Aufgabe 1: Bewertung von Derivaten

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1 Aufgabe 1: Bewertung von Derivaten Das alteingesessene Kölner Bankhaus Suleiman Unterschlupf will eine Aktienanleihe auf die Knarrstatt AG begeben, um ihr angebotenes Produktportfolio zu erweitern. Dabei bietet sie folgende Konditionen an: Der Zinssatz der Anleihe betrage 0%, es handelt sich somit um einen Zerobond, der am Ende der Laufzeit von Sul. Unterschlupf wahlweise zu 100 Altrheinischen Schwundgeldeinheiten (ArSch) zurückgezahlt oder mit zwei Aktien der Knarrstatt AG beglichen wird. Liegt der Aktienkurs der Knarrstatt AG bei Fälligkeit der Aktienanleihe unter 50 ArSch, so wird die Bank Aktien liefern, ansonsten wird sie den Nominalbetrag zurückzahlen. Der Anleger hält somit eine long-position in dem Zerobond und eine Shortposition in zwei Puts auf Knarrstatt mit Basispreis K=50. Die Aktienanleihe wird als besonders renditestark beworben und soll zu 90 ArSch verkauft werden. Am arbitragefreien Kapitalmarkt werden europäische und amerikanische Verkaufsoptionen auf die Knarrstatt AG mit einer Restlaufzeit von jeweils genau 24 Monaten gehandelt. Die Aktienrendite folgt einer log-normalverteilung und die Vierteljahresvolatilität des Aktienkurses wurde aus historischen Renditen mit σ Q = 0,15 geschätzt. Die Aktie kann im Zeitpunkt t = 0 zum Preis S 0 = 60 ArSch gekauft werden. Am Kapitalmarkt verzinsen sich sichere Wertpapiere mit i = 0,025 bzw. 2,5 % p.a. Zudem seien alle am Markt gehandelten Wertpapiere beliebig teilbar. Beachten Sie im Bedarfsfall die für die Übersetzung vom Modell normalverteilter zum Modell binomialverteilter Logarithmen der Aktienkurse geltenden Formeln für die Aufzinsungsfaktoren pro Binomialschritt: T n bei Aufwärtsbewegungen: u = e σ / bei Abwärtsbewegungen: d = 1 u Dabei ist e die Euler'sche Zahl und n gibt die Anzahl der Binomialschritte an. Für den Aufzinsungsfaktor der sicheren Kapitalmarktanlage pro Binomialschritt gilt dann: r = ( 1 + i) T/ n Die für die folgenden Berechnungen erforderlichen Werte der Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung können Sie der am Ende des Aufgabenteils abgedruckten Tabelle entnehmen. a) Erläutern Sie, warum es nicht notwendig ist, zur Bewertung der beschriebenen Aktienanleihe ins Binomialmodell zu wechseln. Ist es möglich die Aktienanleihe mit Hilfe eines vierstufigen Binomialbaums zu bewerten und wäre diese Bewertung exakt? b) Berechnen Sie mit Hilfe der Black/Scholes-Formel den theoretischen Wert einer europäischen Verkaufsoption auf die Aktie der Knarrstatt AG, die zur Bewertung der Aktienanleihe notwendig ist! Verwenden Sie dafür die auf Jahresbasis bezogenen Werte für die Black/Scholes-Parameter! Wie hoch ist der Wert der oben beschriebenen Aktienanleihe und um wieviel ArSch werden die Anleger durch Sul. Unterschlupf übervorteilt? c) Wie hoch ist der Wert der Aktienanleihe bei Abfluss einer sicheren Dividende in Höhe von 3 ArSch ein Jahr vor Fälligkeit der Aktienanleihe. Mit welchem Wert für die Stan- Seite 1 von 5

2 dardabweichung ist nun näherungsweise zu rechnen? Ist ein Dividendenabfluss positiv oder negativ zu werten für den Aktienanleihekäufer? Begründung! d) Skizzieren Sie, wie der Zahlungsrückfluss der Aktienanleihe aus Teilaufgabe b) am Ende der Laufzeit vom dann erreichten Aktienkurs abhängt. Tragen Sie in die gleiche Skizze ein, wie der Preis der Aktienanleihe in t=0 vom Aktienkurs S 0 abhängt. (6 Punkte) e) Wie verändert sich der Wert der Aktienanleihe wenn ceteris paribus: - die Volatilität σ steigt, - die Laufzeit der Aktienanleihe steigt, - der sichere Zinssatz i steigt. Geben Sie dabei jeweils den Einfluss auf die Zerobondkomponente, die Putkomponente und den Gesamtwert der Anleihe an. (6 Punkte) f) Welche Aktienstückzahl müsste Sul. Unterschlupf statt des Rückzahlungsbetrags von 100 ArSch wahlweise anbieten dürfen, damit ein Ausgabepreis von 90 ArSch für die Aktienanleihe aus Teilaufgabe b) nicht zur Übervorteilung der Anleihekäufer führt? Berechnen Sie hierzu den Wert der Aktienanleihe, wenn nach Wahl von Sul. Unterschlupf entweder der Rückzahlungsbetrag zu zahlen ist oder 2,5 Aktien zu liefern sind. Führen Sie dann einen Iterationsschritt durch, um die Stückzahl zu bestimmen, die zum Ausgabepreis von 90 ArSch passt. (12 Punkte) Wertetabelle: x N(x) 0,0000 0,5 0,1094 0,5438 0,1851 0,5734 0,3340 0,6308 0,3500 0,6398 0,5336 0,7032 0,6306 0,7358 0,6404 0,7390 0,7583 0,7759 0,7779 0,7805 0,8600 0,8051 1,2842 0,9000 N(x) ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, d.h. N(x) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 und Varianz 1 einen Wert kleiner oder gleich x annimmt. Zudem gilt: N(-x) = 1- N(x) Seite 2 von 5

3 Aufgabe 2: Unternehmensbewertung (48 Punkte) Auf der Mittelmeerinsel Lesbos wollen einschlägige Spezialisten neuartige Reproduktionsmethoden zur Marktreife bringen. Zu diesem Zweck soll ein Biotechnologie-Unternehmen gegründet werden. Im Gründungszeitpunkt (t = 0) liegt dessen Marktwert bei 30 Mio. Ostgriechischen Austernschalen (OgrAus). Die Forschungs- und Entwicklungsphase besteht aus einem vierstufigen Prozess (t = 1 bis 4); nach Beendigung der letzten Stufe soll das Unternehmen zum jeweiligen Marktwert liquidiert werden. Jede dieser vier Zwischenstufen, die jeweils genau ein Jahr dauern, kann günstig oder ungünstig verlaufen; dies ist unabhängig davon, ob die vorhergehende Prozessstufe erfolgreich war. Im günstigen Fall steigt der Unternehmenswert um 50% bezogen auf die vorhergehende Stufe, ansonsten verringert er sich um ein Viertel. Daraus ergibt sich, dass die Entwicklung des Unternehmenswertes einem binomialen stochastischen Prozess folgt. Da in Griechenland seit dem Platzen der Euro-Zone kein Eigenkapital mehr aufzutreiben ist, wollen die Insulaner aus Lesbos in t = 0 den gesamten Investitionsbetrag durch die Platzierung von auf OgrAus lautenden Schuldverschreibungen bei der Bayerischen Park- und Pennerbank und die Zulassung von Stück Aktien zum Handel an der Börse München finanzieren. Dabei ist zu berücksichtigen, dass während der Forschungs- und Entwicklungsphase den Aktionären keine Dividende gezahlt werden soll. Im Übrigen verzinsen sich alternative sichere Anlagen zu 23,75 % p.a. Es ist nun Ihre Aufgabe, die Fremd- und Eigenkapitaltitel des Unternehmens zu bewerten. a) Zunächst erwägen die Gründer zusätzlich zur Aktienemission die Ausgabe von Stück abgezinsten Zero-Bonds mit einem Nominalwert von 750 OgrAus. Die Rückzahlung des Zero-Bonds in t = 4 erfolgt zu 100%, wobei im Konkursfall nur nach Maßgabe der vorhandenen Konkursmasse gezahlt wird. Zu welchem Kurs könnten in diesem Fall die Aktien an der Börse München und die Zero-Bonds bei der Bayerischen Park- und Pennerbank platziert werden, wenn die Zero-Bonds nicht vorzeitig kündbar sind? Wie hoch wäre die erwartete und wie hoch die nominelle Verzinsung der Zero-Bonds? b) Wie hoch wäre ein marktgerechter Platzierungskurs für die Zero-Bonds aus Teilaufgabe a), wenn die neuerdings sehr vorsichtig agierende Bayerische Park- und Pennerbank mit Erfolg darauf bestünde, vorzeitig kündigen zu dürfen, falls der Marktwert des Unternehmens unter den mit 23,75 % p.a. abgezinsten Nominalwert der Zero-Bonds fällt? Wie hoch ist der Wert dieses Kündigungsrechts pro Stück Zero-Bond in t = 0? Gehen Sie davon aus, dass das Unternehmen jeweils zum Marktwert liquidiert werden kann. (8 Punkte) c) Die Insulaner überlegen, anstelle der Zero-Bonds aus Teilaufgabe a) Stück Optionsschuldverschreibungen mit einem Nominalwert von jeweils 750 OgrAus zu begeben, auf die vor der Endfälligkeit keine Zinsen gezahlt werden müssen (Options-Zero-Bonds). Die Zero-Bonds werden in t = 4 zum Nennwert eingelöst und sind bis dahin für Gläubiger und Schuldner unkündbar. Von jedem Zero-Bond kann nach der Emission ein Optionsschein abgetrennt werden, so dass man zwei selbständig handelbare Papiere erhält. Als Inhaber eines solchen Optionsscheins besitzt man das Recht, zwei Aktien des Unternehmens zum Preis von je 50 OgrAus zu kaufen. Mit der Ausübung des Optionsrechts kann der Optionsscheininhaber abwarten, bis das Ergebnis der 4. Stufe bekannt ist. Bei Ausübung der Option fließt der Bezugspreis dem Unternehmen zu, das seinerseits dafür zusätzliche Aktien emittiert, die den Altaktien bei der Verteilung des Liquidationserlöses Seite 3 von 5

4 gleichgestellt sind. Zu welchem Kurs könnten nunmehr die Aktien und die Options-Zero- Bonds platziert werden? Wie hoch wäre die erwartete und wie hoch die nominelle Verzinsung der Options-Zero-Bonds? (16 Punkte) d) Das letzte von den Insulanern in Erwägung gezogene Finanzierungskonzept sieht die Platzierung von Wandelschuldverschreibungen ohne Zinskupons vor. Der Inhaber eines solchen Wandel-Zero-Bonds hat das Recht, in t = 4 je 200 OgrAus Nominalwert der Anleihe in eine neue Aktie aus einer bedingten Kapitalerhöhung zu wandeln. Sofern der Gläubiger sein Wandlungsrecht nicht ausübt, werden die Wandel-Zero-Bonds in t = 4 zu ihrem Nominalwert von 750 OgrAus eingelöst. Neben den Stück Aktien sollen in t = 0 insgesamt dieser abgezinsten Wandelschuldverschreibungen platziert werden. Mit der Ausübung des Wandlungsrechts kann der Inhaber einer Wandelschuldverschreibung abwarten, bis das Ergebnis der 4. Stufe bekannt ist. Die aus der Wandlung hervorgehenden zusätzlichen Aktien sind den Altaktien bei der Verteilung des Liquidationserlöses gleichgestellt. Wie hoch muss der Unternehmenswert in t = 4 mindestens sein, damit sich die Ausübung des Wandlungsrechts für die Gläubiger lohnt? Zu welchem Kurs können die Aktien und Wandelanleihen emittiert werden? Wie hoch sind die nominelle und die erwartete Verzinsung der Bonds? (14 Punkte) Seite 4 von 5

5 Aufgabe 3: Verständnisfragen (24 Punkte) a) Berechnen Sie den modelltheoretischen Wert eines Discountzertifikats unter den folgenden Bedingungen: - Bei Fälligkeit werden nach Wahl des Emittenten entweder Altrheinische Schwundgeldeinheiten (ArSch) gezahlt oder 300 Dümmler-Bonz-Aktien geliefert. - Die Restlaufzeit des Zertifikats beträgt ein Jahr. - Die Dümmler-Bonz-Aktie notiert aktuell bei 50 ArSch. - Aus der Dümmler-Bonz-Aktie fließt in 3 Monaten eine sichere Dividende von 11 ArSch ab. - Der sichere Zinssatz beträgt 46,41% p.a. - Die Volatilität des ex-kurses der Dümmler-Bonz-Aktie liegt bei σ=0,4. Erläutern Sie, wie der Wert des Discount-Zertifikats in zwei Komponenten zerlegt werden kann, deren Wert dann jeweils einzeln bestimmt werden kann. Geben Sie zwei verschiedene Zerlegungsmöglichkeiten an (die natürlich jeweils zu demselben Ergebnis führen)! Eine zahlenmäßige Auswertung der Black-Scholes-Formel ist nicht erforderlich. Es genügt, wenn Sie angeben, welche Zahlen für die Parameter S, K, T, r und σ in die Black-Scholes-Formel einzusetzen sind, und die neben der Black-Scholes-Formel noch zu berücksichtigende(n) Bewertungskomponente(n) zahlenmäßig angeben. (12 Punkte) b) Wie ist die Black-Scholes-Fromel zu modifizieren, wenn die Volatilität σ nicht konstant ist, sondern eine stetige Funktion der Zeit ist, für die Sie die Schreibweise σ(t) verwenden können? c) Im Binomialmodell der Optionsbewertung wird nicht mit tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten gerechnet, sondern mit fiktiven Wahrscheinlichkeiten, die sich aus einer Arbitragefreiheitsbedingung ergeben. Was entspricht diesem Vorgehen im Falle des Black-Scholes-Modells? d) Warum ist das Black-Scholes-Modell auf die Bewertung von Rentenoptionen nicht anwendbar? Seite 5 von 5