8.3 Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren

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1 Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren Beispiel: + 2 e Diese Gleichung kann nicht nach aufgelöst werden, da die beiden nicht zusammengefasst werden können. e Die gesuchten Lösungen der Gleichung sind also die Nullstellen der Funktion f ( ) e Eigenschaften der Funktion f ( ) e : > > > f ( ) e - 0 e 0 < < < f ( ) ist also streng monoton wachsend auf R + und streng monoton fallend auf R - und hat daher an der Stelle 0 0 ein lokales Minimum. Da D f R keine Lücken hat und f ( ) stetig ist, ist dieses lokale Minimum auch das globale Minimum. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 8.3 Folie Funktionswerte von f ( ) e : f ( 0) f ( 2 ) e e 2-4 f ( - 2 ) e e - 2 3,389 0,35 f ( ) ist stetig und hat daher nach Zwischenwertsatz mindestens je eine Nullstelle zwischen - 2 und 0 sowie zwischen 0 und 2. Wegen der Monotonie hat f ( ) somit genau diese beiden Nullstellen. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 8.3 Folie 2

2 Numerische Bestimmung von Nullstellen mit dem Tangentenverfahren von Newton Zu einer diff baren Funktion f ( ) soll die Nullstelle * bestimmt werden. Dazu geht man wie folgt vor: f ( ) Man wählt eine ( beliebige) Stelle 0 ε D f und bildet die Tangente an f ( ) in 0. Die Nullstelle dieser Tan- * gente heiße. Dann bildet man die Tangente in. Die Nullstelle dieser Tangente heiße 2. Dann bildet man die Tangente in 2. Die Nullstelle dieser Tangente heiße Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 8.3 Folie 3 Indem man diese Vorgehensweise immer weiter fortsetzt, erhält man unter bestimmten Bedingungen eine Folge n mit Grenzwert *. f ( ) Zur Berechnung der Folge n : tan( α ) f ( 0 ) 0 - tan( α ) f ( 0 ) * 3 2 α 0 Es gilt also: f ( 0 ) f ( 0 ) 0 - f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) Allgemein gilt: n+ n - f ( n ) f ( n ) Iterationsformel des Tangentenverfahrens von Newton Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 8.3 Folie 4 2

3 n+ n - f ( n ) f ( n ) Iterationsformel des Tangentenverfahrens von Newton Mit dem Startwert 0 ( beliebig) und dieser Iterationsformel ist die Folge n somit rekursiv definiert. Ob n jedoch wirklich gegen die gesuchte Nullstelle * konvergiert, ist in den meisten Beispielen sehr schwierig zu beweisen. Daher verzichtet man auf den Konvergenznachweis und vertraut darauf, dass sich die Iterationswerte nach einer nicht allzu großen Zahl an Iterationsschritten der gesuchten Nullstelle * schon so sehr genähert haben, dass sie in der gewünschten Genauigkeit mit * übereinstimmen. Dies wiederum stellt man daran fest, dass sich die Iterationswerte selbst von einem n zum Nachfolger n+ kaum noch ( d.h. in der gewünschten Genauigkeit nicht mehr) verändern, und beendet dann die Iteration. Bemerkung: Die Erfahrung zeigt, dass das Vertrauen in die Konvergenz des Verfahrens in den meisten Fällen gerechtfertigt ist! Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 8.3 Folie 5 Beispiel Bestimme die Lösungen der Gleichung + 2 e mit dem Newton-Verfahren. Gesucht sind also die Nullstellen der Funktion f ( ) e : n+ n - f ( n ) f ( n ) n - e n - n - 2 e n - e n ( n - ). + 2 e n - Mit dem Startwert 0 ergibt sich die folgende Iteration: 0 e 0 ( 0 - ). + 2 e 0 - ( - ). e + 2 e -,64 2 e ( - ). + 2 e - (,64 - ). e, e,64 -,46 3 e 2 ( 2 - ). + 2 e 2 - (,46 - ). e, e,46 -,46 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 8.3 Folie 6 3

4 n+ e n ( n - ). + 2 e n - Mit dem Startwert 0 - ergibt sich die folgende Iteration: 0 - e 0 ( 0 - ). + 2 e 0 - ( - - ). e e ,000 2 e ( - ). + 2 e - ( ). e e ,843 3 e 2 ( 2 - ). + 2 e 2 - ( -,843 - ). e -, e -, ,84 4 e 3 ( 3 - ). + 2 e 3 - ( -,84 - ). e -, e -,84 - -,84 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 8.3 Folie 7 Ergebnis: *,46 und 2 * -,84 sind also die beiden Nullstellen von f ( ) e und damit auch die gesuchten Lösungen der Gleichung + 2 e ( auf 3 Dezimale genau ). In diesem Beispiel gilt: Ist der Startwert 0 positiv, so findet das f ( ) e * * Newton- Verfahren die Nullstelle *. Ist 0 negativ, so konvergiert das Newton- Verfahren gegen 2 *. Für 0 0 bricht das Newton- Verfahren ab. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 8.3 Folie 8 4

5 Mit dem Startwert 0-0,00 ergibt sich die folgende Iteration: 0-0,00-000, , , ,84 5 -,84 Mit dem Startwert 0 0,002 ergibt sich die folgende Iteration: 0 0, , , , , ,50 f ( ) 8, f ( ) 8, , , , , , , , , , , ,466 50, ,49 503,46 504,46 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 8.3 Folie 9 Probleme beim Newton-Verfahren n+ n - f ( n ) f ( n ) Die Iteration bricht ab, wenn einer der Iterationswerte oder der Startwert eine f ( ) Definitionslücke von f ( ) oder eine Stelle n mit f ( n ) 0 ist. Die Tangente ist dann waagerecht und hat daher keine Nullstelle; in der Rechenformel ist der Nenner 0. * 0 Die Iteration konvergiert nicht immer, z.b. wenn es gar keine Nullstelle gibt. Daher sollte man das Newton- Verfahren nicht anwenden ohne vorher die Eistenz von mindestens einer Nullstelle geprüft zu haben. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 8.3 Folie 0 5

6 Probleme beim Newton-Verfahren Falls die Funktion mehrere Nullstellen hat, f ( ) ln( ) kann es recht schwierig sein, für jede dieser Nullstellen einen geeigneten Startwert zu finden. Beispiel: f ( ) ln ( ) Diese Funktion hat die beiden Nullstellen * 0, und 2 * 0, , * 2 * Dabei findet die Newton-Iteration für alle Startwerte 0 > 0, die Nullstelle 2 *, für alle negativen Startwerte und alle Startwerte zwischen 0, und 0, bricht die Iteration ab und nur für Startwerte zwischen 0 und 0, findet die Iteration die Nullstelle *. 0 0, , Iteration bricht ab Iteration findet * Iteration findet 2 * Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 8.3 Folie Probleme beim Newton-Verfahren Außerdem findet die Newton- Iteration bei Funktionen mit mehreren Nullstellen nicht immer die Nullstelle, die dem Startwert am nächsten liegt. Beispiel: f ( ) sin( hat die Nullstellen ) kπ 0 0, ,5 - Startwert 0, , , , , , , , von der Iteration gefundene Nullstelle 0,0796-0,0062-0,592 divergengengent diver- diver- 0,0796 0,383 ( k 4 ) ( k - 5 ) ( k - 2 ) ( k 4 ) ( k ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 8.3 Folie 2 6

7 Vorgehensweise zum numerischen Lösen von Gleichungen mit dem Newton-Verfahren.) Die gegebene Gleichung wird so umgeformt, dass auf der rechten Seite 0 steht. Die linke Seite wird dann f ( ) genannt. 2.) Mit Methoden der Kurvendiskussion bestimmt man die Anzahl und ungefähre Lage der Nullstellen dieser Funktion f ( ). 3.) Man wählt Startwerte 0 in der Nähe dieser Nullstellen und iteriert so lange mit der Iterationsformel n+ n - f ( n ) f ( n ), bis sich entweder eine vorher festgelegte Zahl von Dezimalen nicht mehr verändert ( Nullstelle von f ( ) und damit Lösung der Gleichung gefunden), oder eine vorher festgelegte Anzahl von Iterationsschritten erreicht wird ( Absicherung gegen Divergenz des Verfahrens ). Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analsis 8.3 Folie 3 7

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