Datenstrukturen und Algorithmen. Grundlagen, Basisalgorithmen und Lösungsstrategien für sequentielle und parallele Algorithmen.

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1 3. Jahrgag, Heft 3, Oktober 03, ISSN FIAL Datestrukture ud Algorthme Grudlage, Bassalgorthme ud Lösugsstratege für sequetelle ud parallele Algorthme Ulrch Hoffma Techcal Reports ad Workg Papers Leuphaa Uverstät Lüeburg Hrsg. der Schrftrehe FINAL: Ulrch Hoffma Scharhorststraße, D-335 Lüeburg

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3 Datestrukture ud Algorthme Grudlage, Bassalgorthme ud Lösugsstratege für sequetelle ud parallele Algorthme Prof. Dr. rer. at. Ulrch Hoffma Oktober 03 Der Text det als begletede Uterlage für de Verastaltuge Datestrukture ud Algorthme ud weterführeder Verastaltuge aus dem Berech Algorthme ud Programmerug a der Leuphaa Uverstät Lüeburg. De Durcharbetug des Skrpts ersetzt cht de Besuch der Verastaltug, da dort zusätzlch Zusammehäge, ergäzede Sachverhalte ud m Skrpt och cht ausgeführte Ihalte behadelt werde. Deses Skrpt st ee überarbetete Auflage der Veröffetlchug: Ulrch Hoffma: Datestrukture ud Algorthme, FINAL 5:, Dez. 005, ISSN Es wurde Fehler besetgt, ege zusätzlche Erläuteruge egefügt ud wege Kürzuge m Text vorgeomme. Das Kaptel Spezelle Lösugsasätze wurde überarbetet ud erwetert.

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5 Ihaltsverzechs EINLEITUNG... 7 DATENOBJEKTE Grudlegede Datetype ees Rechers..... Datetyp Zahl Datetyp Zechekette Datetyp Bärwert Datetyp Adresse Datetyp Istrukto Wchtge Datetype eer höhere Programmersprache Gruddatetype Abgeletete Datetype Zegerdatetype Typkompatbltät Aspekte der Obektoreterug ud Klassedatetype Awedugsoreterte Datetype ASPEKTE DER PROGRAMMIERUNG Programmstrukture auf Awederebee Der Gültgketsberech vo Bezecher Bemerkuge zur Lebesdauer vo Dateobekte Modularserugskozepte Das Laufzetlayout ees Programms Das Prozedurkozept Parameterübergabe Implemeterugsprzp vo Prozedure Mehrfachverwedbarket vo Prozedurcode Methode der Obektoreterte Programmerug Statsche Methode Vrtuelle ud dyamsche Methode Abstrakte Methode ALGORITHMEN Problemklasse E tutver Algorthmusbegrff Komplextät ees Algorthmus Größeordug vo Fuktoe Zusammefassug der Laufzete arthmetscher Operatoe Bemerkuge zu Bärbäume ANWENDUNGSORIENTIERTE BASISDATENSTRUKTUREN Leare Datestrukture Grudlegede Lstestrukture ARRAY-baserte Lstestrukture Mege ud Telmegesysteme eer Grudmege... 89

6 5. Nchtleare Datestrukture Prortätsschlage Durchlaufe vo Bärbäume Graphe... 6 ANWENDUNGSORIENTIERTE BASISALGORITHMEN Sorterverfahre Bubblesort ud Isertosort Qucksort ud Qucksort-Varate Heapsort ud Bottom-up-Heapsort Sorterverfahre m Verglech Suchverfahre Iteres Suche mttels Bärsuche Exteres Suche mttels höhebalacerter Bäume ALLGEMEINE LÖSUNGSSTRATEGIEN Dvde ad Coquer Greedy-Methode Wege mmale Gewchts gerchtete Graphe Aufspaede Bäume Dyamsche Programmerug Problem des Hadlugsresede. Lösugsasatz Alle Wege mmale Gewchts gerchtete Graphe /-Rucksackproblem Brach ad Boud Problem des Hadlugsresede. Lösugsasatz SPEZIELLE LÖSUNGSANSÄTZE Parallele Algorthme Paralleles Sortere Parallele Matrxoperatoe Parallele Algorthme für ausgewählte Optmerugsprobleme Stochastsche Verfahre Prmzahlsuche Stochastsche Approxmato des Bpackg-Problems

7 Lteraturauswahl [AHU] Aho, A.V.; Hopcroft, J.E.; Ullma, J.D.: The Desg ad Aalyss of Computer Algorthms, Addso-Wesley, 974. [A/.] Ausello, G.; Crescez, P.; Gambos, G.; Ka, V.; Marchett-Spaccamela, A.; Protas, M.: Complexty ad Approxmato, Sprger, 999. [CHA] Chaudhur, P.: Parallel Algorthms, Pretce Hall, 99. [C/.] Corme, Th.H.; Leserso, Ch.E.; Rvest, R.; Ste, C.: Algorthme Ee Eführug, 3. Aufl., Oldebourg, 00. [D/G] Doberez, W.; Gewus, T.: Borlad Delph 7, Grudlage ud Profwsse, Carl Haser, 007. [G/D] Gütg, R.H.; Deker, S.: Datestrukture ud Algorthme, 3. Aufl., Veweg+Teuber, 004. [HER] Herrma, P.: Recherarchtektur, 4. Aufl., Veweg, 00. [HO] Hoffma, U.: Eführug de systemahe Programmerug, de Gruyter, 990. [HO] Hoffma, U.: Mathematk für Wrtschaftsformatk, FINAL 3:, 03 (http://www.leuphaa.de/sttute/w/fal.html). Hoffma, U.: Übuge zur Mathematk für Wrtschaftsformatk, FINAL 3:, 03 (http://www.leuphaa.de/sttute/w/fal.html). [HO3] Hoffma, U.: Grudlage ud Modelle der Programmerug, Lehmas Meda, 03. [HRO] Hromkov, J.: Radomserte Algorthme, Veweg+Teuber, 004. [IOP] Iteratoal Orgasato for Stadardzato: Specfcato for Computer Programmg Laguage Pascal, ISO 785, 985. [KN] Kuth, D.E.: The Art of Computer Programmg Vol. : Fudametal Algorthms, 3. Aufl., Addso-Wesley, 997. [KN] Kuth, D.E.: The Art of Computer Programmg Vol. 3: Searchg ad Sortg,. Aufl., Addso- Wesley, 998. [KN3] Kuth, D.E.: Arthmetk, Sprger, 00. [OTT] Ottma, T. (Hrsg.): Przpe des Algorthmeetwurfs, Spektrum, 998. [O/W] Ottma, T.; Wdmayer, P.: Algorthme ud Datestrukture, 5. Aufl., Spektrum, 0. [PAS] Obect-Pascal-Sprachdefto der Hlfefukto der Borlad Delph Etwcklugsumgebug [P/D] Pomberger, G.; Dobler, H.: Algorthme ud Datestrukture, Pearso Studum, 008. [P/Z] Pratt, T.; Zelkowtz, M.: Programmersprache, Pretce Hall, 998. [SCH] Schög, U.: Algorthmk, Spektrum, 00, Nachdruck 0. [W/C] Wlso, L.B; Clark, R.G.: Comparatve Programmg Laguages, Addso-Wesley, 988.

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9 Eletug 7 Eletug Das vorlegede Skrpt behadelt Datestrukture ud Algorthme als Grudlage praktscher Aweduge. Vo de heute üblcherwese verwedete Programmersprache mt hre Etwcklugsumgebuge werde vele deser Datestrukture Form vo Obektklasse zur Verfügug gestellt. Allerdgs blebt de Implemeterug dem Aweder wetgehed verborge. Ee etsprechede Aussage glt für ee Rehe vo Bassalgorthme, de de Aweduge Form vo Methode zugäglch gemacht werde. Häufg st es edoch agebracht, über Detalketsse zu verfüge, sbesodere da, we aus mehrere möglche Methode de für de ewelge Awedug geegete Methode auszuwähle st. Herbe sd sowohl Effzezgeschtspukte als auch Implemeterugsaspekte zu berückschtge. Das Skrpt det als Lehr- ud Leruterlage für de Verastaltug aus dem Berech Datestrukture ud Algorthme. Aus dem brete Spektrum möglcher Theme wrd dazu ee (subektve) Auswahl getroffe. Ihr Fokus legt dabe auf der Vermttlug vo Ketsse, de letztlch dazu führe solle, Awedugsprobleme bessere Programme umzusetze, de grudlegede Datestrukture ud Bassalgorthme verwede. Dazu st es erforderlch, dese Datestrukture ud Bassalgorthme m Detal zu verstehe. Weterh werde allgemegültge Lösugsmethode exemplarsch vorgestellt. De getroffee Auswahl behaltet de Darstellug systemaher Aspekte der Programmerug (rechertere Darstellug vo Date, Darstellug vo Date höhere Programmersprache ud hre Abbldug auf rechertere Obekte, Implemeterugskozepte höhere Programmersprache) de Kaptel ud 3 de Beretstellug vo Hlfsmttel für de Aalyse vo Algorthme, sbesodere der Komplextät hrer Ausführug, ohe de Tefe der Theoretsche Iformatk ezustege Kaptel 4 de Darstellug vo Bassdatestrukture ud algorthme de Kaptel 5 ud 6 de Behadlug allgemeer Lösugsstratege a ausgewählte Bespele Kaptel 7 de Behadlug spezeller Lösugsasätze, sbesodere der Paralleltät, Kaptel 8.

10 8 Dateobekte Dateobekte Grudlage eder höhere Programmersprache st das dar ethaltee Datekozept. Programmersprache we Pascal, C++ oder Java verfüge über e ausgeprägtes Typkozept, das de Verwedug selbstdeferter Datetype erlaubt, aderersets aber de Regel der Typserug ezuhalte erzwgt. Ee Umgehug des Typkozepts, we es COBOL oder C oder besoders Assemblersprache durch Überlagerug vo Datedeftoe üblch st, erhöht cht de Flexbltät, wohl aber de Fehlerafällgket der Programmerug. De Zuverlässgket ees Programms wrd m Allgemee dadurch erhöht, dass der Compler de Kompatbltät verwedeter Date, de Ehaltug vo Feldgreze oder Wertebereche scho zur Übersetzugszet des Programms prüft. Aderersets gbt es Stuatoe der systemahe Programmerug, dee de Ehaltug ees strgete Typkozepts problematsch erschet. Her habe sch bespelswese de sematsche Spracherweteruge des Poterkozepts, de e Dalekt we Obect Pascal [PAS, D/K] gegeüber dem [IOP] deferte Pascal-Stadard ethält, als sehr ützlch erwese. I de folgede Uterkaptel werde Dateobekte auf zwe Abstraktosebee betrachtet: eer möglche rechertere Darstellug, bespelswese seer Darstellug m Arbetsspecher oder der Perphere ees Rechers. Dese Darstellugsform st mascheabhägg. De Kets der Umsetzug vo Awederdeftoe mascheahe Darstellug st spätestes be der Fehlersuche hlfrech bzw. zwged erforderlch, ämlch da, we e Specherauszug ees Programms zu terpretere st Form der Deklaratoe eer höhere Programmersprache. Dese Abstraktosebee st awedugsbezoge ud (bs auf wege Detals) mascheuabhägg, auch we es e ach Programmersprache och mplzte Bezehuge zu eer Modellvorstellug ees möglche verwedete Rechers gbt. E Dateobekt exstert erst, we es ee Adresse m vrtuelle Adressraum hat oder we hm Specherplatz auf der Perphere zugewese wurde. Se Datetyp beschrebt, auf welche Wese es m Recher abgelegt wrd ud welche Operatoe mt hm erlaubt sd. De Abstraktosebee der tere Darstellug gbt daher e Dateobekt vollstädg weder. De höhere Abstraktosebee, de Dateobekte der Assembler-Sprache des egesetzte Rechers oder eer höhere Programmersprache deklarere, beschrebe ledglch Dateobekte ud de Art, we se später zur Laufzet s Lebe gerufe ud wertmäßg mapulert werde. Durch ee Deklarato ees Dateobekts eem Programm, das eer höhere Programmersprache geschrebe st, wrd och ke Dateobekt erzeugt, auch we der geläufge Sprachgebrauch eer Deklarato dese Vorstellug suggerert. Im Folgede ka dese Vorstellug der Erzeugug ees Dateobekts durch ee Deklarato eer Programmersprache trotzdem zugrude gelegt werde. E Aweder möchte de tere Detals seer deklarerte Dateobekte a cht sehe; daher hat er see Problemlösug

11 Dateobekte 9 eer höhere Programmersprache formulert. Aus seer Scht wrd durch ee Deklarato e Dateobekt erzeugt. E Dateobekt zechet sch durch verschedee Charakterstka aus (Abbldug -). Abbldug -: Charakterstsche Egeschafte ees Dateobekts

12 0 Dateobekte De mmale Mege deser Egeschafte (stark umradete Felder Abbldug -) behaltet: de Datetyp des Dateobekts, d.h. de Mege der Attrbute, sbesodere de Darstellugsform, de möglche Werteberech ud de mt dem Obekt erlaubte Operatoe. I der obektoreterte Programmerug lasse sch durch de Datetyp ebe de Grudoperatoe wetere Operatoe Form vo Methode ud wetere typabhägge Attrbute we Vererbugsherarche defere de gegewärtge Wert des Dateobekts, der m Lauf der Zet durch das Programm verädert werde ka. Vor der erste Wertzuwesug a das Dateobekt st der Wert m Allgemee udefert de Adresse des Dateobekts, d.h. de Stelle, a der es sch m System befdet; dese Adresse st edeutg bestmmt, auch we se dem Aweder cht mmer drekt zugäglch st. Auf der Abstraktosebee eer höhere Programmersprache komme zusätzlche Egeschafte ees Dateobekts hzu we der Bezecher (Name) des Dateobekts, der agbt, we das Dateobekt m Programm agesproche wrd. Der Gültgketsberech des Bezechers regelt de Verwedbarket deses Bezechers de Lebesdauer des Dateobekts, de de Zetspae umfasst, der das Dateobekt m System exstert; dabe ka es möglch se, dass e Dateobekt zetwese cht schtbar st, d.h. dass es cht agesproche bzw. adressert werde ka. Wetere Charakterstka, de cht alle Programmersprache vorsehe, sd bespelswese der Bdugszetpukt des Bezechers a das Dateobekts: ege Programmersprache wrd e Dateobekt a ee Bezecher erst da gebude, d.h. egerchtet, we ee Awesug zum erste Mal durchlaufe wrd, de de Bezecher ethält. Je ach Stuato wrd etzt erst der Datetyp festgelegt ud damt mplzt de mt dem Dateobekt aschleßed erlaubte Operatoe. E derartges Verhalte st atürlch ur cht streg typserte Programmersprache möglch, dee Typfestleguge erst zur Laufzet erfolge, oder falls der betroffee Sprachdalekt ee Aufwechug ees a sch strgete Typkozepts zulässt de Specherklasse, de bestmmt, welchem Tel des Rechers das Dateobekt agelegt werde soll der Egetümer, d.h. derege Systemtel, der de Rechte bezüglch des Zugrffs auf das Dateobekt kotrollert.

13 Dateobekte Ee der wchtgste Egeschafte ees Dateobekts st se Datetyp, da deser letztlch festlegt, welche Operatoe mt dem Dateobekt erlaubt sd. De üblche Art, e Dateobekt eem Programm zu defere (deklarere), das eer höhere Programmersprache geschrebe st, besteht daher der Agabe des Typs des Obekts ud damt mplzt der zulässge Operatoe ud Methode, de auf das Dateobekt deses Typs awedbar sd, ud der Agabe des Bezechers für das Dateobekt, etwa der Pascal üblche Form: als Varable TYPE data_typ =...; als typserte Kostate TYPE data_typ =...; VAR dateobekt : data_typ; CONST dateobekt : datetyp =... { Afagswert }; Abbldug - gbt ee Überblck über de wchtgste Datetype eem IT-System. Uter Gruddatetype werde dabe Datetype verstade, über de de meste IT- Systeme ( uterschedlcher Ausprägug) verfüge. Dese sd auch Programmersprache verwedbar, wobe zusätzlch abgeletete Datetype hzukomme. Awedugsoreterte Datetype werde häufg vo Etwcklugsumgebuge oder Spracherweteruge Form vo Programmbblotheke beretgestellt ud erlaube uter Verberge der tere Detals de efache Nutzug komplexer Fuktoaltät. Abbldug -: Datetype eem IT-System

14 Dateobekte. Grudlegede Datetype ees Rechers Deses Kaptel beschrebt de Gruddatetype, über de e Recher üblcherwese verfügt ud auf dee de Datetype auf höhere Abstraktosebee aufbaue. E Dateobekt ees Programms, das eer höhere Programmersprache defert ud evetuell awedugsspezfsch strukturert st, muss letztlch auf e (evetuell zusammegesetztes) teres Dateobekt übersetzt werde. De Art der Abbldug ud damt der tere Datedarstellug st Rechertyp-abhägg. Exemplarsch solle her de tere Datedarstelluge der INTEL x86-prozessorfamle ud der Bytemasche vom Typ IBM /390 (z-sere), de der kommerzelle Großrecherwelt häufg azutreffe sd, gegeübergestellt werde. Bede Recherarchtekture verwede ählche Gruddatetype, de sch edoch a ege Stelle wesetlch uterschede. De kleste adresserbare Ehet st das Byte mt ewels 8 Bts. De ezele Bts erhalb ees Bytes, auch we se cht ezel durch Adresse asprechbar sd, ka ma sch vo rechts ach lks vo 0 bs 7 durchummerert vorstelle. De Nummer bezechet ma als Btpostoe (erhalb des Bytes). Da e Bt de Werte 0 oder aehme ka, sd für de Ihalt ees Bytes 8 56 verschedee Btmuster möglch. Ee Btfolge der Form 7 b 7 b6... bb 0 ka als Bärzahl mt Wert 0 deser Iterpretato de Dezmalwerte 0,,..., 55 ethalte. b terpretert werde. E Byte ka also Üblcherwese fasst ma zur Schrebverefachug ud zur bessere Lesbarket ewels 4 ebeeaderlegede Btwerte (vo rechts beged, wobe evetuell lks führede bäre Nulle zur Auffüllug gedacht werde müsse) zu eer Sedezmalzffer zusamme ud erhält damt de glechwertge Sedezmaldarstellug. Als Zffer komme der Sedezmaldarstellug de sechzeh Zeche 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F vor. Um zu uterschede, ob ee Zahl als Bär-, Sedezmal- bzw. Dezmaldarstellug azusehe st, wrd chtedeutge Stuatoe de Bass, 6 bzw. 0 als Idex agehägt.

15 . Grudlegede Datetype ees Rechers 3 Bärdarstellug (Bass ) b 7 b 6... b b Bytehalt Sedezmaldarstellug (Bass 6) s s A 0B 0C 0D 0E 0F 0... F 0... F F... F0 F... FE FF Dezmalwert (Bass 0) 7 0 b Häufg werde aufeaderfolgede Bytes ees Spechermedums zu de wetere logsche Ehete Halbwort, Wort, Doppelwort ud Quadwort zusammegefasst. Ierhalb deser Ehete werde weder ezele Btpostoe vo 0 beged gezählt. Zu beachte st de Byteaordug: bem IBM /390-Recher lege de höherwertge Bts a de edrge

16 4 Dateobekte Adresse, währed bem INTEL x86-prozessor de höherwertge Bts a de höhere Adresse stehe. Ee Gruppe (Halbwort, Wort, Doppelwort bzw. Quadwort) ka als Gazes durch ee Adresse agesproche werde. Dese Adresse met bede Archtekture de Afag der Gruppe, d.h. de kleste Byteadresse erhalb der Gruppe. Be IBM /390 st des das Byte mt de höchstwertge Bts, be INTEL x86 das Byte mt de edrgstwertge Bts; etspreched et ma de IBM /390-Recher Bg-Eda- ud de INTEL x86- Recher Lttle-Eda-Masche. Außerdem mee de ewelge Grupperugsbegrffe de Archtekture uterschedlche Byteazahle. Abbldug.- fasst de Grupperuge zusamme. Byte Bg Eda (z.b. IBM /390) Lttle Eda (z.b. INTEL x86) Halbwort htereaderlegede Bytes, dere erstes be eer gerade Adresse begt (Ausrchtug auf Halbwortgreze). --- De Ausdrücke Bg Eda ud Lttle Eda etstamme dem Buch Gullvers Rese vo Joatha Swft (77). I desem Buch wrd der Kreg zwsche de Kögreche Lllput ud Blefuscu beschrebe. Der Kreg war ausgebroche, wel bede Partee sch cht darauf ege kote, ob bem Frühstück das Frühstückse am sptze oder am stumpfe Ede aufgeschlage werde sollte (sehe auch [HER]).

17 . Grudlegede Datetype ees Rechers 5 Wort 4 htereaderlegede Bytes ( Halbworte), htereaderlegede Bytes, de a eer dere erstes be eer durch 4 telbare belebge Adresse bege köe. Das Adresse begt (Ausrchtug auf Wortgreze). Byte, das Btposto 0 ethält, heßt Low- Byte, das Byte mt Btposto 5 Hgh- Byte. Zu beachte st, dass das Byte, das de höchste Btposto m Wort ethält, auf der I der Rehefolge der Byteadresserug edrgste Byteadresse erhalb des glt der Grudsatz Low-Byte frst. Worts steht. Begt e Wort a eer gerade Adresse, so heßt es ausgerchtetes Wort (word alged). Doppelwort 8 htereaderlegede Bytes ( Worte), 4 htereaderlegede Bytes ( Worte), dere erstes be eer durch 8 telbare Adresse begt (Ausrchtug auf Doppel- köe. Das Wort, das Btposto 0 et- de a eer belebge Adresse bege wortgreze) hält, heßt Low-Word, das Wort mt Btposto 3 Hgh-Word. I der Rehefolge der Byteadresserug glt der Grudsatz Low-Word frst (ud erhalb ees Worts Low-Byte frst ). Begt e Doppelwort a eer durch 4 telbare Adresse, so heßt es ausgerchtetes Doppelwort (doubleword alged).

18 6 Dateobekte Quadwort htereaderlegede Bytes ( Doppelworte), de a eer belebge Adresse bege köe. Das Wort, das Btposto 0 bs 3 ethält, heßt Low-Doubleword, das Wort mt Btposto 3 bs 63 Hgh- Doubleword. Jedes Byte eem Halbwort, Wort bzw. Doppelwort hat weterh see egee Adresse. De Adresse des erste Bytes etsprcht der Adresse des Halbworts, Worts, Doppelworts bzw. Quadworts. De Ausrchtug der ewelge Bytegruppe, de bem INTEL x86-recher cht otwedg st, beschleugt de Arbetsspecherzugrff: Obwohl de Adresserug ezeler Bytes aus eem Programm heraus möglch, werde über de Bus mmer Doppelworte übertrage, de a Doppelwortgreze lege. Das bedeutet, dass be dem Zugrff auf ee cht ausgerchtete Bytegruppe u.u. zwe Datetrasfer erforderlch sd, währed be Ausrchtug ur e Datetrasfer ausrecht. Abbldug.-: Byte, Halbwort, Wort, Doppelwort, Quadwort Auf Bass deser Strukturerug Bytes, Worte usw. werde Gruddatetype ees IT- Systems defert. Das Problem der Byteaordug (Bg Eda versus Lttle Eda) logsch zusamme gehörger Bytes, etwa eem Wort, stellt sch spätestes da, we Date zwsche Masche uterschedlcher Byteaordug ausgetauscht werde solle. So st Programmcode, der für ee Bg-Eda-Masche erzeugt wurde, cht kompatbel mt Programmcode für ee Lttle-Eda-Masche, scho deshalb cht, wel de Worte abgelegte Adresse sch der Byte-Rehefolge uterschede. Etsprechedes glt für de Date. Ethalte etwa de aufeaderfolgede Bytes a de Adresse N ud N + de Folge vo Sedezmalwerte 7A 6 ud soll dese Folge als Festpuktzahl terpretert werde, so hat se eer Bg-Eda- 3 0 Masche de Wert , eer Lttle-Eda-Masche 3 0 de Wert Hersteller vo Computer-Netzwerkarchtekture habe sch darauf geegt, alle zu übertragede Date m Netz btserell Bg-Eda-Wese zu sede.

19 . Grudlegede Datetype ees Rechers 7.. Datetyp Zahl Der Datetyp Zahl (Festpuktzahl, Ordalzahl, Gletpuktzahl, gepackte ud ugepackte Dezmalzahl) det der Darstellug vo Zahle, de, bs auf ugepackte Dezmalzahle, arthmetsche Operatoe verwedet werde köe. Dabe köe Festpukt- ud Dezmalzahle gaze Zahle (postve ud egatve Zahle) darstelle, Ordalzahle ur postve gaze Zahle; de erlaubte Operatoe sd.a. Addto ud Subtrakto, Multplkato, gazzahlge Dvso mt Rest ud mod-bldug. Häufg gbt es für dese Datetype Umwadlugsoperatoe de Datetyp Gletpuktzahl. Gletpuktzahle werde zur Approxmato gebrocheer ud reeller Zahle verwedet. Erlaubte Operatoe sd ebe de üblche arthmetsche Operatoe Umwadluge Festpuktzahle uter Weglassug des gebrochee Atels. Ee Folge x 0b b 3... b b 0 chtegatve gaze Zahl vo Bts, wobe das führede Bt de Wert 0 hat, wrd als b 0 x terpretert. Ee Folge x b b 3... b b 0 vo Bts, wobe das führede Bt de Wert hat, wrd als egatve gaze Zahl terpretert. Bezechet b das zu b verterte Bt, d.h. 0b b... b b b b... b b... 0 mt dem Wert (mt v 0, b x b 0 b, da seht ma, dass st. Daher erhält ma de zu eer Zahl vb b 3... b b 0 ) betragsmäßg glech große Zahl mt umgekehrtem Vorzeche durch Iverterug aller Bts ud Addto eer bäre. E gemäß dem Datetyp Festpuktzahl oder Ordalzahl defertes Dateobekt belegt e ach Rechertyp ud zusätzlcher Festlegug e Byte, Halbwort, Wort, Doppelwort oder Quadwort (z.b. IBM /390: Halbwort, Wort; INTEL x86: Byte, Wort, Doppelwort, Quadwort). Ee Festpuktzahl stellt ee gaze Zahl, d.h. ee postve oder egatve Zahl oder de Wert 0, dar; dabe gbt das führede Bt we obe beschrebe das Vorzeche a ud wrd cht de Wertberechug der Zahl mt ebezoge. Ee Ordalzahl stellt ee chtegatve gaze Zahl dar. Alle Bts werde de Wertberechug mt ebezoge. De möglche Wertebereche vo Festpukt- bzw. Ordalzahle zegt folgede Tabelle:

20 8 Dateobekte ter verwedete Stellezahl (Bts) Festpuktzahl -,..., + - = 8 = 6 = 3 = 64 8,..., ,..., , 63,...,..., 63 ; > 9,. 0 8 Ordalzahl 0,..., 0,..., 55 0,..., ,..., Der Datetyp Gletpuktzahl zur Approxmato eer reelle Zahl durch ee ratoale Zahl mt edlchem gebrocheem Atel stellt ee Zahl x der Form x s a, a a a... a B mt a 0,,..., B 0 3 k B dar. Herbe bezechet ± das Vorzeche der Zahl x, a0 a aa3... ak de Matsse ( der INTEL x86-archtektur Sgfkad geat), B de Bass der Zahledarstellug ud s de Expoete der Zahl. Durch geegete Normerug (Normalserug), etwa durch de Festlegug 0 3 a 0, a aa... ak (we be der IBM /390-Archtektur) bzw. a, a a a... a (we be der INTEL x86-archtektur) 0 3 k st dese Darstellug für x 0 edeutg. Der Datetyp Gletpuktzahl der IBM /390-Archtektur uterschedet sch ege Detals wesetlch vom Datetyp Gletpuktzahl der INTEL x86-archtektur. A. Datetyp Gletpuktzahl der IBM /390-Archtektur Her lautet de Bass B = 6. Dabe sd a 0, a, a, a3,..., ak Sedezmalzffer. E Dateobekt vom Datetyp Gletpuktzahl wrd eem Wort, eem Doppelwort oder zwe aufeader folgede Doppelworte abgelegt (sehe auch Kaptel.). Ma sprcht da vo eer kurze Gletpuktzahl (Short Real), eer lage Gletpuktzahl (Log Real) bzw. eer Gletpuktzahl m erweterte Format (Exteded Real). Damt der Expoet edeutg bestmmt st, wrd ee Normalserug durchgeführt: Des gescheht durch Verschebe des sedezmale Kommas der Matsse ud Apassug des Expoete, so dass a 0 0 ud a 0 glt. Durch de Normalserug wrd ee höhere Geaugket be der Zahledarstellug errecht; außerdem erwarte mache Maschestrukt-

21 . Grudlegede Datetype ees Rechers 9 oe ormalserte Operade, um ormalserte Ergebsse zu erzeuge. De Matsse a0 a aa3... a (mt a 0 0 ud a 0 ) wrd also als k a 6 terpretert. k Für de Matsse werde k = 6, k = 4 bzw. k = 8 Sedezmalstelle vorgesehe, wobe a 0 0 cht abgespechert wrd. Je mehr Stelle se ethält, umso geauer st de Approxmato der dargestellte Zahl a de darzustellede Zahl. Das Vorzeche wrd durch e Bt repräsetert, ud zwar bedeutet 0 das postve Vorzeche ud das egatve Vorzeche. Statt des tatsächlche Expoete s eer Zahl wrd dere Charakterstk c s b (ohe Übertrag) gespechert. De Zahl b heßt Bas. De Fukto des Bas besteht dar, statt ees möglche postve oder egatve Expoete mmer ee chtegatve Charakterstk (vorzechelos) abzuspecher, so dass Gletpuktzahle mt glechem Format ud Vorzeche we vorzechelose Festpuktzahle verglche werde köe. Zu beachte st, dass de Azahl der Bts für de Charakterstk m Wesetlche de Größe des darstellbare Werteberechs festlegt. I der IBM /390-Archtektur werde für de Expoete bzw. de Charakterstk be alle dre Gletpuktdateformate 7 Bts vorgesehe. Der Expoet als Festpuktzahl ka also de Werte 640 bs 630 aehme. Für alle möglche Gletpuktdateformate deser Archtektur lautet der Bas b 640. De folgede Tabelle zegt de Zusammehag zwsche Expoet ud Charakterstk. b = 64 0 (7 Bärstelle für de Expoete) Expoet s Charakterstk c s b dezmal bär bär sedezmal F E 7F

22 0 Dateobekte Verebarugsgemäß hat der Wert x 0 das Vorzeche +, de Matsse ud de Charakterstk 0, so dass der Wert x 0 Festpukt- ud Gletkommadarstellug überestmmt. Abbldug..- fasst de dre Gletpuktdateformate der IBM /390-Archtektur zusamme. Abbldug..-: Gletpuktdateformate der IBM /390-Archtektur Ege Zahlebespele solle de rechertere Darstellug vo Gletpuktzahle (her für das kurze Format mt 6 Sedezmalzffer der Matsse) erläuter:. 46,45 0 = E,6A3D70A3D = E,6A3D (exakter Wert). Dese Zahl wrd durch 0,E6A3D. 6 6 = 46, ageähert: Vorzeche: +; Expoet: ; Charakterstk: ; Matsse: E 6A 3D 6 = ; tere Darstellug: = 4 E 6A 3D 6. 0,035 0 = 0, : Vorzeche: ; Expoet: ; Charakterstk: 0 ;

23 . Grudlegede Datetype ees Rechers Matsse: = ; tere Darstellug: = BF ,04 0 = D5,0A3D70A3D = D5,0A3D (exakter Wert). Dese Zahl wrd durch 0,D50A3D. 6 6 = 3, ageähert: Vorzeche: ; Expoet: ; Charakterstk: ; Matsse: D5 0A 3D 6 = ; tere Darstellug: = C D5 0A 3D 6. De m Gletpuktdateformat kurzes Format darstellbare größte Zahl st glech 7F FF FF FF 6 (Vorzeche: +; Charakterstk: = 7 0, etspreched dem Expoete 63 0 ); dese Zahl hat de Wert 6 6 7, ,FFFFFF = 0. De m Gletpuktdateformat kurzes Format darstellbare kleste Zahl st glech FF FF FF FF 6 (Vorzeche: ; Charakterstk: = 7 0 etspreched dem Expoete 63 0 ); dese Zahl hat de Wert 6 6 7, ,FFFFFF = 0. De m Gletpuktdateformat kurzes Format darstellbare kleste postve Zahl größer als Null hat (bedgt durch de Normalserug) de tere Darstellug (Vorzeche: +; Charakterstk = , etspreched dem Expoete 640 ); dese Zahl hat de Wert , , Für de absolute Werteberech W kg der Zahle m Gletpuktdateformat kurzes Format glt her also (alle Agabe als Dezmalwerte): kg 6 W, 6 6 7, , ud Das bedeutet a der utere Greze des Werteberechs, dass de ächstkleere (gültge) Zahl de Zahl 0 st. Es wrd atürlch ewels vorausgesetzt, dass de Gletpuktzahl ormalsert st. Für de absolute Werteberech W lg der Zahle m Gletpuktdateformat lages Format bzw. für de absolute Werteberech W eg der Zahle m Gletpuktdateformat erwetertes Format gelte de Werte (alle Agabe als Dezmalwerte):. Lässt ma dese Forderug falle, da ergbt sch für de kleste postve Gletpuktzahl m kurze Format de Darstellug (Vorzeche: +; Charakterstk: etspreched dem Expoete ); dese Zahl hat de Wert +0, = ,

24 Dateobekte , W lg bzw , eg W, also ahezu de gleche Werte. De Uterschede lege cht m Werteberech, soder der Geaugket, mt der ma mt Hlfe ees Dateobekts vom Typ Gletpuktzahl ee reelle Zahl approxmert. Dese Geaugket wrd durch de klestmöglche Abstad m zwsche zwe Zahle m ewelge Gletpuktdateformat bestmmt; e dchter zwe Zahle zusammelege, d.h. e kleer deser Abstad st, umso geauer st de Approxmato. Deser kleste Abstad beträgt bem kurze Format: 0, , , , , bem lage Format: 0, bem erweterte Format: 0, Sedezmalzffer, B. Datetyp Gletpuktzahl der INTEL x86-archtektur Her lautet de Bass B =. Dabe sd a a a a 0,,, 3,..., k Bärzffer. a I der INTEL x86-archtektur, de sch der Gletpuktdateformat am IEEE-Stadard oretert, legt ee Gletpuktzahl m kurze Format (Short Real) eem Doppelwort (4 Bytes), ee Gletpuktzahl m lage Format (Log Real) eem Quadwort (8 Bytes) ud ee Gletpuktzahl m erweterte Format (auch Temporary Real geat) eem Feld vo 0 zusammehägede Bytes. De egebaute Gletkomma-Prozessorehet arbetet mt desem Format. De Matsse (Sgfkad) ormalsert, dass a 0 glt, d.h. de Matsse wrd als k a a a a a a k als ee Zfferfolge vo Bärzffer wrd so terpretert. Das Bt a 0 wrd m kurze ud lage Format cht mt gespechert. E Bt repräsetert das Vorzeche, ud zwar bedeutet 0 weder das postve Vorzeche ud das egatve Vorzeche. Statt des tatsächlche Expoete s eer Zahl wrd dere Charakterstk c s b (ohe Übertrag), her als Based Expoet bezechet, gespechert, De Größe des Bas b hägt vom ewelge Datetyp ab. Maxmale ud mmale Expoete, sowe de ewelge Bas ka ma der folgede Tabelle etehme:

25 . Grudlegede Datetype ees Rechers 3 Short Real Log Real Temporary Real Brete sgesamt (Bts) Brete der Matsse (Bts) 3 + (*) 5 + (*) 64 Brete des based Expoete (Bts) 8 5 maxmaler Expoet mmaler Expoet Bas (*) De führede wrd cht mtgespechert. Abbldug..- fasst de dre Gletpuktdateformate der INTEL x86-archtektur zusamme. Abbldug..-: Gletpuktdateformate der INTEL x86-archtektur De uter Pukt A. aufgeführte Zahlebespele solle auf de Gletpuktdateformate der INTEL x86-archtektur übertrage werde (auch her ur für das kurze Format mt 3 Bts):. 46,45 0 = E,6A3D70A3D = E,6A3D (exakter Wert). Dese Zahl wrd zuächst Bärdarstellug otert ud ormalsert:

26 4 Dateobekte E,6A3D , , Für de Matsse werde 3 Bts (beged ach dem Komma) geomme, so dass de 50 Zahl 46,45 0 durch de Wert, , approxmert wrd. Vorzeche: +; Expoet: 5 0 ; based Expoet: ; Matsse: ; tere Darstellug: = 4 39 A8 F5 6 ; offeschtlch uterschedet sch dese Darstellug wesetlch vo der tere Darstellug be der IBM /390-Archtektur (dort lautet de tere Darstellug 4 E 6A 3D 6 ) ,035 0 = 0,08 6 = 0, =, Vorzeche: ; Expoet: 5; based Expoet: 000 ; Matsse: ; tere Darstellug: = BD ,04 0 = D5,0A3D70A3D = D5,0A3D (exakter Wert). Dese Zahl wrd zuächst weder Bärdarstellug otert ud ormalsert: D5,0A3D , , Für de Matsse werde 3 Bts (beged ach dem Komma) geomme, so dass de Zahl 3,04 0 durch de Wert 70, , approxmert wrd. Vorzeche: ; Expoet: 7; based Expoet: ; Matsse: ; tere Darstellug: = C3 55 0A 3D 6. De m Gletpuktdateformat kurzes Format darstellbare größte Zahl st etzt glech 00 7F 7F FF FF 6 (Vorzeche: +; based Expoet: 0 = 54 0 etspreched dem Expoete 7 0 ); dese Zahl hat de Wert , 3, De kleste Zahl m kurze Gletpuktdateformat st FF 7F FF FF 6 etspreched 38 3, De mt dem Datetyp kurze Gletpuktzahl darstellbare kleste postve Zahl größer als Null st (bedgt durch de Normalserug)

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