Technische Mechanik III (Dynamik)
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- Hanna Becke
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1 Insiu für Mehanishe Verfahrensehnik und Mehanik Bereih Angewande Mehanik Tehnishe Mehanik III (Dnaik) Bearbeiungszei: 1 h 3 in Aufgabe 1 (7 Punke) g v Ein Raushiff der Masse söß zu Zeipunk = einen Bresfallshir aus. Zu diese Zeipunk ha das horizonal fliegende Raushiff die Geshwindigkei v. Man gebe die Bewegung des als Punkasse zu berahenden Raushiffs in karesishen Koordinaen an. Dabei sind über die aerodnaishen Kräfe folgende Voraussezungen zu reffen: Die Geshwindigkei is so klein, dass an für den vo Bresfallshir verursahen Widersand W Proporionaliä zur Geshwindigkei v annehen kann: W. Gegeben: g, v, Gesuh: (), () Aufgabe (3 Punke) Die beiden Punke (A) und (B) von Körper (1) bewegen sih i den Geshwindigkeien v A und v B. Der Körper (1) is i Punk (C) drehbar i de Sab () verbunden. Besien Sie graphish den Moenanpol Q des Sabes (). Gegeben: v A, v B = v A, r.
2 in Aufgabe 3 (9 Punke) Gegeben: r,, 1 =, = 3 =, g Eine hoogene Walze (Masse 1, Radius r) lieg auf eine Bre (Masse ). Das Bre kann sih auf einer glaen Unerlage reibungsfrei bewegen. Ein auf die Walze aufgewikeles Seil is über eine Ulenkrolle i einer Masse 3 verbunden. Seil und Ulenkrolle sind asselos. Das Sse befinde sih zu Beginn in Ruhe. Die Walze roll auf de Bre ohne zu rushen. a) Zeihnen Sie die Freikörperbilder für die beeiligen assebehafeen Körper des Sses. b) Sellen Sie die Geshwindigkeien 3 und als Funkionen von 1 und dar. ) Sellen Sie alle für die Berehnung von 1 und und nowendigen Bilanzgleihungen auf. Aufgabe 4 (11 Punke) Ein dünner, sabföriger Zeiger (Länge l, Masse ) is in durh eine Drehfeder (Seifigkei T ) elasish eingespann. In Zeigerie is eine Däpfer angeshlossen (Däpferkonsane d). l/ l/ T Gegeben: l,, T, d d Hinweis: Die Drehfeder erzeug ein zu Auslenkungswinkel proporionales Moen. a) Besien Sie das Massenrägheisoen des Zeigers bezüglih des Drehpunkes. b) Sellen Sie die Differenialgleihung des Sses für kleine Auslenkungen auf. ) Besien Sie anhand der Differenialgleihung das Däpfungsaß D. Sie unersuhen eperienell die ehanishen Eigenshafen des sabförigen Zeigers. Die von Ihnen verwendee Messanordnung kann Auslenkungen bis zu 1µ deekieren. Das Messergebnis für die ersen 7s is in folgende Diagra abgebilde.,5, 1,5 1,,5, -,5-1, -1,5 -, -, TM III Bahelor in s d) Besien Sie anhand des Diagras das Däpfungsaß D. e) Nah welher Zei T können Sie i der von Ihnen verwendeen Messanordnung keine Shwingung ehr beobahen? f) Skizzieren Sie in ein Diagra den sheaishen Verlauf () für den Fall der sarken Däpfung (v = ), sowie den aperiodishen Grenzfall.
3 Lösung Aufgabe 1: g (1) g () Lösungsweg 1 -Koponene d d d d d ln ep d d d ep d ep 1 ep -Koponene aus Gleihung () ergib sih d d d g d d g g g g ln ln g Anwendung ep-funkion g ep 1 ep g g TM III Bahelor
4 d g v d 1 ep d d g g ep 1 Lösungsweg DGL iels Ansaz lösen - Koponene Ansaz = e e e in Gleihung (1) einsezen riviale Lösung 1 für 1 Lösung für ( ) Ae Be A B ep ( ) 1 ep Anfangsbedingungen ( ) ( ) () A B! ( ) B ep () B B A -Koponene hoogene DGL idenish, Lösungsansaz der parikulären Lösung nah Tp der Sörfunkion. Allgeein gil a b g(), hier is b & g () ein Polno u Grad. Da die Sörfunkion sogleih eine Lösung der zugehörigen hoogenen DGL is, es lieg so genanne äußere Resonanz vor, is der Ansaz für die parikuläre Lösung i eine Polno linear in zu uliplizieren. Soi ergib sih für den Lösungsansaz der parikulären Lösung: P C P C P in Gleihung () einsezen g g C g C P ep ho A B TM III Bahelor
5 g g no P A B ep B ep g g g () A B () B B A g g ep 1 Lösung Aufgabe : Lösung Aufgabe 3: a) b) Kineaisher Zusaenhang r 3 1 r 1 TM III Bahelor
6 ) Ipuls- und Drallsäze S R 1 1 R g S Sr Rr i 1r Hafbedingungen R N N g 1 Lösung Aufgabe 4: a) Saz von Seiner DP S S, DP S, DP für Sab gil: S l 1 DP l l 1 l b) M F F D DP l MF FD MF T d 1 l l T d 3 4 FD l 3d 3T 4 l TM III Bahelor
7 ) Vergleihe i allg. Forel 3d 4 3 l T 3d 3 3d l 8 l 8 3 T D T D 3 T dl 8 d) logarihishes Dekreen -Were für erse beide Maia aus Diagra ablesen 3 ( ) ( ) ( ) 4 ln ln ( Td ) 3 D 1 D D 1 D e) () N ln N ( NTd ) D 1 Aus Diagra T s ( ) 4 ln N ln, 1 3 ln() N 6,4 ln 4 3 d ln D 1 ln 3 1 TM III Bahelor
8 Nah 6 Shwingungen, Shwingung nih ehr beobahbar. 6T 5s S f) Bei aperiodishen Grenzfall (D = 1) geh die handel es sih u eine Kriehbewegung; () geh shneller gegen als bei der sarken Däpfung (D > 1). Der ()- Verlauf der sarken Däpfung für die Anfangsbedingung v = zeig weder einen lokalen Erewer, noh einen Nulldurhgang. 1, D = 1 D > 1 /,5, 5 1 Zei TM III Bahelor
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