Technische Mechanik III (Dynamik)

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Maria Hermann
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1 Insiu für Mechanische Verfahrensechnik und Mechanik Bereich newande Mechanik Technische Mechanik III (Dynamik) Bearbeiunszei: h min ufabe y y (8 Punke) x m O α x β Ein Fußball der Masse m, der als Massepunk berache wird, wird mi einem kleinen bschusswinkel α und einer nfanseschwindikei abeschossen. Näherunsweise soll der Lufwidersand durch eine horizonale Kraf H k m x, die in der eneenesezen Richun der horizonalen Geschwindikei wirk, berücksichi werden, wobei die erikale Komponene des Lufwidersands iel kleiner als die chwerkraf is und deshalb ernachlässi wird. Geeben: α,, k, Gesuch: a) ellen ie die Beweunsleichunen in x- und y-richunen mi den nfansbedinunen auf. b) Welche imale Höhe y erreich der Fußball? c) Mi welcher Geschwindikei und welchem Winkel β fäll er wieder auf den Boden? d) Welche recke x le der Fußball bis dahin zurück? Lösun: Punkereilun: a) ; b) ; c) ; d) Pke a) Freikörper-Bild (Kräfe): H x-richun : y-richun : m x H m x kmx m y m m nfansbedinunen: x x( ), y y( ), x x ) cos, y ) sin, ( α ( α Eliminieren m: x kx () y () b) Lösun der y-gleichun (): Ineriere () über Zei ( ) Wei ineriere über Zei y( ) Bei y, ( ). y

2 y y( ) ( ) ( ) c) Lösun der x-gleichun (): Man bekomm die Lösun enweder durch Trennun der Veränderlichen oder durch Exponenialansaz x kx x xe () Bei fäll der Ball wieder auf den Boden, da y ( ) : Dann x x ( ) x e cosαe k ( ) 4k + ( cosα ) exp( ) ( α ) x + y sin k an β exp( ) x cosα k β arcan exp( ) cosα d) Inerieren () über Zei er ib sich x x k k ( ) x e d x e x cosα x( ) e k k ( e ) TM III (Dynamik), Bachelor

3 ufabe (6 Punke) Eine Walze (Masse m, Radius r), die ein homoener Vollzylinder is, roll auf einer cherbahn, die anenial in eine senkrech sehende Kreisbahn mi Radius R einmünde. Die Walze roll ebenfalls auf der Kreisbahn falls sie im Konak mi der Bahn bleib, da die Bahn ausreichend rauh is. Geeben: m, r, R, Gesuch: a) Welche nfanseschwindikei muss sie mindesens haben, dami sie on der usansposiion (dem niedrisen Punk der Kreisbahn) aus die Posiion (den höchsen Punk der Kreisbahn) erreich? b) Welche Normalkonakkraf N erfähr die Walze bei der Posiion und der Posiion für eebene nfanseschwindikei, die rößer als die Mindeseschwindikei is? Lösun: Punkereilun: a) 4; b) Pke a) Rollen-Kinemaische Bedinun: () r da der Konakpunk am Boden Momenanpol is. N Freikörper-Bild und chwerpunksaz bei Posiion : ma n N + m mi Zenripealbeschleuniun a n N > > ( R r),min m Enerieerhalun: m + m + + m( ) mi mr, r, r 8 Man erhäl daon m m + m( ), + ( ) () 8,min,min + ( ) ( ),,min ( ) TM III (Dynamik), Bachelor

4 b) Posiion : ma n, N m mi a n, N Posiion : N N m + m ma n, N + m mi () m m m a n, 8 ( ) m m m m N m TM III (Dynamik), Bachelor

5 ufabe (8 Punke) Ein Uhrpendel beseh aus einer homoenen ane (Läne L, Masse m) und einer Kreisscheibe (Radius R, Masse M). Die Kreisscheibe is im bsand a om ufhänepunk an der ane befesi. Die Pendelbeweun wird als unedämpfe freie chwinun anenommen. Geeben: L, a, R, m, M, Gesuch: a) Berechnen ie das Massenräheismonen des Uhrpendels um den Drehpunk, wenn die Kreisscheibe als homoen anenommen wird. b) ellen ie die chwinunsleichun für kleine usschläe auf und besimmen ie die Eienfrequenz des ysems für den Fall a). (Hinweis: Die pproximaion sin ϕ ϕ il für kleine usschläeϕ.) c) Besimmen ie aus der chwinunsdauer T, wenn die Dicheereilun in der Kreisscheibe unbekann (nich homoen) aber symmerisch um ihr eienes Zenrum O is. Lösun: Punkereilun: a) ; b) 4; c) Pke a), an e +, cheibe L ml + m ml + M R b) Drehimpulssaz um + MR + Ma + a einer az wurde benuz L Geen Uhrzeiersinn: ϕ m sinϕ Masinϕ ϕ L + m + Masinϕ Für kleine usschläe il sin ϕ ϕ ϕ + ml + Maϕ Idenifikaion mi ϕ + ϕ φ m M ml + Ma ml + Ma ml + M R + a ml + Ma ml + M R + a c) Nun is unbekann, aber il TM III (Dynamik), Bachelor

6 ml + Ma Dann π T 4π T ml + Ma T ml + Ma 4π ufabe 4 (8 Punke) Ein homoener ab mi Masse m und Läne l, der am Punk elenki elaer is, wird on der Waarechposiion aus der Ruhe loselassen und prall bei der enkrechposiion auf einen an der Wand befesien opper auf. Der ufprall is eil-elasisch mi einer oßzahl e <. Dabei sollen die Laerreibun am Punk und der Lufwidersand ernachlässi werden. Geeben: m, l, e <, Gesuch: a) Welchen imalen Winkel φ erreich der ab nach dem ufprall? b) In welchem bsand c om Punk muss der opper anebrach werden, dami beim ufprall die oßkraf am Punk Null wird? Lösun: Punkereilun: a) 4; b) 4 Pke Besimmun der Winkeleschwindikei or dem oß durch Enerieerhalun / l m l, mi ml () Die Geschwindikei am oßpunk or dem oß: Die Geschwindikei am oßpunk nach dem oß: c c TM III (Dynamik), Bachelor

7 Besimmun der Winkeleschwindikei nach dem oß durch oßbedinun e () e Enerieerhalun nach dem oß: m l( cosφ ) () ()/() mi () erib sich e cosφ cosφ e φ arccos( e ) b) Freischni-Bild Drehimpulssaz um Ĥ : c Fˆ (4) oßbedinun: e (5) Fˆ chwerpunksaz : m m Fˆ Hˆ (6) chwerpunkeschwindikei or und nach dem oß: l und l (7) (4) und (5) ereben sich ( + e) c Fˆ (6) und (7) ereben sich l m ( + e) Fˆ + Hˆ Daraus haben wir ˆ l! l H m ( + e) ( + e) m ( + e) c c! ml l m c l c ml ml TM III (Dynamik), Bachelor

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