Peter von der Lippe. Induktive Statistik. Formeln, Aufgaben, Klausurtraining

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1 Peter vo der Lppe Iduktve Statstk Formel, Aufgabe, Klausurtrag Ursprüglch verlegt be Oldebourg, her überarbeteter Form als dowload zur Verfügug gestellt Oldebourg

2 Tel I Formelsammlug mt Tabelleahag

3 3 vo der Lppe: Iduktve Statstk Ihalt vo Tel I (Formeltel) Kap.: Eführug, Stchproberaum 3 Kap.: Kombatork 4 Kap.3: Eregsalgebra, Wahrschelchket 4 Kap.4: Zufallsvarable, Wahrschelchketsvertelug 5 Kap.5: Spezelle dskrete Wahrschelchketsverteluge 36 Kap.6: Spezelle stetge Verteluge 5 Kap.7: Grezwertsätze, Stchprobevertelug 63 Kap.8: Schätztheore 73 Kap.9: Testtheore 87 Kap.0: Stchprobetheore 00 Tabelleahag 09 Kap.: Kap.: Kap.3: Kap.4: Kap.5: Kap.6: Kap.7: Kap.8: Kap.9: Detalglederug vo Tel II (Aufgabetel) Eführug, Stchproberaum Kombatork Eregsalgebra, Wahrschelchket 3.. Megeoperatoe mt Eregsse 3.. Wahrschelchketsbegrff 3.3. Addtossätze 3.4. Multplkatossätze, bedgte Wahrschelchkete, Uabhäggket 3.5. Totale Wahrschelchket, Theorem vo Bayes Zufallsvarable, Wahrschelchketsvertelug 4.. Edmesoale Zufallsvarable 4.. Zwedmesoale Zufallsvarable 4.3. Learkombato ud -trasformato 4.4. Erzeugede Fuktoe Spezelle dskrete Wahrschelchketsverteluge 5.. Zwepuktvertelug 5.. Geometrsche Vertelug, Bomalvertelug 5.3. Hypergeometrsche Vertelug 5.4. Possovertelug Spezelle stetge Verteluge 6.. leare Verteluge, Glechvertelug (stetg) 6.. Normalvertelug Grezwertsätze, Stchprobevertelug 7.. Tschebyscheffsche Uglechug, Grezwertsätze, stochastsche Kovergez 7.. Stchprobeverteluge Schätztheore 8.. Maxmum-Lkelhood-Methode 8.. Puktschätzug 8.3. Itervallschätzug (Mttel- ud Atelswert) 8.4. Kofdeztervallschätzug für de Dfferez vo zwe Mttel-bzw. Atelswerte Testtheore 9.. Test für Mttel- ud Atelswerte (E-Stchprobe-Fall) 9.. Sgfkaztests für Mttel- ud Atelswertdffereze (zwe uabhägge Stchprobe) Kap.0: Stchprobetheore 0.. Notwedger Stchprobeumfag 0..Hochrechug 0.3.Geschchtete Stchprobe

4 4 Kaptel : Eführug Wahrschelchketsaussage bezehe sch auf Zufallsexpermete (ZE), ud zwar (gerade wege der Zufällgket) cht auf de Ausgag ees ezele ZE, soder auf de (zumdest gedaklch) uedlche Folge vo Wederholuge (Realsatoe) des ZE uter eem - uveräderlche - exakt beschrebee Bedgugskomplex. Def..: Zufallsexpermet (ZE) E Zufallsexpermet legt vor, we. es wohldeferte Eregsse als Ergebs des ZE gbt. das ZE uter deselbe Bedguge uabhägg belebg oft wederholbar st 3. das Eregs (der Versuchsausgag) m Ezelfall a) cht voraussagbar st b) cht wllkürlch (systematsch) zu beeflusse st 4. es wohl aber be eer Velzahl vo Wederholuge des ZE gewsse Regelmäßgkete gbt. Def..: Stchproberaum a) E Stchproberaum Ω st de Mege aller möglche, sch gegesetg ausschleßeder Elemetareregsse ω, ω,..., ω Ω = ω, ω,..., ω bzw. ω, ω Ω { } { } Im folgede wrd vo edlche Stchproberäume mt glechwahrschelche Elemetareregsse (Laplace-Aahme) ausgegage. b) Es sd Elemetareregsse ud zusammegesetzte Eregsse (Def. 3.) zu uterschede. Kaptel : Kombatork. Grudaufgabe der Kombatork 5. Bomalkoeffzete ud Multomalkoeffzete 7 3. Ergäzuge ud Vertefuge zum Auswahlproblem: Ikluso ud Exkluso 4. De Gamma- ud de Beta-Fukto 3 Gegestad der Kombatork sd eumeratve Probleme, Frage m Zusammehag mt edlche Mege. Es geht um de Azahl der Arte, we ee wohldeferte Operato (z.b. Auswahl oder Aordug vo Objekte) ausgeführt werde ka.

5 5. Grudaufgabe der Kombatork Fragestelluge. Aordug vo Elemete (Permutato) oder Auswahl vo Elemete (de Elemete see a, b, c,...). Es st zu uterschede: a) mt Berückschtgug der Aordug (Varato): {a,b} ud {b,a} sd verschede b) ohe Berückschtgug der Aordug (Kombato): {a,b} ud {b,a} sd glech 3. Wederholuge. Dabe bedeutet: a) ohe Wederholug (ow): Elemete a, b ud c trete ur emal auf b) mt Wederholug (mw): Es ka auch {a,a}, {a,b,b}, {b,b,b},... auftrete Dese Krtere werde kombert zu sechs Grudaufgabe (vgl. Übers..). Aweduge der Stchprobetheore: a) De Azahl der Stchprobe bem Zehe ohe Zurücklege st K. Dabe sd de K Stchprobe glech wahrschelch. b) De Azahl verschedeer Stchprobe mt Zurücklege st K W, davo sd aber cht alle glech wahrschelch. Durch das Zurücklege st de Ure praktsch uedlch, so dass auch > ( [sost ] Umfag der Stchprobe; [sost N] Umfag der Grudgesamthet). a) Falluterscheduge Überscht.: De sechs Grudaufgabe der Kombatork Aufgabeart Aordug vo Elemete = Permutato Auswahl vo Elemete ("zur Klasse ") o.w. m.w. () () mt Berückschtgug der Aordug = Varato ohe Berückschtgug der Aordug = Kombato o.w. m.w. o.w. m.w. (3) (4) (5) (6)

6 6 b) Formel für de Azahl (.) Azahl der Permutatoe ohe Wederholug vo Elemete (.) Azahl der Permutatoe mt Wederholug vo Elemete, wobe das k-te Elemet k mal auftrtt (.3) Azahl der Varatoe ohe Wederholug (V) vo Elemete zur -te Klasse (.4) Azahl der Varatoe mt Wederholug (V W ) zur -te Klasse (.5) Azahl der Kombatoe ohe Wederholug (K) (.6) Azahl der Kombatoe mt Wederholug (K W ) P =! =. (-) P W! m = m mt k =! k= k= k! V = ( )! V W = =! K =! =! ( )! K W = + Bemerkuge: zu (): Strlgsche Formel: Für großes glt:! e π = ( ) e +/ - π = π e. zu (3), (5) u. (6): st der Bomalkoeffzet (" über ") als Spezalfall des Multomalkoeffzete (Formel für P W ). Ist m =, = ud = -, so st!!! = = = k!!!! ( )!. De Zwetelug der Elemete ka z.b. bedeute: = Elemete gelage de Auswahl = - gelage cht de Auswahl. Wetere Bemerkuge zum Bomalkoeffzete vgl. Abschtt. zu (4): Herbe ka jedes Elemet bs zu -mal wederholt werde ( ka auch größer als se). Zusammehäge der Formel utereader: P W P we für alle k =,...,m glt k =, folgt P W = P V P we = glt (also kee Auswahl), folgt V = P (Permutato ohe Wederholug als Spezalfall der Varato ohe Wederholug)

7 7 P W K we = ud = -, folgt P W = K (sehe obe; vgl. auch Gl..5) V K da jedes Elemet auf! Arte permutert werde ka, glt (.3a): V =! K K K W P W V W Herletug der Kombatoe ohe Wederholug aus dem Addtostheorem für Bomalkoeffzete (Satz.). Im trvale Fall = (kee Wederholuge möglch) st K W = K = = Varatoe mt Wederholug als Summe aller möglche Permutatoe mt Wederholug (Satz.). Bomalkoeffzete ud Multomalkoeffzete Def..: Bomalkoeffzet Der Ausdruck (.5) =! ( )!! mt, I N, 0 heßt Bomalkoeffzet. Def..: Multomalkoeffzet Der Ausdruck (.6) K m =!!!... = m!! m, m k = k= Π! = k k heßt Multomalkoeffzet (oder auch Polyomalkoeffzet geat). Egeschafte des Bomalkoeffzete ud des Multomalkoeffzete. Name ud Folgerug aus der Defto a) De Etwcklug des Boms ( a ) b + führt zu folgeder Summe: b + ab + + a b a a b + = a b a b K a b + K + a 0 + b a b 0 0 Setzt ma a=b=, so folgt lecht der bekate Zusammehag über de Summe vo Bomalkoeffzete vo Glechug.9.

8 8 Etspreched erschet der Multomalkoeffzet der Expaso ees Multoms, etwa (m = 3) ( ) ( ) a b c b c + + = 3 3 3,, a, mt = b) Nach Defto glt 0 = = = ud. c) Symmetre =.. Bomalkoeffzet als Summe ud Produktsumme vo Bomalkoeffzete (.7a) + + = + + (Pascalsches Dreeck) (.7b) m m m m + = + + = 0 Folgerug: (.7c) k k = + = 0 (.7d) m k m k = + = 0 Satz. Addtostheorem für Bomalkoeffzete Aus Glechug.7d folgt * : (.8) k k k + = = 0 Aus deser Formel folgt auch der Zusammehag zwsche Kombatoe mt ud ohe Wederholug: k k k + = + =. * Ma erhält Glechug.8 aus.7d, we ma de Symbole k,, m ud Glechug.7c de Symbole, -, ud k zuordet. Aus Glechug.8 folgt übrges auch Glechug.9a.

9 9 Der zwete Summad gbt a, um we vel sch de Azahl der Kombatoe erhöht, durch de Wederholug vo k =,,... der - k ausgewählte Elemete, um zur Zahl der Kombatoe mt Wederholug zu gelage. Folgerug aus Glechug.8: (.8a) ( ) =. k= 0 k k Deser Zusammehag erklärt de Reproduktvtät der Bomalvertelug. Aus eer Ure vo Kugel auszuwähle läuft auf das gleche haus, we aus zwe Ure mt - ( - ) ud - Kugel so vele Kugel herauszuehme, dass es zusamme Kugel sd. 3. Summe vo Bomalkoeffzete a) Varables, also = 0,,...,, (.9) = ud (-) = 0 (.9a) = (.0) = (.0a) ( ) = + (.) m = 0 = m m, m m b) Varables (k läuft bs ), kostates Summe der atürlche Zahle k ( ) (.a) + + = =. Das folgt auch aus Glechug.7b mt m =. (.a) k= k + = (.3) 3 k= k 3 + = usw.. 4 De allgemee Zusammehäge beschrebe de folgede Formel: r + + r + r + + r + (.3a) = ud (.3b) = + r = 0 k= 3 4. Multomalkoeffzet als Produkt vo Bomalkoeffzete = 0 (.4)! =!!... k! k k

10 0 Spezalfall der Permutatoe ohe Wederholuge = =... = k = : (.4a)... =! Spezalfall Kombatoe: = Permutatoe mt Wederholuge ka ma als wederholte Kombatoe auffasse: Aus Elemete werde ausgewählt, aus de verblebede Elemete weder usw. 5. Rekursosformel für Bomalkoeffzete (.5) = + (.5a) = (.5b) = = usw.. Folgerug: Aus Glechug.5 folgt, dass be gegebeem ugeradzahlgem de Bomalkoeffzete vo = 0 bs = ( ) / astege ud vo = ( + ) / a bs = abfalle (be geradzahlgem st das Maxmum = / ). Aus Glechug.5a ud.5b folgt lecht der als Pascalsches Dreeck bekate Zusammehag der Glechug.7a bzw. (glechbedeuted): = Bomalkoeffzete mt egatve Elemete Nach Defto glt: = (.6) ( ) + ud (.6a) = ( ) Summe vo Multomalkoeffzete Ma ka Varatoe mt Wederholuge als Summe vo Permutatoe mt Wederholuge auffasse wege: Satz.: Addtostheorem für Multomalkoeffzete (.7) =, a a a a... a,,...

11 wobe summert wrd über alle -Tupel a, a,..., a mt a = a = j, ergbt sch j j =, also Gl..9 als Spezalfall. = 0 8. Rekursve Bezehuge zwsche Kombatoe mt Wederholug k= k. Mt -Tupel, also a = j, Satz.3: Addtostheorem für Kombatoe mt Wederholug Verabredet ma K W (, ) für de Azahl der Kombatoe mt Wederholug zur Klasse, so glt: (.8) K (, ) = K (, ) + K (, ) w w w Dese Rekursosformel st auch Ausgagspukt für de Bewes vo Gl..6. Ersetzt ma Glechug.8 de Ausdruck Kw (, ) w (, ) Kw (, ) herbe weder K (, ) usw., so erhält ma: W (.9) K (, ) = K ( m, ) w m= was sch übrges auch aus Glechug.3a ergbt. w, durch K +, 3. Ergäzuge ud Vertefuge zum Auswahlproblem: Ikluso ud Exkluso a) Zum Permutatosbegrff Def..3: Zrkuläre Permutatoe De Azahl P z der zrkuläre Permutatoe vo Elemete st de Azahl der Möglchkete, Elemete m Kres azuorde. Se beträgt: (.0) P z () = (-)! Da wege der kresförmge Aordug der erste ud der -te Platz detsch sd, werde faktsch ur - Elemete permutert. Def..4: Fxpuktfree Permutatoe Geht ma vo eer Stzordug vo Stühle ud Persoe aus, so ka ma ach der Azahl P F () der "eue" Stzorduge frage, be dee kee Perso auf hrem alte Platz blebt. Se beträgt:

12 (.) ( ) PF =! ! 3! 4!! ( ) ( ) =! j= 0 wobe de Summe de Afag der Potezreheetwcklug vo e - darstellt. Ma sprcht auch vom Recotre Problem ud et de Zahle P F () auch Recotre Zahle, für de de folgede Rekursosformel glt: (.a) P ( ) = P ( ) + ( ) F F b) Zum Auswahlproblem: Ikluso ud Exkluso Für e Auswahlproblem aus Elemete ka sch auch de Aufgabe stelle, dass de Auswahl so getroffe werde sollte, dass be p < der Elemete mt - keem der p Elemete (Exkluso) - geau p Elemete (Ikluso) kombert bzw. varert wrd. De herzu relevate Formel sd Überscht. zusammegestellt. De Exkluso vo p vorgeschrebee Elemete läuft darauf haus, efach p Elemete weger für ee Auswahl zur Verfügug zu stelle. Se stellt also ee Redukto der Auswahlgesamthet dar. Ikluso bedeutet ebefalls, dese Elemete vo eer Auswahl auszuschleße ud statt ur och - p Elemete fre zu kombere bzw. zu varere. Ma reservert efach p Plätze der Auswahlgesamthet ud der Auswahl selbst ud fragt ach de Varatos- ud Kombatosmöglchkete der übrge Elemete. Ikluso stellt also ee Redukto der Auswahlgesamthet ud der Auswahl dar. De Dfferez zwsche der allgemee Formel (etwa Gl..5 be Kombato ohe Wederholuge) ud der etsprechede Formel für de Exkluso vo p Elemete p bzw. m Spezalfall p = : j! = j Glechug.7a st de Azahl der Kombatoe ohe Wederholuge mt mdestes eem bzw. geau eem (we p=) vo p vorgeschrebee Elemete (Ikluso vo mdestes eem Elemet = kee Exkluso vo alle Elemete). Be p= st de allgemee Formel für Kombatoe de Summe der Exklusos- ud Iklusosformel (Überscht.). Überscht. Exkluso Ikluso Kombatoe ohe Wederholug (.) p (.3) p p Kombatoe mt Wederholug (.4) + p (.5) + p p Varatoe ohe Wederholug p (.)! p (.3)! p (.4) ( ) (.5) ( ) ( ) *) Varatoe mt p Wederholug *) Nur we > p ud > p, sost kee allgemee Formel möglch, da cht beschräkt st. p p

13 3 4. De Gamma- ud de Beta-Fukto Def..5: Gammafukto De Fukto (.30) Γ( α) heßt Gamma-Fukto. Folgeruge: α x = x e dx 0 < α, 0 x Γ Γ Γ Γ 3 = = π, π, = ( ) ( ) ( ) ( ) Γ =, Γ =, Γ 3 = Γ =! Γ ( ) = ( ) Γ( ) = ( )! ( + z )! Γ( + z) = Γ( ) ( )! (z ud gazzahlg) Def.. 6: Betafukto De Fukto Γ α β B( α, β) = = x ( x) dx, Γ α, β > 0, 0 x heßt Beta-Fukto. ( α) Γ( β) ( α + β) 0 Bemerkuge zu Def..5 ud.6:. De Gamma- ud de Beta-Fuktoe sollte cht verwechselt werde mt der Gammaud Beta-Vertelug.. Ma et de obe deferte Fuktoe auch vollstädge Gamma bzw. Beta-Fukto. De etsprechede uvollstädge Fuktoe habe ee feste Itegratosgreze z (z < oder z ). 3. De bede Fuktoe trete ege Dchtefuktoe auf (χ, t, F-Vertelug).

14 4 Kaptel 3: Eregsse ud hre Wahrschelchket. Eführede Kozepte der Megelehre 4. Wahrschelchketsbegrff 0 3. Addtossätze 4. Multplkatossätze, stochastsche Uabhäggket 5. Totale Wahrschelchket, Bayessches Theorem 3 Das "Reche" mt Eregsse, das Ihalt deses Kaptels st, wrd oft auch als Eregsalgebra bezechet. Der Begrff wrd jedoch auch spezeller beutzt (Def. 3.7). Es st formal äquvalet dem Reche mt Mege. Mt Mege köe Megesysteme gebldet ud herfür Megefuktoe defert werde. De Wahrschelchket st ee solche Megefukto.. Eführede Kozepte der Megelehre.. Relatoe zwsche ud Operatoe mt Eregsse E Eregs ka als Mege dargestellt werde, so dass auf dese auch Verküpfugsoperatoe für Mege agewadt werde köe. Durch Operatoe mt Elemetareregsse etstehe zusammegesetzte Eregsse (vgl. Def. 3. ud 3.). a) Operatoe Der Stchproberaum Ω bestehe aus de Mege (Eregsse) A, B ud C, dargestellt m Euler-Ve-Dagramm. Das Ergebs eer Operato wrd durch Schatterug agegebe. Ω wrd als Kaste dargestellt, de Mege A, B, C sd Fläche dem Kaste. Veregug: A B oder A + B Durchschtt: A B oder AB (auch Summe geat) (auch Produkt oder Kojukto) A B: = { x x A x B} A B: = { x x A x B} sprch: A oder B (klusves oder) sprch: sowohl A als auch B Des st ee Defto. Fast alles, was m folgede dargestellt wrd, sd Deftoe. Nur ege besoders hervorzuhebede Deftoe sd umerert worde.

15 5 Dfferez: A\B oder A - B (auch relatves Komplemet) { } A \ B: = x x A x B dagege B \ A auch zu defere mt A \ B = A B Mehr als zwe Eregsse: U A etwa = 3 : A A A 3 = I A etwa = 3 : A A A = 3 A A A 3 A A A 3 Auch de Übertragug auf überabzählbar uedlch vele Eregsse st möglch. Egeschafte der Operatoe (ud ). Kommutatvtät: A B = B A ). Assozatvtät: ( A B) C = A ( B C) 3. Dstrbutvtät: A ( B C) = ( A B) ( A C) 4. Adjuktvtät: A ( A B) = A 5. Idempotez: A A = A De Dfferez \ st cht kommutatv ud cht assozatv. Das Zeche = bedeutet Glechwertgket (Glechhet), d.h. gleche Elemete ethalted, vo Mege bzw. Eregsse.

16 6 b) Relatoe Teleregs A B x A x B A B = A, A B = B (auch Ikluso geat) 3 Egeschafte der Relatoe asymmetrsch: A B B A atsymmetrsch: A B B A A = B trastv: A B B D A D reflexv: we A=B, de da glt A A Komplemetäreregs A A:= { x x A} A = Ω\A A A = Ω ud A A = (auch absolutes Komplemet oder Gegeeregs geat) A A = Ω, A A =, A = A A = A, A = A Ω = Ω, A Ω = A (de Morgasche Gesetze) A B = A B ud A B = A B 3 Gemet sd echte Telmege m Se der Mathematk.

17 7 c) Besodere Eregsse ud Wahrschelchkete scheres Eregs Ω umöglches Eregs dsjukte Eregsse (oder elemetfremd, uverebar, cht: uabhägg) A B =, A \ B = A Mt dem Alltagsverstäds der Wahrschelchket als eer Zahl P, de zwsche 0 ud lege muß, lasse sch heraus berets folgede Aussage gewe:. P( ) = 0. ( ) P Ω =, daraus folgt P( A) = P( A) P( A) + P( A) = P( Ω) = 3. We A ud B uverebar, da glt P A B = P A + P B ud P A B = P AB = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4. We A B, da P A P B A B = P B, de wege A A = Ω soll gelte ( ) ( ) ud P ( ) ( ), so dass auch glt P( B A) P( B) P( A) statt allgeme P( B A) = P( A B) P( A). =, d) Zusammegesetzte Eregsse ud Elemetareregsse Defto 3.: E Eregs A heßt zusammegesetzt, we A dargestellt werde ka als A = B C ( mt B A ud C A), aderfalls legt e Elemetareregs vor. Äquvalete Defto: Defto 3.: Das Eregs A st geau da Elemetareregs, we es ke Eregs B, B A gbt, das Teleregs vo A st. st ke Elemetareregs. Folgerug: Je zwe Elemetareregsse A ud A sd dsjukt.

18 8.. Produktmege, Megefukto Defto 3.3: Produktmege, Kartessches Produkt Be zwe Mege Ω, Ω sd bespelswese ( a, b) oder ( a, b3) mt a Ω ud b j Ω jewels e geordetes Paar (Tupel). De Mege Ω Ω aller geordete Paare st de Produktmege vo Ω ud Ω. {( a, b) a b } Ω Ω = Ω Ω { } Ω Ω Ω = Ω = x x x Ω. Allgeme:... (,..., ) = Im Falle vo Ω =... = Ω = Ω schrebt ma auch Ω. Ee Produktmege (hre Elemete) st mt eem Baumdagramm darstellbar. Ee "Relato" st ee Telmege der Produktmege. Defto 3.4: Megefukto Wrd eer Mege A ach eer Zuordugsvorschrft ee Zahl Q(A) zugeordet, so sprcht ma vo eer Megefukto..3. Megesysteme Mege, dere Elemete selbst weder Mege darstelle, et ma Megesysteme. Se werde häufg abgeletet aus eer Mege Ω, de ee Klasseetelug st. Defto 3.5: Vollstädge Zerlegug, Klasseetelug, Partto E Stchproberaum Ω wrd chtleere, paarwese dsjukte Mege (Eregsse C ) zerlegt, we glt:. U C = Ω (Ausschöpfug) =. C C =, j =,,..., ; j j 3. C für alle =,,..., ( ka auch uedlch se). Veraschaulchug eer Zerlegug Ω = { C =,,..., } für = 4 (vgl. Abb.) E solches vollstädges System vo Eregsse st de Mege der Elemetareregsse oder auch Ω = { A, A}. Folgerug Ist A e belebges Eregs ud { C,,..., } glt: C C ee Zerlegug (vollstädges System), so

19 9 (3.) A = U( A C ) = (Darauf beruht der Satz der totale Wahrschelchket, Gl. 3.4). De Mege (Eregsse) A C, A C,... sd dsjukt (uverebar). Defto 3.6: Potezmege Das Megesystem P( Ω ), desse Mege alle möglche Telmege vo Ω, eschleßlch ud Ω umfasse, heßt Potezmege (Eregsfeld) vo Ω. Ω = a, b, c st das Eregsfeld Be eem edlche Stchproberaum, etwa { } { } P Ω Ω { } { } { } { } { } { } ( ) =, a, b, a, c, b, c, a, b, c,. Be Elemete vo Ω besteht das Eregsfeld aus = Elemete. = 0 Motvato Es geügt cht, de Wahrschelchket ees Eregsses (Elemetareregsses) vo Ω, etwa vo A, B usw. zu defere, soder es muss für alle durch ud zu bldede, zusammegesetzte Eregsse, ee Wahrschelchket defert se. Eregsfelder sd bezüglch Veregug, Durchschtt ud Komplemetbldug abgeschlosse. Defto 3.7: Sgma-(σ-)Algebra Ee Telmege M vo P( Ω ), zu der Ω gehört ud mt eer Mege A auch dere Komplemet A, de wege der folgede Festlegug Nr. auch ethält ud de abgeschlosse st gegeüber der Veregug (Summe) vo oder auch abzählbar uedlch vele Eregsse A [Summe, daher σ; M st wege Nr. auch hschtlch abgeschlosse] () Ω M () we A M, da auch A M (3) A M U = heßt σ-algebra. Aders als P( Ω ) muss M cht eelemetge Mege ethalte. Motvato De Potezmege ka sehr groß oder be cht edlchem Ω auch uedlch se. De Wahrschelchket st ee auf e Megesystem deferte reellwertge Fukto, ee Megefukto, dere Deftosberech ee σ-algebra st. Se gbt a, welche Mege hm mdestes ethalte se müsse, um de Wahrschelchket defere zu köe? Defto 3.8: Wahrschelchket Se M ee σ-algebra. Ee auf M deferte Fukto P: M IR heßt Wahrschelchketsmaß, we de folgede (Kolmogroff'sche) Axome erfüllt sd.

20 0 ) P( A) 0 Nchtegatvtät für alle A M ) P U A = P A = = ( ) 3) P( Ω ) = Normerug P ( ) Volladdtvtät (σ-addtvtät), wobe alle Folge A Zerleguge vo Ω see also A A = ( 0 ), scheres Eregs De Wahrschelchket st e ormertes, addtves Maß auf ee σ-algebra. Ist Ω edlch, so geügt es, Wahrschelchkete für Elemetareregsse zu defere, alle adere Wahrschelchkete folge daraus. Wege Axom ud 3 folgt aus Axom auch P(A). j. Wahrschelchketsbegrff De Axome vo Defto 3.8 lege de mathematsche Egeschafte vo Wahrschelchkete fest. Se gebe kee Auskuft darüber, we ma de umersche Wert eer bestmmte Wahrschelchket erhält ud terpretert (Berechugsawesug, Iterpretatosproblem). Zu Versuche, dese Probleme m Wahrschelchketsbegrff zu löse, vgl. Überscht 3.. Überscht 3. Wahrschelchketsbegrff terpretered objektv (Eregs-Wkt.) subjektv (4) axomatsch Kolmogoroff Def. 3.8 (5) a prorsch klasssch (Laplace) () geometrsch () a posterorsch (statstscher Wkt.-begrff) (3) () Klassscher Wahrschelchketsbegrff De Wahrschelchket des Eregsses A st de Häufgket A des Etretes vo A (oder A = Mächtgket der Mege A) dvdert durch de Azahl aller möglche Fälle: P( A) A A Azahl der güstge Fälle = = = Ω Azahl der glechmög lche Fälle

21 () Geometrscher Wahrschelchketsbegrff Auch awedbar be überabzählbar uedlchem Stchproberaum Ω. (3) A posterorsch (v. Mses) Wahrschelchket als Grezwert der relatve Häufgket be sehr vele Beobachtuge ( ). (4) Subjektver Wahrschelchketsbegrff Maß für de Grad der Überzeugthet vo der Rchtgket eer Aussage (logsche Wahrschelchket, Hypothesewahrschelchket). (5) Axomatscher Begrff Er st z.b. sofer allgemeer als, wel cht ee edlche Mege Ω mt glechwahrschelche Elemetareregsse vorausgesetzt wrd. Begrff st als Spezalfall ethalte. 3. Addtossätze Bestmmug der Wahrschelchket eer Veregug. Im Falle uverträglcher Eregsse Verefachug (spezelle Addtossätze, Überscht 3.). Allgeme glt: ( ) ( ) P A... A P A =,,..., (Boolesche Uglechug). Überscht 3.: Addtossätze allgeme, daruter (*) spezell ( A A =,, j ) Addtossätze Zwe Eregsse A, B (3.3) P( A B) = P( A) + P( B) P( AB) (3.3*) P( A B) = P( A) + P( B) Dre Eregsse A, B, C (3.4) A B C) = P( A) + P( B) + P( C) P( AB) P( AC) P( BC) + P( ABC) (3.4*) P( A B C) = P( A) + P( B) + P( C) j Allgemee Eregsse A, A,..., A (3.5) Formel vo Sylvester (sehe ute) (3.5*) P U A = P( A ) = = Formel vo Sylvester U j (3.5) P A = ( ) P( A ) + ( ) P( A A ) + + ( ) P( A A A ) = = < j Iterpretato: Summade

22 erster Summad: P( A ) Summade zweter Summad: P( A A j ) letzter Summad: Vorzeche postv, de (-) =+ bestehed aus Vorzeche egatv, de (-) 3 =- bestehed aus Summade A A, A A, K, A A, A A, K, A A usw. bestehed aus 3 3 = Summade = 4. Multplkatossätze, stochastsche Uabhäggket Defto 3.9: Bedgte Wahrschelchkete P( A B ) st de Wahrschelchket des Etreffes des Eregsses A uter der Voraussetzug, dass Eregs B egetrete st (muß cht ee zetlche Folge, "zuerst B, da A", se). (3.6) P( A B) ( B) P( B) P A = ( ) etspreched P B A ( B) P( A) P A = Für bedgte Wahrschelchkete gelte de gleche Axome ud Sätze we für ubedgte P A C B = P A B + P C B P AC B (Addtossatz). Wahrschelchkete, z.b. ( ) ( ) ( ) ( ) Geerell glt: P A B + P A B = oder P AB C + P AB C = usw., aber cht (3.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B + P A B = oder P AB C + P AB C =. Defto 3.0: Stochastsche Uabhäggket a) paarwese (parwse) Uabhäggket vo zwe Eregsse A, B bedeutet: (3.7) P( AB) = P( A) P ( B) oder glechbedeuted P A = P A B (3.8) ( ) ( ) ud wege der Symmetre der Uabhäggket glt da auch P( B) P( B A) (3.9) P( A B) = P( A B) = P( A) ud P ( B A) = P( B A) = P( B) = oder b) wechselsetge (mutual) Uabhäggket be mehr als zwe, z.b. be dre Eregsse bedeutet: (3.0) P( ABC) = P( A) P ( B) P ( C)

23 3 Mt Glechug 3.0 glt auch paarwese Uabhäggket vo A ud B, A ud C sowe B ud C, cht aber umgekehrt. Wechselsetge Uabhäggket st also ee stregere Forderug als paarwese Uabhäggket. Bemerkug zu Defto 3.0 Mehrdeutgket des Begrffs Uabhäggket der Statstk: uabhägge Züge (be wederholter Zehug aus eer Ure mt Zurücklege, Kap. 4, 5) be mehrdmesoaler Zufallsvarable ( Kap. 4) uabhägge ud abhägge (verbudede) Stchprobe ( Kap. 9) der Regressosaalyse: "uabhägge Varable" Multplkatossätze Gegestad: Bestmmug der Wahrschelchket P(AB), P(ABC), usw. aus bedgte ud ubedgte Wahrschelchkete. Be Uabhäggket jewels Spezalfall des Multplkatossatzes. Vgl. Überscht 3.3. Folgeruge, Verallgemeeruge Bedgte Wahrschelchket allgemeerer Art: P( A... A m B... Bk ) (... Bk ) (... B ) P A = P B Etspreched läßt sch auch der Multplkatossatz allgemeer formulere. Bespel: P A A B B B = P A A B B B P B B B P B B P B. ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) Überscht 3.3: Multplkatossätze allgeme, daruter (*) spezell (A, A j paarwese uabhägg) k. Zwe Eregsse A, B Eregsse A,...,A Multplkatossätze (3.) P( AB) = P( A) P( B A) = P( B) P( A B) (3.*) P( AB) = P( A) P ( B) (3.) P( A... A ) = A A... A ) P( A A3... A ) P( A3 A4... A )... P( A A ) P( A )... = = = (3.*) P( A A ) P I A = P( A ) 5. Totale Wahrschelchket, Bayessches Theorem ) Satz vo der totale Wahrschelchket Es se { C } =,..., ee vollstädge Zerlegug vo Ω mt sch gegesetg ausschleßede Eregsse C mt P(C ) > 0. Weterh se A Ω. Da glt ach Gl. 3.:

24 4 (3.4) P( A) = P( C ) P( A C ) = P( C A) (3.4a) P( AB) = P( C ) P( AB C ) ) Bayessches Theorem (3.5) P( C A) = ( ) P( A C ) P( C ) P( A C ) P C = ( C ) P( A) P A Iterpretato: Bedeutug für Schätz- ud Testtheore: C, C,...: Alteratve, Hypothese, Ursache (für Beobachtuge) P(C ), P(C ),...: a pror Wahrschelchkete P( C ) = ( ), P ( C A),... a posteror Wahrschelchkete P( C A) P C A ( ) ( ) P A C, P A C,... Lkelhoods Spezelle Fälle P C A = P C für alle, we Lkelhoods glech sd ( ) ( ) P( C A) oder P ( C A) = = 0 =, d.h. be extreme Werte für a pror-wahrschelchkete vo 0 oder ehme auch de a posteror Wahrschelchkete extreme Werte a; etspreched extreme Werte für de Lkelhoods vo 0 oder : a posteror-wahrschelchkete sd da auch 0 oder, uabhägg vo de a pror-wahrschelchkete P C = P C =... = P C = / (Przp des alle a pror-wahrschelchkete glech ( ) ( ) ( ) magelde Grudes): da glt P( C A) P( A C ) P( A C ) =. De totale Wahrschelchket P( A ) st ach Gl. 3.4 e gewogees Mttel der Lkelhoods. Ist P( A C ) > P( A), da st P( C A) > P( C ). Ist P( A C ) < P( A), da st P( C A) P( C ) Beachte: P( C A) =, aber P( A C ) muss cht se. <.

25 5 Kaptel 4: Zufallsvarable, Wahrschelchketsverteluge. Edmesoale Zufallsvarable 5. Mehrdmesoale Zufallsvarable 8 3. Momete vo Fuktoe vo Zufallsvarable 3 4. Erzeugede Fuktoe 3 5. Itervalltrasformatoe 35. Edmesoale Zufallsvarable Def. 4.: Zufallsvarable a) dskrete Zufallsvarable. Se Ω = {ω,ω,...,ω } der Stchproberaum ees Zufallsexpermets mt de Eregsse ω,ω,...,ω. De Fukto X, welche jedem Elemet ω Ω ( =,,...,) ee reelle Zahl X(ω ) = x zuordet, heßt Zufallsvarable (ZV). Der Werteberech vo X st de Mege der reelle Zahle IR. De dem Eregs ω zugeordete Wahrschelchket P(ω ) wrd auf X übertrage, dem Se, dass für ω = x, =,...,, P(ω ) = P(X = x ) glt, ud es st defert: (4.) f(x ) = P(X=x ) = P(ω ) = p.. De Tupel x, f(x ) be eer edlche oder abzählbar uedlche Folge vo Werte x < x < x 3...< x mt (4.) ( ) f x,..., x f( x) = für x 0 sost st de Wahrschelchketsfukto (oder: Zähldchte) der dskrete Zufallsvarable X. 3. De Fukto F( x) = P( X x) = f( u), bzw. u x j F( x ) = P( X x ) = f( x ) = p j j = = heßt Vertelugsfukto der dskrete Zufallsvarable X. b) stetge Zufallsvarable j. Der Stchproberaum st überabzählbar uedlch. Defert st de Wahrschelchket dafür, dass X Werte eem Itervall x < X x + x ammt mt x+ x (4.3) P(x < X x + x) = f( u) du. x

26 6. De Fukto f(x) mt - < x < + oder a x b, heßt Dchtefukto (stetge Wahrschelchketsfukto; ma beachte aber: f(x) st kee Wahrschelchket!). 3. De Vertelugsfukto F(x) der stetge ZV X st gegebe durch: (4.4) F( x) = P( X x) = f( u) du ( < x < ). x Der Zusammehag zwsche der Dchtefukto f(x) ud der Vertelugsfukto F(x) der stetge Zufallsvarable X st gegebe durch: df( x) (4.5) f( x) = ( < x < ). dx Überscht 4.: Egeschafte der Wahrschelchketsfukto ud Itervallwahrschelchkete Egeschafte der Wahrschelchketsfukto (gem. de Kolmogoroffsche Axome) dskrete ZV (4.6a) 0 f(x), (4.6b) f( x) =, bzw. f( x ) = p = x stetge ZV (4.7a) 0 f(x) <, cht aber f(x) (4.7b) f ( x )dx =. *) also bespelswese: P(x < x x 4 ) = p + p 3 + p 4 = F(x 4 ) - F(x ). Art der Zufallsvarable Itervallwahrschelchkete (4.6c) P(a < X b) = = F(b) - F(a) = f( x )* a< x b (4.7c) P(c < x d) = d = f( x)dx = F( d) F( c) 0 c Def. 4.: Momete. De folgede Fukto der Zufallsvarable X E(X-a) r st das r-te (theoretsche) Momet um a. Ist a = 0, so sprcht ma vo Afagsmomete, st a = E(X) = µ vo zetrale Momete. Zwsche Afagsmomete E k = E(X k ) ud zetrale Momete M k = E[(X-µ) k ] besteht de folgede Bezehug: k k M k = E k ( µ ), mt E = µ. = 0. Das erste Afagsmomet E(X) = E = µ heßt Erwartugswert ud st gegebe mt (4.8) µ = E(X) = x f(x) = x f( x ), we X dskret st, bzw. mt = (4.9) µ = E(X) = x f( x)dx we X stetg st. 3. Das zwete zetrale Momet st de theoretsche Varaz. (4.0) V(X) = σ = E [X-E(X)] = E(X-µ) = E(X ) - µ We m ezele be dskretem ud stetgem X zu reche st, vgl. Übers Der Erwartugswert (4.) E * (X,k) = E[X(X-) (X-)... (X-k+)] E * (X,) = E(X), E * (X,) = E[X(X-)] usw., (k =,, 3,...), st das k-te faktorelle Momet vo X (um Null).

27 7 a) Vertelugsbegrffe b) Momete Überscht 4.: Gegeüberstellug der Termologe der Deskrptve ud Iduktve Statstk. dskrete Varable X Iduktve Statstk Wahrschelchketsvertelug f(x ) = p = P(X=x ) Vertelugfukto ) j ( j ) = ( ) = ( ) F x f x P X x = Erwartugswert E(X) = µ = Varaz (theoretsche) = V( X) = σ = ( x µ ) f( x ) Deskrptve Statstk Häufgketsvertelug ) h = Summehäufgket (kumulerte rel. Häufgket) H j = j h = x f( x ) Mttelwert x x h = Varaz (emprsche) s = ( x x) h ) relatve Häufgket h. ) De Vertelugsfukto F(x) st ee mooto chtfallede, rechtssetg stetge Treppefukto. b) Momete. stetge Varable X (ur duktve Statstk) f( x) = df x dx ( ) a) Vertelugsbegrffe Dchtefukto Vertelugsfukto + Erwartugswert µ = E( X) = xf ( x) dx Varaz (theoretsche) x F( x) = f( u) du V( X) = σ = ( x µ ) f( x)dx = = x f( x)dx µ Egeschafte des Erwartugswerts Der Erwartugswert E st e learer Operator:. Erwartugswert eer Kostate a: E[a] = a.. Erwartugswert eer Leartrasformato: E(bX) = b E(X). Be Y = a + bx (Leartrasformato) glt: E(Y) = a + b E(X). 3. Fuktoe φ der dskrete Zufallsvarable X: E c φ ( X) c E [ φ ( X) ] =, wobe φ (X) ee Fukto der dskrete Zufallsgröße X st (etsprechede Formel be stetger Zufallsvarable). Wchtger Hwes zu Übers. 4. Auf dem erste Blck mag es de klare Aaloge zur Deskrptve Statstk gebe, zumdest m dskrete Fall.

28 8 Wahrschelchkets-vertelug: X X... X m p p... p m Häufgkets-vertelug X X... X m h h... h m Erwartugswert E(X) = Σ x p Mttelwert x = Σ x h so dass mache geegt sd dese Begrffe praktsch glech zu setze ud de Uterschede cht zu erkee. Es st deshalb ubedgt zu beachte:. relatve Häufgkete bezehe sch auf edlch vele Beobachtuge, Wahrschelchkete dagege auf e przpell uedlch oft wederholbares Zufallsexpermet;. das prägt auch de Utersched zwsche dem Erwartugswert ud dem Mttelwert. Der Erwartugswert ka z.b. auch cht edlch se (cht "exstere"), währed der Mttelwert eer (emprsche) Häufgketsvertelug mmer edlch st.. Mehrdmesoale Zufallsvarable Def. 4.3: Zwedmesoale Wahrschelchketsvertelug. De Fukto f(x,y) st de gemesame Wahrschelchketsvertelug (be dskrete Zufallsvarable X,Y) bzw. gemesame Dchtefukto (be stetge Zufallsvarable X,Y). Im dskrete Fall st f (x,y j ) ee Wahrschelchket: f (x,y j ) = P(X = x ud Y = y j ), =,,..., m, j =,,..., k, ud de gemesame Wahrschelchketsfukto lautet: f( x, y j) für X = x, Y = y (4.) f (x,y) = 0 sost. Heraus abgeletet werde: a) ee zwedmesoale Vertelugsfukto F(x,y), b) zwe edmesoale Radverteluge f (x), f (y), c) edmesoale bedgte Verteluge(m dskrete Fall m bedgte Verteluge f by ud k bedgte Verteluge f bx. j 3. De Vertelugsfukto st defert als (4.3a) F(x,y) = P(X x, Y y) = (4.3b) F(x,y) = y x v y f(u,v) du dv f(u,v) u x m dskrete Fall bzw. m stetge Fall. 4. Radverteluge f, f (4.4a) f ( x ) = f ( x, y ) = P ( X = x ) bzw. f (x) = f( x, y)dy, y

29 9 (4.4b) f ( y ) = f ( x, y ) = P ( Y = y ) bzw. f (y) = f( x, y)dx. x 5. Bedgte Verteluge f bx,f by (4.5) f bx (x y) = f ( x, y ) f ( y ) (bedgte Vertelug der Varable X), (4.5b) f by (y x) = f ( x, y ) f ( x ) (bedgte Vertelug der Varable Y), m dskrete Fall sd des de bedgte Wahrschelchkete P(X=x Y=y) ud P(Y=y X=x). Egeschafte der gemesame Wahrschelchketsvertelug m dskrete Fall. 0 f(x,y) m stetge Fall. 0 f(x,y). f( x, y) =. f(x,y) dx dy = y x Def. 4.4: Momete ud Produktmomete. De Momete der Radverteluge sd E(X), E(Y), V(X), V(Y) usw.. Es glt z.b. be dskretem X ( ) ( ) ud ( ) σ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] E X = xf x V X = = x f x E X = E X E X x oder be stetgem X X X E(X) = x f (x) dx ud V(X) = ud de Momete vo Y etspreched. x f (x) dx - [E(X)]. Bedgte Erwartugswerte (4.6a) E( Y X = x) = yfb ( y x) = yf x y y f x (, ) y m dskrete Fall bzw. (4.6b) + + E( Y X = x) = yfb ( y x) dy = yf x y f x (, )dy m stetge Fall E X Y = y etspreched. ud ( ) 3. Produktmomete (Kovaraz) De (theoretsche) Kovaraz C(X,Y) als zetrales Produktmomet st defert als (4.7) C( X, Y) E[ ( X )( Y )] E( XY) = σ = µ µ = µ µ XY X Y X Y d.h. m dskrete Fall: σ XY = x y f(x,y) - µ x µ y y x b d bzw. m stetge Fall: σ XY = x y f(x,y) dx dy - µ x µ y, a c

30 30 we für de Deftosberech glt: a y b ud c x d. 4. Der (theoretsche) Korrelatoskoeffzet ρ xy st de auf de Werteberech [-,+] ormerte (theoretsche) Kovaraz σ xy :: ρxy = σ xy σ σ Er st das Produktmomet der stadardserte Zufallsvarable X X Y * µ µ x * y X = ud Y =, also E( X Y ) = ρ XY σ σ x y x y, Y mt: 5. Stochastsche Uabhäggket: X ud Y sd uabhägg, we für f(x,y) glt:, = f( x, y) ud damt: fbx ( x y) = = f ( x), f f ( y) by (y x) = f (y) (4.8) f( x y) f ( x) f ( y) Stochastsch uabhägge Zufallsvarable X,Y sd stets auch ukorrelert (aber de Umkehrug deses Satzes st cht zulässg). 6. Verallgemeerug für mehr als zwe Dmesoe Es se x' = [X X... X m ] e m-dmesoaler Zufallsvektor mt de Realsatoe [x x... x m ]. De Parameter der gemesame Wahrschelchketsfukto (sofer se exstere, d.h. edlch sd) werde der symmetrsche ud postv defte Mometematrx M (oder ) σ σ K σ (4.9) M = M M σ σ K σ m m m m zusammegefasst (Varaz-Kovaraz-Matrx der m Zufallsvarable). De Determate M deser Matrx heßt "verallgemeerte Varaz".De Bedgug M = 0 st otwedg ud hreched dafür, dass mt Wahrschelchket Es uter de Zufallsvarable mdestes ee leare Bezehug besteht (exakt erfüllt st; also etwa X = a + b X j ). Ist M 0, so glt M σ σ... σ m, so dass de Determate hre größte Wert da hat, we alle Kovaraze σ j (ud damt auch Korrelatoe ρ j verschwde.). Es glt also 0 M σ σ... σ m. Etspreched st de Korrelatosmatrx: ρ R =.. ρ ρ ρ m m ρ m ρ m ebefalls symmetrsch ud postv deft ud es glt 0 R. De Varaze (Hauptdagoale vo M) ud der Erwartugswertvektor µ' = [µ µ... µ m ]sd Parameter der Radverteluge.

31 3 3. Momete vo Fuktoe vo Zufallsvarable a) Leare Fuktoe vo Zufallsvarable Def. 4.5: Learkombatoe ud -trasformatoe De Zufallsvarable (4.0) Y = a + bx, a,b: Kostate st ee Leartrasformato der Zufallsvarable X ud (4.) Z = b X + b X b X (b,b,...,b kostate "Gewchte") Bemerkuge zu Def. 4.5: st ee (gewogee) Learkombato der Zufallsvarable X,X,..., X. e Leartrasformato st e Spezalfall der Learkombato, we Y = ax 0 + bx de Zufallsvarable X 0 degeerert st zu eer Epukt-Vertelug mt X 0 = x 0 = ud p 0 =.. Spezalfälle vo Gl. 4. sd de ugewogee Learkombato Z = X + X X, mt b = b =... = b = oder X = Z das arthmetsche Mttel, mt b = b =... = b =. 3. Für ee wetere Betrachtug st etscheded, ob de Zufallsvarable X, X,...,X paarwese stochastsch uabhägg sd oder cht (Übers. 4.3, ächste Sete). b) Produkte vo Zufallsvarable Be uabhägge Zufallsvarable (be abhägge sehr komplzerte Formel) glt: (4.) E(X X...X ) = E(X ) E(X )... E(X ). 4. Erzeugede Fuktoe Ist X ee ZV, da st ee Fukto vo X etwa t X tx oder e, (t IR ) ee ZV mt eer Wahrschelchketsvertelug ud eem Erwartugswert, der da ee Fukto vo t st. I desem Abschtt werde solche Fuktoe betrachtet. Def. 4.6: Erzeugede Fukto, Faltug. Ee erzeugede Fukto der Zufallsvarable X st ee Fukto der reelle Zahl t, dere Abletuge bestmmte ützlche Egeschafte habe. Es gbt verschedee Arte vo erzeugede Fuktoe (vgl. Übers. 4.3). I Überscht 4.3 werde ege erzeugede Fuktoe defert. Dar st f () (j) de -te Abletug der erzeugede Fukto f ach t a der Stelle t = j.. Uter der Faltug (covoluto) vo zwe uabhägge Zufallsvarable X ud Y mt de Wahrschelchketsverteluge f (x) ud f (y) versteht ma ee Zufallsvarable Z, für dere Wahrschelchketsvertelug f glt:

32 3 Überscht 4.3: Formel für Learkombatoe a) Momete vo Lear-kombatoe Z = b X + b X b X. Erwartugswert E( Z) = b E( X ) + b E( X ) + + b E( X ).Varaz a) uabhägge Zufallsvarable b) kee Uabhäggket... Z z = b + b b σ = b σ b σ σ σ σ σ + b ( bσ + bb3σ b bσ, ) Spezalfall: Arthmetsches Mttel (ugewoge): X = X + X X. Erwartugswert E( X) = µ = E( X ) X =. Varaz V( X) V( X ) V( X )... V( X ) We E( X ) = µ ud ( ) E( X) = µ X = µ ud V( X) = X = σ σ σ3... σ, V X = σ = σ für alle =,...,, ud de ZV'e ukorrelert sd, σ = σ = X b) Produktmomet ees Produkts vo Learkombatoe Bespel: Z = a X + a X ud Z = b X + b X + b 3 X 3 (, ) = ( ) + (, ) + 3 (, 3) + (, ) + a b V( X ) + a b C( X, X ) C Z Z a b V X a b C X X a b C X X a b C X X 3 3 c) Lear-trasformato Y=a+bX ( ) ( ) ud V( ) ( ) E Y = a + b E X = a + bµ Y = σ = b V X = b σ X Y X (4.3a) f( z) = P( X = x) P( Y = z x) = P( Y = y) P( X = z y) m dskrete Fall bzw. x (4.3b) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) y f z f x f z x f y f z y dy m stetge Fall. Ma schrebt auch Z=X * Y, we Z ee Faltug darstellt. Zu dem Kozept der erzeugede Fukto führe wr dre für Kap. 5 bs 7 sehr bedeutsame Sätze ohe Bewes a, aus dee Zusammehäge zwsche Verteluge ud Grezübergäge deutlch werde. Ncht für ur Bewese soder auch für de Berechug vo Momete köe erzeugede Fuktoe vo großem Nutze se.

33 33 Überscht 4.4: Erzeugede Fuktoe Name Defto Bedeutug der Abletuge *) wahrschelchketserzeugede Fukto W x (t) faktorelle mometerzeugede Fukto φ x (t) mometerzeugede Fukto M x (t) charakterstsche Fukto ψ x (t) W x (t) = E(t x ),we t, t IR, x IN (X st ee chtegatve gazzahlge Zufallsvarable) φ x (t) = W x (+t)= E[(+t) x ] t p = ( + ) x= 0 (X st ee chtegatve gazzahlge Zufallsvarable) M x (t) = E(e tx ) m dskrete Fall tx M x( t) = e p m stetge Fall tx M x( t) = e f( x) dx (X st ee belebge reellwertge Zufallsvarable, x IR ) tx Ψ x ( t) = E( e ) =,x IR x x ( k ) ( 0) Wx. k! k. W = p k ( ) * x ( ) = E ( X, k) = E[ X( X )... ( X k + ) ] (k-tes faktorelles Momet) ( ) * ( 0 ) = E ( X, k) = ( )...( + ) φ x k [ ] E X X X k das k-te faktorelle Momet **) M ( k ) k x ( 0 ) = E( X ) das k-te Afagsmomet ( ) ( 0 ) = E( X ) ψ x k k k ψ st de Fourertrasformerte der Dchtefukto f(x) *) de ullte Abletug vo W x a der Stelle 0 beträgt W x (0) = p 0, aber z.b. be der mometerzeugede Fukto M x (0) = (ebeso be φ x (t) ud ψ x (t)). * φ x 0 = E X X = E X,. **) Bespel: ( ) ( ) Bemerkuge zu Def.4.6: [ ] ( ). Ist X ee dskrete Zufallsvarable, de ur gaze, postve Zahle aehme ka, also de Wahrschelchketsvertelug mt x 0... f(x) p 0 p p... p gegebe, so st de wahrschelchketserzeugede Fukto WX ( t) we folgt defert: (4.4) W x (t) = E(t x ) = p 0 + p t + p t p t = De Abletuge ach t sd: x= 0 W ' x (t) = p + t p + 3 t p3 + 4 t 3 x p t p = xt p x= p x t x. x

34 34 W " ( t ) = t 0 p + 3 t p t p = x ( ) t p x( x ) t p x so dass W X ' (0) =! p = p, W x " (0) =! p bzw. allgeme: ( k (4.5) W ) x (0) = k! p k. Ferer glt W x ' () = p + p + 3p p = E(X), W x " () = E(X ) - E(X) = E[X(X-)] das zwete faktorelle Momet '' ( k (ach Def. 4. also E ( X, ) = W x ( ), oder allgeme E ( X, k) = W ) x ( )). x= x usw.,. Gegebe se ee Zufallsvarable mt de ver Auspräguge 0,, ud 3, dere Wahrschelchkete p 0, p, p ud p 3 sd. Da st de faktorelle mometerzeugede Fukto φ x (t) = p0 + (+t)p + (+t) p + (+t) 3 p 3 = + t p + t p + 3t p 3 + t p + 3t p3 + t 3 p3 ud de erste bede Abletuge ach t sd a der Stelle t = 0 ' φ x (0) = p + p + 3p 3 = E(X) = E*(X,), ud φ " x (0) = p + 6p 3 = E[X(X-)] = E*(X,). Etspreched erhält ma für de k-te Abletug a der Stelle t = 0 das k-te faktorelle Momet E * (X,k)=E[X(X-)...(X-k+)] mt der k-te Abletug vo φ x ( t) (vgl. Übers. 4.3). 3. Ist X zwepuktvertelt (vgl. Kap. 5) mt der mometerzeugede Fukto M x (t) = E(e tx ) = e 0.t (-π) + e t π = πe t + (-π) ud X detsch vertelt, da st de mometerzeugede Fukto der Summe X = X + X der bede uabhägg detsch vertelte Zufallsvarable [πe t + (-π)], d.h. ach Satz 4. das Produkt der mometerzeugede Fuktoe. Das st aber de mometerz. Fukto der Bomalvertelug mt =. Satz 4.: De erzeugede Fukto eer Faltug Z st das Produkt der erzeugede Fuktoe vo X ud Y. So we mt Satz 4. der Nutze erzeugeder Fuktoe be der Betrachtug vo Summe uabhägg detsch vertelter Zufallsvarable (also für das Problem, ob ee Wahrschelchketsvertelug "reproduktv" st) offebar wrd, zegt sch mt de folgede Sätze der Vorzug mt solche Fuktoe Grezverteluge (Kap.7) zu utersuche: Satz 4.: (Levy-Cramer; vgl. Bem.6 zu Def. 7.) Ee edlche Folge vo Vertelugsfuktoe F (x), F (x),... kovergert geau da gege de asymptotsche Vertelug F(x) (Grezvertelug), we de Folge der charakterstsche Fuktoe auf jedem edlche Itervall t 0 t t gege de charakterstsche Fukto der Grezvertelug kovergert. Satz 4.3: Ee Folge vo Wahrschelchketsverteluge f (x),f (x),... kovergert geau da gege ee Wahrschelchketsvertelug f(x) (Grezvertelug), we de Folge der charakterstsche Fuktoe auf jedem edlche Itervall t o t t gege de charakterstsche Fukto der Grezvertelug kovergert.

35 5. Verteluge trasformerter Varable, Itervalltrasformatoe I desem Abschtt wrd gezegt, we ma de Wahrschelchketsvertelug f * (z) eer gemäß eer Fukto Z= g(x) trasformerte Varable X fdet ud we dese Vertelug zusammehägt mt der Vertelug vo X. Das Problem trtt auch auf, we es glt ee für das Itervall (de Deftosberech) a x b deferte Zufallsvarable X ee für das Itervall [a *, b * ] deferte Zufallsvarable Z zu trasformere. De Zusammehäge werde schleßlch auf de mehrdmesoale Fall verallgemeert. a) e- ud mehrdmesoale dskrete Zufallsvarable Gegebe se de dskrete Wahrschelchketsvertelug 35 x x x... x p p p... p etwa X =, X = usw., ud gesucht st de Wahrschelchketsvertelug der trasformerte Varable Z, etwa Z = 3X + 4. De Lösug st efach, wel da ur jedem kokrete Wert x e z gemäß deser Trasformato zuzuorde st ud de Wahrschelchkete hervo cht berührt werde. Ma erhält da: f( z) p für z = 7 p für z = 6 usw. = M 0 sost Be eer mehrdmesoale dskrete Vertelug st aalog zu verfahre. Schwerger st das Problem m Falle eer stetge Zufallsvarable. b) edmesoale stetge Zufallsvarable dx =, da dz Satz 4.4: Se f(x) de Dchtefukto der stetge Zufallsvarable X ud Z = g(x) ee eedeutge Trasformato mt der Umkehrug X = h(z) ud der Abletug h ( z) lautet de Dchtefukto vo Z: (4.5) = ( ) [ ] ( ) f * ( z) f h z h' z I f(x) wrd jetzt x gem. x = h(z) egesetzt ud dese Fukto mt der absolut geommee dx dh( z) Abletug = = h' ( z) multplzert. Ist x m Itervall [a, b] defert, so muss für z dz dz gelte a* z b*. We es glt, das Itervall [a, b] das Itervall [a*, b*] zu trasformere, so lautet de Fukto g(x) (4.6) Z a * b b * a * * b a = + X mt der Umkehrfukto X = h( Z) b a b a * * a b b a b a (4.7) X = + Z, so dass * * * * ( ) b a b a = b a h z * * b a st.

36 36 c) mehrdmesoale stetge Zufallsvarable De Verallgemeerug vo Satz 4.4 für zwedmesoale Verteluge lautet: De Varable (X, Y) habe de gemesame Dchte f(x, y) ud es see u = g (x, y) ud v = g (x, y) stetge mootoe Trasformatoe mt de Umkehruge x = h (u, v), y = h (u, v), da glt: (4.8) f*(u, v) = f [ h (u, v), h (u, v)] J, wobe J de Jacobsche Determate (Fuktoaldetermate) J = x u y x v y ud J dere u v Betrag st. Ma erket, dass de Betrachtug uter b e Spezalfall st ud we der Zusammehag lecht zu verallgemeer st be mehr als zwe Dmesoe. Kaptel 5: Spezelle dskrete Wahrschelchketsverteluge. Überscht ud Eführug 36. Zwepukt-Z(π), Bomal- B(,π) ud hypergeometr. Vertelug H(,M,N) Geometrsche Vertelug GV(π) ud egatve Bomalvertelug NB(π,r) Possovertelug P(λ) Wetere Verteluge edmesoaler dskreter Zufallsvarable Polytome Versuche (mehrdmesoale dskrete Verteluge) 50. Überscht ud Eführug Def. 5.: Beroull-Expermet, Uremodell. E Zufallsexpermet, be dem ur zwe sch gegesetg ausschleßede Eregsse etrete köe, heßt Beroull-Expermet. Der Versuchsausgag st somt dchotom. Ma sprcht (ohe Wertug) vo "Erfolg" ud "Msserfolg". Be wederholte Expermete ka ma uabhägge ud abhägge Versuche uterschede.. E Uremodell besteht der Spezfzerug der Zusammesetzug eer Ure ud der Art der Zehug aus der Ure. De Ure ka aus zwe oder m > Arte vo Kugel bestehe ud es ka mehrmals mt oder ohe Zurückzehe gezoge werde. Bemerkuge zu Def. 5.:. Bem Beroull-Expermet besteht de Ure aus - M schwarze Kugel ("Erfolg") ud - N-M weße Kugel ("Msserfolg"),

37 37 sgesamt also aus N Kugel. Bem emalge Zehe aus der Ure st de "Erfolgswahrschelchket" gegebe durch π = M / N ud de "Msserfolgswahrschelchket" mt π = ( N M) / N. Üblch st auch de Notato p = π für de Erfolgs- ud q = - π für de Msserfolgswahrschelchket. Be -malgem Zehe aus der Ure st zu uterschede zwsche Zehe mt Zurücklege (ZmZ, uabhägge Versuche): durch das Zurücklege wrd de Ure praktsch uedlch, so dass N cht zu beachte st, Zehe ohe Zurücklege (ZoZ, abhägge Versuche). Ee adere Veraschaulchug wederholter Zufallsversuche mt polytome ud spezell dchotome (Beroull-Expermet) Ausgag st e Baumdagramm (Wahrschelchketsbaum). 3. De Zufallsvarable (ZV) ka m Folgede uterschedlch defert se: der Azahl X der Erfolge be Versuche (X st de ZV, st kee ZV) der Atel p = X der Erfolge be Versuche (Relatverte Verteluge, p st ee Leartrasformato vo X) de Azahl X der cht erfolgreche Versuche bs zum r-te Mal (oder spezell r = te Mal) e Erfolg auftrtt oder de Azahl X * der Versuche. Gerade hschtlch der letzte Betrachtug gbt es Uterschede be der Darstellug eer Vertelug de Lehrbücher, weshalb (we ötg) "alteratve Formulerug" der Zufallsvarable aufgeführt werde. 4. Ee Varate des Uremodells besteht m Zehe aus k Ure mt eem Atel π schwarzer Kugel. Das führt zur verallgemeerte Bomalvertelug (vo Posso). E Modell, das e Hzufüge vo Kugel ach Zehug vorseht, führt zur Polya-Vertelug, eer Verallgemeerug vo Bomal- ud Hypergeometrscher Vertelug. Egeschafte der Verteluge (De folgede Bemerkuge gelte auch für stetge Verteluge), Im Zusammehag mt Wahrschelchketsverteluge teressere. d. R. de folgede Egeschafte eer Vertelug:. Parameter (de de Gestalt der Vertelug bestmme) ud de herbe zulässge Wertebereche. Iterpretato der Zufallsvarable X ud dere zulässger Werteberech 3. Momete der Vertelug sowe Meda, Modus etc. 4. Erzeugede Fuktoe, de u. a. auch Aufschluß gebe über de Zffer 5 ud 6 5. Reproduktvtät (vgl. Def. 5.) 6. Zusammehäge mt adere Verteluge - ee Vertelug V ka z.b. e Spezalfall eer adere allgemeere Vertelug V se (etwa be eer bestmmte Parameterkostellato vo V ) - Approxmatosmöglchkete (vgl. Def. 5.3). Def. 5.: Reproduktvtät Sd de Zufallsvarable X, X,..., X vertelt ach eer bestmmte Vertelug V ud st de Summe uabhägger Zufallsvarable X + X X ebefalls ach V vertelt, so st de Vertelug V reproduktv.

38 38 Überscht 5.0: Uremodell vo ege ) Verteluge Zufallsexpermet mt Wederholuge m = Ausgäge (dchtotom) ) m > Ausgäge (polytom) =, ZmZ, ZoZ Zwepuktvertelug Multomalvert. polyhpergeometr. Vert. mt Zurücklege (ZmZ) X = Azahl der Erfolge 3) ohe Zurücklege (ZoZ) X = Azahl der Erfolge Bomalvertelug Hypergeometrsche Vertelug Grezverteluge (asymptot. Vertel.) Possovert. Normalvertelug (stetg) ) we chts aderesvermerkt st: dskrete Verteluge ) Beroull-Expermet 3) Adere Fragestelluge: GV, NB GV (geometr. Vert.): We groß st be uabhägge Beroull-Expermete de Wahrschelchket, dass ach X = 0,,,... Mßerfolge erstmals e Erfolg auftrtt? De Zufallsvarable X st de Azahl der Mßerfolge eer Folge vo Mßerfolge bs zum erste ud. d. R. ezge Erfolg. De Azahl der Versuche st da X +. NB (egatve Bomalvert.): f(x) st de Wahrschelchket dafür, dass der r-te Erfolg gerade m (x + r) te Versuch etrtt. Offebar st GV der Spezalfall r =. Def. 5.3: Approxmato Ee Folge vo Verteluge des gleche Typs V, V,..., V, de sch durch de für de Parameter ageommee Zahlewerte uterschede, ka gege ee Grezvertelug G kovergere, so dass es möglch st, Wahrschelchkete ach V guter Näherug durch mest lechter zu bestmmede Wahrschelchkete ach G zu approxmere.. Zwepukt-, Bomal- ud hypergeometrsche Vertelug a) Zwepuktvertelug [ Z(π)=B(, π) ] Be emalger Durchführug ees Beroull-Expermets ka x = 0 (Mßerfolg) mt Wahrschelchket - π oder x = (Erfolg) mt Wahrschelchket π auftrete. Ma sprcht

39 39 vo eer Zwepuktvertelug, wel de Zufallsvarable zwe Werte, x ud x aehme ka, desem spezelle Fall x = 0 ud x =. Es glt E(X) = πud V(X) = π(-π) Abb 5.: Bemerkeswert st dass (we Abb. 5. zegt) de Varaz σ = V( X) m Betrag beschräkt st. Se beträgt V( X ) = π( π) ( 0 π ) 4 ud mmt hre maxmale Wert a der Stelle π = a. Für de Momete der Z(π)-Vertelug erhält ma gaz allgeme: ( ) ( ) E X = µ = π + π = π 0,5 0, 0,5 0, 0,05 V(X) 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 ud E( X ) 0 ( ) ( X k ) = π + π = π,allgeme E = π. Dass alle Afagsmomete de Wert π aehme ergbt sch auch aus de Abletuge der mometerzeugede Fukto M x (t). De Vertelug st lksstel (γ > 0), we x < / ud rechtsstel (γ < 0), we π > (also de Wahrschelchket des Erfolges größer st als de des Msserfolges). Wahrschelchkets- fukto f ( x) Überscht 5.: Zwepuktvertelug Z(π) = B(,π) Z = π für x = 0 π für x = 0 sost Vertelugsfukto 0 für x < 0 FZ ( x) = π für 0 x < für x Parameter π (Erfolgswahrschelchket) Zufallsvarable X Azahl der Erfolge be = Versuche. Realsatoe x =0 ud x = Uremodell Beroull-Expermet Summe detsch X + X X B(,π) vertelter Zufallsvarable µ = = =... = = π, Varaz Momete Erwartugswert E( X) E( X ) E( X ) adere Verteluge Z( π) = B(, π) erzeugede Fuktoe Bedeutug ( ) σ = V( X) = π π, Schefe γ = ( π) π( π) W x ( t) = π + t t t ( π), M ( t) = πe + ( π), ( t) = πe + ( π) x Modell für de Grudgesamthet be homograder Fragestellug Ψ x π

40 40 b) Bomalvertelug [ B(, π) ] Ee -malge uabhägge Wederholug be kostatem π des Beroull-Expermets ( mal ZmZ aus eer Ure) führt zur Bomalvertelug. De Azahl X der Erfolge ka Werte zwsche 0 ud aehme. Sd de uabhägge Zufallsvarable X,..., X detsch zwepuktvertelt mt π, so st dere Summe X = X X bomalvertelt mt de Parameter ud π. Daraus folgt uter aderem auch E(X) = Σ E(X ) = Σπ = π. De B- Vertelug st de Stchprobevertelug für de Azahl der Erfolge be (ZmZ-) Stchprobe vom Umfag aus eer Z(π)-vertelte Grudgesamthet. Der Begrff Bomalvertelug (oder: bomsche Vertelug) mmt Bezug darauf, dass de Etwcklug (Expaso) des Boms (q + p) zu folgeder Glechug (bomscher Satz) führt: x x ( q + p) = q q q 0 x 0 0 p + - pq p p, wor das allgemee Gled x p x x q de Wahrschelchketsfukto der B-Vertelug mt p = π ud q = - π darstellt. Daraus folgt auch (da p + q = ), dass de Summe der bomale Wahrschelchkete fb( x) = st. Es gbt x Möglchkete eer Versuchssere ( Versuche) x Erfolge ud damt - x Msserfolge zu erhalte. Jede deser x Möglchkete hat de Wahrschelchket π ( π) x. Das erklärt de Formel für f(x). We be der Z-Vertelug st de Schefe γ > 0 (lksstel), we π <, also π aus fb( x) = ( ) x π folgt, dass π Asymmetre mplzert. π Aus fb( x, π) = fb( x, π) < - π. Auch folgt, dass x ud - x sowe π ud -π vertauscht werde köe. So geügt es, de Wahrschelchkete der B-Vertelug be gegebee für 0 π zu tabellere (vgl. Tabelle m Ahag, Sete T-). Aus der Rekursosformel (vgl. Übers. 5.8) v = f B ( x + ) ( x) f B = x x + π π folgt, dass de Wahrschelchkete der B-Vertelug so lage astege (also v > ), we x kleer st als µ ( π) = ( + ) π st ud dass se falle (v < ), we x > ( + ) π -. De B- Vertelug hat, falls ( + ) π gazzahlg st, zwe Modalwerte, ämlch ( + ) π - ud ( + ) π, aderefalls st der Modus [( + ) π] (Gaußklammer [ ]). Für de faktorelle Momete glt: * E X, k =... k + π k, also E * X, = E X = π ud * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (,) = ( ) = π. [ ] ( ) E X E X X Folglch erhält ma für de Varaz: σ = ( ) = π( π) V X.