Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Fakultät für Mathematik

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1 Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Fakultät für Mathematik Rekursive Darstellung dynamischer Spiele mit versteckten Aktionen und Zuständen im Abreu, Pearce und Stacchetti-Stil -Ein Vergleich der Arbeiten von Abreu, Pearce und Stacchetti und von Cole und Kocherlakota- Diplomarbeit Michaela Fiedor Matrikelnummer: eingereicht am: 25. Januar 2007 Aufgabensteller: Korreferent: Betreuer: Prof. Dr. Clemens Puppe Priv. Doz. Dr. Dieter Kadelka Dr. Martin Barbie

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3 Eidesstattliche Erklärung Hiermit versichere ich, Michaela Fiedor, dass ich die vorliegende Diplomarbeit ohne Hilfe Dritter und ohne Benutzung anderer als der im Literaturverzeichnis angegebenen Quellen und Hilfsmittel angefertigt habe und die den benutzten Quellen entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht habe. Diese Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegen. Karlsruhe, den 25. Januar 2007 Michaela Fiedor

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5 Danksagung Ich danke: Prof. Dr. Clemens Puppe für die Themenauswahl und die interessante Aufgabenstellung, Priv.Doz. Dr. Dieter Kadelka für die Bereitschaft als Korreferent zur Verfügung zu stehen und für die hervorragende Betreuung der mathematischen Seite, Dr. Martin Barbie für die engagierte Betreuung der Diplomarbeit, Prof. Dr. Roland Lemmert für die anregenden Gespräche über Funktionalanalysis, meinen Eltern für die Möglichkeit des Studiums und die endlose Unterstützung während des gesamten Studiums, auÿerdem für das Korrekturlesen meiner Diplomarbeit, Julia Oswald für die zahlreichen Diskussionen über mathematische und spieltheoretische Probleme und für den seelischen Beistand, Hendryk Bockelmann, Robin Pfeier und André Mundt für die vielen gemeinsamen Mittagspausen und die technischen Hilfen, Marcus Habighorst für die seelische Unterstützung, sowie die Hilfe bei der graphischen Darstellung, Mathias Jais, Stefan Köstner und Ste Dürr für das Korrekturlesen meiner Arbeit.

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7 Inhaltsverzeichnis Symbol- und Abkürzungsverzeichnis iii 1 Einleitung Ziele und Aufbau der Arbeit Geschichte der Spieltheorie Dynamische Programmierung Spieltheoretische Grundlagen Spiele in Normalform Spiele in Extensivform Diskontierte, wiederholte Spiele mit imperfekter Information Einführung Das Modell von Abreu, Pearce und Stacchetti Faktorisierung und Selbsterzeugung Bang-Bang Auszahlungsfunktionen Der rekursive Algorithmus Monotonie Die Notwendigkeit von Bang-Bang Auszahlungsfunktionen Dynamische Spiele mit versteckten Aktionen und Zuständen Einführung Das Modell von Cole und Kocherlakota Beliefs und Gleichgewichte Der Algorithmus Das Team-Production Beispiel

8 5 Vergleich der beiden Arbeiten Spiele Modelle Auszahlungen Gleichgewichte Beliefs Der Operator B Selbsterzeugung und Faktorisierung Die Bang-Bang-Eigenschaft Monotonie Die Algorithmen Bang-Bang-Eigenschaft in dem Modell von Cole und Kocherlakota 79 7 Zusammenfassung 85 A One-Deviation-Property 87 A.1 One-Deviation-Property für sequentielle Gleichgewichte A.2 One-Deviation-Property für diskontierte, wiederholte Spiele B Mathematische Grundlagen 93 B.1 Begrie der Analysis B.2 Begrie aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maÿtheorie B.3 Topologische Begrie B.4 Wichtige Sätze Literaturverzeichnis 105 Index 107

9 Symbol- und Abkürzungsverzeichnis Bedeutung der verwendeten lateinischen Buchstaben: A Strategie mit A = {(α 1,..., α n ) α i : S i Q i } arg Y Argument der Menge Y B(W ) B(W ) := {E(q; u) (q, u) ist zulässig bezüglich der Menge W } B(γ) Menge aller Paare (υ, µ), die konsistent sind mit einem Markov-privaten Gleichgewicht c Spieler Natur cl(y ) Abschluss der Menge Y co Y konvexe Hülle der Menge Y E(q; u) diskontierte erwartete Auszahlung bezüglich q und u ext Y Extremalpunkte der konvexen Hülle der Menge Y F Menge der Auszahlungsfunktionen der Spieler, F : S [0, 1] n f(z t, θ t q t, s t 1 ) gemeinsame Dichtefunktion der öentlichen Signale z Z und der privaten Signale θ Θ G n-personen Stufenspiel G (δ) Stufenspiel G, das unendlich oft wiederholt wird g(θ t, z t, q t, s t 1 ) Funktion, die die Zustände der Spieler beschreibt Ii t Menge der Informationsmengen von Spieler i in einer Periode, Ii t = {I i1,..., I iki } i Spielerindex i Index aller Spieler ohne Spieler i inf Y Inmum der Menge Y J(W ) J(W ) := {i b i b i für einige b, b W } L (Ω; R n ) Menge der Äquivalenzklassen von beschränkten Lebesguemessbaren Funktionen von Ω nach R n max Y / min Y Maximum / Minimum der Menge Y N endliche Menge der Spieler mit N = {1,..., n} P(Y ) Menge aller Teilmengen von Y (Potenzmenge) P r(z t, θ t, s 0 ; µ 0, σ) gemeinsame Dichtefunktion der Realisierungen von (z t, θ t, s 0 ) p Wahrscheinlichkeitsparameter Q endliche Aktionsmenge der Spieler, Q = n Q q t S s 0 Q i i=1 Q : B(W ) Q Geschichte der Aktionsprole in Periode t endlicher Zustandsraum der Spieler, S = n S i i=1 Zustandsvektor, den die Natur in Periode 0 wählt

10 sup Y Supremum der Menge Y T Update-Funktion der Beliefs, T : A Z U U : B(W ) L (Ω; W ) u.d.n. unter der Nebenbedingung u(ω) erwartete Auszahlung der Spieler im Fortsetzungsspiel V Menge von Auszahlungsfunktionen im sequentiellen Gleichgewicht mit V := {ϑ(σ) σ ist ein sequentielles Gleichgewicht} W W R n X Zufallsvariable, von der die Auszahlungen der Spieler abhängen Y C Komplement der Menge Y, Y C = R\Y für Y R Z endliche Menge der öentlichen Signale z t Geschichte der öentlichen Signale in Periode t Bedeutung der verwendeten griechischen Buchstaben: α β Γ Strategie, α i : S i Q i β R n Menge aller Paare (υ, µ), Γ = n F i i=1 γ Menge aller möglichen Paare (υ, µ), wobei υ hier der Vektor der Fortsetzungsauszahlungsfunktionen ist, γ Γ γ Teilmenge von Γ, wobei υ hier der Vektor der Fortsetzungsauszahlungsfunktionen eines Markov-privaten Gleichgewichtes ist Menge der Dichtefunktionen mit Träger S δ gemeinsamer Diskontfaktor aller Spieler mit δ (0, 1) η Aktionswahl, η Q Θ endliche Menge der privaten Signale, Θ = n Θ i i=1 ϑ(σ) erwarteter Wert der Auszahlungen von einem Strategieprol σ λ Vektor von Lagrange-Multiplikatoren {λ iηi η i Q i, i J(W )} µ Dichtefunktion bezüglich S µ 0 Anfangsdichtefunktion bezüglich S Π(q) Auszahlungsfunktion der Spieler im Stufenspiel G, Π : Q R π(ω, q) erhaltene Auszahlung der Spieler in einer Periode σ Strategie der Spieler mit σ t : Ω t 1 Q t 1 Q σ Markov-private Strategie σ ω t,q t nach der Geschichte (ωt, q t ) in Periode t induziertes Strategieprol υ Vektor von Auszahlungsfunktionen im Gleichgewicht, υ : S [0, 1] n χ Vektor von Gewichten Ψ( ; q) Verteilung von X ψ( ; q) Wahrscheinlichkeitsdichte, die zu Ψ( ; q) gehört Ω Signalraum der stetigen und öentlichen Signale mit Ω R d ω t Geschichte der Signale ω

11 1 Einleitung 1.1 Ziele und Aufbau der Arbeit Diese Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Veröentlichung Towards a Theory of Discounted Repeated Games with Imperfect Monitoring von Dilip Abreu, David Pearce und Ennio Stacchetti und der Arbeit Dynamic Games with Hidden Actions and Hidden States von Harold L. Cole und Narayana Kocherlakota. 1 Beide Arbeiten zeigen, dass sich Lösungen von Spielen mit einem unendlichem Zeithorizont durch einen Algorithmus rekursiv darstellen lassen und somit leichter zu berechnen sind. Dabei richten Cole und Kocherlakota ihr Modell und ihre Ergebnisse an der Publikation von Abreu, Pearce und Stacchetti aus. Allerdings ist ihr Modell etwas abstrakter formuliert als das Modell in der ersten Veröentlichung. Da jedoch nicht alle Resultate, die Abreu, Pearce und Stacchetti erhalten, übernommen werden, soll hier neben der jeweiligen Ausarbeitung von Details auch teilweise die Lücke zwischen beiden Schriften geschlossen werden, indem eine Erweiterung der zweiten Arbeit in Richtung der ersten erfolgt. Der Aufbau der vorliegenden Arbeit gliedert sich wie folgt: Im ersten Kapitel wird die Geschichte der Spieltheorie als Wissenschaft beschrieben. Es wird ein Überblick gegeben, wie sich die Forschung und Entwicklung der Spieltheorie im Laufe der Geschichte entfaltet hat. Da als wesentliche Grundlage für die Ergebnisse, die Abreu, Pearce und Stacchetti und Cole und Kocherlakota erzielen, das Verfahren der dynamischen Programmierung dient, wird diese Methode in Abschnitt 1.3 kurz erläutert. Bei dieser Methode wird ein Problem in mehrere Teilprobleme zerlegt, um dadurch eventuelle Lösungen zu berechnen. Die verwendeten spieltheoretischen Fachbegrie werden in Kapitel 2 deniert und erklärt. Die mathematischen Denitionen und Sätze sind in Anhang B zu nden. Die Veröentlichung von Abreu, Pearce und Stacchetti wird in Kapitel 3 vorge- 1 Abreu, Pearce und Stacchetti (1990) und Cole und Kocherlakota (2001a).

12 2 Kapitel 1: Einleitung stellt. 2 Ein wichtiges Ergebnis ist dabei, dass Lösungen in unendlich oft wiederholten Spielen durch einen Algorithmus rekursiv dargestellt werden können. In der Arbeit von Cole und Kocherlakota, die in Kapitel 4 präsentiert wird, ndet man neben anderen Ergebnissen auch solch einen Algorithmus, der die Berechnung von Auszahlungen für Spieler in Spielen mit unendlichem Zeithorizont vereinfacht. 3 Ein direkter Vergleich der beiden Arbeiten wird in Kapitel 5 beschrieben. Cole und Kocherlakota übernehmen Resultate von Abreu, Pearce und Stacchetti und übertragen diese auf ein etwas abstrakteres Modell. Bei dem Vergleich werden sowohl die Gemeinsamkeiten als auch die Unterschiede der Modelle und der Ergebnisse herausgearbeitet. Die Lücke zwischen beiden Arbeiten wird teilweise in Kapitel 6 geschlossen. Dabei wird die Vorgehensweise aus der ersten Publikation auf die zweite übertragen und es wird gezeigt, dass man auch hier ähnliche Resultate erhält. 1.2 Geschichte der Spieltheorie Spieltheoretische Ansätze kann man vereinzelt schon sehr früh in der Geschichte der Spieltheorie entdecken. Diese sind allerdings wenig ausgearbeitet. Von Bedeutung für die Wissenschaft wurde die Spieltheorie erst Mitte des letzten Jahrhunderts. Die folgende Ausführung erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und soll nur einen Überblick verschaen. Ausführlichere Darstellungen sind unter anderem in Arbeiten von Manfred J. Holler und Gerhard Illing, Holler, Drew Fudenberg und Jean Tirole und Walter Schlee zu nden. 4 Die ersten Veröentlichungen über Preisbildung und Produktion im Oligopol stammen von Augustin Cournot (1838), Joseph Bertrand (1883) und Francis Edgeworth (1925), aber diese Arbeiten beeinussten die damalige Anschauung der Ökonomen nicht, da die Modelle zu speziell waren hat John von Neumann einfache strategische Gesellschaftsspiele analysiert und gewonnene Ergebnisse in Zur Theorie der Gesellschaftsspiele veröentlicht. 5 Der 2 Abreu, Pearce und Stacchetti (1990). 3 Cole und Kocherlakota (2001a). 4 Holler und Illing (2003), Holler (1995), Fudenberg und Tirole (1991) und Schlee (2004). 5 von Neumann (1928).

13 Kapitel 1: Einleitung 3 Durchbruch der Spieltheorie als eigenständige Wissenschaft gelang erst mit dem Erscheinen des Buches The Theory of Games and Economic Behavior von Oskar Morgenstern und John von Neumann. 6 Sie stellen eine Verbindung zwischen der Theorie der Mathematik und der wirtschaftswissenschaftlichen Anwendung her stellte John Nash das nach ihm benannte Gleichgewichtskonzept auf. 7 Er hat gezeigt, dass in einem Nash-Gleichgewicht für keinen Spieler ein Anreiz besteht, von seiner Strategie abzuweichen. Seine Ansätze nden nicht nur auf dem Gebiet der Spieltheorie Anwendung, sondern unter anderem auch in der Geschäftswelt und in der Politik. Reinhard Selten hat die Bedeutung der Spieltheorie in den Wirtschaftswissenschaften mit zahlreichen Veröentlichungen weiter vorangetrieben, zum Beispiel mit seiner Publikation Spieltheoretische Behandlung eines Oligopolmodells mit Nachfrageträgheit. 8 In den späten Sechziger Jahren untersuchte John C. Harsanyi Spiele mit unvollständiger Information. Sein bayesianisches Nash-Gleichgewicht in Games with Incomplete Information Played by Baysian Players ist heute der Grundstein für viele spieltheoretische Analysen. 9 Die Konzepte von Selten (Reexamination of the Perfectness Concept for Equilibrium Points in Extensive Form Games) und David Kreps und Robert Wilson (Sequential Equilibria) erweitern die Idee des perfekten Gleichgewichtes. 10 Bei einem sequentiellen Gleichgewicht werden nach der Denition von Kreps und Wilson explizit Wahrscheinlichkeitseinschätzungen der anderen Spieler mit einbezogen. Zur Popularisierung des Gefangenendilemmas und zur Implementierung von Strategien als sehr einfache Computerprogramme hat Robert Axelrod 1984 mit seinem Buch The Evolution of Cooperation beigetragen. 11 Edward Green und Robert Porter entwickeln 1984 ein symmetrisches Oligopolmodell. 12 In diesem Modell können die Produzenten nur die Preise der Vorperiode beobachten, nicht aber die Outputmengen ihrer Konkurrenten. Green und Porter untersuchen gewinnmaximierende Strategien für den Fall, dass Produzenten bestimmte Vergeltungsstrategien wählen können. 6 Morgenstern und von Neumann (1944). 7 Nash (1950). 8 Selten (1965). 9 Harsanyi (1967/1968). 10 Selten (1975) und Kreps und Wilson (1982). 11 Axelrod (1984). 12 Green und Porter (1984).

14 4 Kapitel 1: Einleitung Abreu, Pearce und Stacchetti haben 1986 in Optimal Cartel Equilibrium with Imperfect Monitoring den obigen Ansatz von Green und Porter weiterentwickelt. 13 Bei obigem Modell sind möglichen Vergeltungsstrategien einige Restriktionen auferlegt, die in dem Modell von Abreu, Pearce und Stacchetti nicht benötigt werden. Harsanyi und Selten haben 1988 Kriterien entwickelt, die für jedes Spiel jeweils eine eindeutige Lösung liefern sollen. Ihre Ergebnisse sind unter anderem in A General Theory of Equilibrium Selection in Games veröentlicht hat Abreu mit der Anwendung der Methoden der dynamischen Programmierung bei einem Optimierungsproblem mit mehreren Spielern bewiesen, dass es zur Charakterisierung aller teilspielperfekten Gleichgewichtsauszahlungen genügt, sich auf Drohstrategien mit zeitunabhängigen Vergeltungsstrategien zu beschränken. In ihrer Veröentlichung Towards a Theory of Discounted Repeated Games with Imperfect Monitoring untersuchen Abreu, Pearce und Stacchetti sequentielle Gleichgewichte in reinen Strategien in wiederholten Spielen mit imperfekter Information. 15 Sie entwickeln einen Algorithmus um Lösungen für unendlich oft wiederholte Spiele rekursiv zu berechnen. Dieser beruht auf einer Erweiterung des Prinzips der dynamischen Programmierung. Cole und Kocherlakota erweitern die Idee von Abreu, Pearce und Stacchetti und entwickeln in ihrer Arbeit Dynamic Games with Hidden Actions and Hidden States ein Modell für die rekursive Formulierung von Lösungen für Spiele mit versteckten Aktionen und Zuständen unter Benutzung des Begris des Markov-privaten Gleichgewichtes. 16 Bisher wurde der Wirtschaftsnobelpreis mehrmals für spieltheoretische Arbeiten vergeben: 1994 an John Nash, John Harsanyi und Reinhard Selten, 1996 an William Vickrey und 2005 an Robert J. Aumann und Thomas Schelling. 1.3 Dynamische Programmierung Die Ergebnisse der Arbeiten von Abreu, Pearce und Stacchetti und von Cole und Kocherlakota beruhen auf dem Verfahren der dynamischen Programmierung Abreu, Pearce und Stacchetti (1986). 14 Harsanyi und Selten (1988). 15 Abreu, Pearce und Stacchetti (1990). 16 Cole und Kocherlakota (2001a). 17 Abreu, Pearce und Stacchetti (1990) und Cole und Kocherlakota (2001a).

15 Kapitel 1: Einleitung 5 Deshalb soll hier im Folgenden ein kurzer Überblick über diese Methode gegeben werden. Dabei wird auf Beispiele und Anwendungen verzichtet. Weitere Aspekte zur dynamischen Programmierung sind unter anderem in Arbeiten von Nemhauser, Smith und Waldmann dargestellt. 18 Die dynamische Programmierung (in der Literatur häug auch als dynamische Optimierung bezeichnet) ist ein Optimierungsverfahren, das mehrstuge Entscheidungsprobleme löst. Diese treten auf, wenn getroene Entscheidungen nicht nur direkte Auswirkungen, sondern auch Konsequenzen für zukünftige Entscheidungen haben. Die klassische Entwicklung der Optimierungstheorie war Ende des 19. Jahrhunderts abgeschlossen. Ausgelöst durch den Krieg, zeichnete sich jedoch nach 1940 eine Richtungsänderung ab. Zwei unabhängige Ereignisse waren dabei von groÿer Bedeutung: die Lösung von Operationsproblemen der Kriegsführung durch Mathematiker und Wissenschaftler und die Erndung und Entwicklung des Computers. Damit konnten Tausende von Rechenoperationen pro Sekunde ausgeführt werden, wodurch die Lösung von Problemen mit einer sehr groÿen Anzahl von Variablen möglich wurde. Diese Voraussetzung veranlasste die Untersuchung iterativer Optimierungsschemata und führte zur Entwicklung der linearen und nichtlinearen Programmierung, der dynamischen Programmierung und zahlreicher anderer Suchmethoden. Der Begri der dynamischen Programmierung wurde in den Fünfziger Jahren von dem amerikanischen Mathematiker Richard Bellman geprägt. Seine Ergebnisse veröentlichte er unter anderem in seinem ersten Buch Dynamic Programming. 19 Die dynamische Optimierung wird dort eingesetzt, wo andere Lösungsmethoden inezient sind, unter anderem im Bereich des Operation Researchs. Anders als beim Linearen Programmieren und beim Integer-Programmieren gibt es keinen Universalalgorithmus, den man auf alle Probleme anwenden kann. Vielmehr wird das Optimierungsproblem in viele gleichartige Teilprobleme zerlegt. Die bestmögliche Lösung des Gesamtproblems setzt sich aus den bestmöglichen Lösungen der Teilprobleme zusammen. Dabei werden zunächst optimale Lösungen der kleinsten Teilprobleme berechnet, die dann zu einer Lösung eines nächstgröÿeren Teilproblems zusammen gesetzt werden. Dieser Schritt wird solange wiederholt, bis eine Lösung gefunden ist. Die Anzahl der Rechenoperationen wächst exponentiell mit der Anzahl der Variablen, aber nur linear mit der Anzahl der Teilprobleme. Mit Hilfe der Transformation eines 18 Nemhauser (1969), Smith (1991) und Waldmann (1996). 19 Bellman (1957).

16 6 Kapitel 1: Einleitung Optimierungsproblems mit n Variablen in n Teilprobleme, von denen jedes nur noch eine Variable enthält, kann ein erheblicher Teil an Rechenoperationen eingespart werden. Obwohl zahlreiche Richtlinien zur Lösung für eine Menge von Problemen vorhanden sind, ist eine individuelle Spezikation dennoch nötig. Jedes Problem, das mit Hilfe der dynamischen Programmierung gelöst wird, muss neu formuliert werden. Anwendung ndet die dynamische Optimierung zum Beispiel in Gebieten der Lagerhaltungs-, der Allokations- oder der Kontrolltheorie. In der vorliegenden Arbeit wird mit Hilfe der dynamischen Programmierung gezeigt, wie Lösungen für unendlich oft wiederholte Spiele gewonnen werden. Diese haben eine rekursive Darstellung. Einzelheiten dazu sind in Abschnitt 3.5 und in Abschnitt 4.4 zu nden.

17 2 Spieltheoretische Grundlagen Dieses Kapitel enthält Denitionen und Bezeichnungen aus dem Bereich der Spieltheorie, die in der vorliegenden Arbeit verwendet werden. Es handelt sich dabei um grundlegende Begrie, die man zumeist in Einführungsbüchern zu den jeweiligen Themengebieten ndet. Bezeichnungen, die hier nicht aufgeführt werden, sind grundsätzlich wie in der Literatur üblich aufzufassen. 2.1 Spiele in Normalform Durch Normalformspiele werden Koniktsituationen mit einem Minimum an formalen Konzepten beschrieben. Zugfolge, Informationsstand der Spieler über den bisherigen Spielverlauf, Zufallszüge und weitere Gesichtspunkte werden nicht explizit behandelt, sondern gehen in das Konzept der Strategie und der Auszahlungsfunktion eines Spielers ein. 1 Denition 2.1 (Spiel in Normalform 2 ). Ein Tupel (N, Σ, π) heiÿt Spiel in Normalform, wenn gilt: 1. Es ist N = {1,..., n} die endliche Menge der Spieler. 2. Es ist Σ i die endliche Menge der möglichen Strategien für Spieler i und Σ = n Σ i i=1 heiÿt Strategieraum aller Spieler. Eine Strategie von Spieler i wird mit σ i Σ i bezeichnet und eine Strategiekombination aller Spieler ist σ = (σ 1,..., σ n ) (dabei ist σ i eine der Entscheidungsmöglichkeiten, die Spieler i in einem bestimmten Spielzug treen kann). 3. Es ist π = (π 1,..., π n ) ein Vektor von Abbildungen π i : Σ R für i N. Die Funktion π i ist die Auszahlungsfunktion von Spieler i (hierbei gibt π i (σ) den Nutzen für Spieler i wieder, wenn σ gespielt wird). 1 Vgl. Berninghaus, Ehrhart und Güth (2006), Seite Vgl. Burger (1966), Seite 26.

18 8 Kapitel 2: Spieltheoretische Grundlagen In der Spieltheorie ist es von groÿer Bedeutung, welche Strategie ein Spieler in einem konkreten Spiel wählen soll. Man unterscheidet zwischen den reinen und den gemischten Strategien eines Spielers. Wie die folgende Denition zeigt, wählt der Spieler eine gemischte Strategie, wenn er einen Zufallsmechanismus benutzt, um zwischen verschiedenen reinen Strategien zu unterscheiden. Denition 2.2 (Gemischte Strategie 3 ). Es sei Σ i = {σ i1,..., σ iki }, k i N, die Menge aller reinen Strategien von Spieler i. Die Menge Σ i aller gemischten Strategien von Spieler i ist gegeben durch Σ i := {(p 1,..., p ki ) R k i k i j=1 p j = 1}, wobei p j durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion p bestimmt wird mit p : { Σi [0, 1] σ ij p j für alle j = 1,..., k i. Für die Menge Σ i der reinen Strategien von Spieler i gilt: Σ i Σ i. Bemerkung: Ein Tupel (p 1,..., p ki ) gibt an, dass Spieler i die Strategie σ ij mit Wahrscheinlichkeit p j wählt für alle j = 1,..., k i. Bemerkung: Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer reinen Strategie σ im von Spieler i gilt für ein festes m {1,..., k i } und für alle j = 1,..., k i : { 1 falls j = m, p j = 0 sonst. Eine reine Strategie ist damit ein Spezialfall einer gemischten Strategie. Diese reine Strategie wird mit Wahrscheinlichkeit 1 gespielt, während alle anderen mit Wahrscheinlichkeit 0 gewählt werden. 3 Vgl. Berninghaus, Ehrhart und Güth (2006), Seite 30.

19 Kapitel 2: Spieltheoretische Grundlagen 9 Das Ziel eines Spielers ist es, seine Strategie derart zu wählen, dass sie hinsichtlich seiner Präferenzen und der Entscheidung der Mitspieler, die für ihn höchste Auszahlung bringt. Die Grundlage für diese Entscheidungen ist das Konzept der Gleichgewichte. 4 Im Folgenden werden ausschlieÿlich Lösungskonzepte vorgestellt, die im weiteren Verlauf verwendet werden. In diesem Abschnitt wird die Denition eines Nash- Gleichgewichtes für ein Normalformspiel gegeben und in Abschnitt 2.2 werden Gleichgewichte in Extensivformspielen deniert. Denition 2.3 (Nash-Gleichgewicht 5 ). Eine Strategiekonguration σ = ( σ 1,..., σ n ) heiÿt Nash-Gleichgewicht, wenn für jede Strategie σ i eines Spielers i und die Strategien σ i = ( σ 1,..., σ i 1, σ i+1,..., σ n ) der anderen Spieler gilt: π i ( σ i, σ i ) π i ( σ i, σ i ) für alle i und alle σ i Σ i. Ist die Strategie σ i der Mitspieler gegeben und die Auszahlung π i ( ) für jeden Spieler i am höchsten, wenn er σ i wählt statt einer beliebigen Strategie σ i Σ i, dann heiÿt die Strategiekombination σ Nash-Gleichgewicht. Somit kann kein Spieler einen gröÿeren Nutzen erreichen, wenn nur er von der Strategiekonguration σ abweicht. Beispiel 2.1. Es sei ein Spiel Γ = (N, Σ, π) in Normalform gegeben. Die Spielermenge ist N = {1, 2}. Beide Spieler haben jeweils zwei reine Strategien σ i Σ i zur Auswahl mit Σ 1 = {O, U} und Σ 2 = {L, R}. Je nachdem, welche Strategien die beiden wählen, ergibt sich eine bestimmte Strategiekombination σ als ein Paar (σ 1, σ 2 ), durch das die Auszahlung π i (σ) für Spieler i bestimmt wird. Die möglichen Auszahlungen werden durch die folgende Auszahlungsmatrix festgelegt. 6 Spieler 1 Spieler 2 L R O (3, 3) (1, 4) U (4, 1) (2, 2) Abbildung 2.1: Auszahlungsmatrix im Normalformspiel 4 Vgl. Schlee (2004), Seite Vgl. Berninghaus, Ehrhart und Güth (2006), Denition 2.2.1, Seite Vgl. Holler und Illing (2003), Seiten 4-5.

20 10 Kapitel 2: Spieltheoretische Grundlagen In einem Nash-Gleichgewicht wählt jeder Spieler i die Strategie σ i, die ihm die höchste Auszahlung ermöglicht, gegeben die Strategie σ i des anderen Spielers. Deshalb ist die Strategiekombination σ = (U, R) ein Nash-Gleichgewicht. 2.2 Spiele in Extensivform In einem Extensivformspiel, das man auch als dynamisches Spiel bezeichnet, wird die Reihenfolge, in der die Spieler ihre Aktionen wählen, explizit formuliert. Es umfasst mehrere Spielperioden, in denen sich die Spieler nacheinander für ihre Spielzüge entscheiden. Dabei können die Spieler unterschiedlich darüber informiert sein, wie sich die Mitspieler in den vorherigen Perioden entschieden haben. 7 Für die anschlieÿende Denition wird der Begri der Folge benötigt, der in Anhang B in einer allgemeinen Form erläutert wird. 8 Bemerkung: In einem Extensivformspiel wird zwischen der Aktion und der Strategie eines Spielers dierenziert. Dabei ist eine Aktion eine Entscheidungsmöglichkeit, die ein Spieler in einem bestimmten Spielzug treen kann. Eine Strategie bezeichnet einen Plan für die von dem Spieler durchzuführenden Aktionen in dem gesamten Spiel. Das bedeutet, dass die Strategie eines Extensivformspieles eine vollständige Handlungsanweisung eines Spielers ist, die für jede mögliche Situation, in die der Spieler im Verlauf des Spieles gelangen kann, sein Verhalten festlegt. 9 Im Folgenden wird die Denition eines speziellen Extensivformspieles angegeben, die für den weiteren Verlauf benötigt wird. Weitere Denitionen ndet man in Einführungsbüchern der Spieltheorie. Hier wird angenommen, dass die Spieler in jeder Periode simultan ihre Aktionen wählen und danach der Spieler Natur seine Aktion wählt. Am Ende jeder Periode weiÿ ein Spieler nur die Aktion der Natur und seine eigene Aktionswahl, nicht aber die der Mitspieler. 7 Vgl. Berninghaus, Ehrhart und Güth (2006), Seite Vgl. Denition B.1. 9 Vgl. Burger (1966), Seite 10.

21 Kapitel 2: Spieltheoretische Grundlagen 11 Denition 2.4 (Spiel in Extensivform 10 ). Ein Tupel Γ = (N {c}, Q, Q t, (I t i ) n i=1, Σ, π) heiÿt Spiel in Extensivform, wenn gilt: 1. Es ist N = {1,..., n} {c} die endliche Menge der Spieler. 2. Es ist Q i die endliche Aktionsmenge von Spieler i und Q = n i=1 Q i heiÿt Aktionsraum aller Spieler. Eine Aktion q it Q i ist eine Handlung, die ein Spieler i in Periode t des Spieles vornehmen kann. Die Aktionswahlen aller Spieler in Periode t sind durch q t = (q 1t,..., q nt ) Q gegeben. 3. Der Spieler c, die Natur, ist am Zug, nachdem alle Spieler ihre Aktionen q t Q simultan gewählt haben. Die Natur wählt ihre Aktion ω t aus dem endlichen Signalraum Ω. Diese Aktionswahl wird jedem Spieler bekannt gegeben und ist abhängig von den Aktionen der Spieler. 4. Es ist Q t i = {(q iτ ) t τ=1 q iτ Q i } die Menge der Geschichten von Spieler i zum Zeitpunkt t. Es gilt q t Q t := n Q t i. Für t = 0 ist Q0 := {( )}, wobei ( ) die i=1 leere Folge darstellt. Dabei gibt t die einzelnen Perioden des Spieles an. Es ist qi t Q t i. Analog gilt dies für die Geschichte der Aktionen der Natur. 5. Für jeden Spieler i gibt es in jeder Periode t eine Partition I t i der Menge {(q t 1, ω t 1 ) Q t 1 Ω t 1 } mit I t i = {I t i1,..., I t ik i } für k i N. Für alle j = 1,..., k i heiÿt eine Menge I t ij I t i Informationsmenge von Spieler i. 6. Es ist σ i := (σ it ) t=1 mit: σ it : I t i Q i, i=1 eine reine Strategie für Spieler i, die ein Element aus seiner endlichen Strategiemenge Σ i ist. Es ist Σ = n Σ i der Strategieraum aller Spieler. Eine Strategiekombination aller Spieler wird durch σ = (σ 1,..., σ n ) Σ dargestellt. 7. Es ist π = (π 1,..., π n ) ein Vektor von Abbildungen π i : Σ R für i N. Die Funktion π i ist die Auszahlungsfunktion von Spieler i (hierbei gibt π i (σ) den Nutzen des gesamten Spieles für Spieler i wieder, wenn σ gespielt wird). Bemerkung: Für die Geschichte Q t i von jedem Spieler i zum Zeitpunkt t gilt: Q t i = I t i1 I t i2 I t ik i. 10 Vgl. Osborne und Rubinstein (1998), Seiten

22 12 Kapitel 2: Spieltheoretische Grundlagen In einer Informationsmenge Iij t Ii t mit j = 1,..., k i weiÿ Spieler i nicht, wie sich der Verlauf der Geschichte bis zu diesem Zeitpunkt des Spieles entwickelt hat, da die Information, die Spieler i in Periode t zur Verfügung steht, sich nur aus den eigenen Aktionswahlen und den Aktionen der Natur der bisherigen Perioden des Spieles zusammensetzt. Durch den Zug der Natur erhält Spieler i indirekt Informationen über die Aktionswahl der anderen Spieler, da die Aktion der Natur von der Aktionswahl der Spieler beeinusst wird. Dieses Extensivformspiel soll die Eigenschaft der perfekten Erinnerung besitzen. Das bedeutet, dass sich jeder Spieler zu jedem Zeitpunkt an alle Informationen erinnert, die ihm schon zu früheren Zeitpunkten zur Verfügung stehen. 11 Dafür sind die Geschichten q t und q s mit 1 s < t gegeben. Die Informationsmenge von Spieler i, die die Geschichte q s enthält, ist I s i. Es ist X i (q t ) die Folge von Informationsmengen für Spieler i, die während der Geschichte q t für Spieler i aufgetreten ist, und der Aktionen, die Spieler i an diesen Informationsmengen gewählt hat. Dabei wird die zeitliche Reihenfolge berücksichtigt, so dass gilt: X i (q t ) := (I 0 i, q i1, I 1 i, q i2,..., I t 1 i, q it ). Denition 2.5 (Perfekte Erinnerung 12 ). Ein Spiel in Extensivform besitzt perfekte Erinnerung, wenn für jeden Spieler i gilt, dass X i (q t ) = X i ( q t ) ist. Dabei sind q t und q t in derselben Informationsmenge von Spieler i enthalten. Beispiel 2.2. Ein Beispiel für ein Spiel in Extensivform wird mit Hilfe des folgenden Baumdiagrammes dargestellt. Dabei ist N = {1, 2} die Menge der Spieler. Die Aktionsmenge von Spieler 1 ist gegeben durch Q 1 = {O, U} und von Spieler 2 durch Q 2 = {L, R}. Spieler 2 hat zwei einelementige Informationsmengen, jeweils für q 1 = O und q 1 = U. Die Strategiemenge eines Spielers i ist identisch mit seiner Aktionsmenge Q i, da nur eine Periode gespielt wird. Die Auszahlungen der Spieler sind in der Menge {(3, 3), (1, 4), (4, 1), (2, 2)} enthalten. 11 Vgl. Osborne und Rubinstein (1998), Seite Vgl. Osborne und Rubinstein (1998), Denition 203.3, Seite 203.

23 Kapitel 2: Spieltheoretische Grundlagen 13 Abbildung 2.2: Spiel in Extensivform Bemerkung: Die Zuordnung von Normalform und Extensivform ist nicht eindeutig. Für ein Spiel in Extensivform kann man ein äquivalentes Spiel in Normalform angeben, jedoch lässt sich aus der Normalform nicht ohne zusätzliches Wissen auf die extensive Form schlieÿen. 13 Denition 2.6 (Gemischte Strategie 14 ). Eine gemischte Strategie von Spieler i ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge der reinen Strategien von Spieler i. 15 Die dynamischen Spiele sind als Folge von Spielzügen gegeben, die in einer gewissen Reihenfolge von endlich vielen Spielern durchgeführt werden. 16 Diese Spiele sind technisch anspruchsvoll. Man kann zwar mit Hilfe der extensiven Spielform beliebig komplexe dynamische Entscheidungssituationen erfassen, eine explizite Lösung wird jedoch immer schwieriger zu bestimmen, je mehr Perioden betrachtet werden. Somit wird sich in der Theorie oft auf den einfachsten Fall eines dynamischen Spieles beschränkt, das wiederholte Spiel. 17 Denition 2.7 (Wiederholtes Spiel 18 ). Ein Spiel Γ(t) heiÿt wiederholtes Spiel, wenn gilt, dass in jeder Periode t dieselben Spieler das gleiche Stufenspiel Γ = (N, Σ, π) spielen. 13 Vgl. Schlee (2004), Bemerkung, Seite Vgl. Osborne und Rubinstein (1998), Seite Vgl. Denition Vgl. Schlee (2004), Seite Vgl. Holler und Illing (2003), Seite Vgl. Holler und Illing (2003), Seite 135.

24 14 Kapitel 2: Spieltheoretische Grundlagen Bemerkung: Ein wiederholtes Spiel lässt sich in extensiver Form darstellen. Es wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen, dass die Spieler in einer bestimmten Reihenfolge ihre Aktionen wählen. Jeder Spieler i besitzt in jeder Periode Informationsmengen, da er die Aktionswahlen der Mitspieler nicht beobachten kann. In einem wiederholten Spiel können die Aktionen, die die Spieler in einer Periode t wählen, indirekt (über den Einuss auf künftige Handlungen der Mitspieler) auf die Auszahlungen der zukünftigen Perioden einwirken. Wird das Stufenspiel Γ unendlich oft wiederholt, spricht man von einem Superspiel. 19 In einem Extensivformspiel liegen den Spielern bestimmte Informationen vor, zum Beispiel über die Aktionswahlen oder über die Auszahlungsfunktionen der Mitspieler. Wenn Spieler i nicht weiÿ, welche Aktionen die Mitspieler in den vorherigen Perioden gewählt haben, bendet er sich in einer mehrelementigen Informationsmenge I t ij des Spieles und besitzt somit imperfekte Informationen über den bisherigen Spielverlauf. Denition 2.8 (Perfekte/Imperfekte Information 20 ). Ein Spiel in Extensivform heiÿt Spiel mit perfekter Information, wenn für alle i N und für alle I t ij mit j = 1,..., k i gilt: I t i I t ij = 1. Sonst existiert in dem Spiel imperfekte Information. Beispiel 2.3. Das Extensivformspiel aus Beispiel 2.2 ist ein Spiel mit perfekter Information. Im folgenden Diagramm wird das Normalformspiel aus Beispiel 2.1 zweimal hintereinander gespielt, wobei am Ende der ersten Periode die Aktion des Mitspielers nicht beobachtet werden kann. Da die Spieler in jeder Periode simultan ihre Aktionen wählen, besitzen sie imperfekte Informationen über den bisherigen Spielverlauf. Spieler 2 weiÿ in der ersten Periode nicht, ob Spieler 1 Aktion O oder Aktion U gewählt hat. Dadurch hat er eine Informationsmenge mit zwei Elementen, die durch die gestrichelte Linie gekennzeichnet ist. Spieler 1 weiÿ zu Beginn der zweiten Periode, dass er in der ersten Periode Aktion O oder Aktion U gewählt hat, aber ihm ist die 19 Vgl. Holler und Illing (2003), Seiten 22 und Vgl. Rauhut, Schmitz und Zachow (1979), Seite 20.

25 Kapitel 2: Spieltheoretische Grundlagen 15 Aktionswahl von Spieler 2 der ersten Periode nicht bekannt. Deshalb besitzt er zwei Informationsmengen mit je zwei Elementen. Für Spieler 2 gilt dies in der zweiten Periode analog. Das Spiel besitzt die Eigenschaft der perfekten Erinnerung. Abbildung 2.3: Spiel in Extensivform mit imperfekter Information In einem Extensivformspiel betrachtet man unterschiedliche Konzepte von Gleichgewichten. Bemerkung: Durch die Denition einer Strategie in einem Extensivformspiel kann zu diesem Spiel eine äquivalente Normalform angegeben werden. 21 Deshalb wird auch die Denition eines Nash-Gleichgewichtes auf Extensivformspiele übertragen. 22 Denition 2.9 (Nash-Gleichgewicht 23 ). Eine Strategiekonguration σ = ( σ 1,..., σ n ) heiÿt Nash-Gleichgewicht, wenn für jede Strategie σ i eines Spielers i und die Strategien σ i = ( σ 1,..., σ i 1, σ i+1,..., σ n ) der anderen Spieler gilt: π i ( σ i, σ i ) π i ( σ i, σ i ) für alle i und alle σ i Σ i. 21 Vgl. Denition 2.4, Annahme Vgl. Schlee (2004), Bemerkung, Seite Vgl. Berninghaus, Ehrhart und Güth (2006), Denition 2.2.1, Seite 25.

26 16 Kapitel 2: Spieltheoretische Grundlagen Bemerkung: Ein Nash-Gleichgewicht eines Spieles in Normalform unterscheidet sich von einem Nash-Gleichgewicht eines Spieles in Extensivform dadurch, dass die Auszahlung in einem Normalformspiel von den gewählten Aktionen der Spieler abhängt und in einem Extensivformspiel von einer Aktionsfolge, den Strategien der Spieler. Dabei ist auch hier die Strategie σ i von Spieler i diejenige, die ihm die höchste Auszahlung ermöglicht, gegeben die Strategien σ i der Mitspieler. In der Menge der Nash-Gleichgewichte gibt es Gleichgewichte, die unglaubwürdige Drohungen enthalten. 24 Um diese auszuschlieÿen, führt man die Menge der teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte ein. Diese Menge ist eine Teilmenge der Nash-Gleichgewichtsmenge. Bei teilspielperfekten Nash-Gleichgewichten werden auch Situationen auÿerhalb der Gleichgewichtsstrategie betrachtet. Die Strategien sollen zusätzlich in allen Entscheidungssituationen optimal sein, in die die Spieler nicht gelangen, wenn die Gleichgewichtsstrategien gespielt werden. Damit soll überprüft werden, wie die Mitspieler sich verhalten, wenn ein Spieler von seiner Nash-Strategie abweicht. Ist die ursprünglich angenommene Strategie trotzdem noch optimal, spricht man von einem teilspielperfekten Nash-Gleichgewicht. 25 Für die Denition sei ein Extensivformspiel Γ und eine Geschichte q t Q t gegeben. Für ein j {1,..., k i } und i N sei Iij t Ii t eine Informationsmenge von Spieler i. Denition 2.10 (Teilspiel). Man erhält ein Teilspiel Γ q t, das nach einer Geschichte q t an einer Informationsmenge I t ij I t i beginnt, wenn gilt: i) I t ij = 1 für ein j {1,..., k i } und i N. Zusätzlich muss für alle Informationsmengen I T ij I T i des Spieles Γ für alle T N { }, t < T, für alle j {1,..., k i } und i N folgende Restriktion erfüllt sein: ii) I T ij Γ q t oder I T ij / Γ q t. 24 Vgl. Schlee (2004), Beispiel 28, Seite Vgl. Holler und Illing (2003), Seite 111.

27 Kapitel 2: Spieltheoretische Grundlagen 17 Alle möglichen Spielverläufe des Teilspieles Γ q t bestehen aus den Spielverläufen von Γ, die durch die Geschichte q t verlaufen. Durch Teilspielbildung wird keine Informationsmenge zerschnitten. 26 Beispiel 2.4. Das Spiel in Extensivform aus Beispiel 2.2 besitzt zwei Teilspiele, die nach Aktionswahl O beziehungsweise Aktionswahl U von Spieler 1 beginnen. Im Beispiel 2.3 kann das Extensivformspiel nicht in Teilspiele zerlegt werden, da sonst immer eine Informationsmenge zerschnitten würde. Unter einer Strategie σ i q t für Spieler i in einem Teilspiel Γ q t versteht man die Einschränkung einer Strategie σ i des Gesamtspieles Γ auf die Perioden τ t. Somit gilt: σ i q t := (σ iτ ) τ=t, unter der Voraussetzung, dass die Geschichte q t stattgefunden hat. Denition 2.11 (Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht 27 ). Eine Strategiekombination σ = ( σ 1,..., σ n ) heiÿt teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht, falls σ q t in jedem Teilspiel Γ q t ein Nash-Gleichgewicht ist. Bemerkung: Die Forderung der Teilspielperfektheit legt somit auch Restriktionen an das Verhalten eines Spielers i, wenn dieser in einer Periode t eine Aktion q it Q i wählt, die nicht zu der Strategiekombination eines Nash-Gleichgewichtes gehört. Die Menge der teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte reicht aber auch nicht aus, um alle unplausiblen Gleichgewichte auszuschlieÿen. Wenn die Spieler zum Beispiel die vorherigen Aktionen der anderen Spieler nicht beobachten können, besitzen sie keine Information über die bisherige Geschichte, das heiÿt, sie wissen nicht, wo sie sich innerhalb einer Informationsmenge benden. 28 Ein Spieler sollte aber zu jedem Zeitpunkt die weitere Entwicklung des Spieles bewerten können. Da jedoch weder ein Spiel noch ein Teilspiel an einer Informationsmenge Iij t Ii t mit Iij t > 1 anfängt, reicht dafür das 26 Vgl. Berninghaus, Ehrhart und Güth (2006), Denition 3.2.2, Seite Puppe (2005). 28 Vgl. Holler und Illing (2003), Seite 113.

28 18 Kapitel 2: Spieltheoretische Grundlagen Konzept der teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte nicht aus. 29 Dazu benötigt man die Menge der sequentiellen Gleichgewichte, die Kreps und Wilson einführen. 30 Die hier gegebene Denition eines sequentiellen Gleichgewichtes gilt für Spiele mit endlichem Zeithorizont. Zu einem sequentiellen Gleichgewicht gehören nur Gleichgewichtsstrategien, die sequentiell perfekt sind. 31 Das heiÿt, dass sich die Spieler an allen Informationsmengen optimal verhalten, also auch an den Informationsmengen, die nicht zu einer Gleichgewichtsstrategie gehören. Damit ist die Menge der sequentiellen Gleichgewichte eine Teilmenge der teilspielperfekten Gleichgewichtsmenge. An jeder Informationsmenge Iij t Ii t bestimmt eine gemischte Strategie σi aus der endlichen Strategiemenge Σ i von Spieler i ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ auf seiner endlichen Aktionsmenge Q i. Die Geschichte der Periode t sei q t = (q 11,..., q 1t,..., q n1,..., q nt ). Jede Strategie σ induziert ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ P σ auf der endlichen Menge Q t der Geschichten. Diese Wahrscheinlichkeiten lassen sich für eine endliche Geschichte q t Q t berechnen durch: P σ (q t ) := n i=1 t l=1 σ i l (q il I l ij), wobei i l der Spieler ist, der an der Informationsmenge I l ij die Aktion q il wählt. Dabei gibt σ i l (q il I l ij) die Wahrscheinlichkeit an, mit der diese Aktion q il gewählt wird unter der Bedingung, dass die Informationsmenge I l ij erreicht wird. 32 Denition 2.12 (Belief 33 ). Ein System von Beliefs ist durch die Funktion µ : Ii t [0, 1] deniert. Dabei gilt µ(q t ) = 1 für ein festes Iij t Ii t. q t I t ij Dabei gibt µ(q t ) die Wahrscheinlichkeit an, dass die Geschichte q t stattgefunden hat und Spieler i nun seine Aktion wählt unter der Bedingung, dass die Informationsmenge I t ij erreicht wird. 29 Vgl. Berninghaus, Ehrhart und Güth (2006), Seiten Kreps und Wilson (1982). 31 Vgl. Holler und Illing (2003), Seite Vgl. Kreps und Wilson (1982), Seiten Vgl. Kreps und Wilson (1982), Seite 871.

29 Kapitel 2: Spieltheoretische Grundlagen 19 Es sei = {µ µ : I t i [0, 1]}. Dann ist E = Σ die Menge aller Paare (µ, σ ). Der endliche Raum E bildet zusammen mit der euklidischen Metrik d einen metrischen Raum (E, d). Ist ein Paar (µ, σ ) E gegeben, kann für jede Informationsmenge I t ij I t i eine Übergangswahrscheinlichkeit P µ,σ ( I t ij) auf der endlichen Menge Q t wie folgt deniert werden: 34 Es ist P µ,σ (q t I L ij) = 0, falls es keine Teilgeschichte q L von q t gibt, so dass I L ij erreicht ist, und es ist P µ,σ (q t I L ij) = µ(q L I L ij) n i=1 t 1 l=l σ i l+1 (q i,l+1 I l+1 ij ), falls die Teilgeschichte q L von q t in der Informationsmenge I L ij liegt für L < t. 35 Zugehörige Auszahlungen werden mit E µ,σ [π(q t ) Iij] t bezeichnet. Es sei Σ 0 die Menge aller strikt positiven Strategien. Das bedeutet, dass σ Σ 0 ist, wenn σ (q) > 0 ist für alle q Q. Falls σ Σ 0, dann ist P σ (q t ) > 0 für alle q t Q t. Es sei Ψ 0 E die Teilmenge der Menge der Paare (µ, σ ), für die σ Σ 0 ist und die Beliefs mit der Bayes'schen Regel bestimmt werden: 36 µ(q t ) = P σ (q t ) P σ (I t ij ). Ein sequentielles Gleichgewicht ist ein Paar (µ, σ ), das folgende Forderungen erfüllt Forderung: Ein Paar (µ, σ ) E heiÿt sequentiell rational, falls für jede Informationsmenge I t ij I t i eines Spielers i mit j = 1,..., k i gilt: E µ,σ [π it (q t ) I t ij] E µ, σ [π it (q t ) I t ij] 34 Vgl. Kreps und Wilson (1982), Seite Vgl. Henze (1995), Seiten Vgl. Kreps und Wilson (1982), Seite Vgl. Kreps und Wilson (1982), Seite 872.

30 20 Kapitel 2: Spieltheoretische Grundlagen für alle σ, so dass σ j = σ j ist für j i t, wobei i t der Spieler ist, der an der Informationsmenge I t ij eine Aktion wählt. Das bedeutet, dass jeder Spieler i seinen erwarteten Nutzen an jeder Informationsmenge I t ij unter der Bedingung seines Beliefs µ maximiert. 2. Forderung: Ein Paar (µ, σ ) heiÿt konsistent, falls (µ, σ ) = lim m (µ m, σ m) für eine Folge {(µ m, σ m)} Ψ 0 ist. Die Menge Ψ E der konsistenten Paare ist der Abschluss der Menge Ψ 0. Denition 2.13 (Sequentielles Gleichgewicht 38 ). Ein sequentielles Gleichgewicht ist ein Paar (µ, σ ), das sequentiell rational und konsistent ist. 39 Bemerkung: Die hier gegebene Denition der Konsistenz ist nicht ganz eindeutig. Kreps und Wilson verwenden dennoch diese Denition, da sie eine Reihe von verschiedenen Konsistenzbegrien beinhaltet mit folgender Intuition: Sobald ein Spieler von seiner Gleichgewichtsstrategie abweicht, muss der weitere Spielverlauf von diesem Zeitpunkt an dennoch ein sequentielles Gleichgewicht darstellen. Ausgehend von den Wahrscheinlichkeitseinschätzungen µ, spielen die Spieler wieder zu jedem Zeitpunkt optimale Strategien. Sie revidieren dabei ihre Wahrscheinlichkeiten entsprechend der Bayes'schen Regel Vgl. Kreps und Wilson (1982), Denition, Seite Die hier gegebene Denition des sequentiellen Gleichgewichtes gilt für den Fall, dass die Menge der Geschichten q t der Aktionen, die zu einer Informationsmenge Iij t gehören, endlich ist. Für unendliche Mengen ist der Konvergenzbegri, der in der zweiten Forderung benötigt wird, nicht eindeutig bestimmt. 40 Vgl. Holler und Illing (2003), Seite 113.

31 3 Diskontierte, wiederholte Spiele mit imperfekter Information 3.1 Einführung In diesem Kapitel wird die Arbeit Towards a Theory of Discounted Repeated Games with Imperfect Monitoring von Abreu, Pearce und Stacchetti vorgestellt. 1 Abreu ist Professor an der Princeton University, USA. Er konzentriert sich auf die Spieltheorie und die Wirtschaftstheorie. Stacchetti widmet sich als Professor an der New York University, USA, der Volkswirtschaftslehre. Auch Pearce befasste sich mit volkswirtschaftlichen Themen. Er war zuletzt tätig am University College London, Groÿbritannien. Pearce verstarb im Jahre Abreu, Pearce und Stacchetti veröentlichen 1986 ihre erste gemeinsame Arbeit Optimal Cartel Equilibria with Imperfect Monitoring. 2 Sie beziehen sich dort auf ein Oligopol-Modell, das Green und Porter entwickelt haben. 3 In deren Modell können die Firmen lediglich die Preise ihrer Konkurrenten beobachten, nicht aber deren Outputmengen der Vorperioden. Somit ist die Aktionswahl einer Firma eine Funktion, die nur von der Geschichte der Preise und der eigenen Outputmengen abhängt. 4 Dementsprechend bedingen sowohl die aggregierte Produktionsmenge als auch die (nicht beobachtbaren) Zufallsschwankungen der Nachfrage den Marktpreis. 5 Abreu, Pearce und Stacchetti präsentieren in ihrer ersten Arbeit mögliche Strategien für Firmen, die zu einem optimalen symmetrischen sequentiellen Gleichgewicht in einem diskontierten Superspiel führen. 6 Diesen Ansatz haben sie später weiterentwickelt und 1990 in ihrer Publikation Towards a Theory of Discounted Repeated Games with Imperfect Monitoring veröentlicht. 7 1 Abreu, Pearce und Stacchetti (1990). 2 Abreu, Pearce und Stacchetti (1986). 3 Green und Porter (1984). 4 Vgl. Green und Porter (1984), Seite Vgl. Holler und Illing (2003), Seite Vgl. Abreu, Pearce und Stacchetti (1986), Seite Abreu, Pearce und Stacchetti (1990).

32 22 Kapitel 3: Diskontierte, wiederholte Spiele mit imperfekter Information Sie haben dort die gleiche analytische Methode wie in ihrer früheren Arbeit benutzt, um eine Theorie für eine breite Klasse von asymmetrischen, diskontierten und wiederholten Spielen mit imperfekter Information aufzustellen. Ihre Ergebnisse charakterisieren sequentielle Gleichgewichte, vereinfachen ihre Berechnung und stellen eine enge Verbindung zwischen der Wertemenge der Gleichgewichte und dem Diskontfaktor her. 8 Zugrunde gelegt wurde dabei das Verfahren der dynamischen Programmierung. Im folgenden Teil dieses Kapitels wird zunächst das Modell vorgestellt, das von Abreu, Pearce und Stacchetti entwickelt wurde. Dort werden die benötigten Variablen eingeführt und einige mathematische und spieltheoretische Beziehungen dargestellt. Bevor der im dritten Abschnitt eingeführte Begri der Selbsterzeugung deniert wird, wird zunächst der Begri der Zulässigkeit benötigt. 9 Danach folgen weitere Denitionen und Aussagen zur Selbsterzeugung und der Beweis des zugehörigen Satzes. Am Ende des Abschnittes wird der Begri der Faktorisierung dargelegt und bewiesen. 10 Der vierte Abschnitt beschäftigt sich mit dem Begri der Bang-Bang Auszahlungsfunktionen. Der rekursive Algorithmus wird in Abschnitt 3.5 vorgestellt. 11 Dafür wichtige Lemmata werden vorangestellt. Ein direkter Zusammenhang zwischen der Höhe des Diskontfaktors δ und der Auszahlung in Gleichgewichten wird im sechsten Abschnitt hergeleitet. Abreu, Pearce und Stacchetti beweisen diese Beziehung mit Satz 3.6. Satz 3.3 impliziert, dass mindestens eine Auszahlungsfunktion die Bang-Bang -Eigenschaft erfüllt. Im siebten Teil des Kapitels wird gezeigt, dass unter bestimmten Voraussetzungen alle optimalen Lösungen die Bang-Bang-Eigenschaft besitzen. 3.2 Das Modell von Abreu, Pearce und Stacchetti Das Modell von Abreu, Pearce und Stacchetti beinhaltet Aktionen, die von den Mitspielern nicht beobachtet werden können. 12 Deshalb liegt ein Spiel mit imperfekter Information vor. 13 Es beinhaltet stochastische Resultate und öentlich beobachtbare Zufallsvariablen. 8 Vgl. Abreu, Pearce und Stacchetti (1990), Seite Vgl. Denition 3.7, Satz 3.1 und Denition Vgl. Satz Vgl. Satz Vgl. Abreu, Pearce und Stacchetti (1990), Seite Vgl. Denition 2.8.

33 Kapitel 3: Diskontierte, wiederholte Spiele mit imperfekter Information 23 Denition 3.1 (Stufenspiel 14 ). Das Stufenspiel G = (N {c}, (Q, Ω), π) ist folgendermaÿen deniert: a) Es sei N {c} = {1,..., n} {c} die endliche Menge der Spieler und der Natur. b) Es sei Q i die endliche Aktionsmenge von Spieler i mit q i Q i. Es sei Q = n Q i. Die Aktionswahl q i von Spieler i ist von den Mitspielern nicht beobachtbar. c) Es sei Π i : Q R die Auszahlungsfunktion von Spieler i. Die erhaltene Auszahlung π i (ω, q i ) von Spieler i ist stochastisch und hängt von der Realisierung einer Zufallsvariablen X ab, die Werte in Ω R d annimmt. Der Wert dieses Signals wird dabei von der Natur bestimmt und mit ω Ω bezeichnet. d) Die Verteilung von X wird mit Ψ( ; q) bezeichnet. i=1 e) Die Auszahlung Π i eines Spielers i ist deniert durch: Π i (q) = Ω π i (ω, q i )Ψ(dω; q). f) Die Spieler wählen simultan ihre Aktionen q Q und danach wählt die Natur ihre Aktion ω Ω, die von allen Spielern beobachtbar ist und öentliches Signal genannt wird. Das Stufenspiel G liegt in Normalform vor. 15 Bemerkung: Realisierte Auszahlungen π i von Spieler i hängen von den Aktionswahlen q i := (q 1,..., q i 1, q i+1,..., q n ) der Mitspieler ab, wenn q i die Verteilung von X beeinusst. Wenn in jeder Periode t das Stufenspiel G wiederholt wird, und der Zeithorizont t unendlich ist, erhält man das Spiel G (δ), das wie folgt deniert ist: Vgl. Abreu, Pearce und Stacchetti (1990), Seite Vgl. Denition 2.1. Als zusätzlicher Spieler c wird hier die Natur eingeführt (Annahme a)), die zum Zuge kommt, nachdem alle Spieler simultan ihre Aktionen q gewählt haben (Annahme f)). Der Strategieraum Σ in Annahme 2. der Denition des Normalformspieles wird in dem Modell von Abreu, Pearce und Stacchetti als Aktionsraum Q bezeichnet (Annahme b)). Die Auszahlungen hängen in diesem Modell zusätzlich von der Realisierung einer Zufallsvariablen X ab, so dass die Annahmen d) - f), die nicht in Denition 2.1 existieren, eingeführt werden müssen. 16 Vgl. Denition 2.7.

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