Definitionen des Flächeninhaltsbegriffs werden immer mehr verfeinert, durch den Messprozess festgelegt.

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1 Fläceninalt 1 Fläceninalt 2 Kapitel 7: Der Fläceninalt Fläceninalt einer Fiur soll etwas über deren Größe aussaen Fläceninaltsberiff intuitiv irendwie klar, ab der Grundscule durc Ausleen von Fiuren mit Plättcen vorbereitet. Abrenzun eenüber einem anderen Beriff von Größe, dem Umfan einer Fiur. Definitionen des Fläceninaltsberiffs werden immer mer verfeinert, durc den Messprozess festelet. Welcen Fiuren sind Sie bereit, einen Fläceninalt zuzusprecen? Wie sollte der definiert und emessen werden? Fläceninalt bestimmen bedeutet : Mölicst vielen Fiuren F (Maß-)Zal A(F) zuordnen. Eienscaften dieser Zuordnun: 1. A(F) 0 für alle Fiuren F, 2. A(F 1 F 2 ) = A(F 1 )+A(F 2 ) F 1 F 2 =, 3. A(F) = A(F ) F konruent zu F, 4. A(Q e ) = 1 Q e beliebi ewältes Eineitsquadrat Teorie solcer Messprozesse in der Matematik Maßteorie, Teilebiet der Analysis Hier nur die in der Sculmatematik wictien Fiuren beandelt, an einien Beispielen anewandt, statt den Fläceninalt zu definieren bescreibt man den Messprozess.

2 Fläceninalt als Größe Messprozess Pysik 7.1 Fläceninalt als Größe Im Alltasebrauc keine Fiuren mit Fläceninalt 0 akzeptiert (z.b. einzelne Punkte, Strecken) One diese Fläcen bilden die Fläceninalte einen so enannten Größenbereic ( Vorlesun über Größenbereice). In einem Größenbereic G sind Addition + und Kleiner-Relation < erklärt: 1. a + b = b + a Kommutativesetz 2. (a + b) + c = a + (b + c) Assoziativesetz 3. entweder a < b oder b < a oder a = b Tricotomie 4. a < b es ibt ein c G mit a + c = b einescränktes Lösbarkeitsesetz 7.2 Der Messprozess Pysikalisces Modell: Fiuren sind aus omoenem Material leicer Dicke ausescnitten. Fiuren aben leicen Fläceninalt wenn sie leices Gewict aben. Fläceninalt von Fiuren experimentell verleicen: Fiuren aus eeinetem Material erstellen und Gewict verleicen. Fläcenmaßzalen zuordnen durc Verleicen mit dem Gewict von Eineitsquadraten oder einem anderen passenden Quadrat. Für die Scule eventuell: Fläceninalt der Kreisfläce mit einem Radiusquadrat verleicen. Wie viel mal so scwer ist die Kreisfläce? r r r

3 Messprozess Matematik 1 Messprozess Matematik 2 Matematisce Fläceninaltsberiffe Ausleen einer Fläce mit zueinander deckunsleicen Fiuren und Anzalbestimmun ( z.b. Inaltsformel für Rectecke, für die Scule eeinet und ebräuclic). 7 Quadrate im Streifen 3 Streifen 3 7 Eineitsquadrate Grenzen des Messprozesses durc Ausleen: - Teoretisc problematisc bei Rectecken mit Seiten, die zu denen des Eineitsquadrates inkommensurabel sind, - Verleic beliebier Dreiecke, - krummlini berenzte Fiuren. Passt vielleict nie enau Beriffe Zerleunsleiceit und Eränzunsleiceit von Fiuren. Grenzprozesse durc Annäerun komplizierter Fläcen durc einfacere ( z.b. Kreisfläce).

4 Zerleunsleic eränzunsleic 1 Zerleunsleic Paralleloramm Zerleunsleic - eränzunsleic Definition Zwei Fiuren sind zerleunsleic wenn sie sic in paarweise konruente Fiuren zerleen lassen. Zerleunsleice Fiuren sind inaltsleic Beispiel: Fläceninalt des Paralleloramms Das Paralleloramm und das Recteck sind zerleunsleic. Fläceninalt des Paralleloramms Diese Zerleun zeit: Der Fläceninalt des Paralleloramms ist das Produkt aus der Grundseite und der Höe : A =. Aufabe Gilt dies auc für das nebensteende Paralleloramm? Ist dieses auc zerleunsleic zu einem Recteck mit den Seiten und?

5 Zerleunsleic Paralleloramm Zerleunsleic eränzunsleic 2 Fläceninalt des Paralleloramms Das Paralleloramm ist zerleunsleic zu dem Recteck mit den Seiten und. Auc ier is A = Definition Zwei Fiuren sind eränzunsleic wenn sie durc Eränzun mit konruenten Fiuren zu konruenten (i.a. zerleunsleicen) Fiuren eränzt werden können. Eränzunsleice Fiuren sind inaltsleic Beispiel: Pytaoras-Leebeweis b² c² a² Die weißen Fläcen sind eränzunsleic, denn sie können durc Eränzun mit den vier paarweise konruenten Dreiecken zu konruenten Fiuren (ier den Quadraten) eränzt werden.

6 Eränzuns-paralleloramm 1 Eränzuns-paralleloramm 2 Satz vom Eränzunsparalleloramm D H C d E P G A F Der Satz Geeben ist das Paralleloramm ABCD und ein Punkt P auf der Diaonalen d=ac. Durc P sind Parallelen zu den Seiten des Paralleloramms ezeicnet. Dadurc entsteen zwei Paralleloramme EPHD (elb) und FBGP (ellrot). Zeien Sie, dass diese Paralleloramme den leicen Fläceninalt besitzen. Zeien Sie, dass auc die Paralleloramme AFHD und ABGE den leicen Fläceninalt besitzen. B Anwendun Geeben ist ein Recteck ABGE (ellrot). Es soll ein dazu fläcenleices Recteck mit einer voreebenen Seite konstruiert werden. D H 1 C D 3 E E P 2 G A B A F B Konstruktion: 1 Parallele durc zu AB durc D, 2 Parallele durc zu AD durc B, C Scnittpunkt von 1 und 2, P Scnittpunkt von AC mit GE, 3 Parallele zu AD durc P, H Scnittpunkt von 3 mit DC. F Scnittpunkt von 3 mit AB. AFHD ist das esucte Recteck.

7 Pytaoras Zerleun Beweis Katetensatz Pytaoras-Zerleunsbeweis Für die Scule als Puzzle eeinet, wenn man die Einteilun des Katetenquadrats voribt. Ein Beweis des Katetensatzes C D A b a q c B Wie ist wol das karierte Paralleloramm konstruiert worden? Wenn DA als Grundseite des Paralleloramms betractet wird, wie lan ist dann die zueörie Höe? Was ist der Fläceninalt des Paralleloramms? Das Paralleloramm wird so um A edret, dass D auf C fällt. Um wie viel Grad? Welcer Zusammenan bestet mit dem Fläceninalt des rünen Rectecks?

8 Dreiecksformeln Trianulation Dreiecksformeln und ire eometrisce Deutun A= 2 A= 2 A= 2 Versciedene Herleitunen füren zunäcst zu versciedenen Formen der Fläceninaltsformeln Termumformunen Fläceninalt von n-ecken Fläceninalt? Zerleen in Dreiecke, Dreiecksfläcen berecnen!

9 Cavalieri 1 Cavalieri Das Prinzip von Cavalieri ( ) Satz von Cavalieri im Raum Sind zwei Körper leic oc und ist in jeder Höe die Scnittfläce bei beiden Körpern leic roß, so aben die Körper dasselbe Volumen x Satz von Cavalieri in der Ebene Kann man eine Gerade so zeicnen, dass jede Parallele zu dieser Geraden aus zwei Fläcen stets zueinander leiclane Strecken ausscneidet, so aben die Fläcen denselben Inalt. Dreiecke mit leicer Grundseite und leicer Höe aben den leicen Fläceninalt (Stralensatz).

10 7.2.4 Grenzprozesse Beispiel: Fläceninalt des Kreises Ein- und umbescriebenes Secseck Einbescriebenes Secseck und Zwölfeck Annäerun durc einbescriebene und umbescriebene reelmäßie n-ecke. Für n näern sic deren Fläceninalte von unten bzw. oben einem emeinsamen Wert. Diesen Wert definiert man als den Fläceninalt des Kreises. Grenzprozesse 1 Ganz beliebie Fiur Fläceninalt A? I 1 A U 1 Gitterpapier drüber leen... Kästcen im Inneren zälen und addieren I 1 Kästcen außen zälen und addieren U 1 Grenzprozesse 2

11 Kästcenläne albieren... I 1 I 2 A U 2 U 1 Kästcen im Inneren zälen und addieren I 2 Kästcen außen zälen und addieren U 2 Grenzprozesse 3 Falls I n und U n sic dem leicen Wert A näern, dann ist das der Fläceninalt der Fiur. I 1 I 2 I 4 A U 4 U 2 U 1 Kästcenläne nocmals albieren... Kästcen im Inneren zälen und addieren I 4 Kästcen außen zälen und addieren U 4 Intervallscactelun für A Grenzprozesse 4

12 Scerun 1 Scerun Die Scerun eine fläcentreue Abbildun Der Beweis zum Katetensatz let die folende Definition einer Abbildun der Ebene nae. Geeben sind eine Gerade, ein Winkel α mit -90 < α < 90 (Scerunserade) (Scerunswinkel) P' P Scerun mit α α _ Scerunserade Scerunswinkel α 90 < α < 90 Abbildunsvorscrift: P : P = P P : (P,F P,P) = α, mit F P Fußpunkt des Lotes von P auf. P' P Scerun mit α α _ Scerunserade Scerunswinkel α 90 < α < 90

13 Scerun Eienscaften Historisce Bemerkunen 1 Eienscaften der Scerun: Fixpunkterade, Fixeraden sind alle Parallelen zu, eradentreu, nict länentreu, aber Strecken parallel zu bealten ire Läne, nict winkeltreu, fläceninaltstreu. α Der Fläceninalt einer beliebien Fiur eribt sic als Grenzwert von Quadraten mit immer kleineren Seitenlänen. Diese Quadrate können so ewält werden, dass 2 irer Seiten parallel zu sind. Der Fläceninalt solcer Quadrate bleibt bei der Scerun eralten. P' α _ P 7.4 Historisce Bemerkunen Im Altertum war es ein zentrales Anlieen der Geometrie, alle Konstruktionen exakt nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal durczufüren. Dieses Anlieen at die eometrisce Forscun über 2000 Jare lan voranetrieben, und die endültien Antworten auf die offenen Fraen sind nur etwas über 100 Jare alt. Der Grund für die Einscränkun der Hilfsmittel war pilosopiscer Natur, Näerunen für die in Frae steenden Probleme waren seit alters er bekannt. Hier sollen einie der klassiscen Probleme kurz vorestellt werden.

14 Historisce Bemerkunen 2 Historisce Bemerkunen 3 Quadratur des Kreises: Ein altes riecisces Problem Konstruiere mit Zirkel und Lineal zu einem Kreis mit eebenen Radius ein fläcenleices Quadrat. Leonardo da Vinci: Studie zu den Proportionen am idealen mensclicen Körper. Quadraturproblem implizit darestellt? Kreis durc die Finerspitzen der waaerect ausestreckten Arme und durc den zentralen roßen Ze. Fast leicer Fläceninalt wie das Quadrat aus Körperöe und Breite der ausestreckten Arme. Beweis für die Unmölickeit der Quadratur des Kreises erst um 1870 elunen (F.Lindemann)!

15 Historisce Bemerkunen 4 Fraktale 1 Pänomena 1984 in Züric Esoteriscer Autor : Der Mensc ist die Lösun des Unlösbaren! Quadratur des Kreises Winkeldrittelun Würfelverdoppelun (Delisces Problem) Problematisce Fiuren: Fraktale im 19./20. Jarundert Fläceninalt der blauen Fläce?

16 Fraktale 2 Fraktale 3 Problematisce Fiuren: Fraktale Fläceninalt der blauen Fläce? Problematisce Fiuren: Fraktale Fläceninalt?

17 Fläceninalt von Polyonen mit Zirkel und Lineal 1 Fläceninalt von Polyonen mit Zirkel und Lineal Fläceninalt von Polyonen mit Zirkel und Lineal Problem 1 Kann man ein Vieleck (Polyon) mit Zirkel und Lineal alleine umwandeln in ein fläceninaltsleices Recteck, dessen eine Seite eine Eineitsstrecke ist, ein fläceninaltsleices Quadrat? Problem 2 Kann man diese Umwandlun auc durc Zerscneiden und Zusammenleen erreicen? Klar: Kann man Teil 1 von Problem 1 lösen, dann ist Teil 2 sofort mit Hilfe des Katetensatzes oder des Höensatzes elöst. Werden diese Fraen positiv beantwortet, dann kann man alleine mit Hilfe von Zirkel und Lineal bzw. durc Zerscneiden den Fläceninalt beliebier Polyone verleicen: Entweder man wandelt beide in Rectecke mit einer Eineitsseite um und verleict deren andere Seitenlänen, oder man verwandelt beide in jeweils fläcenleice Quadrate und verleict diese Quadrate. Aufabe: Wandeln sie das folende Viereck in ein fläcenleices Recteck mit der Strecke e als einer Seite um. D A C e B

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