω = 2 L

2 Corioliskraft beim Karussell ω r Corioliskraft in KS : r F C v r = 2m ( ω v' ) y α r r ' Im stationären Fall bewegt sich der betrachtete Körper in KS nicht: v =0 keine Corioliskraft. x Anders in der Anfangsphase, wenn sich der Körper wegen der Zentrifugalkraft nach außen bewegt. Dann liegt eine entgegen der Drehrichtung wirkende Corioliskraft vor. ω r v r ' F r C

3 Corioliskraft beim Karussell Annahme, man würde das Halteseil kurz nach dem Anfahren durchtrennen: Ein Beobachter im Inertialsystem (nichtbeschleunigten Laborsystem) sieht den Körper ohne das haltende Seil geradlinig wegfliegen, das Karussell (und mit ihm KS ) dreht sich unter dem Körper weg: Inertialsystem Ein Beobachter im rotierenden System KS sieht den Körper ohne das haltende Seil auf Grund der Corioliskraft auf einer gekrümmten Bahn wegfliegen: Rotierendes System KS v r v r ' Seil abschneiden: Körper fliegt geradlinig, Karussell dreht sich weg Seil abschneiden: Körper fliegt auf gekrümmter Bahn (Corioliskraft)

4 Corioliskraft beim Drehschemel-Experiment ω r Beobachtung: Zunahme der Winkelgeschwindigkeit bei Heranziehen der Hantel. r Erklärt über Drehimpulserhaltung (Drehimpuls L = J r ω ist erhalten, da nur innere Kräfte wirken). Winkelbeschleunigung: Über Corioliskraft r F C v r = 2m ( ω v' ) y F r C Wir betrachten die Bewegung im mitrotierenden KS : Hantel ω r x v r ' Heranziehen der Hanteln bewirkt eine Corioliskraft und diese ein Drehmoment. Nach dem Heranziehen der Hanteln ruht die Person mit den Hanteln nicht mehr im rotierenden Bezugssystem KS, sondern dreht sich in diesem.

5 Gezeitenkräfte Ebbe (links) und Flut (rechts) am selben Strandabschnitt Entnommen aus Der Tidenhub (Flut) erfolgt alle 12 h 25 min. Ebbe und Flut erfolgen also zweimal am Tag, verschieben sich aber von einem Tag zum anderen um 50 min. Das Gezeitenphänomen hat zwei Hauptursachen: 1.) die Rotation von Erde und Mond um ihren gemeinsamen Schwerpunkt 2.) die Gravitationskraft des Mondes

6 Gezeitenkräfte Innerhalb eines Monats drehen sich Erde und Mond einmal um den gemeinsamen Schwerpunkt, der vom Erdmittelpunkt aus um 0.73 Erdradien zum Mond hin verschoben ist. Animation aus Die Rotation der Erde bewirkt dabei Zentrifugalkräfte auf alle Bestandteile der Erde.

7 Gezeitenkräfte ω v Drehachse senkrecht zur Leinwand Die Zentrifugalkraft (grün) und die Gravitationskraft des Mondes (blau) bewirken eine Gesamtkraft (rot) entsprechend eines Zuggewichts von 1 g je Tonne Masse. Massenverschiebungen erfolgen wegen der geringen Kompressibilität der Materie im wesentlichen auf Grund der Tangentialkräfte. Die dargestellten Gezeitenberge und täler entwickeln sich in Folge phasenversetzt zur Rotation.

8 Gezeitenkräfte Die schwarzen Linien zeigen die Bahnkurven von fünf Orten (A, B, C, D, Mittelpunkt) der Erde, wenn man die Eigenrotation der Erde vernachlässigt. Jeder Punkt beschreibt eine Kreisbahn. Die Radien sind gleich, aber die Mittelpunkte verschieden. Die Zentrifugalkraft zeigt jeweils radial nach außen (also weg vom jeweiligen Kreismittelpunkt) und damit entlang der Verbindungslinie Erde-Mond. Die Zentrifugalkraft ist überall gleich groß. Dieser Befund ist völlig überraschend, wenn man die Rotation von Erde und Mond im Bild einer starren Hantel betrachtet. Dieses Bild ist nicht anzuwenden, da es eine Eigendrehung der Erde beinhaltet, die man aber gesondert betrachten will.

9 Gezeitenkräfte Zusammen mit der Eigenrotation der Erde ergibt sich folgende Bewegung: Gezani.gif Animation aus 11/umwelttechnik/10gezeiten/gezeiten.htm Auf einem festen Punkt der Erde beobachtet man wegen der Eigenrotation der Erde täglich zweimal Ebbe und Flut. Die 50-minütige Verschiebung des Eintreffens stammt von der Fortbewegung des Mondes, der sich in 27.3 Tagen einmal um die Erde dreht.

10 Gezeitenkräfte Die genaue Beschreibung der Gezeiten wird dadurch kompliziert, dass Eigenschwingungen des Oszillatorsystems Wasser-Land angeregt werden. 0 h 2 h 4 h 6 h 2 h 12 h 10 h 8 h Durch Überlagerung von Eigenmoden kommt es zu komplexen Strömungsmustern. So treten in der Nordsee drei kreisförmig umlaufende Bewegungen auf (amphidromische Bewegungen). Die Gezeitenwelle umkreist jeweils einen gezeitenlosen Mittelpunkt. Aus Spektrum der Wissenschaften Mai 2004, S. 56

11 Gezeitenkräfte Für den genauen zeitlichen Verlauf der Gezeitenwelle und für die Amplitude spielen neben den Eigenschwingungen noch die Gravitation der Sonne, die Neigung der Erdachse, die Ellipsenform von Mond- und Erdbahn eine Rolle. Zeitverlauf des Wasserstandes ist nicht-harmonisch Aus: Spektrum der Wissenschaften, Mai 2004, S. 56 Über ein Jahr variiert der maximale Tidenhub ( Für eine harmonische Analyse der Daten braucht man Teilschwingungen!

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