Strahlensatz, Zentrische Streckung, Vierstreckensatz (Anwendung, Beweis, Konstruktion)

Transkript

1 Gymnsum Strhlenstz, Zentrsche Streckung, Verstreckenstz 1. Berechne us den jewels gegebenen Größen de gesuchten Streckenlängen: Gegeben: ) AB = cm ; ZA = 3cm ; ZA ' = 5cm A 'B' Gesucht: b) ZA = 3,5cm ; ZB = cm ; BB' = 4cm AA ' ; ZB'; ZA ' c) AB = 3cm ; AA ' = cm ; A 'B' = 5cm ; ZB ZA = 1cm d) AA ' =,5cm ; BB' = 4cm ; A 'B' = 4,5cm ; AB = 6cm In welchen Fällen gbt es mehrere Lösungen? Fertge jewels zur Kontrolle ene mßstbsgetreue Zechnung n! ZA ; ZA ' ; ZB' entsprechend Bld I ZA ; ZB ; ZA ' ; ZB'. In enem Trpez ABCD snd de prllelen Seten [AB] und [DC] de sogennnten Grundlnen, während de Seten [AD] und [BC] de Schenkel des Trpezes heßen. Es se ferner S der Schnttpunkt der verlängerten Schenkel und S der Dgonlschnttpunkt. AB = 5cm, DC = 3cm. ) In welchem Verhältns telt S de beden Dgonlen des Trpezes? b) Mt welchen Abbldungsfktoren blden de beden Streckungen mt den Zentren S und S de Gerde [AB] uf de Gerde [CD] b? c) Berechne de Entfernungen AS, DS, CS und BS us AD = 4cm und BC = 3cm! 3. In enem Trpez telt der Dgonlschnttpunkt de beden Dgonlen m Verhältns :1. Ws lässt sch über de Länge der beden Grundlnen sgen? Welche besonderen Lnen stellen de Dgonlen enes solchen Trpezes m Dreeck ABS (sehe Bld der Aufg. ) dr? GM_AU038 **** Lösungen 37 Seten (GM_LU038) 1 (5)

2 Gymnsum Strhlenstz, Zentrsche Streckung, Verstreckenstz 4. Nebenstehend st ds Prllelogrmm ABCD gezechnet. M und N snd de jewelgen Setenmtten. ) Bewese, dss de Gerden MB und NB de Dgonle [AC] n dre gleche Tele telen. Hnwes: Wende uf de Fgur SMABC den Strhlenstz n. b) Wrum glt DT MB? 5. Für en Prllelenpr (p, q) und enen Punkt P ußerhlb von p und q glt: d (P; p) = cm; d (P; q) = 5 cm. ) Welchen Abstnd ht ds Prllelenpr? ( Lösungen) b) Welche Abbldungsfktoren erhält mn für ene zentrsche Streckung mt dem Zentrum P, de p uf q bbldet? 6. Zege n enem Gegenbespel, dss der folgende Stz flsch st: Werden de Schenkel enes Wnkels von zwe Gerden so geschntten, dss sch de usgeschnttenen Querstrecken verhlten we de Entfernungen hrer uf dem enen Schenkel legenden Endpunkte vom Wnkelschetel, so snd de schnedenden Gerden prllel. 7. Bewese für ene belebge Gerde g durch den Schnttpunkt Z zweer Gerden g 1 P Z von g st ds Verhältns hrer Abstände von g 1 und g : Für lle Punkte P ( ) und g glech groß. Hnwes: Der Stz st bewesen, wenn er für zwe belebge Punkte P und Q uf g zutrfft. 8. Gegeben snd zwe Gerden g 1 und g, deren Schnttpunkt S ußerhlb des Zechenblttes legt, sowe en Punkt P, der kener der beden Gerden ngehört. Konstruere de Gerde PS ohne Kenntns von S! 9. Bewese den folgenden Stz, dessen Vorussetzung und Behuptung n folgender Form gegeben st: Vorussetzung: AB A 'B' (1); Z AA ' (); ZA ' = m ZA und A 'B' = m AB für m 0 (3) Behuptung: Z BB'. 10. Konstruere durch enen belebgen Punkt P m Wnkelfeld enes gegebenen Wnkels ene Gerde, de us den Schenkeln zwe Strecken usschnedet, deren Längen sch we,5 : 6 verhlten! 11. Konstruere durch enen belebgen Punkt P m Wnkelfeld enes gegebenen Wnkels ene Gerde, us der de Schenkel des Wnkels ene Strecke mt dem Mttelpunkt P usschneden! Anletung: Zehe durch P ene Prllele zu enem Schenkel! 1. Konstruere durch enen Punkt P m Wnkelfeld enes gegebenen Wnkels ene Gerde, us der de Schenkel ene Strecke usschneden, welche durch P m Verhältns zweer gegebener Streckenlängen und b getelt wrd! (Bechte Aufgbe 11!) GM_AU038 **** Lösungen 37 Seten (GM_LU038) (5)

3 Gymnsum Strhlenstz, Zentrsche Streckung, Verstreckenstz 13. Bewese: Telt mn de Grundlnen [AB] und [CD] enes Trpezes ABCD von A bzw. C us m glechen Verhältns, so geht de Verbndungsgerde der Telungspunkte durch den Schnttpunkt der beden Dgonlen [AC] und [BD]. Erstelle zuerst ene Zechnung mt enem selbstgewählten Telungsverhältns. 14. Konstruere de Länge x nch der jewels ngegebenen Proporton, wobe de gegebenen Zhlen ls Streckenmßzhlen, bezogen uf de Längenenhet 1 cm, ngenommen werden: ) 4:3 = 8:x; b) 6:x =,5 :4; c) x : 3,5 = 4 :7; d) 9: = x:1. Überprüfe jewels den Messwert für de gesuchte Streckenmßzhl x durch Rechnung! 15., b und c seen vorgegebene Streckenlängen. Konstruere jewels de Streckenlänge x, de folgende Proportonen erfüllt: I) x: = b : c ; II) : x = b : c ; III) b : = x: c. Drücke jewels de Mßzhl von x durch de Mßzhlen von und b us, wenn für c de Längenenhet gewählt wrd! 16. We knn mn ene Strecke konstrueren, deren Mßzhl ) dem Produkt, b) dem Quotenten der Mßzhlen zweer gegebener Streckenlängen c und d glech st, bezogen uf de Längenenhet 1 cm, für c = 4 LE, d = LE? Führe de Konstrukton uch für de Längenenhet cm durch! 17. In enem Dreeck ABC mt = 5 cm, b = 7 cm und dem Wnkel γ = 50 telt en Punkt T de Sete [AC] nnen m Verhältns AT : TC 3 : ( T [ AC] ) =. Konstruere Punkt T! Welche Angben n der Aufgbe snd für de Lge von T ohne Bedeutung? 18. Durch enen festen Punkt P ußerhlb ener gegebenen Gerden AB sollen zwe zuennder senkrechte Gerden gelegt werden, welche de Strecke [AB] nnen und ußen m glechen Verhältns telen. 19. De Sete [AC] enes Dreecks ABC wrd durch w β n Telstrecken mt AT = 5cm und CT = cm zerlegt. Berechne de Setenlängen BC und AB, wenn AB BC = 6cm beträgt! 0. Konstruere en Dreeck ABC mt AB = c, BC =, AC = b us: ) c = 5 cm; b : = : 1 ; wγ = 3,5cm. b) b = 6 cm; : c = : 5 ; sb c) = 6,5 cm; b : c = 1 : 3 ; h = 4,5cm. = cm ( Lösungen). 1. Von enem Dreeck ABC st beknnt: = 6 cm, s = 7,5 cm; s b : s c = 5 :. Konstruere ds Dreeck! GM_AU038 **** Lösungen 37 Seten (GM_LU038) 3 (5)

4 Gymnsum Strhlenstz, Zentrsche Streckung, Verstreckenstz. Gegeben snd de Punkte A, B mt AB = 7cm. Konstruere de Menge ller Punkte P mt dem Entfernungsverhältns 7 : 9 von A und B sowet de Heftsete des zulässt! Bechte, dss der äußere Telpunkt T für de Konstrukton unzugänglch st! 3. Wo legen lle Punkte, von denen us zwe Strecken [AB] und [BC] uf der Gerden AC jewels unter glechem Sehwnkel erschenen? Konstruere für AB = 4,5 cm und BC =,5 cm de gesuchte Punktmenge. Gb nun enen Punkt P n, von dem us der gemensme Sehwnkel je 45 beträgt. 4. Gegeben st ene Strecke [AB] mt AB = 7cm. ) Zechne den Kres des Apollonus für ds Entfernungsverhältns : 5. b) Berechne den Rdus des Apollonschen Kreses sowe de Entfernung des Kresmttelpunktes von B. 5. Auf der Verlängerung ener gegebenen Strecke [AB] legt der Punkt M. Es se AM = und BM = b gegeben. En Kres um M soll [AB] nnen und ußen m glechen Verhältns telen. ) Drücke AT, BT, AT und b) Zege, dss folgendes glt: r = b. Konstruere r! BT durch, b und r us. 6. Von enem Punkt P werden de beden Tngenten n enen Kres mt dem Mttelpunkt M gezogen. De Gerde PM schnedet den Kres n den Punkten A und B und de Berührsehne m Punkt Q. Bewese, dss A, B, Q, P hrmonsche Punkte snd. Hnwes: Berührsehne st de Verbndungsstrecke der beden Tngentenberührungspunkte. 7. Gegeben st en Dreeck ABC mt AB = 8cm, BC = 7cm, AC = 4cm. ) Konstruere den nneren Punkt T, der [CB] m Verhältns : 3 telt. b) De Prllele durch T zu AB schnedet AC n R; RB AT = { S}. Gb ds Verhältns TS : SA n, ohne de Enzelstrecken zu berechnen. GM_AU038 **** Lösungen 37 Seten (GM_LU038) 4 (5)

5 Gymnsum Strhlenstz, Zentrsche Streckung, Verstreckenstz 8. Zu ener gegebenen Strecke [AB] mt der Länge und dem gegebenen Streckungsfktor m > 0 wrd ds äußere Zentrum Z und ds nnere Zentrum Z ener Streckung so konstruert, dss S(Z ; m) S(Z ; m) A B und A B glt. ) Konstruere de Streckzentren für = 7 cm und m = 0,4. b) Berechne ZB und BZ zuerst für den konstruerten Fll und dnn llgemen für belebges und m. c) Zege, dss ZZ = st, wenn mn m = 1 setzt. 9. Löse de Aufgben ) bs c) durch Konstrukton! Blde enen Kres um M mt Rdus r = 4 cm durch zentrsche Streckung mt dem Zentrum Z und dem Fktor m für folgende Fälle b: ) ZM = 5cm ; m = 5 b) ZM = 3cm ; m = 3 c) En Punkt P des gegebenen Kreses soll n enen festen Punkt P bgebldet werden mt P'M = 4cm, P'P = 5cm und ImI = 0,5 ( Lösungen). 30. Konstruere de gemensmen Tngenten zweer Krese mt der Strecke [M 1 M ] und den Rden r 1, r für folgende Fälle: M M = 6cm, r 1 = 3 cm, r = 4 cm; ) 1 b) M1M c) M1M d) M1M = 4cm, r 1 = cm, r = 4 cm; = 8cm, r 1 = r = 3 cm; = 3cm, r 1 = 4 cm, r = 1 cm. 31. Zwe Krese mt den Mttelpunkten M 1 und M schneden sch n A und B. Der Schnttpunkt der gemensmen Außentngenten se Z. Verbnde enen der beden Kresschnttpunkte, z.b. A, mt Z und zege, dss AZ enen der beden Wnkel hlbert, welchen de Gerden M 1 A und M A mtennder enschleßen! 3. Dre Krese mt den Rden r 1, r und r 3, deren Mttelpunkte uf ener gemensmen Gerden legen, berühren sch gegensetg von ußen und hben en gemensmes Außentngentenpr. ) Konstruere dre solche Krese, wenn r 1 = 1 cm und r = cm gelten soll! b) Zege, dss für de dre Rden glt: r = r 1 r 3. (Betrchte ene geegnete zentrsche Streckung und hre Umkehrbbldung.) 33. Gegeben snd zwe Krese mt den Rden r 1 = 4 cm und r = 3 cm, de sch von ußen berühren. Konstruere lle Gerden, us denen von beden Kresen je ene Sehne von 5 cm Länge herusgeschntten wrd. Hnwes: Wo legen de Mttelpunkte ller Sehnen mt 5 cm Länge n enem gegebenen Kres? 34. Von enem Punkt P ußerhlb enes Kreses snd de beden Tngenten n den Kres gezechnet. Konstruere mt Hlfe ener geegneten zentrschen Streckung enen Kres, der de beden Tngenten und den gegebenen Kres berührt. ( Lösungen!) GM_AU038 **** Lösungen 37 Seten (GM_LU038) 5 (5)