Mathematik für MolekularbiologInnen. Vorlesung VII Block III: Wahrscheinlichkeit und Statistik Verteilungen und Lagemaßzahlen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematik für MolekularbiologInnen. Vorlesung VII Block III: Wahrscheinlichkeit und Statistik Verteilungen und Lagemaßzahlen"

Transkript

1 Mathematk für MolekularbologInnen Vorlesung VII Block III: Wahrschenlchket und Statstk Vertelungen und Lagemaßzahlen

2 Überscht Allgemene Defntonen Bezehung und Vsualserung von Daten Regresson, Fehlerbetrachtung Häufgketsvertelungen (Konzept und Begrffe) Lagemaßzahlen (Mttelwert u. a.) Streuungsmaße (Standardabwechung u. a.) Kurvenmaße für Vertelungen

3 Vertelungen Häufgketsvertelungen (deskrptve Statstk) Wahrschenlchketsvertelungen (Wahrschenlchketstheore)

4 Konzept und Grundbegrffe Häufgketsvertelungen Bespel: Gewcht von 00 männlchen Schülern/Studenten Ene Urlste st de numersch ungeordnete Sammlung von Daten ener Gruppe. En Bespel für ene Urlste st de ene alphabetsche Lste von 00 männlchen Schülern, deren Gewcht man ermttelt hat. Ene Vertelungstafel st de Anordnung numerscher Daten nach hrer Größe (d.h. stegend oder fallend sortert). De Dfferenz zwschen klenstem und größtem Wert nennt man Spannwete/Varatonsbrete der Daten. Bespelswese beträgt de Spannwete 4 kg, wenn unter den Schülern das klenste Gewcht 60 kg und das größte 74 kg beträgt. Ene Häufgketsvertelung wrd aus der Vertelungstafel erhalten, ndem Tele des Datensatzes n Klassen oder Kategoren zusammengefasst werden. De Klassfzerung erfolgt. A. numersch, und den numerschen Berech (de Defnton) ener Klasse nennt man Klassenntervall. Für jedes Intervall wrd angegeben, we vele Daten n de jewelge Klasse gehören. Dese Angabe wrd als Klassenhäufgket bezechnet.

5 Konzept und Grundbegrffe Häufgketsvertelungen De Klassengrenzen entsprechen den angegebenen Endzahlen des Klassenntervalls Ist bespelswese de erste Klasse der Häufgketsvertelung von Schülern durch das Klassenntervall 60 6 kg defnert, so beträgt de untere Klassengrenze 60 kg und de obere Grenze 6 kg De Klassenränder oder wahren Klassengrenzen snd de numerschen Grenzen enes Intervalls unter Berückschtgung der Zahlengenaugket. Im oberen Bespel symbolsert de Angabe 60 kg unter Annahme ener Genaugket von kg (letzte Stelle) den Berech von 59,5 bs 60,5 (60,49) kg (6 kg entsprechend 6,5 6,5 kg). Folglch beträgt der untere Klassenrand 59,5 kg und der obere Klassenrand 6,5 kg Der Klassenrand zwschen zwe Intervallen lässt sch auch als Mttelwert zwschen der Obergrenze ener Klasse und der Untergrenze der nächsthöheren Klasse fnden kg kg Der Klassenrand zwschen den Intervallen beträgt (6 + 63) kg / = 6,5 kg

6 Konzept und Grundbegrffe Häufgketsvertelungen De Klassenbrete oder Klassengröße st de Dfferenz zwschen oberem und unterem Klassenrand kg kg für de erste Klasse beträgt de Brete (6,5 59,5) kg = 3 kg, für de zwete (65,5 6,5) kg, also ebenfalls 3 kg Snd de Klassen ener Häufgketsvertelung alle glech bret, dann st de Brete glech der Dfferenz aufenanderfolgender Unter- oder Obergrenzen glech der Gesamtbrete getelt durch de Anzahl von Klassen In unserem Bespel beträgt de Spannwete 4 kg (74 kg 60 kg), und es soll 5 Klassen geben. De äußeren Klassenränder betragen 59,5 und 74,5 kg. De Gesamtbrete der Vertelung beträgt 5 kg, de Brete der enzelnen Klassen also 3 kg.

7 Konzept und Grundbegrffe V b 3,3lg( n) Häufgketsvertelungen Klassenbrete: Falls kene weteren Angaben gegeben snd, glt de Faustregel nach Sturges zur Bestmmung der Klassenbrete: n... Stchprobenumfang, V... Varatonsbrete ( Spannwete ) Bestmmung der Klassenbrete unter 3,49 s Berückschtgung der b s... Standardabwechung, 3 n Standardabwechung nach Scott : Wchtg st de Beachtung des Kontextes, welche Klassenzahl und Klassenbrete snnvoll st (vele Klassen, mehr Informaton, wenger Überschtlchket ). De Klassenmtte st der Mttelpunkt ener Klasse und berechnet sch als Mttelwert der Klassengrenzen (bzw. der Klassenränder). Für de ersten beden Klassen unserer Vertelung betragen de Mttelpunkte 6 kg und 64 kg 60-6 kg kg

8 Häufgketsvertelungen Bespel I: Ene Häufgketsvertelung aufstellen und vsualseren Aufgabe: Gegeben st ene Urlste von Proten- Expressons-Ansätzen, zetlch geordnet (Probe A Probe T). Observable st de Ausbeute, gerundet auf de nächsten 0 μg. Stellen Se ene Häufgketsvertelung der Proten-Ausbeute auf. Zunächst wrd de Urlste numersch aufstegend sortert. Man ermttelt de Spannwete (letzter mnus erster Wert nach der Sorterung) und bestmmt das Klassenntervall für ene geegnete Anzahl von Klassen. - Urlste Probe Ausbeute [μg] A 430 B 890 C 660 D 640 E 940 F 30 G 470 H 00 I 760 J 670 K 50 L 460 M O 540 P 030 Q 730 R 380 S 600 T Vertelungstafel Probe Ausbeute [μg] H 00 F 30 R 380 A 430 L 460 G 470 K 50 O 540 S 600 D 640 C 660 J 670 T 700 Q 730 I B 890 E 940 P 030 M 90

9 Häufgketsvertelungen - Vertelungstafel 3 - Häufgketsvertelung Probe Ausbeute [μg] H 00 F 30 R 380 A 430 L 460 Wegen der Rundung der Ausgangsdaten beträgt de Genaugket der letzten Stelle ±5 μg (statt ±0,5 μg) De Daten-Spannwete beträgt 990 μg, entsprechend ener Gesamtbrete von 000 μg (95 μg 95 μg). G 470 K 50 Wr wählen 5 Klassen mt ener Brete von jewels 00 μg. Klasse Häufgket Klassenmtte O 540 S 600 D 640 C 660 V b 3,3lg( n) μg μg J 670 T 700 Q 730 I B 890 E 940 Prnzpell können entweder de Klassengrenzen oder de Klassenränder für de Intervalle angegeben werden μg μg μg P 030 M 90

10 Häufgketsvertelungen 4- Hstogramm und Häufgketspolygon zechnen En Hstogramm st en Stab- oder Balkendagramm mt folgenden Egenschaften: - jeder Balken repräsentert de Klasse ener Häufgketsvertelung - de Grundseten deser Rechtecke legen auf der x-achse, zentrert auf dem jewelgen Klassenmttelpunkt - de Brete enes Balkens st de Klassenbrete (d.h. de Balken legen lückenlos nebenenander) - de Fläche enes Balkens st proportonal zur Klassenhäufgket; be glech breten Intervallen wrd daher de Rechteck-Höhe der jewelgen Häufgket glechgesetzt Häufgket Klassenmtte Klassenmtte

11 Hstogramm und Häufgketspolygon En Häufgketspolygon st en Lnendagramm Häufgketsvertelungen - De zu verbndenden Punkte haben de Klassenmttelpunkte als x-koordnaten und de Werte der Klassenhäufgketen als y- Koordnaten - vom Hstogramm zum Häufgketspolygon gelangt man also, ndem de Mttelpunkte der Balken-Oberkanten mtenander verbunden werden Es werden für das Polygon zwe zusätzlche Klassen mt Häufgket null ergänzt, so dass sene Fläche glech der Summe der Rechteckflächen m Hstogramm st.

12 Häufgketsvertelungen Ene Häufgketsvertelung graphsch vsualseren Ausgehend von der Vertelung aus Bespel I (Protenexpresson), zechnen Se en Hstogramm und en Häufgketspolygon Lösung: Hstogramm Häufgketspolygon

13 Häufgketsvertelungen Kumulatve und relatve Häufgketsvertelungen Werden alle Klassenhäufgketen bs enschleßlch ener gegebenen Klasse (bs zum oberem Klassenrand) summert, dann legt ene kumulatve Vertelung (vom Typ klener als ) vor De Summaton kann auch dergestalt erfolgen, dass alle Häufgketen begnnend mt dem unteren Rand ener Klasse, hn zu größeren Klassen betrachtet werden (Typ oder größer ) Klasse Häufgket μg μg μg μg μg Kumulatve Vertelungen werden als kumulatves Häufgketspolygon, kurz Summenkurve, dargestellt. De Kurve st anstegend für den Typ klener als und abfallend für den Typ oder größer

14 Häufgketsvertelungen Kumulatve und relatve Häufgketsvertelungen Von absoluten zu relatven Häufgketsvertelungen gelangt man, ndem de jewelge Klassenhäufgket oder kumulatve Häufgket durch de Gesamthäufgket der Vertelung getelt wrd Sowohl Hstogramme als auch Summenkurven haben für relatve Vertelungen de selbe Gestalt we für absolute, ledglch de Häufgketsachse (Ordnate) des Dagramms wrd vom absoluten auf den relatven Maßstab umgestellt Klasse Häufgket μg μg μg μg μg

15 Häufgketsvertelungen Bespel II: Absolute und relatve Summenkurve Aufgabe: Ausgehend von der Vertelung aus Bespel I (Protenexpresson), stellen Se de entsprechende kumulatve Vertelung sowohl als absolute als auch relatve Summenkurve vom Typ klener als dar. Lösung: Zunächst ermtteln wr de absoluten Summen der Klassenhäufgketen aller Klassen bs enschleßlch der jewels betrachteten. De Gesamthäufgket der Vertelung st glech der kumulatven Häufgket der höchsten Klasse, also 0 (da wr 0 Expressonsproben betrachtet hatten). Zur Berechnung relatver Häufgketen muss folglch durch 0 getelt werden Klasse Häufgket kumulatv absolut Häufgket relatv μg 3 klener als 395 μg 3 5% μg 5 klener als 595 μg 8 40% μg 7 klener als 795 μg 5 75% μg 3 klener als 995 μg 8 90% μg klener als 95 μg 0 00%

16 Häufgketsvertelungen Bespel II: Absolute und relatve Summenkurve De Daten werden nun als Summenkurve aufgetragen de x-koordnate enes jeden Punktes st der obere Klassenrand (wr begnnen we bem Häufgketspolygon ene Klasse früher, mt Häufgket null) de y-koordnate st de jewelge kumulatve Häufgket (absolut bzw. relatv)

17 Vertelungskurven und Glättung Häufgketsvertelungen Handelt es sch be der Urlste um den Datensatz ener Grundgesamthet mt velen Beobachtungen, dann kann man de Klassenntervalle sehr klen wählen und dennoch n jeder Klasse ene erfassbare Zahl von Beobachtungen erhalten. de Vertelungspolygone für absolute und kumulatve Häufgket nehmen dann, da se n sehr vele klene Strecken zerfallen, de Form ener Kurve an. De Häufgketsvertelung selbst ener klenen repräsentatven Stchprobe sollte de Vertelung der Grundgesamthet korrekt wederspegeln. Daher st de Approxmaton ener Kurve durch Glättung prnzpell gerechtfertgt. Je größer der Stchprobenumfang, desto besser st de Annäherung an de Kurvenform.

18 Häufgketsvertelungen Typen von Häufgketsvertelungen und hre Kurvenform

19 Lagemaßzahlen/Lokatonsparamter Durchschntte als Lagemaßzahlen In der Umgangssprache wrd der Begrff Durchschntt gelegentlch mt dem arthmetschen Mttel glechgesetzt. In der Statstk st en Durchschntt en repräsentatver Wert, der n der Mtte ener Menge numersch geordneter Daten legt, also ene Lagemaßzahl. Es gbt mehrere Arten von Durchschntten. Jede deser Lagemaßzahlen wrd anders bestmmt, und jede hat hren bestmmten Zweck, Vor- und achtel. De gebräuchlchsten Lagemaßzahlen snd das arthmetsche, das geometrsche und das quadratsche Mttel, der Medan und der Modus

20 Lagemaßzahlen Das arthmetsche Mttel (arthmetc mean) Das arthmetsche Mttel ( quer ) wrd auch als Mttelwert bezechnet Kommen K verschedene Werte mt den ganzzahlgen Häufgketen f vor, dann glt: f f f f f f f f f K K K K K K Snd de Werte mt Gewchtungsfaktoren w (ggf. als Bruchzahlen) versehen, dann glt: w w w w w w w w gewchtetes arthmetsches Mttel Mttelwert = Summe der Werte getelt durch Anzahl der Werte

21 Bespel I: Arthmetsches Mttel Aufgabe: Lagemaßzahlen De prozentualen Ausbeuten verschedener Proten-Expressons-Ansätze (bezogen auf ene maxmale Ausbeute) betragen 40, 55, 75, 50, 40, und 75%. a) Berechnen Se den Mttelwert der Proten-Ausbeute b) Berechnen Se enen gewchteten Mttelwert unter der Annahme, dass aufgrund von Messfehlern dem ersten Experment nur de halbe Zuverlässgket, dem letzten jedoch de doppelte Zuverlässgket gegeben werden kann Lösung: a) ,8% K f b) 0, , ,5 60% w w

22 Lagemaßzahlen Quadratsches, geometrsches und harmonsches Mttel Das n den aturwssenschaften velfach verwendete quadratsche Mttel (Q.M.), englsch root-mean-squares (r.m.s.), berechnet sch als Wurzel des Mttelwertes von quadrerten Enzelwerten (größere Werte haben mehr Enfluß als klene): z.b: Berechnung n der Elektrophysk (Spannungssptzen) Q. M. Das geometrsche Mttel G von Werten st de -te Wurzel hres Produkts (z.b.: z. B.: Berechnung des mttleren Wachstumsfaktor ener Bakterenkultur): G 3... Das harmonsche Mttel H von Werten st der Kehrwert des arthmetschen Mttels der enzelnen Kehrwerte / : H z.b: Berechnung ener durchschnttlchen Geschwndgket, wenn ncht stündlch, sondern nach Strecke gemessen wrd.

23 Lagemaßzahlen Das harmonsche Mttel H von Werten st der Kehrwert des arthmetschen Mttels der enzelnen Kehrwerte / : H z.b: Berechnung ener durchschnttlchen Geschwndgket, wenn ncht stündlch, sondern nach Strecke gemessen wrd. Vgl. Beobachtungsmerkmale we z.b. Geschwndgket (Dchte=m/V, Stromstärke = U/R), hat z.b. m Zähler de Dmenson Länge und m enner de Dmenson Zet. Be solchen Merkmalen können de Beobachtungen de Dmenson des Zählers oder des enners aufwesen. Haben se de Dmenson des Zählers ( Länge ), st das harmonsche Mttel heranzuzehen, haben se de Dmenson des enners ( Zet ) st das arthmetsche Mttel heranzuzehen. Bespel: En Fahrzeug fährt de ersten 00 km mt 50km/h, wetere 00 km mt 50km/h. Was st de durchschnttlche Geschwndgket und de durchschnttlche Fahrzet pro 00 km (Berechnung der durchschnttlchen Geschwndgket über das harmonsche Mttel)? H = = = = = = 75 Antwort: De durchschnttlche Geschwndgket beträgt 75 km/h, de durchschnttlche Fahrzet pro 00 km beträgt also (/75)*00=,33h.

24 Lagemaßzahlen Bespel II: Verglech von Mttelwert-Typen Aufgabe: Ausgehend von den Ausbeute-Werten aus Bespel I (De prozentualen Ausbeuten verschedener Proten-Expressons-Ansätze betragen 40, 55, 75, 50, 40, und 75%.), arthmetsches Mttel: 55,8% berechnen Se: a) quadratsches, b) geometrsches und c) harmonsches Mttel Lösung: a) Q. M ,7% b) G ,0% c) H ,% Üblcherwese glt: H G Q.M. H = G = = Q.M., wenn alle glech snd

25 Der Medan (Zentralwert, engl. medan) Lagemaßzahlen Der Medan wrd auf sorterte Datenwerte angewandt. Be Daten st der Medan de Zahl n der Mtte der Lste (z.b. Häufgketstafel), wenn ungerade st der Mttelwert der beden Zahlen n der Mtte, wenn gerade st für sorterte, ncht-klasserte Daten: be ungerade: Medan be gerade: Medan Der Medan st en besseres Maß für enen Durchschntt von Werten, wenn Ausreßer das arthmetsche Mttel verfälschen würden Geometrsch betrachtet markert der Medan de Senkrechte auf der x-achse, de en Hstogramm n zwe flächengleche Hälften telt

26 Der Medan Lagemaßzahlen Der Medan wrd auf sorterte Datenwerte angewandt. Der Medan st en besseres Maß für enen Durchschntt von Werten, wenn Ausreßer das arthmetsche Mttel verfälschen würden Für grupperte (klasserte) Daten, z.b. Häufgketsvertelungen, berechnet sch der Medan als ( f ) ( ) Medan L c f mt: L = unterer Rand der medanen Klasse c = Brete der medanen Klasse = Gesamt-Anzahl der Datenwerte f MK = Häufgket der medanen Klasse (Σ f) = Summe der Häufgketen aller Klassen, de klener als de medane snd MK Geometrsch betrachtet markert der Medan de Senkrechte auf der x-achse, de en Hstogramm n zwe flächengleche Hälften telt

27 Lagemaßzahlen Der Modus (engl. mode; häufgster Wert) Der Modus von Werten st der am häufgsten vorkommende Wert. kommen alle Werte nur enmal vor, exstert ken Modus. gbt es zwe Werte, de häufger als alle anderen vorkommen, dann st der Modus ncht endeutg Be grupperten Daten, z.b. Häufgketsvertelungen, gbt der Modus de Lage des Maxmums der Vertelungskurve bzw. des Hstogramms an. Er berechnet sch als: Modus ( ) L c mt: L = unterer Rand der modalen Klasse c = Brete der modalen Klasse = Überschuss der modalen Häufgket über de der nächst kleneren Klasse = Überschuss der modalen Häufgket über de der nächst größeren Klasse hat ene Häufgketsvertelung en Maxmum, nennt man se unmodal; be und mehr Maxma bmodal, multmodal (vgl. Fole )

28 Lagemaßzahlen Zusammenhang zwschen Mttelwert, Medan und Modus Be symmetrschen Vertelungen fallen alle dre Lagemaßzahlen zusammen Be unmodalen, mäßg asymmetrschen Vertelungen glt: Mttelwert Modus = 3 (Mttelwert - Medan)

29 Bsp: Lagemaßzahlen - Häufgketsvertelungen - Urlste - Vertelungstafel Probe Ausbeute [μg] Probe Ausbeute [μg] A 430 H 00 B 890 F 30 C 660 R 380 D 640 A 430 E 940 L 460 F 30 G 470 G 470 K 50 H 00 O 540 I 760 S 600 J 670 D 640 K 50 C 660 L 460 J 670 M 90 T Q 730 O 540 I 760 P Q 730 B 890 R 380 E 940 S 600 P 030 T 700 M Häufgketsvertelung Wegen der Rundung der Ausgangsdaten beträgt de Genaugket der letzten Stelle ±5 μg (statt ±0,5 μg) De Daten-Spannwete beträgt 990 μg, entsprechend ener Gesamtbrete von 000 μg (95 μg 95 μg). Wr wählen 5 Klassen mt ener Brete von jewels 00 μg. Prnzpell können entweder de Klassengrenzen oder de Klassenränder für de Intervalle angegeben werden Klasse Häufgket μg μg μg μg μg

30 Lagemaßzahlen Bespel III: Verglech von Mttelwert, Medan und Modus Aufgabe: Ausgehend von der Häufgketsvertelung des Bespels auf vorgen Folen, berechnen Se: a) Mttelwert, b) Modus und c) Medan der Daten-Werte Lösung: a) Mttelwert: Wr verwenden de Formel: für de 5 Klassen (j) K j K f j und erhalten: j f j Berechnet man das arthmetsche Mttel aller enzelnen (ungrupperten) 0 Werte, dann erhält man als Ergebns 647. De Abwechung des Mttelwerts für de grupperten Daten erklärt sch damt, dass de 5 Klassenmtten ncht exakt de Mttelwerte der jewelgen Werte n der Klasse snd, was wederum mt der gerngen Datenzahl erklärbar st. j Klasse Häuf

31 Lagemaßzahlen Bespel III: Verglech von Mttelwert, Medan und Modus b) Wr verwenden de Formel Klassenbrete c=00; de modale Klasse st offenschtlch #3 (f = 7). Also st L = 595, = und = 4 Wr erhalten: Modus Modus 595 ( ) L ( ) c 66 Klasse Häuf c) Wr verwenden de Formel Medan ( f ) L ( ) c f De medane Klasse sollte ebenfalls #3 sen, da de beden anderen Lagemaßzahlen dort legen. Also st L = 595, c = 00, f MK = 7 und (Σ f) = = 8 Wr erhalten: Medan ( ) MK Berechnet man den Medan als Mttelwert von 0 und n der sorterten Lste, dann ergbt sch Medan = ( ) / = 650, was ener recht guten Überenstmmung entsprcht 65

32 Lagemaßzahlen Bespel III: Verglech von Mttelwert, Medan und Modus De Tatsache, dass der Medan (65) klener als der Modus (66) st, sprcht für ene lecht lnksschefe Vertelung, was auch mt ener groben Kurven-Approxmaton überenstmmt. Allerdngs würden wr den Mttelwert dann be 3 ( Medan Modus) 3 (65 66) 647 (statt be 655) erwarten, was auch exakt dem ungruppert berechneten Wert entsprcht.

33 Schefe ener Vertelungskurve Kurvenmaße De Schefe (skewness) ener Vertelungskurve wrd quantfzert, ndem man de Abwechung zwschen Mttelwert und Modus durch de Standardabwechung telt bzw. das auf de drtte Potenz der Standardabwechung bezogene zentrale Moment 3. Ordnung skew x De Schefe st offenschtlch null für symmetrsche Häufgketsvertelungen, da der Modus mt dem Mttelwert zusammenfällt Ist skew >0, so st de Vertelung rechtsschef, st skew <0, st de Vertelung lnksschef (left tal longer) Faustregel für Modus, Medan und arthmetsches Mttel (glt ncht mmer!!!): * rechtsschefe Häufgketsvertelung: Modus < Medan < arthmetsches Mttel * lnksschefe Häufgketsvertelung: Modus > Medan > arthmetsches Mttel * symmetrsche Häufgketsvertelung: Modus Medan arthmetsches Mttel x s 3 Verenfachte Berechnung nach K. Pearson (Pearson mode oder frst skewness coeffcent) Schefe Modus s

34 Kurvenmaße Bespel I: Schefe ener Vertelungskurve bestmmen Aufgabe: Bestmmen Se de Schefe (nach Pearson) der Häufgketsvertelung aus dem Bespel Protenausbeute. Lösung: 647 sehe Fole Modus 66 sehe Fole s 33 sehe Fole Schefe Modus s 0,064 Der Wert der Schefe st negatv, da es sch um ene lnksschefe Kurve handelt.

35 Streuungsmaße / Streuungsmaßzahlen Mttlere Abwechung, Standardabwechung, Varanz

36 Streuungsmaße Streuung von Daten Das Ausmaß der Abwechung numerscher Daten von Durchschnttswerten wrd als Streuung (spread, dsperson) oder Varaton der Daten bezechnet We für de Lage gbt es auch für de Streuung verschedene Maße, welche unterschedlche Anwendung fnden Spannwete und mttlere Abwechung De Spannwete (range) ener Menge von Zahlen st de Dfferenz zwschen größtem und klenstem Zahlenwert (we berets früher kennengelernt für de Häufgketstafel) Bespel: De Spannwete der Menge (, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 0, ) beträgt = 0

37 Spannwete und mttlere Abwechung Streuungsmaße De mttlere Abwechung (mean devaton) (vom arthmetschen Mttel) berechnet sch analog zum Mttelwert als M. A. Bespel: Der Durchschntt der Menge (, 3, 6, 8, ) beträgt 30/5 = 6. Dann st ,8 5 5 Hnwes: Wrd de mttlere Abwechung ohne de Enführung der absoluten Werte (Beträge) berechnet, würden sch postve und negatve Abwechungen gegensetg aufheben.

38 Streuungsmaße Standardabwechung und Varanz De Standardabwechung s (standard devaton, rmsd) (σ) von Zahlen st das quadratsche Mttel der Abwechungen vom arthmetschen Mttel, und wrd daher auch als quadratsche mttlere Abwechung bezechnet s ) ( Für grupperte Daten n K Klassen mt den Klassenmtten j und Häufgketen f j glt analog zu Egenschaft 5 des Mttelwerts: f f f s K j j j K j j K j j j ) ( ) ( englsch: r.m.s.d (root mean square devaton)

39 Streuungsmaße Bespel: Standardabwechung ener Häufgketsvertelung Aufgabe: Berechnen Se de Standardabwechung für de Häufgketsvertelung des Bespels auf Protenausbeute ( 647 ). Lösung: Zu verwenden st de Formel: für de 5 Klassen (j) mt dem Mttelwert Man erhält: s K j f j ( j 647 ) Klasse Häufgket μg μg μg μg μg s 3(95 647) 33 5( ) 7( ) 0 3( ) ( )

40 Streuungsmaße Standardabwechung und Varanz De Varanz (varance, v) s st das Quadrat der Standardabwechung, also de Quadratsumme der Abwechungen getelt durch, ohne Wurzel. s ) ( De Standardabwechung kann äquvalent formulert werden als: s ) ( d.h. alternatv lässt sch s über den Mttelwert der Enzelwert-Quadrate und das Quadrat des Mttelwerts berechnen s v s Bespel: De Werte (, 3, 6, 8, ) mt Mttelwert 6 haben ene Standardabwechung von

41 Streuungsmaße Egenschaften der Standardabwechung Be ormalvertelungen (systematsch behandelt n nächster VL) bestmmt de Standardabwechung de relatve Häufgket von Werten nnerhalb entsprechender Bereche um den Mttelwert 68,7% 95,45% s s s s De standardserte Varable z msst de Abwechung enes Wertes vom Mttelwert n Enheten der Standardabwechung z s Bespel: 9m 0m m Enzelne Abwechungen mt dem Betrag von ener Standardabwechung ( s) snd typsch für ene Vertelung, während es sch be mehr als s um Ausreßer handelt (vgl. ormalvertelungs-häufgketen) z

wird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung:

wird auch Spannweite bzw. Variationsbreite genannt ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert einer Verteilung: Streuungswerte: 1) Range (R) ab metrschem Messnveau ) Quartlabstand (QA) und mttlere Quartlabstand (MQA) ab metrschem Messnveau 3) Durchschnttlche Abwechung (AD) ab metrschem Messnveau 4) Varanz (s ) ab

Mehr

Streuungs-, Schiefe und Wölbungsmaße

Streuungs-, Schiefe und Wölbungsmaße aptel IV Streuungs-, Schefe und Wölbungsmaße B... Lagemaße von äufgketsvertelungen geben allen weng Auskunft über ene äufgketsvertelung. Se beschreben zwar en Zentrum deser Vertelung, geben aber kenen

Mehr

FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I)

FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I) Statst I / B. Zegler Formelsammlng FORMELSAMMLUG STATISTIK (I) Statstsche Formeln, Defntonen nd Erläterngen A a X n qaltatves Mermal Mermalsasprägng qanttatves Mermal Mermalswert Anzahl der statstschen

Mehr

Grundlagen sportwissenschaftlicher Forschung Deskriptive Statistik

Grundlagen sportwissenschaftlicher Forschung Deskriptive Statistik Grundlagen sportwssenschaftlcher Forschung Deskrptve Statstk Dr. Jan-Peter Brückner jpbrueckner@emal.un-kel.de R.6 Tel. 880 77 Deskrptve Statstk - Zele Beschreben der Daten Zusammenfassen der Daten Überblck

Mehr

Übungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Lösungen. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression Die Lösungen

Übungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Lösungen. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression Die Lösungen Übungsklausur Wahrschenlchket und Regresson De Lösungen. Welche der folgenden Aussagen treffen auf en Zufallsexperment zu? a) En Zufallsexperment st en emprsches Phänomen, das n stochastschen Modellen

Mehr

Maße der zentralen Tendenz (10)

Maße der zentralen Tendenz (10) Maße der zentralen Tendenz (10) - De Berechnung der zentralen Tendenz be ategorserten Daten mt offenen Endlassen I - Bespel 1: offene Endlasse Alter x f x f p x p p cum bs 20 1? 3? 6? 6 21-25 2 23 20 460

Mehr

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert;

Mehr

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv Auswertung unvarater Datenmengen - desrptv Bblografe Prof. Dr. Küc; Statst, Vorlesungssrpt Abschntt 6.. Bleymüller/Gehlert/Gülcher; Statst für Wrtschaftswssenschaftler Verlag Vahlen Bleymüller/Gehlert;

Mehr

In der beschreibenden Statistik werden Daten erhoben, aufbereitet und analysiert. Beispiel einer Datenerhebung mit Begriffserklärungen (Vokabel)

In der beschreibenden Statistik werden Daten erhoben, aufbereitet und analysiert. Beispiel einer Datenerhebung mit Begriffserklärungen (Vokabel) Rudolf Brnkmann http://brnkmann-du.de Sete.. Datenerhebung, Datenaufberetung und Darstellung. In der beschrebenden Statstk werden Daten erhoben, aufberetet und analysert. Bespel ener Datenerhebung mt Begrffserklärungen

Mehr

2 Zufallsvariable und Verteilungen

2 Zufallsvariable und Verteilungen Zufallsvarable und Vertelungen 7 Zufallsvarable und Vertelungen Wr wollen uns jetzt mt Zufallsexpermenten beschäftgen, deren Ausgänge durch (reelle) Zahlen beschreben werden können, oder be denen man jedem

Mehr

Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte: Itemschwierigkeit P i

Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte. Itemanalyse und Itemkennwerte: Itemschwierigkeit P i Itemanalyse und Itemkennwerte De Methoden der Analyse der Itemegenschaften st ncht m engeren Snne Bestandtel der Klassschen Testtheore Im Rahmen ener auf der KTT baserenden Testkonstrukton und -revson

Mehr

Die hierzu formulierte Nullhypothese H lautet: X wird durch die Verteilungsdichtefunktion h(x)

Die hierzu formulierte Nullhypothese H lautet: X wird durch die Verteilungsdichtefunktion h(x) ZZ Lösung zu Aufgabe : Ch²-Test Häufg wrd be der Bearbetung statstscher Daten ene bestmmte Vertelung vorausgesetzt. Um zu überprüfen ob de Daten tatsächlch der Vertelung entsprechen, wrd en durchgeführt.

Mehr

Sind die nachfolgenden Aussagen richtig oder falsch? (1 Punkt pro korrekter Beantwortung)

Sind die nachfolgenden Aussagen richtig oder falsch? (1 Punkt pro korrekter Beantwortung) LÖSUNG KLAUSUR STATISTIK I Berufsbegletender Studengang Betrebswrtschaftslehre Sommersemester 016 Aufgabentel I: Theore (10 Punkte) Snd de nachfolgenden Aussagen rchtg oder falsch? (1 Punkt pro korrekter

Mehr

Beschreibung des Zusammenhangs zweier metrischer Merkmale. Streudiagramme Korrelationskoeffizienten Regression

Beschreibung des Zusammenhangs zweier metrischer Merkmale. Streudiagramme Korrelationskoeffizienten Regression Beschrebung des Zusammenhangs zweer metrscher Merkmale Streudagramme Korrelatonskoeffzenten Regresson Alter und Gewcht be Kndern bs 36 Monaten Knd Monate Gewcht 9 9 5 8 3 4 7.5 4 3 6 5 3 6 4 3.5 7 35 5

Mehr

Kapitel V. Parameter der Verteilungen

Kapitel V. Parameter der Verteilungen Kaptel V Parameter der Vertelungen D. 5.. (Erwartungswert) Als Erwartungswert ener Zufallsvarablen X bezechnet man: E( X ) : Dabe se vorausgesetzt: = = + p falls X dskret f d falls X stetg und = + p

Mehr

Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e

Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e Andere Darstellungsformen für de Ausfall- bzw. Überlebens-Wahrschenlchket der Webull-Vertelung snd we folgt: Ausfallwahrschenlchket: F ( t ) Überlebenswahrschenlchket: ( t ) = R = e e t t Dabe haben de

Mehr

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung RS 24.2.2005 Erwartungswert_Varanz_.mcd 4) Erwartungswert Erwartungswert, Varanz, Standardabwechung Be jedem Glücksspel nteresseren den Speler vor allem de Gewnnchancen. 1. Bespel: Setzen auf 1. Dutzend

Mehr

Auswertung von Umfragen und Experimenten. Umgang mit Statistiken in Maturaarbeiten Realisierung der Auswertung mit Excel 07

Auswertung von Umfragen und Experimenten. Umgang mit Statistiken in Maturaarbeiten Realisierung der Auswertung mit Excel 07 Auswertung von Umfragen und Expermenten Umgang mt Statstken n Maturaarbeten Realserung der Auswertung mt Excel 07 3.Auflage Dese Broschüre hlft bem Verfassen und Betreuen von Maturaarbeten. De 3.Auflage

Mehr

Daten sind in Tabellenform gegeben durch die Eingabe von FORMELN können mit diesen Daten automatisierte Berechnungen durchgeführt werden.

Daten sind in Tabellenform gegeben durch die Eingabe von FORMELN können mit diesen Daten automatisierte Berechnungen durchgeführt werden. Ene kurze Enführung n EXCEL Daten snd n Tabellenform gegeben durch de Engabe von FORMELN können mt desen Daten automatserte Berechnungen durchgeführt werden. Menüleste Symbolleste Bearbetungszele aktve

Mehr

Beschreibende Statistik Mittelwert

Beschreibende Statistik Mittelwert Beschrebende Statstk Mttelwert Unter dem arthmetschen Mttel (Mttelwert) x von n Zahlen verstehen wr: x = n = x = n (x +x +...+x n ) Desen Mttelwert untersuchen wr etwas genauer.. Zege für n = 3: (x x )

Mehr

Arbeitsgruppe Radiochemie Radiochemisches Praktikum P 06. Einführung in die Statistik. 1. Zählung von radioaktiven Zerfällen und Statistik 2

Arbeitsgruppe Radiochemie Radiochemisches Praktikum P 06. Einführung in die Statistik. 1. Zählung von radioaktiven Zerfällen und Statistik 2 ETH Arbetsgruppe Radocheme Radochemsches Praktkum P 06 Enführung n de Statstk INHALTSVERZEICHNIS Sete 1. Zählung von radoaktven Zerfällen und Statstk 2 2. Mttelwert und Varanz 2 3. Momente ener Vertelung

Mehr

3.1 Häufigkeiten bei diskreten Merkmalen Absolute und relative Häufigkeiten Graphische Darstellungen 40

3.1 Häufigkeiten bei diskreten Merkmalen Absolute und relative Häufigkeiten Graphische Darstellungen 40 3 Häufgketen 3. Häufgketen be dskreten Merkmalen 39 3.. Absolute und relatve Häufgketen 39 3..2 Graphsche Darstellungen 40 3.2 Häufgketen be stetgen Merkmalen 42 3.2. Das Prnzp der Klassenbldung 42 3.2.2

Mehr

Definition des linearen Korrelationskoeffizienten

Definition des linearen Korrelationskoeffizienten Defnton des lnearen Korrelatonskoeffzenten r xy x y y r x xy y 1 x x y y x Der Korrelatonskoeffzent st en Indkator dafür, we gut de Punkte (X,Y) zu ener Geraden passen. Sen Wert legt zwschen -1 und +1.

Mehr

ANOVA (Analysis of Variance) Varianzanalyse. Statistik Methoden. Ausgangssituation ANOVA. Ao.Prof.DI.Dr Josef Haas

ANOVA (Analysis of Variance) Varianzanalyse. Statistik Methoden. Ausgangssituation ANOVA. Ao.Prof.DI.Dr Josef Haas Ao.Prof.DI.Dr Josef Haas josef.haas@medungraz.at ANOVA (Analyss of Varance) Varanzanalyse Statstk Methoden Verglech von Mttelwerten Ao.Unv.Prof.DI.Dr. Josef Haas josef.haas@medungraz.at Ausgangsstuaton

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblock

Lösungen zum 3. Aufgabenblock Lösungen zum 3. Aufgabenblock 3. Aufgabenblock ewerber haben n enem Test zur sozalen Kompetenz folgende ntervallskalerte Werte erhalten: 96 131 11 1 85 113 91 73 7 a) Zegen Se für desen Datensatz, dass

Mehr

-70- Anhang: -Lineare Regression-

-70- Anhang: -Lineare Regression- -70- Anhang: -Lneare Regressn- Für ene Messgröße y f(x) gelte flgender mathematsche Zusammenhang: y a+ b x () In der Regel läßt sch durch enen Satz vn Messwerten (x, y ) aber kene Gerade zechnen, da de

Mehr

Hausübung 1 Lösungsvorschlag

Hausübung 1 Lösungsvorschlag Hydrologe und Wasserwrtschaft Hausübung Lösungsvorschlag NIDRSCHLAG Hnwes: Be dem vorlegenden Dokument handelt es sch ledglch um enen Lösungsvorschlag und ncht um ene Musterlösung. s besteht ken Anspruch

Mehr

Verteilungen, sondern nur, wenn ein. Eignet sich nicht bei flachen. Bei starker Streuung wenig. Wert eindeutig dominiert.

Verteilungen, sondern nur, wenn ein. Eignet sich nicht bei flachen. Bei starker Streuung wenig. Wert eindeutig dominiert. Auswertung von Umfragen und Expermenten Umgang mt Statstken n Maturaarbeten Realserung der Auswertung mt Excel 07 Kenngrössen der Statstk Für de Auswertung von Datenrehen werden verschedene Kenngrössen

Mehr

Ein metrisches Merkmal

Ein metrisches Merkmal En metrsches Merkmal 170 171 Bespel Ntratbelastung n NÖ-Trnkwasser Quelle NösWAG/WWF 1998 526 Meßstellen, Angaben n mg/l, Grenzwert st 50mg/l 23 23 32 32 32 12 12 12 12 12 12 12 23 12 12 12 12 23 23 23

Mehr

Fallstudie 1 Diskrete Verteilungen Abgabe: Aufgabentext und Lösungen schriftlich bis zum

Fallstudie 1 Diskrete Verteilungen Abgabe: Aufgabentext und Lösungen schriftlich bis zum Abgabe: Aufgabentext und Lösungen schrftlch bs zum 15. 6. 2012 I. Thema: Zehen mt und ohne Zurücklegen Lesen Se sch zunächst folgenden Text durch! Wr haben bsher Stchprobenzehungen aus Grundgesamtheten

Mehr

Analyse von Querschnittsdaten. Bivariate Regression

Analyse von Querschnittsdaten. Bivariate Regression Analse von Querschnttsdaten Bvarate Regresson Warum geht es n den folgenden Stzungen? Kontnuerlche Varablen Deskrptve Modelle kategorale Varablen Datum 3.0.2004 20.0.2004 27.0.2004 03..2004 0..2004 7..2004

Mehr

Standardnormalverteilung / z-transformation

Standardnormalverteilung / z-transformation Standardnormalvertelung / -Transformaton Unter den unendlch velen Normalvertelungen gbt es ene Normalvertelung, de sch dadurch ausgeechnet st, dass se enen Erwartungswert von µ 0 und ene Streuung von σ

Mehr

Statistik Exponentialfunktion

Statistik Exponentialfunktion ! " Statstk " Eponentalfunkton # $ % & ' $ ( )&* +, - +. / $ 00, 1 +, + ) Ensemble von radoaktven Atomkernen Zerfallskonstante λ [1/s] Lebensdauer τ 1/λ [s] Anzahl der pro Zetenhet zerfallenden Kerne:

Mehr

Konzept der Chartanalyse bei Chart-Trend.de

Konzept der Chartanalyse bei Chart-Trend.de Dpl.-Phys.,Dpl.-Math. Jürgen Brandes Konzept der Chartanalyse be Chart-Trend.de Konzept der Chartanalyse be Chart-Trend.de... Bewertungsgrundlagen.... Skala und Symbole.... Trendkanalbewertung.... Bewertung

Mehr

Aspekte zur Approximation von Quadratwurzeln

Aspekte zur Approximation von Quadratwurzeln Aspete zur Approxmaton von Quadratwurzeln Intervallschachtelung Intervallhalberungsverfahren Heron-Verfahren Rechnersche und anschaulche Herletung Zusammenhang mt Newtonverfahren Monotone und Beschränthet

Mehr

Regressionsgerade. x x 1 x 2 x 3... x n y y 1 y 2 y 3... y n

Regressionsgerade. x x 1 x 2 x 3... x n y y 1 y 2 y 3... y n Regressonsgerade x x x x 3... x n y y y y 3... y n Bem Auswerten von Messrehen wrd häufg ene durch theoretsche Überlegungen nahegelegte lneare Bezehung zwschen den x- und y- Werten gesucht, d.h. ene Gerade

Mehr

U Test (Rangsummentest) Parameterfreie Tests. U -Test. U -Test. χ ²- Unabhängigkeitstest Test auf Unabhängigkeit von zwei Zufallsgrößen

U Test (Rangsummentest) Parameterfreie Tests. U -Test. U -Test. χ ²- Unabhängigkeitstest Test auf Unabhängigkeit von zwei Zufallsgrößen Parameterfree Tests U Test (Rangsummentest) Verglech der Mttelwerte (Medane) be ncht normalvertelten Größen U - Test Mttelwertverglech von zwe ncht verbundenen Zugrößen Wlcoxon - Vorzechenrangtest Mttelwertverglech

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 2

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 2 Lösungen der Aufgaben zu Kaptel Abschntt 1 Aufgabe 1 Wr benutzen de Potenzrechenregeln, um ene Potenz von mt geradem Eponenten n oder mt ungeradem Eponenten n + 1 we folgt darzustellen: n n und n+1 n n

Mehr

Statistische Kennzahlen für die Lage

Statistische Kennzahlen für die Lage Statstsche Kennzahlen für de Lage Bsher: gernge Informatonsverdchtung durch Vertelungsbeschrebung Jetzt: stärere Zusammenfassung der Daten auf hr Zentrum ls Raabe: Wahrschenlchetsrechnung und Statstsche

Mehr

Nomenklatur - Übersicht

Nomenklatur - Übersicht Nomenklatur - Überscht Name der synthetschen Varable Wert der synthetschen Varable durch synth. Varable erklärte Gesamt- Streuung durch synth. Varable erkl. Streuung der enzelnen Varablen Korrelaton zwschen

Mehr

Grundgedanke der Regressionsanalyse

Grundgedanke der Regressionsanalyse Grundgedanke der Regressonsanalse Bsher wurden durch Koeffzenten de Stärke von Zusammenhängen beschreben Mt der Regressonsrechnung können für ntervallskalerte Varablen darüber hnaus Modelle geschätzt werden

Mehr

Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.

Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung. Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 06.0.008 Spawete, Meda Quartlsabstad, Varaz ud Stadardabwechug. Streuug um de Mttelwert. I de folgede Säuledagramme st de Notevertelug zweer Schülergruppe (Mädche,

Mehr

Rückblick Regression II: Anpassung an Polynome

Rückblick Regression II: Anpassung an Polynome Rückblck Regresson II: Anpassung an Polynome T. Keßlng: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Fehlerrechnung und Korrelaton 0.06.08 Vorlesung 0- Temperaturmessung mt Thermospannung Wr erhalten

Mehr

6. Modelle mit binären abhängigen Variablen

6. Modelle mit binären abhängigen Variablen 6. Modelle mt bnären abhänggen Varablen 6.1 Lneare Wahrschenlchketsmodelle Qualtatve Varablen: Bnäre Varablen: Dese Varablen haben genau zwe möglche Kategoren und nehmen deshalb genau zwe Werte an, nämlch

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Statstk und Wahrschenlchketsrechnung 5. Vorlesung Dr. Jochen Köhler.03.0 Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Wchtg!!! Vorlesung Do 4.03.0 HCI G3 Übung 5 D 9.03.0 Fnk

Mehr

1.11 Beispielaufgaben

1.11 Beispielaufgaben . Bespelaufgaben Darstellung komplexer Zahlen Aufgabe. Man stelle de komplexe Zahl z = +e 5f n algebrascher Form, also als x + y dar. Damt man de Formel für de Dvson anwenden kann, muss zunächst der Nenner

Mehr

(Theoretische) Konfidenzintervalle für die beobachteten Werte: Die Standardabweichung des Messfehlers wird Standardmessfehler genannt:

(Theoretische) Konfidenzintervalle für die beobachteten Werte: Die Standardabweichung des Messfehlers wird Standardmessfehler genannt: (Theoretsche Konfdenzntervalle für de beobachteten Werte: De Standardabwechung des Messfehlers wrd Standardmessfehler genannt: ( ε ( 1- REL( Mt Hlfe der Tschebyscheff schen Unglechung lassen sch be bekanntem

Mehr

Die Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung am Beispiel eines Modells der Schadenversicherung

Die Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung am Beispiel eines Modells der Schadenversicherung am Bespel enes Modells der chadenverscherung Für das Modell ener chadenverscherung se gegeben: s w s. n 4 chaden enes Verscherungsnehmers, wenn der chadenfall entrtt Wahrschenlchket dafür, dass der chadenfall

Mehr

Bedingte Entropie. Bedingte Entropie. Bedingte Entropie. Kapitel 4: Bedingte Entropie I(X;Y) H(X Y) H(Y) H(X) H(XY)

Bedingte Entropie. Bedingte Entropie. Bedingte Entropie. Kapitel 4: Bedingte Entropie I(X;Y) H(X Y) H(Y) H(X) H(XY) Bedngte Entrope Kaptel : Bedngte Entrope Das vorherge Theorem kann durch mehrfache Anwendung drekt verallgemenert werden H (... H ( = Ebenso kann de bedngt Entrope defnert werden Defnton: De bedngte Entrope

Mehr

Datenaufbereitung und -darstellung III

Datenaufbereitung und -darstellung III Datenafberetng nd Darstellng 1 Glederng: Zel der Datenafberetng nd Darstellng Datenverdchtng Tabellen nd grafsche Darstellngen Darstellng nvarater Datenmengen (Abschntt 4.4 Darstellng mltvarater Daten

Mehr

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv

Auswertung univariater Datenmengen - deskriptiv Auswertung unvarater Datenmengen - deskrptv Egenschaften des arthmetschen Mttels Enfache Streuungsmaße Spannwete Quartlabstand Das Dagramm enes Boplots Prof. Kück / Dr. Rcabal Lage- und Streuungsparameter

Mehr

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren Verfahren zur Analyse nomnalskalerten Daten Thomas Schäfer SS 009 1 arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren nonparametrsche Tests werden auch vertelungsfree

Mehr

Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09

Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09 Ruhr-Unverstät Bochum Lehrstuhl für Kryptologe und IT-Scherhet Prof. Dr. Alexander May M. Rtzenhofen, M. Mansour Al Sawad, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Dskrete Mathematk 1 WS 2008/09 Blatt 7 /

Mehr

Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Erwartungswert

Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Erwartungswert R. Brnkmann http://brnkmann-du.de Sete..8 Zufallsvarable, Wahrschenlchketsvertelungen und Erwartungswert Enführungsbespel: Zwe Würfel (en blauer und en grüner) werden 4 mal zusammen geworfen. De Häufgketen

Mehr

z.b. Münzwurf: Kopf = 1 Zahl = 2 oder z.b. 2 Würfel: Merkmal = Summe der Augenzahlen, also hier: Bilde die Summe der Augenzahlen der beiden Würfel!

z.b. Münzwurf: Kopf = 1 Zahl = 2 oder z.b. 2 Würfel: Merkmal = Summe der Augenzahlen, also hier: Bilde die Summe der Augenzahlen der beiden Würfel! Aufgabe : Vorbemerkung: Ene Zufallsvarable st ene endeutge Funkton bzw. ene Abbldungsvorschrft, de angbt, auf welche Art aus enem Elementareregns ene reelle Zahl gewonnen wrd. x 4 (, ) z.b. Münzwurf: Kopf

Mehr

Übung zu Erwartungswert und Standardabweichung

Übung zu Erwartungswert und Standardabweichung Aufgabe Übung zu Erwartungswert und Standardabwechung In ener Lottere gewnnen 5 % der Lose 5, 0 % der Lose 0 und 5 % der Lose. En Los kostet 2,50. a)berechnen Se den Erwartungswert für den Gewnn! b)der

Mehr

Resultate / "states of nature" / mögliche Zustände / möglicheentwicklungen

Resultate / states of nature / mögliche Zustände / möglicheentwicklungen Pay-off-Matrzen und Entschedung unter Rsko Es stehen verschedene Alternatven (Strategen) zur Wahl. Jede Stratege führt zu bestmmten Resultaten (outcomes). Man schätzt dese Resultate für jede Stratege und

Mehr

Streuungs-, Schiefe und Wölbungsmaße 1

Streuungs-, Schiefe und Wölbungsmaße 1 aptel IV Streuung-, Schefe und Wölbungmaße B... Lagemaße von äufgketvertelungen geben allen weng Aukunft über ene äufgketvertelung. Se bechreben zwar en Zentrum deer Vertelung, geben aber kenen Anhaltpunkt

Mehr

Multilineare Algebra und ihre Anwendungen. Nr. 6: Normalformen. Verfasser: Yee Song Ko Adrian Jenni Rebecca Huber Damian Hodel

Multilineare Algebra und ihre Anwendungen. Nr. 6: Normalformen. Verfasser: Yee Song Ko Adrian Jenni Rebecca Huber Damian Hodel ultlneare Algebra und hre Anwendungen Nr. : Normalformen Verfasser: Yee Song Ko Adran Jenn Rebecca Huber Daman Hodel 9.5.7 - - ultlneare Algebra und hre Anwendungen Jordan sche Normalform Allgemene heore

Mehr

Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm):

Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm): Aufgabe 1 (4 + 2 + 3 Punkte) Bem Wegen von 0 Respaketen ergaben sch folgende Gewchte X(n Gramm): 1 2 3 4 K = (x u, x o ] (98,99] (99, 1000] (1000,100] (100,1020] n 1 20 10 a) Erstellen Se das Hstogramm.

Mehr

Lineare Regression (1) - Einführung I -

Lineare Regression (1) - Einführung I - Lneare Regresson (1) - Enführung I - Mttels Regressonsanalysen und kompleeren, auf Regressonsanalysen aserenden Verfahren können schenar verschedene, jedoch nenander üerführare Fragen untersucht werden:

Mehr

Teil IV: Drei Musterklausuren

Teil IV: Drei Musterklausuren Tel IV: Dre Musterklausuren Hauptklausur SS 97 Aufgabe : 5 Schwmmer verschedenen Alters erbrachten n Wettkämpfen über 50 m Brustschwmmen de folgenden Zeten: Alter Zeten n sec. 8 37.00 40.00 4.00 30 39.00

Mehr

Stochastische Prozesse

Stochastische Prozesse INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 4 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 16: (Success Run, Fortsetzung)

Mehr

Gauss sche Fehlerrrechnung

Gauss sche Fehlerrrechnung Gauss sche Fehlerrrechnung T. Ihn 24. Oktober 206 Inhaltsverzechns Modell und Lkelhood 2 Alle Standardabwechungen σ snd bekannt, bzw. de Kovaranzmatrx der Daten st bekannt: Mnmeren der χ 2 -Funkton. 6

Mehr

Ursache der Ungewissheit kann dabei z.b. unvollständige Information sein oder unbekannte bzw. nicht beeinflussbare Bedingungen.

Ursache der Ungewissheit kann dabei z.b. unvollständige Information sein oder unbekannte bzw. nicht beeinflussbare Bedingungen. SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl/ FB GW Deskr.1 1 Warum Stochastk? Stochastk: Kunst des Mutmaßens (grech.) Mathematsche Stochastk beschäftgt sch mt der Beschrebung und Untersuchung von Erschenungen,

Mehr

Alternative Konzepte zur Laufzeitenermittlung: Statistisch-theoretische Grundlagen. Dr. Jürgen Faik. - Reinfeld,

Alternative Konzepte zur Laufzeitenermittlung: Statistisch-theoretische Grundlagen. Dr. Jürgen Faik. - Reinfeld, Alternatve Konzepte zur Laufzetenermttlung: Statstsch-theoretsche Grundlagen Dr. Jürgen Fak - Renfeld, 20.11.2007-1. Enletung In der sozalpoltschen Dskusson, welche sch auf de gesetzlche Rentenverscherung

Mehr

Aufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz):

Aufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz): LÖSUNG AUFGABE 8 ZUR INDUSTRIEÖKONOMIK SEITE 1 VON 6 Aufgabe 8 (Gewnnmaxmerung be vollständger Konkurrenz): Betrachtet wrd en Unternehmen, das ausschleßlch das Gut x produzert. De m Unternehmen verwendete

Mehr

Optimierung 4.3 A2 : Warenhauszentrale a 2 +b 2 =c 2 Materialbörse Mathematik

Optimierung 4.3 A2 : Warenhauszentrale a 2 +b 2 =c 2 Materialbörse Mathematik Zechenerklärung: [ ] - Drücken Se de entsprechende Taste des Graphkrechners! [ ] S - Drücken Se erst de Taste [SHIFT] und dann de entsprechende Taste! [ ] A - Drücken Se erst de Taste [ALPHA] und dann

Mehr

Beschreibung von Vorgängen durch Funktionen

Beschreibung von Vorgängen durch Funktionen Beschrebung von Vorgängen durch Funktonen.. Splnes (Sete 6) a +b c Zechenerklärung: [ ] - Drücken Se de entsprechende Taste des Graphkrechners! [ ] S - Drücken Se erst de Taste [SHIFT] und dann de entsprechende

Mehr

WS 2016/17 Prof. Dr. Horst Peters , Seite 1 von 9

WS 2016/17 Prof. Dr. Horst Peters , Seite 1 von 9 WS 2016/17 Prof. Dr. Horst Peters 06.12.2016, Sete 1 von 9 Lehrveranstaltung Statstk m Modul Quanttatve Methoden des Studengangs Internatonal Management (Korrelaton, Regresson) 1. Überprüfen Se durch Bestmmung

Mehr

Lineare Regression - Mathematische Grundlagen

Lineare Regression - Mathematische Grundlagen FKULTÄT FÜR MTHEMTIK U TURWISSESCHFTE ISTITUT FÜR PHYSIK FCHGEBIET EXPERIMETLPHYSIK I r. rer. nat. orbert Sten, pl.-ing (FH) Helmut Barth Lneare Regresson - Mathematsche Grundlagen. llgemene Gerade Wr

Mehr

Klasse : Name1 : Name 2 : Datum : Nachweis des Hookeschen Gesetzes und Bestimmung der Federkonstanten

Klasse : Name1 : Name 2 : Datum : Nachweis des Hookeschen Gesetzes und Bestimmung der Federkonstanten Versuch r. 1: achwes des Hook schen Gesetzes und Bestmmung der Federkonstanten achwes des Hookeschen Gesetzes und Bestmmung der Federkonstanten Klasse : ame1 : ame 2 : Versuchszel: In der Technk erfüllen

Mehr

Mathematische und statistische Methoden II

Mathematische und statistische Methoden II Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Menhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstunde jederzet nach Verenbarung und nach der Vorlesung. Mathematsche und statstsche Methoden II Dr. Malte Perske perske@un-manz.de

Mehr

e dt (Gaußsches Fehlerintegral)

e dt (Gaußsches Fehlerintegral) Das Gaußsche Fehlerntegral Φ Ac 5-8 Das Gaußsche Fehlerntegral Φ st denert als das Integral über der Standard-Normalvertelung j( ) = -,5 n den Grenzen bs, also F,5 t ( ) = - e dt (Gaußsches Fehlerntegral)

Mehr

Facility Location Games

Facility Location Games Faclty Locaton Games Semnar über Algorthmen SS 2006 Klaas Joeppen 1 Abstract Wr haben berets sehr häufg von Nash-Glechgewchten und vor allem von deren Exstenz gesprochen. Das Faclty Locaton Game betet

Mehr

Abbildung 3.1: Besetzungszahlen eines Fermigases im Grundzustand (a)) und für eine angeregte Konfiguration (b)).

Abbildung 3.1: Besetzungszahlen eines Fermigases im Grundzustand (a)) und für eine angeregte Konfiguration (b)). 44 n n F F a) b) Abbldung 3.: Besetzungszahlen enes Fermgases m Grundzustand (a)) und für ene angeregte Konfguraton (b)). 3.3 Ferm Drac Statstk In desem Abschntt wollen wr de thermodynamschen Egenschaften

Mehr

Alternative Darstellung des 2-Stichprobentests für Anteile. Beobachtete Response No Response Total absolut DCF CF

Alternative Darstellung des 2-Stichprobentests für Anteile. Beobachtete Response No Response Total absolut DCF CF Alternatve Darstellung des -Stchprobentests für Antele DCF CF Total n= 111 11 3 Response 43 6 69 Resp. Rate 0,387 0,3 0,309 Beobachtete Response No Response Total absolut DCF 43 68 111 CF 6 86 11 69 154

Mehr

Statistik. 1. Vorbereitung / Planung - präzise Formulierung der Ziele - detaillierte Definition des Untersuchungsgegenstandes

Statistik. 1. Vorbereitung / Planung - präzise Formulierung der Ziele - detaillierte Definition des Untersuchungsgegenstandes Statstk Defnton: Entwcklung und Anwendung von Methoden zur Erhebung, Aufberetung, Analyse und Interpretaton von Daten. Telgebete der Statstk: - Beschrebende (deskrptve) Statstk - Wahrschenlchketsrechnung

Mehr

Elemente der Mathematik - Sommer 2016

Elemente der Mathematik - Sommer 2016 Elemente der Mathematk - Sommer 2016 Prof Dr Matthas Lesch, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 3 Aufgabe 9 (10 Punkte) Das Horner-Schema st ene Methode zum Auswerten enes Polynoms n a0 x an der Stelle s

Mehr

2.12 Verteilungsvergleich am Beispiel einer stochastischen Simulation

2.12 Verteilungsvergleich am Beispiel einer stochastischen Simulation Vertelungen 5. Vertelungsverglech am Bespel ener stochastschen Smulaton Wr beschäftgen uns mt der folgenden Aufgabe Betrachten Se de beden folgenden Tests, be denen der Prüflng entweder ja oder nen ankreuzen

Mehr

Prof. Dr. P. Kischka WS 2012/13 Lehrstuhl für Wirtschafts- und Sozialstatistik. Klausur Statistische Inferenz

Prof. Dr. P. Kischka WS 2012/13 Lehrstuhl für Wirtschafts- und Sozialstatistik. Klausur Statistische Inferenz Prof. Dr. P. Kschka WS 2012/13 Lehrstuhl für Wrtschafts- und Sozalstatstk Klausur Statstsche Inferenz 15.02.2013 Name: Matrkelnummer: Studengang: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Summe Punkte 6 5 5 5 5 4 4 6 40

Mehr

Rotation (2. Versuch)

Rotation (2. Versuch) Rotaton 2. Versuch Bekannt snd berets Vektorfelder be denen das Lnenntegral über ene geschlossene Kurve Null wrd Stchworte: konservatve Kraft Potentalfelder Gradentenfeld. Es gbt auch Vektorfelder be denen

Mehr

Dynamisches Programmieren

Dynamisches Programmieren Marco Thomas - IOI 99 -. Treffen n Bonn - Dynamsches Programmeren - Unverstät Potsdam - 8.02.999 Dynamsches Programmeren 957 R. Bellmann: Dynamc Programmng für math. Optmerungsprobleme Methode für Probleme,.

Mehr

Prof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 2008

Prof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 2008 5. Spezelle Testverfahren Zahlreche parametrsche und nchtparametrsche Testverfahren, de nach Testvertelung (Bnomal, t-test etc.), Analysezel (Anpassungs- und Unabhänggketstest) oder Konstrukton der Prüfgröße

Mehr

Exkurs: Entropie in der Wahrscheinlichkeitstheorie

Exkurs: Entropie in der Wahrscheinlichkeitstheorie Exkurs: Entrope n der Wahrschenlchketstheore a) Physk/Thermodynamk: S = k B ln(w) mt W=Anzahl glech-wahrschenlcher Möglchketen (Mkrozustände) a) Informatonstheore: Shannon (1948) Entrope wobe p = f /N

Mehr

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2 1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 1/5 3101007 estng m Wechselstromkres a) Ohmscher Wderstand = ˆ ( ω ) ( t) = sn ( ω t) t sn t ˆ ˆ P t = t t = sn ω t Momentane estng 1 cos ( t) ˆ ω = Addtonstheorem:

Mehr

4.2 Grundlagen der Testtheorie

4.2 Grundlagen der Testtheorie 4.2 Grundlagen der Testtheore Wntersemester 2008 / 2009 Hochschule Magdeburg-Stendal (FH) Frau Prof. Dr. Gabrele Helga Franke Deskrptve Statstk 4-1 bs 4-2 1 GHF m WSe 2008 / 2009 an der HS MD-SDL(FH) m

Mehr

Statistik. Finanzmathematik 1-15

Statistik. Finanzmathematik 1-15 Prüfungsdauer: Hlfsmttel: 90 Mnuten Taschenrechner (ncht grafkfähg und ncht programmerbar) und Formelsammlung De Klausur besteht aus dem 16 Aufgaben m Pflchttel, de alle bearbetet werden müssen. Auf de

Mehr

Kapitel 4: Unsicherheit in der Modellierung Modellierung von Unsicherheit. Machine Learning in der Medizin 104

Kapitel 4: Unsicherheit in der Modellierung Modellierung von Unsicherheit. Machine Learning in der Medizin 104 Kaptel 4: Unscherhet n der Modellerung Modellerung von Unscherhet Machne Learnng n der Medzn 104 Regresson Modellerung des Datengenerators: Dchteschätzung der gesamten Vertelung, t pt p p Lkelhood: L n

Mehr

Konkave und Konvexe Funktionen

Konkave und Konvexe Funktionen Konkave und Konvexe Funktonen Auch wenn es n der Wrtschaftstheore mest ncht möglch st, de Form enes funktonalen Zusammenhangs explzt anzugeben, so kann man doch n velen Stuatonen de Klasse der n Frage

Mehr

Universität Potsdam Institut für Informatik Lehrstuhl Maschinelles Lernen. Bayessches Lernen

Universität Potsdam Institut für Informatik Lehrstuhl Maschinelles Lernen. Bayessches Lernen Unverstät Potsdam Insttut für Informatk Lehrstuhl Maschnelles Lernen Bayessches Lernen Chrstoph Sawade/Nels Landwehr/Paul Prasse Domnk Lahmann Tobas Scheffer Überblck Wahrschenlchketen, Erwartungswerte,

Mehr

9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.

9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1. Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.

Mehr

NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher.

NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher. PV - Hausaugabe Nr. 7.. Berechnen Se eakt und verglechen Se de Werte ür de Nullstelle, de mttels dem Verahren von Newton, der Regula als und ener Mttelung zu erhalten snd von der! Funkton: ( ) Lösungs

Mehr

3.3 Lineare Abbildungen und Matrizen

3.3 Lineare Abbildungen und Matrizen 33 LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN 87 33 Lneare Abbldungen und Matrzen Wr wollen jetzt de numersche Behandlung lnearer Abbldungen zwschen Vektorräumen beschreben be der vorgegebene Basen de Hauptrolle

Mehr

Protokoll zu Versuch C1-Mischungsvolumina

Protokoll zu Versuch C1-Mischungsvolumina Protokoll zu Prnz: De sezfschen Mschungsvolumna ener Lösung werden durch auswegen fester Flüssgketsvolumna bekannter Lösungszusammensetzungen mt Hlfe von Pyknometern bestmmt. Theoretsche Grundlagen: Um

Mehr

9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.

9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1. Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.

Mehr

1.Schularbeit 22.Okt A. A) Berechne ohne TI-92: Beachte: Für die Beispiele 1 und 2 sind alle notwendigen Rechenschritte anzugeben.

1.Schularbeit 22.Okt A. A) Berechne ohne TI-92: Beachte: Für die Beispiele 1 und 2 sind alle notwendigen Rechenschritte anzugeben. 1.Schularbet.Okt. 1997 7.A A) Berechne ohne TI-9: Beachte: Für de Bespele 1 und snd alle notwendgen Rechenschrtte anzugeben. 1a) De zu z= a + bkonjugert komplexe Zahl st z= a b. Zege für z 1 = -4 + 3 und

Mehr

Anhang 9. Bias in ökologischen Studien bei nichtlinearen Risikomodellen

Anhang 9. Bias in ökologischen Studien bei nichtlinearen Risikomodellen Anhang 9 Bas n ökologschen Studen be nchtlnearen Rskomodellen Bas n ökologschen Studen be nchtlnearen Rskomodellen J.C. Kaser GSF - Insttut für Strahlenschutz, Neuherberg, eutschland ezember 4 Anhang 9

Mehr

Sei T( x ) die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) im Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) : T( x ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ).

Sei T( x ) die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) im Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) : T( x ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ). Taylorentwcklung (Approxmaton durch Polynome). Problemstellung Se T( x ) de Tangente an den Graphen der Funkton f(x) m Punkt ( x 0, f(x 0 ) ) : T( x ) = f(x 0 ) + f (x 0 ) ( x - x 0 ). Dann kann man de

Mehr

SIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT

SIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT Smulaton von Hybrdfahrzeugantreben mt optmerter Synchronmaschne 1 SIMULATION VON HYBRIDFAHRZEUGANTRIEBEN MIT OPTIMIERTER SYNCHRONMASCHINE H. Wöhl-Bruhn 1 EINLEITUNG Ene Velzahl von Untersuchungen hat sch

Mehr