Definitionen des Flächeninhaltsbegriffs werden immer mehr verfeinert, durch den Messprozess festgelegt.

Transkript

1 Flächeninhalt 1 Kapitel : De Flächeninhalt Flächeninhalt eine Figu soll etwas übe deen Göße aussagen Flächeninhaltsbegiff intuitiv igendwie kla, ab de Gundschule duch Auslegen von Figuen mit Plättchen vobeeitet. Abgenzung gegenübe einem andeen Begiff von Göße, dem Umfang eine Figu. Definitionen des Flächeninhaltsbegiffs weden imme meh vefeinet, duch den Messpozess festgelegt. Welchen Figuen sind Sie beeit, einen Flächeninhalt zuzuspechen? Wie sollte de definiet und gemessen weden?

2 Faktale 1 Poblematische Figuen: Faktale im 19./0. Jahhundet Flächeninhalt de blauen Fläche? Umfang de blauen Fläche?

3 Faktale Poblematische Figuen: Faktale Flächeninhalt de blauen Fläche? Umfang de blauen Fläche?

4 Faktale 3 Poblematische Figuen: Faktale Flächeninhalt? Umfang?

5 Flächeninhalt Definition eine Flächeninhaltsfunktion F F odnet möglichst vielen Figuen A (Maß-)Zahl F(A) zu, so dass die folgenden Eigenschaften gelten: 1. F(A) 0 fü alle Figuen A,. F(A) = F(A ) A konguent zu A, 3. F(A 1 A ) = F(A 1 )+F(A ) A 1 und A haben keine gemeinsamen inneen Punkte, 4. F(Q e ) = 1 Q e beliebig gewähltes Einheitsquadat Theoie solche Messpozesse in de Mathematik Maßtheoie, Teilgebiet de Analysis Hie nu die in de Schulmathematik wichtigen Figuen behandelt, an einigen Beispielen angewandt, statt den Flächeninhalt zu definieen bescheibt man den Messpozess.

6 Flächeninhalt als Göße Flächeninhalt als Göße ( Volesung Gößenbeeiche) Im Alltagsgebauch keine Figuen mit Flächeninhalt 0 akzeptiet (z.b. einzelne Punkte, Stecken) Ohne diese Flächen bilden die Flächeninhalte einen so genannten Gößenbeeich ( Volesung übe Gößenbeeiche). In einem Gößenbeeich G sind Addition + und Kleine-Relation < eklät: 1. a + b = b + a Kommutativgesetz. (a + b) + c = a + (b + c) Assoziativgesetz 3. entwede a < b ode b < a ode a = b Tichotomie 4. a < b es gibt ein c G mit a + c = b eingeschänktes Lösbakeitsgesetz

7 Messpozess Physik De Messpozess fü die Schule Physikalisches Modell: Figuen sind aus homogenem Mateial gleiche Dicke ausgeschnitten. Figuen haben gleichen Flächeninhalt wenn sie gleiches Gewicht haben. Flächeninhalt von Figuen expeimentell vegleichen: Figuen aus geeignetem Mateial hestellen und Gewicht vegleichen. Flächenmaßzahlen zuodnen duch Vegleichen mit dem Gewicht von Einheitsquadaten ode einem andeen passenden Quadat. Fü die Schule eventuell: Flächeninhalt de Keisfläche mit einem Radiusquadat vegleichen. Wie viel mal so schwe ist die Keisfläche?

8 Flächeninhalt Definition eine Flächeninhaltsfunktion F F odnet möglichst vielen Figuen A (Maß-)Zahl F(A), so dass die folgenden Eigenschaften gelten: 1. F(A) 0 fü alle Figuen A,. F(A) = F(A ) A konguent zu A, 3. F(A 1 A ) = F(A 1 )+F(A ) A 1 und A haben keine gemeinsamen inneen Punkte, 4. F(Q e ) = 1 Q e beliebig gewähltes Einheitsquadat

9 Messpozess Mathematik 1 Folgeungen aus de Definition F(A)=0 fü alle Linien, d.h. alle Mengen ohne innee Punkte Fü Rechtecksflächen A mit den Maßzahlen a und b Längeneinheiten ist F(A)=a b Beweisskizze a=7 LE, b=3 LE 7 Quadate in einem Steifen 3 Steifen b a F(A) = 3 7 F(Q e ) = 3 7 FE

10 Messpozess Mathematik Pobleme beim Messpozesses duch Auslegen mit Quadaten: - Poblematisch bei Rechtecken mit Seiten, die zu denen des Einheitsquadates inkommensuabel sind, - Vegleich beliebige Deiecke, - kummlinig begenzte Figuen. Passt vielleicht nie genau Begiffe Zelegungsgleichheit und Egänzungsgleichheit von Figuen. Genzpozesse duch Annäheung kompliziete Flächen duch einfachee ( z.b. Keisfläche).

11 Zelegungsgleich egänzungsgleich 1 Zelegungsgleich - egänzungsgleich Definition Zwei Figuen sind zelegungsgleich wenn sie sich in paaweise konguente Figuen zelegen lassen. Zelegungsgleiche Figuen sind inhaltsgleich Folgt sofot aus den Eigenschaften de Flächeninhaltsfunktion Beispiel: Flächeninhalt des Paallelogamms Das Paallelogamm und das Rechteck sind zelegungsgleich.

12 Zelegungsgleich Paallelogamm Flächeninhalt des Paallelogamms h h g Diese Zelegung zeigt: De Flächeninhalt des Paallelogamms ist das Podukt aus de Gundseite g und de Höhe h : A = g h. g Aufgabe Gilt dies auch fü das nebenstehende Paallelogamm? Ist dieses auch zelegungsgleich zu einem Rechteck mit den Seiten g und h? g h

13 Zelegungsgleich Paallelogamm Flächeninhalt des Paallelogamms h h g g Das Paallelogamm ist zelegungsgleich zu dem Rechteck mit den Seiten g und h. Auch hie is A = g h

14 Zelegungsgleich egänzungsgleich Definition Zwei Figuen sind egänzungsgleich wenn sie duch Egänzung mit konguenten Figuen zu konguenten (i.a. zelegungsgleichen) Figuen egänzt weden können. Egänzungsgleiche Figuen sind inhaltsgleich Folgt sofot aus den Eigenschaften de Flächeninhaltsfunktion Beispiel: Pythagoas-Legebeweis b² c² a² Die weißen Flächen sind egänzungsgleich, denn sie können duch Egänzung mit den vie paaweise konguenten Deiecken zu konguenten Figuen (hie den Quadaten) egänzt weden.

15 Pythagoas Zelegung Pythagoas-Zelegungsbeweis Fü die Schule als Puzzle geeignet, wenn man die Einteilung des Kathetenquadats vogibt.

16 Pythagoas-Zelegungsbeweis

17 Egänzungs-paallelogamm 1 Satz vom Egänzungspaallelogamm D H C d E P G A F B De Satz Gegeben ist das Paallelogamm ABCD und ein Punkt P auf de Diagonalen d=ac. Duch P sind Paallelen zu den Seiten des Paallelogamms gezeichnet. Daduch entstehen zwei Paallelogamme EPHD (gelb) und FBGP (hellot). Zeigen Sie, dass diese Paallelogamme den gleichen Flächeninhalt besitzen. Zeigen Sie, dass auch die Paallelogamme AFHD und ABGE den gleichen Flächeninhalt besitzen.

18 Egänzungs-paallelogamm Anwendung Gegeben ist ein Rechteck ABGE (hellot). Es soll ein dazu flächengleiches Rechteck mit eine vogegebenen Seite konstuiet weden. D D H h3 h1 C E E P h G A B A F B Konstuktion: h 1 Paallele duch zu AB duch D, h Paallele duch zu AD duch B, C Schnittpunkt von h 1 und h, P Schnittpunkt von AC mit GE, h 3 Paallele zu AD duch P, H Schnittpunkt von h 3 mit DC. F Schnittpunkt von h 3 mit AB. AFHD ist das gesuchte Rechteck.

19 Messpozess Mathematik 3 Übesicht übe Methoden zu Bestimmung und zum Vegleich von Flächeninhalten - Figu zelegungsgleich ode egänzungsgleich zu eine Figu mit schon bekanntem Flächeninhalt (s.voangehende Beispiele) - Figu als (disjunkte) Veeinigung bekannte Flächen dastellen - Bekannte Figu als (disjunkte) Veeinigung bekannte und unbekannte Flächen dastellen - Scheungsbeweise - Genzpozesse duch Annäheung kompliziete Flächen duch einfachee ( z.b. Keisfläche, wid noch genau behandelt).

20 Cavaliei Ebene Satz von Cavaliei in de Ebene Kann man eine Geade g so zeichnen, dass jede Paallele zu diese Geaden aus zwei Flächen stets zueinande gleichlange Stecken ausschneidet, so haben die Flächen denselben Inhalt. g Deiecke mit gleiche Gundseite und gleiche Höhe haben den gleichen Flächeninhalt (Stahlensatz).

21 Deiecksfomeln 1 Deiecksfomeln und ihe geometische Deutung h g A= gh g A= h A= g h Veschiedene Heleitungen fühen zunächst zu veschiedenen Fomen de Flächeninhaltsfomeln Temumfomungen

22 Deiecksfomeln A= g h = g h Vesuchen Sie, diese beiden Beweise auch fü nicht spitzwinklige Deiecke duchzufühen (Aufgabenblatt)

23 Genzpozesse Beispiel: Flächeninhalt des Keises Ein- und umbeschiebenes Sechseck Einbeschiebenes Sechseck und Zwölfeck Annäheung duch einbeschiebene und umbeschiebene egelmäßige n-ecke. Fü n nähen sich deen Flächeninhalte von unten bzw. oben einem gemeinsamen Wet. Diesen Wet definiet man als den Flächeninhalt des Keises. Genzpozesse 1

24 Ganz beliebige Figu Flächeninhalt A? I 1 A U 1 Gittepapie dübe legen... Kästchen im Inneen zählen und addieen I 1 Kästchen außen zählen und addieen U 1 Genzpozesse

25 Kästchenlänge halbieen... I 1 I A U U 1 Kästchen im Inneen zählen und addieen I Kästchen außen zählen und addieen U Genzpozesse 3

26 Falls I n und U n sich dem gleichen Wet A nähen, dann ist das de Flächeninhalt de Figu. I 1 I I 4 A U 4 U U 1 Kästchenlänge nochmals halbieen... Kästchen im Inneen zählen und addieen I 4 Kästchen außen zählen und addieen U 4 Intevallschachtelung fü A Genzpozesse 4

27 Messpozess Mathematik 4 Eine Fage, die in de Volesung Geometie I untesucht wude und die histoisch goße Bedeutung hatte: Welche Flächen lassen sich alleine mit Zikel und Lineal in Quadate umwandeln? Quadatupoblem Insbesondee die Quadatu des Keises

28 Histoische Bemekungen 1 Histoische Bemekungen Im Altetum wa es ein zentales Anliegen de Geometie, alle Konstuktionen exakt nu mit Hilfe von Zikel und Lineal duchzufühen. Dieses Anliegen hat die geometische Foschung übe 000 Jahe lang voangetieben, und die endgültigen Antwoten auf die offenen Fagen sind nu etwas übe 100 Jahe alt. De Gund fü die Einschänkung de Hilfsmittel wa philosophische Natu, Näheungen fü die in Fage stehenden Pobleme waen seit altes he bekannt. Hie sollen einige de klassischen Pobleme kuz vogestellt weden.

29 Histoische Bemekungen Quadatu des Keises: Ein altes giechisches Poblem Konstuiee mit Zikel und Lineal zu einem Keis mit gegebenen Radius ein flächengleiches Quadat. Leonado da Vinci: Studie zu den Popotionen am idealen menschlichen Köpe. Quadatupoblem implizit dagestellt? Keis duch die Fingespitzen de waageecht ausgesteckten Ame und duch den zentalen goßen Zeh. Fast gleiche Flächeninhalt wie das Quadat aus Köpehöhe und Beite de ausgesteckten Ame.

30 Beweis fü die Unmöglichkeit de Quadatu des Keises est um 1870 gelungen (F.Lindemann)! Histoische Bemekungen 3

31 Phänomena 1984 in Züich Esoteische Auto : De Mensch ist die Lösung des Unlösbaen! Quadatu des Keises Winkeldittelung Wüfelvedoppelung (Delisches Poblem) Histoische Bemekungen 4

32 Flächeninhalt von Polygonen mit Zikel und Lineal 1 Flächeninhalt von Polygonen mit Zikel und Lineal Poblem 1 Kann man ein Vieleck (Polygon) mit Zikel und Lineal alleine umwandeln in ein flächeninhaltsgleiches Rechteck, dessen eine Seite eine Einheitsstecke ist, ein flächeninhaltsgleiches Quadat? Poblem Kann man diese Umwandlung auch duch Zeschneiden und Zusammenlegen eeichen? Kla: Kann man Teil 1 von Poblem 1 lösen, dann ist Teil sofot mit Hilfe des Kathetensatzes ode des Höhensatzes gelöst.

33 Flächeninhalt von Polygonen mit Zikel und Lineal Weden diese Fagen positiv beantwotet, dann kann man alleine mit Hilfe von Zikel und Lineal bzw. duch Zeschneiden den Flächeninhalt beliebige Polygone vegleichen: Entwede man wandelt beide in Rechtecke mit eine Einheitsseite um und vegleicht deen andee Seitenlängen, ode man vewandelt beide in jeweils flächengleiche Quadate und vegleicht diese Quadate. Aufgabe: Wandeln sie das folgende Vieeck in ein flächengleiches Rechteck mit de Stecke e als eine Seite um. D A C e B

34 Poblem Keisfläche und Keisumfang De Poblemkeis kann sowohl von de Umfangsbeechnung als auch von de Flächenbeechnung aus eschlossen weden. Analog dazu kann man auch späte bei de Behandlung de Kugel entwede übe die Obeflächenbeechnung ode die Volumenbeechnung einsteigen. Keisfläche und Keisumfang 1

35 Poblem Keisfläche und Keisumfang Bei diesen Beechnungen spielt die Konstanz des Quotienten gewisse Gößen eine Rolle. Welche de Folgenden Quotienten sind konstant? Waum ist dies so? Bezeichnungen: A Flächeninhalt des Keises, U Umfang des Keises Radius des Keises, d Duchmesse des Keises A/ A/ A/d A/d U/ U/ U/d U/d Keisfläche und Keisumfang

36 Keisfläche und Keisumfang 3

37 Poblem Keisfläche und Keisumfang Schätzen Sie den Keisumfang und den Flächeninhalt des Keises mit Hilfe von ein- und umbeschiebenen Quadaten ab. 4 < U O < 8,8 d < U O < 4 d < A O < 4 Keisfläche und Keisumfang 4

38 Poblem Keisfläche und Keisumfang Schätzen Sie den Keisumfang und den Flächeninhalt des Keises mit Hilfe von ein- und umbeschiebenen Sechsecken ab. d 3 3 Umfang: 6 < U O < d < U O < 3,47 d Flächeninhalt: < A O < 3 Keisfläche und Keisumfang 5

39 Keisumfang Bestimmen Sie expeimentell mit Hilfe eine CD das Vehältnis von Umfang zu Duchmesse eines Keises. Welchen pozentualen Fehle haben Sie dabei begangen? Keisumfang 1

40 Keisumfang: Beechnung mit Näheungsvefahen Keisadius = 1 LE. Beechnen Sie, wie sich die Seitenlänge S n des einbeschiebenen egelmäßigen n-ecks aus de Seitenlänge S n des n-ecks egibt. Die Seitenlänge des einbeschiebenen 6-Ecks ist 1 LE. Damit kann man die Seitenlänge des 1-, 4, 48-Ecks beechnen. Diese Fomeln können mit dem Taschenechne ode mit Hilfe eines Tabellenkalkulationspogamms ausgewetet weden, um imme genauee Wete fü π zu ehalten. A 1 M q=-p 1 h C p S = a n B S = h n Keisumfang

41 Keisumfang: Beechnung mit Näheungsvefahen U n n Es ist U Sn = n = n S n, π ABC ist echtwinklig (Thalessatz) = 1 LE. S n =? Höhensatz fü ABC: C (1) h = ( p)p Kathetensatz fü ABC: () a = p (1) nach p (<1) aufgelöst: A 1 M q=-p 1 h p S = a n B S = h n (3) p = 1 1 h (3) in () eingesetzt: a = 1 h = 4 4h Keisumfang 3

42 Keisumfang: Beechnung mit Näheungsvefahen (3) in () eingesetzt: a = 1 h = 4 4h Damit ehält man: C S = a n S n = 4 Sn A 1 M q=-p h p B = S n + 4 Sn 1 S n = h Keisumfang 4

43 Keisumfang: Beechnung mit Näheungsvefahen Beechnungsschema in Excel S n = 4 Sn = S n + 4 Sn n Sn Un Un/ 6 1, , , , , , ,6105 6,6557 3, , , , , ,8064 3, ,0373 6,8905 3, , , , , , , , , , , , ,14159 n Sn Un Un/ 6 1 =(A*B) =(C/) =(A*) =(WURZEL(-WURZEL(4-B*B))) =(A3*B3) =(C3/) =(A3*) =(WURZEL(-WURZEL(4-B3*B3))) =(A4*B4) =(C4/) =(A4*) =(WURZEL(-WURZEL(4-B4*B4))) =(A5*B5) =(C5/) =(A5*) =(WURZEL(-WURZEL(4-B5*B5))) =(A6*B6) =(C6/) =(A6*) =(WURZEL(-WURZEL(4-B6*B6))) =(A7*B7) =(C7/) =(A7*) =(WURZEL(-WURZEL(4-B7*B7))) =(A8*B8) =(C8/) =(A8*) =(WURZEL(-WURZEL(4-B8*B8))) =(A9*B9) =(C9/) =(A9*) =(WURZEL(-WURZEL(4-B9*B9))) =(A10*B10) =(C10/) =(A10*) =(WURZEL(-WURZEL(4-B10*B10))) =(A11*B11) =(C11/) Keisumfang 5 Excel

44 Keisumfang: Beechnung mit Näheungsvefahen Beechnungsschema in Excel S n = 4 Sn = S n + 4 Sn Fühen Sie die Beechnung von Pi in Excel mit de esten de beiden Fomeln fü 30 Seitenvedopplungen duch und beobachten Sie, wie sich die Genauigkeit de Annäheung von Pi veändet. Fühen Sie dann die Beechnung von Pi in Excel auch mit de zweiten de beiden Fomeln fü 30 Seitenvedopplungen duch und beobachten Sie auch hie, wie sich die Genauigkeit de Annäheung von Pi veändet. Keisumfang 6 Excel

45 Keisfläche mit de Balkenmethode y0 y1 y yk y k = k 1 n yk 1 n k n Keisfläche mit Balkenmethode 1

46 Keisfläche mit de Balkenmethode y0 y1 y yk yk y k = k 1 n Beechnen Sie mit Hilfe de entwickelten Fomel den Flächeninhalt des Vietelkeises näheungsweise (Obe- und Untesumme) fü einen Radius =1 LE fü n=6 mit Hilfe eines Taschenechnes und fü n=100 mit Hilfe eines Tabellenkalkulationspogamms. 1 n k n Bestimmen Sie den absoluten und den elativen Fehle, den Sie dabei begehen. Beechnen Sie aus dem Egebnis das Vehältnis Keisfläche / Radiusquadat. Keisfläche mit Balkenmethode

47 Keisfläche mit de Balkenmethode y0 y1 y y k y k = k 1 n 1 n k n yk n k yk Balken aussen Balken innen 0 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , Keisfläche mit Balkenmethode 3

48 Keisfläche mit de Balkenmethode y0 y1 y y k y k = k 1 n 1 n k n yk Keisfläche mit Balkenmethode 4

49 Keisfläche mit de Balkenmethode y0 y1 y y k y k = k 1 n 1 n k n yk k n y k yk+1 Keisfläche mit Balkenmethode 5

50 Keisfläche mit de Balkenmethode y0 y1 y y k y k = k 1 n 1 n k n yk 98 0, , , , , , , , , Summe 0, , Pi-Näheung 3, , Damit Fehleintevall bei Pi = 4/100 = 0,04. Pozentuale Fehle 0,04/3,14 1,3% Diffeenz zwischen Obesumme und Untesumme: Flächeninhalt des 0. Außenbalkens = 1/100. Keisfläche mit Balkenmethode 6

51 Keisfläche mit Kästchenzählen Rest noch zählen = 50 Innenfläche = 1913 mm 15 Fläche Vollkeis = mm = 765 mm Flächen-Pi = 765 /500 = 90 3,061 Keisfläche mit Kästchenmethode

52 Keisfläche mit Kästchenzählen Außenfläche = 1913 mm + 89 mm = 00 mm Fläche Vollkeis = 4 00 mm = 8008 mm Flächen-Pi = 8008 / , Fehle absolut: 0,14 Fehle elativ: 0,14/3,061 0,046 = 4,6% Keisfläche mit Kästchenmethode

53 Poblem Keisfläche und Keisumfang Wi haben festgestellt, dass fü Keise U/d und A/ konstant sind. Wi definieen π := U/d. Es ist keineswegs offensichtlich, dass A/ die gleiche Konstante π egibt, obwohl die bishe beechneten Näheungswete dies nahe legen!!!. Flächen-Pi = Umfangs-Pi??? Keisfläche und Keisumfang 7

54 Poblem Keisfläche und Keisumfang Aufgabe: Zeichnen Sie einen Keis mit Radius 5 cm. Zeschneiden Sie ihn wie in de Zeichnung und legen Sie daaus die neben dem Keis sichtbae Figu. Vegleichen Sie den Flächeninhalt des Fast-Rechtecks mit dem des Radiusquadats. Was egibt sich daaus fü den Flächeninhalt des Keises? = 5 cm Keisfläche und Keisumfang 8

55 Poblem Keisfläche und Keisumfang Hie eine Skizze des Vegleichs: = 5 cm A Quadat = = 5 cm l = 15,4 cm A Rechteck = l =15,4 cm 5 cm = 77 cm A A Rechteck Quadat = 77 cm 5 cm = 3,08 A Keis 3,1 Keisfläche und Keisumfang 9

56 Poblem Keisfläche und Keisumfang l = π Begünden Sie mit Hilfe de Skizze, dass fü Keise tatsächlich das Vehältnis A/ = π ist. Flächen-Pi = Umfangs-Pi!!! Keisfläche und Keisumfang 10

57 Keisteile: Keisbogen α b Keisbogen b zum Winkel α Beechnen Sie die Länge des zu α gehöenden Keisbogens b α. bα = α π π = b α π α = 180 Keisteile 1

58 Keisteile: Keisausschnitt (Keissekto) α Keisausschnitt (Keissekto) zum Winkel α Beechnen Sie den Flächeninhalt des zu α gehöenden Keissektos. Aα α π = 360 A π α = 360 α Keisteile

59 Winkelmessung im Bogenmaß 1 α b 1 b 3 α b 3 α Alle Keissektoen zum gleichen Winkel α sind ähnlich. Damit gilt: b α : ist konstant. Diese nu von α abhängige Zahl heißt das Bogenmaß von α. Bezeichnung: ac(α) (lies: Acus von α) Bogenmaß 1

60 Winkelmessung im Bogenmaß Einheit des Winkels im Bogenmaß: Unbenannte Zahl! Vehältnis von zwei Längen! Oft benennt man die Einheit im Bogenmaß dennoch mit ad. 1 ad ist abe einfach nu die Zahl 1. Andee Definition des Bogenmaßes: Das Bogenmaß ac(α) des Winkels α ist die Maßzahl des zu α gehöenden Winkels im Einheitskeis. 1 LE b α Bogenmaß

61 Winkelmessung im Bogenmaß Misst man den Winkel α im Bogenmaß, dann veeinfacht sich die Beechnungsfomel fü die Bogenlänge: Misst man den Winkel α im Bogenmaß, dann veeinfacht sich die Beechnungsfomel fü die Bogenlänge: α b b = ac( α) = π 180 α b = ac(α) A π α = 360 α A α 1 = ac( α) Bogenmaß 3

62 Winkelmessung im Bogenmaß Umechnung vom Gadmaß ins Bogenmaß und umgekeht. π 180 ac ( α) = α α = ac( α) 180 π α in ac(α) α in ac(α) /3π π/3 π /10 1 3/ π π/ π/4 Bogenmaß 4