Flächeneinheiten und Flächeninhalt

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1 Flächeneinheiten und Flächeninhalt Was ist eine Fläche? Aussagen, Zeichnungen, Erklärungen MERKE: Eine Fläche ist ein Gebiet, das von allen Seiten umschlossen wird. Beispiele für Flächen sind: Ein Garten, der von Wegen umschlossen ist. Eine Wiese, die von einem Zaun umschlossen ist. Ein Acker, der von Wegen umschlossen ist. Ein Waldgebiet, das von Straßen umschlossen ist. Eine Fläche ist also immer der Bereich, der im Inneren einer Begrenzung liegt. Die Begrenzung bildet dann immer den Umfang der Fläche. Was ist 1 Quadratzentimeter? Aussagen, Zeichnungen, Erklärungen 1 Quadratzentimeter ist eine Einheit, mit der man Flächen messen und ausdrücken kann. Wie sieht 1 Quadratzentimeter aus? 1cm MERKE: 1 Quadratzentimeter ist eine Fläche, die 1 cm lang und 1 cm breit ist ( Quadrat). 1 Quadratzentimeter wird abgekürzt mit: 1 cm. Kann man noch andere Flächen zeichnen, die 1 cm groß sind? 1 Quadratzentimeter setzt sich aus 4 Rechenkästchen zusammen, 1 Rechenkästchen bildet also den vierten Teil eines Quadratzentimeters, 1 Rechenkästchen = ¼ Quadratzentimeter. Seite 1 von 15

2 Zeichne vier Gebiete, die einen Flächeninhalt von 9 cm besitzen. Bestimme auch den Umfang (u) von jedem dieser Gebiete. Beispiele für Gebiete mit 9 cm Flächeninhalt: / 1/ Andere Flächenmaße 1.) 1 Quadratdezimeter: 1 Quadratdezimeter ist eine Fläche, die 1 dm lang und 1 dm breit ist oder die 10 cm lang und 10 cm breit ist. 1 mm 1cm 1 dm In der Zeichnung kann man folgenden Zusammenhang erkennen: 1 dm = 100 cm 1 cm = 100 mm 1 dm = mm Seite von 15

3 MERKE: 1.) Ein Quadratdezimeter ist eine Fläche, die 1 dm oder 10 cm lang und 1 dm oder 10 cm breit ist..) Auf 1 Quadratdezimeter passen 100 Quadratzentimeter. 3.) Auf 1 Quadratzentimeter passen 100 Quadratmillimeter. Zeichne Flächen, die folgende Größe haben sollen: a.) dm b.) 1 cm c.) 45 cm d.) 5 mm e.) 00 mm f.) ½ dm Bestimme auch deren Umfang (u). Es gibt folgende Flächenmaße: Alle Flächenmaße 1mm 1cm 1dm 1m 1a 1ha 1km Ar 1 Hektar 1 m : Quadrat mit einer Länge und einer Breite von 1 m. 1 a: Quadrat mit einer Länge und einer Breite von 10 m. (Größe von Klassenzimmer) 1 ha: Quadrat mit einer Länge und einer Breite von 100 m. (Größe eines Fußballplatzes) 1 km : Quadrat mit einer Länge und einer Breite von 1000 m oder 1 km. MERKE: Die Umrechnungszahl für alle Flächenmaße beträgt 100. Das bedeutet, dass man pro Umformungsschritt Stellen mit dem Komma vor oder zurück gehen muss. Verwandle alle Maße in die nächstkleinere und die nächstgrößere Einheit: 15 m = 1500 dm = 0,15 a 7 cm = 700 mm = 0,07 dm 35 a = m = 3,5 ha 19,5 ha = 1950 a = 0,195 km 4,5 m = 450 dm = 0,045 a 0,65 dm = 65 cm = 0,0065 m Seite 3 von 15

4 Flächeninhalt und Umfang Ausgangsfläche Auf der Zeichnung erkennst du 8 Flächen, die alle verschiedene Formen haben. a.) b.) c.) d.) e.) Bestimme durch Messen den Umfang (u) der 8 Flächen. Gibt es eine gemeinsame Eigenschaft der 8 Flächen? Versuche in deinem Hausheft och 4 weitere Flächen zu zeichnen, die die gleiche Gemeinsamkeit besitzen. Bestimme auch deren Umfang (u). Male alle Flächen auf diesem Arbeitsblatt mit einer oder mehreren Farben an. Versuche die Flächen 8 durch zerschneiden und zusammensetzen auf die Form der Ausgangsfläche (unten links) zurückzuführen. Klebe sie dann in dein Merkheft ein. Seite 4 von 15

5 Der Flächeninhalt in cm² Bestimme den Flächeninhalt (A) der folgenden Figuren in cm². Berechne auch ihren Umfang (u) Lösungen in nicht geordneter Reihenfolge: Umfang: 1 cm ; 13,6 cm ; 11, cm ; 7,6 cm ; 1 cm ; 15 cm ; 1 cm ; 14, cm ; 9,6 cm ; 14,6 cm ; 1 cm Fläche: 10,5 cm ; 5 cm ; 8 cm ; 8 cm ; 6 cm ; 9 cm ; 8 cm ; 5 cm ; 6 cm ; 6,5 cm ; 9 cm ; 8 cm Seite 5 von 15

6 Flächeninhaltseinheiten 1.) Trage die folgenden Flächeneinheiten in die Einheitentabelle ein. a.) 8946 a b.) 34,9 m² c.) 8,3 ha d.) 0,03 cm² e.) 34 mm² f.) 45,03 km² g.) 7456 dm² h.) 3, m² km² ha a m² dm² cm² mm² Z E Z E Z E Z E Z E Z E Z E Verwandle jetzt mit Hilfe der Einheitentabelle die einzelnen Flächenmaße in die angegebenen Einheiten: 8946 a = m² = ha 34,9 m² = a = dm² 8,3 ha = km² = a 0,03 cm² = dm² = mm² 34 mm² = cm² = dm² 45,03 km² = ha = a 7456 dm² = m² = cm² 3, m² = dm² = a.) Wandle in die entsprechende angegebene Einheit um: a.) 17,5 m² = a b.) 7,3 a = m² c.) 0,8 km² = ha d.) 46,5 a = ha e.) 95,4 mm² = cm² f.) 358,7 dm² = m² g.) 5,08 cm² = mm² h.) 73 m² = a i.) 3451 a = ha j.) 4,15 ha = km² k.) 7,5 m = cm l.) 0,95 cm² = mm² m.) 0,5 km² = ha n.) 856,7 km = m Seite 6 von 15

7 Flächeninhaltseinheiten (Lösungen) 1.) Trage die folgenden Flächeneinheiten in die Einheitentabelle ein. a.) 8946 a b.) 34,9 m² c.) 8,3 ha d.) 0,03 cm² e.) 34 mm² f.) 45,03 km² g.) 7456 dm² h.) 3, m² km² ha a m² dm² cm² mm² Z E Z E Z E Z E Z E Z E Z E Verwandle jetzt mit Hilfe der Einheitentabelle die einzelnen Flächenmaße in die angegebenen Einheiten: 8946 a = m² = 89,46 ha 34,9 m² = 0,349 a = 3490 dm² 8,3 ha = 0,083 km² = 830 a 0,03 cm² = 0,0003 dm² = 3 mm² 34 mm² =,34 cm² = 0,034 dm² 45,03 km² = 4503 ha = a 7456 dm² = 74,56 m² = cm² 3, m² = 30 dm² = 0,03 a.) Wandle in die entsprechende angegebene Einheit um: a.) 17,5 m² = 0,175 a b.) 7,3 a = 730 m² c.) 0,8 km² = 80 ha d.) 46,5 a = 0,465 ha e.) 95,4 mm² = 0,954 cm² f.) 358,7 dm² = 3,587 m² g.) 5,08 cm² = 508 mm² h.) 73 m² =,73 a i.) 3451 a = 34,51 ha j.) 4,15 ha = 0,415 km² k.) 7,5 m = 75 cm l.) 0,95 cm² = 95 mm² m.) 0,5 km² = 50 ha n.) 856,7 km = m Seite 7 von 15

8 Rechnen mit Flächeninhalten Die Stellfläche für ein Auto ist 8 m groß. Ein Parkplatz hat 500 solcher Stellplätze und 50 m Wegfläche. zu a.) zu b.) a.) Wie lang und wie breit könnte die Stellfläche (Rechteck) für ein Auto sein? b.) Wie groß ist der Parkplatz in m und a? c.) Wie viele Autos könnten dort parken, wenn man die Stellfläche für ein Auto auf 9 m erhöht? d.) Wie lang und wie breit könnte jetzt die Stellfläche (Rechteck) für ein Auto sein? e.) Wie groß wäre dann der Umfang deiner gefundenen Stellfläche? 8 m = m 4 m oder : 8 m = 1,6 m 5 m m 50 m + = 4000 m 50 m 450 m 4,50 a + = = zu c.) 4000 m : 9 m = : 9 Autos 444 Autos zu d.) 9 m = m 4,5 m oder : 9 m = 1,8 m 5 m 9 m =,5 m 4 m zu e.) u = m + 4,5 m = 13 m oder : u = 1,8 m + 5 m = 13,6 m oder : u =,5 m + 4 m = 1,5 m MERKE: Beim Rechnen mit Flächeneinheiten gelten die gleichen Gesetze wie für das Rechnen mit anderen Einheiten, also: nur mit gleichen Einheiten addieren und subtrahieren. nur mit Einheiten ohne Komma multiplizieren und dividieren. S Seite 8 von 15

9 Berechnungen am Quadrat und Rechteck Zeichne ein Quadrat mit einer Seitenlänge a = 5 cm. Bestimme von diesem Quadrat den Umfang (u) und den Flächeninhalt (A). 1 cm cm cm Wie man erkennen kann, besteht das Quadrat aus 5 Quadraten mit einem Flächeninhalt von 1 cm. Man rechnet: A = 5 cm 5 cm u = 5 cm + 5 cm + 5 cm + 5 cm A = 5 cm u = 4 5 cm = 0 cm In der Mathematik versucht man, eine Formel zu entwickeln, mit der man für jedes Quadrat den Flächeninhalt und den Umfang bestimmen kann. Dazu ersetzt man die Seitenlänge des Quadrats durch den Buchstaben a. Dieser Buchstabe a (Variable) steht dann für eine beliebige Zahl. MERKE: Die Formel für den Flächeninhalt (A) eines Quadrats lautet dann: A = a a = a Die Formel für den Umfang (u) eines Quadrats lautet dann: u = a + a + a + a = 4 a Beispiel: Zeichne ein Quadrat mit einer Seitenlänge a = 6 cm. Bestimme dann seinen Flächeninhalt (A) und seinen Umfang (u). A = a a u = 4 a A = 6 cm 6 cm = 36 cm u = 4 6 cm = 4 cm Seite 9 von 15

10 Bestimme die fehlenden Werte der folgenden Tabelle: Quadrat Seite a Umfang u Fläche A Steckdose 7 cm 8 cm 49 cm Serviette 18 cm 7 cm 364 cm Dachfenster 30 cm 10 cm 900 cm Bilderrahmen 45 cm 180 cm 05 cm Kachel 1 cm 48 cm 144 cm Berechnungen am Rechteck Zeichne ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 5 cm und b = 3 cm. Bestimme von diesem Rechteck den Umfang (u) und den Flächeninhalt (A). 1 cm cm cm Wie man erkennen kann, besteht das Rechteck aus 15 Quadraten mit einem Flächeninhalt von 1 cm. Man rechnet: A = 5 cm 3 cm u = 5 cm + 3 cm + 5 cm + 3 cm A = 15 cm u = 5 cm + 3 cm u = 10 cm + 6 cm = 16 cm In der Mathematik versucht man, eine Formel zu entwickeln, mit der man für jedes Rechteck den Flächeninhalt und den Umfang bestimmen kann. Dazu ersetzt man die Seitenlängen des Rechtecks durch die Buchstaben a (Länge es Rechtecks) und b (Breite des Rechtecks). Diese Buchstaben a und b (Variablen) stehen dann für zwei beliebige Zahlen. MERKE: Die Formel für den Flächeninhalt (A) eines Rechtecks lautet dann: A = a b Die Formel für den Umfang (u) eines Rechtecks lautet dann: u = a + b + a + b = a + b Seite 10 von 15

11 Beispiel: Zeichne ein Rechteck mit einer Seitenlänge a = 7 cm und b = cm. Bestimme dann seinen Flächeninhalt (A) und seinen Umfang (u). A = a b u = a + b A = 7 cm cm = 14 cm u = 7 cm + cm u = 14 cm + 4 cm = 18 cm Bestimme die fehlenden Werte der folgenden Tabelle: Quadrat Seite a Seite b Umfang u Fläche A Photo 13 cm 9 cm 8 cm 49 cm Fernseher 18 cm 7 cm 364 cm Tür 30 cm 10 cm 900 cm Bilderrahmen 45 cm 180 cm 05 cm Kachel 1 cm 48 cm 144 cm Seite 11 von 15

12 Flächeninhalt und Umfang 1.) Berechne die fehlenden Werte in der folgenden Tabelle: (Q = Quadrat; R = Rechteck) a.) b.) c.) d.) e.) f.) g.) h.) i.) j.) Q R Q R Q R R Q R R Seite a 1 cm 1 cm Seite b 18 m 6 dm 30 m 18 m 54 m Umfang u 48 cm 84 m 34 m Fläche A 96 cm² 81 m² 9 a 1 a 4 ha 43 m².) Auf der Zeichnung unten sind drei Grundstücke mit ihren Maßen dargestellt. Bestimme zu jedem Grundstück den Flächeninhalt (A) und den Umfang (u). Versuche aber zuerst die fehlenden Seitenlängen mit Hilfe der gegebenen Seitenlängen herauszufinden. Überall wo ein steht muss man eine Seitenlänge herausfinden! 50 m 4 m 1 m 6 m 15 m 15 m 35 m 75 m 5 m 1 m 1 m 6 m 3.) In der Zeichnung sieht man die Abbildung eines Gartens mit den entsprechenden Maßen. Beantworte mit Hilfe der Skizze die folgenden Fragen: a.) Wie groß ist der gesamte Garten? b.) Wie groß ist die Wiese? c.) Wie groß ist das Blumenbeet? d.) Wie groß ist der Weg? e.) Der Garten soll so eingezäunt werden, dass der Eingang und Ausgang zum Weg frei bleiben. Wie viel Meter Zaun werden benötigt? f.) Für die Wiese ist eine Einfassung mit Steinen der Länge 5 cm vorgesehen. Wie viele Steine werden benötigt? g.) Auf den Weg sollen Steinplatten gelegt werden. Für 1 m² braucht man 9 Platten. Wie viele Platten benötigt man insgesamt? 4 m 4 m 4 m 4 m 8 m Erdbeeren Kartoffeln Gemüse Blumen Kräuter 1 m W e g 3 m Wiese 16 m Seite 1 von 15

13 Flächeninhalt und Umfang (Lösungen) 1.) Berechne die fehlenden Werte in der folgenden Tabelle: (Q = Quadrat; R = Rechteck) a.) b.) c.) d.) e.) f.) g.) h.) i.) j.) Q R Q R Q R R Q R R Seite a 1 cm 1 cm 9 m 4 m 30 m 1 cm 40 m 00 m 4 m 108 m Seite b 1 cm 8 cm 9 m 18 m 30 m 6 dm 30 m 00 m 18 m 54 m Umfang u 48 cm 40 cm 36 m 84 m 10 m 144 cm 140 m 800 m 84 m 34 m Fläche A 144 cm 96 cm² 81 m² 43 m 9 a 70 cm 1 a 4 ha 43 m² 583m.) Auf der Zeichnung unten sind drei Grundstücke mit ihren Maßen dargestellt. Bestimme zu jedem Grundstück den Flächeninhalt (A) und den Umfang (u). Versuche aber zuerst die fehlenden Seitenlängen mit Hilfe der gegebenen Seitenlängen herauszufinden. Überall wo ein steht muss man eine Seitenlänge herausfinden! a.) = 4 m = 1 m b.) = 30 m = 35 m = 15 m c.) = 7 m = 7 m = 1 m A = A = A = (5 7) A = A = A = A = 1554 m A = 1650 m A = 5 m u = u = u = u = 184 m u = 50 m u = 86 m 3.) In der Zeichnung sieht man die Abbildung eines Gartens mit den entsprechenden Maßen. Beantworte mit Hilfe der Skizze die folgenden Fragen: a.) Wie groß ist der gesamte Garten? b.) Wie groß ist die Wiese? c.) Wie groß ist das Blumenbeet? d.) Wie groß ist der Weg? e.) Der Garten soll so eingezäunt werden, dass der Eingang und Ausgang zum Weg frei bleiben. Wie viel Meter Zaun werden benötigt? f.) Für die Wiese ist eine Einfassung mit Steinen der Länge 5 cm vorgesehen. Wie viele Steine werden benötigt? g.) Auf den Weg sollen Steinplatten gelegt werden. Für 1 m² braucht man 9 Platten. Wie viele Platten benötigt man insgesamt? a.) A = 1 16 = 19 m b.) A = 16 3 = 48 m c.) A = 4 4 = 16 m d.) A = 1 16 = 16 m g.) A 16 m 16 m Platten e.) u = = 54 m f.) u = 38 m u = 3800 cm 3800 cm : 5 cm = 15 Steine = = Seite 13 von 15

14 Was man am Ende der Klasse 5 wissen sollte... 1.) Berechne jeweils schriftlich das Produkt und den Quotienten der folgenden Zahlenpaare und berechne anschließend die Summe aller Ergebnisse: a.) 1073 und 9 b.) 184 und 19 c.) 3551 und 67 d.) 3708 und 36 e.) und 55 f.) 8464 und 9.) Schreibe mit Klammern in eine Zeile und berechne dann: a.) Multipliziere die Summe der Zahlen 37 und 981 mit dem Quotienten der Zahlen 1116 und 18. b.) Subtrahiere die Differenz der Zahlen 631 und 5987 vom Produkt der Zahlen 198 und ) Berechne die folgenden Terme: a.) (4 (31-11)) : 4 = b.) 169 : (00 - ( )) = c.) (7 : (19-11) + 5) = 4.) Berechne: 3 3 a.) 7 10 = b.) = c.) = 5.) Berechne: a.) 5 = b.) 4 3 = c.) 4 = d.) 1 10 = e.) 10 5 = 6.) Rechne in das Zehnersystem um: a.) = b.) 111 = c.) = 7.) Bestimme jeweils die Lösungsmenge (L) zur angegebenen Grundmenge (G): a.) G = { 1; 3; 5; 7; 9; 11} (1) 8 = 56 () 9 > 30 (3) + 50 < 60 b.) G = N (1) y : 3 = 5 () a 7 < 15 (3) = 44 8.) Setze für die angegebene Zahl ein und berechne dann den Term: a.) = 5 ; (1) () ( + 14) ( 14) b.) = 36; (1) (7 9) : () ( 8 5) (3) : 9.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: A(1/) ; B(3/0) ; C(7/4) ; D(5/6) ; E(/6) a.) Verbinde die Punkte zum Fünfeck ABCDE. b.) Bestimme den Umfang des Fünfecks. c.) Zeichne alle Diagonalen des Fünfecks ein. Wie viele sind es? 10.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein: A(1/) ; B(9/5) ; C(4/5) ; D(8/1) ; E(1/5) a.) Zeichne die Gerade durch A und B. Notiere in die Zeichnung die abkürzende Schreibweise. b.) Zeichne die Strecke von C nach D. Notiere in die Zeichnung die abkürzende Schreibweise. c.) Zeichne die Halbgerade von E nach A. Notiere in die Zeichnung die abkürzende Schreibweise. d.) Zeichne die Parallele zur Geraden durch den Punkt C. e.) Zeichne die Senkrechte zur Geraden durch den Punkt D. f.) Wie weit ist der Punkt E von der Geraden entfernt? Zeichne und messe diesen Abstand. Seite 14 von 15

15 11.) Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem mit Rahmen ein: A(1/8) ; B(5/9) ; C(/10) ; D(1/4) ; E(7/10) ; F(8/4) ; G(6/1) a.) Zeichne das Dreieck ABC. b.) Zeichne die Gerade DE. c.) Zeichne den Verschiebungspfeil FG (v 1 ) (G ist dabei die Spitze des Pfeils). d.) Spiegele das Dreieck an der Geraden DE und bezeichne die Bildpunkte mit A B C. e.) Verschiebe das Dreieck A B C entsprechend v 1 und benenne die Bildpunkte mit A B C. f.) Notiere die Koordinaten von A B C. 1.) Drücke in der in Klammern angegebenen Einheit aus: a.) 1 h (min) b.) 7 km (dm) c.) 75 kg (mg) d.) m (km) e.) 3 kg (t) f.) 6,5 dm (cm) g.) 3, m (cm) h.) 5,6 kg (g) i.) 769 s (min und s) j.) 65 a (ha) k.) 8 m² (dm²) l.) 749 mm² (cm²) 13.) Zeichne drei verschiedene Rechtecke mit einem Flächeninhalt von 18 cm. Zeichne drei verschiedene Rechtecke mit einem Umfang von 18 cm. 14.) Eine Wiese ist 55 m lang und 7 m breit. a.) Wie groß ist ihr Flächeninhalt in m², a und ha? b.) Wie viel Meter Maschendrahtzaun braucht man zum Einzäunen der Wiese, wenn für eine Einfahrt 4 Meter frei bleiben sollen? Seite 15 von 15

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