Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 2 Kurze Einführung zu Filtern Anwendungsgebiete von Filtern Beschreibung von Fi

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1 Seminar Datenverarbeitung Vortragender : cand.-ing. Niels Petter Betreuer : Dipl.-Ing. Matthias Ortmann 12. Juli 2000

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 2 Kurze Einführung zu Filtern Anwendungsgebiete von Filtern Beschreibung von Filtern mittels Bode-Diagramm Ideales Filter Reales Filter Filtersynthese Vergleich zwischen Analogem und Digitalem Tiefpass Analoger Tiefpass Digitaler Tiefpass Digiales Filter Einbettung in die Analoge Umgebung Eingangstiefpass Abtasthalteglied A/D - Umsetzer Digitales Filter D/A - Umsetzer Ausgangstiefpass Das Bausteine FIR-Filter IIR-Filter Grundstrukturen Synthese eines Digitalen Filters mit MatLab FIR-Filter und IIR-Filter Analog- zu Digitallter Konvertierung Zusammenfassung 20 DV - Seminar SS 2000

3 1 Einführung In der heutigen Informationsgesellschaft wird es immer wichtiger, Informationen zu übertragen oder zu verarbeiten. Dabei können Informationen sehr unterschiedlich vorliegen, z.b. als Sprache oder als Text. Aus diesem Grund werden die Informationen meist in elektrische Signale umgewandelt, wie es das Mikrophon (Schalldruckänderung -> Spannung U) mit der Sprache macht. Dieses Signal stellt eine kontinuierliche Gröÿe als Funktion der Zeit t dar. Meistens ist die kontinuierliche Gröÿe eine Spannung u e (t). Durchläuft das Signal jetzt eine elektronische Schaltung (System S) kann es verändert und somit an die Bedürfnisse (z.b. Verstärkung, Modulation) angepasst werden (Spannung u a (t)). Die Veränderung wird durch die Impulsantwort h(t) beschrieben. In Abbildung 1 ist dies schematisch dargestellt. Der ma- 5? D = K A J 5 O I J A E H FD 5 K = J DJ Abbildung 1: Weg der Information(Schall) durch ein analoges System im Zeitbereich thematische Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung ist in Gleichung 1 zu sehen [5]: u a (t) =u e (t) h(t) (1) Werden im nachrichtentechnischem Sinne, wie im Fettweis [5] gezeigt, die Signale u e (t) und u a (t) in den Frequenzbereich (U e (s), U a (s)) transformiert, ist das Resultat der Systemfunktion die Übertragungsfunktion H(s) (Abbildung 2). Hierbei ist s die komplexe Frequenz jw. Die Verarbeitung solcher Systeme ist aufgrund der kontinuierlichen Ein- und Ausgangssignale als analog zu bezeichnen. Der mathematische Zusammenhang der Ein- und 5? D = 7 A I 5 O I J A E H FD 5 7 = I 0 I Abbildung 2: Weg der Information durch ein analoges System im Frequenzbereich Ausgangsgröÿen ist in Gleichung 2 dargestellt [5]: U a (s) =U e (s)h(s) (2) DV - Seminar SS 2000

4 Bei dem heutigen Stand der Entwicklung und Integration geht der Trend wegen besserer Reproduzierbarkeit und Umweltverträglichkeit allerdings immer mehr in Richtung digitale Signalverarbeitung. Hierbei wird das kontinuierliche Signal u e (t) abgetastet, in ein binäres Signal x n umgewandelt, durch ein digitales System S übertragen und schlieÿlich das digitale Ausgangssignal y n wieder in ein kontinuierliches Signal u a (t) umgewandelt. Das digitale System hat eine digitale Übertragungsfunktion A(z), die mit Hilfe der Z-Transformation hergeleitet wird, wie in Hess [1] beschrieben. Der Vorgang ist in Abbildung 3 dargestellt. Der Zusammenhang zwischen digitalem Eingangssignal x n und digitalem Ausgangssignal y n E H FD ), 5? D = K A J 7 I A J A H N E J 5 = F A EC EJ= A I 5 O I J A 5 ) O, EC EJ= K = J ) = C 7 I A J A H 6 = J 6 = Abbildung 3: Weg der Information durch ein digitales System lautet im Z-Bereich [1]: Y (z) =X(z)A(z) (3) 2 Kurze Einführung zu Filtern In diesem Kapitel soll kurz erläutert werden, wo die Anwendungsgebiete von Filtern liegen und wie Übertragungsfunktionen von Filtern im Allgemeinen beschrieben werden können. Danach folgt ein Vergleich von idealen Filtern mit realen Filtern. 2.1 Anwendungsgebiete von Filtern Filter ltern Frequenzen. Das bedeutet, dass bestimmte Frequenzbereiche verstärkt (jvj = 1) bzw. durchgelassen werden, während andere Frequenzbereiche abgeschwächt bzw. unterdrückt werden. In fast jedem Bereich der Elektrotechnik sind Filter zu nden. An der Stereoanlage gibt es z.b. den Equalizer (Entzerrerlter), in Stromversorgungen die Funkenentstörung (Tiefpasslter). Zur Rauschverminderung werden Filter eingesetzt und CD/DSF 1 1 Digitales Satellitenfernsehen DV - Seminar SS 2000

5 /DAT 2 basieren auf Filtern. Die Anwendungsgebiete sind sehr vielfältig. Um die verschiedenen Filtertypen charakterisieren zu können, wird häug das Bode-Diagramm benutzt, welches dafür hervorragend geeignet ist. 2.2 Beschreibung von Filtern mittels Bode-Diagramm Das Bode-Diagramm stellt die Übertragungsfunktion eines Filters in einem logarithmischen Maÿstab nach Betrag und Phase dar. Dies soll hier nicht näher erläutert werden, da es in entsprechender Literatur nachzulesen ist [2]. Bei den folgenden Abbildungen wird auf die Darstellung der Phase, soweit nicht nötig, verzichtet Ideales Filter Ein ideales Filter ist dadurch charakterisiert, dass es im Sperrbereich eine unendlich hohe Dämpfung und im Durchlassbereich keine Dämpfung aufweist. Des weiteren hat das ideale Filter eine konstante Phase von 0 und einen abrupten Übergang vom Sperr- zum Durchlassbereich und umgekehrt. Diese Betrachtungen beziehen sich nur auf die einfachen Filter wie Hochpass, Bandpass und Tiefpass. Andere ideale Filter würden einen exakten gewünschten Verlauf des Frequenz- und Phasenganges einhalten können. Ideales Tiefpasslter In Abbildung 4 ist das Bode-Diagramm eines idealen Tiefpasslters aufgezeichnet. Der Durchlass- und der Sperrbereich ist gekennzeichnet. Die Grenzfrequenz liegt bei f g =1kHz Reales Filter Das reale Filter weicht erheblich vom gewünschten idealen Verhalten ab. Es kann sowohl die unendlich hohe Dämpfung als auch das vollständige Durchlassen nicht erreicht werden. Ebenfalls ist ein reales System streng stetig, so dass es keinen abrupten Übergang zwischen den Bereichen gibt. Ein weiterer oft störender Faktor ist die Phase des Filters, der viel Aufmerksamkeit bei Stabilitätsfragen geschenkt werden muss. Realer Tiefpass In Abbildung 5 ist als Beispiel das Bode-Diagramm eines realen analogen Tiefpasslters 1. Ordnung mit dem typischen -20dB/Dek. Abfall zu sehen. Die Grenzfrequenz liegt ebenfalls bei f g =1kHz. 2 Digital Audio Tape DV - Seminar SS 2000

6 Abbildung 4: Ideales Tiefpasslter Abbildung 5: Reales Tiefpasslter DV - Seminar SS 2000

7 2.3 Filtersynthese Wenn ein Filter entworfen werden soll, muss durch reales Verhalten bedingt, zuerst einmal der gewünschte Verlauf der Übertragungsfunktion vorgegeben werden. Dabei wird meist auf die einfachen Filtertypen 3 zurückgegrien und diese werden bei Bedarf entkoppelt kaskadiert. Es werden Dämpfungsbereich mit minimaler Sperrdämpfung, Übergangsbereich und Durchlassbereich mit maximaler Durchlassdämpfung als Zonen aufgetragen, wie es für das Filter zulässig ist. In Abbildung 6 ist ein Toleranzschema des Dämpfungsverlaufes eines Tiefpasslters zu sehen. Die Übertragungsfunktion sollte sich zwischen den beiden Linien *, K H? D = I I >AHAE?D >AHC= CI >AHAE?D K IIEC A H* A HA E? D B H@ EA >AHJH=CK CI A E EA = N E = A, KH?D =II@ FBK C 5 F AHH >AHAE?D E E = A 5FAHH@ FBK C B 0 Abbildung 6: Toleranzschema für ein Tiefpasslter im grauen Bereich aufhalten. Danach kann z.b. mit Hilfe eines Filterkataloges die Ordnung und die Art des Filters bestimmt werden, die benötigt wird, um die Anforderungen zu erfüllen. 2.4 Vergleich zwischen Analogem und Digitalem Tiefpass Analoger Tiefpass In Abbildung 7 ist die Schaltung eines einfachen passiven Tiefpasslters 1. Ordnung dargestellt. Es besteht aus nur zwei passiven Bauelementen. Jedes Tiefpasslter höherer Ordnung ist nur mit mehr Aufwand realisierbar. Es ist wegen Toleranzschwankungen der Bauelementwerte nach dem Aufbau auf den gewünschten Dämpfungsverlauf abzugleichen. Seine Übertragungsfunktion hängt unter anderem von Umwelteinüssen ab (Temperatur). 3 Hochpass, Tiefpass, Bandpass DV - Seminar SS 2000

8 4 K A J + K = J Abbildung 7: Analoges Tiefpasslter 1. Ordnung Digitaler Tiefpass In Abbildung 8 ist eine Realisierung eines Digitalen Tiefpasslters 1. Ordnung schematisch dargestellt. Die Peripherie, in die das Filter eingebettet werden muss, wird im nächsten Kapitel vorgestellt. Mit zunehmender Ordnung nimmt die Anzahl der Multiplizierer, Verzögerungsglieder und Addierer zu. Wird das diskret aufgebaut, ist erheblicher Mehraufwand bei niedrigen Ordnungen als beim analogen Tiefpasslter notwendig. Wird das mittels Mikrokontroller programmiert, ist mit zunehmender Ordnung immer mehr Rechenleistung nötig. Die Fehler, die hier entstehen können, hängen von der Rechen- und Einstellgenauigkeit der Koezienten ab, jedoch nicht von Umwelteinüssen. N = # = # O Abbildung 8: Digitales Tiefpasslter 1. Ordnung 3 Digiales Filter In diesem Kapitel soll das und seine Komponenten besprochen werden. Da das Eingangssignal eine zeitkontinuierliche Gröÿe darstellt, wird es vor dem Digitalen Filter digitalisiert. Hier spielt das Abtasttheorem eine entscheidende Rolle, dessen Herleitung in der Literatur (Fettweis[5]) nachgelesen werden kann. DV - Seminar SS 2000

9 3.1 Einbettung in die Analoge Umgebung In Abbildung 9 ist die Einbettung des Digitalen Filters in eine analoge Umgebung schematisch dargestellt. Normalerweise werden sämtliche hier gezeichneten Komponenten verwendet, allerdings kann es auch vorkommen, dass die Ein- und Ausgangslter weggelassen werden. In neueren Mikroprozessoren sind teilweise diese Komponenten schon integriert, was das Aufbauen erheblich vereinfacht. K A J -E C= CI JEA BF = II ) > J = I J D= JAC EA@ ) = C, EC EJ= 7 I A J A H, EC EJ= A I. E JA H, EC EJ= ) = C 7 IAJ AH ) KIC= CI K = J JEA BF = II K A J K A J NJ O J K = J Abbildung 9: Einbettung in die Analoge Umgebung Eingangstiefpass Der Eingangstiefpass ist ein analoges Filter, das das Eingangssignal gemäÿ dem Abtasttheorem auf die Hälfte der Abtastfrequenz begrenzt. Idealerweise entstehen so keine Aliasingverzerrungen 4. Damit dieses Filter billig bleibt, wird hier jedoch kein Filter hoher Ordnung benutzt, so dass es zu Aliasingeekten an den Frequenzgrenzen kommen kann. Dieser Fehler wird entweder im Ausgangstiefpass behoben, oder es wird mehrfaches Oversampling 5 benutzt. Beim Oversamplig wird der Wert für die Hälfte der Abtastfrequenz im Frequenzbereich soweit nach rechts verschoben, bis das Eingangslter an dieser Stelle eine genügend hohe Dämpfung für das Eingangssignal erreicht hat, und somit keine Bandüberlappung mehr statt ndet. Das Eingangslter sollte prinzipiell immer vorgesehen werden, weil durch die Bandbreitenbeschränkung das Rauschen vermindert wird Abtasthalteglied Die Sample/Hold Stufe erzeugt für die Dauer der A/D-Umsetzung ein konstantes Signal aus dem analogen Eingangssignal, in dem es dessen Momentanwert kurz vor Einleitung der Umsetzung speichert. 4 Verzerrungen durch Bandüberlappung im Frequenzbereich 5 Erhöhung der Abtastrate DV - Seminar SS 2000

10 3.1.3 A/D - Umsetzer Der Analog/Digital-Umsetzer wandelt das Eingangssignal in binäre Informationen, sprich Zahlenwerte, um. Hier ist auf einen guten A/D-Umsetzer zu achten, da sonst die typischen Fehler 6 eines A/D-Umsetzers zum Tragen kommen Digitales Filter Dieser Baustein wird im nächsten Kapitel ausführlich besprochen D/A - Umsetzer Der Digital/Analog-Umsetzer erzeugt aus den Zahlenwerten am Ausgang des Digitallters wieder eine analoge Spannung. Die Pegel des Umsetzers sollten an die des Eingangssignals angepasst werden Ausgangstiefpass Der Ausgangstiefpass, der das Signal wieder auf die Hälfte der Abtastfrequenz begrenzt, ltert Harmonische der Abtastfrequenz und sonstige nicht erwünschten Mischprodukte heraus. Wie schon erwähnt, lässt sich in ihm noch eine Entzerrung vornehmen, was allerdings zu komplexeren Aufbauten führt (teurer). 3.2 Das Bausteine Das besteht aus einer Hand voll Komponenten, die hier ganz knapp erläutert werden. Es wird vorausgesetzt, dass Flussdiagramme bekannt sind. Addition/Subtraktion In Abbildung 10 ist der Addierer schemtatisch dargestellt. Es gibt ihn auch mit mehreren Eingängen. Wie der Name schon sagt, wird hier eine einfache mathematische Addition bzw. Subtraktion ausgeführt. Multiplizierung In Abbildung 11 ist der Multiplizierer abgebildet. Dabei wird der Eingangswert mit einer Konstanten K multipliziert. Bei Digitalen Filtern sind dies die Koezienten, die das Übertragungsverhalten denieren. 6 Oset, Linearität etc. DV - Seminar SS 2000

11 = > = > Abbildung 10: Der Addierer = = Abbildung 11: Der Multiplizierer Speicherung oder Verzögerung Die Verzögerung (Abbildung 12) ist das wichtigste Bauelement der für benötigten Bausteine. Sie repräsentiert in der Digitaltechnik das, was in der Analogtechnik der Kondensator bzw. die Spule ist. Für das Verständnis dieses Bauelementes wird diese Komponente jetzt etwas genauer untersucht. Die N J 6 O J N J 6 Abbildung 12: Verzögerung im Zeitbereich Verzögerung in der Digitaltechnik stellt eine Speicherung des Signals für ein Taktimpuls dar. In Abbildung 13 ist der Zusammenhang noch einmal grasch dargestellt. NJ 6 ) O J N J Abbildung 13: Speicherung im Zeitbereich Wird darauf die Z-Transformation [1] angewendet, ergibt sich der in Abbildung 14 dargestellte Zusammenhang. Dabei gilt: z,1 = e,jwta (4) An dieser Stelle fällt auf, dass die Übertragungsfunktion über dem gesamten Frequenzspektrum periodisch mit der Periode wt a ist. Da das Eingangssignal im Frequenzbereich DV - Seminar SS 2000

12 : ; : Abbildung 14: Verzögerung im z-bereich begrenzt wird, interessiert der Verlauf der Übertragungsfunktion allerdings nur bis zur halben Abtastfrequenz FIR-Filter Finite-Impulse-Response-Filter (Transversallter) sind dadurch gekennzeichnet, dass es keine Rückkopplung vom Ausgang auf den Eingang gibt. Sie können aus den Grundstrukturen (siehe späteren Abschnitt) hergeleitet werden, wenn alle Koezienten b i =0gesetzt werden. Dadurch vereinfacht sich die Übertragungsfunktion zu: nx A(z) = i=0 a i z,i (5) Werden die Koezienten symmetrisch gewählt, so ist (ohne Beweis) die Phase eines FIR- Filters linear. Zu FIR-Filtern gibt es ein paar einfache Regeln, die zur Synthese benutzt werden können: Die Gleichspannungsverstärkung eines FIR-Filters ist gleich der Summe aller Filterkoezienten. Die Verstärkung eine FIR-Filters bei der halben Abtastfrequenz ist gleich der im Wechsel mit +1 und -1 gewichteten Koezientensumme. Die Einheits-Impulsantwort eines FIR-Filters ist die Folge seiner Koezienten. Sie ist N+1 Werte lang. Werden alle Koezienten eines FIR-Filters mit demselben Faktor multipliziert, so ändert sich lediglich die Grundverstärkung des Filters um diesen Faktor, seine Filtercharakteristik bleibt aber unverändert. Die Vor- und Nachteile eine FIR-Filters sind in folgender Tabelle zusammengefasst: Beispiel Als Beispiel wird ein FIR-Filter als Tiefpass mit der Ordnung zwei berechnet. In Abbildung 15 ist die Struktur dargestellt. DV - Seminar SS 2000

13 Vorteile Lineare Phase Konstante Gruppenlaufzeit Stabilität Adtaptives Filter machbar Endliche Impulsantwort Koezientengenauigkeit nur mäÿig Nachteile Niedrige Selektivität Hohe Ordnung erforderlich Viele MAC-Operationen Groÿer Speicherbedarf Tabelle 1: Vor- und Nachteile von FIR-Filtern Abbildung 15: FIR-Filter 2. Ordnung Wahl der Koezienten Die Summe der Koezienten soll 1 ergeben (Bedingung für ein Tiefpasslter), aus Symmetrie der Koezienten folgt a0 = a2, bei halber Abtastfrequenz soll die Verstärkung 1 2 sein. Daraus folgt für die Koezienten a 0 = a2 =0:25 und a1 =0:5. Die Übertragungsfunktion lautet somit: A(z) =0:25+0:50z,1 +0:25z,2 (6) Die Übertragungsdunktion ist in Abbildung 16 dargestellt IIR-Filter Innite-Implus-Response-Filter (rekursive Filter) stellen den allgemeinen Fall der Digitalen Filter dar. Beispiel Als Beispiel wird ein IIR-Filter als Tiefpass mit der Ordnung 1 berechnet. Die Struktur ist in Abbildung 17 zu sehen. Dabei werden die Koezienten symmetrisch eingestellt (a0 = a1 =0:25) und für b1 wird ein Wert von,0:5 benutzt, um eine gleiche Verstärkung bei f =0zu erreichen, wie es beim FIR-Filter der Fall ist. Die Übertragungsfunktion DV - Seminar SS 2000

14 Abbildung 16: Verlauf der Übertragungsfunktion eines FIR-Filters 2. Ordnung Vorteile Hohe Selektivität Wenige MAC-Operationen Wenig Speicherplatz nötig Ordnung kleiner als bei FIR-Filtern Nachteile Keine lineare Phase Keine konstante Gruppenlaufzeit Grenzzyklen Stabilitätsproblem Koezientengenauigkeit hoch Tabelle 2: IIR-Filter Vor- und Nachteile Abbildung 17: IIR-Filter 1. Ordnung DV - Seminar SS 2000

15 lautet somit: A(z) = 0:25+0:50z,1 +0:25z,2 1, 0:5z,1 (7) Der Verlauf der Übertragungsfunktion ist in Abbildung 18 zu sehen. Abbildung 18: Verlauf der Übertragungsfunktion eines IIR-Filters 1. Ordnung Beim Vergleich von FIR-Filter und IIR-Filter (Abbildung 19), fällt auf, dass das IIR- Filter (mit Sternchen) trotz niedrigerer Ordnung einen schon fast so steilen Verlauf hat, wie das FIR-Filter. Bei der Phase (Abbildung 20, die hier linear über der Frequenz aufgetragen ist, ist die lineare Phase des FIR-Filters sichtbar, und der schon recht unschönen Phasengang des IIR-Filters ist zu erkennen. Abbildung 19: FIR-Filter 2. Ordnung und IIR-Filter 1. Ordnung DV - Seminar SS 2000

16 Abbildung 20: FIR-Filter 2. Ordnung und IIR-Filter 1. Ordnung (Phase) Grundstrukturen Wird das Beispiel des IIR-Filters verallgemeinert, so ergeben sich drei Grundstrukturen, in denen ein Digitales Filter realisiert werden kann. Im folgenden werden diese drei Strukturen kurz erläutert. Die Strukturen haben die gleiche Übertragungsfunktion, wenn sie die gleichen Koezienten besitzen. Direkte Struktur Diese Struktur zeichnet sich dadurch aus, dass es einen einzigen globalen Addierer am Ausgang gibt. > > : = = ; = Abbildung 21: Direkte Struktur DV - Seminar SS 2000

17 Erste kanonische Direktstruktur Diese Struktur fällt durch die verteilten Summierer auf. Sie lässt sich gut serialisieren und ist für Mikroprozessoren daher gut geeignet. : = = = = > > > ; Abbildung 22: Erste kanonische Direktstruktur Zweite kanonische Direktstruktur Diese Struktur zeichnet sich durch zwei globale Summierer jeweils am Eingang und Ausgang aus. : > > > = = = = ; Abbildung 23: Zweite kanonische Direktstruktur Mathematisches Die Übertragungsfunktion der drei vorgestellten Strukturen ist in Gleichung 8 zu sehen und lässt sich einfach aus einem der Flussdiagramme ermitteln. A(z) = Y (z) X(z) = P n i=0 a iz,i 1+ P n i=1 b iz,i (8) Hier fällt auf, dass ein Digitales Filter über seine Koezienten einzustellen ist. Es müssen nur Speicherzellen im Wert verändert werden, um den Gesamtverlauf der Übertragungsfunktion zu ändern. Erkennbar ist auch, dass eine Multiplikation der a i - Faktoren mit einem konstanten Faktor nur die Verstärkung beeinusst. Abschliessend weden in Tabelle 3 einige Vor- und Nachteile von Analogen- und Digitalen Filtern zusammengefasst. DV - Seminar SS 2000

18 Analoge Filter Vorteile Passiv herstellbar Wenig Aufwand bei kleinen Ordnungen Billig Nachteile Nicht temperatur- oder zeitstabil Abgleich erforderlich Passiv bei niedr. Freq. nicht wirtschaftl. Hohe Ordnung benötigt Platz Vorteile Schnelle Synthese Umwelt- und zeitstabil Adaptive Filter realisierbar Reproduzierbar Störunanfälliger gegen EMV Nachteile Grenzfrequenz bei 100MHz Einfache Filter: hoher Aufwand Tabelle 3: Vergleich von Analog- und Digitalltern 4 Synthese eines Digitalen Filters mit MatLab In diesem Kapitel soll anhand eines Beispiels ein Digitales Filter entworfen werden. Da es viele Möglichkeiten gibt zu berechnen, ist die Wahl gar nicht so einfach. Es wird aus praktischen Gründen das Werkzeug MatLab benutzt, da Matlab schon fertige Funktionen bietet und somit sehr exibel ist. 4.1 FIR-Filter und IIR-Filter In Abbildung 24 ist der gewünschte vorgegebene Frequenzverlauf zu sehen. Es fällt auf, dass der Verlauf schon nicht ganz trivial ist. Hiermit soll gezeigt werden, dass es mit entsprechenden Werkzeugen recht einfach ist, ein Digitales Filter zu berechnen. Wird dieser Frequenzverlauf in MatLab eingegeben und lässt die Koezienten für das FIR-Filter mit der Funktion r2 und der Ordnung 16 und die Koezienten des IIR-Filters mit der Funktion yulewalk und der Ordnung 6 berechnen, so ergibt sich der in Abbildung 25 gezeigte Verlauf. Die Kurve mit Sternchen zeigt den IIR-Filter der Ordnung 6 und die Kurve mit Punkten zeigt den FIR-Filter der Ordnung 16. Es fällt auf, dass das FIR-Filter schon recht gut an den gewünschten Verlauf heranreicht, während das FIR-Filter noch nicht ganz so gut ist. Dies zeigt deutlich, dass der IIR-Filter eine bessere Selektivität aufweist. In Abbildung 26 ist das IIR-Filter der Ordnung 12 und das FIR-Filter der Ordnung 32 zu sehen. Der IIR-Filter ist noch näher an die gewünschte Übertragungsfunktion heran gekommen. Er zeigt jetzt allerdings leichte Überschwinger, während der FIR-Filter glatt verläuft. DV - Seminar SS 2000

19 Abbildung 24: Gewünschte Übertragungsfunktion Abbildung 25: FIR-Filter 16. Ordnung und IIR-Filter 6.Ordnung DV - Seminar SS 2000

20 Abbildung 26: FIR-Filter 32. Ordnung und IIR-Filter 12.Ordnung Nachdem die Koezienten erhalten berechnet wurden, muss über die Realisierung nachgedacht werden. Je nach Aufbau und benötigter Geschwindigkeit wird eine der Grundstrukturen geeigneter sein, als eine andere. 4.2 Analog- zu Digitallter Konvertierung Ist der Verlauf eines Analogen Filters vorgegeben (zum Beispiel ein existierendes Analoges Filter soll durch ein Digitales Filter ersetzt werden) können mit der Bilineartransformation auf einfache Weise die Koezienten des Digitalen IIR-Filters berechnet werden. Oder wurde mit Hilfe eines Filterkataloges ein Analoges Filter gefunden, der ins vorgegebene Toleranzschema passt, ist die Bilineartransformation genau die Methode, um daraus die digitalen Koezienten zu berechnen [1]. Normalerweise ist das so berechnete ähnlich stabil wie des Analoge Filter. In Abbildung 27 ist mit Sternchen ein Bandpasslter eingetragen und die Übertragungsfunktion eines Digitalen IIR-Filters mit einer Samplefrequenz von 10kHz als Linie eingetragen. Es ist erkennbar, dass der Frequenzgang des Digitalen Filters sehr genau dem des Analogen Filters entspricht. 5 Zusammenfassung Bei der heutigen rasanten Entwicklung der Integration und der immer schneller werdenden Mikrokontrollern geht der Trend eindeutig zu den Digitalen Filtern. Die einfache Realisierung und die positiven Eigenschaften die genannt wurden, machen es einfach, ein Digitales Filter mit hoher Reproduzierbarkeit mit Hilfe einer Hochsprache zu programmieren, auch ohne groÿe Kenntnis der analogen Schaltungstechnik. Somit ist das Filter also ein Problem DV - Seminar SS 2000

21 Abbildung 27: Übertragungsfunktion des Programmierers geworden. Für einfachste Filter ist die Peripherie aber noch zu umfangreich. Ob die Digitalen Filter auch bald bei höchsten Frequenzen arbeiten werden, wird die Zukunft zeigen. DV - Seminar SS 2000

22 Literatur [1] W. Hess:, Teubner (1989) [2] U.Tietze, Ch.Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik, Springer (1999) [3] A.Biran, M.Breiner Matlab für Ingenieure, Addison/Wesley (1999) [4] Intersil Corperation An Introduction to Digital Filters, Intersil Corperation (1999) [5] A.Fettweis Elemente nachrichtentechnischer Systeme, Teubner (1996) [6] R.Saal Handbuch zum Filterentwurf, AEG-Telefunken (1979) DV - Seminar SS 2000