Übungen Physik I. Wärmelehre Aufgabe 1.1.

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1 Übungen Physik I. Wärmelehre Aufgabe 1.1. Wie groß ist die Masse eines a) Kohlendioxidmoleküls (CO 2 ), b) H 2 CO 3 -, c) K 2 SO 4 -, d) HNO 3 - Moleküls in kg? Aufgabe 1.2. Welche 4 wichtigen periodischen Eigenschaften charakterisieren das periodische System der Elemente? Aufgabe 1.3. Was unterscheidet ein "geschlossenes" System von einem "abgeschlossenen" System? Aufgabe 1.4. Wie würden Sie das System "Fahrradluftpumpe" abgrenzen und thermodynamisch klassifizieren? Aufgabe 1.5. Warum muß sich ein System im "Gleichgewicht" befinden, um es durch "Zustandsvariablen" beschreiben zu können? Aufgabe 2.1. Auf welche emperatur ϑ muß man einen dünnen Stahlstreifen erhitzen, damit sich sein Durchmesser um 0,5cm auf 120cm vergrößert? Anfangstemperatur sei ϑ = 0 C. Aufgabe 2.2. In einem zylindrischen Gefäß steht 8cm hoch Quecksilber. Um wieviel würde dessen Oberfläche bei einer emperaturerhöhung um 100K steigen, wenn sich das Glasgefäß nicht ausdehnen würde? Aufgabe 2.3. Wieviel g Quecksilber muß das Gefäß eines hermometers enthalten, wenn die Kapillare einen Querschnitt von 1/50 mm² hat und 1/100 emperaturänderung die Länge des Quecksilberfadens um 0,5 mm verändern soll? Die Ausdehnung des hermometerglases soll unberücksichtigt bleiben. Aufgabe 3.1. Ein beiderseits fest eingebauter Stahlstab (Querschnitt A, Elastizitätsmodul E) kühlt sich um die emperaturdifferenz ab. a) Welche Zugkraft entsteht? b) Zerreißt der Stab? (Ist die Zugspannung größer als die Zerreißspannung?) A = 1cm² = 80K α = K -1 E = 21,5 104MPa σ B = 10 3 MPa Aufgabe 3.2. Ein dünnwandiger Stahlring (Elastizitätsmodul E, Zerreißfestigkeit σ B ) soll auf eine Welle vom Durchmesser d aufgeschrumpft werden. Dabei soll die im Ring auftretende Spannung σ = 0,3 σ B betragen. a) Wie groß ist der Innendurchmesser d o des kalten Ringes vor dem Aufschrumpfen? b) Wie groß muß zwischen Ring und Wellen mindestens sein, damit sich der Ring aufschrumpfen läßt? (Ring ist als gerader Stab zu behandeln) E = 2, MPaσ B = 687MPa α = K -1 d = 4cm Aufgabe 4.1. Ein Weckglas von 1l Inhalt wird mit Flüssigkeit von 90 C (im wesentlichen Wasser) so gefüllt, daß 30cm³ Luft unter dem Deckel bleiben. Wie stark kontrahiert sich a) die Flüssigkeit b) die Luft bei Abkühlen auf 20 C? Die Dichte ρ von Wasser bei 90 C beträgt ρ 90 = 0, g/cm³, die bei 20 C ρ 20 = 0, g/cm³. c) Welche Kraft F muß man zum Öffnen des Glases aufwenden, wenn der Deckeldurchmesser 12cm beträgt? Aufgabe 4.2. Bei normaler emperatur kann man Edelstahlgefäße bis auf orr Restgasdruck evakuieren. Wieviele Moleküle befinden sich bei diesem Druck und einer emperatur von 20 C noch in einem cm³? ( 1orr = 133,3 N/m²) Aufgabe 4.3. Welchen Durchmesser hat eine in einem See aufsteigende Luftblase dicht unter der Oberfläche, wenn sie in 50m iefe 2cm groß war und die emperatur sich von 4 C auf 18 C ändert? Äußerer Druck sei p = 1at.

2 Aufgabe 5.1. Glocke z In einem zylindrischen Gasbehälter (siehe Abb.) mit einem Durchmesser von 18m befindet sich ein Gas (CH 4 ) bei einer emperatur von ϑ = 20 C. Die Glocke wiegt kn und hat einen Hub von z = 6,2m 1. Wieviel kg Gas können dem Behälter insgesamt entnommen werden, wenn er vor der Entnahme voll war? 2. Wie lange würde der Gasvorrat bei einer stündlichen Entnahme von 28m³ Gas reichen, wenn das Gas bei einem Druck p o = 50mbar und einer emperatur ϑ = 24 C entnommen wird? Aufgabe 5.2. Welche emperatur ϑ i muß die Luft in einem Heißluftballon von 4m Radius haben, wenn er bei einem Druck von 1050mbar und einer Außentemperatur ϑ a = eine Auftriebskraft von 1000N erreichen soll? Aufg In einem wärmedurchlässigen Zylinder von 500l Inhalt befindet sich Gas, dessen Druck durch einen konstant belasteten Kolben auf 2 bar gehalten wird. Dem Gas wird die Reibungsarbeit Wr = 0,2kWh zugeführt, wobei sich die emperatur von 18 C auf 320 C erhöht. Ein Drittel der Reibungsarbeit erhöht die innere Energie des Systems. Welche Volumenänderungsarbeit und welche Wärme werden abgegeben? Aufgabe 6.2. Heißem Rauchgas mit spezifischer Wärme c 1 = 1,13 kj/kgk, von dem stündlich 80kg mit 700 C aus einem Industrieofen austreten, wird zur emperatursenkung stündlich 110kg Luft (c 2 = 1,01kJ/kgK) von 20 C beigemischt. Während des Mischvorganges werden stündlich kj als Wärme an die Umgebung abgegeben. Wie hoch ist die emperatur nach der Mischung? Aufgabe 7.1. In eine senkrechte, thermisch gut isolierte Düse strömt Wasserdampf von 260 C bei einem Druck von 20bar und einer Geschwindigkeit von c 1 = 38 m/s. Am Austritt hat der Dampf noch 180 C und einen Druck von 4bar. Wie groß ist die Austrittsgeschwindigkeit des Dampfes aus der Düse, wenn die Höhendifferenz von Eintritts- und Austrittsöffnung 30m beträgt. h 1 = 2927 kj/kg bei 260 C und 20bar h 2 = 2818,3kJ/kg bei 180 C und 4bar Aufgabe 7.2. Berechne die Enthalpieänderung von 100kg Luft, die in einem Wärmetauscher von 100 C auf 20 C abgekühlt wird. Die mittlere spezifische Wärme beträgt c = 1,01 kj/kgk. Aufgabe 8.1. In einem Zylinder ist Luft (0,1kg) unter 20bar, 20 C eingeschlossen, der bei konstant bleibendem Druck die Wärme 30,6kJ zugeführt wird. Anschließend wird die Luft bei konstanter emperatur auf 1bar entspannt. a) Welche Volumenänderungsarbeit gibt die Luft bei der Entspannung an den Kolben ab? c p = 1,005 kj/kgk b) Welcher Wärmeaustausch findet bei der Entspannung statt? c) Welche Werte ergeben sich für a) und b) ohne vorherige Erwärmung? Aufgabe 8.2. In dem Zylinder eines Verbrennungsmotors befindet sich 1g Luft unter 29,5 bar; 845 C. Während sich das Zylindervolumen beim Rückgang des Kolbens vergrößert, wird gleichzeitig Brennstoff eingespritzt und verbrannt. Dadurch findet eine Volumenvergrößerung mit dem Polytropenexponenten χ = -1 statt, während der Druck auf 38,2bar steigt. Die Veränderung der Gaszusammensetzung sowie die emperaturabhängigkeit der spez. Wärmen ist zu vernachlässigen. Berechne p, V,, U, H vor und nach der Brennstoffzufuhr, Volumenänderungsarbeit, Energiezufuhr durch den Brennstoff.

3 Aufgabe 9.1. Zeige für das nebenstehende Beispiel eines Kreisprozesses, daß sich der Wirkungsgrad η mit Q 12 x = mc folgendermaßen schreiben läßt: η(x) = 1 - ln(1+x) p x. Fertige eine Zeichnung für η(x) an und diskutiere die Funktion. Aufgabe 9.2. Berechne für einen idealisierten Otto-Prozeß (besteht aus zwei Adiabaten und zwei Isochoren; s. Abb.) die Zustandsgrößen p i ; V i ; i ; U i ; H i für i = 1; 2; 3; 4 sowie die Kreisprozeßarbeit und den Wirkungsgrad η. Gegeben ist m = 20g; p 1 = 15bar; ϑ 1 = 600 C; V 3 = 5000cm³; ϑ 3 = 80 C. Aufgabe 10. Ein Gebäude mit einer erforderlichen Heizleistung von 500kW soll durch eine Wärmepumpe und dem Kühlwasser einer Wärmekraftmaschine, die zum Antrieb der Wärmepumpe dient, beheizt werden. Die Wärmekraftmaschine führt mit Luft einen CARNO-Prozeß aus. Die Wärmezufuhr bei diesem Prozeß erfolgt bei 630 C, die Abfuhr bei 105 C. Die bei 105 C abgeführte Wärme wird vollständig zur Raumheizung verwendet. Die von der Wärmekraftmaschine angetriebene Wärmepumpe führt ebenfalls mit Luft einen CARNO-Prozeß aus, bei dem die Wärmezufuhr bei 5 C, die Abfuhr bei 105 C erfolgt. Die abgegebene Wärme dient ebenfalls vollständig der Raumheizung. Die CARNO-Prozesse arbeiten reversibel. a) Wie groß ist die der Wärmekraftmaschine zuzuführende Energie? b) Wie groß ist die Leistungszahl der Wärmepumpe? Aufgabe 11. Übertragen Sie das Vorlesungsbeispiel eines Kreisprozesses (siehe Skizze 9.1.) in ein Wärmediagramm (; S) und berechnen Sie die Zustandspunkte 1, 2, 3 sowie die Entropieänderungen der einzelnen Prozeßabschnitte. Aufgabe 12. Mit einer Wärmepumpe soll ein Raum auf einer emperatur ϑ 2 = 20 C gehalten werden. Die Wärme soll einem Bach der emperatur ϑ 1 = 5 C entnommen werden. Die Verluste durch Wände, Fenster usw. betragen 160MJ/ag. a) Wieviel kwh beträgt der tägliche Stromverbrauch, wenn 30% der idealen Leistungzahl erreicht wird? b) Wie groß wäre der Stromverbrauch bei einer elektrischen Heizung?

4 Lösungen Aufgabe mol eines Stoffes enthält jeweils N A = 6, Atome bzw. Moleküle. Ein Mol CO 2 hat die Masse m mol = 12g g = 44g. Dann hat ein eilchen die Masse m = m mol 44g N = A 6, = 7, g = 7, kg. Aufgabe Atomvolumen 2. Schalenaufbau 3. chemische Verwandtschaft (zb Alkali, Erdalkali, Halogene, Basizität, Säurigkeit) 4. physikalische Verwandtschaft. Aufgabe 1.3. Geschlossene Systeme besitzen eine lückenlos stoffdichte Systemgrenze. Beim geschlossenen System kann daher nur nichtstoffgebundene Energie (Arbeit und Wärme) über die Systemgrenze fließen. Wird keine Wärme über die Systemgrenze transportiert, so heißt die Systemgrenze und damit auch das System adiabat. Von arbeitsdichten Systemen spricht man, wenn Energie in Form von Arbeit weder in der einen noch in der anderen Richtung die Systemgrenze passiert, die Energieform Wärme aber in beliebiger Richtung fließen kann. Ist ein geschlossenes System adiabat und arbeitsdicht, so handelt es sich um ein energiedichtes System, das als abgeschlossenes System bezeichnet wird. Aufgabe 1.4. Da die Luftpumpe dem Lufttransport dient, hat sie keine abgeschlossenen Systemgrenzen; es ist ein offenes System. Aufgabe 2.1. = α l o t => = l α l o = 0,5cm α = K l o = l ϑ - l l ϑ = 120cm l => = α (l ϑ - l) = 0,5cm K (120-0,5)cm = 348,68 K Aufgabe 2.2. Aus V = γ V o folgt mit V = h A und V o = h o A : h = γ = γ 100 C 182, = 0 C K h o = 8cm = 100K => h = 182, K 8cm 100K = 0,1461cm = 1,461mm Aufgabe 2.3. V = γ V o mit V = h A folgt: V o = V γ = h A γ mit ρ = m V : ρ h A m = V ρ = γ γ h o A A = γ h o h = 0,5mm A = 1/50 mm² t = 1/100 K γ = γ 100 C 182, = 0 C K ρ = 13,5 kg dm³ => m = 13,5kg 0,5mm K 1mm² 100 (dm)³ 182, K = 13,5kg mm K mm² mm³ 182,6 K = 0,0739kg = 73,9g Aufg HOOKE'sches Gesetz: σ = E ε σ = F N A => F N = σ A = E ε A = E l l A = E α A ε = l l => F N = 1cm² 80K K -1 21, MPa = 1m² ,5 N m² = N = 18,92 kn => σ = E ε = E l l = E α => σ = 80K K -1 21, MPa = , MPa = 189,2MPa < σ B = 10 3 MPa

5 Aufg σ = 0,3σ B 0,3σ B E σ = E ε = E l l = d d o => d o = = E d d o = E α => d = d - d o = 0,3σ B E d o => d = 0,3σ B E d o + d o = (0,3σ B E +1) d o d 0,3σ B => d o = E +1 4cm 0,3 687MPa 2, MPa +1 = 3,9963cm => = 0,3σ B 0,3 687MPa K 0,3 687 K => = E α 2, MPa = 2,2 1,2 = 78,07K Aufgabe 4.1. Flüssigkeit: ρ 90 = V 20 ρ 20 V => V = V 90 - V 20 = V 90 (1 - ρ 90 ) => V = 970cm³(1-0, ρ 20 0, ) = 31,95 cm³ Luft: p 2 V 2 2 = p 1 V 1 => p 2 = p 1 2 V 1 V 2 => p 2 = 1bar 293K 363K 30cm³ 61,95cm³ = 0,3909 bar Kraft: F = p A => F = (1-0,3909) 10 5 Pa π (0,06m)² = 688,9 N Aufgabe 4.2. pv = nr => N = n N A = pv R N A => N = 133,3N cm³ mol K m² 8,314J 293K 6, /mol = Aufgabe 4.3. p 2 V 2 p = ρgh = p1 V 1 2 V = 4 3 π r3 1 p 3 2 r 2 => = p1 r => r 3 2 = r 1 3 p p = r 1 3 (p 2 +ρgh) 2 2 p 2 => r 2 = 0,02m 3 1at+1kg/dm³ 9,81m/s² 50m 1at Aufg => t = 291K 277K 3 10 = 2cm 5 N/m²+1000kg/m³ 9,81m/s² 50m 291K 10 5 N/m² 277K = 3,6749 cm p V = nr => n = p V R => m = p V R M = (p o +G/A) z A R M => m = (105 N/m² kN/π (9m)² ) 6,2m π (9m)² 8,314J/mol K 293K 16g/mol = g = 3,316t p V => 360 h p V Aufg F A = G a - G i = (m a - m i ) g = (ρ a - ρ i ) V g pv = nr = m M R => p = m V R M = ρ R M pm => ρ = R M Luft = 28,84 g/mol => F A = V g pm R ( 1-1 a ) => 1 i - 1 a = F A R i VgpM => 1 = 1 i - F A R a VgpM = VgpM- a F A R a VgpM => i = a VgpM VgpM- a F A R => i = 422K => t = 149 C

6 Aufg Aus p 2 V 2 2 = p 1 V 1 folgt für p 1 = p 2 : V 2 2 = V 1 => V 2 = V 1 2 => Volumenänderungsarbeit W v12 = - V p = -(V 2 - V 1 ) p = -V 1 ( 2-1 ) p => W v12 = -500dm³( 593K 291K -1)2 105 Pa = -203,78kJ ( < 0, d.h. die Volumenänderungarbeit wird abgegeben) 1 Die gesamte abgegebene Energie beträgt W g12 = -0,2kWh 2/3 = -0,2kW3600s 2/3 = -480kJ => Q ab = 203,78kJ - 480kJ = -276,3kJ Aufg Q Rauch + Q Luft = Q Gemisch + Q Umgebung und Q = mct => m 1 c 1 t 1 + m 2 c 2 t 2 = (m 1 c 1 t M + m 2 c 2 t M ) + Q Umgebung => t M = m 1 c 1 t 1 + m 2 c 2 t 2 - Q Umgebung m 1 c 1 + m 2 c 2 => t M = 225,8 C Aufgabe 7.1. Für ein adiabates, offenes System gilt: w* i12 = h 2 - h 1 + ½ (c 2 ² - c 1 ²) + g(z 2 - z 1 ) mit h = u + pv Wird keine Energie abgegeben oder aufgenommen, ist w* i12 = 0. => c 2 = c 1 ² + 2(h 1 - h 2 ) - 2g(z 2 - z 1 ) => c 2 = (38m/s)²+2( )kJ/kg+2 9,81m/s² 30m mit kj/kg = knm/kg = k(kgm/s²)m/kg = k(m/s)² folgt: => c 2 = 38²+2( ) ,81 30 m/s = 469m/s Aufgabe 7.2. Q = cm t => Q = 1,01 kj/kgk 100kg 80K = 8080 kj Aufgabe 8.1. Q = cm => = Q cm => 30,6kJ = 1,005 kj/kgk 0,1kg = 304,5K Aus p 3 V 3 3 = p 2 V 2 2 folgt für 2 = 3 : p 3 V 3 = p 2 V 2 => V 3 = p 2 V 2 p 3 Für V 2 folgt aus p2 V 2 = p1 V 1 2 mit p 1 = p 2 : V 2 1 = V 1 2 => V 2 = V Aus W v23 = - p dv folgt mit p(v) = p2 V 2 V => W v23 = - 2 V 3 p2 V 2 V dv = -p2 V 2 lnv V 3 = -p V=V 2 V 2 (ln p2 V1 2 2 p - ln V1 2 3 ) = = -p 1 2 V 2 ln p 2 p 3 V 2 a) angeblich: W e = 15,19kJ 1 Die abgegebene Volumenänderungsarbeit teilt sich je nach Außendruck in Verschiebearbeit und Nutzarbeit auf.

7 Aufgabe 9.1.