Protokoll zur Vorlesung Theoretische Informatik I
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- Jutta Eleonora Schumacher
- vor 7 Jahren
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1 Protokoll zur Vorlesung Theoretishe Informtik I! " # $ % # & ' ( % ) * + & " & & &, " ' % # + & '. / 0 1 # 0 & 2 & # & 3 4 & 5 # 0 + & 6 & ' & % ( % 6 # 9 & 5 # 0 + & 3 8. : & + # * + & " - # 0 + & ; + # 0 < 9 ' & & # 5 # 0 + & 6 & ' # = 2 >? Stz G : Behuptung : Präziser : Beweistehnik : Beweis : Annhme : Es gibt keinen Algorithmus, der bei Eingbe eines beliebigen Algorithmus α X* und beliebiger Wörter w X* feststellt, ob w D(f α ) gilt oder niht. Die totle Funktion h : X* X* X* mit ' j', flls w D h( α, ω) = ' nein' sonst ist niht berehenbr. ( f ) - Reduktion uf Selbstnwendungsproblem - Widerspruhsbeweis h ist berehenbr, dss heisst es gibt einen Algorithmus, der ds Hlteproblem löst. Wir definieren eine neue Funktion: α g : X* X* mit g totl. g(α) = h(α, K AL BM N C OD P EQ A R F SG H L R I T J U B R V O W X Y Z [ \ ] ^ Mit h ist uh g berehenbr, d.h. es gibt mindestens einen Algorithmus γ, der g berehnet. g beshreibt hier ds Selbstnwendungsproblem welhes zu einem Widerspruh führt, Seite 1 von 6
2 drus folgt, dß die Annhme flsh und die Behuptung der niht Berehenbrkeit des obigen Algorithmus rihtig ist. Bemerkung : Stz G gilt für lle Algorithmen α und utomtishen Anlysen. Für speziell vorgegebene Algorithmen lssen sih durhus Beweise zur Terminierung / Korrektheit finden. Stz H : Dieser Stz ist nur umgngssprhlih, lso niht exkt formuliert. Sei E eine beliebige Eigenshft, die von mindestens einer, ber niht llen berehenbren Funktionen f : X* X* erfüllt wird. Dnn gibt es keinen Algorithmus, der für beliebige Algorithmen α X* usgibt, ob f α die Eigenshft E erfüllt ist oder niht. D.h. llgemeine Eigenshften lssen sih niht durh ein Progrmm testen. = 2 >? 2.4 Churh she These Bisher hben wir Aussgen über Funktionen und Progrmmen / Algorithmen getroffen. Frge : Lssen sih die Aussgen uf Mshinen übertrgen? oder präziser Hbe ih mit Algorithmen den Leistungsumfng von Mshinen erfßt, oder können Mshinen mehr? Problem : Ws ist ein Algorithmus und ws ist die Leistungsfähigkeit von Algorithmen? Es besteht lso ein Mngel n formlen Definitionen. Shon 1936 ht A. Churh dies in einer These formuliert: Jede im intuitiven Sinne berehenbre Funktion ist mshinell berehenbr und umgekehrt. Def. von llen berehenbren Funktion 1-n. äquivlent Def. von llen Mshinenmodellen 1-m. Mn behte, dß die Churh she These niht mthemtish zu beweisen ist. Wnn immer ein Algorithmus mehnish drgestellt ist, so knn mn ihn uf eine Mshine überführen: Mshinenbegriffe _ Äquivlent Algorithmen _ Äquivlent Algorithmus _ Mshine ( überführbr ). D ds Adjektiv intuitiv in der Churh shen These informell (niht forml) verwendet ist, knn kein formler Beweis geführt werden. Seite 2 von 6
3 = 2 >? 3. Mshinen Welhes sind die typishen / wesentlihen / unveränderlihen Merkmle von Mshinen? Merkmle : Inputs ( Eingben ) Outputs ( Ausgben ) Zustände ( innere ) fertig Mehnismus Progrmm : Ablufsteuerung, die in Rektion uf Eingben und den ktuellen Zustnd eine Zustndsänderung herbeiführt. Beispiel : Ein Getränkeutomt für Getränke zum Preis von 20 Pfennig. Eingben = {5,10} Pfennig Ausgben = {G, GW, nihts} - Getränk - Wehselgeld + Getränk - nihts Eingben ` Zustnd ` Ausgben möglihe Zustände: { 0 Pf eingen., 5 Pf eingen., 10 Pf eingen., 15 Pf eingen., 20 Pf eingen., 25 Pf eingen., Seite 3 von 6
4 e d b Zustndsübergngsfunktion : 30 Pf eingen., Getr. usgeben} Ausgngszustnd Eingbe Ausgbe 5 Pf 10 Pf 0 (Pf) (Pf) (Pf) (Pf) (Pf) (Pf) - - Getränk usgeben, zurük zu 0 Pfennig 30 (Pf) - - Getränk + 5 Pf usgeben, zurük zu 0 Pfennig = 2 >? Definition A : Eine Abstrkte Mshine M beshreibt mn durh ein 7 Tupel M = {I, O, K, α, ω,, π}. Wobei folgendes gilt : I O K α : I K ω : K O : K K Menge der Eingben Menge der Ausgben Menge der Konfigurtionen Eingbefunktion Ausgbefunktion Überführungsfunktion ( Zustndsüberführungdfunktion ) π : K {1,0} Hlteprädikt E = {k K π(k) = 1} sei die Menge der Endkonfigurtion. Allgemeine Arbeitsweise eines solhen Automten : f m I K K... K E O α Lufzeit der Mshine ω Definition B : Sei M = ( I, O, K, α, ω,, π ) eine Abstrkte Mshine. Die Lufzeit t M von M für eine Eingbe i I ist definiert durh t M (i) = min { m N π( m (α(i))) = 1}. Flls min niht definiert ist, dnn setze t M =. D.h. die Mshine hält niht n. Definition C : Sei M = ( I, O, K, α, ω,, π ) eine Abstrkte Mshine. Die vom M berehnete Funktion f M ist definiert durh f M : I O mit tm ( i) ω ( ( ( i ), flls tm ( i) < f M ( i) = sonst. Seite 4 von 6
5 = 2 >? Beispiele : 1) Kommen wir nun uf unseren Getränkeutomten noh einml zurük und betrhten ihn nun nhnd unserer Definitionen. M 1 = ( I 1, O 1, K 1, α 1, ω 1, 1, π 1 ) mit I 1 = {5,10}, O 1 = {G} x N 0 N 0 = Wehselgeld K 1 = I 1 * x N 0 Speihergeld α 1 : I 1 K 1 mit ω(x, s) = (G, S 25) 1, flls x =, s 25 π : K1 { 0,1} mit π ( x, s) = 0, sonst Gibt Getränk und vermindert ds eingegebene Geld um 25 und gibt den Restbetrg us. (x, s) = (y, s + α), flls x = αy, α {5, 10}, y I* Abluf : i = α ( ,0) ( ,5) ω ( 10,20) ( ε,30) ( G, S)... Aus diesem Aufbu folgt ds m ende des Vorgngs ein Getränk und 5 Pf Wehselgeld vom Automten zurükgegeben werden. Beispiel 2 : 2.) Abstrkte Mshinen sind ußerordentlih leistungsfähig, sie können jede beliebige Funktion berehnen, sogr in nur einem einzigem Shritt. Hier ist ds Beispiel einer bstrkten Mshine M die einfh ds Ergebnis einer totlen Funktion usgibt. Sei f: Ν Ν einer beliebigen totlen Funktion. Seite 5 von 6
6 Def: Abstrkte Mshine M mit f=f M. M 2 = (I 2, O 2, K 2,α 2,ω 2, 2,π 2) mit I 2 =O 2 =Ν und K 2 =Ν 0 Ν 0 α 2 : Ν Ν 0 Ν 0 mit α 2 (n) = (n,0) ω 2 : Ν 0 Ν 0 Ν mit ω 2 (n) = (0,n)n 2 : Ν 0 Ν 0 Ν 0 Ν 0 mit 2 (n,0) = (0,f(n)) für lle n Ν 0 1 flls m=0 π 2 : Ν 0 Ν 0 {0,1} mit π 2 (m,n) sonst 0 = 2 >? tm2 fm2 (n) = min {m Ν (π ( m (α (n) ) ) = 1 } = 1, (n) = ω ( 1 (α (n) ) ) = ω ((n, 0) ) = ω (0, f (n) ) = f (n). 1.) Wir nehmen n es existieren Mshinen die mehr vermögen Algorithmen, dies steht jedoh im Widerspruh mit der Churh shen These drus folgt : 2.) Abstrkte Mshinen sind niht relistish! Relistishe Automten müssen endlih erzeugt, d.h. : Endliher Speiher Endlihe Menge von Grundzuständen Irgendwie uf relistishe Weise beshränken Drus lässt sih shliessen, ds zu obengennnter Mshine M 2 kein uf diese Weise relisierter, endliher Automt existieren knn, d von einer unendlihen Menge uf eine ndere bgebildet wurde. Beispiele für endlihe Automten (endlihe Menge von Zuständen, reduzierter Zugriff uf die Eingbe ): Kellerutomten (Stk) [zusätzliher Speiher m ls Stk, Opertionen push,pop usw.) Liner beshränkter Automt (speiherbeshränkt in Abhängigkeit von der Eingbe) Turingmshinen (Opertionsbeshränkung, mit Speiherbnd) Registermshinen (Opertionsbeshränkung, mit Speiherbnd und Arbeitsregistern) Von oben nh unten nähern sih diese Automten immer weiter den heutigen Computern n, und werden somit mähtiger. Seite 6 von 6
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