Technische Mechanik III (Dynamik)

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1 Institut für Mechanische Verfahrenstechnik und Mechanik Bereich Angewandte Mechanik Vorprüfung Technische Mechanik III (Dynamik) Montag, , 9:00 11:00 Uhr Bearbeitungszeit: h Aufgabe 1 (6 Punkte) In einem Fuss mit konstanter Strömungsgeschwindigkeit v fährt ein Schiff mit konstanter Eigengeschwindigkeit u fussaufwärts. Die Reibungskraft (Strömungswiderstand) R ist proportiona zum Geschwindigkeitsquadrat. Bei wecher Eigengeschwindigkeit u wird die pro Wegeinheit notwendige Energie ein Minimum? Gegeben: v, u, R

2 Lösung (Aufgabe 1): Eigengeschwindigkeit u des Schiffes ist bezogen auf das Ufer. Strömung und Schiffbewegung sind entgegengesetzt, die Reativgeschwindigkeit ist v r = u+v Strömungswiderstand R = c(u+v) Leistung Leistung P = R(u+v) Arbeit Arbeit Weg Zeit Weg Zeit Arbeit Arbeit Weg P (u v) / c E Weg Zeit Zeit u u Minimaer Energieaufwand dew 3(u v) u (u v) 0 c du u 3u (u v) u 0 3 u v / Bezieht man u auf das umgebende Wasser dann git: R = cu P = cu 3 Weg/ Zeit = u-v E 3 u w c u v 3 dew 3u (u v) u 0 c du (u v) 3 w u 3v (u v) 0 u 3v / TM III

3 Aufgabe (15 Punkte) Ein aus dünnen homogenen Stäben der Länge bzw. bestehender Stahwinke mit einem Winke von 90 zwischen den Stäben ist im Punkt 0 drehbar geagert. g 0 m 1 g m 1 g Gegeben:, g, m 1 Gesucht: θ (0), *, ( ), ( *) Bestimmen Sie a) das Trägheitsmoment des Winkes bezügich des Punktes 0. b) die statische Geichgewichtsage * des Stahwinkes c) die Bewegungsgeichung ( ) für die Drehbewegung um den Punkt 0. d) die Schwingungsfrequenz für keine Ausenkungen um die Geichgewichtsage * in der Form ( *) TM III

4 Lösung (Aufgabe ): a) Bestimmung des Trägheitsmoments des Winkes: Trägheitsmoment eines Stabes der Länge a 1 ma 1 ( S) (0) 1 a ma m ma ma Trägheitsmoment des Winkes bzg. (0) (0) (0) (0) 1 Schenke 1: 1 3 m (0) 1 1 Schenke : (0) m( ) m m m 1 ( 8 ) 3 3 (0) m1 m1 m1 b) Bestimmung der Geichgewichtsage: i M (0) (0) i 0 m1g sin * m1g cos * 1 cos * sin * tan * 1 4 m 1 g * 14 m 1 g TM III

5 c) Bewegungsgeichung ergibt sich aus dem Drehimpussatz bzg. (0) (0) (0) M i i 3m1 m1g cos m1g sin 3 g cos g sin 0 g cos sin 6 3 d) Agemeine Form der Bewegungsgeichung f ( ) 0 g 1 hier f ( ) sin cos 3 6 für die Geichgewichtsage * git 0 * 0 wei im Geichgewicht f ( *) 0 (0) Mi 0 (1) daher * f( ) f ( *) 0 f ( ) f ( *) f * * f f( ) f( *) ( *) f * ( *) 0 f g 1 cos sin f ( *) 3 6 * Substitution * ( *) 0 f () * entspricht 0, d.h. keine Ausenkung TM III

6 g 1 cos * sin * 3 6 Bestimme sin * bzw. cos * 1 tan * sin * cos * cos * 4 cos * 17 sin * 1 cos * 1 17 g g Aternative Variante ab Geichung 1 bis Geichung : Variabensubstitution wird jetzt reativ zu * gezäht sin( * ) sin * cos cos * sin cos( * ) cos cos * sin * sin keine Ausenkung cos 1 sin g 1 f ( ) cos * sin * cos * sin * 3 6 g g 1 1 cos * sin * sin * cos * cos * sin * wg. Geichgewicht TM III

7 g 1 cos * sin * 3 6 g 1 cos * sin* 3 6 TM III

8 Aufgabe 3 (9 Punkte) Die Wee (I) eines Kurbetriebes dreht sich mit konstanter Winkegeschwindigkeit I. Über eine starre Peuestange (III) ist ein Zahnrad (II) mit der Wee verbunden. Das Zahnrad wäzt sich auf einer raumfesten Zahnstange ab. I I z y x A =3r ½ r ½ r III B II II Bestimmen Sie für die dargestete speziee Lage die Geschwindigkeit und die Bescheunigung der Punkte A und B bezügich des gegebenen raumfesten Koordinatensystems sowie die Winkegeschwindigkeit II des Zahnrades. Gegeben: r, I TM III

9 Lösung (Aufgabe 3): Komponenten der Ortsvektoren der Punkte A und B xa r cos (t) ya r sin (t) können direkt aus der Skizze abgeesen werden 1 yb r Für die Berechnung von x B wird die durch die räumiche Anordnung der Systemkomponenten definierte kinematische Beziehung benötigt. A B B A 1 B B (3r) (y y ) (x x ) 9r r sin x x r cos r cos 1 r sin cos sin xb xbr cos 4 5 r sin xb r cos xb 4 31 xb r cos cos sin r cos cos sin r cos sin sin 4 4 Durch Abeiten nach der Zeit ergeben sich die Komponenten der Geschwindigkeitsvektoren in A und B xa r sin ya r cos y 0 B x r sin B 1 sin cos cos 34 (sin sin ) 4 II r sin xb x 1 r r B cos 1 sin 35 (sin sin ) 4 sin cos 1 sin 35 (sin sin ) 4 TM III

10 Aufgabe 4 (nur für CIW) (1 Punkte) Ein Förderkorb der Masse m wird durch ein Getriebe angehoben. Das innere Zahnrad (θ 0, r 0 ), das durch ein konstantes Antriebsmoment M 0 angetrieben wird, ist über drei keinere Zahnräder (Massenträgheitsmoment jeweis θ 1, Radius r 1, raumfeste Achsen) mit dem äußeren Zahnkranz verbunden, der as Seitromme für das Sei dient, an dessen Ende der Förderkorb hängt. Der äußere Zahnkranz habe das Massenträgheitsmoment θ und den Außenradius r. Über dieses Außenrad sei das as masseos anzunehmende Sei geschungen, an dessen Ende der Förderkorb hängt. r r 1 θ 1 g r 1 M 0 r 0 r 1 θ 1 θ 1 θ 0 θ Sei, masseos m x Gegeben: r 0, r 1, r, θ 0, θ 1, θ, M 0, g, m Schneiden Sie die einzenen Teie des Systems in geeigneter Weise frei und steen Sie Bewegungsgeichungen und kinematischen Beziehungen auf, die zur Berechnung der unbekannten Seikraft S, der Kontaktkräfte H 01 und H 1, sowie der Winkegeschwindigkeiten 0 (inneres Zahnrad), 1 (keine Zahnräder), (äußerer Zahnkranz) und der Bescheunigung des Förderkorbs x notwendig sind. TM III

11 Lösung (Aufgabe 4 für CIW): Es sind die sieben Unbekannten S, H 01, H 0, x, 0, 1 und zu bestimmen, um die Bewegung des Systems voständig zu beschreiben. Aso müssen sieben Geichungen aufgestet werden. Kinematik: Das Sei rot vom äußeren Zahnkranz ab, wenn sich der Förderkorb in x-richtung bewegt. x r (1) Am Kontaktpunkt zwischen innerem, angetriebenem Zahnrad und den keinen Zahnrädern ist die Geschwindigkeit auf beide Seiten geich. 1r1 0r 0 () anaog an den Kontaktpunkten zwischen den keinen Zahnrädern und dem äußeren Zahnkranz r0 r1 1r 1 (3) Freischnitt und Bewegungsgeichungen Förderkorb m S mg x Impussatz mx S mg (4) äußerer Zahnkranz H 1 Drehimpussatz Sr 3H 1(r0 r 1) (5) H 1 H 1 S TM III

12 keine Zahnräder 1 H (H1 H 01)r 1 (6) H 01 inneres, angetriebenes Zahnrad 0 H M0 3H01 r 0 (7) M 0 H 01 H 01 TM III

13 Aufgabe 4 a (nur für VT) (3 Punkte) Auf einer mit der Winkegeschwindigkeit um eine vertikae Achse rotierenden Scheibe wird ein Kotz der Masse m mit konstanter Geschwindigkeit v Richtung Zentrum bewegt. Der Kotz ist mittes zweier Federn (Konstante c) auf einem Schitten befestigt, der reibungsfrei an der Führungsschiene AB entang geitet. v AB m c a) Um wechen Weg s werden die Federn deformiert? b) Werden die Federn gedehnt oder zusammengedrückt? Gegeben: m, c,, v TM III

14 Lösung (Aufgabe 4 a für VT): a) Bei diesem Bewegungsvorgang wirkt die Corioiskraft Fc m v F m v c F F c Feder m v cs s m v c b) F c wirkt entgegengesetzt zur Drehrichtung die Federn werden zusammengedrückt. TM III

15 Aufgabe 4b (nur für VT) (9 Punkte) m a c b m 1 Steen Sie mit Hife der Lagrange-Geichungen. Art die Bewegungsgeichung und die Eigenfrequenz des in der Abbidung dargesteten Feder-Masse-Systems auf. Voraussetzung: keine Ausenkungen, Reibungsfreiheit. Gegeben: m 1, m, c, a, b TM III

16 Lösung (Aufgabe 4 b für VT): E m b m a m b m a 1 cb m 1 gbcos m ga L E k 1 1 k Bewegungsgeichung Nuniveau = Fixpunkt des Gestänges t t L L L 0 1 ma m b L cb m gb sin 1 keine Ausenkung sin 1 1 cb m1gb m1b ma m b m a cb m gb 0 TM III

17 Aufgabe 5 (8 Punkte) Ein Rad (Masse m R, Trägheitsmoment θ R ), das mit der Winkegeschwindigkeit 0 um seine eigene Achse rotiert, ist mit Hife zweier Stangen (Gesamtmasse m S ) im Punkt A drehbar aufgehängt. Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Rotationsbewegung schagartig gestoppt und es setzt eine Pendebewegung um den Punkt A ein. A D 0 B a) Drücken Sie (A) Ges as Funktion der gegebenen Größen aus. b) Wie groß muss 0 sein, damit die Pendebewegung die horizontae Lage AD erreicht? Gegeben: (B) R, m R, m S, 0, TM III

18 Lösung (Aufgabe 5): a) (A) (B) (A) Ges R R S tange m mit m 3 (B) S R mr m 3 (A) S S tange b) Drehimpuserhatung (B) (A) R 0 Ges 1 Energieerhatung kinetische Energie tiefste Lage = potentiee Energie horizontae Lage Im tiefsten Punkt ist die Rotationsenergie des gesamten Systems um A anzusetzen, die Rotationsenergie des Rades um B ist nicht reevant, da sich die Energie durch das Abstoppen reduziert. 1 (A) Ges 1 m Rg msg (Schwerpunktsage der Stangen erhöht sich um /) m g m g m m R S R S 1 g (A) (A) m Ges S R mr (A) Ges 0 (B) 1 R (A) Ges (B) R g m m R S 3 TM III